简单的轴对称图形(等腰三角形)
等腰三角形的性质PPT
D
B
C
0
∵ ∠DAE+∠E+∠D=180 0 0 0 0 ∴∠DAE= 180 -25 -40 =115
小明练习册上的一个等腰三角形被墨迹污染了， 只有它的底边AB和∠B还保留着。你怎样画出 练习册上原来的等腰三角形形状呢？ C
A
B
想一想
三边都相等的三角形是等边三角形也叫 正三角形 （1）等边三角形是轴对称图形吗？找出对称轴 （2）你能发现它的哪些特征？
2. 等边三角形的性质。 3. 相关计算。
谈一谈
同学们，学了这节课你最想说什么？
认识了等腰三角形和等边三角形 1、等腰三角形是轴对称图形， 等腰三角形“三线合一” 等腰三角形的两个底角相等。 2、如果一个三角形有两个角相等， 那么它们所对的边也相等。
某开发区新建了两片住宅区:A区、B区 （如图）.现在要从煤气主管道的一个地方建 立一个接口,同时向这两个小区供气.请问,这个 接口应建在哪,才能使得所用管道最短? B 小区 A小区
已知：如图， △ ABC中， ∠ABC=50 º , ∠ACB=80 º ,延长 CB至D,使BD=BA,延长BC至E,使CE=CA .连结AD、AE. 求∠D、∠E、∠DAE的度数 . A 解：∵BD=CD ∴∠D=∠DAB ∵ ∠ABC=∠D+∠DAB 0 1 _ ∴∠D= ∠ABC=25 2 _ ∵CE=CA E ∴∠E=∠CAE ∵ ∠ACB=∠E+∠CAE 0 1 __ ∴∠E= 2∠ACB=40
根据等腰三角形性质定理2,在△ABC中， AB=AC时， (1) ∵AD⊥BC， A
∴∠_____ ____. BAD = ∠_____ CAD ，____= BD CD (2) ∵AD是中线，
初中数学《简单的轴对称图形——等腰三角形》教学设计
《简单的轴对称图形——等腰三角形》教学设计【教材分析】《简单的轴对称图形——等腰三角形》是初二上册第二章第3小节的内容，是在学生掌握了轴对称图形的知识基础上进行学习的。
本节课意在通过让学生动手操作折叠等腰三角形和等边三角形来发现等腰三角形和等边三角形的性质，从而培养学生动手操作能力和独立发现问题的能力。
本节课的重点是通过折叠图形探究等腰三角形的性质。
而“等边对等角”和“三线合一”的性质是今后论证两个角相等、两条线段相等、两条直线垂直的重要依据。
同时通过这节课的学习还可培养学生的动手、动脑、动口、合作交流等能力。
加强学生对直觉、猜想、演绎、类比、归纳、转化等数学思想、方法的领会掌握，培养学生的探究能力和创新精神。
【学情分析】初二学生思维活跃、愿意表达自己的见解，具有一定的独立思考、实践操作、合作交流、归纳概括的能力。
因此，在本节课的教学中，可让学生从已有的生活经验出发，参与知识的产生过程，在实践操作、自主探索、思考讨论、合作交流等数学活动中，理解和掌握数学知识和技能。
另外学生的思维逐渐由形象思维向抽象思维转变,但形象思维仍占主导地位,数形结合是学生掌握知识的较好方法。
【教学目标】1.知识技能①熟悉等腰三角形、等边三角形是轴对称图形。
②掌握等腰三角形的性质以及简单地应用；等边三角形的性质。
③熟练运用等腰三角形的性质解决等腰三角形内角的计算问题。
2.数学思考①通过折叠等腰三角形发展其形象思维。
②通过动手操作、观察、思考，积累数学活动经验，感受数学思考过程的条理性。
3.解决问题①通过问题的探索过程，体会数学来源于生活。
②会用符号语言表示等腰三角形的性质，发展学生运用符号语言表述问题的能力。
4.情感态度①在数学活动中获得成功体验，培养学生动手操作，勇于探索的精神。
②通过学生之间的交流活动，培养学生主动与他人合作交流的意识。
【教学重点】探索等腰三角形的性质，能够利用等腰三角形的知识解决相应的数学问题。
【教学难点】等腰三角形性质的探究和应用。
简单的轴对称图形——等腰(等边)三角形(7类热点题型讲练)(原卷版)--初中数学北师大版7年级下册
第02讲简单的轴对称图形—等腰（等边）三角形(7类热点题型讲练)1．理解并掌握等腰三角形的性质；(重点)2．经历等腰三角形的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题．(难点)知识点01等腰三角形的性质（1）等腰三角形性质1：等腰三角形的轴对称图形，等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一）图形：如下所示；符号：在ABC ∆中，AB ＝AC ，1212,,;,,;,12.BD CD AD BC AD B BD CD AD BC C BD CD ∠=∠⎧⎪=⊥∠=∠⊥∠=∠⎨⎪⊥⎩==若则若则若，则知识点02等边三角形的性质（1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等；（2）等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于60︒；（3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.题型01等腰三角形两腰相等求解【例题】（23-24八年级上·浙江宁波·期中）若a ，b 为等腰ABC 的两边，且满足()240a -=，则ABC的周长为（）A ．16B ．18C ．20D ．16或20【变式训练】1．（22-23八年级上·湖南岳阳·期中）等腰三角形的两边长分别是3cm 和7cm ，则该三角形周长为．2．（22-23七年级下·陕西西安·阶段练习）定义；等腰三角形的底边长与其腰长的比值k 称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为13cm ，5cm AB =，则它的“优美比”k 为（）A ．54B ．35C ．54或35D ．45或53题型02根据等边对等角求角度【例题】（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在ABC 中，AB AC =，110ACD ∠=︒，则B ∠=．【变式训练】1．