3.3 线性时变连续系统状态方程的解
【武汉大学】线性系统状态空间表达式的解【现代控制理论】
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• 这里定义的状态转移矩阵与前面定义的是一致的。
– 引入上述状态转移矩阵新定义,主要是为了使状态转移 矩阵的概念易于推广到时变系统、离散系统等,
– 使得有可能对各种类型系统的状态方程的解作统一描 述,更好地刻划系统状态运动变化的规律。
现代控制理论
武汉大学 自动化系 丁李
3.1.2.1状态转移矩阵基本定义
现代控制理论
武汉大学 自动化系 丁李
3.1.1.2拉氏变换法
– 对上式取拉氏反变换,即得齐次状态方程的解为
x(t)=L-1[(sI-A)-1]x0 – 下面讨论如何求解拉氏反变换L-1[(sI-A)-1]。
• 主要思想为将标量函数的拉氏变换与反变换平行推 广至矩阵函数中。
• 对标量函数,我们有
(s a)1 1 a a2 ... ak1 ...
• 由常微分方程理论知,该方程的解连续可微。 – 因此,该解经泰勒展开可表征为无穷级数,即有
x(t) q0 q1t q2t 2 qkt k
式中,qk(k=1,2,...)为待定级数展开系数。
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3.1.1.1级数展开法
– 将所设解代入该微分方程,可得
(2) 计算矩阵指数函数eAt。
e At L1[(sI A)1]
L1
s
2
1 2
s
1
2 2
s 1 s 2
1 1 s 1 s 2 1 2
s 1 s 2
2et 2et
e2t 2e2t
et e2t
3.1.1 线性定常齐次状态方程的解
现代控制理论-状态方程的解
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3、复频域上
非齐次状态方程的解
2、说明
e At 状态转移矩阵
一般用 t 表示,即 t e At
考虑初始条件拉氏变换
sX ( s ) X (0 ) AX ( s ) BU ( s ) 有 ( sI A) 1 X ( s ) X ( 0 ) BU ( s ) 即 1 X ( s ) ( sI A) X (0) ( sI A) 1 BU ( s ) 则
e
d At e Ae At e At A dt
At 1
e At
[5]、对于 n n的方阵 A、 B 当且仅当 AB BA时 有 e At e Bt e( A B)t , 而当AB BA, e At e Bt e( A B)t。
电气工程学院
几个特殊的矩阵指数eAt
设单变量系统的差分方程为:
y(k n) an1 y(k n 1) a0 y(k ) bnu(k n) bn1u(k n 1) b0u(k )
相应的系统脉冲传递函数为
bn z n bn 1 z n 1 b1 z b0 G( z ) n z an 1 z n 1 a1 z a0
有
d At At AX ] e X e [X dt e At Bu(t )
考虑初始条件 拉氏变换得 sX ( s ) X ( 0 ) AX ( s )
将上式积分有 t t X (t ) 1 ( sI A) 1 X (0) A d A e Bu( ) d d e X ( ) 0 0 d 1 显然 e At 1 t ( sI A) At A X ( 0 ) e X ( t ) e 可得 At Bu( )d
连续系统的状态方程 -回复
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连续系统的状态方程是什么
连续系统的状态方程描述了系统的动态行为,通常以微分方程形式表示。
对于线性时间不变系统,连续系统的状态方程可以用以下一阶常微分方程表示:
dx(t)/dt = A * x(t) + B * u(t)
其中:
- x(t) 是系统的状态向量,它包含了描述系统状态的变量。
每个变量代表系统的一个状态,如位置、速度、温度等。
- t 是时间变量,表示系统运行的时间。
- dx(t)/dt 是状态向量x(t) 关于时间t 的导数,表示状态的变化率。
- A 是系统的状态矩阵,描述了状态变量之间的关系和状态变化的规律。
- B 是输入矩阵,描述了外部输入u(t) 对系统状态的影响。
上述方程表示了状态向量x(t) 随时间t 的变化情况。
右侧第一项A * x(t) 表示系统自身状态对状态变量的影响,而右侧第二项B * u(t) 表示外部输入u(t) 对状态变量的影响。
需要注意的是,上述方程是线性时间不变系统的状态方程。
对于非线性或时变系统,状态方程的形式可能更加复杂,可能包含更高阶的微分项或非线性函数。
控制系统的能控性和能观性
