检验的两类错误概率计算例题讲课教案
优选剖析假设检验的两类错误并举例说明ppt(共18张PPT)
是单侧检验，弃真错误的概率则为 α/2。 出现两类错误的概率计算
命题 2：真实的总体参数（μ）与假设的总体参数（μ0）之间的差异（△μ）越小， 犯β 错误的概率越பைடு நூலகம்。
β错误的概率的计算
• 犯β错误的概率的计算是比较复杂的，由于β错误的 出现原因是属于逻辑上的，所以在总体参数不知道 的情况下是无法计算它出现概率的大小的。
这样我们就可以在总体均值为 870 元和 880元两种情况下， 分别作出两条正态分布曲线 （A线和 B 线） ，见下图。
样本随机抽样调查，人均收入的调查结 如果是单侧检验，弃真错误的概率则为 α/2。
命题 2：真实的总体参数（μ）与假设的总体参数（μ0）之间的差异（△μ）越小， 犯β 错误的概率越大。 例子：一个公司有员工3000 人（研究的总体） ，为了检验公司员工工资统计报表的真实性，研究者作了 50 人的大样本随机抽样调查，人均收入的
出现两类错误的概率计算
• α 错误是由实际推断原理引起的，即 结果表明，如果总体的真值为 870 元，而虚无假设为880元的话，那么，平均而言每100 次抽样中，将约有8次把真实情况当作880 元被接受，即犯
“小概率事件不会发生”的假定所引起 β错误的概率大小是。
在假设检验时，根据检验结果做出的判断，即拒绝H0或不拒绝H0并不是100%的正确，可能发生两种错误 这就是 α 错误出现的原因。
在很多个样本平均数。也就是说，由于小概率事件的
出现，我们把本来真实的原假设拒绝了。这就是 α
错误出现的原因。
β 错误出现原因
• 第二个问题是，统计检验的逻辑犯了从结论推断前 提的错误。命题 B 是由命题 A 经演绎推论出来的， 或写作符号 A→B，命题 C 是我们在检验中所依据
概率论与数理统计教案第八章
例8为比较新老品种的肥料对作物的效用有无显著差别，选用了各方面条件差不多的10个地块种上此作物.随机选用其中5块施上新肥料，而剩下的5块施上老肥料．等到收获时观察到施新肥的地块，平均年产333(单位：千斤)，样本方差为32，施老肥的地块平均年产330，样本方差为40．假设作物产量服从正态分布，检验新肥是否比老肥效用上有显著提高（显著性水平 ）．
点面朝上
1
2
3
4
5
6
出现次数
23
26
21
20
15
15
在 水平下，请问，这颗骰子是否是均匀的
例2在某细纱机上进行断点率测定，测验锭子总数为440，测得断头次数记录如下表：
每锭断头数
0
1
2
34Βιβλιοθήκη 5678
锭数（实测）
269
112
38
19
3
1
0
0
3
试问在显著性水平 下能否认为锭子的断头数服从泊松分布
例3某高校研究在校学生的体重，现随机抽取了100位学生，测得他们的体重（单位：kg）为
检验参数
原假设与备择假设
检验统计量
拒绝域
方差
已知
;
当 时，
或
;
;
未知
;
当 时，
或
;
;
3、两个正态总体均值差的假设检验问题可汇总如下表
检验参数
抽样分布
检验统计量
拒绝域
均值差
已知
;
当 时，
;
;
未知
;
当 时，
;
;
4、两个正态总体方差比的假设检验问题可汇总如下表
类型II错误及功效与抽样检验
类型 II 错误及功效与抽样检验1. 引言在统计学中，抽样检验是一种通过对样本数据进行分析来进行统计推断的方法。
抽样检验可用来验证假设，并确定一个事件是否发生的概率。
在进行抽样检验时，我们常常关注两种类型的错误：类型 I 错误和类型 II 错误。
本文将重点介绍类型 II 错误及其功效与抽样检验的关系。
2. 类型 II 错误的定义类型 II 错误是指在进行抽样检验时，未能拒绝一个错误的零假设的概率。
换句话说，类型 II 错误意味着我们未能发现一个真实的效果或差异。
类型 II 错误的概率通常用β 表示。
3. 增加功效以减少类型 II 错误为了减小类型 II 错误的概率，我们可以增加检验的功效。
检验的功效是指在一个真实效应存在时，正确地拒绝零假设的概率。
功效通常用 1- β 表示，其中β 是类型 II 错误的概率。
如何增加功效呢？以下是一些常用的方法：3.1 增加样本容量增加样本容量可以提高抽样检验的功效。
较大的样本容量意味着更接近总体情况的样本数据。
通过增加样本容量，我们可以更准确地估计总体的特征，并从而提高检验的功效。
3.2 减小显著性水平显著性水平（α）指的是在进行抽样检验时拒绝零假设的标准。
通常情况下，显著性水平取值为 0.05 或 0.01。
在一定程度上，减小显著性水平有助于减少类型 I 错误的概率，但也会增加类型 II 错误的概率。
因此，适当地选择显著性水平可以平衡两种错误的概率，提高抽样检验的功效。
3.3 增加效应大小效应大小是指总体之间的差异或关系的程度。
较大的效应大小意味着通过抽样检验更容易检测到这种差异。
因此，我们可以通过增加效应大小来提高检验的功效。
3.4 选择合适的检验方法选择合适的统计检验方法也可以影响抽样检验的功效。
不同的检验方法对不同类型的数据和假设有不同的适用性。
因此，选择合适的检验方法可以提高检验的功效。
4. 抽样检验的步骤进行抽样检验时，一般需要按照以下步骤进行：4.1 建立假设首先，我们需要建立一个原假设（零假设）和一个备择假设。
检验的两类错误概率计算例题
在二项分布的概率计算上有困难， 注：在二项分布的概率计算上有困难，这里可以利用二项分布的累积概率函数 进行计算： 进行计算。当然，也可以利用一些统计软件， 表进行计算。当然，也可以利用一些统计软件，例如用 EXCEL 进行计算：
7∑Ci =0来自i 200.2 i 0.8 20−i “=BINOMDIST(7,20,0.2,1)”=0.967857
检验的两类错误概率计算例题
例题 1． ．
解：
例题 2 设 X 1 , X 2 ,⋯ , X 20 是二点分布 B(1, p) 的样本，记 T = ∑ X i ，对检验问题
i =1 20
H 0 ： p = 0.2 〈——〉 H 1 ： p = 0.4 ，
取拒绝域为 W = {T ≥ 8} ，求该检验犯两类错误的概率。
如上图操作，再点击“确定” 即得： ， 如上图操作，再点击“确定” 即得：0.967857
7
（2）当 H 0 不真时， p = 0.4 ，这时 T = ∑ X i ~ B (20 , 0.4) ，该检验犯第二
i =1
20
类错误（即取伪错误）的概率为
i PH 0不真 {接受H 0 } = Pp = 0.4 {T < 8} = ∑ C 20 0.4 i 0.6 20−i ≈ 0.4159 i =0 7
解：
（1）当 H 0 为真时， p = 0.2 ，这时 T = ∑ X i ~ B (20 , 0.2) ，该检验犯第一
i =1
20
类错误（即拒真错误）的概率为
Pp =0.2 {T ≥ 8} = ∑ C 0.2 0.8
i =8 i 20 i
20
20 −i
i = 1 − ∑ C 20 0.2 i 0.8 20−i ≈ 1 − 0.9679 = 0.0321 i =0