（2024·北京·一模）如图，已知等腰三角形ABC ，AB AC =，40A ∠=︒，若以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，则ABE ∠=°．2．（23-24八年级下·云南文山·阶段练习）如图，已知AB AC =，CD CE =，EF EG =，60A ∠=︒，求G ∠的度数为°．题型03根据等边对等角证明【例题】（2023·吉林长春·模拟预测）如图，ABC 是等腰三角形，点D ，E 分别在腰AC ，AB 上，且BE CD =，连接BD ，CE ．求证：BD CE =．【变式训练】1．（2024·江苏南京·一模）如图，在ADE V 和FDE V 中，ADE AED ∠=∠，DF EF =，AD ，EF 的延长线相交于点B 、AE ，DF 的延长线相交于点C ．求证BD CE =．2．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在ABC 中，AD 是三角形的中线，点F 在中线AD 上，且BF AC =，连接并延长BF 交AC 于点E ，求证：AFE CAF ∠=∠．题型04根据三线合一求解【例题】（23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，在三角形框架ABC 中，AB AC =，AO 是连接点A 与BC 中点O 的支架．若80BAC ∠=︒，则BAO ∠的度数为．【变式训练】1．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在ABC 中，AB AC =，AD 平分BAC ∠，点E 在边AB 上，且BD BE =．若100BAC ∠=︒，则ADE ∠的大小为．2．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在等腰ABC 中，5AB AC ==，AD 是ABC 的高，6BC =，E F 、分别是AB AD 、上一动点，则BF EF +的最小值为．题型05根据三线合一证明【例题】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，E 为边BC 上的点，且AB AE =，D 为线段BE 的中点，过点E 作EF AE ⊥，过点A 作AF BC ∥，且AF 、EF 相交于F ．(1)求证：C BAD ∠=∠；(2)求证：AC EF =．【变式训练】1．（23-24八年级上·云南红河·阶段练习）如图，在ABC 中，AB AC =，AD 是BC 边上的中线，BE AC ⊥于点E ．(1)求证：AD BC ⊥；(2)求证：=CBE BAD ∠∠．2．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =．(1)如图1，BE CE ⊥于点E ，AD CE ⊥于点D ，求证：ACD CBE ≌；(2)如图2，BE CE ⊥于点E ，CE 交AB 于点F ，若AC AF =，2BE =，则CF 的长为_______．题型06根据等边三角形的性质求解【例题】（23-24八年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，在等边ABC 中，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，AD 与BE 相交于点P ，若BD CE =，则APE ∠=．【变式训练】1．（23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）如图，在ABC 中，90,30,6A B AC ∠=︒∠=︒=厘米，点D 从点A 开始以1厘米/秒的速度向点C 运动，点E 从点C 开始以2厘米秒的速度向点B 运动，两点同时运动，当运动时间为秒时，DEC 是等边三角形．2．（23-24九年级下·河南商丘·阶段练习）在等边三角形ABC 中，8AB =，点P 在BC 边上．若7AP =，则BP 的长为．题型07根据等边三角形的性质证明【例题】（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）如图，ABC 为等边三角形，点E 、F 分别在边AC BC 、上，AE CF =，10BE =，AF 与BE 相交于点D ，3AD =．(1)求证：ABF BCE ≌ ．(2)求DF 的长度．【变式训练】1．（2024八年级下·全国·专题练习）如图1，等边三角形BCD 和等边三角形ACE ，连接AD ，BE ，其中AC BC >．(1)求证：AD BE =；(2)如图2，当点A C 、、B 在一条直线上时，AD 交CE 于点F ，BE 交CD 于点G ，求证：BG DF =；(3)利用备用图补全图形，直线AD ，BE 交于点H ，连接CH ，若3DH =，5CH =，直接写出BH 的长．2．（2024八年级下·全国·专题练习）已知ABC 是等边三角形，D 为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为边在直线AD 右侧作等边三角形ADE ．(1)如图1，当点D 在BC 边上时，连接CE ，此时AB ，CD ，CE 之间的数量关系为______，ACE ∠=______；(2)如图2，当点D 在BC 的延长线上时，连接CE ，（1）中AB ，CD ，CE 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的结论及证明过程；(3)如图3，当点D 在射线BC 上运动时，取AC 的中点F ，连接EF ，当EF 的值最小时，请直接写出CFE ∠的度数．一、单选题1．（23-24八年级下·广东佛山·期中）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的周长是（）A ．15B ．12C ．12或15D ．92．