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为非奇异时, 列矢量是线性无关的。现在
3.6 能控性与能观性的对偶关系
能控性与能观性有其内在关系,这种关系是由卡尔曼提出的对偶原理确定的,利用对 偶关系可以把对系统能控性分析转化为对其对偶系统能观性的分析。从而也沟通了最优控 制问题和最优估计问题之间的关系。
3.6.1 线性系统的对偶关系 有两个系统,一个系统 为:
3.9 传递函数阵的实现问题
3.9.1 实现问题的基本概念 对于给定传递函数阵 W(s),若有一状态空间表达式∑:
(12)
3.7.2 单输出系统的能观标准型 与变换为能控标准型的条件相似,只有当系统是状态完全能观时,即 有:
系统的状态空间表达式才可能导出能观标准型。 状态空间表达式的能观标准型也有两种形式,能观标准 型和能观标 准 型,它们分别与能控标准 型和能控标准 型相对偶。
1.能观标准 型 若线性定常系统:
维不能观测的子系统,便得
和不能观的
,维子系统:
非奇异变换阵 是这样构 成的,取
(14)
3.8.3 按能控性和能观性进行分解
1)如果线性系统是不完全能控和不完全能观的,若对该系统同时按能 控性和能观性进行分解,则可以把系统分解成能控且能观、能控不能观、 不能控能观、不能控不能观四部分。当然,并非所有系统都能分解成有这 四个部分的。
2.线性连续时变系统能观性判别 时变系统
(4)
在
上状态完全能观测的充分必要条件是格拉姆矩阵
(5) 为非奇异的。
3.5.3 连续时变系统可控性和可观性判别法则和连续定常系统的 判别法之间的关系
众所周知,一 个矩阵:
因此,有 这个矩阵的列矢量线 性无关与 非
奇异等价。
式中,
为列矢量,当且仅当由
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A t n
n!
x
t0
A
n0
At
n!
n
x
t
0
Axt;
级数
n0
At n
n!
x
t0
绝对一致收敛
矩阵级数 eAt At n 称为矩阵指数
n0 n!
3
2005-11-5
第三章 状态方程的解
例3.1.1 已知 A 解:
0 1 , 求 e At. 10
e A t 1 01 0 0 t 0 t 2 1 ! 0 t2 0 t2 3 1 ! t0 3 0 t3
2005-11-5
第三章 状态方程的解
则有:
eAt
L1
21 s1 s2
11 s1 s2
s21s22 s11s22
2et e2t
et
15
2005-11-5
第三章 状态方程的解 (3) 标准型法:
a . 设 A 具有n 个互异的特征值 1,2,
n, 则有
e1t
e2t
eAt P
0
0 P1
ent
其中 P 满足 P1APdiag[,, ,n].
16
2005-11-5
第三章 状态方程的解
例3.2.2 已知矩阵
0 1 1
A
6
-11
6
-6 -11 5
试计算矩阵指数 e A t .
解: 1) 特征值
1 1
IA6 -11 61230
eAt IAt1A2t2 2!
1
=
1
0
0 1
2
1
12
1 2!
22
0
0
t2
状态空间表达式解
![状态空间表达式解](https://img.taocdn.com/s3/m/a564da7f0622192e453610661ed9ad51f01d549a.png)
2.1.1 齐次状态方程的解 u=0
X·=AX
1、直接求解 设 n=1
X(t0) =X0
x·=ax 解为x(t)=eatx0
t0=0 且eat=1+at+a2t2/2!+…
对于 n阶, 解为X(t)=eAtX0 eAt=I+At+A2t2/2!+…
证明:设X(t)解的形式为
=(I+At1+A2t12/2!+…) (I+At2+A2t22/2!+…) = (t1) (t2)
1、状态转移矩阵的性质:设t0=0 (4)[(t)]–1= (–t)
证明:由 (1)(0)=I (3) (t1+t2)= (t1) (t2) 得 (t–t)= (t) (–t)=I
(–t +t)= (–t) (t) =I 所以 [(t)]–1= (–t) (5) (t2– t1) (t1– t0) = (t2– t0)
0 0 0… 0 0 0…
e1t tm–1/(m–1)! e1t tm–2/(m–2)!
Q–1 te1t e1t
以A有三重特征值为例进行证明
1 1 0 J= Q–1AQ= 0 1 1
0 0 1
证明 eAt=I+At+A2t2/2!+… 则 Q–1eAtQ=Q–1IQ+ Q–1 AtQ+ Q–1 A2t2/2!Q+… =I+ Jt+ J2t2/2!+… eAt=Q(I+ Jt+ J2t2/2!+…) Q–1
1 k!
