材料力学 拉压 剪切 扭转 弯曲

F'N = F
截面内力FN及F'N的作用线与轴线重合——称为轴力。 轴力的正负号规定： 当杆件受拉，轴力FN背离截面时为正号； 当杆件受压，轴力FN指向截面时为负号。
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二、轴力和轴力图
轴力 ——轴向拉伸与压缩时的内力
① 特点：过截面形心、沿截面法线方向； ② 符号规定：拉伸（拉力）为正、压缩（压力）为负； ③ 轴力的单位： N 、 kN.
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低碳钢的拉伸实验
条件：常温、静载 设备：万能材料试验机 方法：《金属拉伸试验方法》(GB228-87)国家标准 试件：国家标准《金属拉伸试验试样》（GB6397－86）
圆棒形试件和板形试件两种类型。 标距 AB=l0，长比例试件l0=10d0，短比例试件l0=5d0
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cos sin


2
sin 2
例3：图示杆受轴向外力作用，已知F=60 kN，AB段 直径d1=40mm，BC段直径d2=20mm，求直杆的最大 应力。
2F
F
A
D
FN图：
120 kN
2F
F
C B
60 kN
60 kN
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解： 1．确定杆各段的轴力。
2．计算杆各段的应力
AD段：
二、 变形（deformation）、应变（strain）
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胡克定律（Hooke’s Law）:
L

L EA
FN
—— 变形和轴力的关系

E
—— 应变和应力的关系
E ——弹性模量（材料常数），衡量材料抵抗弹性变形 的能力。
EA ——杆件的抗拉（压）刚度，表征杆件抵抗轴向拉压 变形的能力。
1、横截面上的应力
拉伸实验
实验结果观察：
① 纵向线伸长、横向线缩短； ② 横向线保持直线，仍与纵向线垂直； ③ 每根纵向线的伸长都相等。
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平截面假设
轴向拉、压杆件，变形前原为平面的横截面，变形后仍保 持为平面，且仍垂直于轴线。
横截面上应力均匀分布
FN
FN
A
正应力（法向应力）：沿截面法线方向。
第1章 轴向拉伸、压缩和剪切
§1.1 概述 §1.2 轴力和轴力图 §1.3 拉压杆件的应力和变形 §1.4 工程材料的力学性能简介 §1.5 许用应力和强度条件 §1.6 简单桁架的结点位移计算 §1.7 应力集中 §1.8 拉压超静定问题 §1.9 连接杆件的实用计算
轴向拉伸或压缩
受力特点：外力合力作用线与杆轴线重合。 变形特点：杆件沿轴线方向伸长或缩短。
A 1 B 2 C 3 D 4E
10 kN
5 kN
FN图：
10 kN源自文库
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§1.3 拉压杆件的应力与变形 一、 应力（stress）
应力——反映内力的分布集度
lim FN
A0 A
应力符号： σ
应力的量纲为[力]/[长度]2；国际单位为Pa，常用MPa
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2、许用应力 u
n
（n>1，安全系数）
关于安全系数：
① 弥补因计算误差、材料不均匀等因素的影响； ② 使构件有一定的强度储备。
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轴向拉伸或压缩杆件的强度条件：
max


FN A
m ax


三类强度问题：
① 强度校核 ② 截面设计 ③ 许用载荷
轴力图 ——每个截面上的轴力用图形表示出来
① 表示出轴力沿杆件轴线方向的变化规律； ② 易于确定最大轴力及其位置
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例1：图示杆受轴向外力作用，已知F=60 kN，求杆各 段轴力，并绘轴力图。
3
2F
F
A 3D
FN图：
120 kN
2
2F
2
B
1
F C
1
60 kN
60 kN
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2、圣维南原理（St. Venant Principle）
杆端加力方式的不同，只对杆端附近截面 的应力分布有影响，受影响的长度不超出 杆的横向尺寸。
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3、斜截面上的应力
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p
cos

cos2


2
(1 cos 2 )


p
sin
轴力计算 任一截面上的轴力等于一侧外力的代数和。
画轴力图
① 轴力图画在原图正下方，与原图各截面相对应； ② 标出正、负号； ③ 标出特征截面的轴力值（不加正负号）、注明单位。 ④ 可画竖阴影线、勿画斜阴影线；
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例2：求图示杆各段的轴力，并绘轴力图。
10kN
1 20kN 2 10kN 35kN 4 5kN
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例6：图示铸铁圆截面杆，已知F=60 kN， AB段直径
d1=40mm，BC段直径d2=20mm，若[σc]=350MPa， [σt]=120MPa，试校核该杆的强度。
2F
F
A
D
FN图：
120 kN
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2F
F
C B
60 kN
60 kN
解： 1．确定铸铁杆各段的轴力，计算杆的最大拉应力和
80 kN
FN 2 FN1 cos 30 69.3 kN
C5
C3
C4
F=40 kN
水平＝CC2 L2 0.24 mm ()
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垂直＝CC5 C5C4
4 60 103 3 π 402 106 200 109

0 .7 2 m m
LBC

FNBC LBC E A2

4 60 103 2 π 202 106 200 109
1.91m m
3．计算杆的总变形
LAC LAD LDB LBC 1.91 0.48 0.72 0.71m m
（3）利用强度条件，计算结构的许可载荷。
FN A
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F A1 129.6kN
2
F A2 176.7kN
3
[F]=129.6kN
§1.6 简单桁架的结点位移计算
例9：图示结构已知L, A, E, F, α，试求结点A的垂直
位移。
B
C
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泊松比（Poisson’s Ratio）:
——横向线应变与纵向线应变之比，材料常数