（2024·甘肃天水·一模）若等腰三角形中有一个角等于50︒，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A ．50︒B ．80︒C ．65︒或50︒D ．50︒或80︒3．（2024年安徽省名校之约中考第一次联考数学试题）如图，AB CD ∥，点E 为直线AB 上方一点，连接BD ，DE ，BE ．若DE CD ⊥，BE DE =，25BDC ∠=︒，则ABE ∠的度数是（）A ．125︒B ．130︒C ．135︒D ．140︒4．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）如图，在ABC 中，6BC =，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点O ，过点O 作BC 的平行线分别交AB 、AC 于点M 、N ，AMN 的周长是13，则ABC 的周长是（）A ．18B ．19C ．20D ．215．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，10cm AB =，6cm AC =，动点P 从点B 出发，沿射线BC 以1cm/s 的速度运动，设运动的时间为t 秒，若ABP 是等腰三角形时，则t 的值为（）A ．10B ．16C ．10或16D ．10或16或254二、填空题6．（22-23八年级下·河南郑州·期中）已知等腰三角形的两边长为x y ，，且满足()2420x x y -+-=，则三角形的周长为．7．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）一个等腰三角形的周长是17，已知它的一边长是5，则另外两边的长分别是．8．（23-24九年级下·福建福州·期中）如图，已知直线12l l ∥，点,A D 在直线1l 上，以点A 为圆心，适当长为半径画孤，分别交直线12,l l 于,C B 两点，连接,AB BC ．若115BCD ∠=︒，则1∠的度数为．9．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）如图，ABC 和ADE V 都是顶角为45︒的等腰三角形，AB AD >，BC 、DB 分别是两个等腰三角形的底边，点B 、D 、E 三点恰好落在一条直线上，若18BAD EBC ∠=︒∠=，度．10．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知60AOB ∠=︒，点P 在边OA 上，5OP =，点M 、N 在边OB 上，PM PN =，若2MN =，则OM =．三、解答题11．（23-24七年级上·山东青岛·期末）（1）如图1，已知CE 与AB 交于点E ，AC BC =，12∠=∠，则AE 与BE 的数量关系是______；（2）如图2，已知CD 的延长线与AB 交于点E ，AD BC =，34∠∠=，探究AE 与BE 的数量关系，并说明理由．12．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在ABC 中，AB AC =，AD 平分BAC ∠．以点A 圆心，AD 长为半径画弧，与AB ，AC 分别交于点E ，F ，连接DE ，DF ．(1)求证：BDE CDF ≌；(2)若80BAC ∠=︒，求BDE ∠的度数．13．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 在斜边AB 上，且AD AC =，过点B 作BE CD ⊥交直线CD 于点E ，过点A 作AF CD ⊥于点F ．(1)求BCD ∠的度数；(2)求证：DF BE =．14．（23-24八年级上·陕西安康·期末）如图，在ABC 中，AC BC =，点D 是AB 上一点，DE BC ⊥于点E ，EF AC ⊥于点F ．(1)若点D 是AB 的中点，求证：12BDE C ∠=∠；(2)若160ADE =∠︒，求DEF ∠的度数．15．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）如图，ABC ，ADE V 均是等边三角形，点B ，D ，E 三点共线，连接CD ，CE ，CD BE ⊥．(1)求证：BD CE =；(2)若线段3DE =，求线段CE 的长．16．（22-23七年级下·四川成都·期末）已知，在等边ABC 中，点D 为射线BA 上一点（点D 与点B 不重合），连接CD ，以DC 为边在BC 上方作等边DCE △，连接AE ．(1)如图1，当点D 是AB 边中点时，求ADE ∠的度数；(2)求证：AE BD =；(3)如图2，当动点D 在BA 的延长线上时，以DC 为边在其下方作等边DCF ，连接BF ，求线段AB ，AE ，BF 之间的等量关系式．。
初中数学简单的轴对称-等腰三角形
达标测评
证明：过点 D 作 DG∥AC 交 BC 于点 G，如图所示． ∵DG∥AC， ∴∠GDF＝∠E，∠DGB＝∠ACB．
在△GDF 和△CEF 中，
，
∴△GDF≌△CEF（ASA）， ∴GD＝CE． ∵BD＝CE， ∴BD＝GD， ∴∠B＝∠DGB＝∠ACB， ∴△ABC 是等腰三角形．
09 精选精练
C 3、等腰三角形有一个角的度数是 80 ，则另两个角的度数可能是 ( )
A． 40 ， 40
B． 20 ， 20
C． 80 ， 20
D．30 ，50
4、如图，若△ ABC 是等边三角形，AB＝6，BD 是∠ABC 的平分线，延长 BC 到点 E，
9 使 CE＝CD，则 BE＝________．
5、如图，△ ABC 是等边三角形，AB＝4，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，E 是 AC 的中
题型（考点）二：三线合一
【变式 2-2】如图，在△ ABC 中，∠A＝90°，AB＝AC，D 为 BC 的中点，E，F 分别是 AB，AC 上的点，且 BE＝AF.试说明：DE＝DF.
