自动控制原理2.4 结构图及其等效变换1.4 结构图及其等效变换
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2.4 系统框图及其等效变换
绘制图1所示 所示R-C网络的系统框图 例1 绘制图 所示 网络的系统框图
解: 1）列写该网络的运动方程
U r (s ) − U c (s ) 1 I (s ) = , U c (s ) = I (s ) R CS
2）画出上述两式对应的方框图 3）将两方框图按信号的流向依次 连接，求得c为系统的方框图 图1 R-C网络
G (s )H ( s ) G (s ) = = 1 + G (s )H ( s ) 1 + G (s )
C R (s ) U (s ) G (s )的分子 = = R(s ) V (s ) + U (s ) G (s )的分母 + G (s )的分子
2012-5-2 第二章 控制系统的数学模型
(2 - 51)
正反馈
2012-5-2
+
G1 ( s) G(s) = 1 − G1 ( s ) H ( s )
第二章 控制系统的数学模型 11
图6 环节的反馈连接
2012-5-2
第二章 控制系统的数学模型
12
如果H(s)=1,称为单位反馈系统
C (s ) R (s )
U (s ) 若令G (s ) = , 则上式改写为 V (s )
R2
图2 R-C滤波网络
,
1 U c (s ) = I 2 (s ) C 2s
2）画出上述四式对应的方框图，如图2 a所示 3）根据信号的流向，将各方框单元依次连接起来，就得到 图2 b所示的方框图
2012-5-2 第二章 控制系统的数学模型 7
图3 图 2 所示电路的系统框图
2012-5-2 第二章 控制系统的数学模型 8
1. 化简的关键是解除环路与环路的交叉 或形成大环 化简的关键是解除环路与环路的交叉,或形成大环 套小环的形式. 套小环的形式 2. 解除交叉连接的有效方法是移动比较点或引出点. 解除交叉连接的有效方法是移动比较点或引出点 要向同类移动
自动控制原理2-2结构图
3 . 比较点后移
R + G C R G C + F
F
F
G
4 .比较点前移
R G C + F R + G C
F
1/G
F
15
5 .比较点互换或合并
R1 + + C R3 R1 C + R3 C R2 + R2
R2
R3 R1 +
结构图的简化
对于复杂系统的结构图一般都有相互交叉的回环， 当需要确定系统的传函时，就要根据结构图的等效变换 先解除回环的交叉，然后按方框的连接形式等效，依次 16 化简。
G1(s) R(s)
G2(s)
+ C(s)
R(s)
G1(s) G2(s)
C(s)
C2(s)
11
(3) 反馈连接。连接形式是两个方框反向并接，如图所
示。相加点处做加法时为正反馈，做减法时为负反馈。
R(s)
+
B(s)
E(s)
G(s)
C(s)
H(s)
由图有
C(s) = G(s)E(s)
B(s) = H(s)C(s)
E(s) = R(s) B(s) 消去B(s) 和E(s)，得
C(s) = G(s)[ R(s) H(s)C(s)]
12
C (s) R(s)
G (s) 1 G (s)H (s)
上式称为闭环传递函数，是反馈连接的等效传递函数。
R(s)
+
B(s)
E(s)
G(s)
C(s)
G(s)：前向通道传函
(s)
Kf
3
控制系统结构图及其等效转换
U (s) R I(s)
0 2
1 c
i dt R i
2
1 1
R I (s)
1 1
1 Cs
I (s )
2
由 (1) 式有
I1(s) + I(s)
+ I (s) 2
对 (2)式变换 1 I1 ( s ) [U i ( s ) U 0 ( s )] R
对(4)式变换 I 2 ( s) R1CsI1 ( s)
G7
解 : 将分支点 A移至B处
G6 G1 G2
-
-
G3 G4 G5
G4
G7 得系统的闭环传递函数为
G1G2 G3G4 (S ) 1 + G1G2G3G4 G7 + G3G4G5 + G2 G3G6
另外亦可把B点后移或者相加点后移
X1(s) G1(s)
X3(s) G2(s)
