数值分析第2章插值法PPT课件
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2.5 Hermite插值多项式——数值分析课件PPT
m1x3 (m1 1)x2 2x 1.
令 m1 = 0，得到二次Hermite插值函数 P2(x) = −x2 + 2x + 1.
解 (2) 扩展牛顿法--用牛顿差商表构造Hermite插值
写成差商表的形式，将带导数的节点X0及其上的函数值重复 一遍，无导数的节点X1不重复，即
x f(x) 一阶
x1 x1
)2
]
y1[(
x
x1
)(
x x1
x0 x0
)2
]
注：我们知道，过 x0, x1 两点的Lagrange插值基函数为
l0 ( x)
x x1 x0 x1
, l1(x)
x x0 x1 x0
.
显然，
l0 (x0 )
x0
1
x1
, l1(x1)
x1
1
x0
.
于是，三次Hermite插值的基函数可表为
(a)设f ( x) C 2n1[a, b], f (2n2) ( x)于(a, b)存在，
( xi [a, b], i 0,1,, n, xi互异) （b）H2n1( x) 为Hermite插值多项式，
则
R2n1( x) f ( x) H 2n1( x)
f ( (2n2) )
(2n 2)!
插值条件:
H H
2n1
2 n1
( (
x x
i i
) )
yi yi
(i 0,1,, n)
(3)
定理1 如果 f ( x) C1[a, b]且已知 f ( x) 函数表及导数表， 则存在唯一次数不超过2n 1 次多项式 H2n1( x) 满足插值条件(3).
计算方法—插值法 (课堂PPT)
7
1 1
2 5
4 25
8 125
aa32
4
35
则，
解方程组得a0=10,a1=5,a2=-10,a3=2 即P3(x)=10+5x-10x2+2x3
当n=20,在109次/秒的计算机上计算需几万年！
.
2020/4/2
12
2.2 拉格朗日插值
2-2 线性插值与抛物插值
Chapter2 插值法
第二章 插 值 法
（ Interpolation） 2.1 引言
2.2 拉格朗日插值
2.3 均差与牛顿插值公式
Chapter2 插值法
2.4 埃尔米特插值
2.5 分段低次插值
2.6 三次样条插值
.
2020/4/2
1
2.1 引言
Chapter2 插值法
表示两个变量x,y内在关系一般由函数式 y=f(x)表达。但在实际问题中的函数是多种多 样的,有下面两种情况：
几何意义:L2(x)为过三点(x0,y0), (x1,y1), (x2,y2)的抛物线。
方法：基函数法，构造基函数l0(x), l1(x), l2(x) (三个二次式)
使L2(x)= y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)满足插值条件。 6 4 4 4 4 4 4 7 4 4 4 4 4 48
.
2020/4/2
15
2.2 拉格朗日插值
Chapter2 插值法
问题的提法： 已知y=f(x)的函数表，x0, x1, x2为互异节
x x0 x1 x2 y y0 y1 y2
点，求一个次数不超过2的多项式 L2(x)=a0+a1x+a2x2 ：L2(x0)=y0, L2(x1)=y1, L2(x2)=y2
数值分析 第2章 插值PPT课件
1
第一部分
整体概述
THE FIRST PART OF THE OVERALL OVERVIEW, PLEASE SUMMARIZE THE CONTENT
2
§1 引 言
一、引例
已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：
深度（M） 466 741 950 1422 1634 水温（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13
定理
对于给定的互异节点 x0 … xn, 满足 插值条件 P n(xi)yi,i0 ,...,n的 n 阶插值 多项式Pn(x)存在且唯一。
插值多项式的构造：
插值多项式的存在唯一性说明，满足插值条件的 多项式存在，并且插值多项式与构造方法无关。
如何构造插值函数才能达到预期的效果呢？
15
一般插值多项式的构造方法
根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如 500米，600米，1000米…）处的水温.
这就是本章要讨论的“插值问题”
3
问题驱动：汽车的刹车距离
司机驾驶汽车时需要根据车速估计汽车的刹 车距离以确保行车安全。
图2.1.1 某车型干燥路况刹车距离示意图
4
美国的某司机培训课程的有如下驾驶规则：正常的驾 驶条件下对车与车之间的距离的要求是每小时10英里的速 率可以允许一辆车的跟随距离。实现这一规则的简便方法 就是 “2秒法则”：这种方法不管车速为多少，后车司机 从前车经过某一标志开始默数“一千零一，一千零二”， 这样用英文读完就是两秒。如果你在默数完这句话前就到 了同一标志处，那么你的车和前面的车靠得太近了。
x0nan x1nan
y0 y1
（2.2.2）
1 a0 xna1 xnnan yn
13
第一部分
整体概述
THE FIRST PART OF THE OVERALL OVERVIEW, PLEASE SUMMARIZE THE CONTENT
2
§1 引 言
一、引例
已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：
深度（M） 466 741 950 1422 1634 水温（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13
定理
对于给定的互异节点 x0 … xn, 满足 插值条件 P n(xi)yi,i0 ,...,n的 n 阶插值 多项式Pn(x)存在且唯一。
插值多项式的构造：
插值多项式的存在唯一性说明，满足插值条件的 多项式存在，并且插值多项式与构造方法无关。
如何构造插值函数才能达到预期的效果呢？
15
一般插值多项式的构造方法
根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如 500米，600米，1000米…）处的水温.
