机械工业出版社 复变函数与积分变换 第2章 解析函数

思考题
实函数 , f(中 x)x2在( ,)内可;导 复函数 , f(中 z)z2的可导 ? 性
.
例2 已f知 (z)(z25z)21，f'求 (z)
z1
解 f(z)2(z25z)2 (z5)(z 11)2 例3 问：函数f (z)=x+2yi是否可导？
解 limf(zz) f(z)
Hale Waihona Puke Baiduz0
z
xx2(yy)i (x2yi)
.
一. 解析函数的充要条件
设函 w数 f(z)u(x,y)iv(x,y)在点 zxiy可,导 则
f(zz)f(z) z
[u (x x ,y y ) i(x v x ,y y ) [ ]u (x ,y ) i(x v ,y )] x i y
.
若沿平行于实轴z的z方 式 z(y0)
以任意方式趋于零的原故。
(2) 在高等数学中要举出一个处处连续， 但处处不可导的例题是很困难的, 但在复变函数中，却轻而易举。
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(3)可导与连续 若 w=f (z) 在点 z0 处可导 w=f (z) 点 z0 处连续.
?
证明:若f (z)在z0可导,则 0, 0,
使得当0
z
,时,有
f (z0
z) z
f
(z0)
f
(z0)
,
令z
f (z0 z) z
f (z0)
f (z0),则lzi m0z 0,
由此可得f (z0 z) f (z0) f (z0)z zz,
lim
z0
f (z0
z)
f (z0),所以f (z)在z0连续
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二. 解析函数的概念
定义 如果函数w=f (z)在z0及z0的某个邻域内处处 可导，则称f (z)在z0解析； 如果f (z)在区域D内每一点都解析，则称 f (z)在D内解析，或称f (z)是D内的解析函数 (全纯函数或正则函数）。
f(z)limf(zz)f(z)
z0
z
[u(xx, y)iv(xx, y)][u(x, y)iv(x, y)]
函数； (3) w=zRez 在整个复平面上处处不解析(见例4)。
定理1 设w=f (z)及w=g(z)是区域D内的解析函数，
则 f (z)±g(z)，f (z)g(z) 及 f (z) g(z) (g (z)≠0时)
均是D内的解析函数。
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由以上讨论 P(z)a0 a1zanzn是整个复平面上函 的数 解； 析 R(z) P(z)是复平面(除 上分母0为 点外)的解析函. 数
由以上讨论 P(z) a0 a1zanzn在整个复平面上处 导处 ；可 R(z) P(z)在复平面上（除分 0外母）为处处可 . 导
Q(z)
.
④复合函数的导数 ( f [g(z)]) =f (w)g(z)，
其中w=g(z)。
⑤ 反函数的导数
f
'(z)
1
'(w)
，其中:
w=f
(z)
与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0。
Q(z)
定理 2 设 w=f (h) 在 h 平面上的区域 G 内解析, h=g(z) 在 z 平面上的区域 D 内解析, h=g(z)的函数值
集合 G，则复合函数w=f [g(z)]在D内处处解析。
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§2.2 解析函数的充要条件
1. 解析函数的充要条件 2.举例
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如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定 义域 D内处处可导，则函数 w = f (z) 在 D内解析。 问题 如何判断函数的解析性呢？
如果f (z)在点z0不解析，就称z0是f (z)的奇点。
(1) w=f (z) 在 D 内解析 在D内可导。
(2) 函数f (z)在 z0 点可导，未必在z0解析。
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例如 (1) w=z2 在整个复平面处处可导，故是整个复平面
上的解析函数； (2) w=1/z，除去z=0点外，是整个复平面上的解析
当 当 zz取 取纯 实虚 数 0时 0,时 数 趋 f,f 趋 于 z z 于 1;0; lzi m0 fz 不存在 .
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(2)求导公式与法则
----实函数中求导法则的推广
① 常数的导数 c=(a+ib)=0. ② (zn)=nzn-1 (n是自然数).
证明
对于复平面上任意一点z0，有
如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称 f (z)在区域 D内可导。
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(1) Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零。 (2) z=x+iy,Δz=Δx+iΔy, Δf=f(z+Δz)-f(z)
例1 证明 : f(z)Rez在平面上的任何可点导 .都不
证:明 f Rze(z)Rze)(
z
z
x x x x x iy x iy
z0
z
lz im 0zR z ez0 lim (Rze(z)z
z0时 x )不存! 在 z0时
z 0
xiy
lim z0
x x iy
0 1
当y 0, x 0时 当x 0, y 0时
不存在！
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(1) 复变函数在一点处可导，要比实函数 在一点处可导要求高得多，也复杂得
多，这是因为Δz→0是在平面区域上
第二章 解析函数
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§2.1 解析函数的概念
1. 复变函数的导数定义 2. 解析函数的概念
. GO
一. 复变函数的导数
(1)导数定义
定义 设函数w=f (z) z∈D, 且z0、 z0 +Δz∈D，
如果极限 limf(z0z)f(z0)存在，则称函数
z0
z
f (z)在点z0处可导。称此极限值为f (z)在z0的导数， 记作 f'(z0)d dw z zz0 lz i0m f(z0 zz )f(z0)
zn
lim lim
z0n
zz0 z zz0 zz0
lim(zz0)(zn1 zz0
zn2z0 zz0
z0n1)
nz0n1
.
③ 设函数f (z),g (z) 均可导，则
[f (z)±g (z)] =f (z)±g(z)， [f (z)g(z)] = f (z)g(z) + f (z)g(z)
g f((z z)) 'f'(z)g (z g )2 (zf)(z)g '(z),(g (z)0 )
lim
z0
xiy
lz i0m x x 2 yyi i 1 2当 当 x y 0 0,, x y 0 0时 时 不存 ! 故函f(数 z)x2y处 i 处不. 可导
.
例4 证明 f (z)=zRez只在z=0处才可导。
证明
(z z)Re(z z) z Rez lim
z0
z
limzRe(zz)zRez