复变函数学习课件(18)
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复变函数 全套课件
w1
8
2cos
9 16
i
sin
9 16
,
23
w2
8
2
cos
17 16
i sin 1176,
w3
8
2cos
25 16
i sin 2156.
y
w1
这四个根是内接于中
心在原点半径为8 2 的 圆的正方形的四个顶点.
w2
o
w0 x
w3
24
三、典型例题
例1 对于映射 w z 1 , 求圆周 z 2的象. z
3
三角表示法
利用直角坐标与极坐标的关系
x y
r r
cos , sin ,
复数可以表示成 z r(cos i sin )
指数表示法
利用欧拉公式 ei cos i sin ,
复数可以表示成 z rei 称为复数 z 的指数表示式.
4
方根
w
n
z
r
1 n
cos
2kπ
i sin
2kπ
n
n
6
2cos
12
i
sin
12 ,
w1
6
2cos
7 12
i sin 712,
w2
6
2cos
5 4
i
sin
5 4
.
22
例 计算 4 1 i 的值.
解
1i
2cos
4
i
sin
4
4
1
i
8
2cos 4
2k 4
i sin
4
2k
4
即
w0
8
复变函数ppt课件
为复数。其中 i 2 1 , i称为虚单位。
•复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part)
• 复数的模 | z | x2 y2 0
• 判断复数相等 z1 z2 x1 x2 , y1 y2 , 其 中z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 z 0 Re(z) Im( z) 0
一般, 任意两个复数不能比较大小。
2. 代数运算
•四则运算 定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：
z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)
z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)
z
z1 z2
x1 x2 y1 y2 | z2 |2
1i
1i i 1 i
§2 复数的表示方法
1. 点的表示 2. 向量表示法 3. 三角表示法 4. 指数表示法
1. 点的表示
易见，z x iy 一对有序实数( x, y), 在 平 面 上 取 定 直 角 坐 标系 ， 则 任意点P( x, y) 一对有序实数( x, y) z x iy 平面上的点P( x, y) 复数z x iy可用平面上坐标为( x，y)的点P表示. 此时，x轴 — 实轴 y轴 — 虚轴
3.共轭复数
定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数.
•共轭复数的性质
(complex conjugate)
(1) (z1 z2 ) z1 z2 (2) z z
(z1z2 ) z1z2
(4)z z 2 Re(z)
•复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part)
• 复数的模 | z | x2 y2 0
• 判断复数相等 z1 z2 x1 x2 , y1 y2 , 其 中z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 z 0 Re(z) Im( z) 0
一般, 任意两个复数不能比较大小。
2. 代数运算
•四则运算 定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：
z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)
z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)
z
z1 z2
x1 x2 y1 y2 | z2 |2
1i
1i i 1 i
§2 复数的表示方法
1. 点的表示 2. 向量表示法 3. 三角表示法 4. 指数表示法
1. 点的表示
易见，z x iy 一对有序实数( x, y), 在 平 面 上 取 定 直 角 坐 标系 ， 则 任意点P( x, y) 一对有序实数( x, y) z x iy 平面上的点P( x, y) 复数z x iy可用平面上坐标为( x，y)的点P表示. 此时，x轴 — 实轴 y轴 — 虚轴
3.共轭复数
定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数.
