运筹学-6人工变量法
运筹学试题与答题
运筹学试题与答题一、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”）：1．图解法只能解决包含两个决策变量的线性规划问题．（是）2．线性规划具有无界解，则可行域无界．（是）3．若线性规划问题的可行域存在，则可行域是一个凸集．（是）4．单纯形法求解线性规划问题时每换基迭代一次必使目标函数值下降一次．（错）每迭代一次，目标函数的值都会增加，即增量大于05．用单纯形法求解线性规划问题时，如果表中所有的检验数0≤σ，则表j中的基可行解为最优解．（是）0≤σ，则非基变量都<=0j6．对偶问题的对偶就是原问题．（恩）8．互为对偶问题，原问题有最优解，对偶问题也有最优解．（恩）且目标函数的值也一样9．任意一个运输问题一定存在最优解．（是的）运输问题一定存在最优解10．线性规划问题的最优解只能在极点上达到．（错）11．对偶单纯形法是直接解对偶问题的一种方法．（错）有区别的。
通过判断b列的正负来进行迭代的。
12．原问题具有无界解，对偶问题无可行解．（恩）13．可行解是基解．（错）14．标准型中的变量要求非正．（恩）大于015．线性规划的基本最优解是最优解．（恩）16．对产销平衡运输问题，各产地产量之和等于各销地销量之和．（恩）18．用单纯形法求解线性规划问题时，一定要将问题化为标准型．（恩）19．匈亚利解法是求解运输问题的一种方法．（错）匈牙利（康尼格）法是求解及小型（优化方向为极小）指派问题的一种方法20．运输问题必存在有限最优解．（错）当非基变量为0时有无穷多最优解（关于其退化问题）二、填空题：1．规划问题的数学模型由目标函数、约束条件、决策变量三个要素组成。
2．满足变量非负约束条件的基解称为基可行解。
3．线性规划的约束条件个数与其对偶问题的决策变量个数相等；4．如原问题有可行解且目标函数值无界，则其对偶问题无可行解；反之，对偶问题有可行解且目标函数值无界，则其原问题无可行解。
5．线性规划的右端常数项是其对偶问题的目标函数的变量系数；6．用单纯形法求解线性规划问题时，判断是否为最优解的标准是：对极大化问题，检验数应为小于0 ；对极小化问题，检验数应为大于0 。
数学：运筹学试题及答案
数学：运筹学试题及答案1、判断题求最小值问题的目标函数值是各分支函数值的下界。
正确答案：对2、填空题动态规划大体上可以分为（）、（）、（）、（）四大类。
正确答案：离散确定型；离散随机型；连续确定型；连续随机（江南博哥）型3、多选系统模型按照抽象模型形式可以分为（）A.数学模型B.图象模型C.模糊性模型D.逻辑模型E.仿真模型正确答案：A, B, D, E4、单选线性规划一般模型中，自由变量可以代换为两个非负变量的（）A.和B.差C.积D.商正确答案：B5、填空题运筹学的目的在于针所研究的系统求得一个合理应用人才，物力和财力的最佳方案。
发挥和提高系统的（），最终达到系统的（）。
正确答案：效能及效益；最优目标6、填空题采用人工变量法时，若基变量中出现了（）的人工变量，表示在原问题有解。
正确答案：非零7、填空题满足（）的基本解称为基本可行解。
正确答案：非负条件8、填空题在箭线式网络图中从始点出发，由各个关键活动连续相接，直到终点的费时最长的线路称为（）。
正确答案：关键线路9、单选在求解运输问题的过程中可运用到下列哪些方法（）。
A.西北角法B.位势法C.闭回路法D.以上都是正确答案：D10、问答题请简要回答一般系统模型的三个特征。
正确答案：①它是现实世界一部分的抽象和模仿；②它由那些与分析的问题有关的要素所构成；③它表明了系统有关要素间的逻辑关系或定量关系。
11、名词解释初始基本可行解正确答案：多个基本可行解中一个，一般情况下在求最大时取最小的基本可行解，求最小时取最大的基本可行解。
12、名词解释不确定条件下的决策正确答案：指在需要决策的问题中，只估测到可能出现的状态，但状态发生的概率，由于缺乏资源和经验而全部未知。
它属于不确定情况下的决策.13、名词解释时间优化正确答案：时间优化是在人力材料设备资金等资源基本上有保证的条件下寻求最短的工程周期14、填空题企业在采购时，供应方根据批发量的大小定出不同的优惠价格，这种价格上的优惠称为（）正确答案：数量折扣15、填空题常用的两种时差是工作总时差和工作（）正确答案：自由时差16、多选根据对偶理论，在求解线性规划的原问题时，可以得到以下结论（）A.对偶问题的解B.市场上的稀缺情况C.影子价格D.资源的购销决策E.资源的市场价格正确答案：A, C, D17、问答题运用单纯形法求解线性规划问题的步骤是什么？正确答案：（1）确定初始基可行解（2）检验初始基可行解是否最优（3）无解检验（4）进行基变换（5）进行旋转运算，之后回到步骤2，循环直到完成整个问题的求解18、单选设一个线性规划问题（P）的对偶问题为（D），则关于它们之间的关系的陈述不正确的是（）。
