高中数学-学生-实系数一元二次方程
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3.已知复数 满足 且 ，则 ________
4.方程 的解集是________
5.方程 的两根为__________
6.已知 是实系数方程 的根，则 ______
7.复数 的平方根是（）
8.下列命题在复数集中是否正确？为什么？
（1）若 且 ，则方程 有两个实数根。
（2）若 且 是方程 的两个根，则 ；
7.设等比数列 其中 ：
（1）求 的值；
（2）试求使 的最小自然数
（3）对于（2）中的 ，求 的值。
（1）在复数集中，实系数一元二次方程的根的性质：实系数一元二次方程在复数集中一定有两个根，它们是两个实根或者是一对共轭虚根。此性质可推广到实系数一元n次方程在复数集中的情况也成立。
（2）实系数一元二次方程 在复数范围内，韦达定理仍然成立。
热身练习
1. 是一元二次方程 的根，则
2.在复数范围内分解因式 ________
主课题：实系数一元二次方程
教学内容
知识精要
1．复数的平方根与立方根：
和实数一样，复数 和 ,若满足 ，则称 是 的平方根。因为 ，所以 的平方根是 两个数。
（1）求法：利用复数相等求复数的平方根
（2）1的立方根：
的常用结论： ； ；
思考：当 时， 取何值？
2．实系数一元二次方程 在复数集中恒有解．当判别式 时，方程有两个实数解 ；当判别式 时，方程有两个虚根，且互为共轭 ．
巩固练习
1.若 是方程 的一个解，那么
2．若虚数 满足 ，则 （）。
3.在复数集内分解因式：(1) ________
（2） _____
4.计算：（1） =_____
（2） _____
5.求证：在复数范围内，方程 （ 为虚数单位）无解。
6.设 为方程 的两个根， 求（1） 的解析式；（2）证明关于 的方程 当 时，恰有两个不等的根，且两根之和为定值。
7.已知 求
自我测试
1.在复数范围内解方程 ，解集是_______
2.已知 ，若方程 的一个根为 ，则 ______
3.已知一元二次方程 有实数根，则 _____
4.满足方程 的复数 有________个
5.已知 满足等式
（1）计算 ； ；
（2）求证：对任意复数 ，有恒等式
（3）计算：
6.若复数 是关于 的一元二次方程 的两个根，且 ，求 的最大值与最小值
例4.求与自身的平方共轭的复数
例5.已知复数 是 的平方根，求 的值。
例6.设方程 的两根为 ，且 ，求实数m的值。
例7.已知 为实系数一元二次方程 的两个根， 为虚数，且 ,求 的值。
例8.若关于 的方程 至少有一个模为1的根，求实数 的值。
例9. 是方程 的两个根，其中 求 的值。
备选例题
1.对任意非零复数 ，定义集合 ，设 是方程
的一个根，试用例举法表示集合
2.设复数 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ实系数方程 的根，又 为实数，求点 的轨迹。
方法提炼
1．判别根的虚实，运用判别式，求根公式，这些方法要熟练
2．一元二次方程的系数含有虚数时，判别式失去了功能，运用韦达定理求解方法。
3．分类讨论是重要的思想方法。复数里也会有这样的题目，虚根、实根不同情况下，解的形式是不同的。
（3）若 且 是方程 的两个根，则 ；
（4）若 且 是方程 的根，则 也是方程的根。
精解名题
例1．关于 的方程 的两根的模的和为 ，求实数 的值。
例2．已知复数 满足 （ 为虚数单位）， ，求一个以 为根的实系数一元二次方程。
例3．设非零复数 满足 ，并且 是虚数。
(1)求证：
(2)若 ，当 在其允许范围内变化时，求所有满足条件的虚数 的和
4.方程 的解集是________
5.方程 的两根为__________
6.已知 是实系数方程 的根，则 ______
7.复数 的平方根是（）
8.下列命题在复数集中是否正确？为什么？
（1）若 且 ，则方程 有两个实数根。
（2）若 且 是方程 的两个根，则 ；
7.设等比数列 其中 ：
（1）求 的值；
（2）试求使 的最小自然数
（3）对于（2）中的 ，求 的值。
（1）在复数集中，实系数一元二次方程的根的性质：实系数一元二次方程在复数集中一定有两个根，它们是两个实根或者是一对共轭虚根。此性质可推广到实系数一元n次方程在复数集中的情况也成立。
（2）实系数一元二次方程 在复数范围内，韦达定理仍然成立。
热身练习
1. 是一元二次方程 的根，则
2.在复数范围内分解因式 ________
主课题：实系数一元二次方程
教学内容
知识精要
1．复数的平方根与立方根：
和实数一样，复数 和 ,若满足 ，则称 是 的平方根。因为 ，所以 的平方根是 两个数。
（1）求法：利用复数相等求复数的平方根
（2）1的立方根：
的常用结论： ； ；
思考：当 时， 取何值？
2．实系数一元二次方程 在复数集中恒有解．当判别式 时，方程有两个实数解 ；当判别式 时，方程有两个虚根，且互为共轭 ．
巩固练习
1.若 是方程 的一个解，那么
2．若虚数 满足 ，则 （）。
3.在复数集内分解因式：(1) ________
（2） _____
4.计算：（1） =_____
（2） _____
5.求证：在复数范围内，方程 （ 为虚数单位）无解。
6.设 为方程 的两个根， 求（1） 的解析式；（2）证明关于 的方程 当 时，恰有两个不等的根，且两根之和为定值。
7.已知 求
自我测试
1.在复数范围内解方程 ，解集是_______
2.已知 ，若方程 的一个根为 ，则 ______
3.已知一元二次方程 有实数根，则 _____
4.满足方程 的复数 有________个
5.已知 满足等式
（1）计算 ； ；
（2）求证：对任意复数 ，有恒等式
（3）计算：
6.若复数 是关于 的一元二次方程 的两个根，且 ，求 的最大值与最小值
例4.求与自身的平方共轭的复数
例5.已知复数 是 的平方根，求 的值。
例6.设方程 的两根为 ，且 ，求实数m的值。
例7.已知 为实系数一元二次方程 的两个根， 为虚数，且 ,求 的值。
例8.若关于 的方程 至少有一个模为1的根，求实数 的值。
例9. 是方程 的两个根，其中 求 的值。
备选例题
1.对任意非零复数 ，定义集合 ，设 是方程
的一个根，试用例举法表示集合
2.设复数 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ实系数方程 的根，又 为实数，求点 的轨迹。
方法提炼
1．判别根的虚实，运用判别式，求根公式，这些方法要熟练
2．一元二次方程的系数含有虚数时，判别式失去了功能，运用韦达定理求解方法。
3．分类讨论是重要的思想方法。复数里也会有这样的题目，虚根、实根不同情况下，解的形式是不同的。
（3）若 且 是方程 的两个根，则 ；
（4）若 且 是方程 的根，则 也是方程的根。
精解名题
例1．关于 的方程 的两根的模的和为 ，求实数 的值。
例2．已知复数 满足 （ 为虚数单位）， ，求一个以 为根的实系数一元二次方程。
例3．设非零复数 满足 ，并且 是虚数。
(1)求证：
(2)若 ，当 在其允许范围内变化时，求所有满足条件的虚数 的和