一个新系统的Hopf分岔与混沌运动
非线性动力学中的混沌与分岔现象
非线性动力学中的混沌与分岔现象混沌现象的介绍混沌现象是非线性动力学中一个重要的研究课题，它描述了一种似乎随机的、无规律可循的运动状态。
在混沌现象的研究中，人们发现了一些特征，如灵敏依赖于初始条件、无周期运动和封闭轨道等。
混沌现象的研究对于理解自然界中的复杂系统行为具有重要的意义。
混沌现象最早是由美国数学家Edward Lorenz于20世纪60年代发现的。
他在研究气象学中的大气运动方程时，意外地发现了不确定性的现象。
这个发现被称为“蝴蝶效应”，即当一个蝴蝶在巴西振动翅膀时，可能引发一系列的气流变化，最终导致美国得克萨斯州的一个龙卷风的形成。
这个例子说明了混沌现象中初始条件的微小变化可能引起系统运动的巨大变化。
混沌现象的数学表示混沌现象可以用一些非线性动力学方程描述。
这些方程通常包含了一些非线性项，使得系统的演化不再是简单的线性叠加。
一个经典的混沌系统方程是Lorenz方程：\\frac{{dx}}{{dt}} = \\sigma(y - x),\\frac{{dy}}{{dt}} = x(\\rho - z) - y,\\frac{{dz}}{{dt}} = xy - \\beta z其中，x、y和z是系统的状态变量，t是时间。
σ、ρ和β是一些常数，它们决定了系统的性质。
这个方程描述了一个三维空间中的运动，这种运动就是混沌现象。
分岔现象的介绍分岔现象是混沌现象的一个重要特征，它描述了系统参数发生微小变化时，系统行为的剧烈变化。
简单来说，分岔现象就是系统从一个稳定的演化状态变成多个稳定状态的过程。
分岔现象的经典例子是Logistic映射。
Logistic映射是一种常用的非线性映射，它用于描述生物种群的增长。
Logistic映射的公式为：x_{n+1} = r \\cdot x_n \\cdot (1 - x_n)其中，x_n是第n个时刻的种群密度，x_{n+1}是下一个时刻的种群密度，r是系统的参数，它决定了种群的增长速度。
分岔与混沌
化会引起特征值的变化，当控制参数达到分
岔参数值时，系统稳定性发生质的变化，它
可以表现为 ( ) 在复平面的运动。由此也可以
定义三种分岔类型:
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机械系统与振动国家重点实验室
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叉型分岔
霍普分岔
特征值 为
实数，沿复
平面的实轴由
负变正穿过虚
轴。
平衡点
x 0 和 x＝ ,
x 0,
而对应特征值则为
0
0
x2
对于图3，当 c时，平衡态的一个分支是稳定的；然而当 c时，这
一支就变得不稳定了；一旦当 c 有新的平衡分支解 x 又变成稳
定的了，这种情况被称为超临界分岔。反过来，若新的平衡分支解x
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庞加莱-伯克霍夫(PB)规范形方法
考虑微分方程
x=f（x），x∈Rn
（1）
设f（x）足够光滑，且f（0）=0。
现在研究对于某个给定正整数r≥2，通过坐标的多项式变换，
使得在f的泰勒展开式中直到r次的项都有比较简单的形式。
庞加莱伯克霍夫范式定理 设f（x）是Cr向量场（r≥2），f
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庞加莱-伯克霍夫(PB)规范形方法
需要注意：
1.对于给定的r来说，r阶PB范式的取法一般不是唯一的。
2.在平衡点附近，截断规范形系统与原来的系统的拓扑结
构往往有密切的关系，但并不一定相同。一般来说，对于
给定的r，r阶PB范式到底能在多大程度上反映原系统的定
性性态仍然是一个未完全解决的问题。
3.尽管如此，在大量研究中发现，阶数不太高的PB范式通
非线性动力学中的混沌与分岔现象研究
非线性动力学中的混沌与分岔现象研究在物理学和自然科学领域里，非线性动力学是一个十分重要的研究领域。
非线性动力学理论的出现使得我们对自然界中不规则的复杂现象有了更深的认识。
混沌和分岔现象的出现是非线性动力学的一个重要研究方向。
在本文中，我们将讨论非线性动力学中混沌和分岔现象的基本概念和研究现状。
一、混沌现象混沌现象是一种表现为无规律、无周期、既不平凡又不完全随机的复杂动力学现象。
混沌出现的背景通常是一组非线性微分方程，因此它的发生与目标系统的非线性特性有关。
混沌作为物理学发现的一个新现象，引起了科学家们的广泛关注。
通常情况下，混沌现象是由一组微小的变化引起的，因此混沌现象也被称为蝴蝶效应。
经典的三体问题就是一个混沌的例子。
对于混沌现象，其最主要的特征是对初始条件的依赖，也就是所谓的敏感依赖性。
这意味着如果我们的实验或者计算开始时的初值稍有 variations，结果可能会相差很大。
在混沌理论中，不同的初始条件可以导致截然不同的运动的形态，这种敏感依赖性表现得深入人心，深刻地提示我们要了解物理世界中的微小变化是多么的重要。
此外，混沌现象还表现在期望不规律性上，也就是说，目标系统的演化不能用周期性或规则性过程去描述。
混沌经常被认为是对确定性的“不确定性”的表现。
混沌现象的研究可以将我们的认识推向新的领域，对于深入理解天文学、流体物理、生物学等领域都有重要的意义。
二、分岔现象分岔现象通常被认为是从一个稳定平衡状态到另一个稳定平衡状态过程中的一个突变性变化。
发生分岔的原因通常是由非线性动力学系统结构的变化所引起的。
分岔现象是非线性动力学系统中的一种普遍现象，在分岔研究领域有着极为重要的地位。
分岔的一个重要性质是其可以导致同样初始条件下发生系统演化的不同结果，与混沌现象类似。
分岔现象最早的研究源自于对恒星爆发的研究，目前这项研究产生的成果对于预测和防范太阳风暴等等事件都有很重要的意义。
此外，分岔现象在复杂系统和混沌理论中也有广泛的应用，是现代科学研究的一个重要组成部分。
一类广义超混沌系统的Hopf分岔及共存吸引子研究
一类广义超混沌系统的Hopf分岔及共存吸引子研究陈玉明【摘要】针对一类广义的Lorenz-Stenflo四维超混沌系统,基于中心流形及Hopf 分岔相关理论,研究了该系统在原点平衡点处发生的Hopf分岔行为,得到了系统在Hopf分岔点的特性,包括分岔的周期解、周期解的分岔方向及稳定性等,并借助数值模拟验证了理论分析的正确性.除此之外,借助数值模拟,发现该系统在某些特定参数下存在不同吸引子之间的共存现象,比如超混沌吸引子与周期吸引子共存,混沌吸引子与周期吸引子共存.【期刊名称】《赣南师范学院学报》【年(卷),期】2017(038)006【总页数】6页(P43-48)【关键词】Lorenz型系统;超混沌;Hopf分岔;吸引子共存【作者】陈玉明【作者单位】广东技术师范学院数学与系统科学学院,广州510665【正文语种】中文【中图分类】O415.5;O19·基础数学·E. N. Lorenz在研究气象模型时, 在一类确定性系统中发现了类似于随机的动力学现象，即混动行为，并于1963年提出了首个混沌数理模型，Lorenz系统[1].由于混沌行为的特殊性，自从Lorenz系统被提出以后，大量来自于不同领域的数学家、物理学家及工程师们便对混沌的起源、混沌系统的特征与分岔行为、通向混沌的路径等各个方面，都展开了深入地研究[2-4].超混沌，作为另一种复杂动力学行为，它比混沌行为具有更强的复杂性以及更强的应用潜力.由于在自治常微分方程系统中要产生超混沌行为，必须要求系统维数至少为四维，因此，对四维超混沌系统的研究，尤其是对四维Lorenz型超混沌系统的研究，将显得尤为重要.