机械工业出版社 复变函数与积分变换 第2章 解析函数
复变函数与积分变换第二章
故不连续。 故不连续。
( 2 )在负实轴上 ∀ P ( x , 0 )( x < 0 ) Q lim+ arg z = π
y→ 0 y→ 0
y z o z
(z)
lim− arg z = − π
∀P ( x ,0)
x
∴ arg z 在负实轴 上不连续。 上不连续。
定理2.3 连续函数的和、差、积、商 (分母不为 连续函数的和、 分母不为0) 定理 分母不为 仍为连续函数; 仍为连续函数 定理2.4 连续函数的复合函数仍为连续函数。 连续函数的复合函数仍为连续函数。 定理 定理2.5 定理 设 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ), 则 f (z)
z → z0
内处处连续， 若在区域 D 内处处连续，则称 f ( z )在 D 内连续 ; 若 z 、 z 0 ∈ C , 且 lim f ( z ) = f ( z 0 )，则称 f ( z )
z → z0
在曲线 C 上点 z 0处连续 .
证明f 在原点及负实轴上不连续。 例4 证明 (z)=argz在原点及负实轴上不连续。 在原点及负实轴上不连续 证明 (1) Q f ( z ) = arg z 在原点没有定义， 在原点没有定义，
复变函数的极限与连续性
1. 函数的极限 2. 相关定理 3.函数的连续性 函数的连续性
复变函数的极限
定义2.2 定义 设复变函数w=f(z)在z0的某个去心 在 设复变函数 邻域内有定义, 是复常数 是复常数. 邻域内有定义 A是复常数 若对任意给定的ε >0, 使得对一切满足0<|z-z0|<δ 的z , 都有 存在δ >0, 使得对一切满足
复变函数2 解析函数
⎧ ⎪Δu = ux Δx + uy Δy + o ( ρ ) = ⎡ ⎣( aΔx − bΔy ) + o ( ρ ) ⎤ ⎦ ⇒⎨ ⎪ ⎣( bΔx + aΔy ) + o ( ρ ) ⎤ ⎦ ⎩ Δv = vx Δx + vy Δy + o ( ρ ) = ⎡
⎧ ux = vy = a , ⇒ f ′(z) = ux +ivx = vy −iuy . ⇒⎨ ⎩ v x = −u y = b .
当且仅当 x = y = 0时, u x = v y , u y = − v x , 因而函数仅在z = 0可导, 但在复平面内任何地方都不 解析.
例题3 f ( z ) = u + iv是区域D内的解析函数， 且 f ′( z ) ≠ 0
u ( x, y ) = C1 , v( x, y ) = C2 ( C1 , C2为任意常数 )
( ⇐ ) 设 u(x,y) 与 v(x,y) 在点 (x,y)∈ D 可微,
并且满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程。 于是
Δu = u x Δx + u y Δy + ε1Δx + ε 2 Δy Δv = vx Δx + v y Δy + ε 3Δx + ε 4 Δy
（Δx,Δy→0时,εk→0, (k=1,2,3,4)）
u x = 1, u y = 0 , v x = 0 , v y = − 1 ⇒ u x ≠ v y u y ≠ − v x
故 w = z 在复平面内处处不可导, 处处不解析；
2) 由w = z Re(z) = x2 + ixy, 得u = x2, v = xy, 所以
第2章复变函数与解析函数精品PPT课件
①在 z
(分母在 z 0
0不连为续0的)在两z个0 处函连数续f(z;)与g(z)的和,差,积,商
②若函数 hg(z)在点 z 0 处连续，函数 w f(h)
在 h0 g(z0连) 续，则复合函数 wf[g(z)]
在 z 0 处连续（证略）.
例3 求 lim z 1 zi z 2
解: 因为 z 1 在点zi 处连续，故 z2
注:连续的条件:
(1) 在z 0处有定义;
(2) z 0 处的极限值等于该点的函数值.
2)连续充要条件: 定理 函数 f(z) u (x ,y ) i(v x ,y ),在 z0 x0iy0 处连续的充要条件是u(x, y) 和 v(x, y) 都 在点(x0, y0)处连续.
3)连续函数性质:
x2 y2
x2 y2
化为一个复变函数.