X2(s)
结论：二环节串联传递函数等于二传函之积。 推广：N环节串联，传递函数等于N个环节传 函之积。
G(s) G1 (s)G2 (s)G n (s)
2、并联连接的传递函数
X3(s) G1(s) + X2(s)
X1(s)
+
G2(s) X4(s)
X 2 (s) X 3 ( s) + X 4 ( s) G(s) G1 ( s) + G2 ( s) X1 (s) X 1 ( s)
+ UI(s) U0(s)
1/R I1(s) I2(s) Cs
R1 I1(s)
对(3)式有
I(s)
R2
U0(s)
Ui(s) U0(s) -
I1(s)
自动控制原理结构图及等效变换.概要
G1G2 1 G1G2 H
输出量为： G1G2 C ( s) R( s) 1 G1G2 H
上式中，G1 (s)G2 (s) 称为前向通道传递函数，前向通道指从输入 端到输出端沿信号传送方向的通道。前向通道和反馈通道的乘 积称为开环传递函数 G1 (s)G2 (s) H (s) 。含义是主反馈通道断开时 从输入信号到反馈信号B( s)之间的传递函数。
Y ( s)
N ( s) G( s)
Saturday, January 12, 2019
8
信号相加点的移动和互换
把相加点从环节的输出端移到输入端：
X 1 ( s)
X 2 ( s)
G (s)
Y ( s)
X 1 ( s)
X 2 ( s)
N (s)
G (s)
Y ( s)
N ( s) ? Y ( s) X 1 ( s)G ( s) X 2 ( s), Y ( s) X 1 ( s)G ( s) X 2 ( s) N ( s)G ( s), 1 N ( s) G (s)
u g ( s ) ue ( s )
u f ( s)
K1
u1 ( s)
K 2 (s 1)
u2 ( s )
K3
ua ( s )
Ku TaTm s Tm s 1
-
( s )
Kf
在结构图中，不仅能反映系统的组成和信号流向，还能表 示信号传递过程中的数学关系。系统结构图也是系统的数学模 型，是复域的数学模型。
Saturday, January 12, 2019
9
信号分支点的移动和互换
②信号分支点的移动： 分支点从环节的输入端移到输出端
自动控制原理控制系统的结构图
H(s)G2(s)
自动控制原理控制系统的结构图
G4 (s)
R(s) G1(s)
G2 (s)
G4 (s)
R(s)
G1(s)
G2 (s)
+ -
G3 (s) C (s) ①
H(s)G2(s)
+
-
G3 (s)
C(s) ②
H(s)G2(s)
R(s) G 1(s)G 2(s)G 4(s)
G3(s)
C(s)
1G2(s)G3(s)H(s)
本题特点：具有引出点、综合交叉点的多回路结构。 解题思路：消除交叉连接，由内向外逐步化简。 解题方法一
自动控制原理控制系统的结构图
自动控制原理控制系统的结构图
自动控制原理控制系统的结构图
解题方法二
自动控制原理控制系统的结构图
结构图化简步骤小结：
◎结构图中有交叉联系，应运用移动规则，首 先将交叉消除，化为无交叉的多回路结构。
N( s )
被控 对象
+ E( s)
++
C(s)
R( s )
G1 ( s )
G2 (s)
B( s )
反馈信号
H( s )
(5)误差传递函数 假设N(s)=0
C(s)
C(s) G(s) R(s) 1H(s)G(s)
误差信号E(s)与输入信号R(s)之比
将 C (s)E(s)G (s) 代入上式，消去G(s)即得：
（5）引出点的移动（前移、后移）
引出点前移
R(s) G(s)
分支点（引出点）前移
C(s) C(s)
引出点后移
R(s)
G(s)
R(s)
(自动控制原理)2.4控制系统的结构图及其等效变换
实例二：复杂控制系统的等效变换
总结词
通过等效变换简化复杂控制系统的结构图，便于分析。
详细描述
以一个包含多个回路和元件的液压控制系统为例，介绍如何 通过等效变换简化其结构图。通过合并、化简等步骤，将复 杂的结构图简化为易于分析的形式，以便更好地理解系统的 工作原理和控制性能。
实例三：实际应用中的控制系统等效变换
控制系统的性能指标
总结词