题型（考点）二：三线合一
解：如图，连接 AD. ∵AB＝AC，D 为 BC 的中点，∴AD⊥BC.
(第 3 题) ∴∠ADB＝90°. ∴∠BAD＝∠DAC＝12∠BAC. ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠C＝45°.
③过点 A 作 AD⊥BC，垂足为点 D
④作 BC 边的垂直平分线 AD，交 BC 于点 D
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
题型（考点）四：角平分线求长度
【变式 4-2】如图，BD 为△ ABC 角平分线，∠ABC＝∠C，∠CBD＝∠A，则图
3 简单的轴对称图形 第3课时 等腰三角形的性质(教材P50～51练习)
.
3或
22. [应用意识]（衢州中考变式）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提
出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有
槽的棒 OA ， OB 组成，两根棒在 O 点相连并可绕 O 转动， C 点固定， OC ＝ CD ＝
DE ，点 D ， E 可在槽中滑动.若∠ BDE ＝75°，求∠ CDE 的度数.
F . 若△ AFC 是等边三角形，则∠ B ＝
30 °.
第12题
图
13. 如图所示，以正方形 ABCD 的边 AB 为边作等边△ ABE ，连接 DE ，则∠ AED
的度数为
15°
.
第13题
图
14. 如图，已知△ ABC 和△ BDE 都是等边三角形.试说明： AE ＝ CD .
◉答案 解：∵△ ABC 和△ BDE 都是等边三角形，∴ AB ＝ BC ， BE ＝ BD ，∠ ABC ＝
＋ CD ＝ AC ＋ CD ，所以 CE ＝ AC ＋ CD .
∠ DBE ＝60°.在△ ABE 和△ CBD 中， AB ＝ BC ，∠ ABE ＝∠ CBD ， BE ＝ BD ，∴△
ABE ≌△ CBD （SAS），∴ AE ＝ CD .
15. [一题多解：代换法·平移法]（招远期中）如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ A
＝30°，点 P 是△ ABC 内一点，连接 PB ， PC . 若∠1＝∠2，则∠ BPC 的度数是
∠ BDE ＝105°，∴∠ CDE ＝105°－25°＝80°.
【母题探究——双等边三角形】
23. 母题：如图，△ ABC 是等边三角形， AD 是角平分线，△ ADE 是等边三角形，
初一下数学课件 等腰三角形的性质
2.下面是由大小不同的等边三角形组成 的图案， 请找出它的对称轴．
如图，在ΔABC中，AB=AC , 点D在AC上
，且BD=BC=AD , 求∠A和∠C的度数. 解 ∵AB=AC, BD=BC=AD,（已知）
A
∴∠ABC=∠C=∠BDC,
∠A=∠ABD.(等边对等角）
设∠A=x°,∵∠A+∠ABD+∠ADB=180°，
D
又∵∠BDC+∠ADB=180°
∴∠BDC=∠A+∠ABD=2x°.
B
C
∵∠ABC=∠C=∠BDC=2x°，
∴x+2x+2x=180.解得 x=36 .∴∠A=36°，∠C=72°.
拓展提升
A、B是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方形 的边长为1，请在图中标出使以A、B、C为顶点的三 角形是等腰三角形的所有格点C的位置．
B
C 等腰三角形的
两个底角相等.
