第6章 正弦稳态电路的功率
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正弦稳态电路的复功率
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解2
I1
10
0
10
5 j15 j25 5
j15 A
8.77
105.3
A
I2 Is I1 14.94 34.5 A
S1吸
I2 1
Z1
8.772
(10
j25)V
A
(769
j1923)V
A
S2吸
I
Z2
2
2
14.942
(5
j15)V
A
(1
116
j3
348
)V
A
S发 I1Z1 IS* 10 8.77 105.3 (10 j25)V A
(1885 j1 423) V A
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9-5 复功率
1. 复功率
为了用相量U和I来计算功率，引入“复功率”
+ I
U_
负 载
定义：S UI* 单位 V A
S UI(u i ) UIφ S
也可表示为
UIcos jUIsin P jQ
S UI* ZI I* ZI2 (R jX)I2 RI2 jXI2
或
S
UI*
U
_
U 10 Z 236 37.1 V
I1 10W I2
j25W
S发 236 37.1 10V A (1882 j1424) V A
S1吸
U
Y2 * 1
2362 (10
1
j25
)*
VA(768j Nhomakorabea920)V
A
S2吸
U
Y2 * 2
(1113
j3 345)
V
A
正弦稳态电路的分析功率因数
U cos 220 0.5
发电与供电设备 的容量要求功率 因素较大
A
供电局一般要求用户的 COS 0.85 ，
否则受处罚。
126
常用电路的功率因数
纯电阻电路
★
COS 1
( 0)
纯电感电路或 纯电容电路
COS 0 ( 90)
R-L-C串联电路
0 COS 1
(90 90)
电动机 空载 满载
COS 0.2 ~ 0.3
COS 0.7 ~ 0.9
日光灯 （R-L-C串联电路）
COS 0.5 ~ 0.6 127
提高功率因数的原则：
必须保证原负载的工作状态不变。即：加至负 载上的电压和负载的有功功率不变。
提高功率因数的措施:
+
并联电容
U
_
I
R +_UR IRL +
j L UL _
IC
1
j C
128
并联电容值的计算
设原电路的功率因数为 cos L，要求补偿到
cos 须并联多大电容？（设 U、P 为已知）
I
+
R +_UR
U
IRL +
j L UL _
_
IC
1
j C
IC
U
L
I
IRL
129
分析依据：补偿前后 P、U 不变。
由相量图可知：
IC I RL sin L I sin
IC
P UI RL cosL
P UI cos
并联前 并联后
U
L
I
IC
IC U XC U C
UC P U cos L
sin L
发电与供电设备 的容量要求功率 因素较大
A
供电局一般要求用户的 COS 0.85 ，
否则受处罚。
126
常用电路的功率因数
纯电阻电路
★
COS 1
( 0)
纯电感电路或 纯电容电路
COS 0 ( 90)
R-L-C串联电路
0 COS 1
(90 90)
电动机 空载 满载
COS 0.2 ~ 0.3
COS 0.7 ~ 0.9
日光灯 （R-L-C串联电路）
COS 0.5 ~ 0.6 127
提高功率因数的原则：
必须保证原负载的工作状态不变。即：加至负 载上的电压和负载的有功功率不变。
提高功率因数的措施:
+
并联电容
U
_
I
R +_UR IRL +
j L UL _
IC
1
j C
128
并联电容值的计算
设原电路的功率因数为 cos L，要求补偿到
cos 须并联多大电容？（设 U、P 为已知）
I
+
R +_UR
U
IRL +
j L UL _
_
IC
1
j C
IC
U
L
I
IRL
129
分析依据：补偿前后 P、U 不变。
由相量图可知：
IC I RL sin L I sin
IC
P UI RL cosL
P UI cos
并联前 并联后
U
L
I
IC
IC U XC U C
UC P U cos L
sin L
正弦电路的无功功率及视在功率精
由上两式可以看出，电感或电 容的瞬时功率随时间按正弦规律变 化，正负值交替，一段时间内 p（t） ＞0，电感或电容吸收功率；另一段 时间内p（t）＜0，电感或电容发出 功率。
平均功率为
P = UI cos±90o）= 0
表明：
正弦稳态中，储能元件电感或电容的平均功率等于 零，不消耗能量，但和电源之间存在能量的交换作用， 即在前半个周期吸收电源的功率并储存起来，后半个 周期又将其全部释放，这种能量交换的速率用另外一 种功率——无功功率来描述。