Akb0
2.1.1 齐次状态方程的解
第三章状态方程的解课堂课资
![第三章状态方程的解课堂课资](https://img.taocdn.com/s3/m/b191a32b26d3240c844769eae009581b6ad9bd62.png)
e2t 1 3t et
2e2t
2
3t
et
4e2t 5 3t et
0 1 0
A
0
0
1
6 11 6
1 1 1 P 1 2 3
1 4 9
6 5 1
P 1
1 2
6
8
2
2 3 1
1 0 0
A
P1 AP
0
2
0
0 0 3
et 0 0
e At PeAt P1 P 0 e2t
0
e
nt
eT 1ATt I T 1 ATt 1 T 1 A2Tt 2 1 T 1 A3Tt 3
2!
3!
T 1 I At 1 A2t 2 1 A3t 3 T
2!
3!
T 1e AtT et
e At TetT 1
12
例 已知矩阵
0 1 1
A 6
-11
6
试计算矩阵指数 eAt .
a n1 n1 1
e1t
a n1 n1 2
e2t
a0 a1n
a0
1
an1 1
a n1 n1 n
ent
n1 1
1
e1t
.
n1 n
ent
17
2)有 n个重特征值 1 n
et a0 t a1 t an1 t n1
两端对求1至n 阶1 导数得:
t 是满足 t At,0 I 的 n n 的矩阵。 t 定义为转移矩阵。
对于线性定常方程 t e At 。
t e At 表示 x(0) 到 x(t) 的转移矩阵。 t t0 e A(tt0 ) 表示 x(t0 ) 到 x(t) 的转移矩阵。
求状态方程的时域解
![求状态方程的时域解](https://img.taocdn.com/s3/m/06f7d806590216fc700abb68a98271fe910eafe2.png)
求状态方程的时域解状态方程(State Equation)是描述动态系统的数学模型,它能够描述系统的状态如何随时间变化。
在控制论中,求解状态方程的时域解在设计和分析控制系统中具有重要意义。
本文将介绍状态方程的定义、求解方法以及时域解的计算过程。
状态方程的定义状态方程是用微分方程的形式表示的动态系统。
一般形式的状态方程可以表示为:dx(t)/dt = A(t) * x(t) + B(t) * u(t)其中,x(t)是状态向量,表示系统在时间t的状态,u(t)是输入向量,表示在时间t的输入,A(t)和B(t)是矩阵,它们表示系统的动态特性。
该方程描述了系统状态的变化率以及输入对状态的影响。
解法求解状态方程的时域解需要通过求解微分方程来获取。
具体的解法主要有两种:利用拉普拉斯变换求解和利用差分方程求解。
1. 利用拉普拉斯变换求解在连续时间域中,可以利用拉普拉斯变换来求解状态方程的时域解。
具体步骤如下:1.将状态方程中的微分方程用拉普拉斯变换转换为代数方程。
2.根据已知的初始条件,建立方程的初始条件。
3.根据所求解的变量进行移项整理,求解出未知变量的表达式。
4.对拉普拉斯域变换的结果进行逆变换,得到时域解。
2. 利用差分方程求解在离散时间域中,可以利用差分方程来求解状态方程的时域解。
具体步骤如下:1.将状态方程中的微分方程用差分方程转换为代数方程。
2.根据已知的初始条件,建立方程的初始条件。
3.根据差分方程的表达形式,利用递推关系计算出未知变量的取值。
4.得到差分方程的解,并将其转换为时域解。
时域解的计算过程下面将以连续时间域为例,介绍求解状态方程的时域解的计算过程。
1. 利用拉普拉斯变换求解假设我们有一个一阶线性连续时间不变系统,状态方程为:dx(t)/dt = A * x(t) + B * u(t)其中x(t)是一个列向量,u(t)是输入的标量,A和B是常数矩阵。
首先,我们将方程两边进行拉普拉斯变换,得到:sX(s) - x(0) = A * X(s) + B * U(s)其中X(s)和U(s)是x(t)和u(t)的拉普拉斯变换,s是拉普拉斯变换的复变量。
现代控制理论-状态方程的解
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e
At
Te JtT1
1
0
2
0
et
0
2
3
1 1 4 0 0 e 2 t 1 2
Iinv(A)
2
1
1
作业:p.536;9-9;9-10;9-11
2tete2t 3tet2et2e2t tetete2t
0 1 0
2(e2ttetet) 3tet5et4e2t tet2et2e2tA
iPi1APi1Pi
..................................