•共轭复数的性质
(complex conjugate)
(1) (z1 z2 ) z1 z2 (2) z z
(z1z2 ) z1z2
(4)z z 2 Re(z)
复变函数的可导与解析
复数的方根：
设zrei r(cosis in ),则z的n次 方 根
为n
z
1
rn(c
os2k
is
in2k)
n
n
(k0,1,2,n1)
二. 复变函数
复变函数 ：
f :z xiywuiv xy平 面 上 的 点 u集v平 面 上 的 点 集
w f(z)u(x, y)iv(x, y)
一个复变函数
二个二元实函数
y x
z在第四象限
性质：
z1z2z1z2，z1z2z1z2， （ zz1 2） zz1 2 z z z 2 , z 1 z 2 z 1 z 2 , z 1 z 2 z 1 z 2
Arg(z1z2) Arg1zArg2z
Argz1 z2
Arg1zArg2z
复数的乘幂：
设 zre ir(cosisin)则 , z的 n次 为zn(re i)nrn(cn os isin n )
f(z0)limfz0 z0
zfz0
z
fz0zfz0f(z0)zz( lzi m 00) 设f(z0)aib,1i2,zxiy， 则
fz0zfz0uiv
(aib)(xiy)(1i2)(xiy)
axby1x2yi(bxay2x1y)
uaxby1x2y
vbxay2x1y
而lim1x2y 0,lim2x1y 0
处 处不 解.析
例5 证 明 ：w如 u(x果 ,y)iv(x,y)为 解 析 函 数
w必 与 z无 关 ， 可 以 z表单 示独 。用
例6
已 知f解 (z)的 析 v 虚 函 y 部 ,数 求 f(z)。 x 2y2
解
uy
vx
设zrei r(cosis in ),则z的n次 方 根
为n
z
1
rn(c
os2k
is
in2k)
n
n
(k0,1,2,n1)
二. 复变函数
复变函数 ：
f :z xiywuiv xy平 面 上 的 点 u集v平 面 上 的 点 集
w f(z)u(x, y)iv(x, y)
一个复变函数
二个二元实函数
y x
z在第四象限
性质：
z1z2z1z2，z1z2z1z2， （ zz1 2） zz1 2 z z z 2 , z 1 z 2 z 1 z 2 , z 1 z 2 z 1 z 2
Arg(z1z2) Arg1zArg2z
Argz1 z2
Arg1zArg2z
复数的乘幂：
设 zre ir(cosisin)则 , z的 n次 为zn(re i)nrn(cn os isin n )
f(z0)limfz0 z0
zfz0
z
fz0zfz0f(z0)zz( lzi m 00) 设f(z0)aib,1i2,zxiy， 则
fz0zfz0uiv
(aib)(xiy)(1i2)(xiy)
axby1x2yi(bxay2x1y)
uaxby1x2y
vbxay2x1y
而lim1x2y 0,lim2x1y 0
处 处不 解.析
例5 证 明 ：w如 u(x果 ,y)iv(x,y)为 解 析 函 数
w必 与 z无 关 ， 可 以 z表单 示独 。用
例6
已 知f解 (z)的 析 v 虚 函 y 部 ,数 求 f(z)。 x 2y2
解
uy
vx
复变函数论第三版PPT课件
导数的性质
导数具有线性、可加性、可乘性和链式法则等性质。这些性质在计算复杂函数 的导数时非常有用。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
隐函数的导数
对于常数、幂函数、指数函数、三角 函数等基本初等函数，其导数都有固 定的公式可以查询和使用。
如果一个函数$F(x, y) = 0$，我们可 以通过对$F$求关于$x$或$y$的偏导 数来找到隐函数的导数。
傅里叶级数与傅里叶变换
傅里叶级数
将周期函数表示为无穷级数，通过正 弦和余弦函数的线性组合来逼近原函 数。
傅里叶变换
将函数从时间域转换到频率域，通过 积分形式实现。
傅里叶变换的性质与应用
线性性质
若 $f(t)$ 和 $g(t)$ 是 可傅里叶变换的，$a, b$ 是常数，则 $af(t) + bg(t)$ 也可进行傅里叶 变换。
复数的几何意义
复数可以用平面上的点来 表示，实部为横坐标，虚 部为纵坐标。
复数的运算
复数可以进行加法、减法、 乘法和除法等运算，满足 交换律、结合律和分配律。
02 复数与复变函数
复数及其运算
复数
由实部和虚部构成的数， 表示为 a + bi，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位。
复数的运算
加法、减法、乘法和除法 等。
共轭复数
如果一个复数的虚部变号， 则得到该复数的共轭复数。