《运筹学》试题及答案(六)
值下降为 0
14.在我们所使用的教材中对单纯形目标函数的讨论都是针对 B 情况而言的。
映的关系和客观事物的内在联系。
四、把下列线性规划问题化成标准形式：
2、minZ=2x1-x2+2x3
五、按各题要求。建立线性规划数学模型 1、某工厂生产 A、B、C 三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量 以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示：
根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为 200，250 和 100 件，最大月 销售量分别为 250，280 和 120 件。月销售分别为 250，280 和 120 件。 问如 何安排生产计划，使总利润最大。
B 使 Z 更小
C 绝对值更大
DZ
绝对值更小
12.如果线性规划问题有可行解，那么该解必须满足 D
A 所有约束条件 B 变量取值非负 C 所有等式要求 D 所有不
等式要求
13.如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在 D 集合
中进行搜索即可得到最优解。
A基
B 基本解
C 基可行解
D 可行域
A．基可行解的非零分量的个数不大于 mB．基本解的个数不会超过 Cmn 个 C．该
问题不会出现退化现象 D．基可行解的个数不超过基本解的个数 E．该问题的基
是一个 m×m 阶方阵
4．若线性规划问题的可行域是无界的，则该问题可能 ABCD
A．无有限最优解 B．有有限最优解 C．有唯一最优解 D．有无穷多个最优
本
解
为
基
可
行
解
9.线性规划问题有可行解，则 A
A 必有基可行解 B 必有唯一最优解 C 无基可行解
D无
运筹学
2013-12-16 安徽工程大学 12
如果表中所有的检验数都小于等于零，且基变量中不含有人工变量时，表中 的基可行解即为最优解，计算结束。若果表中检验数存在大于零的数，需转 向下一步。
3、从一个基转换到相邻的目标函数值更大的基可行解，列出新的单纯形表。 A、确定转入基的变量。 确定检验数最大的一个，对应的变量就可以作为换 入基的变量。 B、确定换出基的变量。 用b除检验数最大的一列的数就可以确定 ，取其 最小的数，其对应的变量就可以作为换出变量。则该列对应的的那个数即为 主元素。 C、用换入变量替换基变量中的换出变量，得到一个新基。对应的可以却确 定表的前三列。
3、线性规划问题的基可行解X对应线性规划问题可行域的顶点。
4、若线性规划问题有最优解，一定存在一个基可行解是最优解。
四、单纯形法迭代原理 1、确定初始基可行解
2、从一个基可行解转换为相邻的基可行解
3、最优性检验和解的判别
第四节
对标准型的线性规划问题
单纯形法计算步骤
1、求初始基可行解，列出初始单纯形表。 n
2013-12-16
max z cjxj
j 1
ij j i
a x b , (i 1,2,3...... m)
j 1
n
xj 0, ( j 1,2,...... n)
安徽工程大学 11
在约束条件式的变量系数矩阵中总会存在一个单位矩阵
1 0 ... 0 0 1 ... 0 P1, P 2, P 3,...... Pm : : : 0 0 ... 1
初始可行基的求法——人工变量法
2x1 x2 4 3x1 x2 1 x1, x2 0
max z1 2x1 3x2 M (x5 x6 )
2x1 x2 x3 x5 4
3x1 x2
x4 x6 1
x1,, x6 0
cj
CB XB
-M x5 -M x6
σj
-M x5
3
退化解出现的原因是模型中存在多余的 约束，使多个基可行解对应同一顶点。当出 现退化解时，有可能出现迭代计算的循环， 但可能性极其微小，为避免循环，可取下标 较小的变量换出。
8（4）先用大M法，再用两阶段法 求解LP问题：