2、功率因数是正弦电路中一个非常重要的物理量。 其大小表征了电气设备功率的利用率。提高负载的功 率因数是电气工程领域一个非常重要的课题。
本讲作业
1、复习本讲内容； 2、预习下一讲内容——三相电路；
3、书面作业：习题9-2，9-5，9-6。
问题：怎样提高电路的功率因数？
方法： 用电容器与感性负载并联，这样可使电感的磁场 能量与电容的电场能量进行部分交换，从而减少了 电源与负载间能量的交换，即减少了电源提供给负 载的无功功率，也就提高了功率因数。
【例18-2】
下图（a）所示电路表示电压源向一个电感性负载供电的电 路模型，试用并联电容的方法来提高负载的功率因数。
Y G j B 1 3 j4 (0 12 j0 16)S 3 j4 32 42
从上式可见，所并联的电容的复导纳应该为YC = jwC = + j0.16 S，才能使二端网络呈现为纯电阻， 这时电路的导纳等于纯电导，即Y = G = 0.12 S。也 就是说，在端口并联电容值为C = （0.16/w）的电 容后，可以使功率因数提高到1，即效率达到100%。
S S~ UI
功率三角形： 下图所示为RLC串联电路的功率三角形：
平均功率为
P = UI cos±90o）= 0
表明：
正弦稳态中，储能元件电感或电容的平均功率等于 零，不消耗能量，但和电源之间存在能量的交换作用， 即在前半个周期吸收电源的功率并储存起来，后半个 周期又将其全部释放，这种能量交换的速率用另外一 种功率——无功功率来描述。
2、功率因数是正弦电路中一个非常重要的物理量。 其大小表征了电气设备功率的利用率。提高负载的功 率因数是电气工程领域一个非常重要的课题。
本讲作业
1、复习本讲内容； 2、预习下一讲内容——三相电路；
3、书面作业：习题9-2，9-5，9-6。
问题：怎样提高电路的功率因数？
方法： 用电容器与感性负载并联，这样可使电感的磁场 能量与电容的电场能量进行部分交换，从而减少了 电源与负载间能量的交换，即减少了电源提供给负 载的无功功率，也就提高了功率因数。
【例18-2】
下图（a）所示电路表示电压源向一个电感性负载供电的电 路模型，试用并联电容的方法来提高负载的功率因数。
Y G j B 1 3 j4 (0 12 j0 16)S 3 j4 32 42
从上式可见，所并联的电容的复导纳应该为YC = jwC = + j0.16 S，才能使二端网络呈现为纯电阻， 这时电路的导纳等于纯电导，即Y = G = 0.12 S。也 就是说，在端口并联电容值为C = （0.16/w）的电 容后，可以使功率因数提高到1，即效率达到100%。
S S~ UI
功率三角形： 下图所示为RLC串联电路的功率三角形：
电路原理-正弦稳态电路的分析
对记录的数据进行分析，验证正 弦稳态电路的原理和性质。
实验结果与讨论
实验结果
通过实验观察和数据记录，可以 得出正弦稳态电路中电压和电流 的波形关系，以及元件参数对波
形的影响。
结果分析
对实验结果进行分析，验证正弦稳 态电路的基本原理，如欧姆定律、 基尔霍夫定律等。
实验讨论
讨论实验中可能存在的误差来源， 如电源稳定性、示波器的测量误差 等。同时，可以探讨如何减小误差、 提高实验精度的方法。
04 正弦稳态电路的分析实例
单相交流电路分析
总结词
分析单相交流电路时，需要计算电流、电压的有效值以及功率等参数，并考虑阻 抗、导纳和相位角等因素。
详细描述
在单相交流电路中，电压和电流都是时间的正弦函数。为了分析电路，我们需要 计算电流和电压的有效值，以及功率等参数。此外，还需要考虑阻抗、导纳和相 位角等因素，以便更准确地描述电路的性能。
实验步骤与操作
3. 观察波形
2. 连接电源
将电源连接到电路中，为电路提 供稳定的交流电压。
使用示波器观察电路中各点的电 压和电流波形，并记录数据。
4. 调整元件参数
通过调整电阻器、电容器和电感 器的参数，观察波形变化，并记 录数据。
1. 搭建正弦稳态电路
5. 分析数据
根据实验要求，使用电阻器、电 容器和电感器搭建正弦稳态电路。
相量法
1
相量法是一种分析正弦稳态电路的方法，通过引 入复数相量来表示正弦量，将时域问题转化为复 数域问题，简化计算过程。
2
相量法的核心思想是将正弦电压和电流表示为复 数形式的相量，并利用相量图进行电路分析。
3
相量法的优点在于能够直观地表示正弦量的相位 关系和幅度关系，简化计算过程，提高分析效率。
第六章 相量法(1)
设 u(t)=Umcos(ω t+ψ u), i(t)=Imcos(ω t+ψ i) 则 相位差 : = (ω t+ψ u)- (ω t+ψ i)= ψ u-ψ i 等于初相位之差 规定: 规定: | | ≤π (180°). °.
