李永乐线代笔记精编WORD版

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(完整版)线性代数笔记

等行变换，则得到的是。
对于第二类的可先转化为第一类的，即由
两边转置得
按上例的方法求出进而求出 X
二.初等变换的性质
定理 2.5.1 设线性方程组的增广矩阵经有限次的初等行变换化为，则以与
为增广矩阵的方程组同解。定理 2.5.2 任何矩阵都可以经有限次初等行变换化成行最简形式，经有限次初等变换（包括行及列）化成等价标准形。且其标准形由原矩阵惟一确定，而与所做的初等变换无
3、矩阵的乘法设 A=（aij）m×n，B=（bjk）n×l，则 A*B=C=（cik）m×l 其中 C=Σaijbjk（j=1，n）注意；两个矩阵相乘必须第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数；矩阵乘法不满足交换律，即 AB 不一定等于 BA；矩阵乘法有零因子，即 A≠0（零矩阵），B≠0（零矩阵），但有可能 A*B=0（零矩阵）矩阵的乘法适合以下法则：（1）结合律：（AB）C=A（BC）（2）分配律（A+B）C=AC+BC
hing at a time and All things in their being are good for somethin
此处 0 表示与 A 同型的零矩阵，即 A=（aij）m×n ，0=0m×n （4）矩阵 A=（aij）m×n，规定-A=（-aij）m×n，（称之为 A 的负矩阵），则有 A+（-A）=（A）+A=0
如果 n 个未知数，n 个方程的线性方程组的系数行列式 D≠0,则方程组
定理 1.4.3 如果 n 个未知数 n 个方程的齐次方程组的系数行列式 D≠0，则该方程组只有零解，没有非零解。推论如果齐次方程组有非零解，则必有系数行列式 D=0。
第二章矩阵
一、矩阵的运算

(word完整版)线性代数重要知识点及典型例题答案,推荐文档

线性代数知识点总结第一章行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。

（转置行列式TD D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。

推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。

③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。

推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。

④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。

克莱姆法则：非齐次线性方程组：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。

化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的）化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章矩阵n （零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) ---------交换、结合律数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)((反序定理) 方幂：2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……）对称矩阵反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方注：把分出来的小块矩阵看成是元素N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的，|A|=0、伴随矩阵)2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 初等变换不改变矩阵的可逆性初等矩阵都可逆倍乘阵倍加阵） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr矩阵的秩r(A)：满秩矩阵降秩矩阵若A 可逆，则满秩若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ）初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式nij n n ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。

李永乐线性代数经典例题

此题做到 ( B + A )( B − A ) 这一步即可原式
−1
(A
E
−1
−1 T −1 T B A ) − ET B + A−1 A ) (
( B + A) ( A + B)
A ( A−1 B − E )
2
( A + B) ( A + B)
原式总结
−1
( B + A)( B − A)
8
B*
8 10 −5 1 −8 4 −1 − 7 4 − 1
4
已知 A
*
求 A ________
解答
A
0 −1 1 −1 −3 2 − − 4 5 0 AA* A* A AE
解法
第 2 页
2003 年度研究生入学考试系列参考资料
−1
B 两个矩阵均为 N 阶矩阵
且 ( A + B)
2
E
其中 A 为对称矩阵且可逆
求
(A
B + E)
−1
(B
T
A−1 − E )
−1
T
________
T
解答注意解法
(A
−1
B + E)
(B
T
A−1 − E )
( B + A)( B − A)
不必再画蛇添足
−1 −1 ( A−1 )T ( BT )T − E + A A B ( )
求B
________
解答
B
−6 0 0 6 −12 9 3 1.5 3 −1.5 1.5 −2.25 −3 −3 1.5 6

(完整word版)线性代数(同济六版)知识点总结

1. 二阶行列式--------对角线法则 :2. 三阶行列式①对角线法则②按行（列）展开法则3. 全排列：n 个不同的元素排成一列。

所有排列的种数用表示， = n ！逆序数：对于排列…，如果排在元素前面，且比大的元素个数有个，则这个元素的逆序数为。

整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。

奇排列：逆序数为奇数的排列。

偶排列：逆序数为偶数的排列。

n 个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性. 4.其中：是1,2,3的一个排列，t()是排列的逆序数5.下三角行列式:副三角跟副对角相识对角行列式：副对角行列式：333231232221131211a a a a a a a a a 3221312312332211a a a a a a a a a 13++=312213332112322311a a a a a a a a a ---32132123312322211312113j 2j 1j )j j t (j 33a a a a a aa a a a a a 1)(∑-=n n 2211n nn 2n 1222111...a a a a ...a a 0a a a = n...λλλλλλ21n21=n21λλλ n2121)n(n λλλ1)( --=6. 行列式的性质： ①行列式与它的转置行列式相等. （转置：行变列，列变行）。

D =②互换行列式的两行（列），行列式变号。

推论：两行（列）相同的行列式值为零。

互换两行：③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数 k 乘此行列式。

第i 行乘k ： x k 推论：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 ④行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于0⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和。

如：⑥把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。

《线性代数》学习笔记一

主题：《线性代数》学习笔记内容：《线性代数》学习笔记一——行列式的定义和性质1、二、三阶行列式的定义解二元线性方程组 a 11x 1+a 12x 2=b 1a 21x 1=a 22x 2=b 2用消元法去x 2得（a 11a 22-a 12a 21）x 1=b 1a 22-b 2a 12, 消去x 1得（a 11a 22-a 12a 21）x 2=a 11b 2-a 21b 1, 当a 11a 22-a 12a 21≠0时，得出211222*********a a a a a b a b x --=， 211222111212112a a a a b a b a x --=分子与分母都是由4个数构成的两对乘积之差，例如分母是由方程的4个系数确定的，若将4个系数按出现在方程中的相对位置排成二行（横为行）二列（纵为列）的数表a 11 a 12 a 21 a 22a 11a 22-a 12a 21就是二对角线上两个数乘积之差定义1 a 11a 22-a 12a 12称为由数表 a 11 a 12 a 21 a 22确定的二阶行列式，记作：11122122,,a a a a 改为 11122122a a a a 即1112112212212122a a a a a a a a数a ij (i,j=1,2)称为行列式的元素，a ij 的第一个下标i 称为行标，第二个下标j称为列标，a ij 表示该元素在第i 行，第j 列。

