高中数学破题致胜方法双曲线中焦点三角形的周长问题

今天我们研究双曲线中焦点三角形的周长问题。12PF F 由两焦点和双曲线上一点形成，我们把这种三角形叫焦点三角形. 求焦点三角形的周长时，通常会利用双曲线的第一定义.

先看例题：

例:椭圆y 249＋x 224＝1与双曲线y 2－x 224＝1有公共点P ，则P 与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为( )

解：由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F 1(0,5)和F 2(0，－5)，又由椭圆的定义可得 1214PF PF ＋＝

又1210F F ＝

因此P 与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为24。

整理：

已知双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)，其焦点为F 1、F 2，过F 1作直线交双曲线同一支于A 、B 两点，且|AB |＝m ，则△ABF 2的周长是4a ＋2m

简要证明：由双曲线的定义知，

|AF2|－|AF1|＝2a，(1)

|BF2|－|BF1|＝2a，(2)

又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝m，(3)

∴由(1)，(2)，(3)得|AF2|＋|BF2|＝4 a+m.

故△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4 a+2m.

再看一个例题，加深印象

例:已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是()

A．16 B．18 C．21 D．26

解：如图所示，由双曲线的定义知，|AF2|－|AF1|＝8，(1)

|BF2|－|BF1|＝8，(2)

又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝5，(3)

∴由(1)，(2)，(3)得|AF2|＋|BF2|＝21.

故△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝26.

答案 D

总结：

1.利用双曲线的第一定义，双曲线上点到两个焦点的距离之差的绝对值是长轴长。

2.过双曲线一个焦点F 1的弦交双曲线同一支于A 、B 两点，与另一个焦点F 2构成的三角形周长为定值。

练习：

1.如果12,F F 分别是双曲线19

162

2=-y x 的左、右焦点，AB 是双曲线左支上过点1F 的弦，且||6AB =，则2ABF ∆的周长是 ．(28)

2.若12,F F 分别是双曲线22

x y 1m 7

-=的左、右焦点，AB 是双曲线左支上过点1F 的弦，且||4=AB ，2ABF ∆的周长是20，则m=( ).