参见 现代控制论
教材p.490 刘豹 p.28
Matla 中,矩阵求逆 b 命令为
1 1 0
et tet 0
J
T1AT=
0
1
0
0 0 2
e Jt
0
0
et
0
0 e 2 t
1 1 1 e t te t 0 2 5
T
2 2
1 2
特征 向量 问题
Api i pi
T 1
1
1 2
1 1
T1AT
1 0
0 2
e At
TetT1
2 2
1 et
2
0
2et e2t 2et 2e2t
e
0
2
t
1
1
1 2 1
et e2t et 2e2t
利用拉氏变换的方法参见书 p.458 例9-4,9-5
证明→
1
0
0
2
1
,
n
2
...
n
e At
矩阵指数
的求法
现代控制理论智慧树知到答案章节测试2023年滨州学院
![现代控制理论智慧树知到答案章节测试2023年滨州学院](https://img.taocdn.com/s3/m/4c82fa14cdbff121dd36a32d7375a417866fc105.png)
第一章测试1.系统前向通道传递函数阵为,反馈通道传递函数阵为,则系统闭环传递函数为()。
A:B:C:D:答案:B2.下面关于线性时不变系统的系统矩阵说法错误的是()。
A:由系统矩阵可以得到系统的运动模态。
B:具有相同特征值的系统矩阵,鲁棒稳定性是一样的。
C:系统矩阵的形式决定着系统的稳定性质。
D:系统矩阵不同,系统特征值可能相同。
答案:B3.下面关于状态空间模型描述正确的是()。
A:对一个系统,只能选取一组状态变量。
B:模型的阶数就是系统中含有储能元件的个数。
C:代数等价的状态空间模型具有相同的特征多项式和稳定性。
D:对于线性定常系统的状态空间模型,经常数矩阵非奇异变换后的模型,其传递函数阵是的零点是有差别的。
答案:C4.线性变换不改变系统的()A:状态变量B:特征值C:状态方程D:传递函数答案:BD5.对于同一控制系统,只能选取一组状态变量。
()A:对B:错答案:B第二章测试1.非齐次状态方程的解包含零状态响应和零输入响应两部分。
()A:对B:错答案:A2.系统的状态方程为齐次方程,若初始时刻为0,,则其解为()。
A:B:D:答案:A3.下面关于线性连续系统的状态转移矩阵描述错误的是()。
A:状态转移矩阵不唯一B:C:D:答案:A4.已知线性连续系统的状态空间表达式为,对该系统进行离散化为状态空间表达式为,其中采样周期为T,那么下列正确的是()A:H=BB:G=AC:C=CD:D=D答案:CD5.对于线性定常系统,若系统矩阵A为,则系统的状态转移矩阵为()。
A:B:1C:D:答案:C第三章测试1.下面关于连续线性系统的能观性说法错误的是()。
A:常数非奇异变换不改变系统的能观性。
B:能观性表征了输出反映内部状态的能力。
C:一个系统不能观,意味着存在满足D:系统状态若不完全能观,则一定可以将状态分成完全能观子空间和不完全能观的子空间,这两个子空间完全正交。
答案:C2.下面关于连续线性系统的能控性说法正确的是()。
34 线性连续系统状态空间模型的离散化
![34 线性连续系统状态空间模型的离散化](https://img.taocdn.com/s3/m/bec6ef705a8102d276a22fe6.png)
2. 当T=0.001s时,精确法的计算结果为
近似法的计算结果为
近似离散化方法(6/6)—例3-12
从上述计算结果可知,近似离散法只适用于较小的采样周期。
线性时变连续系统的离散化(1/6)
3.4.2 线性时变连续系统的离散化
线性时变连续系统状态空间模型的离散化,实际上是指在指定 的采样周期T下,将连续系统的状态方程
离散系统的工作状态可以分为以下两种情况。 ➢ 整个系统工作于单一的离散状态。 ✓ 对于这种系统,其状态变量、输入变量和输出变量全 部是离散量,如现在的全数字化设备、计算机集成制 造系统等。 ➢ 系统工作在连续和离散两种状态的混合状态。 ✓ 对于这种系统,其状态变量、输入变量和输出变量既 有连续时间型的模拟量,又有离散时间型的离散量, 如连续被控对象的采样控制系统就属于这种情况。
线性连续系统状态空间模型的离散化(5/5)
➢ 采样周期T的选择满足申农(Shannon)采样定理,即 ✓ 采样频率2/大于2倍的连续信号x(k)的上限频率。
满足上述条件和假设,即可推导出连续系统的离散化的状态空 间模型。 ➢ 下面分别针对 ✓ 线性定常连续系统和 ✓ 线性时变连续系统 讨论离散化问题。
线性连续系统状态空间模型的离散化(2/5)
➢ 对于第2种情况的系统,其状态方程既有一阶微分方程组 又有一阶差分方程组。
✓ 为了能对这种系统运用离散系统的分析方法和设计 方法,要求整个系统统一用离散状态方程来描述。 ❖由此,提出了连续系统的离散化问题。
✓ 在计算机仿真、计算机辅助设计中利用数字计算机 分析求解连续系统的状态方程,或者进行计算机控制 时,都会遇到离散化问题。
