高中数学解题方法系列：函数求最值问题的7种方法
求函数最值的方法总结
求函数最值的方法总结函数最值是指函数在一些特定区间内取得极大值或极小值的点或值。
寻找函数最值的方法，在不同的情况下，可以使用不同的技巧和策略。
以下是几种常用的方法总结：一、数学分析法：1.寻找函数的临界点和分段函数的不连续处。
-对于连续函数，可以通过求导数，令导函数等于零来求解，找到导数为0的点，即可能的极值点。
-对于分段函数，需要寻找函数的断点和不连续点，分别对两个分段区间进行分析。
2.使用二次函数的顶点公式。
-当函数为二次函数时，可以通过二次函数顶点公式求得函数的顶点，从而得到函数的最值点。
3.使用最大最小值定理。
-若函数在区间[a,b]上连续且可微分，那么函数在这个区间上一定有最大值和最小值。
通过求解函数在区间端点和内点的函数值，并进行比较，可以找到函数的最大值和最小值。
4.运用函数特性和图像分析法。
-对于特定的函数，可以通过观察函数的特性和图像来猜测函数的最值。
例如，对于单调递增的函数，最小值一定在区间的起点，最大值一定在区间的终点。
二、数值计算法：1.使用计算工具和数值优化算法。
- 对于复杂的函数，可以使用计算工具如Matlab、Python等进行数值计算。
一些数值优化算法，如牛顿法、梯度下降法等，可以寻找函数的极值点。
三、综合运用法：1.结合数学分析法和数值计算法：-对于一些复杂的函数，可以先通过数学分析的方法预估最值点的范围，然后再通过数值计算进行精细的寻找。
-例如，对于较复杂的函数，可以通过对函数进行数学分析，找出函数的极值点的大致范围，然后再使用数值计算的方法进行更加准确的求解。
在实际应用中，根据具体的函数形式和求解需求，选择适当的方法进行求解。
对于简单而规则的函数，使用数学分析法会更为直观和准确；而对于复杂的函数，可以综合运用数学分析法和数值计算法进行求解。
在进一步优化和提高计算效率时，可以结合使用多种方法，如利用已知最值点来进行剪枝，或引入约束函数等。
总的来说，函数最值的求解方法需要根据具体情况综合考虑，并灵活运用。
高一函数求最值总结知识点
高一函数求最值总结知识点函数是数学中的一种重要概念，而求解函数的最值问题则是高一数学中的一项重要内容。
下面将对高一函数求最值的相关知识点进行总结，帮助同学们更好地理解和应用。
一、函数的最值在学习函数的最值问题之前，我们先来复习一下函数的最值概念。
对于函数f(x)，若存在x1和x2，使得对于任意的x∈定义域D，有f(x)≤f(x1)或f(x)≥f(x2)，则f(x1)称为函数f(x)在D上的最大值，f(x2)称为函数f(x)在D上的最小值。
二、求函数最值的方法1. 寻找顶点法：对于二次函数f(x)=ax²+bx+c，其中a≠0，可以使用顶点公式求解顶点坐标(-b/2a,f(-b/2a))。
当a>0时，该函数在顶点处取得最小值；当a<0时，该函数在顶点处取得最大值。
2. 寻找边界法：对于一些简单的函数，可以通过直接寻找定义域的边界值，然后逐个计算函数值并比较，来确定最值。
这种方法在定义域较为简单且函数形式较简洁时，常常使用。
3. 导数法：对于可导的函数，可以使用导数的性质来求解最值。
求解思路是先求得函数的导函数f'(x)，然后找到其导数为零的点，进而确定这些点是否为最值点。
这种方法常用于解决函数无解析式表达，或者函数形式较复杂的最值问题。
三、实例分析下面通过几个实例来进一步理解和掌握高一函数求最值的方法。
例一：求函数f(x)=2x²-4x+3在定义域[-1,3]上的最小值。
解：首先，我们可以通过顶点法来求解。
根据顶点公式，顶点坐标为(-(-4)/(2*2), f(-(-4)/(2*2)))=(1,1)。
所以函数f(x)=2x²-4x+3在[-1,3]上的最小值为1。
例二：求函数f(x)=3(x-2)²在定义域(-∞,+∞)上的最小值。
解：利用顶点法，顶点坐标为(2,0)。
根据二次函数开口向上的特点，该函数在顶点处取得最小值0。
例三：求函数f(x)=e^x在定义域(-∞,0]上的最大值。
求函数最值的10种方法
函数y＝f(x)的最大值；如果存在实数N ，满足：
① 对任意x∈I，都有f(x)≥N ，②存在x0∈I，使得 f(x0)＝N ，则称N 为函数y＝f(x)的最小值． 我们直接利用函数最值的定义，可以判断函数最值 的相关问题．
x 没有最大值，也没有最小值．
二、配方法 配方法是求二次函数最值的基本方法，如 F (x)＝ af2(x)＋bf(x)＋c 的函数的最值问题，可以考虑用配 方法．
【例 2】 已知函数 y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R， a≠0)，求函数 y 的最小值．
分析 将函数表达式按ex＋e－x配方，转化为关于变量 ex＋e－x的二次函数．
六、导数法（以后学） 设函数 f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内 可导，则 f(x)在[a，b]上的最大值和最小值应为 f(x)在(a，b)内的各极值与 f(a)、f(b)中的最大值 和最小值．利用这种方法求函数最值的方法就是导 数法．
【例 6】 函数 f(x)＝x3－3x＋1 在闭区间[－3,0]上 的最大值、最小值分别是________．
【例 3】 设 a，b∈R，a2＋2b2＝6，则 a＋b 的最小值 是______． （以后学） 分析 由条件a2＋2b2＝6的形式知，可利用三角换元法 求a＋b的最值． 解析 ∵a，b∈R，a2＋2b2＝6，
∴令a＝ 6cos α， 2b＝ 6sin α，α∈R. ∴a＋b＝ 6cos α＋ 3sin α＝3sin(α＋φ)．
【例 4】设 x，y，z 为正实数，x－2y＋3z＝0，则 y2 xz
高中数学解题方法系列：函数求最值问题的7种方法
高中数学解题方法系列：函数求最值问题的7种方法最值问题遍及代数、三角、立体几何及解析几何各科之中，在生产实践中也有广泛的应用。
最值问题长期是各类考试的热点，求函数最值常用方法有：一、配方法配方法是求二次函数最值或可转化为二次函数的函数最值的基本方法，形如])()([)(2c x bf x f a x F ++=的函数最值问题，均可使用配方法。