《概率(第二课时)》教案
《概率（第二课时）》教案结知能演练提升一、能力提升1.掷一枚有正反面的质地均匀的硬币,下列说法正确的是()A.正面一定朝上B.反面一定朝上C.正面比反面朝上的概率大D.正面和反面朝上的概率都是0.52.某校九年级(1)班50名学生中有20名团员,他们都积极报名参加学校运动会的志愿者活动.根据要求,该班从团员中随机抽取1名参加,则该班团员京京被抽到的概率是()A.150B.12C.120D.253.李老师准备在班内开展“道德”“心理”“安全”三场专题教育讲座,若三场讲座随机安排,则“心理”专题讲座被安排在第一场的概率为()A.16B.14C.13D.124.(2023·山东东营中考)剪纸是中国最古老的民间艺术之一,先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录.小文购买了以“剪纸图案”为主题的5张书签,他想送给好朋友小乐一张.小文将书签背面朝上(背面完全相同),让小乐从中随机抽取一张,则小乐抽到的书签图案既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是()A.45B.35C.25D.155.从-1,1,2三个数中任取一个,作为一次函数y=kx+3中的k值,则所得一次函数中y随x的增大而增大的概率是.6.一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动,并随机停留在某块地砖上.每块地砖的大小、质地完全相同,则该小球停留在黑色区域的概率是.7.在一个不透明的袋子里装有大小和质地都相同的3个白色乒乓球和若干个黄色乒乓球,若从这个袋子里随机摸出一个乒乓球,恰好是黄色的概率为710,则袋子内共有乒乓球个.8.在▱ABCD中,AC,BD是它的两条对角线,现有以下四个关系式:①AB=BC,②AC=BD,③AC⊥BD,④AB⊥BC,从中任取一个作为条件,即可推出▱ABCD是菱形的概率为.9.在一个不透明的口袋中装有除颜色外其他都相同的红球和黄球共10个,其中6个红球.从口袋中任意摸出一个球,请问:(1)“摸出的球是白球”是什么事件?它的概率是多少?(2)“摸出的球是黄球”是什么事件?它的概率是多少?(3)“摸出的球是红球或黄球”是什么事件?它的概率是多少?10.一个不透明口袋中放有290个涂有红、黑、白三种颜色的质地相同的小球.已知红球的个数是黑球个数的2倍多40,从袋中任取一个球是白球的概率是129.(1)求袋中红球的个数;(2)求从袋中任取一个球是黑球的概率.★11.如图,一个被等分成4个扇形的圆形转盘,其中3个扇形分别标有数字2,5,6,指针的位置固定,转动转盘后任其自由停止,其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个扇形的交线时,重新转动转盘).(1)转动这个转盘,转盘自由停止后,求指针指向没有数字的扇形的概率;(2)请在4,7,8,9这4个数字中选出一个数字填在没有数字的扇形内,使得分别转动转盘2次,转盘自由停止后指针所指扇形的数字和分别为奇数与偶数的概率相等,并说明理由.二、创新应用★12.某超市开展购物摸奖活动,规则为:购物时每消费20元可获得一次摸奖机会,每次摸奖时,购物者从标有数字1,2,3,4,5的5个小球(小球之间只有号码不同)中摸出一球,若摸到的号码是2就中奖,奖品为一包抽纸.(1)摸奖一次,得到一包抽纸的概率是多少?得不到抽纸的概率是多少?(2)一次,小聪购买了100元钱的物品,前4次摸奖都没有摸中,他想:“第5次摸奖我一定能摸中.”你同意他的想法吗?说说你的想法.知能演练·提升一、能力提升1.D2.C3.C一共有3种可能出现的结果,其中第一场是“心理”的只有1种,所以若三场讲座随机安排,则“心理”专题讲座被安排在第一场的概率为13.4.C∵第2张和第4张书签图案既是轴对称图形又是中心对称图形,∴小乐抽到的书签图案既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为25.故选C.5.23-1,1,2三个数中有两个数使y随x的增大而增大,故所求概率为23.6.387.108.129.解 (1)“摸出的球是白球”是不可能事件,它的概率为0.(2)“摸出的球是黄球”是随机事件,它的概率为25.(3)“摸出的球是红球或黄球”是必然事件,它的概率为1.10.解 (1)∵P (从袋中任取一个球是白球)=129,∴袋中白球的个数为290×129=10. 设袋中黑球的个数为x ,则袋中红球的个数为(2x+40),根据题意,得(2x+40)+x+10=290,解得x=80,∴2x+40=200.答:袋中红球的个数为200.(2)∵P (从袋中任取一个球是黑球)=80290=829,∴从袋中任取一个球是黑球的概率为829. 11.解 (1)指针指向没有数字的扇形的概率为14.(2)选数字7或9.已知三个扇形区域的数字有2个偶数,1个奇数,要达到题目的要求,没有数字的扇形内必须填奇数,所以应选数字7或9.二、创新应用12.解 (1)每次摸奖时,有5种情况,只有摸到的号码是2才中奖,所以得到一包抽纸的概率是15,得不到抽纸的概率是45.(2)不同意,因为小聪第5次得到一包抽纸的概率仍是15,所以他第5次不一定中奖.。
概率统计20 假设检验可能产生的两类错误
小概率事件在一次试验中几乎不可能发生
假设检验可能产生的两类错误
第一类错误 弃真
原假设Ｈ0 本来是正确的，而小概率 事件发生了，于是否定了Ｈ0
引例： 完全有可能次品率的确满足 p ≤ 0.01（200件 产品中次品不超过2件），但仍然抽中了次 品：A 发生。
= P{ A | H0}: 犯第一类错误的概率
P( A |
Ai
)
C5 200i C5 200
i 0,1, 2
件 竟 然
P(
A)
P(
A
|
A2
)
C5 198
/
C5 200
0.95
发
生
P( A) 1 P( A) 0.05
了
假设检验的基本思想
“反证法”
为了检验一个“假设”是否成立，就先假定这 个“假设”成立，而看由此会产生的后果：
第二届四川高校青年教师教学竞赛
《概率统计 II》
假设检验可能产生的 两类错误
(Two Types of Errors in Hypothesis Testing)
2014年7月
姓名：
学校：
问题的提出
某厂有一批产品共200件，须检验合格才能 出厂。按国家标准，次品率不得超过0.01， 今从产品中任取5件，发现这5件中有次品， 问这批产品能否出厂？
假设检验可能产生的两类错误
第二类错误 纳伪
原假设Ｈ0 本来不真，而经检验，接受 了Ｈ0
引例： 完全有可能次品率p超过了 0.01（200件产 品中次品大于2件），但抽了5次都没抽到
次品：A 发生。
β ：犯第二类错误的概率
显著性检验
N-P准则(课堂PPT)
由于样本时随机的， 进行检验时可能犯
两类错误，其一是当
H
为真时，却拒绝
0
H
，
0
称为第一类错误， 其概率为
() P { x W }, 0 .