在对混沌系统的研究中，系统分岔行为的研究是非常重要的一部分.随着系统平衡点稳定性的改变，即发生局部分岔行为，系统的局部动力学行为也会随之改变，甚至会引发系统全局动力学行为的变化.Hopf分岔是系统局部分岔中非常基本而又至关重要的一种，随着Hopf分岔的发生，将伴随着系统极限环的产生或者消失.在三维混沌系统的研究中，文献[5]研究了统一Lorenz型系统的Hopf分岔行为，该系统包含了Lorenz，Chen，Lu及Yang等大量的经典三维混沌系统，在此基础上，进一步对退化Hopf分岔的分析，该文献还发现了一种可通向混沌的路径.在四维超混沌系统的研究中，文献[6-8]分别研究了一类四维超混沌系统的Hopf分岔行为，得到了系统在Hopf分岔点的特性，包括分岔的周期解、周期解的分岔方向及稳定性等.混沌及超混沌系统的复杂性主要来源于混沌及超混沌吸引子的存在.一般情形下，相空间中只存在一个稳定的吸引子，除了其它吸引子(都为不稳定)本身外，从相空间中其它点出发的轨线都将趋向于那唯一的一个稳定的吸引子.然而一些研究者最近发现了很多特殊的系统[9-10]，在这些系统中存在着各种不同稳定吸引子的共存现象，这使得系统的相空间变得异常复杂，尤其是这些不同稳定吸引子的吸引盆的边界.在1996年，Stenflo沿着Lorenz模型的方向，提出了描述大气扰动的一个简单模型，其被称为Lorenz-Stenflo系统[11].该系统考虑了地球的旋转，黏度效应及热扩散效应等因素，该系统的方程为其中参数a是普朗特数，c是广义的雷利参数，及是地球旋转的角频率，κ是热耗散系数.基于上述的Lorenz-Stenflo系统，通过将该系统的参数可选取范围进行推广，本文考虑了如下的广义Lorenz-Stenflo系统其中参数满足a>0，b>0，cdrs≠0.当系统参数选取a=22.5，b=1.91，c=29.45，d=-2.86，r=0.23及s=9.64时，系统(1)具有超混沌吸引子，该吸引子所对应的Lyapunov指数为λLE1=0.1217,λLE2=0.0264,λLE3=0.0001,λLE4=-27.6416.该超混沌吸引子在空间的投影相图如图1所示.当系统参数满足(ar+s)(ar(c+d)+ds)≤0时，系统(1)只具有唯一平衡点E0(0,0,0,0).而当(ar+s)(ar(c+d)+ds)>0时，系统(1)除了具有原点平衡点E0之外，还将具有另外两个关于z轴对称的非原点平衡点其中w±=±.另外，当系统参数b=0时，系统(1)则存在一条平衡点直线，即z轴.针对四维广义Lorenz-Stenflo超混沌系统(1)，本文将研究该系统原点平衡点E0处发生的Hopf分岔行为，以及在某些特定参数下，研究系统不同吸引子之间的共存现象.针对一般的n维自治常微分方程系统(n>2)，下面首先介绍一下第一Lyapunov系数l1的计算方法.考虑如下的微分方程系统其中f(X,η)为Rn×Rs中的C∞类函数.假设系统(2)在参数条件η=η0之下具有平衡点X=X0，并且总是将变量X-X0记为进一步地，在参数条件η=η0之下，系统(2)可以被重写为其中‖‖4),以及并且对任意的i=1,2,…n，都有如下展开式成立其中的记号Bi以及Ci分别是向量函数B以及C的第i个分量.假设系统(3)在其原点平衡点处的Jacobian矩阵A，具有一对具有非零虚部的纯虚特征根λ1,2=±iω0(ω0>0)，并且Jacobian矩阵A在该平衡点处的其它特征值都具有非零实部.令Tc为Jacobian矩阵A对应于特征值λ1,2的特征向量所张成的广义特征空间.令向量p,q∈Cn满足下列条件值得注意的是，空间Tc中的任意向量Y均可以表示成为其中v=<p,Y>∈C.为了能够通过变量v以及来将与特征值λ1,2=±iω0有关的这个二维中心流形参数化表示，特考虑如下这个形式上的嵌入其中系数ujk∈Cn，并且满足将表达式(6)代入系统(2)中，可得求解由等式(7)中项的系数所确定的线性方程组，可得复向量uij的表达式.因此，在二维中心流形上通过使用复变量v，系统(7)可以表示成如下形式:其中G21∈C.第一Lyapunov系数l1被定义为其中在如下的定理中，对系统(1)在平衡点E0处所发生的Hopf分岔进行了研究.定理1 令(a+r)(ad(c+d)+acr+d2r)<0，以及并且假设MN≠0成立，则当参数s穿过临界值s0= 时，系统(1)在平衡点E0处发生Hopf分岔.在临界参数值附近，系统还有如下的动力学性质:如果MN>0，则当a+r>0,s>s0时，或a+r<0,s<s0时，相空间中存在由Hopf 分岔所产生的不稳定周期轨;如果MN<0，则当a+r>0,s<s0时，或a+r<0,s>s0时，相空间中存在由Hopf 分岔所产生的稳定周期轨;证明令X=(x,y,z,w)∈R4，η=(a,b,c,d,r,s)∈R6以及f(X,η)=(a(y-x)+sw,cx+dy-xz,-bz+xy,-x-rw),则系统(1)可被改写成系统(2).系统(1)在平衡点E0处的特征方程为假设方程(12)具有一对纯虚特征根λ1,2=±iω0(ω0>0)，即如下等式成立，-a(c+d)r-ds-(a-d+r)=0,-ω0(a(c+d-r)+dr-s+)=0,在参数条件s=s0之下，系统(1)在平衡点E0处的Jacobian矩阵为其所对应的特征值为λ1=iω0,λ2=-iω0,λ3=d-a-r,λ4=-b.经过繁琐地计算过程，可得如下的两个特征向量:其中G=-ac(r+iω0)2+(d-iω0)2(ω0-ir)2.向量p,q满足条件(5)，即由计算公式(4)，可得基于公式(13)，(14)及(15)，通过直接而繁琐地计算，可得B(q,q)=(0,0,2c(d-iω0)(-ir+ω0)2,0)T，S3=d(4d-b)++2i(b-d)ω0,S4=4d2+br++2i(b+r)ω0,S5=ar++s0+2i(a+r)ω0,S6=-+b(d-2iω0)+2id(2id+ω0),S7=-3ac+ad-4d2+-2i(a-d)ω0.再次使用公式(14)，(15)以及(16)，可计算得〈p,B(q,-u11)〉=,将上述三个等式代入(8)式中，可计算得第一Lyapunov系数为l1(s0)=Re[〈p,C(q,q,)〉-2〈p,B(q,-u11)〉+〈p,B(,u20)〉]=,当MN≠0时，有l1(s0)≠0，从而有平衡点E0处Hopf分岔的非退化条件成立.进一步,将验证平衡点E0处Hopf分岔的横截条件也成立.平衡点E0处的特征方程如(12)所示，即P(λ)=(b+λ)(ε0+ε1λ+ε2λ2+λ3)=0,其中ε0=-acr-adr-ds, ε1=-ac-ad+ar-dr+s, ε2=a-d+r.当参数s在临界值s0附近时，假设特征方程(12)具有特征值λ1,2=α±iβ，λ3=γ以及λ4=-b，其中α,β及γ为系统参数的实函数.将这些特征值代入方程(12)中，并且整理与α相关的部分，可得由于α|s=s0=0，将(17)式对参数s求偏导数，可得又由于从而，当a+r>0时，则有|s=s0<0，Hopf分岔的横截性条件成立，并且在由复共轭特征值α±iβ对应的特征向量所张成的特征空间中，分别当s<s0及s>s0时，平衡点E0为不稳定及稳定的.否则，当a+r<0时，则有|s=s0>0，Hopf分岔的横截性条件依然成立，并且在由复共轭特征值α±iβ对应的特征向量所张成的特征空间中，分别当s<s0及s>s0时，平衡点E0为稳定及不稳定的.综上所述，系统(1)限制在由平衡点E0的复共轭特征值α±iβ对应的特征向量所张成的特征空间中时，具有如下的动力学行为:如果MN>0，则当a+r>0,s>s0时，或a+r<0,s<s0时，相空间中存在由Hopf分岔所产生的不稳定周期轨;如果MN<0，则当a+r>0,s<s0时，或a+r<0,s>s0时，相空间中存在由Hopf分岔所产生的稳定周期轨;为了验证定理1中关于系统(1)平衡点E0处Hopf分岔理论结果的正确性，特给出了如下基于四阶Runge-Kutta方法的数值仿真结果.