这就是本章要讨论的“插值问题”
3
问题驱动：汽车的刹车距离
司机驾驶汽车时需要根据车速估计汽车的刹 车距离以确保行车安全。
图2.1.1 某车型干燥路况刹车距离示意图
4
美国的某司机培训课程的有如下驾驶规则：正常的驾 驶条件下对车与车之间的距离的要求是每小时10英里的速 率可以允许一辆车的跟随距离。实现这一规则的简便方法 就是 “2秒法则”：这种方法不管车速为多少，后车司机 从前车经过某一标志开始默数“一千零一，一千零二”， 这样用英文读完就是两秒。如果你在默数完这句话前就到 了同一标志处，那么你的车和前面的车靠得太近了。
x0nan x1nan
y0 y1
（2.2.2）
1 a0 xna1 xnnan yn
13
计算方法第二章ppt
当方程组的系数矩阵为非奇异 矩阵（即满秩矩阵）时，高斯 消元法可求得唯一解。
列主元高斯消元法
列主元高斯消元法的 基本思想
在高斯消元法的基础上，每次选取列 中绝对值最大的元素作为主元进行消 元，以避免出现小主元导致的误差放 大问题。
列主元高斯消元法的 步骤
首先选取第一列中绝对值最大的元素 作为主元，通过行交换将其移到第一 行第一列位置，然后进行高斯消元。 在后续的消元过程中，每次均选取当 前列中绝对值最大的元素作为主元进 行消元。
100%
数值解法
通过计算机求解常微分方程的近 似解的方法，主要包括欧拉方法 和龙格-库塔方法等。
80%
离散化与步长
将连续的时间或空间域离散化， 取离散点上的函数值作为近似解 ，步长是相邻离散点间的距离。
欧拉方法
显式欧拉法
一种简单的数值解法，通过前 一步的函数值及其导数来推算 下一步的函数值。
隐式欧拉法
通过求解一个非线性方程来得 到下一步的函数值，具有较高 的精度和稳定性。
改进欧拉法
结合显式欧拉法和隐式欧拉法 的优点，提高算法的精度和效 率。
龙格-库塔方法
龙格-库塔法基本思想
自适应步长龙格-库塔法
通过多步计算并利用泰勒级数展开式， 得到更高精度的近似解。
根据误差估计自动调整步长，实现精 度和计算效率的动态平衡。
标准四阶龙格-库塔法
一种常用的高精度数值解法，具有局 部截断误差为$O(h^5)$的优点。
常微分方程数值解法误差分析
局部截断误差
数值解法在单步计算中所产生的误差，可以通过泰勒级数展开式进行估计。
全局误差
数值解法在整个计算过程中所产生的累积误差，与算法稳定性、步长选择等因素有关。
《数值分析》第二讲插值法PPT课件
1 xn xn2 xnn Vandermonde行列式
即方程组（2）有唯一解 (a0, a1, , an)
所以插值多项式
P (x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n
存在且唯一
第二章：插值
§2.2 Lagrange插值
y
数值分析
1、线性插值
P 即(x)ykx yk k 1 1 x yk k(xxk)
l k ( x k 1 ) 0 ,l k ( x k ) 1 ,l k ( x k 1 ) 0 l k 1 ( x k 1 ) 0 ,l k 1 ( x k ) 0 ,l k 1 ( x k 1 ) 1
lk1(x)(x(k x 1 x xk k))x x ((k 1x k x 1k )1) lk(x)((xx k x xk k 1 1))((x xkxx k k1)1)
第二章：插值
数值分析
3、Lagrange插值多项式
令 L n ( x ) y 0 l 0 ( x ) y 1 l 1 ( x ) y n l n ( x )
其中，基函数
lk (x ) (x ( k x x x 0 ) 0 ) (( x x k x x k k 1 1 ) )x x k ( ( x x k k 1 ) 1 ) (( x x k x n x )n )
因此 P (x ) lk (x )y k lk 1 (x )y k 1
且
P (x k ) y k P (x k 1 ) y k 1
lk(x), lk1(x) 称为一次插值基函数
数值分析
第二章：插值
2、抛物线插值 令
y (xk , yk )
f (x)
lk1(x)(x(k x 1 x xk k))x x ((k 1x k x 1k )1) p( x) (xk1,yk1)
数值分析(第5版)第2章-插值法 ppt课件
x4 94
1(x 5
4)
插值多项式为
1
1
L1( x)
y0l0 ( x) y1l1( x) 2
5
( x 9) 3 ( x 4) 5
2 ( x 9) 3 ( x 4) 1 ( x 6)
5
5
5
所以
7
L1 (7)
13 5
2.6
ppt课件
项式(2-2) 存在且唯一。证毕。
ppt课件
5
第二节 拉格朗日插值
一、基函数
考虑下面最简单`最基本的插值问题。求n 次多项 式 l i(x) (i=0,1, …, n)，使其满足条件
0 , j i li ( xj ) 1, j i ( j 0,1, , n)
