因式分解专题复习及讲解很详细
专题04 因式分解篇(解析版)
专题04 因式分解考点一：因式分解1. 因式分解的概念：把一个多项式写成几个整式的乘法的形式，这种变形叫做因式分解。
2. 因式分解的方法：①提公因式法：()cbamcmbmam++=++公因式的确定：公因式＝各项系数的最小公倍数×相同字母（式子）的最低次幂。
若多项式首项是负的，则公因式为负。
用各项除以公因式得到另一个式子。
②公式法：平方差公式：()()bababa-+=-22。
完全平方公式：()2222bababa±=+±③十字相乘法：利用十字交叉线将二次三项式进行因式分解的方法叫做十字相乘法。
对于一个二次三项式cbxax++2，若满足21aaa⋅=，21ccc⋅=，且bcaca=+1221，那么二次三项式cbxax++2可以分解为：()()22112cxacxacbxax++=++。
当1=a时，二次三项式是cbxx++2，此时只需21ccc⋅=，且bcc=+21，则cbxx++2可分解为：()()212cxcxcbxx++=++。
④分组分解法：对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解--分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式。
（分组分解法一般针对四项及以上的多项式）3. 因式分解的具体步骤：（1）先观察多项式是否有公因式，若有，则提取公因式。
（2）观察多项式的项数，两项，则考虑平方差公式；三项则考虑完全平方式与十字相乘法。
四项及以上则考虑分组分解。
（3）检查因式分解是否分解完全。
必须分解到不能分解位置。
再无特比说明的情况下，任何因式分解的题目都必须在有理数范围内进行分解。
1．（2022•济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1B．x2﹣1＝（x﹣1）2C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）D．x（x﹣1）＝x2﹣x【分析】根据因式分解的定义判断即可．【解答】解：A选项不是因式分解，故不符合题意；B选项计算错误，故不符合题意；C选项是因式分解，故符合题意；D选项不是因式分解，故不符合题意；故选：C．2．（2022•永州）下列因式分解正确的是（ ）A．ax+ay＝a（x+y）+1B．3a+3b＝3（a+b）C．a2+4a+4＝（a+4）2D．a2+b＝a（a+b）【分析】根据因式分解的定义和因式分解常用的两种方法：提公因式法和公式法判断即可．【解答】解：A选项，ax+ay＝a（x+y），故该选项不符合题意；B选项，3a+3b＝3（a+b），故该选项符合题意；C选项，a2+4a+4＝（a+2）2，故该选项不符合题意；D选项，a2与b没有公因式，故该选项不符合题意；故选：B．3．（2022•湘西州）因式分解：m2+3m＝ ．【分析】直接利用提取公因式法分解因式即可．【解答】解：原式＝m（m+3）．故答案为：m（m+3）．4．（2022•广州）分解因式：3a2﹣21ab＝ ．【分析】直接提取公因式3a，进而分解因式得出答案．【解答】解：3a2﹣21ab＝3a（a﹣7b）．故答案为：3a（a﹣7b）．5．（2022•常州）分解因式：x2y+xy2＝ ．【分析】直接提取公因式xy，进而分解因式得出答案．【解答】解：x2y+xy2＝xy（x+y）．故答案为：xy（x+y）．6．（2022•柳州）把多项式a2+2a分解因式得（ ）A．a（a+2）B．a（a﹣2）C．（a+2）2D．（a+2）（a﹣2）【分析】直接提取公因式a，进而分解因式得出答案．【解答】解：a2+2a＝a（a+2）．故选：A．7．（2022•菏泽）分解因式：x2﹣9y2＝ ．【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：原式＝（x﹣3y）（x+3y）．故答案为：（x﹣3y）（x+3y）．8．（2022•烟台）把x2﹣4因式分解为 ．【分析】利用平方差公式，进行分解即可解答．【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），故答案为：（x+2）（x﹣2）．9．（2022•绥化）因式分解：（m+n）2﹣6（m+n）+9＝ ．【分析】将m+n看作整体，利用完全平方公式即可得出答案．【解答】解：原式＝（m+n）2﹣2•（m+n）•3+32＝（m+n﹣3）2．故答案为：（m+n﹣3）2．10．（2022•苏州）已知x+y＝4，x﹣y＝6，则x2﹣y2＝ ．【分析】直接利用平方差公式将原式变形，代入得出答案．【解答】解：∵x+y＝4，x﹣y＝6，∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝4×6＝24．故答案为：24．11．（2022•衡阳）因式分解：x2+2x+1＝ ．【分析】本题运用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：x2+2x+1＝（x+1）2，故答案为：（x+1）2．12．（2022•济南）因式分解：a2+4a+4＝ ．【分析】利用完全平方公式进行分解即可．【解答】解：原式＝（a+2）2，故答案为：（a+2）2．13．（2022•宁波）分解因式：x2﹣2x+1＝ ．【分析】直接利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：x2﹣2x+1＝（x﹣1）2．14．（2022•河池）多项式x2﹣4x+4因式分解的结果是（ ）A．x（x﹣4）+4B．（x+2）（x﹣2）C．（x+2）2D．（x﹣2）2【分析】原式利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝（x﹣2）2．故选：D．15．（2022•荆门）对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，则下列关系式正确的是（ ）A．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）B．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2）C．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2）D．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2）【分析】把所给公式中的b换成﹣b，进行计算即可解答．【解答】解：∵a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2），∴a3﹣b3＝a3+（﹣b3）＝a3+（﹣b）3＝[a+（﹣b）][（a2﹣a•（﹣b）+（﹣b）2]＝（a﹣b）（a2+ab+b2）故选：A．16．（2022•绵阳）因式分解：3x3﹣12xy2＝ ．【分析】先提取公因式，再套用平方差公式．【解答】解：原式＝3x（x2﹣4y2）＝3x（x+2y）（x﹣2y）．故答案为：3x（x+2y）（x﹣2y）．17．（2022•丹东）因式分解：2a2+4a+2＝ ．【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝2（a2+2a+1）＝2（a+1）2．故答案为：2（a+1）2．18．（2022•辽宁）分解因式：3x2y﹣3y＝ ．【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．【解答】解：3x2y﹣3y＝3y（x2﹣1）＝3y（x+1）（x﹣1），故答案为：3y（x+1）（x﹣1）．19．（2022•恩施州）因式分解：a3﹣6a2+9a＝ ．【分析】先提公因式a，再利用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：原式＝a（a2﹣6a+9）＝a（a﹣3）2，故答案为：a（a﹣3）2．20．（2022•黔东南州）分解因式：2022x2﹣4044x+2022＝ ．【分析】原式提取公因式2022，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝2022（x2﹣2x+1）＝2022（x﹣1）2．故答案为：2022（x﹣1）2．21．（2022•常德）分解因式：x3﹣9xy2＝ ．【分析】利用提公因式法和平方差公式进行分解，即可得出答案．【解答】解：x3﹣9xy2＝x（x2﹣9y2）＝x（x+3y）（x﹣3y），故答案为：x（x+3y）（x﹣3y）．22．（2022•怀化）因式分解：x2﹣x4＝ ．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝x2（1﹣x2）＝x2（1+x）（1﹣x）．故答案为：x2（1+x）（1﹣x）．23．（2022•台湾）多项式39x2+5x﹣14可因式分解成（3x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+2c之值为何？（ ）A．﹣12B．﹣3C．3D．12【分析】根据十字相乘法可以将多项式39x2+5x﹣14分解因式，然后再根据多项式39x2+5x﹣14可因式分解成（3x+a）（bx+c），即可得到a、b、c的值，然后计算出a+2c的值即可．【解答】解：∵39x2+5x﹣14＝（3x+2）（13x﹣7），多项式39x2+5x﹣14可因式分解成（3x+a）（bx+c），∴a＝2，b＝13，c＝﹣7，∴a+2c＝2+2×（﹣7）＝2+（﹣14）＝﹣12，故选：A．24．（2022•内江）分解因式：a4﹣3a2﹣4＝ ．【分析】先利用十字相乘法因式分解，再利用平方差公式进行因式分解．【解答】解：a4﹣3a2﹣4＝（a2+1）（a2﹣4）＝（a2+1）（a+2）（a﹣2），故答案为：（a2+1）（a+2）（a﹣2）．25．（2022•广安）已知a+b＝1，则代数式a2﹣b2+2b+9的值为 ．【分析】方法一：直接将a2﹣b2进行因式分解为（a+b）（a﹣b），再根据a+b＝1，可得a2﹣b2＝a﹣b，由此可得原式＝a+b+9＝10．方法二：将原式分为三部分，即a2﹣（b2﹣2b+1）+10，把前两部分利用平方差进行因式分解，其中得到一因式a+b﹣1＝0．从而得出原式的值．【解答】方法一：解：∵a2﹣b2+2b+9＝（a+b）（a﹣b）+2b+9又∵a+b＝1，∴原式＝a﹣b+2b+9＝a+b+9＝10．方法二：解：∵a2﹣b2+2b+9＝a2﹣（b2﹣2b+1）+10＝a2﹣（b﹣1）2+10＝（a﹣b+1）（a+b﹣1）+10．又∵a+b＝1，∴原式＝10．26．（2022•黔西南州）已知ab＝2，a+b＝3，求a2b+ab2的值是 ．【分析】将a2b+ab2因式分解，然后代入已知条件即可求值．【解答】解：a2b+ab2＝ab（a+b），∵ab＝2，a+b＝3，∴原式＝2×3＝6．故答案为：6．。
八年级数学因式分解专题
八年级数学因式分解专题一、提公因式法1. 分解因式：6x^2 3x解析：公因式为3x，原式= 3x(2x 1)2. 分解因式：8a^3b^2 + 12ab^3c解析：公因式为4ab^2，原式= 4ab^2(2a^2 + 3bc)3. 分解因式：3(x y)^2 6(y x)解析：将(y x)变形为-(x y)，公因式为3(x y)，原式= 3(x y)(x y + 2)二、公式法4. 分解因式：x^2 4解析：使用平方差公式 a² b² = (a + b)(a b)，原式=(x + 2)(x 2) 5. 分解因式：9 y^2解析：原式=(3 + y)(3 y)6. 分解因式：4x^2 12x + 9解析：使用完全平方公式 (a b)² = a² 2ab + b²，原式=(2x 3)^2 三、分组分解法解析：原式=(am + an) + (bm + bn) = a(m + n) + b(m + n) = (m + n)(a + b) 8. 分解因式：x^2 y^2 + ax + ay解析：原式=(x + y)(x y) + a(x + y) = (x + y)(x y + a)9. 分解因式：2ax 10ay + 5by bx解析：原式=(2ax bx) + (-10ay + 5by) = x(2a b) 5y(2a b) = (2a b)(x 5y)四、十字相乘法10. 分解因式：x^2 + 3x + 2解析：1×2 = 2，1 + 2 = 3，原式=(x + 1)(x + 2)11. 分解因式：x^2 5x + 6解析：(-2)×(-3) = 6，-2 + (-3) = -5，原式=(x 2)(x 3)12. 分解因式：2x^2 5x 3解析：2×(-1) = -2，2×3 = 6，6 + (-1) = 5，原式=(2x + 1)(x 3)五、综合运用13. 分解因式：3x^3 12x^2 + 12x解析：公因式为3x，原式= 3x(x^2 4x + 4) = 3x(x 2)^2解析：将4(x + y 1)变形为4[(x + y) 1]，原式=(x + y)^2 4(x + y) + 4 = (x + y 2)^215. 分解因式：(a^2 + 1)^2 4a^2解析：使用平方差公式，原式=(a^2 + 1 + 2a)(a^2 + 1 2a) = (a + 1)^2(a 1)^216. 分解因式：x^4 18x^2 + 81解析：原式=(x^2 9)^2 = [(x + 3)(x 3)]^2 = (x + 3)^2(x 3)^217. 分解因式：a^4 2a^2b^2 + b^4解析：原式=(a^2 b^2)^2 = [(a + b)(a b)]^2 = (a + b)^2(a b)^218. 分解因式：(x^2 + 4)^2 16x^2解析：使用平方差公式，原式=(x^2 + 4 + 4x)(x^2 + 4 4x) = (x + 2)^2(x 2)^219. 分解因式：x^2 4xy + 4y^2 9解析：前三项使用完全平方公式，原式=(x 2y)^2 9 = (x 2y + 3)(x 2y 3)20. 分解因式：4x^2 4xy + y^2 z^2解析：前三项使用完全平方公式，原式=(2x y)^2 z^2 = (2x y + z)(2x y z)。