例1、已知]3,1[,log 2)(3∈+=x x f x，求函数)()]([22x f x f y +=最值。
解：由]3,1[,log 2)(3∈+=x x f x，得222222log2)log 2()()]([x x x f x f y +++=+=3)3(log 6log 6)(log 23323-+=++=xx x 。
又函数f(x)定义域[1,3]，所以函数)()]([22x f x f y +=定义域为{31312≤≤≤≤x x ，解得31≤≤x ，所以]21,0[log 3∈x。
由二次函数单调性得，4376≤≤y ，所求函数最大值为374，最小值为6。
评注:利用二次函数的性质求最值要注意到自变量的取值范围，和对称轴与区间的相对位置关系。
二、判别式法主要适用于可化为关于x 的二次方程的函数,把函数转化成关于x 的一元二次方程，通过方程F(x,y)=0有实根，判别式0≥∆，当x 的范围是R 时,仅考虑即可,当X 的范围非R 时,还需要结合图形另解不等式。
特别的，形如22221121c x b x a c x b x a y ++++=22,(a a 不同是为0）分子、分母无公因式的函数最值常用此法。
例2、求下列函数最值（1）432+=x x y ；（2）3274222++-+=x x x x y 。
解；（1）由432+=x x y ，得0432=+-y x yx 。
当y=0时,x=0;当0≠y 时,由0≥∆得4343≤≤-y ,故原函数最小值为34-，最大值为34。
高中数学解题方法系列：函数求极值问题的6种方法
成一个无盖的方盒，问截去多少方能使盒子容积最大？
解：设截的小正方形边长为 x，则做成方盒容积为 y=(x-2a) x（0≤x≤a/2）
于是问题就归结为求函数在区间内极值问题。运用引理可知在 x=a/6 是盒子容积
最大。
五、利用平面几何图形求最值
例 11 求函数
的最小值。
分析：本题要求无理函数最值。用代数方法比较困难，若将函数表达变形为； 则函数表达式显现为坐标平面上
条件求出自变量的范围，最终将问题为一元二次函数区间内最值问题。但这样解
决此题，计算量较大。我们仔细分析约束条件，将约束条件可以整理为
，它表示以 x、y 为坐标的动点必须在椭圆
内或边界。而函数 f(x、y)=x－3y 可以约束区域内有点在
直线上的情况下，直线系中哪条直线在 y 轴截距最大或最小。显然在与椭圆相切
y x 3
y x3
x o
根据图像我们可以判断：当 x=0,
；当 x=3,
,对此类型问题的
思考：当函数解析式含有较多绝对值符号的时候，如果我们仍然通过做出函数图
像来求解极值，那么过程就非常复杂。那么是否有更简单的方法呢？经过对问题
的分析，我们发现函数的极值点要么出现在函数定义域的端点，要么出在函数图
就转化为在图像上找一点使得该点的横纵坐标之和最大或最小。此后就可采用椭
圆的参数方程解决。 例 5 若 2x+4y=1 求 x2+y2 的最小值 分析 函数 f(x、y)= x2+y2 我们理解为点（x、y）到原点的距离的平方，而
动点（x、y）在直线 2x+4y=1 上移动，那么我们就将问题转化为在直线上找一点，
于：能深刻理解函数解析式的内涵，且计算简单。
求函数最值的12种方法
求函数值域的方法大全函数的值域是指函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
找到函数的值域可以帮助我们了解函数的整体走势和性质。
下面是一些常见的方法帮助我们求函数值域。
1.用图形法求值域：使用图形来观察函数的形状和趋势，根据图形的有界性和单调性来确定函数值域的范围。
例如，如果函数是上凸的，那么它的值域可能是从函数的最小值开始一直到正无穷大。
如果函数是下凸的，那么它的值域可能是从负无穷大到函数的最大值。
2.用定义法求值域：通过函数的定义式，将自变量的范围带入函数，计算函数的输出值，从而找到函数的可能取值。
例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以把不同的x值代入函数中，并记录下函数的输出值，得到一个可能的值域的集合。
3.用反函数法求值域：如果函数具有反函数，可以通过求反函数的定义域来求原函数的值域。
例如，对于函数f(x)=x^2，它的反函数是f^(-1)(x)=√x，定义域为非负实数，因此原函数的值域也是非负实数。
4.用导数法求值域：对于给定范围内的函数，利用导数求得函数的驻点和拐点，结合函数的单调性和图像的形状来求值域。
例如，当函数的导数为零时，这些点可能是函数的最大值或最小值，通过比较这些点的对应函数值，可以确定函数的值域的上下界。
5.用极限法求值域：当函数的定义域是无界的时候，可以利用函数的极限来求值域。
通过求函数在正无穷大和负无穷大时的极限，可以确定函数的值域的上下界。
6.用解析法求值域：对于一些特定形式的函数，可以通过解析方法求值域。
例如，对于一次函数f(x)=ax+b，其中a和b为常数，如果a>0，则函数的值域是从负无穷大到正无穷大的实数集合。
7.用二次函数求值域：对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c，其中a>0，可以通过将二次函数转化为顶点形式来求值域。
首先通过求导数找到二次函数的极值点（即顶点），然后结合函数的开口方向和顶点的y坐标，可以确定二次函数的值域。
8.用指数和对数函数求值域：对于指数函数f(x)=a^x和对数函数f(x)=log_a(x)，其中a>0且a≠1，可以利用指数和对数函数的性质来求值域。
求函数最值的10种方法
求函数最值的10种方法1.符号法：通过观察函数的符号变化来找到最值点。
首先将函数的导数找出并求出导函数的零点，然后根据适当的区间划分关心的区域，根据导函数的正负性确定最值的位置。
2.迭代法：通过迭代的方式来逼近函数的最值点。
首先选取一个初始点，通过函数的变化规律逐步逼近最值点。
3.化简法：对函数进行化简，将其转化为更简单的形式，然后找到最值点。
通常利用函数的对称性或特殊性质进行化简，如利用函数的周期性、对称轴等。
4.一阶导数法：通过求函数的一阶导数，找到导数的零点，然后判断导数的增减性来确定最值点。
5.二阶导数法：通过求函数的二阶导数，找到导数的零点，并进行二阶导数测试，来判断极值的类型。