故可设
li ( x) A( x x0 )( x xi1 )( x xi1 )( x xn )
15
例2 求过点(1,2), (1,0), (3,6), (4,3)的三次插值多项式。
解 以 x0 1, x1 1, x2 3, x3 4 为节点的基函数
分别为:
l0
(
x)
( x 1)( x 3)( x 4) (1 1)(1 3)(1 4)
Pn(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn (2-2)
则由插值条件式Pn(xi)=yi (i=0,1, ..., n) 可得关于系数 a0 ,a1 , …,an的线性代数方程组
ppt课件
3
a0 a0
a1 x0 a1 x1
第2讲：插值法
i 0
n
为满足条件 Ln ( xk ) yk , (k 0, 1, , n) 的 n 次Lagrange插值多项式，则对任意 x [a , b]
第二章：插值
数值分析
有
f ( n1) ( ) Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) n1 ( x ) (n 1)!
p( x )
sin x
3 2
y
x
2
o
2
第二章：插值
数值分析
1、插值的基本概念
设函数 y f ( x) 在区间 a, b 有定义，且在已知点：
y0 , y1 , , yn a x0 x1 xn b 上的函数值为：
如果存在一个简单函数 y p( x) 使 yi p( xi )
0.330365
解：
第二章：插值
数值分析
f ( n1) ( ) 由 Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) n1 ( x ) (n 1)! sin 得 R1 ( x ) ( x 0.32)( x 0.34) 2
| sin | | 0.3367 0.32 || 0.3367 0.34 | 于是 | R1 (0.3367) | 2 sin0.34 0.0167 0.0033 0.0000091892 34 2
0.330387
f ( n1) ( ) 由 Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) n1 ( x ) (n 1)! sin ~ 得 R1 ( x ) ( x 0.34)( x 0.36) 2
第二章：插值
数值分析
于是
| sin | ~ | R1 (0.3367) | | 0.3367 0.34 || 0.3367 0.36 | 2 sin0.36 0.0033 0.0233 0.0000135431 7 2
n
为满足条件 Ln ( xk ) yk , (k 0, 1, , n) 的 n 次Lagrange插值多项式，则对任意 x [a , b]
第二章：插值
数值分析
有
f ( n1) ( ) Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) n1 ( x ) (n 1)!
p( x )
sin x
3 2
y
x
2
o
2
第二章：插值
数值分析
1、插值的基本概念
设函数 y f ( x) 在区间 a, b 有定义，且在已知点：
y0 , y1 , , yn a x0 x1 xn b 上的函数值为：
如果存在一个简单函数 y p( x) 使 yi p( xi )
0.330365
解：
第二章：插值
数值分析
f ( n1) ( ) 由 Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) n1 ( x ) (n 1)! sin 得 R1 ( x ) ( x 0.32)( x 0.34) 2
| sin | | 0.3367 0.32 || 0.3367 0.34 | 于是 | R1 (0.3367) | 2 sin0.34 0.0167 0.0033 0.0000091892 34 2
0.330387
f ( n1) ( ) 由 Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) n1 ( x ) (n 1)! sin ~ 得 R1 ( x ) ( x 0.34)( x 0.36) 2
第二章：插值
数值分析
于是
| sin | ~ | R1 (0.3367) | | 0.3367 0.34 || 0.3367 0.36 | 2 sin0.36 0.0033 0.0233 0.0000135431 7 2
《数值分析》课件-第2章
（1）
则称ϕ (x)
为
f
(x)
在
Φ
中关于节点
{xi
}n i=0
的一个插值函数。
f (x) ——被插值函数； [a, b] ——插值区间；
{xi
}n i=0
——插值节点；
式（1）——插值条件.