控制系统的性能指标是用来评估控制系统性能优劣的一系列参数。常见的性能指标包括稳定性、快速 性、准确性等。
详细描述
稳定性是指控制系统在受到扰动后能够恢复到原来的平衡状态的能力。快速性是指控制系统对于输入 信号的响应速度。准确性是指控制系统对于输入信号的跟踪精度。这些性能指标可以通过数学分析和 实验测试等方法进行评估。
不断调整和完善结 构图，确保其准确 反映系统的工作原 理。
结构图的基本元件及其作用
控制器
根据设定值与实际值的偏差， 计算出控制量并输出给执行器。
被控对象
需要被控制的设备或系统，如 温度、压力、流量等。
传感器
用于检测被控对象的参数变化， 并将检测到的信号转换为电信 号或数字信号输出。
执行器
根据控制器输出的控制量，驱 动被控对象进行相应的动作或 调节。
课程背景
自动控制原理是自动化专业的一门核心课程，主要介绍控制系统的基本原理、分 析和设计方法。
本节内容是该课程的重要章节之一，通过学习结构图及其等效变换，学生可以深 入理解控制系统的组成和动态行为，为后续章节的学习打下基础。
02 控制系统的基本概念
控制系统的定义
总结词
控制系统的定义是指通过一定的控制装置，对被控对象施加控制作用，从而使 被控对象的输出量按照预期的规律变化的过程。
自动控制原理02结构图及其等效变换
e)
R( s )
G 1 G 2 G3G 4 C (s) 1 G 1 G 2 G3G 4 G 2 G3 H 1 G3G 4 H 2
f)
2.3 控制系统的结构图及等效变换
2.3.4 系统传递函数
典型闭环控制系统
N (s)
R( s )
E ( s)
G1 (s)
结构图。
2.3.2 结构图的建立
例2-7 RLC电路网络的结构图
解： U (s) U (s) U (s) U (s) i R L 0
U R ( s) RI ( s)
U L ( s) LsI ( s)
{
I ( s)
U i ( s) U 0 ( s ) U R ( s ) U L ( s )
C 传输到 ( s)
单位反馈： H ( s) 1 开环传递函数：
G( s) H ( s)
2.3.3 结构图的等效变换和简化
（4）比较点的移动
R1 (s)
G(s)
R2 ( s )
a)
C (s)
R2 ( s )
R1 (s)
G(s)
C (s)
1/ G(s)
b)
R1 (s)
R2 ( s )
a)
G(s)
C (s) G(s) ( s) R( s) 1 G ( s) H ( s )
2.3.3 结构图的等效变换和简化
反馈连接中的术语：
R( s)
E (s)
G (s)
H (s)
C (s)
B( s)
前向通道：信号从 R( 传输到 s) 反馈通道：信号从
的通道 C ( s) 的通道 R( s )
R(s)
R( s )
G 1 G 2 G3G 4 C (s) 1 G 1 G 2 G3G 4 G 2 G3 H 1 G3G 4 H 2
f)
2.3 控制系统的结构图及等效变换
2.3.4 系统传递函数
典型闭环控制系统
N (s)
R( s )
E ( s)
G1 (s)
结构图。
2.3.2 结构图的建立
例2-7 RLC电路网络的结构图
解： U (s) U (s) U (s) U (s) i R L 0
U R ( s) RI ( s)
U L ( s) LsI ( s)
{
I ( s)
U i ( s) U 0 ( s ) U R ( s ) U L ( s )
C 传输到 ( s)
单位反馈： H ( s) 1 开环传递函数：
G( s) H ( s)
2.3.3 结构图的等效变换和简化
（4）比较点的移动
R1 (s)
G(s)
R2 ( s )
a)
C (s)
R2 ( s )
R1 (s)
G(s)
C (s)
1/ G(s)
b)
R1 (s)
R2 ( s )
a)
G(s)
C (s) G(s) ( s) R( s) 1 G ( s) H ( s )
2.3.3 结构图的等效变换和简化
反馈连接中的术语：
R( s)
E (s)
G (s)
H (s)
C (s)
B( s)
前向通道：信号从 R( 传输到 s) 反馈通道：信号从
的通道 C ( s) 的通道 R( s )