选择参数a=3,b=3,c=6.1,d=-3,r=1，根据定理1，可得s0=3.45，ω0=0.387 298>0及l1(s0)=-5.933 71<0，这意味着系统(1)在平衡点E0处的Hopf分岔能够产生出稳定的周期轨.由于a+r>0，当s<s0时，Hopf分岔产生稳定周期解，如图2(a)所示; 而当s>s0时，平衡点E0为稳定焦点，如图2(b)所示.选取恰当的系统参数，通过详细的数值分析，可发现系统(1)存在多种吸引子共存的现象，即同组参数条件下，系统(1)满足不同初始条件的解有可能呈现出完全不同的动力学行为.具体可包括超混沌吸引子与周期吸引子的共存，混沌吸引子与周期吸引子共存等.固定参数a=22.5,b=1.91,c=29.45,d=-2.86,r=0.23及s=9.64，对初始条件(51,-28,-96,76)，系统(1)的解将会收敛于一个周期解，其在y-z-w空间的投影如图3(a)所示，该周期吸引子所对应的Lyapunov指数为在同一组参数下，对于初始条件(42,-22,46,77)，系统(1)的解则收敛于一个超混沌吸引子，在y-z-w空间的投影相图如图3(b)所示，该超混沌吸引子所对应的Lyapunov指数为因此，当参数满足a=22.5,b=1.91,c=29.45,d=-2.86,r=0.23及s=9.64时，系统(1)的相空间中存在着超混沌吸引子与周期吸引子的共存，其在y-z-w空间的投影如图3(c)所示.在同一组参数下，对于初始条件(-57,-22,-6,-59)，系统(1)的解则收敛于一个混沌吸引子，在y-z-w空间的投影相图如图4(b)所示，该混沌吸引子所对应的Lyapunov指数为因此，当参数满足a=12.5,b=1.91,c=29.45,d=-2.86,r=0.23及s=9.64时，系统(1)的相空间中则存在着混沌吸引子与周期吸引子的共存，其在y-z-w空间的投影如图4(c)所示.【相关文献】[1] E.N. Lorenz. Deterministic non-periodic flow[J].J. Stmos. Sci.,1963,20:130-141.[2] M.W. Hirsh, S. Smale, R.L. Devaney. Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos[M].New York: Elsevier Academic Press,2007.[3] L.P. Shilnikov, A.L. Shilnikov, D.V. Turaev, et al. Methods of Qualitative Theory in Nonlinear Dynamics[M].Singapore:World Scientific,2001.[4] S. Wiggins. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos. Second Edit[M].New York:Springer-Verlag,1990.[5] Q. Yang, Y. Chen. Complex dynamics in the unified Lorenz-type systems[J].Int. J. Bifurcat. Chaos,2014,24:1450055(30 pages).[6] Y. Chen, Q. Yang. Dynamics of a hyperchaotic Lorenz-type system[J].Nonlinear Dynam,2014,77:569-581.[7] 陈玉明.基于Lorenz型系统的四维超混沌系统的复杂动力学研究[D].广州:华南理工大学,2014.[8] 刘永建,程俊芳.四维超混沌Lorenz系统的Hopf分岔. 河南大学学报[J].2013,43(1):11-16.[9] Y. Chen, Q. Yang. A new Lorenz-type hyperchaotic system with a curve of equilibria[J].Math. Comput. Simulat.,2015,112:40-55.[10] Z. Wei. Dynamical behaviors of a chaotic system with no equilibria[J].Phys. Lett. A,2011,376:102-108.[11] L. Stenflo. Generalized Lorenz equations for acoustic-gravity waves in the atmosphere[J].Phys. Scr.,1996,53:83-84.。
两自由度机械臂λ 2=1下的Hopf分岔与混沌研究
３３ １
定 圆周运 动时 （ （） 定 ） 可 以求 出所需 主 动力矩 ￡给 ，
廊（ ￡ ）的大 小 。 系统 运 动状态 出现扰 动产 生运 动偏 当
差 一 一 时需通过图２ 所示的控制回路施加一个 适 当的力矩 Ａ 使角 度偏差得 以修正 。 Ｍ
图 ２ 补偿运动偏差 的控制 回路示意图
第一作者简介 ： 郑小武 ， ， ７ 年生 ， 男 １ １ ９ 西南交通大学 应用力学与工程 系， 副教 授； 研究方 向——非线 性动 力学 。Ｅｍ ｉ ｘ ｚｅｇ ３ － ａ ： ｗ ｈ ｎ０ ＠ ｌ
１ ６ ｃ ｒ ２ ．ｏ ｎ
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第 ２期
郑小武 ： 自由度机械臂 一１ 两 。 下的 Ｈｏ ｆ ｐ 分岔与混沌研究
微分方程 ， 再根据周期 系数系统 的稳定 性理论建立 了 其周期运动 的 Ｐ ｉｅｒ 映射 ， 根据该 映射 的特征矩 ｏ ａ６ ｎ 并
岔、 ｏ ｆ Ｈ ｐ 分岔、 次谐分岔以及混沌等问题一直是研 究的热点。文献［］ １ 对某碰撞振动系统建立了其周 期 １ —１运 动 的 Ｐ ｉｃｒ 射 ， 用 中心 流 形 一范 ｏｎａ６映 利 式方法理论分析和数值验证 了其在适当参数条件下 存在 Ｈ ｐ 分岔。文献 ［］ ｏｆ ２ 研究 了一类 三 自由度碰
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第 ２ ５卷
第 ２期
应
用
力
学
学
报
Ｖｏ． ５ Ｎｏ ２ １２ ．
２ ０ 年 ６月 ０８
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Ｊ ｎ ２ ０ ｕ ．０８
文章编号：０ ０４ ３ （０ ８ ０—３ ２０ １０ —９９ ２ ０ ）２０ １—４
一个新混沌纠缠系统的Hopf分岔分析