复变函数及其定义域
复变函数
从复平面到复平面的映射。
定义域
复变函数的输入值的集合。
单值函数和多值函数
根据定义域和值域的关系进行分类。
复变函数的极限与连续性
极限
描述函数值随自变量变化的行为。
连续性
函数在某一点处的极限值等于该 点的函数值。
导数具有线性、可加性、可乘性和链式法则等性质。这些性质在计算复杂函数 的导数时非常有用。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
隐函数的导数
对于常数、幂函数、指数函数、三角 函数等基本初等函数，其导数都有固 定的公式可以查询和使用。
如果一个函数$F(x, y) = 0$，我们可 以通过对$F$求关于$x$或$y$的偏导 数来找到隐函数的导数。
傅里叶级数与傅里叶变换
傅里叶级数
将周期函数表示为无穷级数，通过正 弦和余弦函数的线性组合来逼近原函 数。
傅里叶变换
将函数从时间域转换到频率域，通过 积分形式实现。
傅里叶变换的性质与应用
线性性质
若 $f(t)$ 和 $g(t)$ 是 可傅里叶变换的，$a, b$ 是常数，则 $af(t) + bg(t)$ 也可进行傅里叶 变换。
复数的几何意义
复数可以用平面上的点来 表示，实部为横坐标，虚 部为纵坐标。
复数的运算
复数可以进行加法、减法、 乘法和除法等运算，满足 交换律、结合律和分配律。
02 复数与复变函数
复数及其运算
复数
由实部和虚部构成的数， 表示为 a + bi，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位。
复数的运算
加法、减法、乘法和除法 等。
共轭复数
如果一个复数的虚部变号， 则得到该复数的共轭复数。
复变函数及其定义域
复变函数
从复平面到复平面的映射。
定义域
复变函数的输入值的集合。
单值函数和多值函数
根据定义域和值域的关系进行分类。
复变函数的极限与连续性
极限
描述函数值随自变量变化的行为。
连续性
函数在某一点处的极限值等于该 点的函数值。
复变函数课件
敛问题.
而由实数项级数 an 和 bn收敛的必要条件
n 1 n 1
lim an 0和 lim bn 0,
n n
立即可得 lim a n 0, 从而推出复数项级数
n
a 收敛的必要条件是 lim a
n 1 n n
n
0.
8
定义： 如果 | a n | 收敛, 则称级数 a n 绝对收敛.
f ( z )
n 1
nc n ( z - a ) n - 1
28
3) f(z)在收敛圆内可以逐项积分, 即
f ( z ) d z c ( z - a)
C n 0 n C
n
d z , C | z - a | R
或
z
a
cn n 1 f (z ) d z ( z - a) n 1 n 0
3
推论：若实数列{an}与{bn}中有一个发散， 则复数列{αn}一定发散。 例1. 下列数列是否收？如果收敛，求出 其极限.
1 n 1 (1)a n (1 ) in sin ; n n n ( 2)a n ( -1) i cos in; (3)a n p=3>1, 所以原级数在收敛圆上是处 处收敛的.
23
cn 1 n lim lim 1 n n 1 2) n cn , 即 R=1.
在收敛圆|z-1|=1 上, 当 z=0 时, 原级数成为
1 (-1) n n 1
n
, 级数收敛; 当 z=2 时, 原级数成为
cnz n 这是 ,
n 0
(4.1.4)的形式, 为了方便, 今后常就(4.1.4)讨论
而由实数项级数 an 和 bn收敛的必要条件
n 1 n 1
lim an 0和 lim bn 0,
n n
立即可得 lim a n 0, 从而推出复数项级数
n
a 收敛的必要条件是 lim a
n 1 n n
n
0.
8
定义： 如果 | a n | 收敛, 则称级数 a n 绝对收敛.
f ( z )
n 1
nc n ( z - a ) n - 1
28
3) f(z)在收敛圆内可以逐项积分, 即
f ( z ) d z c ( z - a)
C n 0 n C
n
d z , C | z - a | R
或
z
a
cn n 1 f (z ) d z ( z - a) n 1 n 0
3
推论：若实数列{an}与{bn}中有一个发散， 则复数列{αn}一定发散。 例1. 下列数列是否收？如果收敛，求出 其极限.
1 n 1 (1)a n (1 ) in sin ; n n n ( 2)a n ( -1) i cos in; (3)a n p=3>1, 所以原级数在收敛圆上是处 处收敛的.
23
cn 1 n lim lim 1 n n 1 2) n cn , 即 R=1.