解 设 zxiy ，wuiv， 则 wuiv 2xiy x2 y2
将 x 1 (z z) ，y 1 (z z) 以及 x2 y2 zz 得 2 w312i (z0)
2z 2z
二.复变函数的极限与连续性 1.极限:
1)定义 设函数f(z) 在 z 0 的去心邻域内有定义，若对任
2. 可导与连续的关系
若函数wf(z)在点z 0 处可导，则 f (z)在点 z 0 处必
连续.反之不一定.
3.用定义求导的步骤 1)求增量比; 2)求增量比的极限.
例1 求 f ( z) z 2 的导数.
二.解析函数的概念及求导法则
1. 解析函数的定义
1) 点处解析: 如果f(z)不仅在点 z 0处可导,且在点 z 0 的某邻域内的处处可导,则称f(z)在点 z 0处解析;
3)运算法则:类似于实函数极限的运算法则. 例
机械工业出版社 复变函数与积分变换 第2章 解析函数
u ex siny
u v
y v ex cosy
x v
y u
y
x y
故 f (z) ex(cosy i siny)在全平面可导，解析
f'( z ) u i v e x cy o is x e si y n f( z ) x x
29
解 (3) 设z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 则
C-R方程 f (z )在点z=x+iy处可导）
∵u(x，y)，v(x，y)在(x，y)点可微，即：
u u x x u y y1 x2 y v x vx v yy3 x4 y
其 lx 中 i m 0 k0 ,(k1 ， 2 ,3 ,4 )
y 0
f(z z)f(z) u i v
如果f (z)在点z0不解析，就称z0是f (z)的奇点。
(1) w=f (z) 在 D 内解析 在D内可导。
(2) 函数f (z)在 z0 点可导，未必在z0解析。
12
例如 (1) w=z2 在整个复平面处处可导，故是整个复平面
上的解析函数； (2) w=1/z，除去z=0点外，是整个复平面上的解析
y0
iy
y0
iy
1uvviu i y y y y
19
f '(z )存在
u i v v i u x x y y
u v v u
x y x
y
定义 方程
uv v u x y x y
记忆
u u
x
y
v
v
x
y
称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).
20
定理1 设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 内有定义， 则 f (z)在点 z=x+iy ∈D处可导的充要条件是
复变函数与积分变换重点公式归纳
复变函数与积分变换第一章 复变函数一、复变数和复变函数()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续极限 A z f z z =→)(lim 0连续 )()(lim 00z f z f z z =→第二章 解析函数一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。
二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==xy yx v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。
掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y fi iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂=1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。
1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n ner z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数2、指数函数：)sin (cos y i y e e w xz+==性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zze e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1)'(ln =。
4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --=性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数)1(1sin 2z iz Ln iz Arc w -+== 反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w性质与对数函数的性质相同。
复变函数与积分变换__第2章
复 变 函 数
解析
判 别 方 法 指数函数 对数函数 幂 函 数 三角函数 双曲函数
解析函数与调和 函数的关系
初等解析函数
第二章
解析函数
§2.1 解析函数的概念 §2.2 解析函数与共轭调和函数的关系 §2.3 初等函数
§2.1 解析函数的概念
1 复变函数的导数 2 解析函数的概念
一、复变函数的导数
三、柯西-黎曼方程
2. 区域解析的条件 定理 函数 w f ( z ) u( x, y ) i v( x, y ) 在区域 D 内解析的 充要条件是： u( x, y ) 和 v( x , y ) 在区域 D 内可微，且 满足 C R 方程。 推论 若函数 u( x, y ) 和 v( x , y ) 的四个偏导数 u x , u y , v x , v y 则函数 在区域 D 内存在且连续，并满足 C R 方程，