2004-9-9
3
2 . 几何意义、内插法、外插法
M~
=
max{x
i
}n i =0
m~
=
min{x
i
}n i =0
2004-9-9
内插
x ∈[m~, M~ ]
外插 x ∈[a, b] but x ∉[m~, M~ ]
4
3. 多项式插值问题
对于不同的函数族Φ的选择，得到不同的插值 问题
当Φ为一些三角函数的多项式集合时:三角插值; 当Φ为一些有理分式集合时：有理插值； 当Φ为一些多项式集合时：多项式插值
{ } 特别的取 Φ = Pn =∆ span 1, x, x2 ,L, xn , 即
g
(t )
在区间
[a,
b]
上的
n
+
2
个互异零点：
x
、
{xi
}n i=0
当 g(t) 充分光滑时， g (n+1) (t) 在开区间 (a, b) 内至少存在一个零点ξ
g g
(n (n
+1) +1)
(t) =
(ξ ) =
f( 0
n+1)
(t
)
−
(n
+
1)!k
(
x)
⇒
k
(
数值分析第二章PPT
提示已知道
§4 差分与等距节点插值
上节讨论任意分布节点的插值公式，应用时常碰到等距 节点的情形，此时插值公式可简化，为此先介绍差分． 一、差分及其性质
差分的基本性质:
差分表:
k fk ∆
∆2
0 f0
∆f0
1 f1
∆2f0
∆f1
2 f2
∆2f1
∆f2
3 f3
∆2f2
∆f3
┆
4 f4 ┆
┆┆
• 解 x0 = − 1, x1 = 1,
f(0.5)≈H3(0.5) = 3.5625.
例2 给定 f(0) = 1, f(1) = 2, f '(0) = 2, 构造二次插值函数。
• 解 公式法
•
设 f '(1) = m1，有三次Hermite插值公式得，
令 m1 = 0，得到二次Hermite插值函数 H2(x) = −x2 + 2x + 1.
利用
sin 50内0 插L1(通51p8常) 优0于.77外614推。这选里择
而 要计算的 x 所在的区间的
端点，插值效果较好。
sin 50 = 0.7660444…
外推 /* extrapolation */ 的实际误差 0.01001
利用
sin 50 0.76008,
内插 /* interpolation */ 的实际误差 0.00596
二、拉格朗日插值多项式
需要指出…
练习 给定数据表
xi
ห้องสมุดไป่ตู้
01 2
3
yi
0 1 5 14
求三次拉格朗日插值多项式L3(x).
三、插值余项与误差估计
§4 差分与等距节点插值
上节讨论任意分布节点的插值公式，应用时常碰到等距 节点的情形，此时插值公式可简化，为此先介绍差分． 一、差分及其性质
差分的基本性质:
差分表:
k fk ∆
∆2
0 f0
∆f0
1 f1
∆2f0
∆f1
2 f2
∆2f1
∆f2
3 f3
∆2f2
∆f3
┆
4 f4 ┆
┆┆
• 解 x0 = − 1, x1 = 1,
f(0.5)≈H3(0.5) = 3.5625.
例2 给定 f(0) = 1, f(1) = 2, f '(0) = 2, 构造二次插值函数。
• 解 公式法
•
设 f '(1) = m1，有三次Hermite插值公式得，
令 m1 = 0，得到二次Hermite插值函数 H2(x) = −x2 + 2x + 1.
利用
sin 50内0 插L1(通51p8常) 优0于.77外614推。这选里择
而 要计算的 x 所在的区间的
端点，插值效果较好。
sin 50 = 0.7660444…
外推 /* extrapolation */ 的实际误差 0.01001
利用
sin 50 0.76008,
内插 /* interpolation */ 的实际误差 0.00596
二、拉格朗日插值多项式
需要指出…
练习 给定数据表
xi
ห้องสมุดไป่ตู้
01 2
3
yi
0 1 5 14
求三次拉格朗日插值多项式L3(x).
三、插值余项与误差估计
数据插值方法ppt
54.859 55.439 // 57.602 57.766 51.891 36.464
先用 MATLAB 画出水流速散点图。
2024/1/2
差值方法
t=[0 0.921 1.843 2.949 3.871 4.978 5.9 7.006 7.982 8.967 10.954 12.032 12.954 13.875 14.982 15.903 16.826 17.931 19.037 19.959 20.839 22.958 23.88 24.986 25.908]; r=[54.516 42.320 38.085 41.679 33.297 37.814 30.748 38.455 32.122 41.718 73.686 76.434 71.686 60.19 68.333 59.217 52.011 56.626 63.023 54.859 55.439 57.602 57.766 51.891 36.464];
2024/1/2
差值方法
例 1、已知欧洲一个国家的地图，为了算出它的国土 面积，对地图作了如下测量：以由西向东方向为 x 轴，由南向北方向为 y 轴，选择方便的原点，并将 从最西边界点到最东边界点在 x 轴上的区间适当的 分为若干段，在每个分点的 y 方向测出南边界点和北 边界点的 y 坐标 y1 和 y2，这样就得到下表的数据（单 位：mm）。
