数学-广东仲元中学2017-2018学年高二下学期期中考试(文)

广东仲元中学2017-2018学年高二下学期期中考试（文）第一部分 选择题(共 60 分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知集合( )A. B. C. D. 2、已知点( )A ．B ．C ．D ．3、集合A={2,3},B={1,2,3},已知点(,),,M x y x A y B ∈∈，则点(,)M x y 落在直线4x y +=上的概率是( ) A ．B ．C ．D ．4、为虚数单位，则=( )A ．B ．C ．D ． 5、函数的部分图象如图所示,则的值分别是( )A ．B ．C ．D ．6、设为等差数列的前项和,,则=( )A ．B ．C ．D ．27、函数()2()=ln 1f x x +的图象大致是( ){}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤= ，则()01，(]02，()1,2(]12，()()1,3,4,1,A B AB -则与向量方向相同的单位向量为3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，23131216i 20151+1i i ⎛⎫ ⎪-⎝⎭i 1-i -1()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<,ωϕ4,3π2,6π-4,6π-2,3π-8、阅读如下程序框图，如果输出i ＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是( )A ．S ＜8B ．S ＜9C ．S ＜10D ．S ＜11 9、一个多面体的三视图如图所示，则多面体的体积是( )A.7B.C. D.10、已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为( ) A.B. C. D.11、不共面的三条定直线，，互相平行，点A 在上，点B 在上，C 、D 两点在上，若CD (定值)，则三棱锥A －BCD 的体积( )A.由Ａ点的变化而变化B.由B 点的变化而变化C.有最大值，无最小值D.为定值47662330>>b a 1C 12222=+b y a x 2C 22221x y a b-=1C 2C 232C 02=±y x 02=±y x 02=±y x 02=±y x 1l 2l 3l 1l 2l 3l a =12、已知函数,若,则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．第二部分 非选择题 (共 90 分)二．填空题：本大题共4小题, 每小题5分, 共20分. 把答案填在答卷的相应位置 13、若曲线在点处的切线平行于轴,则____________.14、某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________．15、若x ,y 满足约束条件 ,则z =3x +y 的最大值为 ．16、已知F 为双曲线22:=1916x y C -的左焦点，,P Q 为C 双曲线上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点(5,0)A 在线段PQ 上，则PQF ∆的周长为__________．三、解答题：必做大题共5小题，共60分；选做大题二选一，共10分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（本题满分12分）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.(1)求角C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积．18.（本题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：2ln y ax x =-(1,)a x a =20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩质量指标值分组 [75，85) [85，95) [95，105) [105，115) [115，125)频数62638228（I ）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图；（II ）估计这种产品质量指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （III ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？19. （本题满分12分）如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面， （I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（II ）若120ABC ∠= ，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -的体积为63，求该三棱锥的侧面积.20．(本题满分12分）已知点)2,2(P ，圆C :0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. （1）求M 的轨迹方程；（2）当OM OP =时，求l 的方程及POM ∆的面积21.(本题满分12分）设函数()ln xf x e a x =-.（1）讨论y =()f x 的导函数y =()f x '的零点的个数； （2）证明：当0a >时()2ln f x a a a ≥-.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.22、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求12,C C 的极坐标方程. （2）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C M N ∆ 的面积.23、（本小题满分10分）设f(x)＝｜x ＋1｜＋｜x －3｜.(Ⅰ)解不等式f(x)≤3x ＋4；(Ⅱ)若不等式f(x)≥m 的解集为R ，求实数m 的取值范围.