注解：
利用这些法则，我们可以计算常数、多项式以及
有理函数的导数，其结果和数学分析的结论基本 相同. 根据定理可知: 任务！！！
(1) 所有多项式在复平面内是处处解析的. 用定义讨论函数的解析 P ( z ) 寻求研究解 性绝不是一种好办法！ ( 2) 任何一个有理分式函数 在不含分母为 Q( z ) 析性的更好 的方法 零的点的区域内是解析 的, 使分母为零的点是
定理（函数在一点可导的充分条件）
设函数 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 定义在区域D 内, 则 f ( z ) 在 D内一点 z x yi 可(微)导的充分 条件是: (1) ux ,u y , v x , v y 在点 ( x , y )连续 ( 2 ) u( x , y ), v ( x , y )在点( x , y )满足C-R条件 u v u v , . x y y x
复变函数2 解析函数
u x = 1, u y = 0 , v x = 0 , v y = − 1 ⇒ u x ≠ v y u y ≠ − v x
故 w = z 在复平面内处处不可导, 处处不解析；
2) 由w = z Re(z) = x2 + ixy, 得u = x2, v = xy, 所以
u x = 2 x , u y = 0, vx = y , v y = x
f ( z )在z0的某邻域内可导. f ( z )在z 0 解析：
z 0 称为解析点， 否则称为奇点 。
f ( z )在D内处处解析. f ( z )在区域D内解析：
函数在一点解析 ⇒ 在该点可导。 反之不一定成立。 在区域内： 解析 ⇔ 可导 . 例如 f (z) =
2
z2
在整个复平面上解析； w = f ( z) = z
证明：f ( z )在D内解析 ⇒
u x = v y , v x = −u y ,
⇒ u xx = v xy , u yy = −v xy ⇒ u xx + u yy = 0. 同样可得 vxx + v yy = 0.
且u, v有任意阶连续偏导数
注：逆定理显然不成立，即 对区域D内的任意两个调和函数 u, v, f ( z ) = u + iv 不一定是解析函数 . 例如： f ( z ) = z 2 = x 2 − y 2 + i 2 xy 是解析函数，
当且仅当 x = y = 0时, u x = v y , u y = − v x , 因而函数仅在z = 0可导, 但在复平面内任何地方都不 解析.
例题3 f ( z ) = u + iv是区域D内的解析函数， 且 f ′( z ) ≠ 0
复变函数与积分变换第二章：解析函数
仅当 x y 0 时, 满足柯西－黎曼方程 , 故函数 w z Re( z ) 仅在 z 0 处可导,
设函数w f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y )在点 z x iy可导, 则
f ( z z ) f ( z ) z
[u( x x, y y ) iv( x x, y y )] [u( x, y ) iv( x, y )] x iy
f ' ( z ) ux iv x ux iuy v y iuy v y iv x
函数在区域 D 内解析的充要条件
定理二
函数 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 在其定义
域 D 内解析的充要条件是: u( x , y )与 v ( x , y ) 在 D 内可微, 并且满足柯西－黎曼方 程.
C R方程：
u x v y 0 u y v x 0
x2 y2 0 x2 y2 0
令f ( z ) u ( x, y ) iv( x, y )，则在点z 0满足
但u ( x, y )、v( x, y )在点(0,0)不连续，所以复变 函数f ( z )在z 0不连续, 从而不可导.
定理 设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 内有定义， 则 f (z)在点 z=x+iy ∈D处可导的充要条件是
u(x, y) 和 v(x, y) 在点 (x, y ) 可微，且满足
Cauchy-Riemann方程
u v x y
上述条件满足时,有
v u x y
解析可导 u , v 可微且满足C-R方程
复变函数第二章 解析函数
f (z)在点z0处可导, 称此极限值为f (z)在z0的导数，
dw 记作 f ' ( z0 ) dz
z z0
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) lim z 0 z
记作 z f 1 ( w ) 当反函数单值时z f 1 [ f ( z )] z E 一般z f 1[ f ( z )]) (
当 函数(映 射)w f ( z )和 其反 函数 逆 映射) ( z ( w )都 是单 值的 ， 则 称函 数 射)w f ( z ) (映 是 一一 对应 的。
2. 映射的概念
——复变函数的几何意义
在几何上， w=f(z)可以看作：
z E ( z平面) w f w G ( w平面）的映射变换). (z) (
定义域 y
值域
称w为z的象，而 称为w的原象。 z
(z)
w=f(z) v
(w)
G
z
o
E
w=f(z)
w
x
o
u
•复变函数的几何意义是一个映射（变换）
z z0 z z0
f ( z ) lim f ( z ) A z z0 lim ( lim g ( z ) 0) z z0 g ( z ) lim g ( z ) z z0 B
z z0
以上定理用极限定义证!