min z x1 3x2 4x3 3x4
3x1 6x2 x3 2x4 15 6x1 3x2 2x3 x4 12 x1, x2 , x3 , x4 0
11
4x1 2x1
x2
2x3 x3
x5 x6 3 x7 1
x1,, x7 0
cj
0
0
0
0
0
1
1
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
0
x4
11
1
-2
1
1
0
0
0
1
x6
3
-4
1
2
0
-1
1
0
1
x7
1
-2
0 [1] 0
0
0
1
σj
6
-1
-3
0
1
0
0
0
x4
10
3
-2
0
1
0
0
运筹学复习资料
试题结构：1、判断题（10×2`）2、单选题（10×2`）3、多选题（5 ×2`）4、计算题（5×10`）（第三、五、七、十一、十三章有计算题）第一张：绪论1.定义：运筹学是应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为管理者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。
2.研究内容：线性规划、整数线性规划、目标规划、图与网络模型、存储论、排队论、对策论、排序与统筹方法、决策分析、动态规划、预测3.运用运筹学解决问题的一般过程（课件答案）（课本答案）规定目标和明确问题认清问题收集数据和建立模型找出一些可供选择的方案求解模型和优化方案确定目标或评估方案的标准检验模型和评价方案评估各个方案方案实施和不断改进选出一个最优的方案执行此方案进行最后评估：问题是否得到圆满解决第二章：线性规划的图解方法1.怎样辨别一个模型是线性模型？其特征是：（1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通常是求最大值或最小值；（2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等式或等式。
2.线性规划三个要素建模步骤决策变量、目标函数、约束条件3.LP 问题的标准型11max .1,2,,0,1,2,,nj jj nij ji j j Z c x a x b s t i m x j n ===⎧=⎪=⎨⎪≥=⎩∑∑ 特点：(1)目标函数求最大值(2)约束条件都为等式方程，且右端常数项b i 都大于或等于零 (3)决策变量x j 为非负。
一般形式目标函数： max （min ） z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + … + c n x n约束条件： s.t. a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1n x n ≤ （ =, ≥ ）b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2n x n ≤ （ =, ≥ ）b 2…… …… a m1 x 1 + a m2 x 2 + … + a mn x n ≤ （ =, ≥ ）b mx 1 ，x 2 ，… ，x n ≥ 0 标准形式目标函数： max z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + … + c n x n 约束条件： s.t. a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2n x n = b 2 …… …… a m1 x 1 + a m2 x 2 + … + a mn x n = b mx 1 ，x 2 ，… ，x n ≥ 0，b i ≥04.线性问题的性质与判断 （1 ）线性规划可行域为凸集（2）最优解在凸集上某一顶点达到（特殊情况下为凸集的某条边）（3 ）可行域有界，则一定有最优解5.图解法与解的状况（1）图解法使用范围：仅有两个决策变量的LP（2）基本步骤：a.建立平面直角坐标系；b.将约束条件图解，求得满足约束条件的解的集合；c.作出目标函数的等值线，并根据优化要求，平移目标函数等值线，求出最优解。
管理运筹学6 数据包络分析
Page 5
投 入 i
2 … m
x 22 ... xm 2 y12 y 22 ... ys2
... xij ... ... ... y rj ...