R(s)
系统的结构图及其等效变换
控制系统的结构图及其等效变换项目内容学习目的掌握结构图的化简方法。
重点熟练掌握结构图化简求取传递函数的方法。
难点典型结构变换、结构图化简方法的灵活应用。
结构图的组成和绘制结构图的等效变换→求系统传递函数一结构图的组成和绘制系统的结构图是表示系统各元件特性、系统结构和信号流向的图示方法。
定义：将方块图中各时间域中的变量用其拉氏变换代替，各方框中元件的名称换成各元件的传递函数,这时方框图就变成了动态结构图，简称结构图，即传递函数的几何表达形式。
组成(1)信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁边标有信号的时间函数或象函数。
一条信号线上的信号处处相同。
X(s)(2)引出点:表示信号引出或测量的位置，同一位置引出的信号大小和性质完全相同。
(3)比较点(综合点、相加点)：表示对两个以上的信号进行加减运算，加号常省略,减号必须标出。
G(s)X(s)Y(s)(4)方框：表示对信号进行的数学变换，方框内的函数为元件或系统的传递函数。
结构图的绘制R C i （a ）i u ou 一阶RC 网络例1画出RC 电路的结构图。
解：利用复阻抗的概念及元件特性可得每一元件的输入量和输出量之间的关系如下：()()()(1)i o U s U s I s R -=()()(2)o I s U s sC =R ：C ：绘制每一元件的结构图，并把相同变量连接起来，得到系统的结构图。
1/sC U i (s)U o (s)-U o (s)I (s)1/R RC i （a ）i u ou 1/sc例2：绘制两级RC 网络的结构图。
r U cU 11sC 21sC 1R 2R 1I 2I 1U111112112222()()()1()[()()]()()()1()()r C C U s U s I s R U s I s I s sC U s U s I s R U s I s sC -⎧=⎪⎪⎪=-⋅⎪⎪⎨-⎪=⎪⎪⎪=⋅⎪⎩r U cU 11sC 21sC 1R 2R 1I 2I 1U 解：利用复阻抗的概念及元件特性可得每一元件的输入量和输出量之间的关系如下：111112112222()()()1()[()()]()()()1()()r C C U s U s I s R U s I s I s sC U s U s I s R U s I s sC -⎧=⎪⎪⎪=-⋅⎪⎪⎨-⎪=⎪⎪⎪=⋅⎪⎩1/R 11/sC 11/R 21/sC 2U C (s)U r (s)U 1(s)I 1(s)I 2(s)--U 1(s)-U C (s)绘制每一元件的结构图，并把相同变量连接起来，得到系统的结构图。
自动控制理论结构图
22
2.4 线性系统的结构图
结构图的等效变换和简化
复杂系统的化简:
串联、并联和反馈连接;层层嵌套
例2.8
R
G1
G2
G3
G4
Y
G1−1G4−1
G1−1G4−1
R
G1G2
G3G4 Y R
G1G2 1+ G1G2
G3G4 Y 1+ G3G4
23
2.4 线性系统的结构图
结构图的等效变换和简化
复杂系统的化简:
G3 Y (s) R(s)
H
G1 +1 G2
G2G3 Y (s) 1+ G2G3H
(a)
(b)
R(s) (G1 + G2 )G3 Y (s)
1+ G2G3H
20
2.4 线性系统的结构图
结构图的等效变换和简化
复杂系统的化简:
串联、并联和反馈连接;层层嵌套
例2.6
方法2: 2后移至3
G1(s)
R(s) 1
+2 -
G2(s)
+3
4 G3(s)
Y(s)
R
H(s)
G1
+
+G2
Y G3 G2H
图2-17 输入补偿型复合控制系统结构图
G(s) = Y (s) = (G1 + G2 )G3
R(s) 1+ G2G3H
21
2.4 线性系统的结构图
结构图的等效变换和简化
例2.7 两输入单输出系统结构图
扰动 D(s)
La J m
d
2ω m (t)
dt 2
+
自动控制原理 动态结构图及变换
U s (s)
Ka Ua (s)
系统各元部件的动态结构图(4)
e (s) r (s) c (s)