一个新混沌纠缠系统的Hopf分岔分析Kutorzi Edwin Yao;张建刚;秦爽【摘要】文章基于混沌纠缠方法构造了一个新的混沌系统,通过理论和数值分析验证了该系统存在混沌吸引子.此外,利用非线性动力学理论分析了该系统平衡点的稳定性以及Hopf分岔的存在性和稳定性.经过计算系统在平衡点的第一Lyapunov 系数判断Hopf分岔的方向及其稳定性,最后进行数值仿真验证理论分析的正确性.【期刊名称】《重庆文理学院学报（社会科学版）》【年(卷),期】2016(035)005【总页数】5页(P24-28)【关键词】混沌纠缠;稳定性;Lyapunov系数;Hopf分岔【作者】Kutorzi Edwin Yao;张建刚;秦爽【作者单位】兰州交通大学数理学院,甘肃兰州730070;兰州交通大学数理学院,甘肃兰州730070;兰州交通大学数理学院,甘肃兰州730070【正文语种】中文【中图分类】O415.5近年来，人为构造混沌系统已经成为研究热点.混沌的研究开始于1963年，当时洛伦兹对一个天气预报数学模型进行研究[1].该模型表示即便是详细的大气模型也不能做相对长期的天气预测，而当时人们只能预测一个星期的天气[2]．混沌通常被定义为一个相对来说比较庞大的非线性现象，它与缺席微观量子领域以及经典物理学的关系非常密切．最近几年，许多学者热衷于对人工混沌系统的设计和构造，并且已经成为一个重要的研究领域[3-7]．文献[8]给出了一种被称为混沌纠缠的新的构造混沌的研究方法.这个方法的基本理论是运用纠缠函数的方式纠缠两个或多个稳定的线性子系统并且使其产生出一个人为构成的新混沌系统．混沌纠缠这种方法利用一种更为方便的手段构造并产生新的混沌吸引子．我们完全可以运用混沌纠缠的方法更加简单地构建出一类新的混沌系统. 学者们近几年在认识和研究混沌现象时，发现并构建了许多种混沌系统，许多人专注于这些混沌系统动力学特征的研究[9-10]．本文运用混沌纠缠的方法重新构建一个新的超混沌系统，并运用理论推导和数值仿真的方式对该系统存在混沌吸引子的结论做了进一步验证，同时对此系统的动力学行为进行了分析．考虑两个线性的子系统其中(x,y,z)为状态变量．当a<0,c<0并且d<0时，显然两个子系统是稳定的．经过正弦函数纠缠 (1) 与 (2) 两个线性子系统将会得出以下混沌系统其中a<0,c<0,d<0,(b,b1,d1,e)∈R4,纠缠函数为(sinx,siny,sinz)．当a=-2,b=6,c=3,d=-4,e=20,d1=40,b1=38时，系统(3)存在一个如图1所示的混沌吸引子．2.1 耗散性与吸引子的存在性根据系统(3)的向量场散度我们可以得到系统(3)是耗散的，也就是体积元v0在t时刻收缩到体积元V0e(2a+d)(t-t0)，并且当t→∞时，系统(4)轨线的每个小体积元都以指数率2a+d 收缩到0.系统(4)的轨线最终将被限制到体积为0的极限子集上，且被固定到1个吸引子上．2.2 对称性和不变性显然，系统(3)具有对称性，也就是说当变换(x,y,z)→(-x,-y,-z)时对全部的参数而言都具有不变性，若)是系统(3)的平衡点，则一定也是它的平衡点；若Γ(x,y,z)是系统(3)的一条轨道线，则Γ(-x,-y,-z)同样也是它的轨道线．2.3 有界性若一个系统是有界的，并且它有一个正的Lyapunov指数，则我们称这个系统是混沌的．定理1 当a<0,c<0,d<0时，系统(3)有界．证明把系统(3)写成下面的形式其中我们定义那么有‖x‖2+2e‖F‖‖x‖,其中,由于则令，并且定义当‖x‖≥M时,我们得到‖x‖‖x‖=0这说明系统(3)是有界的．2.4 平衡点的稳定性平衡点是分析新系统的动力学特性的重要元素，首先我们要找到系统的平衡点. 因为系统(3)存在很多个平衡点，并且找到它的精确解非常困难.为便于研究，只考虑当平衡点为E0=(0,0,0)时的情况．引理1 多项式p(λ)=λ3+p1λ2+p2λ+p3的所有根都有负实部的充分且必要条件为p1,p2,p3都为正数，且满足不等式p1p2>p3．定理2 当满足条件时，平衡点E0就是渐进稳定的．证明因为系统 (3) 在E0=(0,0,0)处的Jacobian 矩阵为并且相应的特征多项式为由引理1可以得到，平衡点E0是局部渐进稳定的充分必要条件是使公式(6)有负实部的特征根不等式，即a2+2ad+bc+be>0,2a+d>0,a2d-bcd-bde-b1d1(c+e)<0，且,成立．因此当条件(7)满足时，我们可以得到E0=(0,0,0)是渐进稳定的．系统(3)在平衡点E0处的Jacobian矩阵为可以得到以下的线性函数：A0的特征值为可得其中,,另外得,h11=(0,0,0)T,B(q,h11)=(0,0,0)T,.其中,以及假设系统是随着参数b的变化而变化的，在临界值b=b0处我们有ξ′(b0)=Re若ξ′(b0)≠0，那么Hopf 分岔横截性条件成立．定理3 系统(3)在平衡点E0处的第一Lyapunov系数为当l1≠0时，系统(3)在平衡点E0处发生Hopf分岔．特别地，若l1<0，系统发生超临界Hopf分岔；若l1>0，系统发生亚临界Hopf分岔．为了更好地验证上面的分析结果，选a=-2,c=2,d=-2,e=1,b1=15, d1=-3，则Hopf分岔临界值b0=3.437 5. 当b=6.55>b0时，系统的平衡点是稳定的；当b=1.705>b0时，平衡点是不稳定的，分别如图2、4所示．通过计算得l1=128.311 62>0,ζ′(b0)=-0.224 6，也就是说横截条件成立．所以，系统(3)此时在平衡点E0处发生亚临界Hopf分岔，且产生一个不稳定的极限环，如图3所示．本文通过混沌纠缠的方法人为构建了一个新的混沌系统，通过详细的理论推导和数值分析得出该系统存在混沌吸引子．此外，利用非线性动力学理论知识讨论了该系统平衡点的稳定性．通过Hopf分岔理论，对系统的Hopf分岔行为进行了详细分析，并且推导出系统产生Hopf分岔的参数条件．通过计算系统在平衡点的第一Lyapunov系数，判断了Hopf分岔的方向及其稳定性．【相关文献】[1]LORENZ E N.Deterministic non periodic flow[J].Journal of the Atmospheric Sciences, 1963(20)：130-141.[2]WATTS R. Global warming and the future of the earth[M].Morgan & Claypool, 2007.[3]唐良瑞,李静,樊冰，等．新三维混沌系统及其电路仿真[J]．物理学报, 2009, 58(2)：785-793．[4]李险峰,张建刚,褚衍东．一个新自治系统的动力学分析[J]．复杂系统与复杂性科学,2008,5(1):1672-3813．[5]杜文举.Vander Pol-Duffing系统的Hopf分岔分析及岔控制研究[D].兰州:兰州交通大学,2014.[6]HU D P, CAO H J. Bifurcation and chaos in a discrete-time predator-prey system of holling and leslie type[J]. Commun Nonlinear Sci Numer Simulat, 2015,22:702-715.[7]ZALMAN B, HU Q W. Wieslaw K. Global hopf bifurcation of differential equations with threshold type state-dependent delay[J]. Journal of Differential Equations, 2014,257:2622-2670.[8]ZHANG H T, LIU X Z, SHEN X, et al. Chaos entanglement: a new approach to generate chaos[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2013, 23(5):1330014.[9]HU Z Y, TENG Z D, ZHANG L. Stability and bifurcation analysis in a discrete SIR epidemic model[J].Mathematics and Computers in Simulation, 2014,97:80-93.[10]WANG F X. Bifurcations of nonlinear normal modes via the configuration domain and the time domain shooting methods[J]. Commun Nonlinear Sci Numer Simulat,2015,20:614-628.。