根据极值类型确定最值点。
6.平均值定理：根据函数的连续性和可导性，利用平均值定理找到函数变化最大或最小的点。
平均值定理指出，对于连续函数，必定存在一点使其导数等于函数的平均变化率。
7.极值定理：根据极值定理，函数在闭区间上的最大值和最小值必然出现在临界点或者函数的端点上。
8.最值的组合法：通过将函数分成多个子区间，找到每个子区间上的最大值或最小值，然后将它们组合起来，得到整个区间上的最大值或最小值。
9.边界法：通过找出定义域的边界点，并将其与函数值进行比较，找到最大值或最小值。
这种方法适用于非连续函数或无导数的函数。
10.数值计算法：当无法找到解析解时，可以利用计算机进行数值计算，通过穷举法或优化算法来找到函数的最值。
以上是求解函数最值的10种常用方法，每种方法都有其特点和适用范围。
在实际问题中，选择合适的方法可以更快地找到函数的最值。
函数最值论文：浅析函数最值的七种初等求法
函数最值论文：浅析函数最值的七种初等求法函数最值的初等求法在中学数学中既是重点也是难点，其综合性较强，对逻辑思维能力和变形转换能力的要求也较高.若能让学生理解掌握各种求法，则对其分析和解决问题能力的提升大有裨益.现根据本人多年的教学实践，对函数最值的常用初等求法简叙于下.一、配方法配方法在求函数值及值域中应用较为广泛，且比较容易掌握，是求函数最值的基本方法.操作要点是：把函数表达式的一部分或整体配成二次函数y=a(x+m)2+n(a≠0)的形式，再利用二次函数的性质求出最值.【例1】求函数y=x2-2x-5-2x+1x2的最值.解：函数定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).y=(x2+1x2)-2(x+1x)-5=(x+1x)2-2(x+1x)-7=(x+1x-1)2-8.∵当x＞0时，x+1x≥2；当x＜0时，x+1x=-(-x-1x)≤-2.∴当x+1x=2，即x=1时，y min =-7，此函数无最大值.评注：利用配方法求最值时，一定要注意考查变量的取值范围，此题若不注意就会得出错误答案y min =-8.二、基本不等式法利用基本不等式a 1+a 2≥2a 1a 2(a 1、a 2∈r+)求函数最值时要同时满足三个条件：一正、二定、三相等，即（1）a 1、a 2∈r+；（2）a 1+a 2（或a1a 2）为定值：（3）a 1=a 2能成立..上面的基本不等式定理可推广到n(n＞1,n∈n)个正数的情形.【例2】已知a＞b＞0，求a-4+1(a-b)b的最小值.解：∵a＞b＞0,∴a-b＞0，∴a-4+1(a-b)b=(a-b)+b+1(a-b)b-4≥33(a-b)b1(a-b)b-4=-1.∴当且仅当a-b=b=1(a-b)b，即a=2，b=1时，a-4+1(a-b)b 的最小值是-1.【例3】已知｜x｜＜3 ，求y=(x-3)x+5的最小值.解：∵｜x｜＜3,∴0＜3-x＜6.∴y=-(3-x)x+5=-(3-x)2(x+5)=-22(3-x)2(2x+10)=-22(3-x)(3-x)(2x+10)≥-22［(3-x)+(3-x)+(2x+10)3］3=-3296.∴当且仅当3-x=2x+10，即x=-73时，y min =-3296.评注：在变形过程中，配凑技巧是解题的关键，要紧紧围绕基本不等式取得最值的三个条件进行配凑.缺一不可. 如例2中，把a变成(a-b)+b是为了得到常数3. 例3中把x-3变形成-(3-x)是为了使3-x＞0，而把x+5变形成2x+102是为了使(3-x)(3-x)能与2x+10凑成常数.在配凑过程中，不要忽略取等号的条件，否则容易出错.例如这样的变形：x4+5x2=x4+2x2+3x2≥336就没有取等号的条件.三、判别式法此法适合能把函数关系式y=f(x)转化为关于x的二次方程φ 1(y)x2+φ 2(y)x+φ 3(y)=0（其中φ 1(y)≠0）的类型，因为x的值是实数，即该方程有实根，那么由判别式δ≥0，便可能求出函数y的最值.【例4】求函数y=2x-4x2-x+2的最大值和最小值.解：函数定义域为r，由题设可得yx2-(y+2)x+2(y+2)=0.∵x∈r,∴δ=(y+2)2-8y(y+2)≥0.∴-2≤y≤27,∴y max =27,y min =-2.评注：有时函数y=f(x)的定义域不是r，那么δ≥0只是关于x的二次方程有实数解的必要条件，这时求出的y值不一定是函数y=f(x)的最值，需要进一步检验. 若求出的y 值在函数值域内，则此y值才是最值；或者求出与y值对应的x值（在方程中求），求出的x值至少有一个在定义域内，则此y值才是最值.四、函数单调性法如果能够判断函数在某区间［a,b］上是单调增函数，则由单调函数的性质易求得区间［a,b］上函数的最值.【例5】设f(x)是奇函数，对任意x∈r，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，当x＞0时，f(x)＜0,且f(1)=-2,求f(x)在区间［-3,3］上的最值.分析：审题后，猜测函数f(x)可能具有单调性.解：设-3≤x 1≤x 2≤3,则x 2-x 1＞0，∴f(x 2-x 1)＜0.∵f(x)是奇函数，且恒有f(x+y)＝f(x)+f(y)，∴f(x 1)-f(x 2)=f(x 1)+f(-x 2)=f(x 1-x 2)=-f(x 2-x 1）＞0.∴f(x)在［-3,3］上是减函数.在区间［-3，3］上，f（x） max =f(-3)=-f(3)=- ［f(1)+ f(1)+f(1)］=6.f(x) min =f(3)=-f(-3)=-6.五、数形结合法数形结合法是一种重要的解题方法，其核心就是利用函数的几何意义把函数的最值问题转化为几何问题来解决.此法直观性较强，易于理解，有一定的灵活性，且常有化难为易的神奇效果.【例6】已知3x-4y-8=0，求u=(x-1)2+y2的最小值.分析：(x-1)2+y2可看作是原点a(1,0)与点 p(x,y)的距离，即u=｜ap｜，而p点是直线3x-4y-8=0上的动点，所以｜ap｜的最小值就是点a到直线3x-4y-8=0的距离，也就是u的最小值.【例7】如果实数x、y满足方程y=1-x2，求u=x-y的最大值和最小值.