其二是当
H
为假时，却接受
0
H
，
0
称为第二类
错误，其概率为
8
( ) P { x W } 1 P { x W } , 1 .
定义8.1 一个检验的功效(Power)定义为当 H 0假
n 拒绝域为 W {x ： x c } 。
24
注意这个例子的MPT仅与水平 有关，而与
备择假设中 1的具体取值无关，只要 1 0。
作为课后练习，试求原假设不变而备择假设
改为H 1： 10时的MPT。
例8.2设 X 1 ,X 2 , ,X n 是P 来 o分 i自 ss布 o
样本，试求检验问题 H 0 ： 1 ， H 1 ： 1 ( 0 1 1 )
计算minomial两类错误功效和功效函数由于样本时随机的进行检验时可能犯两类错误其一是当为真时却拒绝称为第一类错误其概率为其二是当为假时却接受称为第二类错误其概率为定义81一个检验的功效power定义为当时拒绝的概率的不同取值这个函数称为功效函数
第八讲 假设检验
一、基本概念 二、Neyman-Pearson 引理 三、一致最优势检验
15
对于检验问题(1)， 似然比为
L(x) p(x,1), p(x,0)
规定：当 p ( x ,0 ) 0 ,p ( x ,1 ) 0 时 L ( x ) ， ,
当 p ( x ,0 ) p ( x ,1 ) 0 时 L ( x ) 0 ， .
下面的N-P引理不但彻底解决了检验问题(1) 的 MPT的存在问题， 而且还给出了构造MPT检 验的方法。 虽然这个引理仅针对检验问题(1)，
第二类错误概率
6.1.5 计算第二类错误的概率下面我们说明如何计算在总体均值假设检验中发生第二类错误的概率。
假设有关电池使用小时数均值的原假设和备择假设为H0：μ≥120和H1：μ＜120。
如果拒绝H0，则决定因这批货物使用小时数的均值小于规格所要求的120小时而将其退回供应商。
如果不能拒绝H0，则决定接收这批货物。
假定进行假设检验时所使用的显著性水平α＝0.05，检验统计量为：，则假设检验的拒绝法则为：如果U＜－1.645，则拒绝H0假定选取36节电池组成一个样本，由前面的检验中我们已知总体的标准差σ＝12小时，则拒绝法则表明，当时，拒绝H0。
上式中关于x的解表明，当时，拒绝H0，当时，我们将做出接收这批货物的决策。
利用这些信息，我们就可以计算与发生第二类错误相联系的概率了。
首先，当货物均值的真值小于120小时而我们却做出接受H0：μ≥120的决定时，我们就犯了第二类错误。
因而，为了计算发生第二类错误的概率，我们必须选择一个小于120小时的μ值。
例如，如果假定电池寿命的均值μ=112小时，则我们认为该批货物的质量差。
当μ＝112确实是真却接受了H0：μ≥120时，犯第二类错误的概率有多大呢？当μ=112时，样本均值不小于116.71的概率。
图6-2 当均值μ=112时，的抽样分布图6-2给出了当均值μ=112时，的抽样分布，其上侧阴影部分的面积为≥116.71的概率。
根据图6-2，计算得由标准正态概率分布表可知，当U＝2.36时，μ＝112，β= 0.0091。
对其他小于120的μ值，可以重复该计算过程，给出对于每一个μ值相应发生第二类错误的概率。
例如，假定电池使用寿命的均值为μ＝115小时。
由于当时，我们接受H0，所以μ＝115时计算U值如下：查标准正态概率分布表可得，当U＝0.86，真值μ=115时，发生第二类错误的概率β=0.1949。
6.1.6 对总体均值进行假设检验时样本容量的确定假定是对总体均值进行假设检验，检验中使用者事先指定显著性水平，以确定发生第一类错误的概率。
假设检验中,增大样本容量,可以使犯两类错误的概率同时减小
假设检验中,增大样本容量,可以使犯两类错误的概率同时减
小
答：在检验中，增大样本容量可以使犯两类错误的概率同时减小。
假设检验是指以某种概率决定统计推断的结果，而样本容量是指样本的数量。
增大样本容量可以使犯两类错误的概率同时减小，原因有以下几点：首先，增大样本容量可以提高统计推断的准确性。
由于样本容量的增加，样本的分布更具备代表性，它们可以更好地反映总体分布，从而提高统计推断的准确性。
其次，样本容量的增加可以提高检验总体均值的能力。
样本容量越大，样本均值和总体均值的差距越小，从而可以更准确地检验总体均值的结论。
最后，增大样本容量可以减小假设检验中犯两类错误的概率。
样本容量越大，假设检验结果更具有统计学意义。
因此，可以减小犯两类错误的概率，即可以减小拒绝原假设的错误概率和接受原假设的错误概率。
总之，增大样本容量可以使犯两类错误的概率同时减小，从而提高统计推断的准确性。
因此，样本容量的增大会带来更为准确的结果，从而提升统计推断的可靠性和精确性，更有利于解决实际问题。
同时，增大样本容量也有助于提高研究的统计学意义，从而使研究结果更有可信度。
解概率题错误类型及根源分析
解概率题错误类型及根源分析孟冠竹高中数学新教材增加了概率内容，而新增内容在每年的高考中都有所侧重。
本文试图就同学们易犯错误类型作些总结，供同学们参考。
类型一：“非等可能”与“等可能”混同例1.掷两枚骰子，求事件A 为出现的点数之和等于3的概率。
错解：掷两枚骰子出现的点数之和的可能数值为{}23412，，，…，，事件A 的结果只有3种，故P A ()=111。
分析：公式P A A ()=事件的基本事件数基本事件的总数，仅当所述的试验结果是等可能时才成立，而取数值2和3不是等可能的。
2只有这样情况（1，1）才出现，而3有两种情况（1，2）、（2，1）可出现，其他的情况可类推。