>0, u超前 角,或i 落后u 角(u 比i先到达最大值); 超前i 先到达最大值) 超前 先到达最大值 u, i u i O
Im A2
图解法
(1)加减运算 (1)加减运算——采用代数形式 采用代数形式 加减运算 若 则
A1=a1+jb1, A2=a2+jb2 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
A1 0 Re
乘除运算——采用极坐标形式 (2) 乘除运算 采用极坐标形式 若 则:
A1=|A1| θ 1 ,A2=|A2| θ 2
ψu ψi 先到达最大值. <0, i 超前 u 角,或u 滞后 i 角,i 比 u 先到达最大值. ,
ωt
特殊相位关系: 特殊相位关系:
=±π (±180o ) ,反相: 反相: ±π ±
u, i u u i 0 u, i u i 0 iω t
= 0, 同相: 同相:
u, i
0 = π/2: π/2
i , Im , I
5.正弦量的相量表示 5.正弦量的相量表示 问题的提出: ① 问题的提出:
电路方程是微分方程: 电路方程是微分方程: +i R C L
u
_
d uC duC LC + RC + uC = u(t ) dt dt
2
两个正弦量的相加: 方程运算. 两个正弦量的相加:如KCL,KVL方程运算. , 方程运算
>0, u超前 角,或i 落后u 角(u 比i先到达最大值); 超前i 先到达最大值) 超前 先到达最大值 u, i u i O
Im A2
图解法
(1)加减运算 (1)加减运算——采用代数形式 采用代数形式 加减运算 若 则
A1=a1+jb1, A2=a2+jb2 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
A1 0 Re
乘除运算——采用极坐标形式 (2) 乘除运算 采用极坐标形式 若 则:
A1=|A1| θ 1 ,A2=|A2| θ 2
ψu ψi 先到达最大值. <0, i 超前 u 角,或u 滞后 i 角,i 比 u 先到达最大值. ,
ωt
特殊相位关系: 特殊相位关系:
=±π (±180o ) ,反相: 反相: ±π ±
u, i u u i 0 u, i u i 0 iω t
= 0, 同相: 同相:
u, i
0 = π/2: π/2
i , Im , I
5.正弦量的相量表示 5.正弦量的相量表示 问题的提出: ① 问题的提出:
电路方程是微分方程: 电路方程是微分方程: +i R C L
u
_
d uC duC LC + RC + uC = u(t ) dt dt
2
两个正弦量的相加: 方程运算. 两个正弦量的相加:如KCL,KVL方程运算. , 方程运算
正弦稳态电路的功率
电阻分量消耗的平均功率，就是单口 网络吸收的平均功率。
3、视在功率
S UI
表示一个电气设备的容量，是单口网 络所吸收平均功率的最大值，单位： 伏安(VA)。例如我们说某个发电机的 容量为100kVA，而不说其容量为 100kW
4、功率因数
网络吸收的平均功率P与cosZ的大小
密切相关，cosZ表示功率的利用程度
解：电路的相量模型如图(b)所示。先 求出连接电压源单口网络的等效阻抗
Z 0.5 j1.5 (j1)(j1 1 j1) 0.5 j1.5 0.5 j0.5 1 j1 1 j1
用欧姆定律求电流 分流公式求电流
I1
U S Z
20 1 j1
2 45 A
I2
j1 1 j1
I1
，称为功率因数
pf
cos Z
P S
Z=u-i为功率因数角。当二端网络
为无源元件R、L、C组成时：
|Z|<90 ,0< pf <1。
Z<0
,电路呈容性，电流导前电压； Z>0
,电路感呈性，电流滞后电压。
为了提高电能的利用效率，电力部门 采用各种措施力求提高功率因数。例 如使用镇流器的日光灯电路，它等效 于一个电阻和电感的串联，其功率因 数小于1，它要求线路提供更大的电流。 为了提高日光灯电路的功率因数，一 个常用的办法是在它的输入端并联一 个适当数值的电容来抵销电感分量， 使其端口特性接近一个纯电阻以便使 功率因数接近于1。
得最大功率，试设计一个由电抗元件组 成的网络来满足共轭匹配条件。
100 a
+
100∠0o V
-
b
RL=
1000
解：1 若不用匹配网络，将1000Ω负载
3、视在功率
S UI
表示一个电气设备的容量，是单口网 络所吸收平均功率的最大值，单位： 伏安(VA)。例如我们说某个发电机的 容量为100kVA，而不说其容量为 100kW