1
产 出 … r s
2
数据包络分析
评价决策单元DEA有效性的C2R数学模型
Page 6
min E n j yrj yrj0 (r 1,..., s ) j 1 n s.t. j xij Exi j0 (i 1,..., m) j 1 n j 1, j 0( j 1,..., n) j 1
经济学核心课程
运筹学
( Operations Research )
Chapter1 线性规划
(Linear Programming)
本章主要内容：
LP的数学模型 图解法
单纯形法
单纯形法的进一步讨论－人工变量法 LP模型的应用
数据包络分析
数据包络分析
Page 3
(Data Envelopment Analysis, DEA),
求解结果为E=1，说明分理处1的运行为DEA有效。
Page 8
数据包络分析
Page 9
同理计算其他三个分理处的E值，结果为分理处3和分理 处4，E=1；
对于分理处2，有E=0.966； 此时λ1=0.28, λ3=0.72, λ2=λ4=0, 即分理处2运行非DEA有 效。理由为：若将28%的分理处1同72%分理处3组合， 其各项产出不低于分理处2的各项产出，但其投入只有 分理处2的96.6%。
数据包络分析是一种对具有相同类型决策单元（DMU） 进行绩效评价的方法。这里相同类型是指这类决策单元具 有相同性质的投入和产出。衡量一个单位的绩效，通常用 投入产出比这个指标，当投入和产出指标均分别可以折算 成同一单位时，容易根据投入产出比大小对要评定的决策 单元进行绩效排序，但大多数情况下做不到这一点。
《运筹学》习题线性规划部分练习题及答案整理版
《运筹学》线性规划部分练习题一、思考题1.什么是线性规划模型，在模型中各系数的经济意义是什么？2 .线性规划问题的一般形式有何特征？3.建立一个实际问题的数学模型一般要几步？4.两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？5.求解线性规划问题时可能出现几种结果，那种结果反映建模时有错误？6.什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。
7•试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。
8•试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。
9.在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？10.大M法中，M的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什么？最大化问题呢？11 •什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情况下，继续第二阶段？二、判断下列说法是否正确。
1.线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点达到。
2.线性规划的可行解集是凸集。
3.如果一个线性规划问题有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。
4.线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大。
5 .线性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。
6.如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。
7.用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与j' 0对应的变量都可以被选作换入变量。
8 .单纯形法计算中，如不按最小非负比值原则选出换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值是负的。
9.单纯形法计算中，选取最大正检验数二k对应的变量xk作为换入变量，可使目标函数值得到最快的减少。
10 . 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果。
三、建立下面问题的数学模型1.某公司计划在三年的计划期内，有四个建设项目可以投资：项目I从第一年到第三年年初都可以投资。
运筹学