由以上定义知： 222121122221,,a b a b a b a b =- ，221111121211b a b a b a b a =- 把行列式中元素间的逗号去掉，两个元素间应该有空格。

于是以上所得的方程组的解完全可以用行列式表示。

仿照以上解二元联立方程组，用消元法解三元联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 可以引出三阶行列式的概念。

(完整word版)线性代数超强的总结(不看你会后悔的)(word文档良心出品)

线性代数超强总结()0A r A n A Ax A A οο⎧⎪<⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪⎪⎩不可逆有非零解是的特征值的列（行）向量线性相关 12()0,,T s i nA r A n Ax A A A A A A A p p p p Ax οββ⎧⎪=⎪⎪=⎪⎪⎪≠⇔⎨⎪⎪⎪⎪=⋅⋅⋅⎪⎪∀∈=⎩可逆只有零解的特征值全不为零的列（行）向量线性无关是正定矩阵与同阶单位阵等价是初等阵总有唯一解R⎫⎪−−−→⎬⎪⎭具有向量组等价相似矩阵反身性、对称性、传递性矩阵合同 √ 关于12,,,n e e e ⋅⋅⋅：①称为n ¡的标准基，n ¡中的自然基，单位坐标向量； ②12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性无关； ③12,,,1n e e e ⋅⋅⋅=； ④tr()=E n ；⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性表示.√ 行列式的计算：① 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则(1)mn A A A A BBBBAA B B οοοοο*===**=-②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.③关于副对角线：(1)211212112111(1)n n nnn n n n n n n a a a a a a a a a οοο---*==-K NN√ 逆矩阵的求法:①1A A A*-=②1()()A E E A -−−−−→MM 初等行变换③11a b d b c d c a ad bc --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ TT T TT A B A C C D BD ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦④12111121n a a n a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦OO21111211na a n a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦NN⑤11111221n n A A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦OO11121211n nA A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦N N √ 方阵的幂的性质：m n m n A A A += ()()m n mn A A =√ 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++L ，对n 阶矩阵A 规定：1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++++L 为A 的一个多项式. √设,,m n n s A B ⨯⨯A 的列向量为12,,,nααα⋅⋅⋅,B 的列向量为12,,,sβββ⋅⋅⋅，AB 的列向量为12,,,s r r r L ,1212121122,1,2,,,(,,,)(,,,),(,,,),,,.i i s s T n n n i i i i r A i s A A A A A B b b b A b b b AB i r A AB i r B βββββββββαααβα==⋅⋅⋅=⎫⎪==++⎪⎬⎪⎪⎭L L L L 则：即用中简若则单的一个提即：的第个列向量是的列向量的线性组合组合系数就是的各分量；高运算速度的第个行向量是的行向量的线性组合组合系数就是的各分量 √ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,与分块对角阵相乘类似,即：11112222,kk kk A B A B A B A B οοοο⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦OO11112222kk kk A B A B AB A B οο⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦O√ 矩阵方程的解法：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II) 当0A ≠时,,B A B E X −−−−→M M 初等行变换（当为一列时(I)的解法：构造()()即为克莱姆法则） T T T TA XB X X =(II)的解法：将等式两边转置化为，用(I)的方法求出，再转置得√ Ax ο=和Bx ο=同解（,A B 列向量个数相同）,则：① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系.√ 判断12,,,s ηηηL 是0Ax =的基础解系的条件： ① 12,,,s ηηηL 线性无关； ② 12,,,s ηηηL 是0Ax =的解；③ ()s n r A =-=每个解向量中自由变量的个数.① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. ③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. ⑤ 两个向量线性相关⇔对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关. ⑥ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.⑦ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关⇔向量组中至少有一个向量可由其余1n -个向量线性表示. 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关⇔向量组中每一个向量i α都不能由其余1n -个向量线性表示. ⑧ m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关()r A n ⇔<； m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关()r A n ⇔=. ⑨ ()0r A A ο=⇔=.⑩ 若12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关，而12,,,,n αααβ⋅⋅⋅线性相关,则β可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且表示法惟一. ⑪ 矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩. 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.⑫ 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系. 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.12,,,n ααα⋅⋅⋅和12,,,n βββ⋅⋅⋅可以相互线性表示. 记作：{}{}1212,,,,,,n n αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅%A 经过有限次初等变换化为B . 记作：A B =%⑬ 矩阵A 与B 等价⇔()(),r A r B A B =≠>作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价. 矩阵A 与B 作为向量组等价⇔1212(,,,)(,,,)n n r r αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=1212(,,,,,,)n n r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒ 矩阵A 与B 等价.⑭ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示⇔1212(,,,,,,)n s r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅⇒12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅≤12(,,,)n r ααα⋅⋅⋅. ⑮ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且s n >，则12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关. 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n .⑯ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价； ⑰ 任一向量组和它的极大无关组等价.⑱ 向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等. ⑲ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.