专题07因式分解(4个知识点13种题型)(解析版)
专题07因式分解（4个知识点13种题型）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.提公因式法因式分解知识点2.公式法因式分解知识点3.十字相乘法法因式分解知识点4.分组分解法法因式分解【方法二】实例探索法题型1.因式分解的概念题型2.用提公因式法分解因式（公因式为单项式）题型3.用提公因式法分解因式（公因式为多项式）题型4.用提公因式法分解因式的简单应用题型5.利用平方差公式分解因式题型6.综合利用提公因式法与平方差公式分解因式题型7.完全平方式题型8.利用完全平方公式分解因式题型9.综合利用提公因式法与完全平方公式分解因式题型10.十字相乘法题型11.十字相乘法的灵活应用题型12.利用分组分解法分解因式题型13.分组分解法的灵活应用【方法三】成果评定法【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.提公因式法因式分解一．因式分解的意义1、分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．二．公因式1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．三．因式分解-提公因式法1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．2、具体方法：（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．4、提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．知识点2.公式法因式分解1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．平方差公式：a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）；完全平方公式：a 2±2ab +b 2＝（a ±b ）2；2、概括整合：①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．知识点4.十字相乘法法因式分解十字相乘法：如果二次三项式2x px q ++中的常数项q 能分解成两个因式a 、b 的积，而且一次项系数p 又恰好是a b +，那么2x px q ++就可以进行如下的分解因式，即：()()()22x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++要将二次三项式2x px q ++分解因式，就需要找到两个数a 、b ，使它们的积等于常数项q ，和等于一次项系数p ,满足这两个条件便可以进行如下分解因式，即：22()()()x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++．由于把2x px q ++中的q 分解成两个因数有多种情况，怎样才能找到两个合适的数，通常要经过多次的尝试才能确定采用哪种情况来进行分解因式．知识点5.分组分解法法因式分解如何将多项式am an bm bn +++因式分解？分析：很显然，多项式am an bm bn +++中既没有公因式，也不好用公式法．怎么办呢？由于()am an a m n +=+,()bm bn b m n +=+而：()()()()a m n b m n m n a b +++=++．这样就有：()()()()()()am an bm bn am an bm bn a m n b m n m n a b +++=+++=+++=++将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法．说明：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．【方法二】实例探索法题型1.因式分解的概念1．（2022秋•闵行区校级期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（）A．a（a+b）＝a2+ab B．a2+2a+1＝a（a+2）+1C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b）【分析】把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式．据此作答即可．【解答】解：A．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意；B．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意；C．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意；D．符合定义，故选项正确，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了因式分解，解题的关键是理解因式分解的定义．2．（2022秋•浦东新区校级期末）下列等式从左到右是因式分解，且结果正确的是（）A．a2+8a+16＝（a+4）2B．（a+4）2＝a2+8a+16C．a2+8a+16＝a（a+8）+16D．a2+8（a+2）＝a2+8a+16【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【解答】解：A．等式由左边到右边的变形属于因式分解，并且正确，故本选符合题意；B．等式由左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；C．等式由左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；D．等式由左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．题型2.用提公因式法分解因式（公因式为单项式）3．（2022秋•嘉定区期中）多项式6x3y2﹣3x2y2+12x2y3的公因式是．【分析】直接利用公因式的确定方法：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂，进而得出答案．【解答】解：多项式6x3y2﹣3x2y2+12x2y3的公因式是3x2y2．故答案为：3x2y2．【点评】此题主要考查了公因式，正确把握确定公因式的方法是解题的关键．4．（2022秋•嘉定区期中）分解因式：3x3﹣9x2﹣3x＝．【分析】提取公因式后即可因式分解．【解答】解：3x3﹣9x2﹣3x＝3x（x2﹣3x﹣1），故答案为：3x（x2﹣3x﹣1）．【点评】本题考查因式分解，熟练掌握提取公因式法因式分解的方法是解题的关键．5．（2022秋•宝山区校级期末）分解因式：4x2y﹣12xy＝．【分析】直接提取公因式4xy进行分解因式即可．【解答】解：4x2y﹣12xy＝4xy（x﹣3），故答案为：4xy（x﹣3）．【点评】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．6．（2022秋•嘉定区校级期中）因式分解：﹣15a﹣10ab+5abc＝．【分析】直接提取公因式﹣5a，进而分解因式即可．【解答】解：原式＝﹣5a（3+2b﹣bc）．故答案为：﹣5a（3+2b﹣bc）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．题型3.用提公因式法分解因式（公因式为多项式）7．（2022秋•徐汇区期末）分解因式：（x﹣5）（3x﹣2）﹣3（x﹣5）＝．【分析】将原式的公因式（x﹣5）提出即可得出答案．【解答】解：（x﹣5）（3x﹣2）﹣3（x﹣5）＝（x﹣5）（3x﹣2﹣3）＝（x﹣5）（3x﹣5）．故答案为：（x﹣5）（3x﹣5）．【点评】本题考查因式分解﹣提公因式法，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式．8．（2022秋•宝山区校级期中）分解因式：a（a﹣b）+b（b﹣a）＝．【分析】首先把式子变形为：a（a﹣b）﹣b（a﹣b），再找出多项式的公因式，然后提取公因式法因式分解即可．【解答】解：a（a﹣b）+b（b﹣a）＝a（a﹣b）﹣b（a﹣b）＝（a﹣b）（a﹣b）＝（a﹣b）2．故答案为：（a﹣b）2．【点评】此题主要考查了提取公因式法因式分解，根据题意找出公因式是解决问题的关键．9．（2022秋•浦东新区校级期中）2m（a﹣c）﹣5（a﹣c）．【分析】直接提取公因式a﹣c即可．【解答】解：原式＝（a﹣c）（2m﹣5）．【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确找到公因式．10．（2022秋•嘉定区期中）因式分解：6（x+y）2﹣2（x+y）（x﹣y）【分析】直接提取公因式进而分解因式得出答案．【解答】解：6（x+y）2﹣2（x+y）（x﹣y）＝2（x+y）[3（x+y）﹣（x﹣y）]＝2（x+y）（2x+4y）＝4（x+y）（x+2y）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确掌握公因式是解题关键．11．（2022秋•杨浦区期中）分解因式：a2（a+2b）﹣ab（﹣4b﹣2a）．【分析】原式变形可得a2（a+2b）+2ab（a+2b），再提公因式a（a+2b）因式分解即可．【解答】解：a2（a+2b）﹣ab（﹣4b﹣2a）＝a2（a+2b）+2ab（a+2b）＝a（a+2b）（a+2b）＝a（a+2b）2．【点评】本题考查了提公因式法因式分解，正确找出公因式是解答本题的关键．题型4.用提公因式法分解因式的简单应用12．（2022秋•嘉定区期中）当a＝3，b＝时，代数式﹣a2+4ab的值为．【分析】将原式变形为﹣a（a﹣4b），把a与b的值分别代入计算即可得到结果．【解答】解：当a＝3，b＝时，﹣a2+4ab＝﹣a（a﹣4b）＝﹣3×（3﹣4×）＝﹣3×2＝﹣6．故答案为：﹣6．【点评】此题考查了代数式求值和因式分解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．题型5.利用平方差公式分解因式13．（2022秋•徐汇区期末）分解因式：x2﹣＝．【分析】运用平方差公式分解因式的式子特点：两项平方项，符号相反．直接运用平方差公式分解即可．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．【解答】解：x2﹣＝（x+）（x﹣）．故答案为：（x+）（x﹣）．【点评】本题考查因式分解．当被分解的式子只有两项平方项；符号相反，且没有公因式时，应首要考虑用平方差公式进行分解．14．（2022秋•嘉定区校级期中）因式分解：x4﹣16＝．【分析】利用平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），进行两次分解．【解答】解：x4﹣16＝（x2+4）（x2﹣4）＝（x2+4）（x+2）（x﹣2）．