分析：如右图，方程y=1-x2的曲线是上半圆，而-u就是平行直线系y=x-u的纵截距，x、y满足方程就是直线与半圆有公共点，这样由几何意义知-1≤-u≤2,∴-2≤u≤1.∴u max =1，u min =-2.评注：由数形结合法求最值时，两点间的距离、点到直线的距离、直线的斜率、截距等是常用的几何意义.六、消元法在求多元函数最值的条件中，若能由条件中的多元关系解出某些变量，则可考虑通过代入消元法，把多元函数问题转化为一元函数来解决，以达到简化的目的.【例8】已知x2+2y2=3x，求u=2x2+y2-x的最大值.分析：由已知得y2=12(-x2+3x).①∵-x2+3x≥0,∴0≤x≤3.将①代入u=2x2+y2-x化为一元函数，再用配方法即可求解.评析：应注意通过条件找到所保留的元的取值范围.七、换元法换元变换是一种重要的数学变换，在数学中有着广泛的应用. 正确而灵活地运用换元法可使问题化繁为简，化难为易.【例9】求函数sinx-1sinx+2的最值.解: ∵y=1-3sinx+2,f(t)=1-3t（其中t=sinx+2)，t∈［1,3］，而f(t)在［1，3］上是增函数，又f(1)=-2,f(3)=0，∴y min =-2,y max =0.评注：换元的方法多、灵活性强，换元的目的是化难为易、化陌生为熟悉.在变换过程中，既要注意等价，又要注意取值范围.三角代换是常用的换元方法，如例7就可用三角换元法（令x=cosθ(0≤θ≤π），则y=sinθ,代入函数式即可求出最值.）函数最大值和最小值求法较多，方法灵活多变，除以上几种常见的初等求法外，导数法亦是目前高中数学常用的方法，这里不再赘述.对一个具体题目往往有多种解法，而优选解法是能否顺利解答的关键.在平时应多练、多思、多总结归纳，力求对这些重要方法融会贯通、灵活选用.要强调的是无论用哪种方法解题都要特别留意函数的定义域.参考文献［1］黄兆全. 最值问题中的几类典型错误例析［j］. 中学生理科应试， 1996（1）.［2］刘桦. 谈运用数形结合法解题的误区［j］. 中学数学（苏州），1995（9）.［3］陈国群. 均值不等式解题教学中逻辑错误的纠正［j］. 中学数学教学参考，2010（11）.。
高中数学解题方法系列：函数求极值问题的6种方法
高中数学解题方法系列：函数求极值问题的6种方法对于一个给定的函解析式，我们如果能大致作出其对应的函数图像，那么函数的许多性质都可以通过图像客观地反应出来。
因此，只要我们做出了函数图像，那么我们就可以根据图像找到极值点，从而求出函数的极值。
下面，我就从几个方面讨论一下，函数图象在求极值问题中的应用。
一、函数解析式中含有绝对值的极值问题。
我们给出问题的一般形式，设a≤x≤b,求函数的极值。
很容易判断该函数为分段函数，其对应的图像是折线，因此只要做出函数的图像那么就可以准确的找出函数的极值点。
例1设－2≤x≤3，求函数的最值。
解：若将函数示为分段函数形式。
作出函数图像根据图像我们可以判断：当x=0,；当x=3,,对此类型问题的思考：当函数解析式含有较多绝对值符号的时候，如果我们仍然通过做出函数图像来求解极值，那么过程就非常复杂。
那么是否有更简单的方法呢？经过对问题的分析，我们发现函数的极值点要么出现在函数定义域的端点，要么出在函数图像的拐点(使函数中某一个绝对值部分为零的点）因此我们只需将这些点求出来并代入函数解析式求出其所对应的值。
经过比较就得出了极值例如上题：f(－2)=7、f(－1)=4、f(0)=3、f(2)=5、f(3)=8、、=8，据此我们下面给出解决这一类问题更一般的方法。
=max ｛f(bi)、i=1、2、3……n ｝,=min ｛f(－bi),i=1、2、3……n ｝.二、将极值问题转化为几何问题。
运用此方法解决极值问题关键在于深刻理解，挖掘解析式所蕴含的几何意义。
1.转化为求直线斜率的最值。
例2求函数的最值分析函数解析式非我们常见的函数模型。
通过分析我们发现该函数可以看做过点A （3、2）与B （sin 、－cos ）两点直线的斜率。
而动点B的轨迹是y xo 3+=x y 3+-=x y 13+-=x y 13-=x y圆x2+y2=1。
因此我们就将问题转化为了求定点（3、2）与圆x2+y2=10上一点连线的斜率的最大值与最小值。
求函数最值的12种方法
求函数最值的12种方法在数学中，函数的最值是指函数在定义域上的极大值和极小值。
求函数的最值有很多不同的方法，下面将介绍12种常用的方法。
希望能够帮助你对函数的最值求解有更深入的理解。
方法一：函数图像法这是最直观的方法之一，通过绘制函数的图像，可以清楚地观察到函数的最值点所在的位置。
最大值对应函数的极大值点，最小值对应函数的极小值点。
方法二：导数法求函数的最值，常常使用导数法。
首先求函数的导数，然后将导数为零的点与定义域的边界进行比较，即可得到函数的最值点。
方法三：导数的符号法求函数的最值，还可以通过分析导数的符号来求解。
当导数恒大于零时，函数是递增的，函数的最大值出现在定义域的上界；当导数恒小于零时，函数是递减的，函数的最小值出现在定义域的下界。
方法四：高次函数的极值点对于高次函数来说，还可以通过求导数的高阶导数来找到极值点。
当高阶导数为零时，该点可能是极值点；当高阶导数不为零时，可通过判断导数的符号来确定它是极大值还是极小值。
方法五：函数的平均值定理利用函数的平均值定理可以得到函数最值的一个粗略的估计。
平均值定理指出，如果函数连续且可微分，那么在两个点之间存在一个点，使这三个点的斜率与两点之间切线的斜率相同。
这个点可能是函数的极值点。
方法六：拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法可以求解带有约束条件的函数最值问题。
通过引入拉格朗日乘子，将带有约束条件的函数最值问题转化为无约束条件的函数最值问题。
然后可以利用导数法等方法来求解。
方法七：边界法对于函数的有界定义域，可以通过比较边界处函数值的大小来求解最值问题。
找到定义域的上界和下界，并将其代入函数，比较函数值的大小即可得到最值。
方法八：几何法对于一些特殊的函数图像，可以利用函数的几何性质来求解最值。
如对于抛物线函数，其最值点处对应抛物线的顶点。
方法九：二次函数的最值对于二次函数，可以通过求取顶点坐标来得到函数的最值。
二次函数的顶点坐标即为函数的最值点。