M m (s) CmIa (s)
U s (s) Kse (s)
U a (s) KaU s (s) Ua (s) Ra Ia (s) LasIa (s)
Eb (s)
Eb (s) Kbsm (s)
二、动态结构图的基本连接形式
1. 串联连接
X(s) G1(s)
Y(s) G2(s)
方框与方框通过信号线相连，前一个方框的输 出作为后一个方框的输入，这种形式的连接称 为串联连接。
2. 并联连接
G1(s)
X(s)
－ Y(s)
＋
G2(s)
两个或两个以上的方框，具有同一个输入信号，并 以各方框输出信号的代数和作为输出信号，这种形
式的连接称为并联连接。
3. 反馈连接
R(s)
－
C(s) G(s)
H(s)
一个方框的输出信号输入到另一个方框后，得 到的输出再返回到这个方框的输入端，构成输 入信号的一部分。这种连接形式称为反馈连接。
三、系统动态结构图的构成
• 构成原则：
按照动态结构图的基本连接形式，构 成系统的各个环节，连接成系统的动 态结构图。
Ua (s) Ra Ia (s) LasIa (s) Eb (s)
Js2 m (s) M m fsm (s)
c
(s)
1
i
m
(s)
r (s)
e (s)
c (s)
系统各元部件的动态结构图(2)
e (s) r (s) c (s) Us (s) Kse (s)
Ua (s) KaU s (s) Ua (s) Ra Ia (s) LasIa (s)
结构图及其等效变换
输入变量
传递函数G(s)
输出变量
方块内要填写元件或者环节的传递函数，方块的输出变 量等于方块的输入变量与与传递函数的乘积。
2012-03-06
第三节 控制系统的结构图及其等效变换
3
2）信号线：用带有箭头的有向直线表示，箭头方向表示信号 传递的方向，在信号线旁要标注信号时间函数或者像函数。
x(t )
ug ue+ u1
-
+
功率
u u 2 放大器 a
ω Mc
负载
uf
测速发电机
比较环节：
ue(s) = ug (s) − u f (s)
− u g (s) ue (s) u f (s)
运放Ⅰ：
u1 ( s) ue (s)
=
K1,
ue (s) K1 u1(s)
2012-03-06
第三节 控制系统的结构图及其等效变换
2012-03-06
第三节 控制系统的结构图及其等效变换
11
二、结构图的等效变换：
结结构构图图的的等等效效变变换换
[定义]：在结构图上进行数学方程的运算。 [类型]：①环节的合并；
--串联 --并联 --反馈连接 ②信号分支点移动或相加点的移动。
[变换原则]：变换前、后，环节的数学关系保持不变(即前向 通道的传递函数乘积不变,回路的传递函数保持不变,或者说变 换前、后有关部分的输入量、输出量之间的关系保持不变)。
u i = R i1 + u c1
uc1 = R i2 + uo
i1
−
i2
=
C
d u c1 dt
i2
=
C
duc2 dt
U i (s) = RI1(s) + U c1(s) U c1(s) = RI2 (s) + U o (s) I1(s) − I2 (s) = CsU c1(s) I2 (s) = CsU c2 (s)
自动控制原理
1 C2s
C ( s)
(a)
39
(b)
方块图 消除局部反馈回路
2－3
R(s)
+ _
1 R1C1s + 1
1 R2C2s + 1
C (s)
R1C2 s
(b)
40
2－3 方块图
（C） 消除主反馈回路
R( s)
1 R1C1R2C2 s 2 + ( R1C1 + R2C2 + R1C2 ) s + 1
G(s) Q(s) 1/G(s)
23
综合点之间的移动
X(s) R(s)
±
X(s) C(s) R(s)
± ±
Y(s) ±
C(s)
Y(s)
24
4.综合点之间的移动 4.综合点之间的移动
结论： 结论：
X(s) R(s)
±
X(s) C(s) R(s)
± ±
Y(s) ±
C(s)
Y(s)
结论：多个相邻的综合点可以随意交换位置。 结论：多个相邻的综合点可以随意交换位置。
反馈结构图
R(s) B(s) ±
E(s)
C(s)
G(s) H(s)
C(s) = ?
9
3.