等腰三角形的两个底角相等 （等边对等角）.
A
几何 ∵AB=AC 语言 ∴∠B=∠C
B
C
如图， 在下面的等腰三角形中， ∠A 是 顶角， 分别求出它们的底角的度数．
（1）60° （2）45°
（3）30°
一个等腰三角形的底角是顶角的 4 倍， 求它的各个内角的度数．
等腰三角形是 轴对称图形．
分别找出下图中各个图形的对称轴：
（2） 等腰三角形顶 A 顶角 角平分线所在的直线
腰
腰 是它的对称轴吗？
B 底边
等腰三角形顶角平 C 分线所在的直线是
它的对称轴.
A 顶角
（3） 等腰三角形底边上的中 线所在的直线是它的对称轴吗 ？底边上的高所在的直线呢？
简单的轴对称图形(等腰、等边)
AB CD 简单的轴对称图形---（等腰三角形，等边三角形）一、选择题 济宁附中李涛1、 等腰三角形的一个角为40°，则它的底角为（ ）A. 100°B. 40°C. 70°D. 70°或40°2、 等腰三角形的一个角为100°，则它的底角为（ ）A. 100°B. 40°C. 70°D. 100°或40°3、如图，在等腰三角形ABC 中，顶角∠A=36°．若BD 平分∠ABC ，则图中等腰三角形有（ ） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个4、已知，如图，在△ABC 中，OB 和OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，过O 作DE ∥BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E ，若BD+CE=5，则线段DE 的长为（ ）A ． 5 B ． 6 C ． 7 D ． 85、如图所示．△ABC 中，∠B=∠C ，D 在BC 上，∠BAD=50°，AE=AD ，则∠EDC 的度数为（ ）A ． 15°B ． 25°C ． 30°D ． 50°6、如图，△ABC 的面积为1cm2，AP 垂直∠B 的平分线BP 于P ，则△PBC 的面积为（ ）A ． 0.4 cm2B ． 0.5 cm2C ． 0.6 cm2D ． 0.7 cm2二、选择题： 1、（1）已知等腰三角形的一边长等于5，一边长等于11，则它的周长为__________。
（2）已知等腰三角形一边长等于5，一边长等于7，则它的周长为__________。
2、如右图，∠A=200，∠C=400，∠ADB=800，则∠DBC=_ _，图中等腰三角形有_ 个。
3、如下图△ABC 中 AB=AC ，D 是BC 的中点，则AD BC,若∠B=35°,则∠CAD= ，∠BAC= 。
5.3 简单的轴对称图形(1)
20°
.
数学
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名师点拨:
(1)若题目中没有明确顶角或底角的度数,做题时要注意分情况
进行讨论计算;
(2)等腰三角形的顶角可以是直角、钝角或锐角,而底角只能是
锐角.
数学
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知识点三 等边三角形的定义和性质
1.定义:三边都相等的三角形是 等边三角形 ,也叫正三角形.
2.性质:等边三角形是特殊的等腰三角形,它除了具有等腰三角
等腰三角形的 顶角 ,腰与底边的夹角叫做等腰三角形的
底角
.
2.性质:①等腰三角形是轴对称图形,对称轴是它的顶角平分
线所在的直线;②等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、
底边上的中线重合(简称“ 三线合一 ”).
数学
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▶▶ 典型例题
【例1】如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点
腰三角形的个数是
3
.
数学
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三、解答题
1.如图,在△ABC中,已知AB=AC,AD为∠BAC的平分线,且
∠2=36°,BD=2,求∠BAC,∠B的度数及BC的长.
解:因为AD为∠BAC的平分线,∠2=36°,
所以∠1=∠2=36°,∠BAC=2∠2=72°.
又因为AB=AC,所以AD⊥BC,BD=CD,
解:因为AB=AC,AD是∠BAC的平分线,
所以BD=CD.
因为△ABC的周长为16,
1
所以AB+BD= ×16=8.
2
因为△ABD的周长为12,所以AD=12-8=4.
数学
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6.如图,A,B是直线l同侧的两点.请在直线l上找一点C,使得
AC+CB最小,并说明理由.
5.3简单的轴对称图形
③ 底角=（180°－顶角）÷2
4. 根据等腰三角形的性质,在△ABC中， AB=AC时，
BAD CAD BD CD (1) ∵AD⊥BC，∴∠_____ = ∠_____，____= ____. AD BC BAD CAD (2) ∵AD是中线，∴____⊥____ ，∠_____ =∠_____. AD BC CD BD (3) ∵AD是角平分线，∴____ ⊥____ ，_____ =_____.
