八年级上知识梳理 沪教版 数学
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八年级上
第十六章二次根式
第一节:二次根式的概念
形如()的式子叫做二次根式。
注:在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意:因为负数没有平方根,所以是为二次根式的前提条件,如,,等是二次根式,而,等都不是二次根式。
取值范围
1. 二次根式有意义的条件:由二次根式的意义可知,当a≧0时,有意义,是二次根式,所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可。
2. 二次根式无意义的条件:因负数没有算术平方根,所以当a﹤0时,没有意义。
二次根式()的非负性
()表示a的算术平方根,也就是说,()是一个非负数,
即0()。
注:因为二次根式()表示a的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0,所以非负数()的算术平方根是非负数,即0(),这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多,如若,则a=0,b=0;若,则a=0,b=0;若,则a=0,b=0。
二次根式()的性质
()
文字语言叙述为:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注:二次根式的性质公式()是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用:若,则,如:,.二次根式的性质
文字语言叙述为:一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注:
1、化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本身,即;若a是负数,则等于a的相反数-a,即
;
2、中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义;
3、化简时,先将它化成,再根据绝对值的意义来进行化简。
与的异同点
1、不同点:与表示的意义是不同的,表示一个正数a的算术平方根的平方,而表示一个实数a的平方的算术平方根;在中,而中a可以是正实数,0,负实数。但与都是非负数,即,。因而它的运算的结果是有差别的,,而
2、相同点:当被开方数都是非负数,即时,=;时,
无意义,而.
最简二次根式
(1)被开方数中各因式的指数都为1
(2)被开方数不含分母
被开方数同时符合上述两个条件的二次根式,叫做最简二次根式
同类二次根式
1几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式
2 合并同类二次根式
把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
3二次根式加减时,可以先将二次根式化为最简二次根式,再将被开方数相同的进行合并。
第二节二次根式的运算
1.积的算数平方根的性质
√ab=√a·√b(a≥0,b≥0)
2. 乘法法则
√a·√b=√ab(a≥0,b≥0)
二次根式的乘法运算法则,用语言叙述为:两个因式的算术平方根的积,等于这两个因式积的算术平方根。
两个二次根式相乘,被开方数相乘,根指数不变。
两个二次根式相除,被开方数相除,根指数不变。
√a÷√b=√a÷b(a≥0,b>0)
二次根式的除法运算法则,用语言叙述为:两个数的算数平方根的商,等于这两个数商的算数平方根。
分母有理化
把分母的根号化去叫做分母有理化,1.根式中不能含有分母 2.分母中不能含有根式。
有理化根式。
如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式,那么这两个代数式叫做有理化根式,也称有理化因式。
二次根式的混合运算
1确定运算顺序
2灵活运用运算定律
3正确使用乘法公式
4大多数分母有理化要及时
5在有些简便运算中也许可以约分,不要盲目有理化
第十七章一元二次方程
一元二次方程的概念:
只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程,叫做一元二次方程1. 一元二次方程的一般形式: a≠0时,ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式,研究一元二次方程的有关问题时,多数习题要先化为一般形式,目的是确定一般形式中的a、b、c;其中a 、b,、c可能是具体数,也可能是含待定字母或特定式子的代数式.
2. 一元二次方程的解法:
(1)一元二次方程的四种解法要求灵活运用,其中直接开平方法虽然简单,但是适用范围较小;
(2)公式法虽然适用范围大,但计算较繁,易发生计算错误;
(3)因式分解法适用范围较大,且计算简便,是首选方法;
(4)配方法使用较少.
3. 一元二次方程根的判别式: 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0)时,Δ=b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题:
Δ>0 <=> 有两个不等的实根; Δ=0 <=> 有两个相等的实根; Δ<0 <=> 无实根; Δ≥0 <=> 有两个实根(等或不等). 4. 一元二次方程的根系关系: 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时,如Δ≥0,有下列公式:
.a
c
x x a
b
x x )2(a 2ac 4b b x )
1(212122
,1=
-=+-±-=,
; 5. 一元二次方程的解法
(1) 直接开平方法 (也可以使用因式分解法)
①2(0)x a a =≥ 解为:x =
②2()(0)x a b b +=≥ 解为:x a +=
③2()(0)ax b c c +=≥ 解为:ax b +=④22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为:()ax b cx d +=±+ (2) 因式分解法:提公因式分,平方公式,平方差,十字相乘法 如:20(,0)()0ax bx a b x ax b +=≠⇔+= 此类方程适合用提供因此,而且其中一个根为0
290(3)(3)0x x x -=⇔+-= 230(3)0x x x x -=⇔-=
3(21)5(21)0(35)(21)0x x x x x ---=⇔--=
22694(3)4x x x -+=⇔-= 2241290(23)0x x x -+=⇔-= 24120(6)(2)0x x x x --=⇔-+=
225120(23)(4)0x x x x +-=⇔-+=
(3) 配方法