数学中的混沌动力系统与分岔理论
在数学领域中，混沌动力系统与分岔理论是两个重要而引人注目的主题。
混沌动力系统是指那些对初始条件极其敏感，呈现出难以预测和复杂演化的系统。
分岔理论则是研究系统从一个稳定状态突变为多个稳定状态的过程。
这两个理论在许多领域都有广泛的应用，从自然科学到社会科学，深深地影响了人们对系统运行和演变的理解。
混沌动力系统最早是由美国气象学家、数学家爱德华·洛伦兹在1960年代中期提出的。
他的研究工作主要集中在研究大气运动模型。
在这个系统中，初始条件的微小变化会引起模型的输出结果相差甚远。
这引发了洛伦兹的兴趣，他将这种现象命名为“蝴蝶效应”来形容起初微弱的变化可能会引发大规模的效应。
洛伦兹在混沌动力系统的研究中发现了奇异吸引子的存在，这是一种引导系统演化过程的特殊性质。
奇异吸引子在混沌动力系统理论中起着重要的作用，它不仅提供了对系统行为的定量描述，同时也揭示了系统中的复杂结构。
分岔理论则着重研究系统的稳定性突变过程。
分岔是指当系统参数发生细微变化时，系统从一种稳定状态突变为另一种稳定状态的现象。
最著名的分岔是“费根鲍姆分岔”，早在19世纪末由法国数学家亨利·费根鲍姆提出。
他发现简单的非线性方程可能引起系统从一个稳定状态到周期运动，然后到混沌。
这种突变行为使得分岔理论成为许多自然现象的重要解释机制，例如生物进化、气候变化等。
混沌动力系统和分岔理论在现代科学中有广泛的应用。
在天气预报中，混沌动力系统理论帮助科学家们理解气象系统的复杂行为，进而提高了预测的准确性。
在物理学中，混沌动力系统的研究揭示了粒子运动的随机性和确定性之间的微妙平衡。
在生物学中，分岔理论帮助研究者理解进化过程中物种数量的突变和物种多样性的起源。
在社会科学中，混沌动力系统的影响范围更加广泛，从经济学到心理学，都有许多应用案例。
总之，数学中的混沌动力系统与分岔理论是对系统运行和演化进行研究的重要工具。
混沌动力系统的研究揭示了系统的复杂性和不确定性，而分岔理论则研究了系统从一个稳定状态到多个状态的突变过程。
一类广义超混沌系统的Hopf分岔及共存吸引子研究
￥ 收 稿 日期 ： ２ ０ １ ６—１ ０— ０ ７ （ ２ ０ １ ６ Ｋ Ｔ Ｓ Ｃ Ｘ ０ ７ ６ ）
Ｄ Ｏ Ｉ ： １ ０ ． １ ３ ６ ９ ８ ／ ｊ ． ｃ ｎ ｋ ｉ ． ｃ ｎ ３ ６—１ ３ ４ ６ ／ ｃ ． ２ ０ １ ７ ． ０ ６ ． ０ ０ ８ 基金项 目：国 家 自然 科 学 基 金 项 目（ １ １ ６ ２ ６ ０ ６ ８） ； 广 东 省 自然 科 学 基 金项 目（ ２ ０ １ ５ Ａ ０ ３ ０ ３ １ ｏ ４ ２பைடு நூலகம்４ ）； 广 东 省 普通 高校 特 色 创 新 项 目
１ 引言
Ｅ ．Ｎ．Ｌ ｏ ｒ ｅ ｎ ｚ 在 研究 气象 模 型 时 ，在一类 确 定性 系统 中发 现 了类 似 于 随机 的动力 学 现 象 ， 即混 动 行 为 ， 并于 １ ９ ６ ３年提 出 了首个 混 沌数 理 模 型 ， Ｌ ｏ ｒ ｅ ｎ ｚ系 统 … ． 由于 混 沌 行 为 的 特 殊 性 ， 自从 Ｌ ｏｒ ｅ ｎ ｚ系统 被 提 出 以 后， 大量 来 自于不 同领 域 的数学 家 、 物理 学家 及工 程 师们便 对 混沌 的起 源 、 混沌 系统 的特 征 与分 岔行 为 、 通 向 混沌 的路 径等 各个 方 面 ， 都 展开 了深 入地 研究 Ｉ ４ ． 超混沌 ， 作 为 另一种 复 杂动 力学 行 为 ， 它 比混 沌行 为具 有 更强 的 复杂性 以及 更 强 的应用 潜力 ． 由于在 自治 常微 分方 程 系统 中要 产生 超混 沌行 为 ， 必须要 求 系统 维数 至 少为 四维 ， 因此 ， 对 四维超 混沌 系统 的研 究 ， 尤 其 是对 四维 Ｌ ｏｒ ｅ ｎ ｚ 型超 混沌 系 统 的研 究 ， 将显 得尤 为 重要 ．
一类新的交通流跟驰模型的倍周期分岔与混沌
收稿日期 : 2007210 220 基金项目 : 国家自然科学基金(5047 5109 ) ;甘肃省自然科学基金 3ZS0 512A 2 520 30 ; 高等学校博士学科点专项科研基金 ( 200 607 32002 )
甘 1 4 4
肃 科 学 学 报 2008 年 第 4 期
( 1. Sch ool o f Ma thematics , P h ysics an d So f twa re E n gineer in g , L an z hou J ia oto n g U ni vers ity , L an zh ou 730070 , Chin a; 2. Colle ge o f Mecha nica l an d Elect rical E n gi nee rin g , L a nz hou J ia oton g U n ivers ity , L an zh ou 730070 , Chin a)
(1. 兰州交通大学 数理与软件工程学院 , 甘肃 兰州 730070 ; 2. 兰州交通大学 机电工程学院 ,甘肃 兰州 730070 )
摘 要: 为了分析交通流混沌的转化机理 ,建立了一类新的交通流跟驰模型 ,并分析了模型的动力 学行为 . 数值模拟结果表明 , 在这一新的跟驰模型产生的交通流中存在倍周期分岔和混沌 . 而且系统 在经过倍周期分岔进入混沌的过程中 , 存在跳跃现象 ,特别是在某些参数下 , 存在跳跃现象的倍周期 分岔还具有一定的周期性 , 是首次得到的结果 . 关键词 : 交通流 ;跟驰模型 ;倍周期分岔 ;混沌 中图分类号 : O322 文献标识码 : A 文章编号 :100420366 (2008) 0420143204
[1 ,2 ]
统的混沌现象 [ 3 ] . 贺国光等人先后研究了耦合映射 模型 和 经 典跟 驰 模 型 [2 ,4 ,5 ] 中 的混 沌 现 象 . X. Y. Zhang 等人 [ 6 ] 建立了一 个基于 O2D 网络的动力 学 模型并分析了动力学特性 . 2007 年 ,文献 [ 7 ] 分析了 在用户平衡状态下的城市交通网络的动力学行为 . 交通流跟驰理论是研究在单一车道上车辆排队 行使时 ,后车跟随前车的行使状态 , 并用数学模式加 以分析阐明的一种理论 . 经典跟驰模型通常都是由 时滞微分方程描述 , 但对时滞微分方程进行数值仿 真的难度较大 , 且结果往往与实际情况有较大出入 . 为了改善经典跟驰模型的这一缺陷 , 建立了一类由
一个新超混沌Lorenz系统的Hopf分岔及电路实现
一个新超混沌Lorenz系统的Hopf分岔及电路实现
李德奎
【期刊名称】《宁夏大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2016(037)003
【摘要】对Lorenz系统反馈控制并结合Lyapunov指数方法,提出一个新超混沌Lorenz系统.分析该系统平衡点的稳定性及Hopf分岔的存在性.利用第一Lyapunov系数法给出系统Hopf分岔周期解的稳定性条件.通过数值仿真验证理论分析的正确性,并构建该超混沌Lorenz系统的仿真电路,示波器显示出与数值仿真完全一致的混沌吸引子,从而验证电路设计的正确性和电路实现的可行性.
