因式分解专题用分组分解法含答案

4、用分组分解法进行因式分解

【知识精读】

分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。

应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。

下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。

【分类解析】

1. 在数学计算、化简、证明题中的应用

例1. 把多项式2a(a2 a 1) a4 a2 1分解因式，所得的结果为( ) 分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。

解：原式2a((a2 a 1) a4 a2 1

故选择C

例2. 分解因式x5 x4 x 3 x2 x 1

分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把

x5 x4 x3和x2 x 1分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也

可把X5 x4, X3 X2和X 1分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。

解法1：

解法2：

2. 在几何学中的应用

例：已知三条线段长分别为a、b、c，且满足a b，a2 c2 b2 2ac

证明：以a、b、c为三边能构成三角形

分析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”

证明：a2c2b22ac

3. 在方程中的应用

例：求方程x y xy 的整数解

分析：这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难，因等式两边都含有x与y，故可考虑借助因式分解求解

解：x y xy

4、中考点拨

例1.分解因式： 1 m 2 n2 2mn _______________________ 。

解： 1 m2 n2 2mn

说明：观察此题是四项式，应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配在一起不能分解到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。

例2 ．分解因式：x2 y2 x y ___________________

解：x2 y2 x y (x2 y2 ) (x y) 说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。

例3. 分解因式：x3 3x2 4x 12 ______________________

解：x3 3x2 4x 12 x3 4x 3x2 12 说明：分组的目的是能够继续分解。

5、题型展示：

例1. 分解因式：m2(n2 1) 4mn n2 1

解：m2(n2 1) 4mn n2 1 说明：观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把4mn 分成2mn 和2mn ，配成完全平方和平方差公式。

例2.已知：a2 b21, c2 d21,且ac bd 0，求ab+cd 的值。

解：ab+cd=ab 1 cd 1 说明：首先要充分利用已知条件a2 b2 1, c2 d2 1中的1(任何数乘以1, 其值不变),其次利用分解因式将式子变形成含有ac+bd 因式乘积的形式,由ac+bd=O 可算出结果。

例3. 分解因式：x3 2x 3 分析：此题无法用常规思路分解,需拆添项。观察多项式发现当x=1 时,它

的值为0,这就意味着x 1是x3 2x 3的一个因式，因此变形的目的是凑x 1这个因式。

解一(拆项)：解二(添项)：

说明：拆添项法也是分解因式的一种常见方法, 请同学们试拆一次项和常数项,看看是否可解

【实战模拟】

1. 填空题：

2. 已知：a b c 0，求a3 a2c abc b2c b3的值。

3. 分解因式：a5a 1

4. 已知：x2 y2 z20，A是一个关于x,y,z的一次多项式，且x3 y3 z3 (x y)(x z)A，

试求A 的表达式。

2 2 2

b 2ab)(a b 2) (1 ab)2 (a 1)2 (b 1)2

5. 证明：(a

试题答案】

1. ( 1)解：原式(a2b2)3(a b)

(2) 解：原式

(x

2

4xy

4y

2

) 2(x2y)

(3) 解：原式 1 mn m

2n2m3n3

2. 解：原式(a b)(a2ab b2)

c(a

2ab b 2 )

说明：因式分解是一种重要的恒等变形，在代数式求值中有很大作用3. 解：a5 a 1

4. 解：

x2 y2 z2 0

5. 证明：(a b 2ab)( a b 2) (1 ab)2