在收敛圆|z-1|=1 上, 当 z=0 时, 原级数成为
1 (-1) n n 1
n
, 级数收敛; 当 z=2 时, 原级数成为
cnz n 这是 ,
n 0
(4.1.4)的形式, 为了方便, 今后常就(4.1.4)讨论
《复变函数论》课件
复数的定义
复平面上的点表示复数，实轴表示实数，虚轴表示虚数。
复数的几何意义
加法、减法、乘法、除法等。
复数的运算
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEWERA
复数与复变函数
总结词
复数可以用几何图形表示，其实部和虚部可以分别表示为直角坐标系中的x轴和y轴。
详细描述
复数平面上，每一个复数z=a+bi可以对应到一个点(a,b)，实部a对应x轴上的坐标，虚部b对应y轴上的坐标。这种表示方法称为复平面或直角坐标系。
泰勒级数的应用场景
泰勒级数在数学、物理、工程等领域中有着广泛的应用，如近似计算、误差估计、信号处理等。
泰勒级数的误差分析
在使用泰勒级数进行近似计算时，需要进行误差分析，以确保近似结果的精度和可靠性。
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEWERA
留数定理与辐角原理
总结词：留数定理是复变函数论中的重要定理之一，它提供了计算复平面上的积分的一种有效方法。
详细描述
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEWERA
解析函数与全纯函数
解析函数的定义
如果一个复函数在某区域内的全纯函数，则称该函数在该区域内解析。
全局性质
解析函数在全纯函数的零点处具有留数。
局部性质
在某区域内解析的函数在该区域内具有无限次可微性。
局部性质
在某区域内全纯的函数在该区域内具有无限次可微性。
详细描述
复变函数的积分是指函数在某个曲线段上的累积值，其定义方式与实数函数的积分类似，采用极限和累加的方式进行计算。在计算过程中，需要考虑复数域的特性，如虚部的存在和运算规则的特殊性。
复变函数与积分变换课件
傅里叶级数的性质
傅里叶级数具有唯一性，即一个周期函数对应一个唯一的傅 里叶级数；反之亦然。此外，傅里叶级数具有可加性和可分 离性，即对于任意的实数x，f(x)=f(x+T)=f(x−T)，其中T为 函数的周期。
傅里叶变换的定义与性质
傅里叶变换的定义
将一个可积分的函数f(x)变换为一系列无穷的三角函数之和，即 F(ω)=∫f(x)e−iωxdx，其中ω为角频率。
复数域上的微积分基本定理
01
微积分基本定理
根据微积分基本定理，复数域上的微积分可以按照实数域上的微积分进
行计算。
02
微分中值定理
微分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
，函数在区间上的值可以通过其端点的值和导数值来确定。
03
积分中值定理
积分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
性质
拉普拉斯变换具有线性、时移、频移、微分、积分、尺度变换等性质。
拉普拉斯变换的逆变换与基本定理
逆变换
对于复数域上的函数$F(s)$，其拉普拉斯 逆变换定义为：$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{ci\infty}^{c+i\infty}F(s)e^{st}ds$
VS
基本定理
如果$F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换，那 么对于任意的常数$a,b,c,d$，有： $\int_{0}^{\infty}f(t)[a\cos bt+c\sin bt]dt=\int_{0}^{\infty}F(s)[as\cos btcs\sin bt]ds$
复变函数与积分变换课件
目录
• 复数与复变函数 • 复变函数的微积分 • 傅里叶级数与傅里叶变换 • 拉普拉斯变换及其应用 • 复变函数与积分变换的物理意义
傅里叶级数具有唯一性，即一个周期函数对应一个唯一的傅 里叶级数；反之亦然。此外，傅里叶级数具有可加性和可分 离性，即对于任意的实数x，f(x)=f(x+T)=f(x−T)，其中T为 函数的周期。
傅里叶变换的定义与性质
傅里叶变换的定义
将一个可积分的函数f(x)变换为一系列无穷的三角函数之和，即 F(ω)=∫f(x)e−iωxdx，其中ω为角频率。
复数域上的微积分基本定理
01
微积分基本定理
根据微积分基本定理，复数域上的微积分可以按照实数域上的微积分进
行计算。
02
微分中值定理
微分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
，函数在区间上的值可以通过其端点的值和导数值来确定。
03
积分中值定理
积分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
性质
拉普拉斯变换具有线性、时移、频移、微分、积分、尺度变换等性质。
拉普拉斯变换的逆变换与基本定理
逆变换
对于复数域上的函数$F(s)$，其拉普拉斯 逆变换定义为：$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{ci\infty}^{c+i\infty}F(s)e^{st}ds$
VS
基本定理
如果$F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换，那 么对于任意的常数$a,b,c,d$，有： $\int_{0}^{\infty}f(t)[a\cos bt+c\sin bt]dt=\int_{0}^{\infty}F(s)[as\cos btcs\sin bt]ds$
复变函数与积分变换课件
目录
• 复数与复变函数 • 复变函数的微积分 • 傅里叶级数与傅里叶变换 • 拉普拉斯变换及其应用 • 复变函数与积分变换的物理意义
复变函数与积分变换全套精品课件
复变函数与积分变换
全套课件
§1.1 复 数
1. 复数的概念
形如 z a ib 或 z a bi 的数称为复数。 i称为虚单位,即满足 i2 1 a和b为实数,分别称为复数z的实部和虚部,记作 a Re z, b Im z. •当且仅当虚部b=0时,z=a是实数； •当且仅当a=b=0时,z就是实数0； •当虚部b≠0时,z叫做虚数； •当实部a=0且虚部b≠0时,z=ib称为纯虚数. 全体复数的集合称为复数集,用C表示. 实数集R是复数集C的真子集.