⑳ 若A 是m n ⨯矩阵,则{}()min ,r A m n ≤,若()r A m =，A 的行向量线性无关；若()r A n =，A 的列向量线性无关,即：12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关.Ax β=1122n n x x x αααβ+++=L1112111212222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L L M M M M M L 12,1,2,,j j jmj j n αααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L M1212120,,,0,,,()(),,,A n A n n Ax Ax A nAx Ax A Ax r A r A n βοαααβοβαααββααα⇒⇔==−−−−−→=<<≠⇒⇒⇔==−−−−−→≠⇔=⇔=<≠=⇒L L M L 当为方阵时当为方阵时有无穷多解有非零解线性相关有唯一组解只有零解可由线性表示有解线性无关 12()(),,,()()()1()A n r A r A Ax r A r A r A r A ββαααβββ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪−−−−−→⎪⎩⇔≠⎧⎪⇔=⇔<⎨⎪⇔+=⎩ML M M 当为方阵时克莱姆法则不可由线性表示无解线性方程组解的性质：1212121211221212(1),0,(2)0,,(3),,,0,,,,,(4),0,(5),,0(6)k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηηηηηηηηλλλληληληγβηγηβηηβηη=+⎫⎪=⎪⎬=⎪⎪++⎭==+==-=L L 是的解也是它的解是的解对任意也是它的解齐次方程组是的解对任意个常数也是它的解是的解是其导出组的解是的解是的两个解是其导出组的解211212112212112212,0(7),,,,100k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηηηηβληληληβλλλληληληλλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⇔-=⎪=⎪⎪++=⇔++=⎪⎪++=⇔++=⎩L 是的解则也是它的解是其导出组的解是的解则也是的解是的解√ 设A 为m n ⨯矩阵,若()r A m =,则()()r A r A β=M ,从而Ax β=一定有解. 当m n <时,一定不是唯一解.⇒<方程个数未知数的个数向量维数向量个数,则该向量组线性相关.m 是()()r A r A βM 和的上限. √ 矩阵的秩的性质：① ()()()T T r A r A r A A == ② ()r A B ±≤()()r A r B + ③ ()r AB ≤{}min (),()r A r B④ ()0()00r A k r kA k ≠⎧=⎨=⎩ 若若⑤ ()()A r r A r B B οο⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⑥0,()A r A ≠若则≥1⑦ ,,()0,()()m n n s A B r AB r A r B ⨯⨯=+若且则≤n ⑧ ,()()()P Q r PA r AQ r A ==若可逆,则 ⑨ ,()()A r AB r B =若可逆则,()()B r AB r A =若可逆则⑩ (),()(),r A n r AB r B ==若则且A 在矩阵乘法中有左消去律:0AB B AB AC B Cο=⇒==⇒=n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.(,)0αβ=.1α==.√ 内积的性质： ① 正定性：(,)0,(,)0αααααο≥=⇔=且 ② 对称性：(,)(,)αββα=③ 双线性：1212(,)(,)(,)αββαβαβ+=+ 1212(,)(,)(,)ααβαβαβ+=+ (,)(,)(,)cc c αβαβαβ==123,,ααα线性无关,112122111313233121122(,)()(,)(,)()()βααββαβββαβαββαββββββ=⎧⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=--⎪⎩正交化单位化：111βηβ= 222βηβ= 333βηβ= T AA E =.√ A 是正交矩阵的充要条件：A 的n 个行（列）向量构成n ¡的一组标准正交基. √ 正交矩阵的性质：① 1T A A -=；② T T AA A A E ==；③ A 是正交阵,则T A （或1A -）也是正交阵； ④ 两个正交阵之积仍是正交阵； ⑤ 正交阵的行列式等于1或-1.E A λ-.()E A f λλ-=.0E A λ-=. Ax x Ax x λ=→ 与线性相关 √ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素.√ 若0A =,则0λ=为A 的特征值,且0Ax =的基础解系即为属于0λ=的线性无关的特征向量. √ 12n A λλλ=L 1ni A λ=∑tr√ 若()1r A =,则A 一定可分解为A =[]1212,,,n n a a b b b a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L M 、21122()n n A a b a b a b A =+++L ,从而A的特征值为：11122n n A a b a b a b λ==+++L tr , 230n λλλ====L . √ 若A 的全部特征值12,,,n λλλL ，()f x 是多项式,则:① ()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλL ；② 当A 可逆时,1A -的全部特征值为12111,,,n λλλL , A *的全部特征值为12,,,n A A AL .√ 1122,.m m Ak kA a b aA bEAA AA A λλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是的特征值则:分别有特征值 √ 1122,m m Ak kAa b aA bEAx A x A A A λλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是关于的特征向量则也是关于的特征向量. 1B P AP -= （P 为可逆阵）记为：A B :√ A 相似于对角阵的充要条件：A 恰有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵，1P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值. √ A 可对角化的充要条件：()i i n r E A k λ--= i k 为i λ的重数. √ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值,则A 与对角阵相似.1B P AP -= （P 为正交矩阵） √ 相似矩阵的性质：① 11A B --: 若,A B 均可逆② T T A B :③ k k A B : （k 为整数）④ E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即:x 是A 关于0λ的特征向量,1P x -是B 关于0λ的特征向量. ⑤ A B = 从而,A B 同时可逆或不可逆 ⑥ ()()r A r B = ⑦ ()()A B =tr tr√ 数量矩阵只与自己相似. √ 对称矩阵的性质：① 特征值全是实数,特征向量是实向量； ② 与对角矩阵合同；③ 不同特征值的特征向量必定正交；④ k 重特征值必定有k 个线性无关的特征向量；⑤ 必可用正交矩阵相似对角化（一定有n 个线性无关的特征向量,A 可能有重的特征值,重数=()n r E A λ--）.A 与对角阵Λ相似. 记为：A Λ: （称Λ是A √ 若A 为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数（重数重复计算）()r A =. √ 设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有：[]121212112212(,,,)(,,,)(,,,),,,n n n n n n PA A A A λλααααααλαλαλααααλΛ⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L O1442443144424443. √ 若A B :, C D :,则：A B C D οοοο⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦:. √ 若A B :,则()()f A f B :,()()f A f B =.12(,,,)T n f x x x X AX =L A 为对称矩阵 12(,,,)T n X x x x =LT B C AC =. 记作：A B ; （,,A B C 为对称阵为可逆阵） √ 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数. √ 两个矩阵合同的充分条件是：A B : √ 两个矩阵合同的必要条件是：()()r A r B =√ 12(,,,)Tn f x x x X AX =L 经过正交变换合同变换可逆线性变换X CY =化为2121(,,,)nn i i f x x x dy =∑L 标准型.√ 二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由{()r A +正惯性指数负惯性指数惟一确定的.√ 当标准型中的系数i d 为1，-1或0时,√ 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.√ 任一实对称矩阵A 与惟一对角阵111100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O OO合同.√ 用正交变换法化二次型为标准形:① 求出A 的特征值、特征向量； ② 对n 个特征向量单位化、正交化； ③ 构造C （正交矩阵）,1C AC -=Λ；④ 作变换X CY =,新的二次型为2121(,,,)nn i i f x x x d y =∑L ,Λ的主对角上的元素i d 即为A 的特征值.12,,,n x x x L 不全为零，12(,,,)0n f x x x >L . 正定二次型对应的矩阵. √ 合同变换不改变二次型的正定性. √ 成为正定矩阵的充要条件（之一成立）：① 正惯性指数为n ； ② A 的特征值全大于0；③ A 的所有顺序主子式全大于0；④ A 合同于E ，即存在可逆矩阵Q 使T Q AQ E =； ⑤ 存在可逆矩阵P ，使T A P P = （从而0A >）；⑥ 存在正交矩阵，使121T n C AC C AC λλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦O （i λ大于0）. √ 成为正定矩阵的必要条件：0ii a > ； 0A >.。

