教学案例：高职数学课程案例教学

高职数学课程案例教学
摘要：从高职数学课程教学的目标及高职学生的学情出发，对使用基于社会生活的案例教学的必要性进行分析，对其可行性及实施效果进行论述，提出基于社会生活案例教学的原则，并以实际案例加以说明。

关键词：高职数学；案例教学；社会生活
高职数学教学以强化知识应用为导向，培养学生的应用能力，突出数学知识与实际应用及相关专业内容的契合。

学生在相似的情境中运用数学知识，能顺利实现知识的迁移，缩短教学情境与实际情境的差距。

高职数学教学应始终关注学生的受益，而并非只注重介绍成熟的数学概念、定理、计算方法等。

若教学变成了让学生背诵知识点、公式，学生则只会从应试的角度去关注这门课程，这样学生所掌握的知识很容易被遗忘，这种教学也自然引不起学生的学习兴趣。

目前，一些高职学生对所学专业缺乏兴趣，今后从事的工作也可能与所学专业没有关联。

因此，从教学实际和学生需求出发选择合适的教学方法，能有效提高课堂教学效果，促进学生提高个体素质和职业能力。

在总结教学经验和查阅文献的基础上，笔者认为采用基于社会生活的案例教学法能有效提高学生的学习积极性和探究精神。

社会生活包含公共生活、职业生活和婚姻家庭生活。

学生当前和今后要面对各种生活情境[1]，基于社会生活过程的案例教学是将典型社会生活情境转化为学习情境，在此基础上采用案例教学的模式开展教学活动。

有些教师可能会对基于社会生活的案例教学有所顾虑，担心这种教学模式是以牺牲一些知识点，减
少学习内容及降低教学质量为代价的。

事实上，教学实践证明，采用这种教学模式对于绝大部分知识点来说，不但不会被删除，而且还能将其本质以各种问题的形式呈现出来，甚或还原知识发现的过程。

1基于社会生活案例教学的优势
1.1更好地促进概念意象的形成
“概念意象”由数学教育家韬尔和维纳提出，用来描述与这个概念相关的整个认知结构。

当面对各种形式的数学问题时，学生首先想到的是这个概念的部分意象，而非概念的定义。

概念意象与概念定义之间的关系是双向的，传统的形式化的概念定义教学忽视了概念意象的形成往往基于经验这一点，导致学生在解决问题时遇到困难。

因此，选取恰当的社会生活案例能帮助学生建立完整正确的概念意象，有助于学生掌握概念定义，正确解决各种数学问题。

从案例到意象，再从意象到定义，数学概念实际是由概念的意象和概念的定义两部分组成的，而学生在学习中，常将概念的定义当作概念的全部，而在解决实际问题的过程中，更多依赖于概念的意象。

所以，将概念和现实经验结合起来，让学生在具有丰富现实背景的实例中使用概念，以利于形成完整正确的概念意象，案例教学则是实现这一目标的途径之一[2-3]。

1.2提高主动构建数学知识的能力
英国数学教育家斯根普（RichardR.Skemp）提出了工具性理解和关系性理解这两种既相异又有联系的概念。

工具性理解是一种语义性理解（符号A所指代的事物是什么）或一种程序性理解（一个规则R所指定的每一个步骤是什么，如
何操作）。

关系性理解是进一步对符号意义和替代物本身结构上的认识，获得概念和规律的途径以及规则本身有效性的逻辑依据等。

如果不结合人才培养的目标，高职数学教学易被定位在工具性理解上，因为基于工具性理解出发的教学方式易模仿、好记忆，依据程式化的方法可以很快得出标准答案，适用于应试教育，但不利于未知情境下的知识迁移。

只有在工具性理解的基础上进一步达到关系性理解，才能真正掌握好数学知识，并在恰当的情境下运用它。

案例教学是从学生已有的经验出发，把抽象概念置于特定情境中，让学生主动参与问题的解决，主动构建数学知识，对知识形成过程展开剖析，对数学知识及关联的概念与事物生成较深刻的认识，从而在遇到现实问题时可以找到正确的解决方法[4]。

1.3增强联系解决现实问题的能力张奠宙教授曾指出“在建立一些基本概念时，不要把活泼的数学思想淹没在形式符号的海洋里，而要把它们用各种问题的形式揭露出来”[5]。

通过案例将符号、概念、定理和公式赋予生活和生产实际中的含义，将抽象的数学语言、推理、公式及概念形象化、具体化和应用化，因为这种教学模式不仅仅是让学生简单地掌握概念定义的形式，而是教会学生如何来用数学，培养其探究精神和解决问题的能力，由此获得知识的过程是一种自发性的参与式学习。

高职数学的教学内容应更多强调数学知识的应用性，不强调课程体系的系统性和逻辑严密性，即从过去强调“学科中心”的教学转变到关注学生个体素质和职业能力的发展上。

案例是生活场景或者工作环境的模拟再现，解决案例的过程就是学会如何去解决社会生活问题，使学生清楚地认识到所要学的概念在社会生活、专业课程中的作用和呈现形式，基于社会生活的案例教学缩短了教学情境与实际生活情境之间的距离。