反馈结构的等效变换
等效变换证明推导
C (s) = G(s)E (s) B(s) = C ( s)H ( s) E ( s ) = R( s) ± B( s) 消去中间变量 E ( s ), B ( s )得 G(s) C (s) = R( s) 1 m G ( s)H ( s)
两个串联的方框可以 合并为一个方框， 合并为一个方框，合 并后方框的传递函数 等于两个方框传递函 数的乘积。 数的乘积。G1(Leabharlann )G2(s)R(s)
自动控制原理2.4 结构图的等效变换及简化计算
Pk—从R(s)到C(s)的第k条前向通道增益 △k —第k条前向通道的余子式
在△中，去掉与第k条前向通 道相接触的回路对应的项后
剩余的部分。
求法: 去掉第k条前向通路后所求的△ 用梅森公式求上例信号流图对应的传函。
南京工业职业技术学院机械工程学院——自动控制原理
梅森公式例1
GG44((ss))
R(s)
注：比较点和引出点之间不能换位。 3. 通过在被变换的支路上乘或除某个传函来保持等效。 4. 根据环节方框的连接方式（串联、并联和反馈）进行简化
计算。
南京工业职业技术学院机械工程学院——自动控制原理
结构图三种连接形式及其计算
串联
G1
G2
G1 G2
n
G(s) Gi (s) i 1
并联 G1 G2
反馈 G1
G5
R –
X1 G1
– G2 X2 –
G3 X3
G4
C
X3
G6
G7
南京工业职业技术学院机械工程学院——自动控制原理
G8 G5
R – G1 X1
X2 – G2
–
X3
G3
G4
C
X3 G6
G7
（2）求传函。用梅逊公式：
1 G1G2G3G4G7 G1G2G3G4G8 G2G3G6 G3G4G5
R(s)
-
G4
A
G1
-
B
G2
H1
G3 H2
C C(s)
P1 G1G2G3 1 1
P2 G1G4 2 1
C(S) P(S) P11 P22
P11 P22
R(S)
1 (L1 L2 L3 L4 L5 )
在△中，去掉与第k条前向通 道相接触的回路对应的项后
剩余的部分。
求法: 去掉第k条前向通路后所求的△ 用梅森公式求上例信号流图对应的传函。
南京工业职业技术学院机械工程学院——自动控制原理
梅森公式例1
GG44((ss))
R(s)
注：比较点和引出点之间不能换位。 3. 通过在被变换的支路上乘或除某个传函来保持等效。 4. 根据环节方框的连接方式（串联、并联和反馈）进行简化
计算。
南京工业职业技术学院机械工程学院——自动控制原理
结构图三种连接形式及其计算
串联
G1
G2
G1 G2
n
G(s) Gi (s) i 1
并联 G1 G2
反馈 G1
G5
R –
X1 G1
– G2 X2 –
G3 X3
G4
C
X3
G6
G7
南京工业职业技术学院机械工程学院——自动控制原理
G8 G5
R – G1 X1
X2 – G2
–
X3
G3
G4
C
X3 G6
G7
（2）求传函。用梅逊公式：
1 G1G2G3G4G7 G1G2G3G4G8 G2G3G6 G3G4G5
R(s)
-
G4
A
G1
-
B
G2
H1
G3 H2
C C(s)
P1 G1G2G3 1 1
P2 G1G4 2 1
C(S) P(S) P11 P22
P11 P22
R(S)
1 (L1 L2 L3 L4 L5 )
控制系统的结构图及其等效变换
Y (s)
前移 R1(s) G(s) Y (s)
注：
R2 (s)
R1 ( s )
Y (s)
G(s)
1/G(s) R2 (s)
相加点进入和出去的信号量纲必须相同，否则不能加减。
b引出点（信号由某一点分开）
分支点分出信号，数值相同
R(s) 后移
G(s)
Y (s)
R(s)
R(s) G(s)
Y (s) R(s)
4.比较点（求和点、综合点） 1.用符号“ ”及相应的信号箭头表示 2.箭头前方的“+”或“-”表示加上此信号 或减去此信号
! 注意量纲：相同量纲的物理量
例：二阶RC电气网络
结构图的等效变换和简化
➢系统的结构图通过等效变换和简化后可以方便、快速 地求取闭环系统的传递函数或系统输出量的响应。
➢等效变换和简化的过程对应于消去中间变量求系统传
信号流图的绘制 1. 根据微分方程绘制信号流图 2. 根据方框图绘制信号流图
1. 根据微分方程绘制信号流图
i
A
取Ui(s)、I1(s)、UA(s)、I2(s)、 Uo (s)作为信号流图的节点 Ui(s)、Uo(s)分别为输入及输出节点
2. 根据方框图绘制信号流图
方块图转换为信号流 图
信号流图的等效变换法则
•支路增益——支路传输定量地表明变量从支路一端沿箭头方 向传送到另一端的函数关系。用标在支路旁边的传递函数 “G”表示支路传输。
2.