4、功率因数
网络吸收的平均功率P与cosZ的大小
密切相关，cosZ表示功率的利用程度
解：电路的相量模型如图(b)所示。先 求出连接电压源单口网络的等效阻抗
Z 0.5 j1.5 (j1)(j1 1 j1) 0.5 j1.5 0.5 j0.5 1 j1 1 j1
用欧姆定律求电流 分流公式求电流
I1
U S Z
20 1 j1
2 45 A
I2
j1 1 j1
I1
，称为功率因数
pf
cos Z
P S
Z=u-i为功率因数角。当二端网络
为无源元件R、L、C组成时：
|Z|<90 ,0< pf <1。
Z<0
,电路呈容性，电流导前电压； Z>0
,电路感呈性，电流滞后电压。
为了提高电能的利用效率，电力部门 采用各种措施力求提高功率因数。例 如使用镇流器的日光灯电路，它等效 于一个电阻和电感的串联，其功率因 数小于1，它要求线路提供更大的电流。 为了提高日光灯电路的功率因数，一 个常用的办法是在它的输入端并联一 个适当数值的电容来抵销电感分量， 使其端口特性接近一个纯电阻以便使 功率因数接近于1。
得最大功率，试设计一个由电抗元件组 成的网络来满足共轭匹配条件。
100 a
+
100∠0o V
-
b
RL=
1000
解：1 若不用匹配网络，将1000Ω负载
正弦稳态电路分析PPT课件
Q，并计算电源的视在功率S和功率因素cos 。
2
解法二： 采用阻抗Z计算；
·IS
+ 1
U·
2 Z 2 (1 j)(2 j) 2 3 j
1 j 2 j
3
_ j1
-j1
3 j 1 ()
Z
•
U
ZIS
(3
3j 1)50 3
(15
j 5)(V ) 3
P IS 2 Re[Z ] 52 3 75(W )
3 32 (1/ 3)2
75(W )
Q UIS sin φ
152 (5 / 3)2 5
1/ 3 32 (1/ 3)2
8.3(Var)
S UIS 152 (5 / 3)2 5 75.5(VA) cos φ 0.993
第6章 正弦稳态电路分析
例：如图电路中，已知 is 5 2 sin 2（t A ），求电源提供的P、
+
U·S_
·I1
5
j5
3 -j4
解：U s 100V I1 2 45（ A） I2 253.1（ A）
P1 I12R1 （ 2）2 5 10（W）
或： P1 USI1 cos φ1=10 2 cos 45 10(W)
P2
I
2 2
R2
22
3
12（W）
或： P2 USI2 cos φ2=10 2 cos 53.1 12（W）
例：电路如图，已知 us (t) 10 2 sin 5（t V） ，求电阻R1，R2
消耗的功率，并分析功率关系。
·I2
+ uS(t)_
R1 5 R2 3 L 1H C 0.05F
+
2
解法二： 采用阻抗Z计算；
·IS
+ 1
U·
2 Z 2 (1 j)(2 j) 2 3 j
1 j 2 j
3
_ j1
-j1
3 j 1 ()
Z
•
U
ZIS
(3
3j 1)50 3
(15
j 5)(V ) 3
P IS 2 Re[Z ] 52 3 75(W )
3 32 (1/ 3)2
75(W )
Q UIS sin φ
152 (5 / 3)2 5
1/ 3 32 (1/ 3)2
8.3(Var)
S UIS 152 (5 / 3)2 5 75.5(VA) cos φ 0.993
第6章 正弦稳态电路分析
例：如图电路中，已知 is 5 2 sin 2（t A ），求电源提供的P、
+
U·S_
·I1
5
j5
3 -j4
解：U s 100V I1 2 45（ A） I2 253.1（ A）
P1 I12R1 （ 2）2 5 10（W）
或： P1 USI1 cos φ1=10 2 cos 45 10(W)
P2
I
2 2
R2
22
3
12（W）
或： P2 USI2 cos φ2=10 2 cos 53.1 12（W）
例：电路如图，已知 us (t) 10 2 sin 5（t V） ，求电阻R1，R2
消耗的功率，并分析功率关系。
·I2
+ uS(t)_
R1 5 R2 3 L 1H C 0.05F
+
正弦稳态电路的功率公式
正弦稳态电路的功率公式在电路中，功率是电能转换的重要指标之一。
而对于正弦稳态电路，我们可以通过一条简单而有效的公式来计算其功率。
本文将详细介绍正弦稳态电路的功率公式，并解释其背后的原理和应用。
一、正弦稳态电路的功率公式正弦稳态电路是指电路中的电流和电压都是正弦波形式，并且其频率保持不变。