3、样条插值
这是最常用的插值方法。数学上所说的样条，实质上
是指分段多项式的光滑连接。设有
a x0 x1 xn b
称分段函数 S(x) 为 k 次样条函数,若它满足
(1) S(x) 在每个小区间上是次数不超过 k 次的多项式;
(2) S(x) 在[a,b] 上具有直到 k 1阶的连续导数。 用样条函数作出的插值称为样条插值。工程上广泛采用三
数值分析-课件-第02章插值法1概论
解
制差商表
xi 4.0002 4.0104 4.0233 4.0294
lg xi 0.6020817 0.6031877 0.6045824 0.6052404
一阶差商
二阶差商
0.108431 0.108116 0.107869
-0.0136 -0.0130
根据问题知插值点x=4.01在 x0 与 x1 之间，故可用前三点 x0 , x1, x2 的二次插值多项式计算，即用
4
1, 2
sin3
3 2
分别利用 sin x 的1次、2次 Lagrange 插值计算 sin 50， 并
估计误差。
解： n = 1 分别利用x0, x1 以及 x1, x2 计算
利用
x0 6 , x1 4
L1
(
x)
x /
/ 6
4 /4
1 2
x /
/ 4
6 /6
sin 500
L1
(
5
18
P1 x
y0
y1 x1
y0 x0
x
x0
x x1 x0 x1
y0
x x0 x1 x0
y1
1 i0
li
xyi
l0(x)
l1(x)
2020/11/17
2.6
Numerical Analysis
构造基函数
l
j
(x)
(x x0 )(x (x j x0 )(x j
x1 ) x1 )
一般地，xi 点的 n 阶向前差分
是 yi , yi1,
n yi n1 yi1 n1 yi
, yin 的线性组合。
向后差分
n yi n1 yi n1 yi1
第2章插值法优秀课件
a0 a1xn an xnn yn
（1.4）
由线性代数知，线性方程组的系数行列式（记为V）是n+1阶范德蒙 （Vandermonde）行列式，且
1 x0 x02 x0n
V
1
x1
x12
x1n
n i 1
i 1 j0
xi x j
1
xn
x
2 n
xnn
因 x0, x1, xn 是区间 a,b上的不同点，上式右端乘积中的
A k (x k x 0 ) (x k x k 1 ) 1 x ( k x k 1 ) (x k x n )
故
lk(x ) (x ( k x x x 0 ) 0 ) (( x x k x x k k 1 1 ) )x x k ( ( x x k k 1 ) 1 ) (( x x kx n x )n ) (2.2)
作一条n次代数曲线 yPn(x)，作为曲线
y = f(x) 的近似，如图2-1。
Y
y f x
y Pn x
y0 y1
0 a x0 x1
图2 1
yn
xn b
X
1 .2 插值多项式存在唯一性
由插值条件（1.3）知，插值多项式 Pn x 的系数 ai i 0,1,n
满足线性方程组
a0 a1x0 an x0n y0 a0 a1x1 an x1n y1
Pn x a0 a1x an xn (1.2)
使
Pn xi yi i 0,1,,, n
其中 a0, a1,, an 为实数。满足插值条件
(1.3)的多项式(1.2)，称为函数f(x) 在节点
处的n次插值值多项式。
n次插值多项式 Pn x 的几何意义：过
数值分析课件-第02章插值法
数值分析课件-第02章插值法
目录
• 插值法基本概念与原理 • 拉格朗日插值法 • 牛顿插值法 • 分段插值法 • 样条插值法 • 多元函数插值法简介
01 插值法基本概念与原理
插值法定义及作用
插值法定义
插值法是一种数学方法，用于通过已知的一系列数据点，构造一个新的函数， 使得该函数在已知点上取值与给定数据点相符，并可以用来估计未知点的函数 值。
06 多元函数插值法简介
二元函数插值基本概念和方法
插值定义
通过已知离散数据点构造一个连 续函数，使得该函数在已知点处
取值与给定数据相符。
插值方法分类
根据构造插值函数的方式不同， 可分为多项式插值、分段插值、
样条插值等。
二元函数插值
针对二元函数，在平面上给定一 组离散点，构造一个二元函数通 过这些点，并满足一定的光滑性
差商性质分析
分析差商的性质，如差商 的对称性、差商的差分表 示等，以便更好地理解和 应用差商。
差商与导数关系
探讨差商与原函数导数之 间的关系，以及如何利用 差商近似计算导数。
牛顿插值法优缺点比较
构造简单
牛顿插值多项式构造过程相对简 单，易于理解和实现。
差商可重用
对于新增的插值节点，只需计算 新增节点处的差商，原有差商可 重用，节省了计算量。
要求。
多元函数插值方法举例
多项式插值
分段插值
样条插值
利用多项式作为插值函数，通 过已知点构造多项式，使得多 项式在已知点处取值与给定数 据相符。该方法简单直观，但 高阶多项式可能导致Runge现 象。
将整个定义域划分为若干个子 区间，在每个子区间上分别构 造插值函数。该方法可以避免 高阶多项式插值的Runge现象 ，但可能导致分段点处的不连 续性。
目录
• 插值法基本概念与原理 • 拉格朗日插值法 • 牛顿插值法 • 分段插值法 • 样条插值法 • 多元函数插值法简介
01 插值法基本概念与原理
插值法定义及作用
插值法定义