故答案为：（x2+4）（x+2）（x﹣2）．【点评】此题主要考查了用公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．15．（2022秋•黄浦区期中）分解因式：﹣（a+b）2+1＝．【分析】直接利用平方差公式分解因式，进而得出答案．【解答】解：原式＝[1﹣（a+b）][1+（a+b）]＝（1﹣a﹣b）（1+a+b）．故答案为：（1﹣a﹣b）（1+a+b）．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．16．（2022•黄浦区校级二模）分解因式：x2﹣4y2＝．【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）．故答案为：（x+2y）（x﹣2y）．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．17．（2022秋•上海期末）分解因式：9a2﹣25（a+b）2．【分析】根据平方差公式因式分解即可．【解答】解：9a2﹣25（a+b）2＝[3a﹣5（a+b）][3a+5（a+b）]＝（﹣2a﹣5b）（8a+5b）＝﹣（2a+5b）（8a+5b）．【点评】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．18．（2022秋•黄浦区期中）分解因式：25（m+n）2﹣9（m﹣n）2．【分析】直接利用平方差公式分解因式．【解答】解：25（m+n）2﹣9（m﹣n）2＝[5（m+n）﹣3（m﹣n）][5（m+n）+3（m﹣n）]＝（2m+8n）（8m+2n）＝4（m+4n）（4m+n）．【点评】本题考查了因式分解﹣公式法：掌握a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）是解题的关键．题型6.综合利用提公因式法与平方差公式分解因式19．（2022秋•浦东新区校级期末）分解因式：4x2﹣16＝．【分析】先提取公因式4，再对剩余项x2﹣4利用平方差公式继续进行因式分解．【解答】解：4x2﹣16，＝4（x2﹣4），＝4（x+2）（x﹣2）．故答案为：4（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式继续进行二次因式分解，分解因式一定要彻底．20．（2022秋•青浦区校级期中）因式分解：3a（a+b）2﹣27ab2．【分析】先提取公因式，再套用平方差公式．【解答】解：原式＝3a[（a+b）2﹣9b2]＝3a（a+b+3b）（a+b﹣3b）＝3a（a+4b）（a﹣2b）．【点评】本题主要考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．题型7.完全平方式21．（2022秋•青浦区校级期中）下列多项式中可以用完全平方公式进行因式分解的（）A．x2+x+1B．x2﹣2x﹣1C．x2+2x+4D．x2﹣x+【分析】根据完全平方公式的结构特征逐项进行判断即可．【解答】解：A．x2+x+1，不能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项A不符合题意；B．x2﹣2x﹣1，不能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项B不符合题意；C．x2+2x+4，不能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项C不符合题意；D．x2﹣x+＝（x﹣）2，能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，掌握完全平方公式的结构特征是正确判断的前提．题型8.利用完全平方公式分解因式22．（2022秋•黄浦区期中）因式分解：（x2﹣4x）2+8（x2﹣4x）+16．【分析】直接利用完全平方公式分解因式，进而得出答案．【解答】解：原式＝（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用完全平方公式是解题的关键．23．（2022秋•长宁区校级期中）（m+n）2+6（m2﹣n2）+9（m﹣n）2．【分析】首先利用平方差公式分解m2﹣n2，观察发现此题代数式符合完全平方公式，再利用完全平方公式进行分解即可．【解答】解：原式＝（m+n）2+6（m﹣n）（m+n）+9（m﹣n）2，＝[（m+n）+3（m﹣n）]2，＝（4m﹣2n）2，＝4（2m﹣n）2．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2．24．（2022秋•长宁区校级期中）分解因式：m（m﹣4）+4．【分析】先运用单项式乘以多项式法则将括号展开，再利用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：m（m﹣4）+4＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2．【点评】本题主要考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式（a2±2ab+b2＝（a±b）2）是解答本题的关键．题型9.综合利用提公因式法与完全平方公式分解因式25．（2022秋•长宁区校级期中）因式分解：＝．【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：原式＝（m2﹣4m+4）＝（m﹣2）2．故答案为：（m﹣2）2．【点评】本题考查的是多项式的因式分解，掌握“利用完全平方公式分解因式”是解本题的关键．26．（2022秋•长宁区校级期中）分解因式：﹣6x2y﹣3x3﹣3xy2．【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式．【解答】解：﹣6x2y﹣3x3﹣3xy2＝﹣3x（x2+2xy+y2）＝﹣3x（x+y）2．【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键．27．（2022秋•青浦区校级期中）因式分解：3a2+12ab+12b2．【分析】先提取公因式，再套用完全平方公式．【解答】解：3a2+12ab+12b2＝3（a2+4ab+4b2）＝3（a+2b）2．【点评】本题主要考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．题型10.十字相乘法28．（2022秋•青浦区校级期末）因式分解：2x2﹣6x﹣8＝．【分析】原式先提取公因数2，再利用十字相乘法求出解即可．【解答】解：原式＝2（x2﹣3x﹣4）＝2（x﹣4）（x+1），故答案为：2（x﹣4）（x+1）．【点评】本题考查了因式分解—十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解题的关键．29．（2022秋•虹口区校级期中）分解因式：x2﹣7xy﹣18y2＝．【分析】由十字相乘法进行分解因式即可．【解答】解：x2﹣7xy﹣18y2＝（x﹣9y）（x+2y）．故答案是：（x﹣9y）（x+2y）．【点评】本题考查因式分解，熟练掌握十字相乘法分解因式是解题的关键．30．（2022秋•宝山区期末）分解因式：2x2+6xy+4y2．【分析】先提公因式，再用十字相乘法因式分解即可．【解答】解：2x2+6xy+4y2＝2（x2+3xy+2y2）＝2（x+2y）（x+y）．【点评】本题考查了提公因式法与十字相乘法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．31．（2022秋•奉贤区期中）分解因式：ax4﹣14ax2﹣32a．【分析】首先提取公因式a，再利用十字相乘法分解因式，再结合平方差公式分解因式即可．【解答】解：ax4﹣14ax2﹣32a＝a（x4﹣14x2﹣32）＝a（x2+2）（x2﹣16）＝a（x2+2）（x+4）（x﹣4）．【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确运用公式是解题关键．32．（2022秋•虹口区校级期中）分解因式：（a2﹣a）2+2（a2﹣a）﹣8．【分析】先变形，局部逆用完全平方公式，再使用十字相乘法．【解答】解：（a2﹣a）2+2（a2﹣a）﹣8＝（a2﹣a）2+2（a2﹣a）+1﹣9＝（a2﹣a+1）2﹣9＝（a2﹣a+4）（a2﹣a﹣2）＝（a2﹣a+4）（a﹣2）（a+1）．【点评】本题主要考查运用公式法、十字相乘法进行因式分解，熟练掌握公式法、十字相乘法是解决本题的关键．33．（2022秋•上海期末）分解因式：3x2﹣9x﹣30．【分析】先提取公因式，再利用十字相乘法分解．【解答】解：3x2﹣9x﹣30＝3（x2﹣3x﹣10）＝3（x﹣5）（x+2）．【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和十字相乘法是解决本题的关键．34．（2022秋•徐汇区期末）分解因式：（1）2ab2﹣6a2b2+4a3b2；（2）（x2﹣4x）2﹣5（x2﹣4x）﹣24．【分析】（1）先提取公因式，再利用十字相乘法；（2）先利用十字相乘法，再利用公式法和十字相乘法．【解答】解：（1）2ab2﹣6a2b2+4a3b2＝2ab2（1﹣3a+2a2）＝2ab2（2a﹣1）（a﹣1）；（2）（x2﹣4x）2﹣5（x2﹣4x）﹣24＝（x2﹣4x﹣8）（x2﹣4x+3）＝[（x2﹣4x+4）﹣12]（x﹣3）（x﹣1）＝[（x﹣2）2﹣12]（x﹣3）（x﹣1）＝（x﹣2+2）（x﹣2﹣2）（x﹣3）（x﹣1）．【点评】本题主要考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．35．（2021秋•金山区期末）分解因式：（x2﹣x）2﹣18（x2﹣x）+72．【分析】把（x2﹣x）看成一个整体，利用十字相乘法分解即可．【解答】解：（x2﹣x）2﹣18（x2﹣x）+72＝[（x2﹣x）﹣6][（x2﹣x）﹣12]＝（x﹣3）（x+2）（x﹣4）（x+3）．【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握十字相乘法和整体的思想是解决本题的关键．36．（2021秋•奉贤区期末）分解因式：（a2+a）2﹣8（a2+a）+12．【分析】因为﹣2×（a2+a）＝﹣2（a2+a），﹣6×（a2+a）＝﹣6（a2+a），所以可利用十字相乘法分解因式；得到的两个因式，还可以用十字相乘法分解因式．【解答】解：根据十字相乘法，（a2+a）2﹣8（a2+a）+12，＝（a2+a﹣2）（a2+a﹣6），＝（a+2）（a﹣1）（a+3）（a﹣2）．【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察、体会它实质是二项式乘法的逆过程；并注意一定要分解完全．题型11.十字相乘法的灵活应用37．（2022秋•静安区校级期中）多项式77x2﹣13x﹣30可因式分解成（7x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c之值为何？（）A．0B．10C．12D．22【分析】首先利用十字交乘法将77x2﹣13x﹣30因式分解，继而求得a，b，c的值．【解答】解：利用十字交乘法将77x2﹣13x﹣30因式分解，可得：77x2﹣13x﹣30＝（7x﹣5）（11x+6）．∴a＝﹣5，b＝11，c＝6，则a+b+c＝（﹣5）+11+6＝12．故选：C．【点评】此题考查了十字相乘法分解因式的知识．注意ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解：这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．38．（2022秋•宝山区期末）分解因式：x2﹣9x+14＝（x+□）（x﹣7），其中□表示一个常数，则□的值是（）A．7B．2C．﹣2D．﹣7【分析】利用十字相乘法因式分解即可．【解答】解：x2﹣9x+14＝（x﹣2）（x﹣7），∴□表示﹣2，故选：C．【点评】本题考查因式分解，熟练掌握利用十字相乘法进行因式分解是解题的关键．39．（2022秋•虹口区校级期中）如果多项式x2﹣5x+c可以用十字相乘法因式分解，那么下列c的取值正确的是（）A．2B．3C．4D．5【分析】∵4＝﹣1×（﹣4），﹣1+（﹣4）＝﹣5，∴可以用十字相乘法因式分解．【解答】解：当c＝4时，x2﹣5x+c＝x2﹣5x+4＝（x﹣1）（x﹣4）．故选：C．