方法十：三角函数的最值对于一些三角函数，可以利用函数图像的周期性来求解最值问题。
求函数最值的方法总结
求函数最值的方法总结1.图像分析法：将函数的图像绘制出来，通过观察图像的形状和变化趋势来确定函数的最值。
例如，对于单调递增的函数，最大值就是定义域的最右端点，最小值就是定义域的最左端点。
2.导数法：求函数的导数，通过导数的零点和变号的位置来确定函数的最值。
导数的零点对应函数的极值点，而导数的变号对应函数的区间最值。
使用导数法需要对函数的导数性质有一定的了解，例如导数的单调性和函数的凹凸性。
3.积分法：对于一些特殊的函数，可以使用积分法来求函数的最值。
积分法的思路是将函数的最值问题转化为求解区间上的面积问题。
例如，对于一个带有约束条件的函数，可以通过求解约束条件下的面积来确定函数的最值。
4.极值判别法：对于一个在闭区间上连续的函数，可以通过判别函数的驻点和端点来确定函数的最值。
首先求解函数在定义域内的驻点（即导数为零的点），然后求解函数在区间的端点上的值，最后比较这些点的函数值来确定最值。
5.约束条件法：对于一个函数在一个区域上的最值问题，可以引入一个或多个约束条件来求解。
这种方法常用于优化问题中，其中一个约束条件是函数的取值在一个约束集内。
6.数学归纳法：对于一些特殊的函数序列，可以使用数学归纳法来证明函数的最值。
数学归纳法的思路是先证明当n为一些初始值时函数的最值成立，然后再证明当n+1时函数的最值也成立。
7.动态规划法：对于一些复杂的问题，可以使用动态规划法来求解函数的最值。
动态规划法是将问题分解为多个子问题，然后通过求解子问题的最值来求解原问题的最值。
8.枚举法：对于一些简单的函数，可以通过枚举函数的值来确定最值。
枚举法的思路是列举函数在定义域上的所有可能取值，然后比较这些值来确定最值。
9.近似法：对于一些复杂的函数，可以使用近似法来求解函数的最值。
近似法的思路是将函数结合数值计算方法来进行近似求解。
常见的近似方法有牛顿迭代法和二分法等。
总之，求函数最值是一个重要的数学问题，有多种方法可以求解。
高中求最值的方法总结
高中求最值的方法总结三角函数的最值或相关量的取值范围的确定始终是三角函数中的热点问题之一。
以下是小编整理的高中求最值的方法总结,欢迎大家前来查阅。
高中求最值的方法总结篇1方法一：利用单调性求最值学习导数以后，为讨论函数的性质开发了前所未有的前景，这不只局限于基本初等函数，凡是由几个或多个基本初等函数加减乘除而得到的新函数都可以用导数作为工具讨论函数单调性，这需要熟练掌握求导公式及求导法则，以及函数单调性与导函数符号之间的关系，还有利用导数如何求得函数的极值与最值。
例1 已知函数，当x∈[-2，2]时，函数f(x)的图象总在直线y=a-e2的上方，求实数a的取值范围。
分析：此题属于恒成立问题，恒成立问题大都转化为最值问题。
解：原问题等价于f(x)>a-e2恒成立，即x2+ex-xex>a-e2在[-2，2]上恒成立，即x2+ex-xex+e2>a在[-2，2]上恒成立。
令g(x)=x2+ex-xex+e2>a-e2，x∈[-2，2]，原问题等价于a 下面利用导数讨论g(x)的最小值，求导可得g'(x)=x(1-ex)。
当x∈[-2，0]时，g'(x)≤0，从而g(x)在[-2，0]上单调递减;当x∈(0，2]时，g'(x)<0可知g(x)在(0，2]上也单调递减。
所以g(x)在[-2，2]上单调递减，从而g(x)min=g(2)=2即a∈(-∞，2)评注：本题是求参数的取值范围问题，利用等价转化的思想可化为不等式恒成立问题，进而化为最值问题，再借助于导数讨论函数的单调性求出的最值。
其实高中阶段接触到的最值问题大都可以运用单调性法求得最值。
方法二：利用不等式求最值掌握和灵活运用，│a│+│b│≥│a±b│≥││a│-│b││这一类型的基本不等式，在求一些函数最值问题时通常十分便捷，在解题时务必注意考虑利用不等式求最值的条件限制。
例2 若x∈R，且0 分析：本题可以运用单调性法求最值，但是较麻烦，下面介绍一种新的方法。
例析高考函数最值的常见类型及其求法
例析高考函数最值的常见类型及其求法高考中，函数最值问题是常见且重要的题型。
下面将介绍一些常见的函数最值类型及其求解方法。
一、最值类型1.函数最大值：即求函数在定义域上的最大值。
2.函数最小值：即求函数在定义域上的最小值。
3.最大最小值：即求函数在定义域上的最大值和最小值。
4.函数最值交替：即求函数在定义域上的最大值和最小值，且最大值和最小值交替出现。
二、求解方法1.导数法：导数法是求解函数最值的常见方法。
通过求解函数的导数，可以得到函数的增减性和临界点。
具体步骤如下：（1）求函数的导数；（2）求解导数为零的点，即临界点；（3）根据导数的增减性和临界点，判断函数的最值。
2.不等式法：不等式法常用于一次函数的最值求解。
根据函数的性质和不等式的性质，可以通过构建不等式求解函数的最值。
具体步骤如下：（1）根据函数的性质，构建不等式；（2）解不等式，得到函数的定义域；（3）根据定义域和函数的性质，求解函数的最值。
3.定义域法：定义域法常用于分段函数或有条件的函数的最值求解。
通过分析函数的定义域，可以确定函数的取值范围，并求解函数的最值。
具体步骤如下：（1）分析函数的定义域；（2）根据定义域和函数的性质，求解函数的最值。
4.二次函数最值求解：对于一元二次函数，可以通过求解顶点的方法来求解函数的最值。
具体步骤如下：（1）构建二次函数的标准式；（2）根据顶点公式，求解顶点坐标；（3）根据顶点坐标，确定函数的最值。
5.极值点法：对于一些特殊函数，可以通过求解函数的极值点来求解函数的最值。
具体步骤如下：（1）求函数的极值点；（2）根据极值点的性质，判断函数的最值。
以上是常见的函数最值类型及其求解方法。
在解决函数最值问题时，需要根据具体题目的要求和函数的性质选择合适的方法。
掌握这些方法，并通过大量的练习，可以提高函数最值问题的解答能力，从而在高考中取得更好的成绩。
求函数最值的方法
求函数最值的方法求函数最值是数学中常见的问题之一，它在实际问题中具有广泛的应用价值。
本文将介绍几种常见的方法来求解函数的最值，包括数学方法和计算机方法。
一、数学方法1. 导数法导数法是求解函数最值最常用的方法之一。