李永乐线代笔记定稿版

李永乐线代笔记HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】1、线代5~7道题行列式矩阵向量方程组特征值二次型2、微积分数一考的难3、数一线代多一个向量空间考点【行列式、矩阵、向量、方程组、特征值、二次型】4、说曲面名称，数一；三个平面5、方程组，有解、无解、唯一解、无穷解【相关、无关、帙、线性表述、研究方程组解的理论】===【研究解的过程提炼出矩阵、行列式】6、二次型是特征值的几何应用，为什么有各种不同的曲面，由特征值的正负等，7、二次型和特征值的关系8、方程组和特征值是重点，考解答题9、概念多，定理，运算法则多，符号多10、内容纵横交错，知识前后联系紧密代数的一题多解，用不同的定理公式做同一道题11、逻辑推理要求高，可能考证明题，要在证明题花点时间1.方程组，解的情况，有没有解，相关无关，帙2.怎么求解，什么叫方程组的解：x1.。

xn带进每个方程，则是解3.同解变形(1)将两个方程位置互换（2）将某个方程乘以一个非零常数（3）将某个方程的K倍加到某个方程上---------------矩阵的初等变换【解方程组只能做行变换，不能列变换】4.先正向消元---由上往下；然后反响求解-----由下往上5.系数变成a，b，求a，b取什么值有解、无解；面对参数怎么消元，讨论1.求其次方程解(1)初等行变换（2）阶梯型（3）行最简化t、u2.加减消元2分，求解过程没分，答案写出来给满分，看着行最简直接写答案3.A---mxn，有几个线性无关解，n-A的帙4.帙就是最简行矩阵的行数5.找到单位矩阵，其他的是变量，用100法则；找到1对应的数，写其相反数6.对矩阵A进行初等行变换；则方程组的一个基础解系为----------行最简1、矩阵基础知识，矩阵：mxn表格数叫矩阵【行列式一定是一个数，行列相等】2、矩阵描述一些事情、做运算3、矩阵乘法：A-MxN列,B-N行xS.AB-MxS，i行乘j列4、遇到AB=0，秩；解5、对角矩阵得对角矩阵，左右可以交换；对角矩阵的次方=对应元素的次方6、列前行后，的N阶矩阵，行前列后，的一个数7、Ab转置与ba转置互为转置矩阵8、主对角线元素的和叫做矩阵的“迹”9、Ab转置的主对角线等于b转置a10、方程组可以写成矩阵乘法11、A-n，A各行元素之和都为0，【1，1，1，1，1，。

李永乐线性代数考研复习资料。复习提纲+经典例题解答

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清华大学考研辅导强化班课程《线性代数》
同理将Dn中ak2，ak3，… ，akn分别换成c2，c3，… ，cn 则记
而中
中的
是相同的。因此通过计算行列式解：由以上分析有：
即可求出
Pa ge 1 2
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思路：本行列式元素的特点：每一行与第一行只有两个元素不同，因丝山谝恍械模ǎ?）倍分别加到其它各行上。小结：①对于箭头形行列式，总是用主对角线元素去化第1列（或第1 校怪晌希ㄏ拢┤ 切涡辛惺健Ｒ蛭弥鞫越窍咴厝セ闶，后边的化零过程不会破坏前面已化成的零元素（请读者思考，为什从姓饷春玫慕峁湓蚴鞘裁矗浚 ②例1.6中，将D中第1列元素化为0（a 11除外）与化第1行元素为0，其难度相同，但对例1.7化第1列元素为0 比化第1行元素来得简便，读者可仔细揣摩其中的区别。
例1.11
例1.12
思路：数字较大，直接计算麻烦。观察可知其第2列与第1 列相差不大，第3列与第2列的3倍相近。例1.13
本题行列式中没有元素1，若直接化成上（下）三角形，突岢鱿址质虼讼冉 ?行的（－1）倍加到第1行，得 ½a11=－1，然后再化零。（七）、利用行列式是一个多项式，可以分解因式的性质来计算行列式。若f(x)是x的一个多项式，显然当f(a)=0时，f(x)应有(x －a)的因式，如f(x)＝x2－5x+6,则f(2)＝0,f(3)=0，故f (x)＝K(x－2)(x－3)，再利用x=x0可求出K，或用某个特定的xm项对比系数定出K。例1.14

李永乐线代笔记

·第一章节行列式基础知识：①算逆序的方法：从左到右一个一个看，前面有比此数大的就算一个逆序，最后加起来。

②代数余子式千万别忘记(−1)i +i③行列式两行（列）对换，行列式要变号！ ④克拉默法则：i i =i ii基本行列式的计算： ]①副对角行列式=(−1)i (i −1)2i 1i i 2,i −1···i i1②副对角拉普拉斯：|i i i ∗|=(−1)ii |i ||i | ③范德蒙行列式（首行为1，每列从上往下是等比数列）=∏(i i −i i )1≤i <i ≤i 即针对第二行，每个靠右的都减一次靠左的，然后乘起来。

④特征多项式（三阶）：|ii −i |=i 3−(i 11+i 22+i 33)i 2+i 2i −|i | 其中i 2=|i 11i 12i 21i 22|+|i 11i 13i 31i 33|+|i 22i 23i 32i 33|⑤零多的，直接展开算。