例1 证明w x 2 y i ( x y 2 )在平面上处处有极限 .
( z z )2 z 2 lim z 0 z
lim ( 2 z z ) 2z .
复变函数与积分变换第二章_解析函数
z0 可微等价.
与一元实函数类似, 记
df ( z0 ) f ( z0 ) z f ( z0 ) dz ,
称之为 f ( z ) 在 z0 处的微分. 如果函数 f ( z ) 在区域D内处处可微, 则称
f ( z ) 在区域D内可微, 并记为
df ( z ) f ( z ) dz .
也称 z0 是 f ( z ) 的解析点. (2) 若 f ( z ) 在区域D内每一点都解析，则称
f ( z ) 在区域D内解析, 或者称 f ( z ) 是区域D内的
解析函数.
(3) 设G是一个区域，若闭区域 D G , 且 f ( z ) 在G内解析，则称 f ( z ) 在闭区域 D 上 解析. 函数 f ( z ) 在 z0 处解析和在 z0 处可导意义 不同，前者指的是在 z0 的某一邻域内可导, 但后者只要求在 z0 处可导. 函数 f ( z ) 在 z0 处解析和在 z0的某一个邻 域内解析意义相同.
连续，但处处不可导.
定理1.1
例2.2 证明 f ( z ) x 2 yi 在复面内处处
设 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ), 则 f (x)
(3) 求导法则
复变函数中导数的定义与一元实函数
导数的定义在形式上完全一致，同时，复变函
数中的极限运算法则也和实函数中一样，因而
当 z0 0 时, 由 z zz , z0 z0 z0 得
2
2
f ( z ) f ( z0 ) z 2 z z0 2 z0
( z 2 z z0 2 z ) ( z0 2 z z0 2 z0 ).
f ( z ) f ( z0 ) 2 z z0 ( z z0 ) z z 0 . 故 z z0 z z0
复变函数论 第二章 解析函数
当 ∆z 取实数趋于零时，上述极限为1，而当 ∆z 取纯虚数趋于零时， 上述极限为-1，因此上述极限不存在，即 f ( z ) 在点 z 不可导，由 z0 0 的任意性知 f ( z ) 在 z 平面上处处不可微． 如果函数 f ( z ) 在区域 D 内每一点都可微，则称 f ( z ) 可微． 在区域 D 内
定理2.1 （可微的必要条件）设函数
f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y )
在区域 D 内有
定义，且在 D 内一点 z = x + iy 可微，则有 （１）在点 ( x, y ) 处偏导数 （２）
u ( x, y )
u x , u y , vx , v y
在点 ( x, y )
r = z = 1, θ =
π
+ 2 kπ 3
求 k ：当 z = i 时，
π
2
.
由 w(i ) = −i 知
−i = e
3
i2
∴k = 2
=e
i 7π 6
w( −i ) =
−i e
π 4π + − 2 i 3
= −e
π
6
i
作业：第93页 22 ，23
二、对数函数
1、定义2.9 方程
２．解析函数及其简单性质
定义2.3 若函数 在区域 D 内可微，则称 f ( z ) 为区域 D 内的 解析函数（或全纯函数、正则函数）．此时也称 f ( z ) 在区域 D 内解析．
复变函数与积分变换课件第2章
例：设f(z)在z0处连续，且f(z0)不等于0，那么可以
找到z0的一个邻域，在这个邻域内f(z)不等于0
1 导数的定义
定义 设函数w=f(z)在包含z0的某邻域D内有定义 ，点z0+⊿z∈D. 如果极限
f ( z0 Δ z ) - f ( z0 ) lim Δ z 0 Δz
存在, 则称f(z)在z0可导, 此极限值就称为f(z)在z0 的导数, 记作
பைடு நூலகம்
定义 如果函数f(z)不仅在z0可导，而且在z0的某 个邻域内的任一点都可导, 则称f(z)在z0解析。 如果f(z)在区域D内每一点解析, 则称f(z)在D内解 析, 或称f(z)是D内的一个解析函数(全纯函数 或正则函数)
如果f (z)在点z0不解析，就称z0是f (z)的奇 点。
(1) w=f (z) 在 D 内解析等价于在D内可导。 (2) 函数f (z)在 z0 点可导，未必在z0解析。 （3）函数在区域D内的点z处解析，则z 一 定是D的内点。
（4） f ( z ) z Re( z )
例3. 证明 sin ' z cos z
例4 如果f '(z)在区域D处处为零, 则f(z)在D内为一常
数 .