1.等边三角形是轴对称图形。 B
C
2.等边三角形每个角的平分线和这个角的对 边上的中线、高重合（“三线合一”），它 们所在的直线都是等边三角形的对称轴。等 边三角形共有三条对称轴。
3.等边三角形的各角都相等，都等于60°
议一议
你有哪些办法可以得到一个等腰三角形？ 与同伴交流。
1.判断下列语句是否正确。
判断正误（口答） 如图，在△ABC中， ∵ AC＝BC， ∴ ∠ADC＝∠BDC. (等边对等角) C
A
D
B
判断正误（口答）
(2) 如图，在△ABC中， ∵ AC＝BC， ∴ ∠ADC＝∠BEC. C
“等边对等 角”只能在同 一个三角形中 使用．
A
D
E
B
请注意哦！
• “等边对等角”必须在同 一个等腰三角形中才成立
• “三线合一”是对等腰三角 形的顶角平分线、底边上的 中线和高而言的
等腰三角形中，有一种特殊的情况．就 是底边与腰相等．这时三角形三边都相 等．我们把三条边都相等的三角形叫做等 边三角形（也叫“正三角形”）.
A
B
C
（1）等边三角形是轴对称图形吗？找出对称轴.
（2）你能发现它的哪些特征？
A
简单的轴对称图形(2)
简单的轴对称图形（二）●教学目标【知识与技能目标】1、进一步理解轴对称、轴对称图形的概念。
2、探索等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的轴对称性及其相关性质。
3、会利用轴对称的有关性质解决实际问题。
【过程与方法目标】1、学生通过实验探索发现等腰三角形的性质，并能利用等腰三角形的性质解决实际问题。
2、学生亲自经历“问题情境——建立模型——求解——解释应用”的基本过程，体验数学知识在实际生活中的广泛应用。
3、通过轴对称图形的探究，培养形式分析、概括的能力【情感与态度目标】1．通过优美的等腰三角形“三线合一”的性质，体会几何图形的和谐美。
2．在学习活动中，学会与同伴交流，体会获得成功的喜悦。
3．通过对实际问题的解决，使学生感受数学与我们的生活息息相关。
●教学重点：探索等腰三角形的轴对称性●教学难点：掌握等腰三角形有关概念及特性；加深等腰三角形“三线合一”的理解和应用●教具准备：等腰三角形纸片、三角板、量角器、多媒体●教学过程设计：C（七）教学反思与点评等腰三角形是生活中常见的几何中图形，等腰三角形匀称美观，所以常常用于建筑设计、商标设计及工艺品的装饰图案，与我们的生活密切相关．利用等腰三角形的轴对称特征设计图案，可以把我们的生活装饰得更美。
通过教学让学生了解到轴对称在数学中和实际生活中的广泛应用．感受到数学美（八）学情分析本节知识是学生在前面对轴对称图形已有初步的认识以后，更深一步了解轴对称图形，从学生熟悉的生活经验引入生活中的等腰三角形，这对引导学生进一步探究等腰三角形的特征、理解、掌握这部分知识有很大的帮助；反过来，学生在了解、掌握这些知识后，对生活中现象的理解也能易如反掌。
（九）教学建议本节知识可以通过直观教具、多媒体动化演示，直接刺激学生的感官，引起学生的好奇心，利用学生认识心理与认识特点，从而激发学生的学习兴趣，进行有效的学习。
在教学中，尽可能组织学生进行观察、操作、猜测、归纳等活动，并交流活动的体验，帮助学生积累数学活动的经验。
等腰三角形的性质
性质1 性质1 等腰三角形是轴对称 图形，对称轴是 对称轴是 所在的 直线。 直线
想一想: 想一想:
折叠过程中你发现有哪些重合的线 段和角? 段和角
重合的线段 AB＝AC ＝ BD＝CD ＝ AD＝AD ＝ 重合的角
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∠B ＝ ∠C.