【总页数】8页(P294-301)
【作者】李德奎
【作者单位】定西师范高等专科学校数学系,甘肃定西743000
【正文语种】中文
【中图分类】O415.5
【相关文献】
1.一个超混沌Lorenz系统的Hopf分岔分析 [J], 刘畅;张莉;秦爽
2.一个超混沌Lorenz系统设计与FPGA电路实现 [J], 王忠林;满丰全;胡波
3.一个新的不确定超混沌Lorenz系统的自适应同步 [J], 徐江;蔡国梁
4.一个新四维超混沌系统的构建与电路实现 [J], 朱雷;刘艳云;王轩;武花干;周小勇
5.一个新类Lorenz系统的非退化Hopf分岔分析 [J], 秦爽;张建刚;俞建宁;杜文举
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四维超混沌系统Hopf分岔分析与反控制
四维超混沌系统Hopf分岔分析与反控制张良;唐驾时【摘要】对超混沌系统进行分岔反控制的研究已成为当前一个重要研究方向,常采用线性控制器实现反控制.首先,对一个四维超混沌系统的Hopf分岔特性进行了分析,利用高维分岔理论推导出分岔特性与参数之间的关系式,以此判断系统的分岔类型.然后,设计一个由线性与非线性组合成的混合控制器对系统进行分岔反控制,控制参数取值不同时,系统会呈现出不同的分岔特性.通过分析得出,调控线性控制器参数可以使系统Hopf分岔提前或延迟发生;同时,调控混合控制器的两个控制参数,可以改变系统Hopf分岔特性,实现分岔反控制.【期刊名称】《计算力学学报》【年(卷),期】2018(035)002【总页数】7页(P188-194)【关键词】超混沌系统;Hopf分岔;混合控制器;分岔反控制【作者】张良;唐驾时【作者单位】湖南大学机械与运载工程学院,长沙410082;湖南大学机械与运载工程学院,长沙410082【正文语种】中文【中图分类】O313.7;Q175.131 引言分岔反控制是系统在预设参数点通过控制产生期望的分岔行为，是分岔控制的逆过程，不是消除或者避免分岔，而是产生分岔[1-9]，对混沌系统进行分岔反控制已成为非线性科学研究的一个新领域。
对此取得研究成果的文献不多，文献[1]详细介绍了Hopf分岔反控制的理论、方法和技术。
文献[2]分析了三维混沌系统出现的余维1、余维2和余维3 Hopf分岔,并提出了一个非线性控制器进行Hopf分岔反控制。
文献[3]利用Washout filters法对Chen系统进行时滞分岔控制。
对超混沌系统的研究主要集中在系统分岔特性的分析，很少对系统分岔反控制进行分析。
文献[10]应用多尺度法和奇异性理论，对处于磁场中轴向运动的导电薄板磁弹性动力学进行了分岔特性分析，研究了不同参数取值对系统表现出来的分岔和混沌的影响。
文献[11]对经典Lü系统进行演变，增设一个非线性状态反馈控制器，产生了一个新的四维自治系统，并对该系统进行了简要的超混沌特性分析，采用自适应法设计了控制器对这种混沌行为进行控制,但缺少对新系统的分岔分析和反控制。
一个类Lorenz混沌系统Hopf分岔反控制
一个类Lorenz混沌系统Hopf分岔反控制作者：张良唐驾时来源：《振动工程学报》2018年第05期摘要： 对混沌系统进行反控制可以实现分岔提前或者延迟发生，满足工程实际需要。
以一个类Lorenz 混沌系统为研究对象，根据Routh-Hurwitz 准则和高维Hopf 分岔理论，分析了系统Hopf 分岔特性；提出了一种动态状态反馈控制法，对系统进行Hopf 分岔反控制。
通过调控控制参数，可以在预定任意位置产生Hopf分岔，使Hopf分岔提前或延迟发生，达到了预期的反控制目的。
从分析结果看出，提出的动态状态反馈控制法可以避免复杂的计算过程，能够有效地实现对混沌系统的Hopf分岔反控制。
关键词：非线性振动；混沌系统； Routh-Hurwitz准则； Hopf分岔反控制；动态状态反馈控制法中图分类号： O322 文献标志码：A 文章编号1004-4523（2018）05-0752-07DOI：10.16385/ki.issn.1004-4523.2018.05.004引言自1963年，E N Lorenz实验中偶然发现混沌吸引子，即Lorenz系统以来，对于混沌系统的认识和研究取得了极大的进步。
现在人们不仅关注发现新的混沌系统，更关注系统自身混沌和分岔特性的研究。
杨启贵等[1]提出了一个新的类Lorenz系统，分析了系统的规范型。
Mello 等[2]研究了一个三维类Lorenz系统的混沌吸引子，通过第一李雅普诺夫系数分析了系统的分岔特性。
Li等[3]提出了一个新的类Lorenz混沌系统，分析了该系统的同宿轨道，以及系统在不同平衡点下的分岔特性。
Shan Wang等[4]提出了一个五维类Lorenz系统，分析了系统分数阶分岔。
分岔控制与反控制已成为非线性动力学研究的重点方向之一。
而分岔反控制是分岔控制的逆过程，其主要目的是通过控制系统參数，使系统在预先设置的临界值上出现预期的分岔现象，是产生分岔的过程，而不是避免或者消除[5-10]。
一类三维混沌系统的Hopf分岔
统 （ ） 换成 带 ４个 常数 ａ ｂ Ｚ ＝Ｚ ｔ）的二维 线 ２转 ， ，， （ｏ 性 齐 次系统 。 因此 ， 的动力学 行为是 全局 的。 它
及稳定性 已引 起 广 大学 者 的关 注 ］ Ｈ 。最 近 ， 献 文 ［ ］ 出了一个带 两个平 方项 的三维 混沌系统 ４提
当Ｚｏ Ｏ ）＝等 时， 系统（） ２ 有无穷多个平衡点，
这 里不考 虑这种 情况 。
ｆ 口ｙ 戈 ＝ （ 一 ）
｛ ＝ｂ ｘ ｘ—ｌ ｚ
【 三：一 ＋ｈ ＋ｋ ２ ｙ
（） １
当ｚｔ （ ）≠÷ 时， 。 系统（ ） ２ 只有一个平衡点
ｏ（ ０ ｏ，）。对 系统 （ ） 于 平 衡 点 ｏ（ ， ）线性 化 ， ２关 ｏ０ 得 到如 下特 征方程
（） 争＜ ＜ ， ０ ， （有 Ａ 当‘ 名 口‘口 时系 ２ ２ ． ＞ 统 ） 叶
两 个负 实 根 ， 足 Ａ 满 。＜ ０，Ａ ＜ ０， 时 平 衡 点 此 Ｏ（ ０ ０，）为稳定 的结点 。
』 ＝ （一 口 ｙ
【 ＝ ｂ — ｌｚ ｘ ｘ
（ ２ ）
式（） ２ 中 ＝ｚ ｔ 视 为 已知 函数 。在 ｔ＝ｔ时刻 ， （） 。 系
数学
一
类 三维 混沌 系统 的 Ｈｏ ｆ 岔 ｐ分
李福琴 涂金忠
（ 三峡大学科技学院， 昌 ４ ３０ 湖北省宜 昌县小溪塔 高中 ， 宜 ４ ０２； 宜昌４ ３０ ） ４ ０ ２
摘
要
通过 Ｃ Ｅ Ｃ方法讨论 一类带 两个平方项的三维混沌 系统 的动力学行 为。其次 ， 用 ｔｅ ｒ ｙａｎ ｖ ｏｆｃ ｎ 方法 ＣＢ 运 ｈ ｓ Ｌｐｕ ｏ ｅｉｉ ｔ ｉ ｆｔ ｃ ｅ
一个特殊三维混沌系统的退化 Hopf分岔
和:
定理1 系统(1)在平衡点E0处的第一Lyapunov系数为
若c＞0且，则当a=a0=0时，系统(1)在平衡点E0处有余维－1的横截Hopf点.具体而言，当a=a0=0且0＜c＜c1或c＞c2时，E0是渐近稳定的，当a＜a0=0且充分接近a0时，E0失稳且在其附近存在一个稳定的周期轨;当a=a0=0且c1＜c＜c2时E0是不稳定的，当a＞a0=0且充分接近a0时，E0渐近稳定且在其附近存在一个不稳定的周期轨.
证明 因为函数 C(X，Y，Z)=(0，0，0)，所以:G21=〈p，B(q－，h20)+2B(q，h11)〉，其中复向量h11和h20的定义和计算方法见文献［4］中第27页.通过计算得到:
因此
将代入上式，得到G21的实部即第一Lyapunov系数为
可见，当0＜c＜c1或 c＞c2时 l1(a0，c)＞0;当 c1＜c＜c2时 l1(a0，c)＜0.