⑥将第一行（列）的k 倍依次加至其余各行（列）。

—⑦将每一行（列）都加到第一行。

⑧逐行（列）相加。

特殊行列式的计算：①∠型行列式，从角（或边）沿第三边方向扫过去，依次把前一行（列）乘上倍数加到后一行（列）上。

②爪型行列式，↖↘头朝主对角线的，化为上（下）三角行列式； ↗↙头朝副对角线的，化为副对角线三角行列式。

③对称征子型（中间斜着三道）行列式，采用逐行相加（上一行乘倍数加到下一行上）的方式化为下三角行列式。

《④对角线为i ，其余都为i 的行列式，每行都减第一行，再每列都加到第一列。

第二章节矩阵主要公式： ①伴随：ii ∗=i ∗i =|i |i ； i ∗=|i |i −1 ； (i ∗)−1=(i −1)∗=i|i |(i ∗)i =(i i )∗ ； (ii )∗=ii −1i ∗ ； (i ∗)∗=|i |i −2ii (i ∗)={i ，如果i (i )=i1，如果i (i )=i −10，如果i (i )<i −1】②可逆：i−1=i ∗|i |； (ii )−1=1i i −1(i i )−1=(i −1)i ； (i −1)i =(i i)−1[i i i i ]−1=[i −1i i i −1] ； [i i i i ]−1=[i i −1i −1i] ③转置：(i i)i =i ； (ii )i =ii i[i i i i ]i =[i i i i i i i i] ④行列式：#|i i|=|i | ； |i −1|=|i |−1 ； |i ∗|=|i |i −1|ii |=i i |i | ； |ii |=|i |·|i | （行列式没有加减运算） ⑤加与乘(i +i )i =i i +i i ； (ii )i =i i i i(ii )−1=i −1i −1； (iii )−1=i −1i −1i −1； (ii )∗=i ∗i ∗（求逆和伴随没有加法运算）[i i i i ]i =[i ii i i i] （副对角线分块矩阵先平方，化为主对角线，再套公式） … ⑥秩i (i )=i (i i ) ； i (i i i )=i (i )（证明过程见下）：设(i )i iii =0,(ii )ii =0，若α是(ii )的解，显然也是(i )的解；若α是(i )的解，则i ii α=0→i ii ii α=0→(i α)i i α=0→|i α|2=0→i α=0，则α也是(ii )的解，故(i )、(ii )同解。

李永乐线性代数冲刺笔记(打印版)

1
(III)由 A 2 ＝β α1 －2α2 ＋α3－α4＝β， 1

1
那么 B＝[α3，α2，α1，β＋α4]＝[α3，α2，α1，α1－2α2＋α3－α4] r(B)＝4.
- 2 - / 11
从而 n－r(B)＝2.源自5因为[α3，α2，α1，α1 －2α2＋α3－α4] 3 ＝α1－3α2＋5α3 1
β＝α＋l1η1＋l2η2＋…＋lt ηt
β＝(1－l1 －l2 －…－lt)α＋l1η1＋l2η2＋…＋lt ηt
- 1 - / 10
即 β 可由 α，α＋η1，α＋η2，…，α＋ηt 表出.
【评注】本题考查向量小组的线性相关的证明和线性表出的证明.考查了方程组基础解系的
概念：
设有向量小组 η1，η2，…，ηt 满足： (1) Aηi ＝ 0（i =1，…，t），即 ηi 是 Ax ＝ 0 的解. (2) Ax ＝ 0 的任意一个解都可以由 η1，η2，…，ηt 表出. (3) η1，η2，…，ηt 线性无关. 那么称 η1，η2，…，ηt 为 Ax ＝ 0 的基础解系. 也就是说若 η1，η2，…，ηt 是 Ax ＝ 0 的基础解系，那么 η1，η2，…，ηt 必满足上
设 k0α＋k1 (α＋η1)＋k2(α＋η2)＋…＋ kT(α＋ηt)＝0
(1)
即（k0＋k1＋k2＋…＋kT）α＋k1η1＋k2η2＋…＋kT ηt＝0
(2)
由 Aα＝b， Aηi＝0（i＝1，…，t），用 A 左乘（2），有
(k0＋k1＋k2＋…＋kt)Aα＋k1Aη1＋k2Aη2＋…＋ktAηt＝0
即 (k0 ＋k1＋k2 ＋…＋kt)b＝0
又 b≠0，有 k0＋k1＋k2＋…＋kT＝0

考研线代笔记(精华版)

3.证明A可逆的充要条件（7个）——详⻅见P36
4.求A逆方方法（4种）——公式法（伴随），行行行初等变换，定义法，分块矩阵
5.矩阵的公式P37（7个）
Note：与转置公式区分（4个）P36
五初等矩阵
1.定义：单位矩阵经过一一次初等变换得来
Note：3种形式：数乘，倍加，互换
2.初等矩阵的性质：（5个）
1.初等矩阵转置后仍为初等矩阵
2.初等矩阵均为可逆矩阵，且其逆阵仍为同类型初等矩阵
Note：1.互换（不不变）2.倍加（相反数）3.倍乘（倒数）
3.左行行行右列列，注意：初等矩阵的n次方方
4.可逆矩阵A可表示为若干干初等矩阵的乘积（证明——基础笔记）
5.初等行行行变换的原理理（证明——基础笔记）
3.等价，B等价的充要条件：存在可逆矩阵P与Q，使PAQ=B
3.充要条件（秩相等（同型））
六正交矩阵
1.定义
2.等价条件——转置等于逆
Note：A的行行行列列式为1或-1
3.几几何意义——单位化与垂直（内积为0）
七秩
1.定义——非非零子子式的最高高阶数
3.AB=AC且A不不等于0推不不出B=C
4.对⻆角阵的乘法
! 有交换律律" 求逆（倒数）# n次方方（元素n次方方）
4.求A的n次方方
! 秩为1" 三阶只有三个不不为0为背景型（三阶，四阶的情况）# 相似
5.分块矩阵
1.根据题目目，有不不同的分块方方法
2.运算法则
! 加法" 乘法# 转置（注意副对⻆角线）$ 逆（两种形式）% AB=C两种分块（右行行行），两种表达方方式& AB=0两种信息' n次方方
一一概念