通路
沿支路箭头方向穿过各相 连支路的路径。
前向通路 从源节点到阱节点的通路上通过任何节点 不多于一次的通路。前向通路上各支路增益之 乘积，称前向通路总增益，一般用pk表示。
信号流图梅森公式
自动控制原理(数学模型)精选全文完整版
t 0
s
证明：由微分定理 df (t) estdt s F (s) f (0)
0 dt
lim df (t) estdt lim s F (s) f (0)
s 0 dt
s
左 df (t) limestdt 0 0 dt s
lim
s
s F(s)
f (0 )
0
f
二、非线性系统微分方程的线性化
例5 已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。
y( x ) E0 cos[x(t )]
解. 在工作点(x0, y0)处展开泰勒级数
y( x)
y(x0)
y( x0 )( x
x0 )
1 2!
y( x0 )( x
x0 )2
取一次近似，且令
y(x) y(x) y(x0) E 0 sin x0 ( x x0 )
1
s(s a)( s b)
f
lim
s0
s
ss
1
as
b
1 ab
例12
Fs
s2
ω ω2
f sinωt t
lim s
s0
s2
ω ω2
0
3 用拉氏变换方法解微分方程
系统微分方程
y(t) a1 y(t) a2 y(t) 1(t)
y(0) y(0) 0
L变换
(s2
a1s
a2 )Y (s)
0
1 1
1 1 2 j
2j
s
j
s
j
2j
s2
2
s2
2
2 拉氏变换的几个重要定理
（1）线性性质 La f1(t) b f2(t) a F1(s) b F2(s)
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u R1
i1
u R1 R1
ur
i2
C
duR1 dt
uc iR2 (i1 i2 )R2
R1
R2
uc
结构图（续）
第二章 数学模型
U R1 (s) U r (s) U c (s) 1
I1 (s) R1 U R1 (s)
I 2 (s) CSU R1 (s) I(s) I1(s) I2(s) U c (s) R2 I (s)
-
(s)
Kf
三、结构图的等效变换：
第二章 数学模型
建立结构图的目的是求系统传递函数，对系统性能
进行分析。所以对于复杂的结构图就需要进行运算
和变换，设法将其化为一个等效的方框，其中的数
学表达式即为总传递函数。这一步骤相当于对方程
消元。
R
C
G
总传递函数
等效原则：
变换前后，输入输出总的数学关系应保持不变
Uc (s)
则
1
U ( s)
I(s)) 1
I(s)
R
R
及U c (s)
1 Cs
I(s)
(3)
I(s)
1 Uc (s) Cs
结构图（续）
第二章 数学模型
1．定义：由具有一定函数关系组成的、并标明信号 传递方向的系统方框图称为动态结构图。
2．组成：4个基本单元。
①信号线：带箭头的直线，表示信号传递的方向，
线上标注信号所对应的变量，信号传递
具有单向性。 X
②引出点：信号引出或测量的位置，从同一信号线
上取出的信号数值和
x
性质完全相同。
x
结构图（续）
第二章 数学模型
③比较点：表示两个或两个以上信号在该点相加减，
运算符号必须表明，一般正号可省略。
X
X Y
u1 i1
1 C1
i i2
i1dt
uR2 u1 uc
i2
1 R2
u R2
uc
1 C2
i2dt
U R1 (s) U r (s) U1 (s)
1
I(s)
R1
U R1 (s)
I
1
(
s
)
I(s)
I 2 (s)
u1 (s)
第二章 数学模型
§2-4 结构图及其等效变换
利用动态结构图既能方便地求传递函数，又能形 象直观地表明动态信号在系统中的传递过程。它是 一种数学模型，可以进行代数运算和等效变换，是 求取传递函数的有利工具。