图33连续系统离散化的实现线性连续系统状态空间模型的离散化45线性连续系统的时间离散化问题的数学实质就是在一定的采样方式和保持方式下由系统的连续状态空间模型来导出等价的离散状态空间模型并建立起两者的各系数矩阵之间的关系为使连续系统的离散化过程是一个等价变换过程必须满足如下条件和假设
状态方程的解
![状态方程的解](https://img.taocdn.com/s3/m/d52677a48bd63186bdebbc40.png)
Chapter2状态方程的解我们要解决的问题是:在系统初始时刻0t t =时,初始状态为00)(x t x =的条件下,对该系统施加控制)(t u ,求出系统状态)(t x 的变化,即求解非齐次方程(0)(≠t u )初值问题的解:000)()()()()()(t t x t x t u t B t x t A t x≥=+=或者在系统不加控制)(t u ,(0)(=t u 称为自由系统)的条件下,求出初值)(0t x 对系统状态)(t x 的影响,即求解齐次方程初值问题的解:000)(),()()(t t x t x t x t A t x≥==⇒⎩⎨⎧离散连续线性定常⇒⎩⎨⎧离散连续线性时变⎩⎨⎧⨯∆⇒⎩⎨⎧⨯∆数值解解析解非齐次数值解解析解齐次 2.1 线性定常系统状态方程的解2.1.1n 阶、线性、定常(无关与时间t A )连续系统齐次状态方程的解我们知道:常系数线性微分方程(标量方程))()(t ax t x= ,0)0(x x =,0≥t 其解为 000!)(x k t a x e t x k kk at∑∞===对齐次状态方程(矩阵方程))()(t Ax t x= ,0)0(x x =,0≥t 很自然,仿照常系数线性微分方程,可得到n 阶线性、定常、连续系统齐次(0)(=t u )状态方程的解000!)(x k t A x e t x k kk At∑∞=== 定义矩阵指数:k k k k k Att A k t A At I k t A e!121!220++++=≡∑∞= ,它仍是一个矩阵。
若初始时间为0t ,则状态方程的解为0000)(!)()(0x k t t A x et x k kk t t A ∑∞=--==∑∞=--=00)(!)(0k kk t t A k t t A e称为定常(连续)系统的状态转移矩阵。
)(0t t A e -物理意义:将系统从初始状态)(0t x 转移到(时刻t 的)状态)(t x 。
第六章线性系统的状态方程
![第六章线性系统的状态方程](https://img.taocdn.com/s3/m/a2839b3ccec789eb172ded630b1c59eef8c79ac8.png)
状态变量分析法的优点:1. 便于观察系统内部某些物理量的变化过程;2. 与系统的复杂程度无关,复杂系统和简单系统的数学模型相似,适于多输入多输出系统;3. 适于研究非线性或时变系统。
因为一阶微分方程或差分方程是研究非线性和时变系统的有效方法。
4. 便于研究系统的稳定性、可控性、可观测性及系统内部参数变化对系统特性的影响;5. 状态方程都是一阶微分方程或差分方程,便于采用数值解法在计算机上实现系统分析。
系数矩阵由系统的参数决定,非时变系统为常数,时变系统为时间的函数。
,A B 四、输出方程(output equation))(,),(),(21t y t y t y r Λ输出方程是由状态变量和激励信号的线性方程,因此对线性系统而言,输出方程是一组线性方程。
例如,假设系统有个输出,r mrm r r n rn r r r mm n n mm n n e d e d e d x c x c x c t y e d e d e d x c x c x c t y e d e d e d x c x c x c t y +++++++=+++++++=+++++++=ΛΛMΛΛΛΛ22112211222212122221212121211112121111)()()(则,A B矩阵形式为:)(10081910120010321'3'2'1t e x x x x x x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡01000112198⎡⎤⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦A 依此方法选择的状态变量常称为相变量状态变量,状态方程叫相变量状态方程。
状态方程和输出方程中的系数矩阵与输入输出方程有关。
[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3210410)(x x x t y 001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B []1040=C 0=D矩阵形式为:1211012110''13'22'1)()(+--+++=+----====m m n n n nn x b x b x b t y t e x a x a x a x x xx x x x ΛΛM )(1000100010211210''2'1t e x x x a a a a x x x n n n ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-M M ΛM ΛΛM[]001111n n n n n nb b a b b a b b a b --∴=---=C D L 当时,矩阵不再为0。