【点评】本题主要考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘法分解因式的方法是解题关键．40．（2021秋•普陀区期末）已知关于x的多项式x2+kx﹣3能分解成两个一次多项式的积，那么整数k的值为．【分析】把常数项分解成两个整数的乘积，k就等于那两个整数之和．【解答】解：∵﹣3＝﹣3×1或﹣3＝﹣1×3，∴k＝﹣3+1＝﹣2或k＝﹣1+3＝2，∴整数k的值为：±2，故答案为：±2．【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解﹣十字相乘法是解题的关键．41．（2022秋•嘉定区校级期中）阅读下列文字，解决问题．先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目．分解因式：x4+4解：x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）以上解法中，在x4+4的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与x4+4的值保持不变，必须减去同样的一项．这样利用添项的方法，将原代数式中的部分（或全部）变形为完全平方的形式，这种方法叫做配方法．按照这个思路，试把多项式x4+3x2y2+4y4分解因式．【分析】把原式中的第二项的系数1变为4﹣1，化简后三项结合构成完全平方式，剩下的一项写出完全平方式，然后再利用平方差公式即可分解因式．【解答】解：x4+3x2y2+4y4＝x4+4x2y2+4y4﹣x2y2＝（x2+2y2）2﹣x2y2＝（x2+2y2+xy）（x2+2y2﹣xy）．【点评】此题考查学生阅读新方法并灵活运用新方法的能力，考查了分组分解法进行分解因式，是一道中档题．本题的思路是添项构成完全平方式．题型12.利用分组分解法分解因式42．（2022秋•徐汇区期末）分解因式：xy+（x+1）（y+1）（xy+1）．【分析】根据分组法和十字相乘法因式分解即可．【解答】解：xy+（x+1）（y+1）（xy+1）＝xy+（xy+x+y+1）（xy+1）＝xy+[（xy+1）+（x+y）]（xy+1）＝（xy+1）2+（x+y）（xy+1）+xy＝（xy+x+1）（xy+y+1）．【点评】本题考查了分组法进行因式分解，熟练掌握分组法和十字相乘法是解题的关键．43．（2022秋•青浦区校级期末）因式分解：x2+4y﹣1﹣4y2．【分析】首先重新分组，进而利用完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案即可．【解答】解：x2+4y﹣1﹣4y2．x2﹣（﹣4y+4y2+1）＝x2﹣（1﹣2y）2＝（x﹣2y+1）（x+2y﹣1）．【点评】此题主要考查了分组分解法以及公式法分解因式，正确分组是解题关键．44．（2022秋•浦东新区校级期末）分解因式：（1）m2﹣n2+6n﹣9；（2）（x+2y）x2+6（x+2y）x﹣7x﹣14y．【分析】（1）根据平方差公式和完全平方公式解答；（2）用提公因式法和十字相乘法解答．【解答】解：（1）原式＝m2﹣（n2﹣6n+9）＝m2﹣（n﹣3）2＝（m﹣n+3）（m+n﹣3）；（2）原式＝（x+2y）x2+6（x+2y）x﹣7（x+2y）＝（x+2y）（x2+6x﹣7）＝（x+2y）（x﹣1）（x+7）．【点评】本题考查了因式分解，熟悉乘法公式和提公因式法是解题的关键．45．（2022秋•闵行区校级期末）分解因式：2x3﹣2x2y+8y﹣8x．【分析】两两分组：先分别提取公因式2x2，8；再提取公因式2（y﹣x）进行二次分解；最后利用平方差公式再次进行因式分解即可求得答案．【解答】解：原式＝2x2（x﹣y）﹣8（x﹣y）＝2（x﹣y）（x2﹣4）＝2（x﹣y）（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查了平方差公式，分组分解法分解因式，要先把式子整理，再分解因式．对于一个四项式用分组分解法进行因式分解，难点是采用两两分组还是三一分组．46．（2022秋•闵行区校级期中）因式分解：a2﹣6ab+9b2﹣16．【分析】先分成两组，用完全平方公式，再用平方差公式分解因式．【解答】解：原式＝（a2﹣6ab+9b2）﹣16＝（a﹣3b）2﹣42＝（a﹣3b+4）（a﹣3b﹣4）．【点评】本题主要考查了因式分解﹣分组分解法，掌握因式分解﹣分组分解法的方法，先分组，再分解因式，完全平方公式和平方差公式的熟练应用是解题关键．47．（2022秋•青浦区校级期中）因式分解：2ac﹣6ad+bc﹣3bd．【分析】首先将前两项以及后两项提取公因式，进而分解因式得出即可．【解答】解：2ac﹣6ad+bc﹣3bd＝2a（c﹣3d）+b（c﹣3d）＝（c﹣3d）（2a+b）．【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组得出是解题关键．48．（2022秋•宝山区校级期末）分解因式：b2﹣4a2﹣1+4a．【分析】利用分组分解法，将﹣4a2﹣1+4a分为一组，先利用完全平方公式，再利用平方差公式即可．【解答】解：原式＝b2﹣（4a2+1﹣4a）＝b2﹣（2a﹣1）2＝[b+（2a﹣1）][b﹣（2a﹣1）]＝（b+2a﹣1）（b﹣2a+1）．【点评】本题考查分组分解法分解因式，掌握分组的原则和分组的方法是正确解答的前提，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是解决问题的关键．49．（2022秋•嘉定区校级期末）因式分解：x2﹣4+4y2﹣4xy．【分析】直接将原式分组，再利用完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：x2﹣4+4y2﹣4xy＝x2+4y2﹣4xy﹣4＝（x﹣2y）2﹣4＝（x﹣2y+2）（x﹣2y﹣2）．【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确运用公式是解题关键．50．（2022秋•宝山区期末）分解因式：m2﹣2m+1﹣4n2．【分析】先分组再利用平方差公式．【解答】解：m2﹣2m+1﹣4n2＝（m﹣1）2﹣4n2＝（m﹣1+2n）（m﹣1﹣2n）．【点评】本题主要考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．51．（2022秋•闵行区校级期中）因式分解：x2+9xy+18y2﹣3x﹣9y．【分析】先把多项式按三、二分组，再分别因式分解，最后提取公因式．【解答】解：x2+9xy+18y2﹣3x﹣9y＝（x2+9xy+18y2）﹣（3x+9y）＝（x+3y）（x+6y）﹣3（x+3y）＝（x+3y）（x+6y﹣3）．【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式和十字相乘法是解决本题的关键．题型13.分组分解法的灵活应用52．（2022秋•静安区校级期中）已知x2﹣x﹣3＝0，那么x3﹣2x2﹣2x+2022＝．【分析】根据x2﹣x﹣3＝0，得出x2＝x+3，代入求值即可．【解答】解：∵x2﹣x﹣3＝0，∴x2＝x+3，x3﹣2x2﹣2x+2022＝x（x+3）﹣2x2﹣2x+2022＝﹣x2+x+2022＝﹣（x2﹣x﹣3）+2019＝2019，故答案为：2019．【点评】本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解是解题的关键．53．（2022秋•闵行区校级期中）已知a2﹣a﹣1＝0，则代数式a3﹣2a+6＝．【分析】根据已知条件得到a2﹣a＝1，将要求的代数式化简得到a（a2+a）﹣a2﹣2a+6，两次代入求解即可．【解答】解：∵a2﹣a﹣1＝0，∴a2﹣a＝1，a3﹣2a+6＝a3﹣a2+a2﹣2a+6＝a（a2﹣a）+a2﹣2a+6＝a+a2﹣2a+6＝a2﹣a+6，将a2﹣a＝1代入原式＝1+6＝7．故答案为：7．【点评】本题考查因式分解的应用，合理利用已知条件是关键．【方法三】成功评定法一、单选题1．（2022秋·上海·七年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）如果多项式x2﹣5x+c可以用十字相乘法因式分解，那么下列c的取值正确的是（）A．2B．3C．4D．5【分析】根据平方差公式逐项分析即可．【详解】解：A.()()x y x y +-22x y =-，故能用平方差公式计算；B.()()x y x y +-+22y x =-，故能用平方差公式计算；C.()()x y x y -+-222()2x y x xy y =--=-+-，故不能用平方差公式计算；D.()()x y x y -+--22x y =-，故能用平方差公式计算；故选：C ．【点睛】此题主要考查了乘法公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．完全平方公式是()2222a b a ab b ±=±+；平方差公式是()()22a b a b a b +-=-．二、填空题三、解答题【分析】利用平方差公式进行因式分解即可得出答案．【详解】解：224691x y y +--()224961x y y =--+()22431x y --=()()231231x y x y =+--+．【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是掌握利用平方差公式进行因式分解．22．（2022秋·上海·七年级阶段练习）因式分解：221218a b ab b -+【答案】22(3)b a -．【分析】先提公因式2b ，再利用完全平方公式即可【详解】解：原式()2269=-+b a a 22(3)=-b a ．【点睛】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握方法是解题的关键23．（2022秋·上海·七年级校考阶段练习）因式分解：()()2222225225m n m n ---【答案】()()()2221m n m n m n +-+【分析】直接利用平方差公式分解因式即可．【详解】原式()()2222222252255225m n m n m n m n =-+---+()()22227733m n m n =-+()()222221m n m n =-+()()()2221m n m n m n =+-+【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．24．（2022秋·上海·七年级校考阶段练习）因式分解：()()2280x y y x ----【答案】()()810x y x y ---+【分析】利用十字相乘法分解因式即可．【详解】()()2280x y y x ----。
因式分解知识点详解-初中数学专项复习 (6)
因式分解知识点详解概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
【注意事项】1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；2）因式分解必须是恒等变形；3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为。
因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 因式分解的常用方法：方法一：提公因式法1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。
2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。
3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂。
4）查结果：最后检查核实，应保证含有多项式的因式中再无公因式。
