ARIMA模型

计量经济原理课程报告

ARIMA 模型建立与应用

学 院：数 学 科学学院 系 别：计 算 数 学 系 姓 名：刘 明 学 号：19020121152488 指导教师 ：黄 荣 坦

2013年1月14日

ARIMA 模型建立与应用

一、 相关概念介绍 1.1预备知识

（一）模型

1、AR （p ）(p 阶自回归模型）

其中u t 白噪声序列，δ是常数（表示序列数据没有0均值化） AR （p ）等价于t t p p u x L L L +=----δφφφ)1(221

AR （p ）的特征方程是：01)(221=----=Φp p L L L L φφφ AR （p ）平稳的充要条件是特征根都在单位圆之外。 2、MA （q ）（q 阶移动平均模型） 其中{u t }是白噪声过程。

MA （q ）平稳性

MA （q ）是由u t 本身和q 个u t 的滞后项加权平均构造出来的，因此它是平稳的。 MA （q ）可逆性（用自回归序列表示u t ）

可逆条件：即1)]([-ΘL 收敛的条件。即Θ（L ）每个特征根绝对值大于1，即全部特征根在单位圆之外。

3、ARMA （p ，q ）（自回归移动平均过程）

ARMA （p ，q ）平稳性的条件是方程Φ（L ）=0的根都在单位圆外；可逆性条件是方程Θ（L ）=0的根全部在单位圆外。

4、ARIMA （p ，d ，q ）（单整自回归移动平均模型） 差分算子：

对d 阶单整序列xt~I(d)

则wt 是平稳序列，于是可对wt 建立ARMA （p ，q ）模型，所得到的模型称为xt~ARIMA （p ，d ，q ），模型形式是 由此可转化为ARMA 模型。

（二）模型识别

要建立模型ARIMA （p ，d ，q ），首先要确定p ，d ，q ，步骤是：一是用单位根检验法，确定xt~I （d ）的d ；二是确定xt~ AR （p ）中的p ；三是确定xt~ MA （q ）中的q 。平稳序列自相关函数

ρ0=1，ρ-k =ρk （对称）

1、平稳AR(p)的自相关系数和偏自相关系数 （1）平稳AR(p)的自相关系数

｜φi ｜<1，i=1,2,…,p ，E(u t )=0

t k t p t k t p t k t t k t t k t u x x x x x x x x x --------++++=φφφ 2211，k>0

p k p k k k ---+++=λφλφλφγ 2211，k>0

平稳AR(p)的自相关系数是

p k p k k k ---+++=ρφρφρφρ 2211，k>0

（2）k 阶平稳自回归过程AR(k)的偏自相关系数 两边同除以γ0

对任意j>0都成立。根据10=ρ和对称性j j -=ρρ，得到Yule-Walker 方程组

对于给定的k ，ρ1,ρ2,…,ρk 已知，每个方程组最后一个解就是相应的偏自相关系数：φ11，φ22

的,…,φkk 。

ρ3是k=3的自相关系数，意义：度量平稳序列xt 与xt-3的相关系数，至于中间xt-1，xt-2起什么作用无法顾及。

φ33的k=3的偏自相关系数。意义：剔除中间变量xt-1，xt-2的影响后，度量xt 与xt-3的相关程度。

2、平稳MA(q)的自相关系数和偏自相关系数 （1）MA(q)自相关系数

当k>q 时，ρk=0，xt 与xt+k 不相关，这种现象称为截尾，因此可根据自相关系数是否从某一点开始一直为0来判断MA(q)模型的阶数q 。

（2）MA(q)偏自相关系数

MA(q)模型对应一个AR （∞），通过AR （∞）来解决

3、ARMA （p ，q ）有拖尾特征，p 和q 的识别通过从低阶逐步试探直到合适的模型为止。

1.2关于ARIMA 模型

ARIMA 模型全称为差分自回归移动平均模型。是由博克思和詹金斯于70年代初提出的一著名

时间序列预测方法，博克思-詹金斯法。其中ARIMA(p，d，q)称为差分自回归移动平均模型，AR 是自回归，p为自回归项；MA为移动平均，q为移动平均项数，d为时间序列成为平稳时所做的差分次数。

ARIMA模型的基本思想是：将预测对象随时间推移而形成的数据序列视为一个随机序列，用一定的数学模型来近似描述这个序列。这个模型一旦被识别后就可以从时间序列的过去值及现在值来预测未来值。

1.3 时间序列的AR、MA和ARIMA建模

自回归过程

令Yt表示t时期的GDP。如果我们把Yt的模型写成

其中是Y的均值，而ut是具有零均值和恒定方差的不相关随机误差项(即ut是白噪音)，则成Yt遵循一个一阶自回归或AR(1)随机过程。

P阶自回归函数形式写成：

模型中只有Y这一个变量，没有其他变量。可以理解成“让数据自己说话”。

移动平均过程

上述AR过程并非是产生Y的唯一可能机制。如果Y的模型描述成

其中是常数，u为白噪音(零均值、恒定方差、非自相关)随机误差项。t时期的Y等于一个常数加上现在和过去误差项的一个移动平均值。则称Y遵循一个一阶移动平均或MA(1)过程。

q阶移动平均可以写成：

自回归于移动平均过程

如果Y兼有AR和MA的特性，则是ARMA过程。Y可以写成

其中有一个自回归项和一个移动平均项，那么他就是一个ARMA(1，1)过程。是常数项。

ARMA(p，q)过程中有p个自回归和q个移动平均项。

自回归求积移动平均过程

上面所做的都是基于数据是平稳的，但是很多时候时间数据是非平稳的，即是单整(单积)的，一般非平稳数据经过差分可以得到平稳数据。因此如果我们讲一个时间序列差分d次，变成平稳的，然后用AEMA(p，q)模型，则我们就说那个原始的时间序列是AEIMA(p，d，q)，即自回归求积移动平均时间序列。AEIMA(p，0，q)=AEMA(p，q)。

二、基本思路和基本程序

2.1 基本思路

步骤一：识别。找出适当的p、d、和q值。通过相关图和偏相关图可以解决。

步骤二：估计。估计模型周所含自回归和移动平均项的参数。有时可以用最小二乘法，有时候需要用非线性估计方法。(软件可以自动完成)

步骤三：诊断(检验)。看计算出来的残差是不是白噪音，是，则接受拟合；不是，则重新在做。

步骤四：预测。短期更为可靠。