正解：掷两枚骰子可能出现的情况：（1，1），（1，2），…，（1，6），（2，1），（2，2），…，（2，6），…，（6，1），（6，2），…，（6，6），基本事件总数为6636⨯=。
在这些结果中，事件A 只有两种结果（1，2），（2，1）。
故P A ()==236118。
类型二：“互斥”与“独立”混同例2.甲投篮命中率为0.8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？错解：设“甲恰好投中2次”为事件A ，“乙恰好投中2次”为事件B ，则两人都恰好投中2次为事件A+B 。
故P A B P A P B C C ()()().....+=+=⨯+⨯=080207030825232232分析：本题错解的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑。
将两人都恰好投中2次理解为“甲恰好投中2次”与“乙恰好投中2次”的和。
正解：设“甲恰好投中2次”为事件A ，“乙恰好投中2次”为事件B ，则两人都恰好投中2次为事件AB 。
故P AB P A P B C C ()()().....=⨯=⨯⨯⨯≈080207030169232232例3.某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第1声时被接的概率为0.1，响第2声时被接的概率为0.3，响第3声时被接的概率为0.4，响第4声时被接的概率为0.1，那么电话在响前4声内被接的概率是多少？错解：设电话响第1声时被接的概率为：P A ().101=； 电话响第2声时被接的概率为：P A ().203=； 电话响第3声时被接的概率为：P A ().304=；电话响第4声时被接的概率为：P A ().401= 所以电话在响前4声内被接的概率是：P P A P A P A P A =()()()()1234···= 0103040100012.....⨯⨯⨯=。
(课件)概率论与数理统计：假设检验的两类错误
H1 : 该药物有效 H1 : 产量提高
课程小结
1、假设检验的两类错误：
• 第一类错误——“弃真”：
• 第二类错误——“取伪”：
2、选取原假设的原则：
• 保护原假设 • 原假设设为维持原状
思考题
某橡胶的伸长率X ~ N(, 2) , 现改进橡胶配方，对改进配方 后的橡胶取样分析，测得其伸长率如下
• 犯两类错误的概率:
P(犯第一类错误) P(拒绝H0 | H0为真) P(犯第二类错误) P(接受H0 | H0为假)
在样本容量n固定的情况下，两类错误不能同时减小。
• 如何控制两类错误的概率？
➢ 先控制犯第一类错误的概率较小，再控制犯第二类 错误的概率。
➢ 结果：犯“弃真”的错误是很难，但是犯“取伪”的 错误可能较为容易。
二、设置原假设的原则：
1.保护原假设： 例如： ①假设A：新药有某种毒副作用 ②假设B：新药无某种毒副作用
再例如：在司法应用中“疑罪从无” ——把“无罪”作为原假设
二、设置原假设的原则：
2.原假设为维持现状：
原假设常设置为“无效果”“无改进”“无差异”等。
例如：
H 0 : 该药物无效 H 0 : 产量没有提高
0.56 0.53 0.55 0.55 0.58 0.56 0.57 0.57 0.54 已知改进配方前后橡胶伸长率的方差不变，问改进配方后橡胶的平均
伸长率有无显著变化。 0.05
针对上面的问题如何进行假设？
谢谢聆听！
Q :假设检验会犯错误吗？
假设检验的依据： 的两类错误：
• 第一类错误:“弃真” 若 H0 成立，但是检验统计量的值落入拒绝域，从而做出否定原 假设的结论。
• 第二类错误:“取伪” 若 H0 不成立，但是检验统计量的值落入接受域，从而做出接受 原假设的结论。
假设检验的两类错误.ppt
谢谢观看
X0 n
u0.05
1.645
否定域为W : u u0.05 =1.645
代入 σ=2, n=25, 并由样本值计算得统计量U的实测值:
u=3.125>1.645
落入否定域
故拒绝H0 , 即认为这批燃料率较以往生产的有显著的提高。
例2: 某织物强力指标X的均值 μ0=21公斤. 改进工艺后生产一批织物, 今从中取30件,
If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
。2020年11月8日星期日2020/11/82020/11/82020/11/8
• 15、会当凌绝顶，一览众山小。2020年11月2020/11/82020/11/82020/11/811/8/2020
• 16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2020/11/82020/11/8November 8, 2020
•
THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2020/11/82020/11/82020/11/82020/11/8
假设检验的两类错误
实际情况
决定
H0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ真
H0不真
数理统计
拒绝H0 第一类错误
正确
接受H0
正确
第二类错误
犯两类错误的概率: P{拒绝H0|H0为真}=α,
P{接受H0|H0不真}=β.
显著性水平 α为犯第一类错误(Type I error)的概率; β为犯第二类错误(Type II error)的概率.