方法二：公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；①平方差公式： a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ）②完全平方公式：a 2＋2ab ＋b 2＝（a ＋b ）2a 2－2ab ＋b 2＝（a －b ）2因式分解典例1．下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ．21(1)1x x x x --=--B ．221(1)x x -=-C ．26(3)(2)x x x x --=-+D ．2(1)x x x x -=- 【详解】把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解．A 、右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意；B 、形式上符合因式分解，但等号左右不是恒等变形，等号不成立，不符合题意；C 、符合因式分解的形式，符合题意；D 、从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意；故选C ．变式1-1．下列因式分解正确的是（ ）A ．()1ax ay a x y +=++B ．()333a b a b +=+C ．()22444a a a ++=+D ．()2a b a a b +=+【详解】解：A 、ax+ay=a(x+y)，故选项计算错误；B 、3a+3b=3(a+b)，选项计算正确；C 、()22442a a a ++=+，选项计算错误；D 、2a b +不能进行因式分解，选项计算错误；故选：B ．变式1-2．多项式244x x -+因式分解的结果是( )A ．x （x ﹣4）+4B ．（x +2）（x ﹣2）C ．（x +2）2D ．（x ﹣2）2 【详解】解：()22442x x x -+=-．故选：D ．变式1-3．对于任意实数a ，b ，a 3+b 3＝（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）恒成立，则下列关系式正确的是( )A ．a 3﹣b 3＝（a ﹣b ）（a 2+ab +b 2）B ．a 3﹣b 3＝（a +b ）（a 2+ab +b 2）C ．a 3﹣b 3＝（a ﹣b ）（a 2﹣ab +b 2）D ．a 3﹣b 3＝（a +b ）（a 2+ab ﹣b 2） 【详解】解：∵a 3+b 3＝（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）恒成立，将上式中的b 用-b 替换，整理得：∴a 3﹣b 3＝（a ﹣b ）（a 2+ab +b 2），故选：A ．变式1-4．把多项式a 2+2a 分解因式得（ ）A ．a （a +2）B ．a （a ﹣2）C ．（a +2）2D ．（a +2）（a ﹣2）【详解】a 2+2a =a(a +2)故选A变式1-5．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2346a ab b --+因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式()()()()()()234623223232a ab b a b b b a =---=---=--解法二：原式()()()()()()24362232223a ab b a b a a b =---=---=--【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】(1)请用分组分解法将22x a x a -++因式分解；【挑战】(2)请用分组分解法将222ax a ab bx b +--+因式分解；【应用】(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a 和()b a b >，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将432234222a a b a b ab b -+-+因式分解，再求值．（1）解：22x a x a -++()()22x a x a =-++()()()x a x a x a =+-++()()1x a x a =+-+； （2）解：222ax a ab bx b +--+()()222a ab b ax bx =-++-()()2a b x a b =-+- ()()a b a b x =--+；（3）解：432234222a a b a b ab b -+-+()()422433222a a b b a b ab =++-+()()222222a b ab a b =+-+()()22222a b a ab b =+-+()()222a b a b =+-，∴根据题意得229a b +=，()21a b -=，∴原式9=．。
(完整版)因式分解知识点归纳
n m n a a +=同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
35())a b b += 、幂的乘方法则：mnm aa (（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。
如：幂的乘方法则可以逆用：即考点四、十字相乘法（1）二次项系数为1的二次三项式2x px q ++中，如果能把常数项q 分解成两个因式a b 、的积，并且a b +等于一次项系数p 的值，那么它就可以把二次三项式2x px q ++分解成()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22例题讲解1、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=51 2 解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例题讲解2、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x(4)22-+x x (5)1522--y y (6)24102--x x2、二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2 条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例题讲解1、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x。
因式分解专题复习及讲解(很详细)
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；&(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a bc ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.;（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
《因式分解》知识梳理及经典例题
《因式分解》知识梳理及经典例题【知识梳理】1.因式分解定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。
例：13ax +13bx =13x(a +b)因式分解，应注意以下几点。
1. 因式分解的对象是多项式；2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。
2.因式分解的方法：（1）提公因式法：①定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。
公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。
公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。
{系数——取各项系数的最大公约数字母——取各项都含有的字母指数——取相同字母的最低次幂例：12a 3b 3c −8a 3b 2c 3+6a 4b 2c 2的公因式是 ．解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6，它们的最大公约数为2；字母部分a 3b 3c,a 3b 2c 3,a 4b 2c 2都含有因式a 3b 2c ，故多项式的公因式是2a 3b 2c .②提公因式的步骤第一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。
注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。
多项式中第一项有负号的，要先提取符号。
（2）运用公式法定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
a.逆用平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)b.逆用完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2c.逆用立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)（拓展）d.逆用立方差公式：a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)（拓展）注意：①公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。
2023-2024学年七年级数学下册 专题07 因式分解压轴四大类型(解析版)
专题07因式分解压轴四大类型题型一：运用提公因式法合公式法综合因式分解题型二：十字相乘法因式分解题型三：分组分解法题型四：因式分解的应用题型一：运用提公因式法合公式法综合因式分解【典例1】（2023秋•西城区期末）分解因式：（1）xy3﹣xy；（2）2x2﹣20x+50．【答案】（1）xy（y+1）（y﹣1）；（2）2（x﹣5）2．【解答】解：（1）原式＝xy（y2﹣1）＝xy（y+1）（y﹣1）；（2）原式＝2（x2﹣10x+25）＝2（x﹣5）2．【变式1-1】（2023春•鼓楼区校级期中）因式分解：（1）2mx2﹣4mx+2m；（2）25（m+n）2﹣9（m﹣n）2．【答案】（1）2m（x﹣1）2；（2）4（m+4n）（4m+n）．【解答】解：（1）2mx2﹣4mx+2m＝2m（x2﹣2x+1）＝2m（x﹣1）2；（2）25（m+n）2﹣9（m﹣n）2＝[5（m+n）]2﹣[3（m﹣n）]2＝[5（m+n）﹣3（m﹣n）][5（m+n）+3（m﹣n）]＝（5m+5n﹣3m+3n）（5m+5n+3m﹣3n）＝（2m+8n）（8m+2n）＝4（m+4n）（4m+n）．【变式1-2】（2023春•皇姑区校级期中）因式分解：（1）x2（a﹣b）+4（b﹣a）；（2）2x2﹣12xy+18y2．【答案】（1）（a﹣b）（x+2）（x﹣2）；（2）2（x﹣3y）2．【解答】解：（1）x2（a﹣b）+4（b﹣a）＝x2（a﹣b）﹣4（a﹣b）＝（a﹣b）（x2﹣4）＝（a﹣b）（x+2）（x﹣2）；（2）2x2﹣12xy+18y2＝2（x2﹣6xy+9y2）＝2（x﹣3y）2．【变式1-3】（2022秋•渑池县期末）因式分解：（1）18a2b﹣12ab2+2b3；（2）x2（x﹣3）+y2（3﹣x）．【答案】（1）2b（3a﹣b）2；（2）（x﹣3）（x+y）（x﹣y）．【解答】解：（1）18a2b﹣12ab2+2b3＝2b（9a2﹣6ab+b2）＝2b（3a﹣b）2．（2）x2（x﹣3）+y2（3﹣x）＝（x﹣3）（x2﹣y2）＝（x﹣3）（x+y）（x﹣y）．题型二：十字相乘法因式分解【典例2】（2023秋•普陀区校级期末）因式分解：a2﹣13a+36＝（a﹣4）（a﹣9）．【答案】（a﹣4）（a﹣9）．【解答】解：a2﹣13a+36∵﹣4a+（﹣9a）＝﹣13a，∴a2﹣13a+36＝（a﹣4）（a﹣9）．故答案为：（a﹣4）（a﹣9）．【变式2-1】（2023秋•璧山区期末）因式分解a2+a﹣6的结果是（a﹣2）（a+3）．【答案】（a﹣2）（a+3）．【解答】解：a2+a﹣6＝（a﹣2）（a+3）．【变式2-2】（2023秋•浦东新区期末）因式分解：x2﹣8x+12＝（x﹣2）（x﹣6）．【答案】（x﹣2）（x﹣6）．【解答】解：x2﹣8x+12＝x2﹣8x+16﹣4＝（x﹣4）2﹣（2）2＝（x﹣4+2）（x﹣4﹣2）＝（x﹣2）（x﹣6）．故答案为：（x﹣2）（x﹣6）．【变式2-3】（2023秋•河北区校级期末）把多项式x2﹣2x﹣35因式分解为（x+5）（x﹣7）．【答案】（x+5）（x﹣7）．【解答】解：x2﹣2x﹣35＝（x+5）（x﹣7）．题型三：分组分解法【典例3】（2023秋•临潼区期末）阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“m2﹣mn+2m﹣2n”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为m2﹣mn+2m﹣2n＝（m2﹣mn）+（2m﹣2n）＝m（m﹣n）+2（m﹣n）＝（m﹣n）（m+2）．