插值法是一种数学方法，用于通过已知的一系列数据点，构造一个新的函数， 使得该函数在已知点上取值与给定数据点相符，并可以用来估计未知点的函数 值。
06 多元函数插值法简介
二元函数插值基本概念和方法
插值定义
通过已知离散数据点构造一个连 续函数，使得该函数在已知点处
取值与给定数据相符。
插值方法分类
根据构造插值函数的方式不同， 可分为多项式插值、分段插值、
样条插值等。
二元函数插值
针对二元函数，在平面上给定一 组离散点，构造一个二元函数通 过这些点，并满足一定的光滑性
差商性质分析
分析差商的性质，如差商 的对称性、差商的差分表 示等，以便更好地理解和 应用差商。
差商与导数关系
探讨差商与原函数导数之 间的关系，以及如何利用 差商近似计算导数。
牛顿插值法优缺点比较
构造简单
牛顿插值多项式构造过程相对简 单，易于理解和实现。
差商可重用
对于新增的插值节点，只需计算 新增节点处的差商，原有差商可 重用，节省了计算量。
要求。
多元函数插值方法举例
多项式插值
分段插值
样条插值
利用多项式作为插值函数，通 过已知点构造多项式，使得多 项式在已知点处取值与给定数 据相符。该方法简单直观，但 高阶多项式可能导致Runge现 象。
将整个定义域划分为若干个子 区间，在每个子区间上分别构 造插值函数。该方法可以避免 高阶多项式插值的Runge现象 ，但可能导致分段点处的不连 续性。
第二章1 插值法part2PPT课件
2020/11/15
7
分段线性插值
分段线性插值特别简单，从几何上看，就是用折线逼近
曲线。
分段线性插值的数学定义
设 是f ( 区x )间 上[的a ,函b 数] ，在节点
ax0x1 上的xn函 数b值为
求一分段折线函数 P (满x 足) ：
， f0, f1, , fn
（1） P (xi)fi,i0,1 , ,n
gtext('f(x)=1/(1+x^2)')
2020/11/15
4
22 1.5 1.5
11 0.5 0.5
不同次数的Lagrange插值多项式的比较图
f(f(xx))==11//((11+x2)
nn==1100
n=2 n=4
00 -0.5-0.5
-1 -1
n=6 nn==88
-1.5-1.5
-5 -5 -4 -4 -3 -3 -2-2 -1-1 00 11
Runge证明了，存在一个常数 c3.63 , 使得当 x c 时，
lnimLn(x)f(x) ; 而当 x c 时 { Ln ( x )} 发散。
说明: 并不是插值多项式的次数越高, 插值效果越好, 精度
也不一定是随次数的提高而升高, 这种现象在上个世纪初由
Runge发现, 故称为Runge现象.
n 1 j01x2j
n
i0 ij
(xxi ) (xj xi)
n2,4,6,8,20
其matlab的lagrange.m文件及相关图形如下.
2020/11/15
2
% lagrange.m function y=lagrange (x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m
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P(x) f(x) = y
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2.1 引言
2.1.1 插值问题
设 y= f(x) 是区间[a , b] 上的一个实函数, xi ( i=0,
1, ... ,n)是[a,b]上n+1个互异实数,已知 y=f(x) 在 xi 的
值 yi=f(xi) (i=0,1,...,n), 求一个次数不超过n的多项式
上页 1下1 页
或用直线的两点式表示为：
L1(x)y0x x0 x x11y1x x1 x x00.
记
l0(x)x x0 x x 1 1, l1(x)x x1 x x0 0.
l l 则 称 ： 0 ( x )叫 做 点 x 0的 一 次 插 值 基 函 数 1 ( x )为
点 x 1的 一 次 插 值 基 函 数
上页 下7 页
2.2 拉格朗日插值
2.2.1 基函数
考虑最简单、最基本的插值问题. 求n次插值多项式 l i(x) (i=0,1, …,n), 使其满足插值条件
Lagrange 法1736-1813
0, ji li(xj) 1, ji (j0,1, ,n ) 可知, 除 xi点外, 其余都是 li(x)的零点, 故可设 l i ( x ) A ( x x 0 ) (xx i 1)(xx i 1) ( x x n )
证 设所求的插值多项式为
Pn(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn
(5-2)
则由插值条件式Pn(xi)=yi (i=0,1, ..., n) 可得关于系数 a0 ,a1 , …,an的线性代数方程组
上页 下6 页
a0 a1x0 anx0n y0
a0
a1x1
anx1n
y1
（5-3）
(x x i 1 )(x x i 1 ) (xxn) (x i x i 1 )(x i x i 1 )(xixn)
(i0,1, ,n)
n
x xj
j0 xi x j
ji
称之为拉格朗日基函数, 都是n次多项式 。
上页 下9 页
n=1时的一次基函数为:
l0(x)x x0 x x 1 1, l1(x)x x1 x x0 0.