2018李永乐线性代数冲刺班讲义

参考答案 1 -6 0 0 ù é ê ú 1 2 0 ù é ê ú êú 0 0 ú ê0 1 ê ú ( ) ( ) 1. 1 1 8, 2 2 0 2. 4. 0 0 -1ú 5. a =-1 6. a =1 -2 3. ê ú ê 5 5 2 -2 ú ê0 0 ê ú ê ú ë 0 -1 0 û ê ú ê 5 5 ú ë0 0 -2 2 û
A x =b 解的结构 : α +k k k 1 1+ 2 … + n r r. η η ηnA α =λ α, α ≠0
齐次方程组线性无关解向量的个数 : n-r(A ) .
( )λ ( ) , 或 A -λ (λ 2 E -A = 0 E =0 E -A ) x =0 i ( )若P-1 3 A P = B. 由A 由B α =λ α⇒B (P-1 α ) =λ(P-1 α) ; α =λ α⇒A (P α ) =λ(P α). ⇔ k 重特征值必有k 个线性无关的特征向量 .
1 1 1ù é ê ú ê ú 已知 A = ê0 0 0ú 和 B = 2 3. ê ú ê ú ë0 0 0û
( ( Ⅰ )求 a 的值 ; Ⅱ )求可逆矩阵 P 使P-1 A P = B.
2 -2 4ù é ê ú ê ú ê1 -1 aú 相似 . ê ú ê ú ë0 0 0û
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.
T 2 设 α, 矩阵 A = E +2 若A 则 αT 2. α A -3 E = O, +2 β 都是n 维非零列向量 , β , β=
.
0 ù é1 -1 0 ê ú ê ú 0 0 ú ê0 1 6 如A = ê 则A 3. = ú, 1 -1ú ê0 0 ê ú ê ë0 0 -1 1 ú û

线性代数笔记

1、1二阶行列式和三阶行列式1、定义由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表22211211a a a a)5(42221121121122211a a a a a a a a 行列式，并记作）所确定的二阶称为数表（表达式-即.2112221122211211a a a a a a a a D -==2、定义记（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.2、2全排列及其逆序数1、定义：把n 个不同的元素排成一列，叫做这n 个元素的全排列（或排列）. n 个不同的元素的所有排列的种数，通常用Pn 表示.2、我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.3、定义：在一个排列中()n s t i i i i i 21，若数s t i i >则称这两个数组成一个逆序.4、定义：一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.5、排列的奇偶性：逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列。

6、计算排列逆序数的方法方法1）分别计算出排在n ,n ,,,121- 前面比它大的数码之和即分别算出n ,n ,,,121- 这n 个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数.方法2）分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数. 例：分别用两种方法求排列16352487的逆序数.333231232221131211)5(339a a a a a a a a a 列的数表行个数排成设有,312213332112322311322113312312332211)6(a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=333231232221131211a a a a a a a a a1、3 n 阶行列式1、定义：nnn n nn np p p ta a a a a a a a a D a a an n n n212222111211212.)1(21=-∑记作的代数和个元素的乘积取自不同行不同列的阶行列式等于所有个数组成的由2为这个排列的逆序数．的一个排列，，，，为自然数其中t n p p p n 21213、说明：1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;2、n 阶行列式是n ！项的代数和；3、n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列n 个元素的乘积;4、一阶行列式a a =不要与绝对值记号相混淆；5、nnp p p a a a 2121的符号为().1t-4、1、4 对换1、定义：在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．2、定理一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.3、定理 n 阶行列式也可定义为()np p p tn a aaD 21211∑-=其中t 为行标排列np p p 21的逆序数.4、定理 n 阶行列式也可定义为()nn q p qp q p t a a a D 22111∑-=其中nn q q q ,p p p 2121是两个n 级排列，t 为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和.).det(ij a 简记作的元素．称为行列式数)det(ij ij a a ()()nnn np p p p p p p p p t nnn n n na a a a a a a a a a a a D 212121212122221112111∑-==1、5 行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等.[说明：行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.]性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．性质４行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.性质６把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．例计算n阶行列式abbbbabbbbabbbbaD=1、6 行列式按行和列展开1、余子式与代数余子式：在n阶行列式中，把元素ija所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素ija的余子式，记作.ijM()，记ijjiijMA+-=1叫做元素ija的代数余子式．2、引理一个n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除ija 外都为零，那末这行列式等于ija 与它的代数余子式的乘积，即ijijA a D =．3、定理３行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即in in i i i i A a A a A a D +++= 2211()n i ,,2,1 =4、范德蒙德(Vandermonde)行列式∏≥>≥----==1112112222121).(111j i n j i n nn n nn n x x x x x x x x x x x D()n i ,,2,1 =5、推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即.,02211j i A a A a A a jn in j i j i ≠=+++6、⎩⎨⎧≠===∑=;,0,,1j i j i D D A a ij nk kj ki 当当δ⎩⎨⎧≠===∑=;,0,,1j i j i D D A a ij n k jk ik 当当δ1、7克拉默法则1、非齐次与齐次线性方程组的概念：设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111,,,,21不全为零若常数项n b b b 则称此方程组为非齐次线性方程组此时称方程组为齐次线性方程组.2、克拉默法则：如果线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a22112222212111212111的系数行列式不等,,,,21全为零若常数项n b b b ⎩⎨⎧≠==.,0,1j i j i ij当，当其中δ于零，即nnn n n na a a a a a a a a D 212222111211=0≠那么线性方程组（1）有解，并且解是唯一的，解可以表为.,,,,232211D D x D Dx D D x D D x n n ====其中D j 是把系数行列式D 中第j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n 阶行列式，即nn j n nj n n nj j j a a b a a a a b a a D1,1,111,111,111+-+-=3、定理1 如果线性方程组（1）的系数行列式D ≠0则（1）一定有解,且解是唯一的 .4、定理2 如果线性方程组（1）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.5、齐次线性方程组的相关定理()2000221122221211212111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a1）定理：如果齐次线性方程组（2）的系数行列式D ≠0则齐次线性方程组（2）没有非零解.2）定理：如果齐次线性方程组（2）有非零解,则它系数行列式D=0。