现代控制理论基础第二章习题答案
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第二章 状态空间表达式的解3-2-1 试求下列矩阵A 对应的状态转移矩阵φ(t )。
(1) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2010A (2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0410A (3) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2110A (4) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=452100010A (5)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000100001000010A (6)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλ000100010000A 【解】:(1) (2) (3) (4)特征值为:2,1321===λλλ。
由习题3-1-7(3)得将A 阵化成约当标准型的变换阵P 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=421211101P ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-1211321201P线性变换后的系统矩阵为:(5)为结构四重根的约旦标准型。
(6)虽然特征值相同,但对应着两个约当块。
或}0100010000{])[()(1111----⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-=Φλλλλs s s s L A sI L t 3-2-2 已知系统的状态方程和初始条件 (1)用laplace 法求状态转移矩阵; (2)用化标准型法求状态转移矩阵; (3)用化有限项法求状态转移矩阵; (4)求齐次状态方程的解。
【解】:(1) (2)特征方程为: 特征值为:2,1321===λλλ。
由于112==n n ,所以1λ对应的广义特征向量的阶数为1。
求满足0)(11=-P A I λ的解1P ,得:0110000000312111=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--P P P ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011P 再根据0)(22=-P A I λ,且保证1P 、2P 线性无关,解得:对于当23=λ的特征向量,由0)(33=-P A I λ容易求得: 所以变换阵为:[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==110010001321P P P P ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1100100011P 线性变换后的系统矩阵为:(3)特征值为:2,1321===λλλ。
状态方程的解
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线性系统运动的分解
x0
u=0
u
x
x0u
x0
u
x0x
x0=0
系统的零输入响应
x Ax x(0) x0
状态方程的解为
x0u (t) eAt x0
矩阵指数
eAt I At 1 A2t2 1 Antn
x P1APx P1Bu
y cx
x Px
y cPx
讨论
• 存在上述关系的两个状态空间描 述为代数等价
• 两个代数等价的状态空间描述可 以化为相同的对角线规范型或约 当规范型
• 系统在坐标变换下的不变量和不 变属性反映了系统固有特性。
(1) 化A阵为对角阵
• 设A阵为方阵,具有互异特征值,则 可通过非奇异变换化为对角阵。
零初态响应
*** 状态转移矩阵
• 由初始状态引起的运动和输入引起 的运动都可以看作是状态的转移, 可以用状态转移矩阵表示。
• 利用状态转移矩阵可以对定常和时 变系统建立统一的表达形式。
状态转移矩阵
• 线性定常系统的状态方程为
x Ax(t) Bu(t)
称满足如下矩阵方程的解Φ为系统的 状态转移矩阵