上页 下8 页
l i ( x ) A ( x x 0 ) (xx i 1)(xx i 1) ( x x n )
其中A为常数, 由li(xi)=1可得 A (x i x 0 ) (x i x i 1 ) 1 x i( x i 1 ) (x i x n )
li(x)((x x i x x0 0))
第2章 插 值 法
在工程技术与科学研究中，常会遇到函数表达 式过于复杂而不便于计算，且又需要计算众多点处 的函数值；或已知由实验（测量）得到的某一函数 y=f(x)在区间[a,b]中互异的n+1个xi ( i=0, 1, ... ,n)处 的值yi=f(xi) (i=0,1,...,n), 需要构造一个简单易算的 函数P(x)作为y=f(x)的近似表达式
y
1
l (x) 0
y
1
l (x) 1
O
x 0
x 1
x
Ox 0
xx 1
上页 1下0 页
此为两点线性插值问题
即已知函数 f(x)在点x0和x1点的函数值 y0=f(x0)，y1=f(x1). 求线性函数
L(x)=a0+ a1x
使满足条件：
L(x0)=y0 , L(x1)=y1.
L(x)y0x y1 1 x y0 0(xx0)
插值基函数的特点：
x0
x1
l0
1
0
l0 1
l1
l1
0
1
x0
x1
上页 1下2 页
n=2时的二次基函数为 : l0(x)((xx 0 x x1 1))((x x0 xx 22 )), l1(x)((xx1 x x0 0))((x x1xx22)), l2(x)((xx2 x x0 0))((x x2xx11)).
Pn(x)使其满足
Pn(xi)=yi式插值问题.
上页 下3 页
其中Pn(x) 称为 f(x) 的n次插值多项式, f(x) 称为被插函 数, xi(i=0,1, ...,n)称为插值节点, (xi, yi) (i=0,1, … ,n) 称为 插值点, [a,b] 称为插值区间, 式(5-1)称为插值条件。
上页 1下3 页
2.2.2 拉格朗日插值多项式
利用拉格朗日基函数l i(x), 构造次数不超过n的多项式 n
L n (x ) y 0 l0 (x ) y 1 l1 (x ) y n ln (x )y ili(x )
i 0
可知其满足 L n (x j) y j j 0 ,1 , ,n
从几何意义来看,上 述问题就是要求一条多 项式曲线 y=Pn(x), 使它 通过已知的n+1个点 (xi,yi) (i=0,1, … ,n),并用 Pn(x)近似表示f(x).
上页 下4 页
即
P(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn
其中ai为实数，就称P(x) 为 插值多项式，相应的插 值法称为多项式插值，若P(x)为分段的多项式，就 称为分段插值，若P(x)为三角多项式,就称为三角插 值，本章只讨论插值多项式与分段插值。
y=f(x)≈P(x) ,
使得
P(xi)= f(xi) = yi (i=0,1, ..., n)
这类问题就称为插值问题， P(x)称为插值函数， P(x)一般取最简单又便于计算得函数。
上页 下1 页
P(x) f(x) f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
使得 其它点
y=f(x)≈P(x) , P(xi)= f(xi) = yi (i=0,1, ..., n)
本章主要研究如何求出插值多项式，分段插值 函数，样条插值函数；讨论插值多项式P(x)的存在 唯一性、收敛些及误差估计等。
上页 下5 页
2.1.2 插值多项式的存在性和唯一性 定理1 设节点 xi (i=0,1, … ,n)互异, 则满足插值条件
Pn(xi)=yi (i=0,1, ..., n)的次数不超过n的多项 式存在且唯一.
a0 a1xn anxnn yn
此方程组有n+1个方程, n+1个未知数, 其系数行列式是
范德蒙(Vandermonde)行列式：
1 x0 x02 x0n
1 x1 x12 x1n (xj xi ) 0
ji
1 xn xn2 xnn 由克莱姆法则知方程组 (5-3) 的解存在唯一. 证毕。
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2.1 引言
2.1.1 插值问题
设 y= f(x) 是区间[a , b] 上的一个实函数, xi ( i=0,
1, ... ,n)是[a,b]上n+1个互异实数,已知 y=f(x) 在 xi 的
值 yi=f(xi) (i=0,1,...,n), 求一个次数不超过n的多项式
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或用直线的两点式表示为：
L1(x)y0x x0 x x11y1x x1 x x00.