学生易错点剖析——列举法求概率教案
学生易错点剖析——列举法求概率教案一、课程背景概率论是高中数学中的一门重要课程，也是复赛中的重要考点。
在学概率的过程中，许多学生存在着一些易错点，例如，在列举法求概率时容易遗漏或重复，进而影响计算结果。
因此，在教授这一知识点时，需要针对学生存在的这些问题进行剖析，制定相应的教学策略，引导学生顺利掌握概率计算方法。
二、教学目标1.了解列举法的定义和基本概念，掌握使用列举法进行概率计算的原理和方法；2.能够准确运用列举法计算各种概率问题，包括全排列、选排列、组合等；3.掌握解决实际问题的方法，培养运用数学方法解决实际问题的能力。
三、教学过程第一步：引入1.课堂开始时，教师可以通过一些小游戏或实际问题引入本课程内容，让学生对列举法求概率的应用场景有更深入的认知。
例如：有一个有标号的框，里面有5只球，分别编号为1、2、3、4、5，你现在要从框里选3只球，求选出的三只球编号之和为偶数的概率。
2.教师可以简要介绍列举法的定义和基本概念，使学生对这一概率计算方法有初步了解。
第二步：案例分析1.在介绍完基本概念后，教师可以给学生提供一些列举法的例题，并引导学生运用列举法的方法进行求解。
例如：假设一个班级里有20个人，其中12个人会弹吉他，8个人会弹钢琴。
求至少会弹一种乐器的人数，以及这些人中既会弹吉他又会弹钢琴的人数。
解题思路：从班级中选出会弹吉他的人数，再从剩下的人中选出会弹钢琴的人数。
两个条件没有关联，因此可以分开考虑。
根据乘法原理，两个事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率之积。
因此，可以使用全排列的方法进行计算。
至少会弹一种乐器的人数：用整体减去不会弹任何一种乐器的人数，即$20-8-12+0=17$。
既会弹吉他又会弹钢琴的人数：由于两个条件是互不影响的，因此可以分别使用乘法原理计算会弹吉他和会弹钢琴的人数，即$12\times8=96$。
2.在例题中，教师应重点强调全排列、选排列和组合的区别，同时引导学生掌握列举法的基本方法和技巧。
假设检验问题的两类错误和 p 值
假设检验16.2假设检验问题的两类错误和p 值假设检验两类错误原假设成立原假设不成立接受√第二类错误（受伪）拒绝第一类错误（拒真）√第一类错误即为显著性水平()()W X P H H P ∈==αθ为真拒绝00|，第二类错误的概率表达为()()W X P H H P ∈==βθ为真接受10|，1Θ∈θ。
**********************************************************假设检验中，两类错误的概率不能同时减小，二者相互制约。
犯第一类错误的概率越小，则犯第二类错误的概率越大，犯第二类错误的概率越小，则犯第一类错误的概率越大。
原假设和备择假设不能随意互换位置，原假设是人们经验上认为正常的假设。
理想的检验应该是在控制犯第一类错误的基础上,尽量少犯第二类错误。
显著性检验具有“保护原假设”的特点，显著性水平α也不是越小越好。
固定第一类错误的概率，可通过增加样本量降低犯第二类错误的概率。
**********************************************************例16.2.1某厂生产一种标准长度35mm的螺钉，实际生产的产品长度服从正态分布()2,3N μ。
做假设检验，样本容量36n =，0:35H μ=，1:35H μ≠，拒绝域为{}:351W x x =->。
(1)犯第一类错误的概率。
(2)μ=36时，犯第二类错误的概率。
解(1)检验统计量X 的分布为~,212X N μ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，第一类错误的概率为{}35135P X αμ=->={}135135P X μ=--≤=351223512X P μ⎧⎫-=--<>=⎨⎬⎩⎭()()()1222220.0455=-Φ+Φ-=-Φ=。
(2)第二类错误的概率为{}35136P X βμ=-≤=()|135136P X μ=-≤-≤=|36403612X P μ⎛⎫ ⎪-=-≤≤= ⎪ ⎪⎝⎭()()()()040410.5=Φ-Φ-=Φ+Φ-=。
假设检验的基本思想和有关概念的教学设计
㊀㊀㊀㊀㊀假设检验的基本思想和有关概念的教学设计假设检验的基本思想和有关概念的教学设计Һ魏满满１㊀李石虎２∗㊀周㊀勤２㊀（１．江苏师范大学科文学院，江苏㊀徐州㊀２２１１１６；２．江苏师范大学数学与统计学院，江苏㊀徐州㊀２２１１１６）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文主要探究了假设检验的基本思想和有关概念的教学设计．首先，通过 女士品茶 的故事引入，提炼出假设检验的基本思想；其次，通过分析项链含金量这一实际案例总结出假设检验的基本步骤，并介绍了假设检验的两类错误和ｐ值的概念；最后，融入思政的元素，丰富了课堂教学内容．ʌ关键词ɔ假设检验；教学设计ʌ基金项目ɔ江苏师范大学课程思政专项研究（ＫＣＳＺＹ１７）；江苏师范大学数学与统计学院思政示范课程（ＸＹＫＣＳＺ０１）一㊁引㊀言概率论与数理统计课程是各个高校理工科的基础必修课，它在理工科及经管类各专业被广泛应用．假设检验是概率论与数理统计中的重要知识点，是统计推断的主要方法之一，在概率统计的理论研究与实际应用中都占有极其重要的地位．２０１９年３月１８日，在学校思想政治理论课教师座谈会上，习近平总书记明确提出［１］：要坚持灌输性和启发性相统一，注重启发性教育，引导学生发现问题㊁分析问题㊁思考问题，在不断启发中让学生水到渠成得出结论．近年来，各大高校都十分重视思政建设，通过教师培训㊁专家讲座㊁示范课程等多种方式来加深教师对课程思政的理解．教师是高校的 第一主角 ，作为专业课教师，也有责任和义务认真挖掘所授课程的 思政元素 ．