图1 系统(1)的分支图Fig.1 Bifurcation diagram of system(1)
证明 沿用文献［4］中的记号及其相应的计算式，由:C(X，Y，Z)=D(X，Y，Z，U)=E(X，Y，Z，U，V)=(0，0，0).可以算得:
其中复向量h11的值已在定理1的证明中给出，h21，h30，h22和h31的计算方法与h11类似，由于其表达式过于冗长，此处不一一列出.第二Lyapunov系数的定义式为:
一个特殊三维混沌系统的退化 Hopf分岔
பைடு நூலகம்朱道宇
【摘 要】研究了一个特殊的三维混沌系统的动力学行为。通过计算非双曲平衡点处的第一和第二Lyapunov系数，讨论系统发生Hopf分岔和退化Hopf分岔时极限环的稳定性，揭示两种不同类型的吸引子共存的产生机制。%The dynamical behavior of a special 3D chaotic system is studied .Hopf bifurcation and degen-erate Hopf bifurcation are discussed by computing the first and second Lyapunov coefficients associated to a nonhyperbolic equilibruim ,which gives an analytical proof of the mechanism for the birth of two different types of attractors .
一类三维混沌系统的Hopf分岔
0
B( , !) =
- 2c 1 !3
和
4( 1 !1 + 2 !2 )
5期
李福琴, 等: 一类三维混沌系统的 H opf分岔
12 01
C ( , !, ∀) = 0。 因此, 可计算出
-
1 4c
-
1 12c
6c 2 4c
J- -+ 1 =
1 4c
2i。
故根据文献 [ 5] , 得到 the f irst L yapunov coefficien:t
1 ( 0)
=
1 2
R
e
[
<
-
p, C ( q, q, q )
>-
2<
p,
B
( q,
-J-+
1
B
( q,
-
q)
)
>+
< p, B ( q-, H B ( q, q ) ) > ] =
1 Re [ - 2 < p, B ( q, s ) > + 4 2c
科学技术与工程
10 卷
PQ - R > 0, 其中
P = a + c, Q = ac + h2b+ckk, R = 2abc, 方程 ( 4)的根 都具有负实部。
定理 2 平衡点 E+ , E- 是渐进稳定的, 当且仅当
a>
0, c >
0,
( h + k ) ( a2 + ac) 2ah - 2kc
<
-
p, B ( q, r)
一类动态SEIS模型的Hopf分岔及混沌
４ ｌ
２ 奇点 的渐近稳定性 、 ｐ 分岔和混沌 Ｈｏ ｆ
环 ，易 感 者 、潜 伏 者 和 传 染 者 数 量 比 例 会 周 期 的 稳 定 于 点
ｒ（ ２ ｊ） ｄ＋∞ ） ｓ ∞ ＋ｅ （ １
’
，
ｒ（ ∞１ （ ２ 卢） ｓ ｄ＋ ） ∞ ＋
。
证 系（为， 得衡为点 ， 假 明由统 ） 可 平点原和 点 先定 ＝ ２零 求 首
Ｉ ｓ ｒＥ＋ ｌ＿ａ 『Ｓ＋ Ｅ ｒ Ｉ Ｉ
詈＝
ｄ ｌ
（ １ ）
：Ｂ Ｅ—ｄ —ｍ Ｉ Ｉ １
警＝ 一
为更清晰的表述三类人群的动态变化 ， ｓ ， 令 ＝
以及 Ｎ＝Ｓ＋Ｅ＋ 可得 同胚 变换 后 的系统 为 ，
， ＝ ， ＝ ｄ， ｅ 打 Ｎ 将上式分别代入系统（ ） １，
有效接触 的人数 ， 则单位时间上新感染人数为 ； ｐ表示潜伏期 的发病率 ； 相对三类人群数量的增
长率分别 为 ， ， ； ， 分别表示 对两种群的有效 隔离率 ； ，： ｒ ： 分别为对传染者和潜伏者 的治愈 率， 与隔离率叠加构成有效治愈率 ， 所建动态多因素 Ｓ Ｉ 传染病模型为 ＥＳ
＝ ＝ ＝
由统） 平点（， 系（ 得衡 鲁 ２ 可
件， 若取０分岔参数值， ４ 可得０： ４
系统 发 生 Ｈ ｐ 分 岔 。此 时特 征方 程 的根 为 ｏｆ
Ａ
，
堕
＝ 等 ， 鲁 。 ）ａｉ 阵特方为 ＋＋ 处ｅｎ 的征程 Ａ（ Ｊａ ｏ矩 ｂ １
＝
Ｐ ＋ ） Ｐ ＋ １ 一 ３１Ａ＋ ２３３ Ｐ０ ＝ ， Ｈ ｒｉ 判据及参数实际意义 ， 渐近稳定的充要 １ Ａ ＋（１ ｐ ０ Ｐ０） ｐＰ０ 一 ３１ ０ 由 ｕｗｔ ２ ｚ １ 条件为（２ ０ — ３ ００ ＋ １４ ０ 一 １ — ２３ （３ ０ ＋ ２３ ＞ ２０ — ３ ０） ０ — １ ０ ＋ ３４ ００ ＋ ００ ００） ０ ＋ １ ００） ０（２ ０ — １ 。 ２ 当参数 关 系满 足 （ ｐ ＋０）Ｐ ＋ 。 Ｐ０）＝ ３３ ｐ０ ， 统 将 发生 Ｈ ｐ 分岔 ， １＋ （ ｐ０ 一 ３ ｐＰ０ － ３ 时 系 ｏｆ 由分 岔条
动力系统中的分岔与混沌行为探究
动力系统中的分岔与混沌行为探究动力系统是指由物理、数学或工程等领域中的方程、规则或模型构成的系统，用于描述物体、系统或过程的运动、变化和演化规律。
动力系统的行为可以呈现出多种形式，其中分岔与混沌行为是常见且引人注目的现象。
分岔是指在动力系统中，当某个参数的变化达到一定的条件时，系统的行为从一种状态转变为多种或无穷多种状态的现象。
分岔分为离散分岔和连续分岔两种。
离散分岔通常发生在离散时间点上，系统的状态从一个值突然跳变到多个不同的值。
而连续分岔则是在连续时间上发生的，系统的状态从一个平衡态跳变到多个平衡态。
分岔现象通常在非线性系统中出现，且常常伴随着系统的复杂性增加。
混沌行为是指在动力系统中，微小的初始条件变化会导致系统的演化结果迅速发散，且系统的状态表现出随机、不可预测的特征。
混沌行为在数学上可以用混沌吸引子等概念描述。
混沌系统具有灵敏依赖于初始条件的特性，也被称为“蝴蝶效应”，即初始条件的微小变化可以导致系统的演化结果巨大差异。
混沌行为通常在非线性系统中出现，并且常常呈现出复杂、分形的特征。
分形是指具有自相似性和统计性质的几何图形或数学对象。
在动力系统中，分岔与混沌行为常常伴随着分形的出现。
分形结构既可以在系统的状态空间中观察到，也可以在时间序列中观察到。
分形的出现进一步增加了系统的复杂性，并丰富了我们对动力系统行为的认识。
分岔和混沌行为在许多科学领域都有着广泛的应用和理论研究。
在物理学中，分岔和混沌理论被用来解释各种现象，如天体力学中的三体问题、非线性动力学系统中的相变等。