记
l0(x)x x0 x x 1 1, l1(x)x x1 x x0 0.
l l 则 称 ： 0 ( x )叫 做 点 x 0的 一 次 插 值 基 函 数 1 ( x )为
点 x 1的 一 次 插 值 基 函 数
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2.2 拉格朗日插值
2.2.1 基函数
考虑最简单、最基本的插值问题. 求n次插值多项式 l i(x) (i=0,1, …,n), 使其满足插值条件
Lagrange 法1736-1813
0, ji li(xj) 1, ji (j0,1, ,n ) 可知, 除 xi点外, 其余都是 li(x)的零点, 故可设 l i ( x ) A ( x x 0 ) (xx i 1)(xx i 1) ( x x n )
证 设所求的插值多项式为
Pn(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn
(5-2)
则由插值条件式Pn(xi)=yi (i=0,1, ..., n) 可得关于系数 a0 ,a1 , …,an的线性代数方程组
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a0 a1x0 anx0n y0
a0
a1x1
anx1n
y1
（5-3）
(x x i 1 )(x x i 1 ) (xxn) (x i x i 1 )(x i x i 1 )(xixn)
(i0,1, ,n)
n
x xj
j0 xi x j
ji
称之为拉格朗日基函数, 都是n次多项式 。
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n=1时的一次基函数为:
l0(x)x x0 x x 1 1, l1(x)x x1 x x0 0.
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l i ( x ) A ( x x 0 ) (xx i 1)(xx i 1) ( x x n )
其中A为常数, 由li(xi)=1可得 A (x i x 0 ) (x i x i 1 ) 1 x i( x i 1 ) (x i x n )
li(x)((x x i x x0 0))
第2章 插 值 法
在工程技术与科学研究中，常会遇到函数表达 式过于复杂而不便于计算，且又需要计算众多点处 的函数值；或已知由实验（测量）得到的某一函数 y=f(x)在区间[a,b]中互异的n+1个xi ( i=0, 1, ... ,n)处 的值yi=f(xi) (i=0,1,...,n), 需要构造一个简单易算的 函数P(x)作为y=f(x)的近似表达式
y
1
l (x) 0
y
1
l (x) 1
O
x 0
x 1
x
Ox 0
xx 1
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此为两点线性插值问题
即已知函数 f(x)在点x0和x1点的函数值 y0=f(x0)，y1=f(x1). 求线性函数
L(x)=a0+ a1x
使满足条件：
L(x0)=y0 , L(x1)=y1.
L(x)y0x y1 1 x y0 0(xx0)
插值基函数的特点：
x0
x1
l0
1
0
l0 1
l1
l1
0
1
x0
x1
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n=2时的二次基函数为 : l0(x)((xx 0 x x1 1))((x x0 xx 22 )), l1(x)((xx1 x x0 0))((x x1xx22)), l2(x)((xx2 x x0 0))((x x2xx11)).
Pn(x)使其满足
Pn(xi)=yi式插值问题.
上页 下3 页
其中Pn(x) 称为 f(x) 的n次插值多项式, f(x) 称为被插函 数, xi(i=0,1, ...,n)称为插值节点, (xi, yi) (i=0,1, … ,n) 称为 插值点, [a,b] 称为插值区间, 式(5-1)称为插值条件。
上页 1下3 页
2.2.2 拉格朗日插值多项式
利用拉格朗日基函数l i(x), 构造次数不超过n的多项式 n
L n (x ) y 0 l0 (x ) y 1 l1 (x ) y n ln (x )y ili(x )
i 0
可知其满足 L n (x j) y j j 0 ,1 , ,n
从几何意义来看,上 述问题就是要求一条多 项式曲线 y=Pn(x), 使它 通过已知的n+1个点 (xi,yi) (i=0,1, … ,n),并用 Pn(x)近似表示f(x).
上页 下4 页
即
P(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn
其中ai为实数，就称P(x) 为 插值多项式，相应的插 值法称为多项式插值，若P(x)为分段的多项式，就 称为分段插值，若P(x)为三角多项式,就称为三角插 值，本章只讨论插值多项式与分段插值。
y=f(x)≈P(x) ,
使得
P(xi)= f(xi) = yi (i=0,1, ..., n)
这类问题就称为插值问题， P(x)称为插值函数， P(x)一般取最简单又便于计算得函数。
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P(x) f(x) f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
使得 其它点
y=f(x)≈P(x) , P(xi)= f(xi) = yi (i=0,1, ..., n)
本章主要研究如何求出插值多项式，分段插值 函数，样条插值函数；讨论插值多项式P(x)的存在 唯一性、收敛些及误差估计等。
上页 下5 页
2.1.2 插值多项式的存在性和唯一性 定理1 设节点 xi (i=0,1, … ,n)互异, 则满足插值条件
Pn(xi)=yi (i=0,1, ..., n)的次数不超过n的多项 式存在且唯一.
a0 a1xn anxnn yn
此方程组有n+1个方程, n+1个未知数, 其系数行列式是
范德蒙(Vandermonde)行列式：
1 x0 x02 x0n
1 x1 x12 x1n (xj xi ) 0
ji
1 xn xn2 xnn 由克莱姆法则知方程组 (5-3) 的解存在唯一. 证毕。