例如，２０２１年，李晨和陈丽萍［２］在研究概率统计的思政元素时，以概率学者的文化素养和科学治学精神为切入点，通过多个实际案例剖析全概率公式的应用，潜移默化地引入诸多思政元素来激发学生的学习兴趣．受此启发，本文着重从概率论与数理统计课程中 假设检验 这一角度思考，通过教学设计来探索课程思政理念进概率统计课堂的实践方法，目的就是同大家交流如何上好 假设检验 这一知识点的教学课．首先，我们通过 女士品茶 这一广为流传且富有趣味性的故事引入，启发学生思考，从中提炼出假设检验的基本思想．其次，我们通过分析项链含金量这一实际案例总结出假设检验的基本步骤．接着，我们介绍假设检验的两类错误和ｐ值的概念，并介绍假设检验的一些应用．最后，我们融入思政的元素，以我国著名数学家严加安院士的‘悟道诗“为结尾，阐述了概率统计的基本思想，同时激励学生向老一辈科学家学习，树立正确的价值观，从而丰富了课堂教学内容．二㊁教学过程（一）问题引入首先，我们从一个经典故事出发，来体会假设检验的基本思想．例１［３］㊀（女士品茶试验）故事发生在英国剑桥大学，那是２０世纪２０年代，一群大学精英们正在品茶．该茶是由牛奶和茶水混合而成的．在品茶过程中，一位女士宣称：先加入牛奶还是先加入茶，不同的顺序会使茶的口感不同．周围人都认为这位女士简直是在胡言乱语，这是不可能的啊！然而在场的统计学家Ｆｉｓｈｅｒ却对这个话题很感兴趣，他请人端来１０杯调制好的茶让该女士品尝，其中有的是先加的牛奶，有的是先加的茶．结果，这位女士正确地鉴别出每一杯茶的制作顺序．该如何判断该女士是否有鉴别能力呢？Ｆｉｓｈｅｒ的想法：假设该女士没有鉴别能力，这个时候她只能靠猜，从而她猜对的概率为１２．因此，她能同时判断出１０杯茶的概率为２－１０＜０．００１，这个概率非常非常小，仅仅做一次试验是几乎不会发生的，可是，它却发生了！这表明原假设不恰当，应予以拒绝，认为该女士有鉴别能力！假设检验的基本思想：小概率反证法思想．先提出假设，然后设计试验，在原假设成立的条件下计算概率，依据小概率原理来判断是否拒绝原假设．那么多大的概率属于小概率呢？对于不同的问题，会有不同的标准，在统计学中，这个小概率称为显著性水平，常取０．０５或０．０１．接下来，我们就通过生活中的一个实际案例来探索一下假设检验的奥秘．（二）实例分析在生活中，经常会遇到一组数据，我们来看下面的例子．例２［４］㊀质检部门接到投诉后，对某金店进行调查，从标有１８Ｋ的一批项链中抽取２０条，测得其含金量如下：表１㊀某金店项链含金量数据单位：Ｋ１７．６１８．１１７．９１８．３１８．０１７．４１７．５１８．６１７．３１７．８１７．３１７．８１８．１１７．４１７．６１８．０１７．２１８．３１８．３１７．５∗通信作者：李石虎，男，讲师，博士，就职于江苏师范大学，研究方向为概率论与数理统计．联系方式：江苏省徐州市江苏师范大学泉山校区数学与统计学院；电话邮编：２２１１１６；Ｅ－ｍａｉｌ：ｓｈｉｈｕｌｉ＠ｊｓｎｕ．ｅｄｕ．ｃｎ．㊀㊀㊀㊀㊀㊀问：如何判断这批项链有没有达到标准呢？（显著性水平α＝０．０５）分析：观察表１中的数据，我们可以发现：有的含金量大于１８Ｋ，有的含金量小于１８Ｋ，还有的恰好等于１８Ｋ．那么我们能否直接说和标准值１８Ｋ有显著差别呢？根据所学的统计学思想方法，我们已经了解到答案是否定的，因为这里看到的只是样本数据，我们无法直接做出判断．那么应该如何判断呢？我们的思路如下：首先，计算出这２０条项链含金量的平均值为１７．８，它与标准值１８存在０．２的差值．这０．２的差值是由抽样引起的误差，还是有本质的差别？我们利用上述思想来检验一下．令ξ表示这批项链的含金量，由中心极限定理可知ξ ㊃Ｎ（μ，σ２），我们要检验均值是否为μ＝１８，具体步骤如下：１．建立假设．原假设Ｈ０：μ＝１８，表示这批项链符合标准；与之对立的备择假设Ｈ１：μʂ１８，表示这批项链不符合标准．２．在Ｈ０成立时，由Ｆｉｓｈｅｒ定理可知统计量Ｔ＝ ｘ－μＳｎｎｔ（ｎ－１）＝ｔ（１９）．３．由Ｔ分布图像（如图１）可以看出：Ｔ的取值集中在零点附近．这表明：｜Ｔ｜越大，对应的概率就越小．从而存在临界值Ｃ，使得｜Ｔ｜大于或等于Ｃ是一个小概率事件，则Ｃ要满足Ｐ（｜Ｔ｜ȡＣ｜Ｈ０成立）＝α，再由Ｔ分布图像的对称性可知Ｃ＝ｔ０．９７５（１９）ʈ２．０９３．图１㊀Ｔ分布图像从而，当｜Ｔ｜ȡ２．０９３时，非常小的概率事件在此就发生了，只能拒绝原假设Ｈ０．我们将Ｗ＝｛（ξ１，ξ２， ，ξｎ）｜｜Ｔ｜ȡ２．０９３｝这一集合称为拒绝域，如果样本的观测值落到Ｗ中，则原假设应被拒绝．４．代入样本均值和样本标准差进行计算，得到所观测的样本统计量ｔ的值：｜ｔ｜＝｜１７．８－１８｜０．４０３９３２０ʈ２．２１４＞２．０９３，其落到拒绝域Ｗ中，因此原假设被拒绝，故这批项链没有达到标准．为了更直观地理解拒绝域的含义，同学们可以参考Ｔ分布图像．小结㊀本案例利用假设检验思想得出了该金店项链的含金量不符合标准的结论，启发我们对待任何事情都不要抱有侥幸心理，不要弄虚作假，要诚信做人做事，方能赢得大家的信任．项链含金量不达标可能只是使消费者金钱方面的利益受损．试想一下：如果是某大型婴儿奶粉企业检测出质量不达标的产品呢？再或者是婴儿霜经检测含有毒物质呢？抑或是我们服用的某种药物检测出有危害健康的成分呢？这些案例都不是捕风捉影，均上过各大网站热搜，引起了消费者的恐慌．利用假设检验这个工具，有助于我们全面地认识这类事件，既可以让我们避免无谓的损失，又可以帮助我们找到有利的取舍依据．（三）假设检验的基本步骤通过对上述案例的分析，我们可以归纳出求解假设检验的基本步骤：第一步：从要研究的实际问题引入，先提出一个假设，一般称之为原假设，记为Ｈ０，与其对立的假设称为备择假设，记为Ｈ１．例如，在上述案例中，原假设为 这批项链符合标准 ，备择假设为 这批项链不符合标准 ．第二步：依据所研究总体服从的分布，我们来构造合适的检验统计量，并通过所学知识来确定统计量服从的分布．