线性代数第一章笔记1-2-1

a a 1 ⋯ a l a b b1 ⋯ b m
a 1 ⋯ a l b a b1 ⋯ b m a
a1 ⋯ala b1 ⋯bm b c1 ⋯cn a a1 ⋯al b b1 ⋯bm a c1 ⋯cn a
定理2.1 一个排列中的任意两个元素对换，定理2.1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．列改变奇偶性．证明设排列为
t = 0 + 1 + 0 + 3 + 1 = 5.
计算下列排列的逆序数，例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性. 偶性
(1) 217986354
解
2 1 7 9 8 6 3 5 4
0 10 0 1 3 4 4 5
t = 5 + 4 + 4+ 3+1+ 0+ 0+1+ 0
= 18
此排列为偶排列此排列为偶排列. 偶排列
第二节 n 阶行列式的定义(I) 阶行列式的定义(I)
一、全排列及其逆序数
引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没三个数字，、、三个数字有重复数字的三位数？有重复数字的三位数？解
百位十位个位
1 1 1 2 1 2 3
2 2 1 3
3 3
3种放法种放法 2种放法种放法 1种放法种放法
用 P 表示 n表示. 由引例 P3 = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6. 同理
Pn = n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2) ⋅ ⋯ ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!.
排列的逆序数我们规定各元素之间有一个标准次序, 我们规定各元素之间有一个标准次序 n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序标准次序. 不同的自然数，规定由小到大为标准次序定义在一个排列 (i1 i 2 ⋯ i t ⋯ i s ⋯ i n ) 中，若数 it > i s 则称这两个数组成一个逆序则称这两个数组成一个逆序.

2013考研冲刺班线性代数辅导讲义-李永乐

1 2 0 11.已知 A, B 满足关系式 A 2 AB E ，若 B 0 3 a ，则秩 r AB 2 BA 3 A = 0 0 5
2
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D)与 a 有关不确定.
［
］
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2013 考研数学冲刺班线性代数辅导讲义——李永乐
14.已知 A 是 3 阶矩阵， α1 是矩阵 A 属于特征值 1 的特征向量， α2 是齐次方程组 Ax 0 的解，向量 α3 满足 Aα3 α1 α2 α3 . （Ⅰ）证明 α1 ， α2 ， α3 线性无关. （Ⅱ）求矩阵 A 所有的特征值和特征向量. （Ⅲ）判断 A 是否和对角矩阵相似，并说明理由.
1 1 1 0 (C) +k 2 0 3 1
［］
10.n 维向量 α1,α2,α3,β1,β2，其中 α1,α2,α3 线性无关，β1 可由 α1,α2,α3 线性表出，β2 不能由 α1,α2,α3 线性表出. (1)α1,α2,α3,β1,β2 必线性相关. (3)α1,α2,α3,β1－β2 必线性相关. 上述命题中，正确的是 (A)(1)(3) (B)(2)(4) (C)(1)(4) (D)(2)(3) ［］ (2)α1,α2,α3,β1,β2 必线性无关. (4)α1,α2,α3,β1－β2 必线性无关.
1 1 1 15.已知矩阵 A= 1 a 1只有 2 个线性无关的特征向量.求矩阵 A 的特征值与特征向量. 3 1 3
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2013 考研数学冲刺班线性代数辅导讲义——李永乐
2 16.已知 α=(1,k,－2)T 是二次型 xTAx=a x12 +a x2 +k x32－2x1x3－2x2x3 矩阵 A 的特征向量.试用正交变换化二次型

