利用函数单调性证明不等式的难点_构造辅助函数_贺学海

参考文献 :
[ 1] 华东师范大学数学系 .数学分析 (上 )[ M] .北京 :人民教育出版社, 1980. [ 2] 武汉大学数学系 .数学分析 [ M] .北京 :人民教育出版社 , 1978.
[ 3] 菲赫金哥尔茨 .微积分学教程 (第一卷 第一分册 )[ M] .北京 :人民教育出版社 , 1959.
0 引言
证明不等式无论是在中学阶段还是在微积分学应用中都是一个重要内容 .微积分知识能较好的研究函 数的形态 , 可以解决常规方法难以证明的不等式 .利用微积分知识证明不等式常用的方法有 :利用函数的单 调性 、中值定理法 、利用泰勒公式 、利用施互茨不等式 、利用函数图像的凹凸性 、利用函数的最值等方法 , 这 些方法或多或少都会遇到如何构造一个辅助函数的问题 , 若能根据不等式的结构特征 , 构造出合适的辅助 函数 , 将不等式问题化为函数问题 , 不等式的证明将迎刃而解 .下面对利用函数单调性证明不等式中如何构 造辅助函数进行讨论 .
故
1
a+b + a+b
≤1
a+b +a+b
=1
+
a a+
b
+1
+
b a+
b≤1
a +a
+1
+bb.证毕
.
例 4 证明当 x>0时 , (1 +)1 +1x <e1 +x 2
分析 此题为幂指数函数不等式 , 用 “求差 ”或 “求商 ”构造辅助函数将很难求其倒数 , 更难判断其导数
的单调性
,
不等式两边也不具有
收稿日期 :2009 -01 -06 作者简介 :贺学海 (1962 -), 男 , 河南社旗人 , 商丘职业技术学院副教授 , 主要从事数学分析教学与研究 .
· 8·
贺学海 :利用函数单调性证明不等式的难点 ——— 构造辅助函数 第 2期
分析 利用 “求差 ”构造辅助函数 f(x)=2 x-(3 -1x), x>1.则将要证明的结论转化为要证 f(x)>0,
2 利用函数单调性证明不等式常用的构造辅助函数的方法
构造辅助函数的方法灵活多变 , 不同的知识段有着不同的技巧和方法 , 用函数单调性证明不等式常用 的方法有 :
(1)用不等式两边 “求差 ”构造辅助函数 . (2)用不等式两边适当 “求商 ”构造辅助函数 . (3)根据不等式两边结构 , 构造 “形似 ”辅助函数 . (4)如果不等式中涉及到幂指函数形式 , 则可通过取对数将其化为易于证明的形式 , 再根据具体情况由 以上所列方法构造辅助函数 . 例 1 证明 当 x>1时 , 2 x>3 -1x
又由于 f(1)=0, 所以 f(x)>f(1)>0, 即 2 x-(3 -1x)>0.
故 2 x>3 -1x (x>1).
例 2 当 0 <x<π2时 , 求证 sinx>π2 x
分析 如果用 “求差 ”构造辅助函数
f(x)=π2 x-sinx, f′(x)=π2
-cosx, 在区间 (0,
π 2
而 f(1)=0, 因而只需证明当 x>1时 , f(x)>f(1).
证明 令 f(x)=2 x-(3 -1x), 则 f′(x)=1x-x12 =x12 (x x-1),
当 x>1时 , f′(x)>0, 因此 f(x)在 [ 1, +∞]上单调增加 , 从而当 x>1时 , f(x)>f(1),
[责任编辑 乐 知 ]
TheDifficultiesinDemonstratingtheInequalitybyUseofFunctionMonotonicity ——— ConstructtheAuxiliaryFunction
HEXue-hai (ShangqiuVocationalandTechnicalCollege, Shangqiu476000, China) Abstract:Somecommonmethodsofconstructingtheauxiliaryfunctionarepresentedaccordingtospecificconditionsofinequalityproofswhenmakinguseoffunctionmonotonicitytosolveproblems.Expoundtheapplicationscopeofthemethodsthroughexamples. Keywords:inequality;functionmonotonicity;auxiliaryfunction;constructionmethods;applicationscope
———构造辅助函数
贺学海
(商丘职业技术学院 , 河南 商丘 476000)
摘 要 :利用函数的单调性解决不等式问题时 , 根据所证不等式问题的具体情况 , 给出常 见构造辅助 函数的方 法 , 通过实例阐述此种方法的适用范围 .