0
0 0 0 0 2
1 1 0 0 0
0
1
0
0
0
J 0
0
0 0
1 1 0 1
0
0
0 0 0 0 2
1 1 0 0 0
0
1
1
0
0
J 0
0
0 0
1 0 0 1
0
0
0 0 0 0 2
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
目 录
� � � � � � � � 概述 3.1 线性定常连续系统状态方程的解 3.2 状态转移矩阵及其计算 3.3 线性时变连续系统状态方程的解 3.4 线性定常连续系统的离散化 3.5 线性定常离散系统状态方程的解 3.6 Matlab问题 本章小结
状态转移矩阵的性质 (4/8)
4) 对角线矩阵的状态转移矩阵。 如果时变的系统矩阵A(t) 如下表示的对角线矩阵。 A(t)=diag{a11(t) a22(t) … ann(t)} 式中,aii(t)(i=1,2,…,n)为标量函数,则A(t)的状态转移矩阵Φ (t,t0)为如下对角线矩阵。 Φ(t,t0)=diag{ϕ11(t,t0) ϕ22(t,t0) … ϕnn(t,t0)} 式中 , ϕii(t,t0)(i=1,2,…,n) 为满足如下标量微分方程的状态转 移函数
Φ (t , t0 ) = I + ∫ A(τ1 )Φ (τ1 , t0 )dτ1
t0 t
状态转移矩阵的求解(2/7)
Φ(t , t0 ) = I + ∫ A(τ 1 ) Φ(τ 1 , t 0 )dτ 1
t0 t
� 如果将上式中积分号内的Φ(τ1,t0)再按上式展开,则有
Φ(τ1 , t0 ) = I + ∫ A(τ 2 )Φ(τ 2 , t0 )dτ 2
̇ ( t , t ) = A ( t ) Φ (t , t ) ⎧Φ i 0 i i 0 ⎨ ⎩ Φ i (t 0 , t 0 ) = I
i = 1, 2,..., l
—例 3-9 6/8)— 状态转移矩阵的性质(6/8)
9 求如下时变系统的状态转移矩阵Φ(t,t0)。 � 例33-9
⎡ 0 ̇=⎢ x ⎢ ⎣0 1 ⎤ x (t + 1)2 ⎥ ⎥ 0 ⎦
—例 3-9 7/8)— 状态转移矩阵的性质(7/8)
� 因此
A(t1)A(t2)=A(t2)A(t1) ∀t1,t2
即矩阵A(t)和∫A(τ)dτ与满足可交换条件,可由指数展开式方 法计算状态转移矩阵,即
t ⎡ Φ (t , t0 ) = exp ∫ A(τ )dτ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ t0 ⎦
1 ⎤ ⎡ ⎡ 1 ⎤ ⎤ ⎡ 0 0 t 1 ⎥ +⋯ 2⎥ ⎢ (τ + 1)2 ⎥ dτ + ⎢ ( τ + 1) =I+∫ ⎢ d τ t0 ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ 2! ⎢ ∫t0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎥ 0 ⎥ ⎣0 ⎦ ⎣0 ⎦ ⎥ ⎣ ⎢ ⎦
故有 Φ(t2,t0)x(t0)=Φ(t2,t1)Φ(t1,t0)x(t0) 由于上式对任意初始状态x(t0)都成立,所以有 Φ(t2,t0)=Φ(t2,t1)Φ(t1,t0)
状态转移矩阵的性质 (3/8)
3) 可逆性 Φ-1(t,t0)=Φ(t0,t) 证明 由性质1)和2),有 Φ(t,t0)Φ(t0,t)=Φ(t,t)=I 故Φ-1(t,t0)=Φ(t0,t)成立。
2) (1/2) 线性时变连续系统状态方程的解(1/
3.3 线性时变连续系统状态方程的解
� 严格说来,实际控制对象都是时变系统,其系统结构或参数随 时间变化。 � 如电机的温升导致电阻以及系统的数学模型变化;电子 器件的老化使其特性也发生变化; � 火箭燃料的消耗导致其质量以及运动方程的参数的 变化等。 � 但是,由于时变系统的数学模型较复杂,且不易于系统分 析、优化和控制,因此只要实际工程允许,都可将慢时变 系统在一定范围内近似地作为定常系统处理。 � 但对控制目标要求较高的高精度控制系统,需作为时变 系统处理。
t0 τ1
� 然后按此法继续迭代下去,并将各展开式代入式(3-59),可 得
Φ (t , t0 ) = I + ∫ = I +∫
t t0 t τ1 ⎡ A(τ1 )⎢ I + ∫ A(τ 2 )Φ(τ 2 , t0 )dτ 2 ⎤ dτ1 ⎥ t ⎣ 0 ⎦ t τ1 τ2 ⎡ A(τ1 )dτ1 + ∫ A(τ 1 ) ∫ A(τ 2 ) ⎢ I + ∫ A(τ 3 )Φ(τ 3 , t0 )dτ 3 ⎤ dτ 2 dτ 1 ⎥ t0 t0 t ⎣ 0 ⎦ t τ1 t0 t0
x(t0)=Φ(t0,t0)x(t0)=x(t0)
说明式x(t)=Φ(t,t0)x(t0)满足齐次状态方程及其初始条件。 � 根据微分方程解的唯一性,所以它是齐次状态方程的解。 � 时变系统齐次状态方程的解表示了系统自由运动的特性,也代 表了初始状态x(t0)的转移,其转移特性完全由状态转移矩阵Φ (t,t0)决定。