线性规划及单纯形法线性规划问题及其数学模型两个变量问题的图解法单纯形法原理单纯形法计算步骤人工变量及其处理方法应用举例线性规划问题及其数学模型一、问题的提出资源有限和目标确定在生产管理和经营活动中，经常会遇到两类问题：一类是（资源有限）如何合理的使用现有的劳动力、设备、资金等资源，以得到最大的效益；另一类是（目标一定）为了达到一定的目标，应如何组织生产，或合理安排工艺流程，或调整产品的成分等，以使所消耗的资源（人力、设备台时、资金、原材料等）为最少。
例：(1)配载问题：某种交通工具（车、船、飞机等）的容积和载重量一定，运输几种物资，这些物资有不同的体积和重量，如何装载可以使这种运输工具所装运的物资最多？(2)下料问题：某厂使用某种圆钢下料，制造直径相同而长度不等的三种机轴，采用什么样的下料方案可以使余料为最少？(3)物资调运：某种产品有几个产地和销地，物资部门应太如何合理组织调运，从而既满足销地需要，又不使某个产地物资过分积压，同时还使运输费用最省？(4)营养问题：各种食品所含营养成分各不相同，价格也不相等，食堂应该如何安排伙食才能既满足人体对各种营养成分得需要，同时又使消费者得经济负担最少？此外，在地质勘探、环境保护……等方面也都有与上述情况类似的问题。
例1某制药厂生产甲、乙两种药品，生产这两种药品要消耗某种维生素。
生产每吨药品所需要的维生素量分别为30K g，20K g，所占设备时间分别为5台班，1台班，该厂每周所能得到的维生素量为160k g，每周设备最多能开15个台班。
且根据市场需求，甲种产品每周产量不应超过4t。
已知该厂生产每吨甲、乙两种产品的利润分别为5万元及2万元。
问该厂应如何安排两种产品的产量才能使每周获得的利润最大？解：设该厂每周安排生产甲、乙两种药品的产量分别为x 1,x 2吨，则有例2 喜糖问题设市场上有甲级糖和乙级糖，单价分别为20元/斤，10元/斤。
今要筹办一桩婚事，筹备小组计划怎样花费不超过200元，使糖的总斤数不少于10斤，甲级糖不少于5斤。
清华大学《运筹学教程》胡运权主编课后习题答案(第一章)
m ax Z 3 x1 2 x 2 2 x1 x 2 2 ( 2) st . 3 x1 4 x 2 12 x , x 0 1 2 该问题无可行解
2
( 3)
m axZ x1 x 2 6 x1 10x 2 120 st . 5 x1 10 5 x2 8
1
(3)
max Z x1 x2 6 x1 10x2 120 st . 5 x1 10 5 x 8 2
(4)
m i nZ 2 x1 3 x 2 4 x1 6 x 2 6 (1) st . 3 x1 2 x 2 4 x ,x 0 1 2 无穷多最优解 (蓝 色 线 段 上 的 点 都 是 优 最解 ） x1 6 1 , x2 , 是 其 中 一 个 最 优 解 5 5
唯一最优解， x1 10, x 2 6 Z 16
(4)
max Z 5 x1 6 x2 2 x1 x2 2 st. 2 x1 3x2 2 x ,x 0 1 2
3
该问题有无界解
1.2
将下述线性规划问题化成标准形式。
min Z 3x1 4 x2 2 x3 5 x4 4 x1 x2 2 x3 x4 2 x x x 2 x 14 2 3 4 st 1 . 2 x1 3x2 x3 x4 2 x1 , x2 , x3 0, x4无约束
解：令 w Z , x4 x41 x42， 其 中 x41，x42 0, 同时引入松弛变量 x5， 剩 余 变 量 x6， 则 标 准 形 式 为 ： m axw 3 x1 4 x 2 2 x 3 5 x41 5 x42 4 x1 x 2 2 x 3 x41 x42 x x x 2x 2x x 1 2 3 41 42 5 st 2 x1 3 x 2 x 3 x41 x42 x6 x1 , x 2 , x 3 , x41 , x42 , x6 2 14 2 3x2 6 x3 3x4 9 8 x x 4 x 2 x 10 1 2 3 5 st 3x1 x6 0 （ , j 1, ,6） x j 0
运筹学_中南大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
运筹学_中南大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.当原问题可行，对偶问题不可行时，常用的求解线性规划问题的方法是（）。
参考答案:单纯形法2.一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果。
（）参考答案:正确3.在单纯形表中基变量对应的系数矩阵往往为单位矩阵。
（）参考答案:正确4.任一树中的边数和它的顶点数之间的关系式（）。
参考答案:顶点数是边数的两倍5.最小生成树的求解方法有（）。
参考答案:破圈法6.以同一节点为结束事项的各项作业最早结束时间相同。