—— 横向线应变和纵向线应变的关系
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例4：图示杆受轴向外力作用，已知F =60 kN， E=200 GPa， AB段直径d1=40mm，BC段直径d2=20mm，且LAD=1m， LBD=3m， LBC=2m，求杆的总变形。
• 强度指标：强度极限b
• 近似地认为应力、应变服
从胡克定律： =E
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低碳钢的压缩实验
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铸铁的压缩实验
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抗压强度σbc > 抗拉强度σbt
§1.5 许用应力和强度条件
1、极限应力 u
塑性材料： u = s、 0.2 脆性材料： u = bt、 bc
B C
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① No.8
②
30°
A
No.10
F
型钢－型钢表
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解：（1）列平衡方程，计算轴力。
FN1
FN1

F sin 30

2F
FN 2 FN1 cos 30 3F
30°
C
FN2
F
（2）查型钢表，确定两杆的截面面积。
A1 2 10.8cm2 2.16 103 m2 A2 2 12.748cm2 2.55103 m2
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加工硬化（冷作硬化） 强化阶段
屈服阶段
弹性阶段
弹性卸载
颈缩阶段
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强度指标
① 屈服极限： s
② 强度极限： b 塑性指标
① 断后伸长率（延伸率）：

＝
n
l1－l0 l0
100％
② 断面收缩率（截面收缩率）：
＝ A0－A1 100％
与材料的成份、组织结构密切相关的，同时还与工作 条件，如受力方式，加载速度，工作温度等因素有关。 在常温、静载（缓慢加载）下的力学行为。 构件变形包括——弹性变形、塑性变形 根据材料破坏前产生的塑性变形的大小，将材料分为
① 塑性材料 例：低碳钢、铝、铜等； ② 脆性材料 例：铸铁、岩石、普通玻璃等。
材料力学中的杆件，如果没说明，通常不计自重。
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§1.2 截面法 轴力及轴力图
一、求内力的方法——截面法 基本步骤：切、取、代、平
① 假想切开
m
F
F
m
② 分段取出
③ 内力代替
F
FN
④ 建立平衡
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FN F = 0
FN = F
m
取右半部分：
F
F
m
F'N
F
F'N F = 0
AD

FNAD A1
FNAD
π
d
2 1
4

4 120 103 π 402 106

95.5M Pa
BC段：
BC

FNBC A2

FNBC
π
d
2 2
4

4 60 103 π 202 106
191.0M Pa
3．确定杆的最大应力
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max BC 191.0M Pa
2F
F
A
D
FN图：
120 kN
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2F
F
C B
60 kN
60 kN
解： 1．确定杆各段的轴力。
2．计算杆各段的变形
LAD

FNAD LAD E A1


π

4 120 103 1 402 106 200 109
0.48mm
LDB

FNDB LDB E A1


① αα ②
L A
F
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B
1杆

C
2杆
A
ΔL2
ΔL1
A2
A1
A'
F
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y
FN1
αα
FN2
A
x
F
FN1

FN 2

F
2 cos
L1

L2

FN1L EA

FL
2 EA cos
A

L1
cos

FL
2EAcos2
例10：简易悬臂吊结构如图示， AC杆由圆钢制成，其直径
∴不安全
例7: 图示结构，①、②杆为圆形截面，F = 90kN，
①杆的许用应力[σ1]=100Mpa，②杆的许用应力 [σ2]=150Mpa，试求①、②杆的最小直径。
① A
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②
B
2m
1m
F
解：
（1）取AB为研究对象，画
FN1
出受力图。
A
（2）列平衡方程，计算轴力。 2m
M A 0, 3FN 2 2F 0
d=34mm， E 1 = 200 GPa， BC杆由木材制成，其横截面为正 方形，边长a =170mm， E 2= 10 GPa。试求节点C 的水平和垂 直位移。
A
①
② 30°
C
B 1m
F=40 kN
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FN1
A
30°
C
FN2
F=40 kN
①
②
B
30° C2
C
C1
30°
FN1

F sin 30
σx p
σy
利用Hooke’s Law计算变形。
环向应变：


E

pd 2Et
环向伸长量：
s

d

p d 2
2Et
直径改变量： d s pd 2 d 2Et
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§1.4 工程材料的力学性能简介
工程材料的力学性能指标要通过实验测定。 影响工程材料力学性能的因素
M B 0, 3FN1 F 0
FN1

F 3
,
FN 2

2F 3
（3）利用强度条件，确定两杆的最小直径。
A
d2
4

FN

1
d


4FN

2
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FN2 B 1m F
d1 19.5 mm d2 22.6 mm
例8：图示结构，斜杆由两根80×80×7的等边角钢组 成，横杆由两根10号槽钢组成，若[σ]=120Mpa，试 求结构的许用载荷[ F].
最大压应力。
c max

FNAD A1

FNAD
π
d
2 1
95.5M Pa
4
t max

FNBC A2

FNBC
π
d
2 2
191.0M Pa
4
2．利用强度条件校核杆的强度。
c max

95.5M Pa
c
t max
191.0 M P a> t
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例5：已知一圆柱形薄壁容器的内径为d，壁厚为t, 内部 压强为 p，试计算该压力容器的应力和变形。
用途：输油（气、水）管道、油罐等
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解：首先利用截面法计算应力。
xt d

d2
p 4
0
x

pd 4t
2tL pdL0
p


pd 2t
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A0
材料学中规定，δ10≥5％的材料为塑性材料，δ10<5％的材料为脆性材料。
低碳钢Q235的 ψ=60％，10=26％。
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• 多数塑性材料没有明 显的屈服阶段
• 名义屈服极限0.2
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铸铁的拉伸实验
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铸铁的拉伸实验结果分析：
• 试件断口平齐、粗糙， 几乎没有塑性变形 ——脆性断裂