2基于社会生活的高职数学案例教学实践
2.1基于社会生活案例选择的原则
1)目的性。

教学中所用到的案例既要符合教学目标和教学内容的需要，更要从学生的认识水平出发，有利于学生理解知识。

2)悬疑性。

高职学生由于学习主动性不高，加之基础差，普遍对高数不感兴趣，因此，所选取的案例要具有一定的趣味性，直接来源于生活的案例能激发学生探究的热情。

3)代表性和真实性。

这些问题应是学生平时就有所接触但又因太普通而不会深入了解的问题，问题的实际背景容易被学生了解和接受，从而愿意去深入了解。

4)可行性。

案例应该具有现实可操作性，不需要补充过多的预备知识，实施成本低，简单易操作。

2.2基于社会生活案例教学的示例
1)第二重要极限教学案例。

①创设情境。

如：要洗净一件衣服，先用适量的水和洗涤剂将衣服浸泡、揉搓、挤干，但是由于衣服上的水不可能被完全挤干，衣服上仍然会带有含有污物的水。

设衣服上残存有污物m0克，残存的水量为ω千克，还有一桶水A千克，先假设我们把A这千克的水分n次使用，问经过n 次洗涤，衣服上还剩多少污物？如果在用水量不变的情况下洗涤次数无限增加，衣服能够完全洗干净吗？②分析问题。

这是一个人们在日常生活中每天都会遇到但未必会去细想的问题，为讨论方便，把A千克水平均分为n次使用，则每次用水量为An千克，经n次洗涤后，衣服上残存的污物量为mn=m0(1+Anω)n。

第一问到这里已经解决了。

第二问实际上是在用水量不变的前提下求极限：limn →∞m0(1+Anω)n。

③引入新知。

为了求得这个极限式的值，需要引入一个结论
——limn→∞(1+1n)n=e，利用这个结论，可以求得值为eAω，即：洗涤次数无限增加时，污物也不可能完全洗净，同时洗涤次数愈多，费时愈多，衣服也更容易坏，所以凡是要有个“度”。

④探究与拓展。

当取x实数而趋于+∞或-∞时，函数(1+1x)x的极限都存在，且都等于e，即limx→∞(1+1x)x=e。

和学生探讨这一结论在金融学中的连续复利计算、生物学中细胞分裂等大量社会生活及自然现象中的应用，同时指出可以用它来计算一些极限问题。

案例评价：第二重要极限在高职数学教学中一般作为一个现成的结论介绍给学生，然后让学生用这个结论去解计算题，但我们在这里将它与洗衣服这一生活现象相联系，解决了一个生活中的小问题，使学生意识到这一结论在生活中首先是以离散的形式出现的，还原了知识形成的过程，在引入新知部分，运用求这一类极限问题的普遍技巧得出极限值，展示了第二重要极限在实际计算中的作用，知识的引入自然而生动，能激发起学生的探究兴趣，从而培养学生解决问题的能力。

2)函数的单调性与极值教学案例。

①创设情境。

如：一个饲养场每天投入4元用于饲料、设备和人力，预计可使一头重达80kg的生猪每天增加2kg。

现阶段生猪的售价是8元/kg，但是每天会降价0.1元，问该饲养场什么时候出售这样的生猪所获得的纯利润最大？②分析问题。

有了饲养投入，生猪的体重随时间的增长而增长，但生猪售价却随时间增长而降低，只有在最佳的时机出售才能使所获纯利润最大。

根据创设的情境建立出售一头生猪所获得的纯利润Q与时间t的关系的数学模型，得到的目标函数（纯利润）为Q（t）=（8-0.1t）（80+2t）-4t-640，其中t≥0。

问题转化为讨论取t何值时使得Q（t）最大。

③引入新知。

转化问题以后我们发现这是求一元二次函数最大值的问题，由于最大（小）值是在极大（小）值与区
间端点处函数值之间比较大小取得的，因此，这就需要学生掌握如何讨论一个函数的单调区间与极值。

通过介绍极值概念、极值的必要条件、极值的第一充分条件和极值的第二充分条件等准备知识，给出求函数极值点和极值的列表讨论的方法。

④探究与拓展。

通过引入新知可以很快得出，当t=10时，Qmax=20，即10天后出售，可得最大纯利润20元。

学生掌握了求函数极值的方法，就可以用这个方法去讨论一般函数的单调性和极值问题了。

这是一个优化问题，不但猪肉价格如此，其他肉类乃至现在不少人饲养的宠物的销售也可以看作是类似的优化问题。

案例评价：这是一个数学建模的问题，取自姜启源等编的《数学模型（第三版）》，这个问题的特点是问题本身及建模过程都较简单，很容易与正在学习的高等数学知识联系起来。

对于基础较好的学生，还可以引导他们进一步去讨论该模型的敏感性和鲁棒性（强健性），恰好兼顾了数学竞赛的人才选拔和培训。

3结语
高职高数教学要考虑到学生的学情以及高职教育的目标，采取符合他们认知规律的教学模式，帮助他们搭建起联系数学知识与实际问题的桥梁，帮助他们运用高等数学知识解决社会生活中的问题，在解决一个个问题的过程中掌握概念的本质，主动构建数学知识，增强解决实际问题的能力。