∠BAD ＝ ∠CAD
∠ADB ＝∠ADC =90° =90°
边上的高互相重合
A
(等腰三角形“三线合 一”)
B C D
等腰三角形的判定 • 1.等腰三角形的定义 等腰三角形的定义 • 2.如果三角形有两个角相等， 如果三角形有两个角相等 如果三角形有两个角相等， 那么这两个角所对的边也相等， 所对的边也相等 那么这两个角所对的边也相等， 等角对等边” 即“等角对等边”
即x+2x+2x=180
解得x=36， 在△ABC中， ∠A=36°， ∠ABC=∠C=72° ∠ °
课后思考
如图： 是高， 如图：△ABC中，AB=AC,AD和BE是高，它们相 中 和 是高 交于点H， 交于点 ，且AE=BE。 求证：AH=2BD 。 求证：
证明： 是高,∴ 证明：∵AB=AC,AD是高 ∴BC=2BD 是高 是高， 又∵BE是高，∴∠ 是高 ∴∠ADC=∠BEC=∠AEH=90° ∠ ∠ ° A ⌒ ⌒ H B D 1 E ∴∠1+∠ ∠ ∠ ∴∠ ∠C=∠2+∠C=90°∴ ∠1=∠2 ° ∠ 在△AEH和△BEC中 和 中 ∠AEH=∠BEC ∠ AE=BE ∠1=∠2 ∠
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 的三角形叫做等腰三角形
A
顶 角
腰
腰
B
简单的轴对称图形(二)等腰三角形
简单的轴对称图形（二）（一）教学设计●教学目标【知识与技能目标】1．进一步理解轴对称、轴对称图形的概念。
2．探索等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的轴对称性及其相关性质。
3．会利用轴对称的有关性质解决实际问题。
【过程与方法目标】1．学生通过实验探索发现等腰三角形的性质，并能利用等腰三角形的性质解决实际问题。
2．学生亲自经历“问题情境——建立模型——求解——解释应用”的基本过程，体验数学知识在实际生活中的广泛应用。
3．通过轴对称图形的探究，培养形式分析、概括的能力【情感与态度目标】1．通过优美的等腰三角形“三线合一”的性质，体会几何图形的和谐美。
2．在学习活动中，学会与同伴交流，体会获得成功的喜悦。
3．通过对实际问题的解决，使学生感受数学与我们的生活息息相关。
●教学重点：探索等腰三角形的轴对称性●教学难点：掌握等腰三角形有关概念及特性；加深等腰三角形“三线合一”的理解和应用●教具准备：等腰三角形纸片、三角板、量角器、多媒体（若没有可直接用图片代替）多媒体动画展示折叠过程． （三）例题精选 例1 已知，如图，BC ＞AB ，BD 平分∠ABC ，且AD=DC ，求证：∠A+∠C=180°．例2 已知，如图（1），等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边AB 、AC 、BC 的距离分别为h 1，h 2，h 3，△ABC 的高为h ，“若点P 在一边BC 上，此时h 3=0，可得结论：h 1+h 2+h 3=h ”请直接应用上述信息解决下列问题：当点P 在△ABC 内（如图2）、点P 在△ABC 外（如图3）这两种情况时，上述结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，h 1，h 2，h 3与h 之间又有怎样的关系？请写出你的猜想，不需证明 ．NKM M PP FE E DDCCB B AAM (2)F Q P(3)(1)EDCBA例3 如图，是某城市部分街道示意图，△ABC 、CDC BA A△CDE都为正三角形，A、B、C、D、E、F、G、H为公共汽车停靠站，公车甲从A站出发，按照A、H、G、D、E、C、F的顺序到达F站，公车乙从B站出发，沿F、H、E、D、C、G的顺序到达G站，如果甲、乙分别从A、B站出发，在各站耽误的时间相同，两车速度也一样，试问哪已辆公车先到达指定车站？为什么？．（四）练习精选1．等腰三角形的一腰为6，底边长为4，则这个等腰三角形的周长为（）A．13；B．14；C．15；D．16．2．已知，等腰三角形的一边长为3，一边长等于6，则它的周长等于（）A．12 B．15 C．12或15 D．15或18 3．在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角B的大小为4．等腰三角形的一个角是110°，它的另外两个角是；等腰三角形的一个角是80°，它的另外两个角为5．如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，求证：∠DBC=21∠A6．如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE，求∠A的度数．（五）知识拓展与提高练习7．如图所示，BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，则PM=PN，你认为这个结论对吗？请阐述你的理由。
简单的轴对称图形(二)-
三边都相等的三角形是
等边三角形（也叫正三角形）
等边三角形是轴对称图形，它有三条
对称轴。
等边三角形三个内角都等于60°
1、如图， （1）等腰△ABC中，AB=AC，
顶角∠A=100°，那么底角
∠B= 40°， ∠C= 40°。 A （2）△ABC中，AB=AC，
等腰三角形“三线合一” 等腰三角形的两个底角相等。 2、如果一个三角形有两个角相等， 那么它们所对的边也相等。
某开发区新建了两片住宅区:A区、B区 （如图）.现在要从煤气主管道的一个地方建 立一个接口,同时向这两个小区供气.请问,这个 接口应建在哪,才能使得所用管道最短?