Hale Waihona Puke 1 1 1) Re z ( z z ), Im z ( z z ). 2 2i z z 2)( z w) z w, zw z w, ( ) ( w 0). w w 3) zw z w . z 4) z . w w 5) z z .
复数的模和共轭复数的性质
乘法
z1 z2 ac ibc iad i 2bd (ac bd ) i(bc ad )
z zz
2
除法
z1 a ib (a ib)(c id ) ac bd bc ad 2 i 2 , z2 0 2 2 z2 c id (c id )(c id ) c d c d
4. 复数的三角表示和复数的方根
复平面C的不为零的点 z x iy 极坐标 (r, ) : x r cos , y r sin
r z,
是正实轴与从原点O到z的射线的 夹角，称为复数z的幅角，记为 Argz
满足条件 π π 的幅角称为Argz的主值，记为 =argz，于是有=Argz=argz+2k, k=0,±1,±2,…. 复数的三角表示 z=r(cos+isin)
全套课件
§1.1 复 数
1. 复数的概念
形如 z a ib 或 z a bi 的数称为复数。 i称为虚单位,即满足 i2 1 a和b为实数,分别称为复数z的实部和虚部,记作 a Re z, b Im z. •当且仅当虚部b=0时,z=a是实数； •当且仅当a=b=0时,z就是实数0； •当虚部b≠0时,z叫做虚数； •当实部a=0且虚部b≠0时,z=ib称为纯虚数. 全体复数的集合称为复数集,用C表示. 实数集R是复数集C的真子集.
Hale Waihona Puke 1 1 1) Re z ( z z ), Im z ( z z ). 2 2i z z 2)( z w) z w, zw z w, ( ) ( w 0). w w 3) zw z w . z 4) z . w w 5) z z .
复数的模和共轭复数的性质
乘法
z1 z2 ac ibc iad i 2bd (ac bd ) i(bc ad )
z zz
2
除法
z1 a ib (a ib)(c id ) ac bd bc ad 2 i 2 , z2 0 2 2 z2 c id (c id )(c id ) c d c d
4. 复数的三角表示和复数的方根
复平面C的不为零的点 z x iy 极坐标 (r, ) : x r cos , y r sin
r z,
是正实轴与从原点O到z的射线的 夹角，称为复数z的幅角，记为 Argz
满足条件 π π 的幅角称为Argz的主值，记为 =argz，于是有=Argz=argz+2k, k=0,±1,±2,…. 复数的三角表示 z=r(cos+isin)
复变函数 ppt课件
z x iy
其中 i 为虚数单位，满足 i2 1
记号： x Re z , y Im z
若 x 0 ，则称 z iy 为纯虚数。
称复数 x iy 为复数 z x iy 的共轭复数,
记为 z x iy
注：１）两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相等； ２）两个复数之间无法比较大小，除非都是实数。
为arg z，这样，我们有：
Arg z arg z 2k
2020/12/27
15
arg z 与 arctan y 关系如下 x
arctan
y x
,
2
,
当x 0时 当x 0, y 0时
arg
z
2
,
当x 0, y 0时
arctan
y x
＋
,
当x
0,
y
0时
arctan
2020/12/27
4
x
arctan x
1
dx
1
x
(
1
1
)dx
0 1 x2
2i 0 i x i x
[ 1 2i
ln
i i
x x
]0x
1 2i
ln
i i
x x
1 2i
ln1
1 ln i x 2i i x
这样取X =1，得
arctan1 1 ln i 1
4
2i i 1
1 ln( i 1)2 4i i 1
除 法： z z1 z2
z2 z z1 (z2 0)
运算：
2020/12/27
z1 z1z2 z2 z2 z2
(z2 0)
10
容易证明，复数的运算满足分配律、交换律、结合律。 此外，共轭复数具有下列性质：
复变函数课件
7
学习方法
• 复变函数论作为一门学科，它不仅在内 容上与实变函数微积分有许多类似之处， 而且在研究问题的方面与逻辑结构方面 也非常类似 .但也有其自身的特点和研究 方法与研究工具，在学习过程中，应注 意与微积分理论的比较，从而加深理解， 同时也须注意复变函数本身的特点，并 掌握它自身所固有的理论和方法，抓住 要点，融会贯通.