通过求函数的导数，可以求得函数的增减性和驻点，进而确定函数的最值点。
具体步骤如下：（1）求函数的导数；（2）求导函数的零点，即求得导数为零的点；（3）将这些零点代入原函数，求得函数的最值。
2. 极值点法极值点法是通过求函数的极值点来确定函数的最值。
具体步骤如下：（1）求函数的一阶导数和二阶导数；（2）求导函数的驻点，即求得导数为零的点；（3）求驻点的二阶导数值，判断驻点是极大值点还是极小值点；（4）将极值点代入原函数，求得函数的最值。
3. 区间法区间法是通过将函数的定义域分成若干个子区间，然后逐个求解函数在每个子区间内的最值，最后比较得出整个函数的最值。
具体步骤如下：（1）将函数的定义域分成若干个子区间；（2）求解函数在每个子区间内的最值；（3）比较各个子区间内的最值，得出整个函数的最值。
二、计算机方法1. 数值计算法数值计算法是利用计算机对函数进行离散化处理，通过计算函数在一定范围内的取值，找到其中的最大值或最小值。
具体步骤如下：（1）确定函数的取值范围和步长；（2）计算函数在每个点上的取值；（3）比较各个点的取值，找到最大值或最小值。
2. 迭代法迭代法是通过不断迭代逼近函数的最值。
具体步骤如下：（1）选择一个初始点；（2）根据函数的梯度方向，更新初始点的位置；（3）重复以上步骤，直到满足终止条件。
三、总结通过以上介绍，我们可以看出，求函数最值的方法有很多种，选择合适的方法取决于具体问题的性质和要求。
数学方法适用于一些简单的函数，计算机方法适用于复杂的函数或大规模的数据。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解函数的最值，以得到更准确的结果。
数学高考必备技巧如何快速解决函数题中的最值问题
数学高考必备技巧如何快速解决函数题中的最值问题在数学高考中，函数题是一个较为常见的题型。
而函数题中的最值问题，往往是考察学生在解析几何、导数、极限等内容应用能力的重要环节。
为了帮助同学们更好地解决函数题中的最值问题，下面将分享一些数学高考必备技巧。
一、确定函数的定义域在解决函数题中的最值问题时，首先要确定函数的定义域。
因为只有正确确定函数的定义域，才能保证在确定最值时不遗漏结果。
二、化简函数式子在求解函数的最值问题时，化简函数式子是一个常用的技巧。
通过对函数式子进行整理，可以简化计算过程，使问题更容易解答。
三、求函数的导数对函数求导是解决最值问题的常用方法之一。
通过求导，可以得到函数的单调性和极值点的信息，从而帮助我们找到最值点。
四、用导数判断最值点通过函数的导数，我们可以判断函数在某个区间上的单调性，从而确定最值点的大致位置。
当导数为正时，函数单调递增；当导数为负时，函数单调递减。
通过对导数符号的判断，可以排除一部分已知不是最值点的位置。
五、考虑函数在区间端点处的值在解决最值问题时，除了使用导数判断最值点外，还要考虑函数在自变量区间的端点处的取值情况。
通过比较函数在端点处的大小，可以确定最值点的具体位置。
六、用图像法辅助解题对于一些复杂的函数，可以通过画出函数图像的方式来帮助解题。
通过观察函数图像的走向和凹凸性质，可以更加直观地找到函数的最值点。
七、对称性的利用在解决函数最值问题时，有时候可以利用函数的对称性来简化计算。
如利用奇偶函数的性质，可以通过仅计算函数在定义域的一半上的取值情况，得到整个定义域的最值点。
八、注意边界条件在解决函数最值问题时，要特别注意边界条件，比如函数在某些点上无定义，或者在某些点上可能取到无穷大等情况。
这些边界条件的考虑对于正确求解最值问题非常重要。
九、化最值问题为优化问题在解决函数最值问题时，有时可以将最值问题转化为优化问题进行求解。
通过建立相应的优化模型，可以运用最优化理论进行求解。
高中函数最值问题的常见求解方法
高中数学函数最值问题的常见求解方法最值问题，几乎涉及到高中数学的各个分支，是历年高考重点考查的知识点之一，有一些基础题，也有一些小综合的中档题，更有一些以难题形式出现．它经常与三角函数、二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识紧密联系．所以其解法灵活，综合性强，能力要求高．解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法．考生的运算能力，分析问题和解决问题能力在这里充分展现．为帮助同学们探索这类型问题的解题规律，指导高考复习，本文将这类问题作一个简单归纳．一、 直接观察法例1：x y 323-+=二、 配方法例2：3422+-=x x y []3,0∈x变式：当01≤≤-x 时，求函数x x y 4322⋅-=+的最大值和最小值．三、 判别式法对于所求的最值问题，如果能将已知函数式经适当的代数变形转化为一元二次方程有无实根的问题，则常可利用判别式求得函数的最值．例3：12222+++-=x x x x y 变式：已知0124422=-++-x x xy y ，求y 的最值．四、 代换法例4：求函数x x y 21-+=的最值．例5：求21x x y -+=的最值五、 函数有界法对于R x ∈，总有1|sin |≤x ，1|cos |≤x例6：求函数x x y 2cos 22sin -=的最值． 变式：求122+=x x y 的最值 六、 均值不等式法例7：求12++=x x y 的最值。
变式：若正数a,b 满足a 1+21=b，求a+b 的最小值。
注意：均值不等式应用时，要注意等号成立的条件(一正二定三相等)，当条件不满足时要灵活运用拆项、凑项、凑系数、平方等技巧凑配系数，适当时可以用待定系数法来求．七、 单调性法 例8 求11-++=x x y 的最值八、 平方开方法例9：求x x y -++=11的最值．九、 数形结合法例10：若()()12222=---y x ，求22y x +的最值． 十．分离常数法例11.求11-+=x x y 的最值 十一、导数法例12：求函数3)(23+-+=x x x x f 在]3,3[-上的最值注意：要求三次及三次以上的函数的最值，以及利用其他方法很难求的函数的最值，通常都用该方法，导数法往往就是最简便的方法，应该引起足够重视． 十二、线性规划十三、反函数见例11友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编辑，期待您的好评与关注！。