第三步：接下来，我们需要确定检验的拒绝域Ｗ使得Ｐ（（ξ１，ξ２， ，ξｎ）ɪＷ｜Ｈ０成立）ɤα．第四步：根据样本数值计算统计量所对应的观测值．如果计算所得观测值落进了Ｗ中，则说明原假设不当，应予以拒绝，否则原假设不可以被拒绝．（四）假设检验的两类错误在 女士品茶 的例子中，如果该女士本来就没有鉴别能力，但是她运气好，每次都猜对了，这时候我们的推断就出错了．事实上，在假设检验问题中，我们由样本提供的信息来推断总体信息，由于样本只包含总体的一部分信息，这就不可能保证从来不会犯错误．假设检验可能犯的错误有如下两类：（Ⅰ）是否在 拒绝假设Ｈ０ 时用了 小概率原理 ．注意小概率事件并非不可能事件，如果原假设本为真，但由于样本值落进了拒绝区域内而得出 拒绝 的结论，这里犯的错误为弃真错误，通常称为第一类错误，记为α，即Ｐ（拒绝Ｈ０｜Ｈ０为真）＝α．（Ⅱ）反之，如果原假设Ｈ０本来是不成立的，却由于样本值未落进拒绝区域而得出 不能拒绝 的结论．这里的错误是纳伪错误，一般称为第二类错误，记作β，即Ｐ（接受Ｈ０｜Ｈ０不真）＝β．根据检验法则知：当Ｈ０成立时，拒绝Ｈ０的概率小于或等于显著性水平α，但是显著性水平α取得越小越好，因为㊀㊀㊀㊀㊀此时拒绝域也会相应地减小，从而导致犯第二类错误的概率增大．这是一个矛盾的双方，类似于区间估计时的做法，我们需要先固定显著性水平α，再选择合理的检验统计量来适当地减小β的值．下面我们再结合一个实际例子来理解两类错误：在新冠肺炎疫情发生初期，新闻报道中时常会出现 假阳 的检测结果．我们可以从假设检验的两类错误的角度来理解：事实上，任何检验方法都会存在犯错误的可能性，理想的试剂应是 假阴 和 假阳 出现的概率都越小越好，但当样本量有限㊁检测技术没有明显优化提升时，一类错误概率的减少必会导致另一类错误概率的增加，因此处理原则是：人为限定犯第一类错误的概率α，为降低犯第二类错误的概率，我们可以增大样本容量．所以，从统计学的观点看，新闻报道中的 假阴 假阳 患者出现并不奇怪．启发：小概率事件虽然在一次试验中不易发生，但绝非不可能事件，重复次数多了，发生的可能性也就增大了．这说明做任何事情都不要存在投机取巧的心理，俗话说 常在河边走，哪有不湿鞋 勿以恶小而为之，勿以善小而不为 ．反之，再困难的事情，只要我们持之以恒，总是可以成功的，正所谓 锲而不舍，金石为开 ！（五）假设检验的ｐ值可以看出，显著性水平α变小，对应的拒绝域也会变小；当显著性水平α取得足够小时，使得样本值不落在相应的拒绝域中，从而在此显著性水平α下不能拒绝假设Ｈ０．当显著性水平α由上述足够小的值不断增大时，对应的拒绝域也会变大，当显著性水平α大到一定程度时，便可以使样本值落入相应的拒绝域中，从而在此显著性水平α下可以拒绝假设Ｈ０．对于一个确定的样本值，存在一个实数ｐ（０＜ｐ＜１），当显著性水平α＝ｐ时可以拒绝Ｈ０，而当α＜ｐ时原假设Ｈ０不可以被拒绝．可见，ｐ是使依据给定样本数值做出 拒绝Ｈ０ 的最小的那个显著性水平，我们称之为检验的ｐ值．在例２中，我们也可以通过统计软件计算ｔ统计量的值和ｐ值：表２㊀某金店项链含金量检验结果检验值＝１８ｔｄｆｐ值均值差值项链含金量－２．２１４１９０．０３９－０．２００００给定显著性水平α为０．０５，由表２可知ｐ值０．０３９＜０．０５，原假设应被拒绝，认为项链含金量与１８Ｋ之间有显著的统计差异，从而得出 项链不符合标准 的结论．（六）课堂小结与思政本节课我们主要通过 女士品茶 的案例引入假设检验的基本思想，通过分析项链含金量这一实际案例总结出假设检验的基本步骤，也给出了假设检验的两类错误和ｐ值的含义，这为接下来进一步学习不同类型的㊁具体的假设检验打下了必要的基础．假设检验不仅是一种重要的统计方法，更是一种思维方式，告诉我们用数据来说话，理性地看待问题．正因为如此，假设检验在我们的现实生活中有着十分重要的应用．比如，专家利用假设检验，结合临床数据分析不同采样点㊁人群㊁年龄的新冠病毒核酸检测的结果，给有关部门的决策提供参考．假设检验的理论方法不仅被广泛应用于医学检验㊁生物制药等诸多领域，在我们的生产生活，特别是工业产品的质量判断中也有着十分广泛的应用［５］，因为在工厂的实际生产过程中，产品的尺寸总是左右浮动的，存在一定的误差，那么如何判断这些误差是否在允许的范围内？这就要用到假设检验的思想方法．不仅如此，假设检验的理论还可应用于文学研究．例如，东南大学韦博成教授在２００９年［６］利用假设检验的理论方法分析了‘红楼梦“前８０回与后４０回的某些文风差异，得到的结论是 这两部分内容在写作风格方面存在明显的差异 ，给关于‘红楼梦“作者的论断提供了一个强有力的证据．在现实生活中，数据是无处不在的，学习假设检验的思想方法有助于我们正确地挖掘数据背后的规律，做出更客观的判断．如今，我们身处一个大数据时代，通过学习假设检验，更重要的是培养透过现象看本质这一统计思维．这里，调查得来的数据是现象，规律是从数据中探索出来的本质属性．我们需要借助数学模型，并结合统计方法来寻找这其中的规律和随机性，在潜移默化中培养统计思维．正如我国著名的数学家严加安院士在‘悟道诗“中所题：随机非随意，概率破玄机；无序隐有序，统计解迷离．注：课后同学们若想进一步了解统计学的发展历程，可以读一读‘２０世纪统计怎样变革了科学：女士品茶“［７］这一科普著作．ʌ参考文献ɔ［１］习近平主持召开学校思想政治理论课教师座谈会［Ｎ］．新华社，２０１９－０３－１８，２０：５７．［２］李晨，陈丽萍．概率论与数理统计课程教学中思政元素的挖掘与实践［Ｊ］．大学教育，２０２１（９）：１０４－１０６．［３］茆诗松，程依明，濮晓龙．概率论与数理统计教程：第３版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１９．［４］朱元泽，李贤彬．概率论与数理统计［Ｍ］．上海：上海交通大学出版社，２０１５．［５］乔静．假设检验在工业产品质量判断中的应用［Ｊ］．机电信息，２０２０（２７）：１４２－１４３．［６］韦博成．‘红楼梦“前８０回与后４０回某些文风差异的统计分析（两个独立二项总体等价性检验的一个应用）［Ｊ］．应用概率统计，２００９（４）：４４１－４４８．［７］萨尔斯伯格．２０世纪统计怎样变革了科学：女士品茶［Ｍ］．北京：中国统计出版社，２００４．。