参考答案:错误7.用对偶单纯形法求解线性规划时的最优性条件是参考答案:b列的数字非08.下列哪个决策原则被称为乐观主义原则（）。
参考答案:最大最大原则9.进行成本最小化决策时，悲观主义者的决策原则是（）。
参考答案:最大最小原则10.若原问题是一标准型，则对偶问题的最优解值就等于原问题最优表中松弛变量的（）参考答案:机会费用11.线性规划的图解法中，目标函数值的递增方向与（）有关参考答案:价值系数的正负12.对偶问题的目标函数总是与原问题目标函数相等。
参考答案:错误13.原问题约束条件右端值对应对偶问题目标函数中变量的系数。
参考答案:正确14.属于解决风险型决策问题的基本准则有最大可能准则、机会均等准则和期望收益最大准则。
参考答案:错误15.一个好的存贮策略，即可以使总费用最小，又可避免因缺货影响生产或者对顾客失去信用。
参考答案:正确16.某企业有10台运货车，已知每台车每运行100小时平均需维修两次，一个维修工，每次维修平均20分钟，到达时间和服务时间均服从负指数分布，该问题的排队模型为（）。
参考答案:（M/M/1）:（∞/∞/FCFS）17.运输问题中，当总供应量大于总需求量时，求解时需虚设一个（）地，此地的生产量或需求量为总供应量与总需求量之差。
参考答案:销地18.在动态规划建模中，设置状态和状态变量时，不仅要描述过程的具体特征，而且一个根本的要求是必须满足（）。
运筹学基础及应用第五版胡运权第一章
xi 0
aij
aLj
xL 0
i
∴ P1 , P2,······,PL-1, PL+1,······ Pm, Pj 线性无关。
∴ X1 也为基本可行解。
四、最优性检验和解的判别
令
，其中 随基的改变而改变
X1 = (x1 0- a1j ,x2 0- a2j ,···,xm 0- amj ,0,···,,···,0)T
必要性：X非基本可行解 X非凸集顶点 不失一般性，设X=(x1,x2,······,xm,0,0,······,0)T，为非基本可行解， ∵ X为可行解，
证：等价于 X非基本可行解X非凸集顶点
又 X是非基本可行解， ∴ P1,P2,······,Pm线性相关，即有 1P1+2P2+······+mPm=0， 其中1，2，······，m不全为0，两端同乘≠0，得 1P1+2P2+······+mPm=0，······（2）
∵ >0, 1->0 ，当xj=0， 必有yj=zj=0
∴
pjyj =
j=1
n
pjyj=b ······(1)
j=1
r
pjzj =
j=1
n
pjzj=b ······(2)
线性规划的人工变量法(NO6)
-1/2
Байду номын сангаас
1 0 1/2 -3/2 -1/2
3/2
0
0
-1/4
-3/4
1M 4
3M 4
6
第二次迭代
cj
CB
XB
b
M
x2
1/2
M
x1
3/2
1
1.5
0
0M
M
x1
x2
x3
x4
x5
x6
0
1
-1/2 1/2 1/2 -1/2
1
0
1/2 -3/2 -1/2
3/2
-W
9/4
0
0
-1/4
-3/4 1 M 3 M
M
x6
-W
1
1.5
0
0
b
x1
x2
x3
x4
1
1/3
1 -1/3 0
1
[2/3] 0 1/3 -1
M3 2
2M 1 32
0
M 1 32
M
M
M
x5
x6
1/3
0
-1/3
1
4M 1 0 32
第二次迭代
cj
CB
XB
b
M
x2
1/2
M
x1
3/2
-W
9/4
1 1.5 0
0
M
M
x1
x2
x3
x4
x5
x6
0 1 -1/2 1/2 1/2
这样，新问题将有一个初始基可行解（以人工变量为基 变量），可用单纯形法进行迭代。经迭代后，若人工变量 全部被换成非基变量，即人工变量全部出基，则得到原问 题的一个基可行解。
运筹学
4.2.2 一般形式的线性规划模型与对偶模型之间的关系 对于非对称形式的线性规划模型如何写出其对 偶模型？ 偶模型？ 其思路是首先将非对称形式转换为对称形式， 其思路是首先将非对称形式转换为对称形式，然 后再按照对应关系写出其对偶模型。 后再按照对应关系写出其对偶模型。 原问题求极小------ min Z = − max ( − Z ) 原问题求极小 原问题约束方程有“ ” 两边同乘（ ）， ），“ ” 原问题约束方程有“≥”------两边同乘（-1），“≤” 两边同乘 原问题约束方程有“ 对偶问题？ 原问题约束方程有“=”------对偶问题？ 对偶问题
第4章
对偶模型
4.1 对偶模型的提出 4.2 原模型与对偶模型的线性规划模型之 间的关系 4.3 对偶模型的基本性质 4.4 对偶模型的经济意义 对偶模型的经济意义——影子价格 影子价格 4.5 对偶模型最优解和影子价格 4.6 对偶单纯形法