在工程学中，分岔和混沌现象的研究可以应用于电力系统、电路、通信等领域中，帮助我们更好地理解和控制这些系统的行为。
研究分岔和混沌行为不仅对于科学理论的发展有着重要意义，也对实际应用具有重要价值。
通过深入研究动力系统中的分岔与混沌行为，我们可以更好地理解自然界和人造系统的复杂性，并探索其中的规律和机制。
在处理分岔与混沌行为时，数学方法和计算机模拟技术被广泛应用。
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其 中 Ｃ ＝ｂ， Ｃ ＝Ｐｂ， Ｃ ＝（ 一 ５６。 ｌ ２ １ ３ ５ √）
当ｂ ｂ 时，方程 （ ）有一对纯虚特 征根 ＝± ． ２ｊ ｃ ｊ 一 负 实 特 征根 ＝一 ＾ ４４２ ， ＝ ３ １ ６５ ＋ｏ 和 ６ ｈ ６ ＝－ ． １ ７
中 图分类 号 ，０ ２ ，Ｔ ９ １ ３２ Ｎ ０
文献 标识 码 ｔ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ Ａ
１
引言
混 沌 在 保 密 通 信 、 图 像 处 理 、信 号 检 测 等 许 多领 域 有 着 广 泛 的 应 用 。 自从 发 现 第 一 个 混 沌 系 统
一
Ｌ ｒｎ ｏｅｚ系统 以来 ，许 多 学者 提 出 了新 的混 沌 系统 ，如 Ｃ ｅ ¨ ｈｎ系统 ［ 、Ｌ ｎ系 统 【、Ｌｕ系统 等 。最 引 ｉ 近 ，王 光 义 等 （提 出了 一个 新 的混 沌 系 统 并 研 究 了其 电路 实 现 。本 文 利 用解 析方 法 与数 值 方 法 详 细 讨 】 论 了该 系 统 的 Ｈｏ ｆ 岔 与混 沌 运 动 。该 系 统 会 产 生稳 定 的 Ｈｏ ｆ 岔 解 。严 格 解 析 地 给 出了 系 统产 生 ｐ分 ｐ分 混 沌 的机 理 与相 应 的参 数 条 件 。
２ 新 系统 及 其 Ｈ ｐ 分 岔 分 析 ｏｆ
考 虑 如 下 新 混 沌 系 统【 ５
＼：一 七 ＋ｙ ＿ ｘｙ ｚ ； ｃ
｛ ｘｙ— 【 ＹＸ －ｂｚ 三 Ｚ ＝ ：
岛（ ，： ， ） ｐ 、 （ ，Ｐ ， ） 一 一 ，其 中 Ｐ ＝一 ／ ＋ ／ １２ ２， Ｐ ＝一 ／ 一 ／ ： ｌ２ ２。
３ ．天 津 市 非 线性 动 力 学 与 混 沌 控 制 重 点 实验 室 ，天 津 ３ ０ ７ ） ０ ０ ２
摘要 ｔ利用 解析方 法和 数值方 法研 究 了一 新三 维系 统 Ｈｏ ｆ ｐ 分岔 解 的稳定性 。利 用 Ｓ’ ｉｏ ｉｎｋ ｖ方法 研究 了该 系统 的 ｌ
混 沌运动 ，严格 地给 出 了系统产 生混沌 的机 理与相 应 的参数条 件 。数值 模拟验 证 了理论 分析 的结果 。 关键词 ｔ ｐ 分 岔；混 沌；Ｓ’ ｉｏ Ｈｏ ｆ ｉ ｎｋ ｖ方法 ｌ
第 ｌ ５卷 第 ２ 期 ２１ 年 ４月 ００
文 章 编 号 ： １０ ．２ ９（０ ０ ０ ．０ ６０ ０ ７０４ ２ １） ２０ ６－４
电路与系统学报
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＣＩ ＵＩ ＲＣ ＴＳ ＡＮＤ ＹＳ ＥＭ Ｓ Ｓ Ｔ
ＶＯ ．５ １ １ Ａｐ ｉ ｒ， ｌ
ｂ＝ ｈ （ — ｐ ）ｐ ＝４４ ２ 。下 面 分 析 该 Ｈｏ ｆ 岔 的稳 定 性 。 ｂ ＝ ４ ２ ２／ ： ． １ ７ ｐ分
做变量替换 ＝ √ ＝ — ｌ６， ＝ — 一 ６， Ｙ Ｐ√ ｚ Ｐ ，则系统 （ ）化 为 １
毒＝ ＋１ｐ） ｐ√ ＋ 一 （ ， ＋ ＋ 戋＝ ｐ 一 一 一。 ＋ √
项 目 （ ９ ＣＺ Ｊ ２ ８ ０ ０Ｊ ＤＣ ６０ ）
第２ 期
垦 箜！ 全 墨竺 坌 皇 重 塑 二 堑 里 ！ 坌
！ ． ！
＝
ｆ １ ｆ０ ７８ ．６ ０７７１ 一 ． ３ １ ３ ．０ ３ １９ ５ ｆｌ Ｊ１ ， Ｉ Ｉ ＝ ０２ ０９１—．２ ｌ ，Ｉ２ ， ｌ ．９ ．０ ０５ ＝Ｙ Ｉ ９６ ５ ３ ７，Ｊ Ｊ ０８ ０６ —．９ ．４ ．０ １７ ／ ０９ ６ ２ ０５ Ｌ３ ／
（ １ ）
为保证耗散性， 是一正数。 ｂ 系统（ ） １ 有如下五个平衡点： （，０ 、 √ ， ６ｐ） （√ ， ６Ｐ） ｏ０ ， 巨（６ｐ√ ， 、 一 ６ Ｐ√ ，。、 ０） 一
系 统 （１） 在 平 衡 点 Ｅ（ 可 能 发 生 Ｈｏ ｆ 分 岔 Ｊ 且 发 生 Ｈ ｐ 分 岔 的 临 界 参 数 值 Ｉ ）处 Ｅ ｐ ， ｏｆ
．
＝
√１ 一 ，做变换 ＝ ，其中
收 稿 日期 ｔ ０９ １—５ ２ ０ ．２１ 修订 日期 ：２ １－ ・Ｏ ０ ０叭 ｌ 基金项 目。国家 自然科学基金重点项 目 （ ０ ３０ ０ ０ ７ ０ ９ １ ６ ２４ ，１９ ２ ９ ）；中国博士后基金资助项 目 （ ０ ９ ４０ ６ ）：天津市 自然科学基金重点 ２ ００ ５ ７５
ｅ＝ ｌ 芎 专 ３Ｐ ＋ ２ 芎 ２
（） ２
因 此 ，讨 论 系 统 （ ）的平 衡 点 巨 ，只 需研 究 系统 （ ）的平 衡 点 ０’ ，０ 。系 统 （ ）在 ０ （，０ 处 Ｊｃ ｂ １ ２ （０ ） ０， ２ ’ ０ ） ａｏ ｉ ０，
矩 阵 的特 征 方 程 （ 即 系 统 （ ）在 Ｅ 、 Ｅ 处 Ｊｃｂ 矩 阵 的特 征方 程 ）为 ： 亦 １ ａｏ ｉ
［丢 一］差 兰 一是＋］ ］ ］一 ＝ ［ ［ ［
首 先 给 出 如 下 的 Ｓ’ ｉｏ ｉｎｋ ｖ判 据 。考 虑 如 下 的三 维 自治 系 统 ｌ
ｄ ／ｔ ｘ ｄ ：，（ ） Ｘ∈Ｒ ，
４
（＝１ ， 为 二 次 非 线 性 项 。 利 用 文 ［］ 的 方 法 ， 计 算 得 Ｃ ＝ｂ ＝４４２ ＞０， Ｈ２ ｆ ，３ ２） ６中 ｌ ｈ ． １ ７ ；ＧＣ 一Ｃ ＝０， ２ ３ ｄ ／ｂｂ） ． ３ ０， ｐ ａ／ｂｂ） ５１３ Ｈ，ｄ（ ：２ ６９＞ ７ ｄ ｄ（＾＝一 ． ７＜０， ｄ ｄ（＾＝一 ．６７ ０ ａ／ｂｂ） ０ ０ ＜０，其 中 口为特 征 方 程 （ ）的 ０ ３ 共 轭 复 根 的实 部 ， 因此 该 Ｈｏ ｆ分 岔 解 是 稳 定 的 ，且 当 ｂ＞ｂ 时平 衡 点 Ｅ１ 稳 定 的 ， 当 ｂ ｈ 产 生 稳 ｐ 是 ＜ｂ 时
ＮＯ ２ ． ２ １ ００
一
个新 系统 的Ｈ ｐ分岔 与混沌运 动 ｏｆ
周 良强 ， 一 ， 陈予恕 。 ， 陈芳启 ２ ， 。
（ ．天 津 大 学 机 械 工 程 学 院 ，天 津 ３ ０ ７ ；２ １ ０ ０ ２ ．南 京 航 空航 天 大 学 理 学 院 ， 江 苏 南 京 ２ ０ １ １０ ６