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”．请在这种方法的启发下，解决以下问题：（1）因式分解：a3﹣3a2+6a﹣18；（2）因式分解：ax+a2﹣2ab﹣bx+b2．【答案】（1）（a﹣3）（a2+6）；（2）（a﹣b）（a﹣b+x）．【解答】解：（1）a3﹣3a2+6a﹣18＝a2（a﹣3）+6（a﹣3）＝（a﹣3）（a2+6）；（2）ax+a2﹣2ab﹣bx+b2＝（a2﹣2ab+b2）+（ax﹣bx）＝（a﹣b）2+x（a﹣b）＝（a﹣b）（a﹣b+x）．【变式3-1】（2023秋•青浦区校级期中）因式分解：4x3﹣2x2﹣9xy2﹣3xy．【答案】x（2x+3y）（2x﹣3y﹣1）．【解答】解：原式＝（4x3﹣9xy2）+（﹣2x2﹣3xy）＝x（4x2﹣9y2）﹣x（2x+3y）＝x（2x+3y）（2x﹣3y）﹣x（2x+3y）＝x（2x+3y）（2x﹣3y﹣1）．【变式3-2】（2023秋•沙坪坝区校级期末）把下列各式因式分解：（1）﹣3ab3+6a2b2﹣3a3b；（2）x2﹣y2﹣ax+ay．【答案】（1）﹣3ab（b﹣a）2；（2）（x﹣y）（x+y﹣a）．【解答】解：（1）原式＝﹣3ab（b2﹣2ab+a2）＝﹣3ab（b﹣a）2；（2）原式＝（x2﹣y2）+（﹣ax+ay）＝（x+y）（x﹣y）﹣a（x﹣y）＝（x﹣y）（x+y﹣a）．【变式3-3】（2023秋•武都区期末）常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用上述方法无法分解，例如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式，就可以完整分解了，具体分解过程如下：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x2﹣4y2）﹣（2x﹣4y）＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）这种方法叫分组分解法，请利用这种方法对下列多项式进行因式分解：（1）mn2﹣2mn+2n﹣4；（2）x2﹣2xy+y2﹣16；（3）4x2﹣4x﹣y2+4y﹣3．【答案】（1）（n﹣2）（mn+2）；（2）（x﹣y﹣4）（x﹣y+4）；（3）（2x﹣y+1）（2x+y﹣3）．【解答】解：（1）mn2﹣2mn+2n﹣4＝（mn2﹣2mn）+（2n﹣4）＝mn（n﹣2）+2（n﹣2）＝（n﹣2）（mn+2）；（2）x2﹣2xy+y2﹣16＝（x2﹣2xy+y2）﹣16＝（x﹣y）2﹣42＝（x﹣y﹣4）（x﹣y+4）；（3）4x2﹣4x﹣y2+4y﹣3＝4x2﹣4x+1﹣y2+4y﹣4＝（4x2﹣4x+1）﹣（y2﹣4y+4）＝（2x﹣1）2﹣（y﹣2）2＝（2x﹣1﹣y+2）（2x﹣1+y﹣2）＝（2x﹣y+1）（2x+y﹣3）．题型四：因式分解的应用【典例4】（2023秋•钢城区期末）阅读材料：教科书中提到a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2这样的式子叫做完全平方式．”有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题．例如：（1）分解因式：x2﹣2x﹣3．x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣1﹣3＝（x﹣1）2﹣4＝（x﹣1）2﹣22＝（x﹣1+2）（x﹣1﹣2）＝（x+1）（x﹣3）．（2）求代数式x2﹣2x﹣3的最小值．x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣4＝（x﹣1）2﹣4∵（x﹣1）2≥0，∴当x＝1时，代数式x2﹣2x﹣3有最小值﹣4．结合以上材料解决下面的问题：（1）若二次三项式x2﹣kx+9恰好是完全平方式，k的值是6或﹣6；（2）分解因式：x2﹣8x+15；（3）当x为何值时，x2﹣8x+15有最小值？最小值是多少？【答案】（1）6或﹣6；（2）（x﹣3）（x﹣5）；（3）当x＝4时，代数式x2﹣8x+15有最小值﹣1．【解答】解：（1）∵a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2这样的式子叫做完全平方式，而x2﹣kx+9恰好是完全平方式，同时x2﹣kx+9可以整理为x2﹣kx+32，∴k＝6或﹣6，故答案为：6或﹣6．（2）x2﹣8x+15＝x2﹣8x+42﹣1＝（x﹣4）2﹣1＝（x﹣4）2﹣12＝（x﹣4+1）（x﹣4﹣1）＝（x﹣3）（x﹣5）；（3）x2﹣8x+15＝（x﹣4）2﹣1，∵（x﹣4）2≥0，∴当x＝4时，代数式x2﹣8x+15有最小值﹣1．【变式4-1】（2022春•金东区期末）通常情况下，a+b不一定等于ab，观察下列几个式子：第1个：2+2＝2×2；第2个：3+＝3×；第3个：4+＝4×…我们把符合a+b＝ab的两个数叫做“和积数对”．（1）写出第4个式子．（2）写出第n个式子，并检验．（3）若m，n是一对“和积数对”，求代数式的值．【答案】（1）第4个式子为5+＝5×；（2）第n个式子（n+1）+＝（n+1）×；检验过程见解答．（3）．【解答】解：（1）第4个式子为5+＝5×；（2）第n个式子（n+1）+＝（n+1）×；检验：左边＝+＝＝右边；（3）∵m，n是一对“和积数对”，∴m+n＝mn，设m+n＝mn＝x，原式＝＝＝；【变式4-2】（2023秋•哈密市期末）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，求xy的值；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求△ABC的最大边c的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）＝0，∴（x﹣y）2+（y+3）2＝0，∴x﹣y＝0，y+3＝0，∴x＝﹣3，y＝﹣3，∴xy＝（﹣3）×（﹣3）＝9，即xy的值是9．（2）∵a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）＝0，∴（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，∴a﹣5＝0，b﹣6＝0，∴a＝5，b＝6，∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，∴6≤c＜11，∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10．【变式4-3】（2023春•罗湖区校级期中）阅读材料：要把多项式am+an+bm+bn因式分解，可以先把它进行分组再因式分解：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+m）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）这种因式分解的方法叫做分组分解法．（1）请用上述方法因式分解：x2﹣y2+2x﹣2y；（2）知a、b、c是△ABC三边的长，且满足a2+c2﹣2b（a﹣b+c）＝0，试判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）若m、n、p为非零实数，且（m﹣n）2＝（p﹣n）（m﹣p），求证：2p＝m+n．【答案】（1）（x﹣y）（x+y+2）；（2）见解答；（3）见解答．【解答】解：（1）x2﹣y2+2x﹣2y＝（x2﹣y2）+2（x﹣y）＝（x+y）（x﹣y）+2（x﹣y）＝（x﹣y）（x+y+2）；（2）△ABC的形状是等边三角形，理由如下：a2+c2﹣2b（a﹣b+c）＝0，a2+c2﹣2ba+2b2﹣2bc＝0，（a2﹣2ba+b2）+（c2+b2﹣2bc）＝0，（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC的形状是等边三角形．（3）证明：（m﹣n）2＝（p﹣n）（m﹣p），等式两边展开移项得：﹣mn++mn﹣pm﹣pn+p2＝0，整理得：（m2+mn+n2）﹣p（m+n）+p2＝0，即[（m+n）﹣p]2＝0，∴（m+n）﹣p＝0，∴2p＝m+n一．选择题（共8小题）1．（2022秋•内江期末）已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（）A．25B．20C．15D．10【答案】A【解答】解法一：∵x2﹣2x﹣5＝0，∴x2＝2x+5，∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，＝（2x+5）2﹣2x（2x+5）+x2﹣12x﹣5＝4x2+20x+25﹣4x2﹣10x+x2﹣12x﹣5＝x2﹣2x﹣5+25＝25．解法二：∵x2﹣2x﹣5＝0，∴x2﹣2x＝5，∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5＝x2（x2﹣2x+1）﹣12x﹣5＝6x2﹣12x﹣5＝6（x2﹣2x）﹣5＝6×5﹣5＝25．故选：A．2．（2022春•兰西县校级期末）已知长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为x cm，y cm，且满足（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，则该长方形的面积为（）cm2．A．B．C．15D．16【答案】A【解答】解：∵长方形的周长为16cm，∴2（x+y）＝16，∴x+y＝8①；∵（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，∴（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝0，∴（x﹣y﹣1）2＝0，∴x﹣y＝1②．联立①②，得，解得：，∴长方形的面积S＝xy＝＝（cm2），故选：A．3．（2023秋•洪山区期末）已知实数a满足a2﹣2a﹣1＝0，则代数式2a3﹣a2﹣8a+4的值为（）A．9B．7C．0D．﹣9【答案】B【解答】解：∵a2﹣2a﹣1＝0，，∴a2﹣2a＝1，∴2a3﹣a2﹣8a+4＝2a•a2﹣a2﹣8a+4＝2a（2a+1）﹣a2﹣8a+4＝4a2+2a﹣a2﹣8a+4＝3a2﹣6a+4＝3（a2﹣2a）+4＝3×1+4＝7．故选：B．4．（2023秋•商水县期末）已知m2+n2＝25，mn＝12，则m3n﹣mn3的值为（）A．±300B．±84C．±48D．±12【答案】B【解答】解：m3n﹣mn3＝mn（m2﹣n2）＝mn（m+n）（m﹣n）．∵m2+n2＝25，mn＝12，∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝25+2×12＝49；（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn＝25﹣2×12＝1．∴m+n＝±7；m﹣n＝±1．①m+n＝7，m﹣n＝1．原式＝12×7×1＝84；②m+n＝7，m﹣n＝﹣1．原式＝12×7×（﹣1）＝﹣84；③m+n＝﹣7，m﹣n＝1．原式＝12×（﹣7）×1＝﹣84；④m+n＝﹣7，m﹣n＝﹣1．原式＝12×（﹣7）×（﹣1）＝84．故选：B．5．（2023秋•海安市期末）已知xy＝4，则x2﹣2x+y2﹣2y的最小值是（）A．﹣9B．﹣2C．0D．2【答案】C【解答】解：x2﹣2x+y2﹣2y＝（x2+y2）﹣2（x+y）＝（x+y）2﹣2（x+y）﹣2xy．∵xy＝4，∴原式＝（x+y）2﹣2（x+y）﹣8＝（x+y）2﹣2（x+y）+1﹣9＝（x+y﹣1）2﹣9．设x+y＝a，则y＝a﹣x．∵xy＝4，∴x（a﹣x）＝4．∴ax﹣x2＝4．∴x2﹣ax+4＝0．∴Δ＝（﹣a）2﹣4×1×4＝a2﹣16．∵方程有解，∴a2﹣16≥0．∴a2≥16．∴a≥4或a≤﹣4．当a＝4即x+y＝4时，原式＝0；当a＝﹣4即x+y＝﹣4时，原式＝25﹣9＝16．∵0＜16，∴x2﹣2x+y2﹣2y的最小值是0．故选：C．6．（2023秋•宣化区期末）小颖利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是（）A．a2+2ab+b2＝（a+b）（a+b）B．