4.高阶导数
二阶及二阶以上的导数称为高阶导数
例 应用公式
sin( z
2
) cos z ,
（n) 求 sin z
1.解析函数的概念
例2
求f ( z) z 在z 0时的极限. z
z z0
例3 求极限 lim cos z 例4 证明 f ( z ) Re z
在z 0时的极限不存在 .
z
定理2
若 lim f ( z ) A lim g ( z ) B, 则
复变函数与积分变换答案-第2章解析函数
11 27、第二章 解析函数习题详解1、(1) f 1(z )= z 4在定义域(-,+) 内连续；2) f 2(z ) =4z +5在定义域(-,+)内连续； 1在定义域-, 3,3, +内连续。
- 4, v = 16u + 64, 为一抛物线。
4、(1)w = z 3，则w = (2i )3= -8i , w =( 2+2i )3=2 2+12i -12 2-8i =-10 2+4i ；5、 f (z )=Re z =x ，当 y →0时， f (z )→1；当x →0时， f (z )→0，因为极限不等， z x + iy 所以当z →0时， f (z )极限不存在。
1在原点处不连续，故 w =i arg z +1 在负实轴上与原点 zz3) f 3 (z )= 22、w = z2u =x 2-y 2v = 2 xy u =x 2 -4，把直线C :y =2映射成:u =x -4v = 4 xvx = ，代入第一个式子，4u =3、1zw = = = z zzx - iy22,x + yv =x 22 x + y-y 22 x + y把直线C :x =1映射成，:vu =v =1 1+y 2-y 1+y 21-u u 2u= (1- u ) u v 2 + u 22)w = z 3，像域为0arg w 26、i arg z 在负实轴上与原点处不连续， 处不连续。
f (z +z )- f (z )z →0z= limz →0(z +z )2zy 2 = 1 -1 = u为一个圆周。
uz 2-(z +z )2z 2(z +z )2z 2 -z 2 -2z z -z 22= lim = lim = - 。
z →0 z z →0z 2(z +z )2zz 38、(1) f (z ) =5-3z +5z 2，在(-,+)内解析，且导数为 f (z ) = -3+10z ；12、(1) z =e 1-2i =ecos -i sin=-ei ；1222) f (z )=1 1 1z 4 -1 (z 2 -1)(z 2 +1) (z -1)(z +1)(z +i )(z -i )在(-,+)内除z =1,5z +431 1 5 3) f (z )= z +4,在(-,+)内除z = - 3外解析， f (z )=1+ 2 =1+ 52z + 32 2 2z +32 2(2z +3)且导数为： f(z )= 1(2z +3)-2(-2)=-5 (2z +3)29、(1) f (z )=Im z = y 在z 平面上的点点不可导，不解析(因柯西-黎曼条件不满足)；2) f (z )= z 4 ，在平面上的点解析。
复变函数与积分变换课堂PPT第二章
其中k为任何整数。这个性质是实变指数函数没有的。
2.对数函数
和实变函数一样，对数函数定义为指数函数的反 函数。将满足方程
的函数w = f (z)称为对数函数。令
,则
所以 因此
由于Arg z为多值函数，所以对数函数 w = f (z)为多 值函数，并且每两个值相差 的整数倍,记作
是两个互为
反函数的单值函数，且
。
iv) 微分的概念 设函数w =f (z)在z0可导, 则有
其中
因此,
是 的高阶无穷
小量, 而
是函数w=f (z) 的改变量 的线性部
分, 称为函数w = f (z)在点z0的微分, 记作
如果函数在z0的微分存在, 则称函数 f (z)在z0可微。
特别, 当f (z) = z时, 得
如果在曲线交点处 uy与 vy都不为零，由隐函数求导
法则知曲线族中任一条曲线的斜率分别为
和
利用柯西-黎曼方程得
例4 如果 f (z) = u + iv为一解析函数，且 f '(z)0， 则曲线族 u(x,y)=c1和 v(x,y)=c2必互相正交，其中c1, c2为 常数。