关键词 :不等式 ;函数单调性 ;辅助函数 ;构造方 法 ;适用范围 中图分类号 :G64 文献标识码 :A
1 函数的单调性
单调函数是一个重要的函数类 , 其单调性与导数之间的关系为 : 定理 1[ 1] 163 设函数 f(x)在 (a, b)内可导 , 则 f(x)在 (a, b)内递增 (递减 )的充分必要条件是 : f′(x)≥0(f′(x)≤0), x∈ (a, b) 定理 2[ 1] 163 若函数 f(x)在 (a, b)内可导 , 则 f(x)在 (a, b)内严格递增 (递减 )的充分必要条件是 : (1)对一切 x∈ (a, b), 有 f′(x)≥0(f′(x)≤0) (2)在 (a, b)内的任何子区间上 f′(x)≠0 推论 设函数 f(x)在 (a, b)内可导 , 若 f′(x)>0(<0), 则 f(x)在 (a, b)内严格递增 (递减 ).
又由 f(x)在 [ 0, +∞)上连续 , 且 f′(x)>0得 f(x)在 [ 0, +∞)上严格单调增加 , 所以 f(x)>f(0)=0 (x>0),
即 2x+x2 -2(1 +x)ln(1 +x)>0, 2x+x2 >2(1 +x)ln(1 +x), 故 (1 +x)1 +1x <e1 +2x (x>0) 例 5 设 b>a>e, 证明 ab >ba 分析 此题目具有幂指函数形式 , 对不等式两边分别取对数得 blna>alnb, 整理为 1alna>b1 lnb, 在此基 础上根据 “形似 ”构造辅助函数 f(x)=1xlnx, 再根据函数的单调性证明之 . 证明 不等式两边取对数得 blna>alnb, 可化为 1alna>1blnb. 令 f(x)=1xlnx, 显然 f(x)在 (e, +∞)内连续并可导 , f′(x)=-x12 lnx+1x· 1x=x12 (1 -lnx)<0 (x>e) 由定理得 f(x)在 (e, +∞)内为严格单调递减 . 由 b>a>e得 f(a)>f(b), 所以 1alna>b1 lnb, blna>alnb, 故 ab >ba 利用函数单调性证明不等式 , 不等式两边的函数必须可导 , 对所构造的辅助函数 f(x)应在某闭区间内 连续 , 开区间内可导 , 然后通过在开区间内 f′(x)的符号判断 f(x)在闭区间上的单调性 , 根据单调性来解决 不等式问题 .
π )内是严格单调递减的 . 2
当
0
<x<π时 2
,
f(x)>fπ 2
, 即 sixnx>π2 ,
故
sinx>π2
x (0
<x<π) 2
例
3 求证
1 +a+ ab +b≤1
a +a
百度文库+1
b +b
分析 不等式两边有相同的形式 1 A +A, 利用 “形似 ”并将某个字母换成
x, 构造辅助函数
f(x)= 1
第
2 00 9年第 8卷 (总第
2期 41 期
) JOURNALOFSHANGQ商IU丘V职OC业A技TI术ON学AL院A学N报DTECHNICALCOLLEGE VAopl.r.8, ,
No.2 200 9
文章编号 :1671 -8127(2009)02 -0008 -03
利用函数单调性证明不等式的难点
)内
f(x)的单调性
无法判断 .利用 “求商 ”构造辅助函数
f(x)=sixnx, 再根据
f(x)在区间 (0,
π )的单调性证明之 . 2
证明 令 f(x)=sin xx, 则 f′(x)=cosx(xx- 2 tanx) (0 <x<π2 )
由
x<tanx得
f′(x)<0, 即
f(x)在 (0,
x +x
(x≥0), 再利用 f(x)在 [ 1, +∞)上的单调性证明不等式 .
证明 令 f(x)=1 x +x(x≥0), 显然 f(x)在 [ 1, +∞)在上连续且可导 , f′(x)=(1 +1x2)>0, 由定理 2知
f(x)在 [ 1, +∞)上严格单调增加 .
由于 0≤ a+b≤ a + b, 所以 f(a+b)≤f( a + b),
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f′(x)=2x-2ln(1 +x), 又 f″(x)=12+xx>0 (x>0)
由定理 2知 f′(x)在 (0, +∞)上严格单调增加 , 从而 f′(x)>f′(0)=0 (x>0)
· 9·
2009年 商丘职业技术学院学报
“形似
”,
可对不等式两边分别取对数得
(1
+1x)ln(1
+x)<1
+x, 2
在此基础
上 “求差 ”构造辅助函数证明之 .
证明
对不等式两边取对数得
(1
+1x)ln(1
+x)<1
+x, 2
化简为 2(1 +x)ln(1 +x)<2x+x2
设辅助函数 f(x)=2x+x2 -2(1 +x)ln(1 +x), (x≥0)