B 小区
A小区Βιβλιοθήκη 煤气主管）道）
；led防爆灯的量 防爆手电筒的量 / led防爆灯的量 防爆手电筒的量 ；
把人带回来？不是说好让他们住市区里吗？你把我の话当耳边风啊？”余岚得知妹子带回来の人其中又有两位洋人,不禁大为怒火,隔着电筒语气重了些.余薇听了很生气,“他们想看雪梅,市里哪有雪梅看？你告诉我地址我马上带他们过去.”余岚被噎得一时说不出话来.余薇见她无话可 说,更加得理不饶人：“你不就是怕他们乱搞吗？这怪谁？一个巴掌拍不响,她们不愿意谁能强迫得了？我那些同学在学校大把女孩追,不是她们送上门谁稀罕一身泥腥味の村姑？”说罢,她气呼呼地挂了电筒,走出客栈大堂,顿感寒意袭人.难得元旦有三天假期,为了在家里多呆两天她还特 意多请了两天假,结果一回来就被姐姐骂个狗血淋头,真是扫兴.自从回国之后,她发现和姐姐越来越难以沟通.一个人在乡下呆久了,考虑问题の方式也会变得守旧不懂变通.所以她经常劝姐姐陪姐夫多出来走动走动,偏偏两口子对乡村生活恋恋不舍,真是难以理解.不过话说回来,不仅是姐 姐两口子喜欢农村生
5等腰三角形2
得出结论：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）
A
符号语言图形
在△ABC中
∵=
B
C
∴=
三、拓展延伸
想一想：（1）如果三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是什么三角形？为什么？
问题：用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由．
由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？
小组合作，讨论交流。
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
六、课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？
你还有什么困惑？
七、当堂检测
在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，DE垂直平分AC交BC于D，垂足为E，DE=2cm,求BC=？
板书设计
简单的轴对称图形
等角对等边。在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
等边三角形的识别方法：
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．
求证：BC= AB．
分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC至D，使CD=BC，连接AD．
证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，则∠B=60°．
延长BC至D，使CD=BC，连接AD（如下图）
∵∠ACB=60°，∴∠ACD=90°．
备课时间
10.8
上课时间
10.19
主备人
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第五章生活中的轴对称
3 简单的轴对称图形（第1课时）
会宁县桃林中学王伟彦
一、教学目的
1. 探索并掌握等腰三角形的轴对称性及其相关性质。
3. 掌握等边三角形的轴对称性及其有关性质。
二、教学过程
⑴（整体浏览课本，确定学习目标）
1、（课本121页引例）认识等腰三角形是轴对称图形。
掌握等腰三角形对称轴的“三线合一”及相关性质。
2、（课本121页想一想）认识等边三角形是轴对称图形。
掌握等边三角形的相关特征。
⑵创设情境导入新课
1. 认识等腰三角形，介绍等腰三角形的概念及各部分名称。
⑶动手操作探求新知
等腰三角形是一种特殊的三角形，它除具有一般三角形的性质外，还有一些特殊的性质吗？拿出你的等腰三角形纸片，把纸片折折看，你能发现什么现象吗？
1. 思考
（1）等腰三角形是轴对称图形吗？找出对称轴。
（2）顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？
（3）底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高呢？（4）沿对称轴折叠，你能发现等腰三角形的哪些特征？
2.归纳
(1)等腰三角形是轴对称图形。
(2)∠B =∠C
(3 )∠BAD＝∠CAD，AD为顶角的平分线
(4)∠ADB=∠ADC=90°AD为底边上的高
(5 )BD=CD，AD为底边上的中线。
等腰三角形的特征：
1）.等腰三角形是轴对称图形
2）.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。
3）.等腰三角形的两个底角相等。
3.推理
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合
（也称为“三线合一”）.
证明：因为AD是角平分线,
所以∠BAD= ∠ CAD
在ΔABD和ΔA CD中,
因为AB=AC, ∠BAD= ∠CAD,AD=AD
所以ΔABD ≌ΔACD
所以BD=CD, ∠ADB=∠ADC=90˚
所以AD是ΔABC的角平分线、底边上的中线、底边上的高。
⑷知识推广
1．等边三角形的有关概念有几条对称轴？
2. 你能发现等边三角形的哪些特征？
⑸知识应用
2.利用圆规
⑹随堂练习
1、①若等腰三角形的一个内角为40°,则它的另外两个内角为________。
②若等腰三角形的一个内角为120°,则它的另外两个内角为______
2、①一等腰三角形的两边长为2和4，则该等腰三角形的周长为________
②一等腰三角形的两边长为3和4，则该等腰三角形的周长为________
3、已知等腰三角形的腰长比底边长多2cm,并且它的周长为16cm,求这个等腰三角形各边的长。
⑺课堂小结
师生互相交流总结本节所学，等腰三角形的性质和等边三角形的性质，以及在习题中出现的解题方法。