参考答案一、选择题： 1、【答案】D2、【答案】A （注意：C 是反向的单位向量）本题除了用向量共线的坐标公式检验，用图形检验也很方便3、【答案】C解：所有情形有六种，满足要求的只有（2，2）和（3，1）故只能选B 4、【答案】C 5、【答案】D解：由图象知函数周期T ＝2＝π， ∴ω＝＝2，把代入解析式，得，即. ∴＋φ＝＋2k π(k ∈Z)，φ＝＋2k π(k ∈Z)． 又，∴φ＝. 故选D ．6、【答案】C7、【答案】A8、【答案】B解：i ＝2，S ＝5；i ＝3，S ＝8；i ＝4，S ＝9，结束．所以填入的条件是“S ＜9”． 9、【答案】D 10、【答案】A 11、【答案】D 12、【答案】D;解：可画出|f (x )|的图象如图所示．当a ＞0时，y ＝ax 与y ＝|f (x )|恒有公共点，所以排除B ，C ； 当a ≤0时，若x ＞0，则|f (x )|≥ax 恒成立． 若x ≤0，则以y ＝ax 与y ＝|－x 2＋2x |相切为界限，由得x 2－(a ＋2)x ＝0. ∵Δ＝(a ＋2)2＝0，∴a ＝－2.11π5π1212⎛⎫- ⎪⎝⎭2ππ5π,212⎛⎫ ⎪⎝⎭5π22sin 212ϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭5πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭5π6π2π3-ππ22ϕ-<<π3-2,2,y ax y x x =⎧⎨=-⎩∴a ∈[－2,0]．故选D. 二、填空题： 13、【答案】14、【答案】6解析：由题意知每天植树的棵数组成一个以2为首项，2为公比的等比数列，所以S n ＝＝2(－1＋2n )≥100，∴2n ≥51，∴n ≥6.15、【答案】4 16、【答案】44 三、解答题：17．解：(1)由题设及余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ，①……2分 BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ．②……4分 由①②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7.……6分19、解：（I ）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD.因为BE ⊥平面ABCD,所以AC ⊥BE,故AC ⊥平面BED.又AC ⊂平面AEC,所以平面AEC ⊥平面BED. ……5分 （II ）设AB=x ，在菱形ABCD 中，又∠ABC=o 120 ， 可得AG=GC=32x ，GB=GD=2x.因为AE ⊥EC,所以在Rt △AEC 中，可的EG=32x . 由BE ⊥平面ABCD,知△EBG 为直角三角形，可得BE=22x . 由已知得，三棱锥E-ACD 的体积E ACD V -=13×12AC·GD·BE=366243x =.故x =2 ……9分 从而可得AE=EC=ED=6.所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与 △ECD 的面积均为5.1221212n (-)-故三棱锥E-ACD 的侧面积为3+25. ……12分20、解：（1）由圆C ：x 2+y 2﹣8y=0，得x 2+（y ﹣4）2=16，∴圆C 的圆心坐标为（0，4），半径为4． 设M （x ，y ），则，．由题意可得：．即x （2﹣x ）+（y ﹣4）（2﹣y ）=0．整理得：（x ﹣1）2+（y ﹣3）2=2． 由于点P 在圆C 内部，∴M 的轨迹方程是（x ﹣1）2+（y ﹣3）2=2．……5分 （2）由（1）知M 的轨迹是以点N （1，3）为圆心，为半径的圆，由于|OP|=|OM|，故O 在线段PM 的垂直平分线上，……7分 又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM ． ∵k ON =3，∴直线l 的斜率为﹣．∴直线PM 的方程为，即x+3y ﹣8=0．……8分则O 到直线l 的距离为．又N 到l 的距离为，……10分∴|PM|==．∴．……12分21、解：（I ）()f x 的定义域为()()0,,(0)x af x e x x'+∞=-> 当a ≤0时，()()0f x f x ''>，没有零点；.……2分当0a >时，因为x e 单调递增，ax-单调递增， 所以()f x '在()0,+∞单调递增，……4分 又()10,af a e '=->不妨取,()0a aae a a bf b e e e==-<：故当a >0时()f x '存在唯一零点. ……6分（II ）由（I ），0,a >可设()f x '在()0,+∞的唯一零点为0x ， 当()00x x ∈，时，()f x '＜0； 当()0x x ∈+∞，时，()f x '＞0. .……8分故()f x 在()00x ，单调递减，在()0x +∞，单调递增， 所以0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为()0f x ..……10分 由于0000000,=xx x a a ae e x x x e-==即：， 所以()()0000000ln ln ln ln 2ln x x a a a af x a a a e ax a a a a a x e x x =-=--=+-≥- 当且仅当01,x =取等号故当0a >时()2ln f x a a a ≥-. ……12分22、解：（I ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=. ……5分（II ）将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得23240ρρ-+=，解得1222,2ρρ==.故122ρρ-=，即2MN =由于2C 的半径为1，所以2C MN ∆的面积为12. ……10分23、解：(Ⅰ)因为所以原不等式等价于22, 1()4, 13,22, 3x x f x x x x -+<-⎧⎪=-⎨⎪->⎩≤≤① 或② 或③，解得①无解，②，③， 因此不等式的解集为..……5分(Ⅱ)由于不等式的解集为，所以,又，即， 所以， 即的取值范围为..……10分12234x x x <-⎧⎨-++⎩≤13434x x -⎧⎨+⎩≤≤≤32234x x x >⎧⎨-+⎩≤03x ≤≤3x >{}0x x ≥()f x m ≥R min ()f x m ≥()|1||3||13|4f x x x x x =++-++-=≥min ()4f x =4m ≤m (],4-∞。