(a , b) (c , d ) (ac bd , bc ad )
ac bd bc ad 2 2 ( a , b) ( c , d ) ( 2 2 , 2 2 ) , c d 0 c d c d
27
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结束
铃
2 复平面
2.1 复平面的定义
复数 z x iy 与有序实数对 ( x , y ) 成一一 对应. 因此, 一个建立了直角坐标系的平面可以 用来表示复数, 通常把横轴叫实轴或x 轴, 纵轴 叫虚轴或 y 轴. 这种用来表示复数的平面叫复平 面.
9
参考书目：
• [4] 余家荣，复变函数，高等教育出版社. 北京：高等教育出版社，2000.3 • [5] 庞学诚、梁金荣、柴俊编著，复变函 数，科学出版社，2003.9 • [6] 盖云英、邢宇明编，复变函数与积分 变换（中文版、英文版），北京：科学 出版社，2007.8
10
第一章 复数与复变函数
Ch 0 引言 复变函数课程简介
1
研究对象
• 复变函数就是自变量为复数的函数.复变 函数论是分析学的一个分支，故又称复 分析. • 其主要研究对象是解析函数 .
2
研究的主要内容
• 本课程主要讲授：单复变函数的一些基本知识， 以解析函数为研究对象，分别从导数、积分、 级数、残数、映射五个方面来刻画解析函数的 性质及其应用. • 首先从复数域开始，引入复变函数，再给出解 析函数的概念，再以它为研究对象，介绍解析 函数的导数、积分、解析函数的幂级数表示法， 解析函数的罗朗展式与孤立奇点，残数理论及 其应用.
复变函数西安交大 第四版第三讲PPT课件
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§2.3 初等函数
1. 指数函数 2. 三角函数和双曲函数 3. 对数函数 4. 乘幂与幂函数 5. 反三角函数与反双曲函数
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内容简介
本节将实变函数的一些常用的初等 函数推广到复变函数情形，研究这些初等 函数的性质，并说明它的解析性。
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u 2x u 2 y v 0 v 0
x
y
x
y
仅在点z = 0处满足C-R条件，故
w z 2 仅在z 0处可导，但处处不解析。
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例2 求证函数
w
u( x, y) iv( x,
y)
x2
x
y2
i
x2
y
y2
1 z
在z x iy 0处 解 析 ， 并 求dw . dz
e zi e zi cosz
(3)
2i
2
称 为z的 正 弦 与 余 弦 函 数
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正弦与余弦函数的性质
1)sinz及cosz是T 2 周期函数
[cos(z 2 ) ei(z2 ) ei(z2 )
eize2i eize2i
2
2
eiz eiz
cos z]
sin( z 2 ) sin z
u v v u x y x y
由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切 的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可 以求出导数来.
利用该定理可以判断那些函数是不可导的.