4.2 原模型与对偶模型的线性规划模型 之间的关系
4.2.1 对称形式线性规划模型的对偶模型 定义1 定义 具有下列特点的线性规划模型称为对称形式的 线性规划模型，变量均具有非负约束， 线性规划模型，变量均具有非负约束，其约束条件为 当目标函数求最大时取“≤”、目标函数求最小时取 当目标函数求最大时取“ “ ：
这里
Y = ( y1 , y2 , y3 ) min W = 90 y1 + 490 y2 + 240 y3 y1 + 5 y2 + 2 y3 ≥ 6 y1 + 2 y2 + 6 y3 ≥ 8 y ≥ 0, i = 1, 2,3 i
例 如 ： (P)
前例， 前例，原问题中各系数矩阵为
1 1 A = 5 2 2 6 90 b = 490 240 C = ( 6 8)
《运筹学》试题及答案大全（二）
《运筹学》试题及答案大全（二）《运筹学》试题及答案(代码：8054)一、填空题(本大题共8小题，每空2分，共20分)1．线性规划闯题中，如果在约束条件中出现等式约束，我们通常用增加_人工变量__的方法来产生初始可行基。
2．线性规划模型有三种参数，其名称分别为价值系数、_技术系数__和_限定系数__。
3．原问题的第1个约束方程是“=”型，则对偶问题相应的变量是_无非负约束(或无约束、或自由__变量。
4．求最小生成树问题，常用的方法有：避圈法和 _破圈法__。
5．排队模型M／M／2中的M，M，2分别表示到达时间为__负指数_分布，服务时间服从负指数分布和服务台数为2。
6．如果有两个以上的决策自然条件，但决策人无法估计各自然状态出现的概率，那么这种决策类型称为__不确定__型决策。
7．在风险型决策问题中，我们一般采用__效用曲线_来反映每个人对待风险的态度。
8．目标规划总是求目标函数的_最小__信，且目标函数中没有线性规划中的价值系数，而是在各偏差变量前加上级别不同的_优先因子(或权重)___。
二、单项选择题(本大题共l0小题，每小题3分，共30分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
多选无分。
9．使用人工变量法求解极大化线性规划问题时，当所有的检验数在基变量中仍含有非零的人工变量，表明该线性规划问题【 D 】A．有唯一的最优解 B．有无穷多最优解C．为无界解 D．无可行解10．对偶单纯形法解最大化线性规划问题时，每次迭代要求单纯形表中【 D 】A．b列元素不小于零 B．检验数都大于零C．检验数都不小于零 D．检验数都不大于零11．已知某个含10个结点的树图，其中9个结点的次为1，1，3，1，1，1，3，1，3，则另一个结点的次为【 A 】A．3 B．2C．1 D．以上三种情况均有可能12．如果要使目标规划实际实现值不超过目标值。
则相应的偏离变量应满足【 B 】13．在运输方案中出现退化现象，是指数字格的数目【 C 】A．等于 m+n B．等于m+n-1C．小于m+n-1 D．大于m+n-114．关于矩阵对策，下列说法错误的是【 D 】A．矩阵对策的解可以不是唯一的C．矩阵对策中，当局势达到均衡时，任何一方单方面改变自己的策略，都将意味着自己更少的赢得和更大的损失D．矩阵对策的对策值，相当于进行若干次对策后，局中人I的平均赢得或局中人Ⅱ的平均损失值【 A 】A．2 8．—l C．—3 D．116．关于线性规划的原问题和对偶问题，下列说法正确的是【B 】A．若原问题为元界解，则对偶问题也为无界解B．若原问题无可行解，其对偶问题具有无界解或无可行解c．若原问题存在可行解，其对偶问题必存在可行解D．若原问题存在可行解，其对偶问题无可行解17．下列叙述不属于解决风险决策问题的基本原则的是【 C 】A．最大可能原则 B．渴望水平原则C．最大最小原则 D．期望值最大原则18．下列说法正确的是【 D 】A．线性规划问题的基本解对应可行域的顶点也必是该问题的可行解D．单纯形法解标准的线性规划问题时，按最小比值原则确定换出基变量是为了保证迭代计算后的解仍为基本可行解三、多项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共l0分)在每小题列出的四个备选项中至少有两个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
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唯一最优解的判断：最优表中所有非基变量的检验数非零,则线 规划具有唯一最优解
多重最优解的判断:最优表中存在非基变量的检验数为零,则 线则性规划具有多重最优解.