教案标题初中数学知识点概率与统计的计算与误差分析
教案标题初中数学知识点概率与统计的计算与误差分析初中数学知识点概率与统计的计算与误差分析概率与统计是数学中的一个重要分支，它涉及到各个领域中的数据分析、预测和决策等方面。
在初中数学中，学生也会初步接触到一些概率与统计的知识点，本文将重点讨论初中数学中关于概率与统计的计算与误差分析。
一、概率计算概率是研究随机现象的可能性的数值度量，它在日常生活中有广泛的应用。
在初中数学中，常见的概率计算问题主要包括以下几种类型：古典概率、几何概率和条件概率。
1. 古典概率计算古典概率是指根据事物的原因和结果之间的关系来计算概率。
例如，掷一枚骰子，求出现奇数的概率。
根据骰子的特性，它有6个面，每个面上的数字是1至6，其中有3个奇数（1、3、5）。
因此，出现奇数的概率为3/6，即1/2。
2. 几何概率计算几何概率是指通过几何图形的性质来计算概率。
例如，抽取一张扑克牌，求抽到红心的概率。
根据扑克牌的特性，一副牌中共有52张牌，其中有13张红心牌。
因此，抽到红心的概率为13/52，即1/4。
3. 条件概率计算条件概率是指在已知某一事件发生的前提下，另一事件发生的概率。
例如，某班级中有30名学生，其中有15名男生和15名女生。
求从该班级中随机抽取两个学生，两个学生都是男生的概率。
根据已知条件，第一次抽取为男生的概率为15/30，第二次抽取为男生的概率为14/29。
因此，两个学生都是男生的概率为(15/30) * (14/29)。
二、统计误差分析统计误差是指在统计分析中由于随机抽样引起的误差。
统计误差可以分为抽样误差和非抽样误差两种类型。
1. 抽样误差抽样误差是指由于样本的选择不够理想或样本容量过小所引起的误差。
在统计分析中，通常采用抽样的方式来获取样本数据。
如果抽样方法不当或样本容量过小，则可能导致抽样误差的出现。
为了减小抽样误差，可以采用随机抽样、分层抽样等方法来选择样本，并增加样本容量。
2. 非抽样误差非抽样误差是指除抽样误差外的其他误差源所引起的误差。
中级质量资格专业讲义之抽样方案两类风险
抽样⽅案的两类风险在抽样检验中，通过OC曲线可以评价抽样⽅案的判别能⼒，但⼀个抽样⽅案如何影响⽣产⽅和使⽤⽅的利益，可以通过两类风险进⾏具体分析。
1．⽣产⽅风险采⽤抽样检验时，⽣产⽅和使⽤⽅都要冒⼀定的风险。
因为抽样检验是根据⼀定的抽样⽅案从批中抽取样本进⾏检验，根据检验结果及接收准则来判断该批是否接收。
由于样本的随机性，同时它仅是批的⼀部分，通常还是很少的⼀部分，所以有可能做出错误的判断。
本来质量好的批，有可能被判为不接收；本来质量差的批，⼜有可能被判为接收。
⽣产⽅风险是指⽣产⽅所承担的批质量合格⽽不被接收的风险，⼜称第⼀类错误的概率，⼀般⽤α表⽰。
〖例3.1-8〗有⼀批产品，批量N＝1000，批中不合格品数D＝1，即批不合格品率为千分之⼀，⽣产⽅和使⽤⽅对这批产品的质量是满意的。
假定采⽤⼀个很简单的抽样⽅案，即只抽⼀个单位产品进⾏检验，如果它是合格品就接收该批；如果它是不合格品就不接收该批。
在抽样检验时，就有可能出现两种情况：第⼀种情况：n=1，d=0，接收该批产品；第⼆种情况：n=1，d=1，不接收该批产品。
例中第⼀种情况抽到的是合格品，根据检验⽅案接收该批产品，这种结果符合⽣产⽅和使⽤⽅的要求；但若恰好抽到批中的不合格品，检验结果就是不接受该批产品。
这对⽣产⽅是完全不利的。
采⽤抽样检验，⽣产⽅就会有这样的风险，在本例中⽣产⽅冒不接收本来合格的批的风险为千分之⼀。
2．使⽤⽅风险使⽤⽅风险是指使⽤⽅所承担的接收质量不合格批的风险，⼜称第⼆类错误的概率，⼀般⽤β表⽰。
〖例3.1-9〗有⼀批产品，批量N＝1000，批中不合格品数D＝500，即批不合格品率为50％，这批产品当然是不合格的。
假定采⽤⼀个保险的抽样⽅案：抽n=500个单位产品进⾏检验，如果样本中没有⼀个不合格品，就接收该批，否则就不接收。
但既使这样，按抽样⽅案，仍有可能因恰巧抽到批中全部500个合格品⽽判为接收。
这种极端情况⼀旦发⽣，当然损害了使⽤⽅的利益。
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检验的两类错误概率
计算例题
检验的两类错误概率计算例题
例题1．
解：
例题2
设2021,,,X X X 是二点分布),1(p B 的样本，记 20
1i i X T ，对检验问题
0H ：2.0 p 〈——〉1H ：4.0 p ，
取拒绝域为}8{ T W ，求该检验犯两类错误的概率。
解：
（1）当0H 为真时，2.0 p ，这时)2.0,20(~20
1B X T i i ，该检验犯第
一类错误（即拒真错误）的概率为
0321.09679.018.02.018
.02.0}8{7
202020
8
2020
2.0 i i i i
i i
i
i p C C T P
（2）当0H 不真时，4.0 p ，这时)4.0,20(~20
1
B X T i i ，该检验犯第
二类错误（即取伪错误）的概率为
4159.06.04.0}8{}{7
020204.000 i i i i
p H C T P H P 接受不真
注：在二项分布的概率计算上有困难，这里可以利用二项分布的累积概率函数表进行计算。
当然，也可以利用一些统计软件，例如用EXCEL 进行计算：
7
2020
8.02.0i i i i
C
“=BINOMDIST(7,20,0.2,1)”=0.967857
如上图操作，再点击“确定”，即得：0.967857。