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使用时: i) 判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性，
(因为u(x,y),v(x,y)具有一阶连续偏导数可推出它们可 微)
《复变函数》课件
设 ①B是 由
C
C1
C
2
C
所
n
围
成
的
有界多连通区域.且B D, ②f (z)在D内解析,则
f (z)dz 0 (1)
n
或
f (z)dz
f (z)dz (2)
c
其中:闭C
D
,
i 1
C1 , C
ci
2 ,
C
是
n
在C的内部
的
简
单
闭曲线(互不包含也不相交), 每一条曲线C及Ci
是逆时针,
C
i
c
c1
ck
f ( z)dz f ( z)dz
此式说c明一个解析c1 函 数沿闭曲线的积分， 不因闭曲线在区域内 作连续变形而改变它 的积分值，只要在变 形过程中曲线不经过 的f(z)的不解析点. —闭路变形原理
D
CCC1 11
C
例2 计 算
2z 1 z2 z dz
: 包 含 圆 周z 1在 内 的
1 z2
1)
1 z
1 2
z
1
i
1 2
z
1
i
由柯西-古萨基本定理有
y
11
C
dz 0,
C1 2 z i
1 1 dz 0,
C1 2 z i
C2
•i
C1
1
11
O
x
dz 0, dz 0,
C2 z
C2 2 z i
• i
22
1
1
1
C
z(z2
dz 1)
C1
dz z
C2
2( z
i)
复变函数解读课件
幂级数展开式的应用
幂级数展开式在数学、物理、工程等 领域有广泛的应用，如求解微分方程、
研究函数的奇点和极点等。
洛朗兹级数展开式
洛朗兹级数展开式的定义
01
将复变函数表示为洛朗兹函数的无穷级数形式，可以用于研究
函数的局部行为和性质。
洛朗兹级数展开式的收敛性
02
洛朗兹级数展开式在一定条件下收敛，收敛条件决定了函数的
解析函数的性 质
在解析区域内，解析函数具有无限次 可微性，且满足柯西-黎曼条件。
全纯函数的性质
全纯函数
如果一个复数函数在某个区域内有定义，并且在该区域内可微，则称该函数为全纯函数。
全纯函数的性质
全纯函数具有零点孤立性、增长性、最大值最小值定理等性质。
共轭函数与解析函数的判别
共轭函数
如果一个复数函数的共轭复数也满足解析函 数的条件，则称该函数为共轭函数。
复数的性质
复数具有加法、减法、乘法和除法等 运算性质，满足交换律、结合律和分 配律等基本运算规则。
复数的几何意 义
1 2
3
复平面
复数可以用几何图形表示，通常在直角坐标系中，实部表示 为横轴，虚部表示为纵轴，形成一个二维平面称为复平面。
点的表示
每个复数$z=a+bi$在复平面上对应一个点$(a,b)$。
连续性的性质
连续性具有传递性、局部性等性质，并且满足中值定理。
一致连续与一致收敛
一致连续是指函数在整个定义域上具有连续性，而一致收敛则是 指函数序列在无穷远点处的极限存在。
一致连续与一致收敛
01
一致连续的定义
如果对于任意给定的正数$varepsilon$，存在正数$delta$，使得当两
复变函数ppt课件
1
(7) f (z) e z1
(z 1)2(z 2)2
(8) f (z) sinz3
§5.2 留数(Residue)
1. 留数的定义 2. 留数定理 3. 留数的计算规则
1. 留数的定义
0
f (z)在c所围成的区域内解析
c f (z)dz 未必为0 c所围成的区域内含有f (z)的奇点
由留数定义, Res [f (z), z0]= c–1
(1)
故
1
Re s[ f (z), z0 ] c1 2i
f (z)dz
c
(2)
2. 留数定理
定理 设c是一条简单闭曲线, 函数f (z)在c内有 有限个孤立奇点z1 , z2 ,, zn , 除此以外, f (z) 在c内及c上解析, 则
lim z z0
1 0,令 f (z)
1 f (z0 )
0，则z0是
1 的m级零点. f (z)
“”若z0是
1 的m级零点,则 f (z)
f
1 (z)
(z
z0
)m
(z)
(z) 在z0解析,且 (z0 ) 0
.
当z
z0时，f
(z)
(z
1 z0 )m
1
(z)
(z
1 z0 )m
(z)
f (z) cn (z z0 )n ( cm 0, m 1 )
nm
1
lim z z0
f (z)
f (z)
(z z0 )m
g(z)
其 中: g(z) cm cm1(z z0 ) cm2 (z z0 )2 ,
g(z)在 z z0 内是解析函数且g(z0 ) 0.
例如：