[证] 利用柯西-黎曼方程得
例3 研究函数
和
的解析性。
[解] 由解析函数的定义与前面的例题可知，
在复平面内是解析的，而
却是处
处不解析的。下面研究
的解析性。
由于
如果 ，那么当
时，上式的极限是零。如果
，令
沿直线
趋于 ，由于k 的任意性，
不趋于一个确定的值。所以当
时，
的极限不存在。
因此，
复变函数与积分变换讲稿第二章解析函数
第二章 解析函数§1 复变函数一 、复变函数的概念1． 定义：设D 为复平面上的点集，对∀点D z ∈，按某种法则，总有另一复数W 与之对应，则称W 是Z 的复变函数,记为)(z f w =。
其中，称W 为像；Z 为原像。
若W Z 与是一一对应，则称)(z f w =为单值函数，若W Z 与 是相互一一对应，则称)(z f w =为单叶函数；Z 对应多个W ， 则称)(z f w =为多值函数。
2、复变函数与实变函数的关系设iy x z +=，iv u y x iv y x u z f W +=+==),(),()(，即有⎩⎨⎧⋅=⋅=)()(y x v v y x u u 这说明了一个复变函数可以用两个二元实变函数 ),(),,(y x v y x u 来表示。
例：xy i y x Z W 2)(222+-==⎩⎨⎧=-=⇒xy v yx u 222。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=⇒+-+=+-===22222222221y x y v y x x u y x y i y x x y x iy x z z z z w3．关于映射的慨念复变函数在几何上又称为映射（或变换）。
这种函数关系要用两个平面来表示。
函数)(z f w =在几何上可以看成是把z 平面上的一个点集G 映射到w 平面上的一个点集*G 。
例 z w =，显然，它将z 平面上的点i z 321+=映射成w 平面上的 点i w 321-=，将点i z 212-=映射成w 平面上的点i w 212+=， 将三角形ABC 映射成w 平面上的三角形'''C B A .见下图：例2 问：函数2z w =将z 平面上的曲线C x =映射成w 平面上的何种曲线？解 ⎩⎨⎧=-=⇒+-=+==xyv y x u xy i y x iy x z w 22)(222222xy v 2=可得22242C v C u c x x v y -=⇒==是w 平面上 关于以u 轴为对称的抛物线。
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Q(z)
.
④复合函数的导数 ( f [g(z)]) =f (w)g(z)，
其中w=g(z)。
⑤ 反函数的导数
f
'(z)
1
'(w)
，其中:
w=f
(z)
与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0。
f(z)limf(zz)f(z)
z0
z
[u(xx, y)iv(xx, y)][u(x, y)iv(x, y)]
z) z
f
(z0)
f
(z0)
,
令z
f (z0 z) z
f (z0)
f (z0),则lzi m0z 0,
由此可得f (z0 z) f (z0) f (z0)z zz,
lim
z0
f (z0
z)
f (z解析函数的概念
定义 如果函数w=f (z)在z0及z0的某个邻域内处处 可导，则称f (z)在z0解析； 如果f (z)在区域D内每一点都解析，则称 f (z)在D内解析，或称f (z)是D内的解析函数 (全纯函数或正则函数）。
当 当 zz取 取纯 实虚 数 0时 0,时 数 趋 f,f 趋 于 z z 于 1;0; lzi m0 fz 不存在 .
.
(2)求导公式与法则
----实函数中求导法则的推广
① 常数的导数 c=(a+ib)=0. ② (zn)=nzn-1 (n是自然数).
证明
对于复平面上任意一点z0，有
.
一. 解析函数的充要条件
设函 w数 f(z)u(x,y)iv(x,y)在点 zxiy可,导 则
f(zz)f(z) z
[u (x x ,y y ) i(x v x ,y y ) [ ]u (x ,y ) i(x v ,y )] x i y
.