一．基本概念：
R
以RC 网络为例：
ur Ri uc
uc
1 C
idt
ur
离
R2
ur
C1
放
大
C2
uc
器
第二章 数学模型
例3、前面列微分方程时的速度控制系统。
U1 (s) K1Ue (s) K1[U g (s) U f (s)]
U2 (s) K2 (s 1)U1(s)
Ua (s) K3U2 (s)
U f (s) K f (s)
(s)
TaTm
s
Ku 2 Tm
s
U 1
a
(s)
K m (Ta s 1) TaTm s 2 Tm s
1
M
c
(s)
速度控制系统（续）
第二章 数学模型
Ug
-
K1
uf
Mc
K m (Ta S 1) TaTm S 2 Tm S 1
U2 K 2 (s 1)
Ua K3
Kmu
TaTm S 2 Tm S 1
可见：后一级网络作为前一级网络的负载，对前级
网络的电流i1产生影响，这就是负载效应。因此不
能简单的用两个单独网络的结构图的串联来表示。
两个RC网络的串联（续）
第二章 数学模型
但是若在两级网络之间接一个ri很大而r0很小的隔离
放大器就可以。此时放大器的ri很大，负载效应已消
除，使后级不影响前级。
隔
R1
Y
④函数方框：表示输入、输出信号之间的动态传递 关系，方框的输出信号等于方框的输 入信号与方框中G(s)的乘积。
R
C
G
结构图（续）
如RC网络：
带箭头的线
函数方框
第二章 数学模型
Ur (s)
比较点
U(s) 1 I(s) 1 Uc (s)
R
Cs
Uc (s)
引出点
二、结构图的建立：
第二章 数学模型
例2、 两个RC网络的串联。
i
R1
i2 R2
i1
ur
C1
u1
C2
第二章 数学模型
uc
Ur (s)
1 I1(s) 1 U1(s)
R1
U1(s)
C1s
1 I2(s) 1 Uc (s)
R2
C2s
Uc (s)
对吗？
两个RC网络的串联（续）
第二章 数学模型
u
R1
ur
u1
i
1 R1
u R1
Ur -
1
R1
I1
I2 CS
Uc R2
第二种方法：
U
R1
Ur
Uc
1
I1
R1 U R1
Ur
U R1
1
-
R1
第二章 数学模型
I2
CsU R1
R1CsI1
I I1 I2
U c R2 I
I1
I2
R1CS
R2
Uc
可见：一个系统或元件的结构图不是唯一的 。
iC
uc
结构图（续）
第二章 数学模型
即ur uc
uc 1
C
Ri idt
Ur (s)
U(s) 1 I(s) 1 Uc (s)
R
Cs
Uc (s)
U r (s) U c (s) RI(s)
Ur (s) U(s)
令U (s) U r (s) U c (s) (1)
第二章 数学模型
（一）串联：
R
U
C
G1
G2
C
G2
G2G1 R， G
C R
G1G2
串联后总传函等于各环节的传函之乘积
若有 n 个环节串联，则有
n
G G1 G2 G3 Gn Gi i 1
（二）并联：
第二章 数学模型
G1
C1
R
C
G2
C2
C C1 C2 G1 R G2 R (G1 G2 )R
1 C1S
I1(s)
U
R2
(s)
U1
(s)
U
c
(s)
1
I 2 (s)
R2
U R2 (s)
U c (s)
1 C2S
I 2 (s)
两个RC网络的串联（续）
第二章 数学模型
Ur (s)
1 I(s)
1 U1(s)
R1
I1(s) C1s
1
1 Uc(s)
R2 I2(s) C2 s
1．建立控制系统各元部件的微分方程（分清输 入、输出，负载效应）。
2．对上述微分方程进行拉氏变换，并做出各元 件的结构图。
3．按照系统中各变量的传递顺序，依次将各单 元结构图连接起来，其输入在左，输出在右。
结构图（续）
第二章 数学模型
例1．如图RC网络。
i2 C
解：第一种方法：
i
i1
ur
uc