无界解的判断: 某个λk>0且aik≤０（i=1，2,…,m）则线性规 划具有无界解
无可行解的判断：当用大M单纯形法计算得到最优解并且存 在Ri>0时，则表明原线性规划无可行解。 退化基本可行解的判断:存在某个基变量为零的基本可行解。
§1.6人工变量法
Ch1 Linear Programming
The Artificial Variable Method 2020年6月20日星期六 Page 3 of 8
3
2
－1
0
0
－M －M b
x1
x2
x3
x4
x5
－4
3
1
－1
0
1
－1
2
0
1
2
－2
1
0
0
3－2M 2+M －1+2M↑ －M
0
x6
10 x3
1
x1、x2、x3 0
§1.6人工变量法 The Artificial Variable Method
【解】首先将数学模型化为标准形式
Ch1 Linear Programming
2020年6月20日星期六 Page 2 of 8
max Z 3x1 2x2 x3
4x1 3x2 x3 x4 4
x1
x2
2x3
x5
10
2x1 2x2 x3 1
x j 0, j 1,2, ,5
式中x4，x5为松弛变量，x5可作为 一个基变量，第一、三约束中分 别加入人工变量，x6、，x7，目标 函数中加入―MR6―MR7一项，得 到人工变量单纯形法数学模型
max Z 3x1 2x2 x3－Mx6 Mx7
Ch1 Linear Programming
The Artificial Variable Method 2020年6月20日星期六 Page 4 of 8
（1）初始表中的检验数有两种算法，第一种算法是利用第一、 三约束将x6、x7的表达式代入目标涵数消去x6和x7，得到用非基 变量表达的目标函数，其系数就是检验数；第二种算法是利用
公式计算，如 1 3 (M ) (4) 01 (M ) 2 3 2M
(参看第二章第一节)； （2）M是一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值，可以 理解为它能大于给定的任何一个确定数值；
（3）在第二张中x7已出基，故没有计算第七列的数值，同理， 第三、四张表中x6、x7都已出基，故第六、七列没有计算； （4）第三、四张表中的基变量没有人工变量x6、x7，因而检 （验5数）中可不以含看M出；，人工变量是帮助我们寻求原问题的可行基，
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表中λj≥0，j=1，2，…，5，从而得到最优解X=（2， 0，0，0，2）， Z=10+2M。但最优解中含有人工变 量x5≠0说明这个解是伪最优解，是不可行的，因此原 问题无可行解。
解的判断
束条件的等式左端加一组虚拟变量，得到一组基变量。
这种人为加的变量称为人工变量，构成的可行基称为
人工基，用大M法或两阶段法求解，这种用人工变量 作桥梁的求解方法称为人工变量法。
【例1.15】用大M法解 下列线性规划
max Z 3x1 2x2 x3
4x1 3x2 x3 4
x12x1x2
2x3 2x2
用单纯形法计算如下表所示。
－8
0
0
M
b
CB
XB
x1
x2
0
x3
3※
1
x5
1
－2
x3
x4
x5
1
0
0
6→
0
－1
1
4
M
λj
5－M↑ －8+2M
0
M
0
5
x1
1
1/3
1/3
0
0
2
x5
0
－7/3
－1/3 －1
1
2
M
λj
0
－29/3+7/3M －5/3+1/3M M
0
§1.6人工变量法
Ch1 Linear Programming
x7
1
04
0
0 10
0
1 1→
0
0
－6
5
0
－1
0
0
3→
－3
3
0
0
1
0
8
2
－2
1
0
0
1
1
5－6M 5M↑
0
－M
0
0
－6/5
1
3/5
0
－2/5
0
5↑
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
－1/5
0
0
3/5
1
1
－2/5
0
0
0
0
0
1
2
0
1
5/3
1
0
2/3
0
－5 －25/3
3/5 31/5→ 11/5
13 31/3 19/3
§1.6人工变量法
【例1.16】求解线性规划
min Z 5x1 8x2
3x1x12xx22
6 4
x1, x2 0
【解】加入松驰变量x3、x4化为标准型
min Z 5x1 8x2
3x1 x2 x3 6
x1
2x2
x4
4
x
j
0,
j
1,2,
,4
在第二个方程中加入人工变量x5，目标函数中加上M
x5一项，得到
§1.6人工变量法
Ch1 Linear Programming
The Artificial Variable Method 2020年6月20日星期六 Page 1 of 8
前面讨论了在标准型中系数矩阵有单位矩阵，很容易
确定一组基可行解。在实际问题中有些模型并不含有
单位矩阵，为了得到一组基向量和初基可行解，在约
§1.6人工变量法
Ch1 Linear Programming
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4x1 3x2 x3 x4 x6 4
x1
x2
2x3
x5
10
2x1 2x2 x3 x7 1
x j 0, j 1,2, ,7
再用前面介绍的单纯 形法求解，见下表。
Cj
CB
XB
－M
x6
0
x5
－M
x7
λj
－M
x6
0
x5
－1
x3
λj
2
x2
0
x5
－1
x3
λj
2
x2
3
x1
－1
x3
λj
第三张表就找到了原问题的一组基变量x2、x5、x3，此时人工 变量就可以从模型中退出，也说明原规划有可行解，但不能
肯定有最优解。
§1.6人工变量法
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§1.6人工变量法
Ch1 Linear Programming
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min Z 5x1 8x2 Mx5
3x1x12xx2
x3 6 2 x4 x5
4
x
j
0,
j
1,2,
,5
Cj
5