若沿平行于实轴z的z方 式 z(y0)
思考题
实函数 , f(中 x)x2在( ,)内可;导 复函数 , f(中 z)z2的可导 ? 性
.
例2 已f知 (z)(z25z)21，f'求 (z)
z1
解 f(z)2(z25z)2 (z5)(z 11)2 例3 问：函数f (z)=x+2yi是否可导？
解 limf(zz) f(z)
z0
z
xx2(yy)i (x2yi)
如果f (z)在点z0不解析，就称z0是f (z)的奇点。
(1) w=f (z) 在 D 内解析 在D内可导。
(2) 函数f (z)在 z0 点可导，未必在z0解析。
.
例如 (1) w=z2 在整个复平面处处可导，故是整个复平面
上的解析函数； (2) w=1/z，除去z=0点外，是整个复平面上的解析
zn
lim lim
z0n
zz0 z zz0 zz0
lim(zz0)(zn1 zz0
zn2z0 zz0
z0n1)
nz0n1
.
③ 设函数f (z),g (z) 均可导，则
[f (z)±g (z)] =f (z)±g(z)， [f (z)g(z)] = f (z)g(z) + f (z)g(z)
g f((z z)) 'f'(z)g (z g )2 (zf)(z)g '(z),(g (z)0 )
以任意方式趋于零的原故。
(2) 在高等数学中要举出一个处处连续， 但处处不可导的例题是很困难的, 但在复变函数中，却轻而易举。
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(3)可导与连续 若 w=f (z) 在点 z0 处可导 w=f (z) 点 z0 处连续.
?
证明:若f (z)在z0可导,则 0, 0,
使得当0
z
,时,有
f (z0
lim
z0
xiy
lz i0m x x 2 yyi i 1 2当 当 x y 0 0,, x y 0 0时 时 不存 ! 故函f(数 z)x2y处 i 处不. 可导
.
例4 证明 f (z)=zRez只在z=0处才可导。
证明
(z z)Re(z z) z Rez lim
z0
z
limzRe(zz)zRez
第二章 解析函数
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§2.1 解析函数的概念
1. 复变函数的导数定义 2. 解析函数的概念
. GO
一. 复变函数的导数
(1)导数定义
定义 设函数w=f (z) z∈D, 且z0、 z0 +Δz∈D，
如果极限 limf(z0z)f(z0)存在，则称函数
z0
z
f (z)在点z0处可导。称此极限值为f (z)在z0的导数， 记作 f'(z0)d dw z zz0 lz i0m f(z0 zz )f(z0)
如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称 f (z)在区域 D内可导。
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(1) Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零。 (2) z=x+iy,Δz=Δx+iΔy, Δf=f(z+Δz)-f(z)
例1 证明 : f(z)Rez在平面上的任何可点导 .都不
证:明 f Rze(z)Rze)(
z
z
x x x x x iy x iy
函数； (3) w=zRez 在整个复平面上处处不解析(见例4)。
定理1 设w=f (z)及w=g(z)是区域D内的解析函数，
则 f (z)±g(z)，f (z)g(z) 及 f (z) g(z) (g (z)≠0时)
均是D内的解析函数。
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由以上讨论 P(z)a0 a1zanzn是整个复平面上函 的数 解； 析 R(z) P(z)是复平面(除 上分母0为 点外)的解析函. 数
z0
z
lz im 0zR z ez0 lim (Rze(z)z
z0时 x )不存! 在 z0时
z 0
xiy
lim z0
x x iy
0 1
当y 0, x 0时 当x 0, y 0时
不存在！
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(1) 复变函数在一点处可导，要比实函数 在一点处可导要求高得多，也复杂得
多，这是因为Δz→0是在平面区域上
Q(z)
定理 2 设 w=f (h) 在 h 平面上的区域 G 内解析, h=g(z) 在 z 平面上的区域 D 内解析, h=g(z)的函数值
集合 G，则复合函数w=f [g(z)]在D内处处解析。
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§2.2 解析函数的充要条件
1. 解析函数的充要条件 2.举例
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如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定 义域 D内处处可导，则函数 w = f (z) 在 D内解析。 问题 如何判断函数的解析性呢？