a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．2a2+3ab+b2＝（2a+b）（a+b）【答案】B【解答】解：根据题图可得大长方形是由2个边长为b的正方形，3个长为b宽为a的长方形和1个边长为a的正方形组成，∴大长方形的面积为a2+3ab+2b2，另外大长方形可以看作一般长为（a+2b）宽为（a+b）的长方形组成，∴大长方形的面积为（a+2b）（a+b），∴可以得到一个因式分解的等式为a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b），故B正确．故选：B．7．（2023秋•鲅鱼圈区期末）已知a﹣b＝5，ab＝﹣6，则a3b﹣2a2b2+ab3的值为（）A．57B．120C．﹣39D．﹣150【答案】D【解答】解：a3b﹣2a2b2+ab3＝ab（a2﹣2ab+b2）＝ab（a﹣b）2，把a﹣b＝5，ab＝﹣6代入，ab（a﹣b）2＝（﹣6）×52＝﹣150，故选：D．8．（2023秋•东兴区校级期中）已知，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值是（）A．0B．C．2D．3【答案】D【解答】解：∵，∴a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，a﹣c＝﹣2，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝＝＝＝＝3．故选：D．二．填空题（共5小题）9．（2023秋•乌兰察布期末）已知a、b是△ABC的两边，且满足a2﹣b2＝ac﹣bc，则△ABC 的形状是等腰三角形．【答案】等腰三角形．【解答】解：∵a2﹣b2＝ac﹣bc，∴（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0．∴（a﹣b）（a+b﹣c）＝0．∵在△ABC中，a+b＞c，∴a+b﹣c＞0．∴a﹣b＝0，即a＝b．∴△ABC是等腰三角形．故答案为：等腰三角形．10．（2023秋•通山县期末）已知：x2﹣x＝1，则x4﹣x3﹣2x2+x+1的值是0．【答案】0【解答】解：x4﹣x3﹣2x2+x+1＝x2（x2﹣x）﹣2x2+x+1，∵x2﹣x＝1，∴原式＝x2﹣2x2+x+1＝﹣x2+x+1＝﹣1+1＝0．11．（2023秋•沙坪坝区校级期末）若将多项式2x3﹣x2+m进行因式分解后，有一个因式是x+1，则m的值为3．【答案】3．【解答】解：∵多项式2x3﹣x2+m进行因式分解后，有一个因式是x+1，∴当x＝﹣1时，2x3﹣x2+m＝0，即2×（﹣1）3﹣（﹣1）2+m＝0，解得m＝3．故答案为：3．12．（2022秋•东莞市校级期末）已知a＝x+20，b＝x+19，c＝x+21，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值是3．【答案】见试题解答内容【解答】解：由a＝x+20，b＝x+19，c＝x+21，得（a﹣b）x+20﹣x﹣19＝1，同理得：（b﹣c）＝﹣2，（c﹣a）＝1，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac，＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac），＝[（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）+（b2﹣2bc+c2）]，＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]，＝×（1+1+4）＝3．故答案为3．13．（2022秋•芝罘区期末）计算：20232﹣2023×2022＝2023．【答案】2023．【解答】解：20232﹣2023×2022＝2023×（2023﹣2022）＝2023×1＝2023．故答案为：2023．三．解答题（共3小题）14．（2023秋•梨树县期末）已知a﹣b＝7，ab＝﹣12．（1）求a2b﹣ab2的值；（2）求a2+b2的值；（3）求a+b的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵a﹣b＝7，ab＝﹣12，∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝﹣12×7＝﹣84；（2）∵a﹣b＝7，ab＝﹣12，∴（a﹣b）2＝49，∴a2+b2﹣2ab＝49，∴a2+b2＝25；（3）∵a2+b2＝25，∴（a+b）2＝25+2ab＝25﹣24＝1，∴a+b＝±1．15．（2023秋•东辽县期末）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：①ax+by+bx+ay＝（ax+bx）+（ay+by）＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）②2xy+y2﹣1+x2＝x2+2xy+y2﹣1＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；（2）分解因式：a2+4ab﹣5b2；（3）多项式x2﹣6x+1有最小值吗？如果有，当它取最小值时x的值为多少？【答案】（1）（a﹣b）（a+b+1）；（2）（a+5b）（a﹣b）；（3）当x＝3时，取最小值为﹣8．【解答】解：（1）a2﹣b2+a﹣b＝（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）＝（a﹣b）（a+b+1）；（2）a2+4ab﹣5b2＝（a+5b）（a﹣b）；（3）x2﹣6x+1＝x2﹣6x+9﹣8＝（x﹣3）2﹣8∵（x﹣3）2≥0，∴（x﹣3）2﹣8≥﹣8，∴当x＝3时，取最小值为﹣8．16．（2023春•新吴区期中）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如x2+4x﹣5＝x2+4x+（）2﹣（）2﹣5＝（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+3）（x﹣1）．根据以上材料，解答下列问题．（1）分解因式（利用公式法）：x2+2x﹣8；（2）求多项式x2+4x﹣3的最小值；（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长．【答案】（1）（x﹣2）（x+4）；（2）﹣7；（3）12．【解答】解：（1）x2+2x﹣8＝x2+2x+1﹣1﹣8＝（x+1）2﹣9＝（x+1﹣3）（x+1+3）＝（x﹣2）（x+4）；（2）设y＝x2+4x﹣3，y＝x2+4x+4﹣4﹣3，y＝（x+2）2﹣7，∴多项式x2+4x﹣3的最小值是﹣7．（3）a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，即a2+b2+c2+50﹣6a﹣8b﹣10c＝0，（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2﹣9﹣16﹣25+50＝0，（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5，∴△ABC的周长为3+4+5＝12．。
因式分解知识要点
因式分解知识要点因式分解在代数式的恒等变形、根式运算、分式通分与约分、一元二次方程以及三角函数的变形求解等方面均有着十分重要的应用，下面对因式分解中的有关知识要点进行归纳说明，供大家学习和参考。
1、因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解（也可叫做把这个多项式分解因式）。
本定义可从以下几方面进行理解：⑴、因式分解是一种恒等变形，如22()()-=+-,无论字母a和b取何值，代数式22a b a b a ba b-与()()+-的值总是相等的；a b a b⑵、因式分解的结果必须是整式的积的形式，分解后的因式可以是单项式，也可以是多项式，但必须都是整式；⑶、由于因式分解是整式乘法运算的逆运算，故因式分解是否正确，通常可以用整式乘法进行检验，看乘得的结果是否等于原多项式；⑷、多项式的因式分解，必须进行到每个因式都不能再分解为止，但要注意是在何种数集内进行因式分解（如无特殊说明，教材一般只要求在有理数范围内进行分解）。
2、因式分解的方法⑴、提公因式法：如果一个多项式的各项都含有公因式，则可利用分配律将此多项式的公因式提出来，从而将原多项式分解成两个因式的积的形式，像这种因式分解的方法，叫做提公因式法。
如:()++=++。
ma mb mc m a b c⑵、运用公式法：利用等式的性质将乘法公式逆用从而实现多项式的因式分解，像这种因式分解的方法就称为公式法。
公式法主要有以下两种：①平方差公式：22()()-=+-；a b a b a b②完全平方公式：222±+=±。
2()a ab b a b⑶、分组分解法（教材中未给出但作业中有所涉及）:将一个多项式中所含的各项分成若干组，然后再利用提公因式法或公式法等方法对多项式进行因式分解，像这种因式分解的方法就称为分组分解法。
运用分组分解法的目的和作用主要有两个——①分组后能直接提公因式；②分组后能直接运用公式（平方差公式或完全平方公式）。
专题 因式分解(知识点精讲)(学生版)
专题07因式分解重难突破知识点一因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，因式分解也可称为分解因式．注意：（1）因式分解是针对多项式，而不是单项式；（2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式；（3）因式分解与整式乘法的区别：①因式分解是把一个多项式化为几个整式的乘积的形式；整式乘法是把几个整式相乘的形式转化为一个整式的形式；②因式分解是多项式的恒等变形；整式乘法是一种运算.典例1（2021春•南山区校级期中）下列由左边到右边的变形中，属于因式分解的是()A ．23()33a a b a ab+=+B ．26(2)(3)a a a a -+=+-C ．221(2)1x x x x -+=-+D ．22()()a b a b a b -=+-典例2（2020•郓城县模拟）把多项式2x ax b ++分解因式，得(1)(3)x x +-，则a ，b 的值分别是()A ．2a =，3b =B ．2a =-，3b =-C ．2a =-，3b =D ．2a =，3b =-知识点二提公因式法1、公因式多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式．2、确定公因式的一般步骤：①如果多项式的第一项是负数时，应把多项式的符号“﹣”提取；②提取多项式各项系数的最大公约数为公因式的系数；③把多项式各项都含有的相同字母（或因式）的最低次幂的积作为公因式的因式．3、提公因式法如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法．典例1（2020春•宝安区校级月考）下列多项式中，不能用提公因式法因式分解的是()A ．31x x -+B ．2()4()a b b a ---C ．22117a b b -D ．5()a m n +一23()b m n +典例2（2021春•历城区期中）把多项式22222816a b a b c -分解因式，应提的公因式是()A ．228a bB ．224a bC ．28abD ．8ab 典例3（2021春•龙岗区期中）因式分解：（1）2015a ax --；（2）2(3)(26)a a ---．知识点三公式法1、平方差公式：()()22a b a b a b -=+-即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．注意：（1）公式特点公式左边是两项的平方差，右边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数.（2）运用平方差公式分解因式的一般步骤：①将多项式还原成平方差的形式；②运用公式写成两数和与两数差的积的形式；③分别在括号内合并同类项．2、完全平方公式：()2222a ab b a b ++=+；()2222a ab b a b -+=-即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．注意：完全平方公式的结构：等式的左边是一个完全平方式，右边是左边两个平方项的底数和（或差）的平方.典例1（2020春•青白江区期末）下列多项式中不能用平方差公式分解的是()A ．22a b -B ．22249x y z -C ．22x y --D ．2221625m n p -典例2已知249y my ++是完全平方式，则m 为()A ．6B ．6±C ．12±D ．12典例3（2020春•涟源市期末）下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是()A ．221x x +-B ．214x x -+C ．22x xy y ++D ．293x x+-典例4（2021•威海模拟）若22(3)25x m x +-+可以用完全平方式来分解因式，则m 的值为．知识点四因式分解的简算及化简求值1、在要求的式子很复杂的情况下，如果各个项中有相同的因数，可以提取公因式简化运算．2、化简求值中常用整体思想，若由已知条件先求得a ，b 的值再代入求值，则解题过程比较复杂，因此可通过因式分解，将所求整式整理成用a+b ，ab 表示的形式，然后整体代入计算。