求函数最值的10种方法
求函数最值的10种方法函数的最值是指函数在定义域内，取得的最大值和最小值。
确定函数的最值对于问题的解决非常重要，因此有很多方法可以找到函数的最值。
下面我将介绍十种常见的方法来求解函数的最值。
1. 图像法（Grpahical Method）：这是最常见的方法之一，通过绘制函数的图像来确定函数的最值。
找到函数的最高点和最低点，并确定定义域的范围以确定最值。
2. 导数法（Derivative Method）：使用导数的概念，通过求解函数的导数来确定函数的最值。
找到导数为零的点，并判断其是否为极值点，进而确定函数的最值。
注意，导数为零的点并不一定是函数的最值点，还需要判断其是极大值还是极小值。
3. 欧拉公式法（Euler’s Formula Method）：对于一些特殊的函数形式，如指数函数和三角函数，可以使用欧拉公式来求解函数的最值。
欧拉公式的核心思想是将函数用指数函数和三角函数的形式来表示，然后利用指数函数和三角函数的性质来确定最值。
4. 一阶必要条件法（First-order Necessary Condition Method）：根据一阶必要条件，如果函数在特定点是极值点，那么该点的导数必须为零。
通过求解函数的导数，找到导数为零的点，并判断是否为函数的最值点。
5. 二阶必要条件法（Second-order Necessary Condition Method）：根据二阶必要条件，如果函数在特定点是极值点，那么该点的导数必须为零，且二阶导数必须存在且不为零。
通过求解函数的导数和二阶导数，找到导数为零的点，然后判断其二阶导数的符号来确定函数的最值。
6. 拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier Method）：用于求解带有约束条件的优化问题，可以将函数与约束条件一起构建为一个拉格朗日函数，然后通过求解拉格朗日函数的最值来确定函数的最值。
7. 线性规划法（Linear Programming Method）：适用于求解线性约束下的函数最值问题。
函数最值的求解方法及应用
函数最值的求解方法及应用函数最值问题是数学中常见且重要的问题。
函数的最值包括最大值和最小值，通常涉及函数的图像及其性质。
本文将介绍几种常见的函数最值的求解方法，并通过实例说明其应用。
一、函数最值的求解方法1.导数法导数法是求函数最值的常用方法。
对于定义在闭区间[a,b]上的函数f(x)，其最值一定发生在函数的驻点或者区间的端点处。
-首先，求出f(x)的导数f'(x)。
-然后，求出f'(x)=0的解，即找到函数的驻点。
-最后，比较函数在驻点及端点处的取值，找到最大值和最小值。
2.二次函数的最值对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），可以通过求导数的方法得到它的最值。
- 首先，求出f'(x)=2ax+b=0的解，即找到函数的驻点。
-如果a>0，则驻点为极小值点，此时f(x)的最小值为f(驻点)。
-如果a<0，则驻点为极大值点，此时f(x)的最大值为f(驻点)。
3.梯度下降法梯度下降法是一种可用于求解无约束最优化问题的迭代算法。
它的基本思想是通过迭代的方式逐步接近函数的最值。
-首先，选择任意一个起始点x_0。
-然后，根据函数的梯度(即导数的向量)，沿着梯度的反方向更新参数x。
-重复上述步骤，直到满足停止条件为止。
二、函数最值的应用1.经济学中的应用函数最值在经济学中有重要的应用。
例如，生产函数描述了产出与生产要素之间的关系，通过求函数最值可以确定生产要素的最佳配置方案，实现最大化的产出。
供求函数描述了市场上商品的供给和需求关系，通过求函数最值可以确定市场的平衡价格和数量。
2.优化问题的求解优化问题是数学中的一个重要分支，涉及到在一定约束条件下求解一些目标函数的最值。
例如，在资源有限的情况下，如何合理分配资源以最大化利润或最小化成本是一个常见的优化问题。
3.最大似然估计最大似然估计是概率统计中的一种参数估计方法，通过求解似然函数的最值来选择模型的参数。
似然函数描述了给定参数下观测数据出现的可能性，通过求似然函数的最大值可以得到最优的参数估计值。
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高中数学解题方法系列：函数求最值问题的7种方法
最值问题遍及代数、三角、立体几何及解析几何各科之中，在生产实践中也有广泛的应用。
最值问题长期是各类考试的热点，求函数最值常用方法有：
一、配方法
配方法是求二次函数最值或可转化为二次函数的函数最值的基本方法，形如
])()([)(2c x bf x f a x F ++=的函数最值问题，均可使用配方法。
例1、 已知]3,1[,log 2)(3∈+=x x f x
，求函数)()]([2
2x f x f y +=最值。
解
：
由
]
3,1[,log 2)(3∈+=x x f x
， 得
22
2
2
2
2
log 2)log 2()()]([x x x f x f y +++=+=
3)3(log 6log 6)(log 23323-+=++=x
x x 。
又函数f(x)定义域[1,3]，所以函数
)()]([22x f x f y +=定义域为{
3
1312≤≤≤≤x x ，解得31≤≤x ，所以]2
1,0[log 3∈x。
由二次
函数单调性得，4376≤
≤y ，所求函数最大值为374
，最小值为6。
评注:利用二次函数的性质求最值要注意到自变量的取值范围，和对称轴与区间的
相对位置关系。
二、判别式法
主要适用于可化为关于x 的二次方程的函数,把函数转化成关于x 的一元二次方程，通过方程F(x,y)=0有实根，判别式0≥∆，当x 的范围是R 时,仅考虑即可,当X 的范
围非R 时,还需要结合图形另解不等式。
特别的，形如2
22
21
121c x b x a c x b x a y ++++=22,(a a 不同是为0）分子、分母无公因式的函数最值常用此法。
例2、 求下列函数最值
（1）4
32+=x x
y ；（2）3274222++-+=x x x x y 。
解；（1）由4
32
+=