线性代数学习笔记——第一章

线性代数学习笔记——第⼀章线性代数学习笔记——第⼀章⽼规矩，不放图，没找到合适的图床平台⼆阶三阶⾏列式⾏列式⼀定是⽅的。

排列：由1,2,...,n组成的⼀个有序数组叫n级排列，中间不能缺数。

逆序：⼤数排在⼩数前⾯。

逆序数：逆序的总数。

奇排列：逆序数为奇数的排列。

偶排列：逆序数为偶数的排列。

标准排列：逆序数为0的排列，也称为⾃然排列。

（由n个数构成的逆序数为0的排列称为N级标准排列）对换：交换排列中的两个数。

定理：1、⼀个排列每做⼀次对换，排列奇偶性改变。

2、在所有的N级排列中，奇排列和偶排列的数量相等，各占：n!2。

⼆阶三阶⾏列式按⾏展开：⾏标取标准排列。

列标取排列的所有可能，从不同⾏不同列取出n个元素相乘。

⼀共有N!项。

每⼀项的符号由列标排列的奇偶性决定。

按列展开：列标取标准排列。

⾏标取n级排列的所有可能。

⼀共有N!项。

每⼀项的符号由⾏标排列的奇偶性决定。

既不按⾏展开，也不按列展开：⾏标和列标都取n级排列的所有可能。

⼀共有n!项。

符号由⾏标和列标的奇偶性共同决定。

如下图：特殊结构⾏列式：上三⾓⾏列式下三⾓⾏列式对⾓型⾏列式以上三种的值都为主对⾓线元素相乘。

⼭寨版上三⾓⾏列式⼭寨版下三⾓⾏列式⼭寨版对⾓型⾏列式以上三种的值都等于次对⾓线元素相乘，符号由(−1)n(n−1)2决定。

⾏列式的性质转置：将⾏列式的⾏做成列，转置记作：D T或D'（T表⽰Transformers）。

⾏列式转置后值不变。

⾏列式转置的转置等于本⾝。

性质：⾏列式两⾏互换，值变号。

⾏列式两⾏（列）对应相等，⾏列式等于零。

⾏列式D某⼀⾏（列）元素都乘以数k，等于k乘以⾏列式D。

⾏列式两⾏（列）对应成⽐例，⾏列式等于零。

推论：⾏列式某⾏（列）都为零时，⾏列式为零。

提取公因⼦0，则0提到外⾯后乘以⾏列式肯定等于0。

根据⾏列式展开的定义来理解，展开项不同⾏不同列取到的元素肯定会包含0，所以⾏列式必然等于零。

引申：⾏列式两⾏（列）对应成⽐例；⾏列式两⾏（列）相等；⾏列式某⾏均为零；可以推出⾏列式为零，但是反过来，⾏列式为零，上述三个条件可能都不成⽴。

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李永乐线代笔记精编
W O R D版
IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】
1、线代5~7道题行列式矩阵向量方程组特征值二次型
2、微积分数一考的难
3、数一线代多一个向量空间考点【行列式、矩阵、向量、方程组、特征值、二次型】
4、说曲面名称，数一；三个平面
5、方程组，有解、无解、唯一解、无穷解【相关、无关、帙、线性表述、研究方程组解
的理论】===【研究解的过程提炼出矩阵、行列式】
6、二次型是特征值的几何应用，为什么有各种不同的曲面，由特征值的正负等，
7、二次型和特征值的关系
8、方程组和特征值是重点，考解答题
9、概念多，定理，运算法则多，符号多
10、内容纵横交错，知识前后联系紧密代数的一题多解，用不同的定理公式做同一道题
11、逻辑推理要求高，可能考证明题，要在证明题花点时间
1.方程组，解的情况，有没有解，相关无关，帙
2.怎么求解，什么叫方程组的解：x1.。

xn带进每个方程，则是解
3.同解变形(1)将两个方程位置互换（2）将某个方程乘以一个非零常数（3）将某个方程
的K倍加到某个方程上---------------矩阵的初等变换【解方程组只能做行变换，不能列
变换】
4.先正向消元---由上往下；然后反响求解-----由下往上
5.系数变成a，b，求a，b取什么值有解、无解；面对参数怎么消元，讨论
1.求其次方程解(1)初等行变换（2）阶梯型（3）行最简化t、u
2.加减消元2分，求解过程没分，答案写出来给满分，看着行最简直接写答案
3.A---mxn，有几个线性无关解，n-A的帙
4.帙就是最简行矩阵的行数
5.找到单位矩阵，其他的是变量，用100法则；找到1对应的数，写其相反数
6.对矩阵A进行初等行变换；则方程组的一个基础解系为----------行最简
1、矩阵基础知识，矩阵：mxn表格数叫矩阵【行列式一定是一个数，行列相等】
2、矩阵描述一些事情、做运算
3、矩阵乘法：A-MxN列,B-N行xS.AB-MxS，i行乘j列
4、遇到AB=0，秩；解
5、对角矩阵得对角矩阵，左右可以交换；对角矩阵的次方=对应元素的次方
6、列前行后，的N阶矩阵，行前列后，的一个数
7、A b转置与ba转置互为转置矩阵
8、主对角线元素的和叫做矩阵的“迹”
9、A b转置的主对角线等于b转置a
10、方程组可以写成矩阵乘法
11、A-n，A各行元素之和都为0，【1，1，1，1，1，。

】是其次方程组的一个
解，配合其他条件
12、A-n，A各行元素之和都为3，3为特征值，【1，1，1，1，。

】是特征向量
13、二次型的矩阵表示，x转置Ax
14、可逆矩阵：A、B均是n阶矩阵，且AB=BA=E，则称A是可逆矩阵，B是A的逆
矩阵
15、A是可逆的，则A的逆矩阵唯一，证明：假设B1，B2都是A的逆矩阵，则
16、A可逆，充要条件，A的行列式不等于0
17、如果A、B是N阶矩阵，且AB=E,则BA=E：【A乘B的行列式=A的行列式乘以
B的行列式】
18、求逆矩阵：（1）定义法（2）行变换（3）伴随矩阵（4）
1、行列式计算，（1）数字型 (2)含参 (3)抽象型
2、证明行列式
3、行列式应用
4、行列式是一个“数”
5、转置行列式的值不变
6、某一行有公因数K，可把K提出
7、两行互换，行列式值变号
8、某行所有元素都是两个数的和，则可把行列式拆开为两行列式和
9、某行的K倍加到另外一行，行列式的值不变
10、-----------------不要把行列式与矩阵变换混淆--------------------
11、-----------------不要把行列式与矩阵运算混淆--------------------
12、主副对角线
13、范德蒙行列式
14、行列式列移动变换
15、某一行的倍数加到另外一行；逐行相加，每一列加到每一列
16、爪形行列式，有四种状态
17、数学归纳法:第一归纳法，第二归纳法，分析高低阶命题的关系
18、强化班，第三课公式
19、行列式有加减号没有公式，通过单位矩阵变形
20、行列式不可逆=行列式的值为0,|Λe-A|=,Λ就是特征值
21、A的特征值是Λ，那么A+2E，的特征值就是Λ+2.K
22、行列式等于特征值的乘积
23、用相似求行列式的值
24、行列式性质求值
25、行列式解方程组：克拉默法则，方程组系数行列式不等于0，则方程组有唯一解
26、任何一个其次方程组都有一个0解
27、若其次方程组的系数不等于0，则其只有0解
1、矩阵的秩：矩阵A中非0子式的最高阶数
2、A的秩>=2，=A中有2阶行列式不为0
3、A的秩小于4，A中的4阶行列式全为0
4、A为N阶，A的秩小于N，A的行列式值为0
5、方程组有非0解，方程系数行列式=0
1、矩阵运算
2、伴随、可逆、初等、正交、秩
3、乘法运算
4、秩为1的矩阵，可分解成两个矩阵相乘，三个特征值，有一个是矩阵的迹，其余就是0
5、A不是单位矩阵，行列式值不一定不等于1
6、A B的秩小于行列最小值，行列式值为0
7、α、β是列向量，注意四种形式，迹就是主对角线元素和
8、见到AB等于0，不要讨论A、B等于0，用矩阵的解、秩来做
9、A B=AC，不一定B=C
10、求特殊矩阵的n次方。

（1）秩是1：任何行列式成比例
11、A、B相似，A、B的n次方也相似
12、求A的n次方，求特征值、特征向量
1、伴随矩阵：A是n阶矩阵，代数余子式相关，不要丢正负号、不要排错队：A11\A12
要竖着写
2、伴随=行列式乘以逆（前提是A可逆且易求）
3、A A*=A*A=|A|E
4、代数余子式：行不想等的aA乘积和等于0
5、A ij的值与aij的值无关。