因式分解总复习课件 PPT
即： ma + mb + mc = m（a+b+c）
例2：把下列各式分解因式
① 6x3y2-9x2y3+3x2y2 解：原式=3x2y2(2x-3y+1)
③ (x-y)2-y(y-x)2 解：原式=(x-y) 2(1-y)
②p（y-x）-q（x-y） 解：原式=p(y-x)+q(y-x)
=(y-x)(p+q)
(1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y) (2) 2x(x-3y)=2x2-6xy (3) x2+4x+4=(x+2)2 (4) (a-3)(a+3)=a2-9
2
提公因式法
2 提公因式法
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面， 将多项式写成乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。
小结
解因式分解题时，首先考虑是否有公 因式，如果有，先提公因式；如果没有 公因式；是两项式，则考虑能否用平方 差公式分解因式. 是三项式考虑用完全 平方式，最后，直到每一个因式都不能 再分解为止.
业精于勤荒于嬉； 行成于思毁于随。
THANKS
3
公式法
3 公式法
如果把乘法公式反过来应用，就可以把多项式写成积 的形式，达到分解因式目的。这种方法叫做运用公式法。
公式法
平方差公式 a2-b2 =(a+b)(a-b) 特征：两项、异号、平方形式
完全平方公式 a2±2ab+b2=(a±b)2
特征：三项、两数平方的和加 上（或减去）两数乘积的2倍
3.已知a b=2，求a2 b2 4b的值
3 公式法 a2 ＋2ab＋ b2 ＝（a＋b）2
因式分解知识点详解-初中数学专项复习 (7)
因式分解知识点详解1．把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算. 2．因式分解的基本方法：（1）提取公因式法：()ma mb mc m a b c ++=++. （2）公式法：运用平方差公式：²²()()a b a b a b -=+-. 运用完全平方公式：22²2()a ab b a b ±+=±. 3．分解因式的一般步骤：（1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式;（2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：为两项时，考虑平方差公式；为三项时，考虑完全平方公式；为四项时，考虑利用分组的方法进行分解;（3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止. 以上步骤可以概括为“一提二套三检查”.考点：因式分解因式分解的概念与方法步骤①看清形式：因式分解与整式乘法是互逆运算．符合因式分解的等式左边是多项式，右边是整式乘积的形式．②方法：（1）提取公因式法；（2）运用公式法.③因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解．一“提”（取公因式），二“用”（公式）．要熟记公式的特点，两项式时考虑平方差公式，三项式时考虑完全平方公式.典例 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是A ．（x +1）（x –1）=x 2–1B ．x 2–2x +1=x （x –2）+1C ．x 2–4y 2=（x –2y ）2D ．x 2+2x +1=（x +1）2【答案】D【解析】A、右边不是积的形式，故本选项错误；B、右边不是积的形式，故本选项错误；C、x2–4y2=（x+2y）（x–2y），故本项错误；D、是因式分解，故本选项正确．故选D．典例把多项式x2﹣6x+9分解因式，结果正确的是A．（x﹣3）2B．(x﹣9）2 C．（x+3）（x﹣3）D．（x+9）（x﹣9）【答案】A【解析】x2﹣6x+9=（x﹣3）2，故选A．。
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因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！=))((b a n m ++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+-=)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x ---=)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
解：原式=)()(22ay ax y x ++-=)())((y x a y x y x ++-+=))((a y x y x +-+例4、分解因式：2222c b ab a -+-解：原式=222)2(c b ab a -+-=22)(c b a --=))((c b a c b a +---练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++-（5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+-- （7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a （9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+（11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++（12）abc c b a 3333-++ 四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
思考：十字相乘有什么基本规律？例.已知0＜a ≤5，且a 为整数，若223x x a ++能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a . 解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax 2+bx+c ，都要求24b ac ∆=- >0而且是一个完全平方数。
于是98a ∆=-为完全平方数，1a =例5、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例6、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习5、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习6、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例7、分解因式：101132+-x x分析： 1 -23 -5（-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习7、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）二次项系数为1的齐次多项式 例8、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
1 8b1 -16b8b+(-16b)= -8b解：221288b ab a --=)16(8)]16(8[2b b a b b a -⨯+-++=)16)(8(b a b a -+练习8、分解因式(1)2223y xy x +-(2)2286n mn m +-(3)226b ab a --（四）二次项系数不为1的齐次多项式 例9、22672y xy x +- 例10、2322+-xy y x 1 -2y 把xy 看作一个整体 1 -12 -3y 1 -2(-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)=-3解：原式=)32)(2(y x y x -- 解：原式=)2)(1(--xy xy练习9、分解因式：（1）224715y xy x -+ （2）8622+-ax x a综合练习10、（1）17836--x x （2）22151112y xy x -- （3）10)(3)(2-+-+y x y x （4）344)(2+--+b a b a （5）222265x y x y x -- （6）2634422++-+-n m n mn m （7）3424422---++y x y xy x （8）2222)(10)(23)(5b a b a b a ---++ （9）10364422-++--y y x xy x （10）2222)(2)(11)(12y x y x y x -+-++ 思考：分解因式：abc x c b a abcx +++)(2222五、换元法。
例13、分解因式（1）2005)12005(200522---x x（2）2)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++解：（1）设2005=a ，则原式=a x a ax ---)1(22=))(1(a x ax -+=)2005)(12005(-+x x（2）型如e abcd +的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式=222)65)(67(x x x x x +++++设A x x =++652，则x A x x 2672+=++∴原式=2)2(x A x A ++=222x Ax A ++=2)(x A +=22)66(++x x练习13、分解因式（1）)(4)(22222y x xy y xy x +-++（2）90)384)(23(22+++++x x x x（3）222222)3(4)5()1(+-+++a a a例14、分解因式（1）262234+---x x x x观察：此多项式的特点——是关于x 的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。
这种多项式属于“等距离多项式”。
方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。
解：原式=)1162(222x x x x x +---=[]6)1()1(2222-+-+x x xx x 设t x x =+1，则21222-=+t xx ∴原式=[]6)2222---t t x （=()10222--t t x =()()2522+-t t x =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+215222x x x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+21··522·x x x x x x =()()1225222+++-x x x x =)2)(12()1(2--+x x x （2）144234+++-x x x x解：原式=22241(41)x x x x x -+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+1141222x x x x x 设y x x =-1，则21222+=+y xx ∴原式=22(43)x y y -+=2(1)(3)x y y -- =)31)(11(2----xx x x x =()()13122----x x x x 练习14、（1）673676234+--+x x x x（2）)(2122234x x x x x +++++ 六、添项、拆项、配方法。