̇ii (t , t0 ) = aii (t )ϕ ii ( t, t0 ) ⎧ϕ ⎨ ⎩ϕii (t0 , t0 ) = 1
i = 1, 2,..., n
即
t ⎡ ϕii (t , t0 ) = exp ⎢∫ aii (τ )dτ ⎤ ⎥ ⎣ t0 ⎦
状态转移矩阵的性质 (5/8)
5) 块对角矩阵的状态转移矩阵。 如果时变的系统矩阵A(t) 如下表示的块对角矩阵。 A(t)=block-diag{A1(t) A2(t) … Al(t)} 式中,Ai(t)(i=1,2,…,l)为mi×mi维的分块矩阵函数,则A(t)的状 态转移矩阵Φ(t,t0)为如下块对角矩阵。 Φ(t,t0)=block-diag{Φ1(t,t0) Φ2(t,t0) … Φl(t,t0)} 式中 , Φi(t,t0)(i=1,2,…,l) 为满足如下矩阵微分方程的状态转 移矩阵
状态转移矩阵的求解(7/7)
� 上述A(t)和∫A(τ)dτ可交换条件一般较难以检验是否成立。 � 事实上,根据该可交换条件有
∫ [ A(t ) A(τ ) − A(τ ) A(t )] dτ ≡ 0
t0
t
� 上式对于任意时间变量t和t0都成立的充分必要条件是:对 于任意的t1和t2,下式成立 A(t1)A(t2)=A(t2)A(t1) � 所以,实际上较易于检验的条件可取代A(t)和∫A(τ)dτ可交 换条件,成为时变系统的状态转移矩阵的解可表示为指数 矩阵形式的充分必要条件。
状态转移矩阵的性质 (1/8)
2. 状态转移矩阵的性质
� 时变系统的状态转移矩阵的性质如下。 1) Φ(t,t)=I 2) 传递性 Φ(t2,t1)Φ(t1,t0)=Φ(t2,t0)
状态转移矩阵的性质 (2 /8) (2/8)
证明 由于
x(t2)=Φ(t2,t0)x(t0)
且
x(t2)=Φ(t2,t1)x(t1)=Φ(t2,t1)Φ(t1,t0)x(t0)
t t d 1 1 t ⎡ ⎤ exp ∫ A(τ )dτ = A(t ) + A(t ) ∫ A(τ )dτ + ∫ A (τ )dτ A (t ) + ⋯ ⎢ ⎥ t0 ⎣ t0 ⎦ dt 2 2 t0
� 根据状态转移矩阵的解表达式,状态转移矩阵Φ(t,t0)的导 数可表示为
t ̇ Φ(t , t0 ) = A(t ) + A(t )∫ A(τ 2 )dτ 2 + ⋯ t0
状态转移矩阵的求解(5/7)
� 将该指数表达形式的右边展开成级数形式,有
2 t 1 exp ⎡ ∫ A(τ )d τ ⎤ = I + ∫ A(τ )d τ + ⎡ ∫ A(τ )d τ ⎤ + ⋯ ⎢ ⎥ t0 ⎥ ⎣ t0 ⎦ ⎣ t0 ⎦ 2! ⎢
t
t
如果上式是系统的状态转移矩阵,它必须满足状态转移矩阵的定 义式。 � 于是,将上式的两边对时间取导数,
状态转移矩阵的求解(6/7)
� 比较上述两式可知,只有A(t)和∫A(τ)dτ满足乘法可交换条件时, 时变系统的状态转移矩阵可以表示为指数形式。 � 因此,线性时变连续系统齐次状态方程的解也可表示为指 数形式,即
t ⎡ ̇ (t ) = exp ∫ A(τ )d τ ⎤ x(t0 ) x ⎢ ⎥ ⎣ t0 ⎦
t0 t
= I + ∫ A(τ1 )dτ1 + ∫ A(τ 1 ) ∫ A(τ 2 )dτ 2 dτ1
t0
+ ∫ A(τ1 )∫ A(τ 2 )∫
t0 t0
t
τ1
τ2
t0
τ3 ⎡ A(τ 3 )⎢ I + ∫ A(τ 4 )Φ(τ 4 , t 0 )dτ 4 ⎤ dτ 3dτ 2 dτ1 ⎥ t ⎣ 0 ⎦
状态转移矩阵的求解(4/7)
� 当时变的系统矩阵A(t)满足如下条件
A(t ) ∫ A(τ )d τ = ∫ A(τ )d τ A(t)
t0 t0 t t
时,时变系统的状态转移矩阵的解可以表示为
t ⎡ Φ(t , t0 ) = exp ⎢ ∫ A(τ )dτ ⎤ ⎥ ⎣ t0 ⎦
的指数形式。 � 也就是说,只有A(t)与∫A(τ)dτ满足矩阵乘法的可交换条件 时,上述指数表达形式的解才成立。 � 下面对这个条件给予证明。
线性时变连续系统的状态转移矩阵(1/1)
3.3.2 线性时变连续系统的状态转移矩阵
� 下面进一步讨论前面引入的状态转移矩阵,主要内容为: � 状态转移矩阵的求解 � 状态转移矩阵的性质
状态转移矩阵的求解(1/7)
1. 状态转移矩阵的求解
� 对于线性时变连续系统,状态转移矩阵Φ(t,t0)是如下矩阵微 分方程和初始条件 Φ’(t)=A(t)Φ(t), Φ(t)|t=0=I 的解,它是一个n×n维的关于时间变量t和t0的矩阵函数。 � 为了求得状态转移矩阵Φ(t,t0)的表达式,可在时间域内对该 矩阵微分方程积分,即有
� 当系统没有外部输入作用时,线性时变连续系统的状态方程 为齐次状态方程,可表示为 x’(t)=A(t)x(t) � 这里讨论其满足初始状态