x x y ，得 0432
=+-y x yx 。
当y=0时, x=0; 当0≠y 时,由0≥∆ 得4343≤≤-
y , 故原函数最小值为3
4
-，最大
值为
34。
（2）将已知函数式变形为742322
2
-+=++x x y yx yx ,
即073)2(2)2(2
=++-+-y x y x y ，显然2≠y ，将上式视做关于x 的一元二次方程。
R x ∈Θ,即上述关于x 的一元二次方程有实根，所以
0)73)(2(4)]2(2[2≥+---y y y ，
解得229≤≤-
y 。
又2≠y ，函数最小值为92
-。
评注:若在解的过程中经过变形,从而扩大了的取值范围,利用判别式求出的范围后，
应综合函数的定义域,将扩大部分剔除。
三、换元法
主要有三角换元和代数换元换两种。
用换元法时,要特别关注中间变量的取值范围。
特别的，形如d c b a d cx b ax y ,,,(+++=均为常数，且0≠a ）的函数常用此法求解。
例3、 求函数122+-+
=x x y 最小值。
解：令)0(21≥-=t x t ，则212t x -=，则 4
545)21(122≥+--=++-=t t t y ，
所以，所求函数最小值为
5
4。
注：（1）换元前后的等价性。
题中021≥-=t x t ，而不是看解析式有意义的t 取值范围；
（2）换元后可操作性。
例4 、 求函数23424
1212x x x x y x x +-++=++的最大值和最小值。
解:2432424121212x x x x y x x x x -++=+++++2
222
111x x x x
⎛⎫-=+ ⎪++⎝⎭，令x=tan 2θ
，则 f(x)=f(θ)=21cos sin 2θθ+21sin sin 12θθ=-++2
117sin 416θ⎛
⎫=--+ ⎪⎝⎭
，
∴
当sinθ=
14时,()f x 最大值为1716，当sin=-1时,()f x 最小值为12
-。
四、数形结合法
主要适用于具有几何意义的函数,通过函数的图象求最值。
例5、 已知x 2
+y 2
-2x+4y-20=0求x 2
+y 2
的最值。
分析:本题已知条件转化为(x-1)2
+(y+2)2
=25,可用三角代换转化为三角函数最值问
题处理,也可借助几何图形数形结合处理。
解: 作x 2
+y 2
-2x+4y-20=0的图形,它是圆心在P(1,-2)半径为5的圆,依题意有x 2
+y 2
=2x-4y+20,设x 2
+y 2
=z,则z=2x-4y+20即12024z y -=
+
,其图形是斜率为1
2
且与已知圆相交的一簇平行线,于是求z 的最值问题就是求这簇平行线中在y 轴的截距最大或最小
问题。
由平面几何知识知,圆心P(1,-2)到切线2x-4y+20-z=0的距离小于或等于半径,即
22
52(4)
≤+-，即|30|105z -≤，故3010530105z -≤≤+，故
x 2
+y 2
最小值为130105z =-230105z =+。
五、函数的单调性法
（1）关于自变量x 的一次根式，如c dx b ax y +++=，用换元法求解,当ad>0时，也可利用单调性求最值；；（2）形如)0(>+
=k x
k
x y 的函数常考虑利用单调性，当x>0时，函数单调减区间],0(k ，单调增区间为),[+∞k ，因其函数图象形如“√”，故称为对号函数，其分界点为)2,(k k 。
对于x<0情况，可依据函数奇偶性解决；（3）复合函数的最值，常用此法求解。
例6、求函数x
x x y 21
22+
+=
,),1[+∞∈x 的最小值。
解：由22121
22++=+
+=x
x x
x x y 在),1[+∞上是增函数，得f(x)在),1[+∞上最小
值为2
7)1(=
f 。
例8、求函数12+-+
-=x x y 的最小值
解：设x y x y 21,21-=-=，21,y y Θ 均为减函数，所以y 也是减函数。
又
12+-+-=x x y 定义域为021≥-x ，即21-
≤x 。
当21=x 时，2
1
min -=y ，故原函数最小值为1
2
-。
例7、求函数4
9231-
+-⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=x x y 的最小值。
解：设492-+-=x x u ，则u
y ⎪⎭⎫
⎝⎛=31。
由2)21(4922---=-+-=x x x u ，知 当
21≥
x 时，u 为减函数；当21<x 时,u 为增函数，而u
y ⎪⎭
⎫
⎝⎛=31为减函数，故4
9
231-
+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y 在21≥
x 时为增函数，在21<x 时为减函数，所以2
1
=x 时，原函数最小值为9312
min
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-y 。
六、不等式法运用不等式法求最值必须关注三个条件即”一正、二定、三相等”．
例8、求函数211
ax x y x ++=+(x>-1 ，a>0)的最小值。
解:211ax x y x ++=+=(1)1a ax a x ++-+(1)121
a
a x a x =+++-+
2(1)1211a a x a x ≥+⋅
+-=+，当(1)1
a
a x x +=+,即x=0时等号成立,=1。
七、导数法
设函数f(x)在[a,b]上连续在(a,b)上可导,则f(x)在[a,b]上的最大值和最小值应
为f(x)在(a,b)内的各极值与f(a),f(b)中的最大值和最小值。
例9、 动点P(x,y)是抛物线y=x 2
-2x-1上的点,O 为原点,当x=2时，2OP 取
得极小值,求2OP 的最小值。
解:2OP =x 2
+y 2
=x 2
+( x 2
-2x-1)2
=x 4
-4x 3
+3x 2
+4x+1，令f(x)= x 4
-4x 3
+3x 2
+4x+1,
则()f x '=4x 3-12x 2
13+13
-,
令()f x '=0,得x=2,
132+,13
2
因定义域为R,故所求最小值为两个极小值中较小的一个，
f(2)=5,故f(x)的最小值，即2OP 。