在这种情况下，我们可以使用以下功率公式来计算电路中的功率：P = Vrms * Irms * cos(θ)其中，P表示电路的功率，Vrms表示电压的有效值，Irms表示电流的有效值，θ表示电压和电流之间的相位差。
二、功率公式的原理解释为了更好地理解功率公式的原理，我们可以从电能转换的角度来解释。
在正弦稳态电路中，电流和电压都是周期性变化的，而功率则是电能转化的速率。
根据能量守恒定律，电路中产生的功率等于电能的消耗速率。
在公式中，Vrms和Irms分别表示电压和电流的有效值。
有效值是指在一个周期内，电压和电流的平方值的平均值的平方根。
有效值可以反映电压和电流的实际大小，而不受正弦波形式的影响。
而c os(θ)则表示电压和电流之间的相位差。
相位差是指电压和电流的波形之间的时间差，它可以是正值、负值或零值。
当相位差为零时，电压和电流完全同相，功率取得最大值。
当相位差为正值或负值时，电压和电流存在一定的错位，功率将减小。
因此，正弦稳态电路的功率公式可以通过电压和电流的有效值以及它们之间的相位差来计算电路的功率。
三、功率公式的应用功率公式在电路分析和设计中有着广泛的应用。
它可以帮助我们计算电路中的功率消耗，并进一步优化电路的设计。
功率公式可以用于计算电路中不同元件的功率消耗。
例如，我们可以通过测量电压和电流的有效值，并计算它们之间的相位差，来确定电阻、电容或电感元件的功率消耗。
功率公式可以用于分析电路中的功率传递和传输效率。
通过计算电路中不同节点的功率，我们可以了解能量在电路中的分布情况，找出能量损失的原因，并进一步改进电路的效率。
正弦稳态电路的最大功率传输
P
RLU
2 s
(Ri RL )2 ( X i X L )2
①若ZL= RL + jXL可任意改变
PPmax(RiRL4UURRsLs2i)2
(a)先设 RL 不变，XL 改变
显然，当Xi + XL=0，即XL =-Xi时，P 获得最大值。
(b)再讨论 RL 改变时，P 的最大值。
最佳
当RL= Ri 时，P 获得最大值
当
RL
1 (CRL )2
5
CRL2
5
1 (CRL )2
CRL11μ0FΩ 获最大功率
I 10 0 A 1A 10
Pmax I 2Ri 1 5W 5W
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50H I
5
+
RL
10 0o V
_
ZL
1 Y
1
RL
jCRL
1
RL
(CRL
)
2
j
1
CRL2 (CRL
)
2
当
RL
1 (CRL )2
负载获得的功率为
P
(Ri
RLU
2 s
RL )2
X2 i
模匹配
令
dP 0 dRL
获得最大功率条件为
RL
Ri2
X
2 i
Zi
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例6-1电路如图。求：1.RL=5时其消耗的功率；
2.RL=?能获得最大功率，并求最大功率；
3.在RL两端并联一电容，问RL和C为多大时能与
内阻抗最佳匹配，并求最大功率。 50H
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I 10 0 A 0.766 22.5 A 5 j5 7.07
什么是正弦稳态电路(精)
二、研究正弦稳态电路的意义
正弦电压和电流产生容易，与非电量转换方便，在实用 电路中使用广泛。 复杂信号皆可分解为若干不同频率正弦信号之和，因此可 利用叠加定理将正弦稳态分析推广到非正弦信号激励下的电 路响应。
三、正弦稳态电路的分析方法
采用相量分析法，引入相量的概念以后，在电阻电路 中应用的公式、定理均可以运用于正弦稳态电路。
试求 i3 (t )，并作出各电流相量的相量图。
解：由 i1 (t ) 、 i2 (t ) 的时域形式，得：
I1 20 I 2 2120
i1 (t )
i2 (t )
i3 (t )
由KCL的相量形式，得：
I3 I1 I 2 20 2120 2 1 j 3 2 120 A
u2 (t ) 2U 2 cos(t 2 )
相位差定义为：
12 (t 1 ) (t 2 ) 1 2
同频正弦量的相位差等于它们的初相之差，是一个与 时间无关的常数
比较两正弦量的相位差时应注意： （1）两正弦量必须是同类型的函数
（2）两正弦量必须具有相同的频率
i iR u(t) iC C iL L
R=15Ω，C=83.3μF,L=30mH,求电流I. 解：利用KCL相量关系，有：
I I R IC I L
U 120 j120 V 2
U j120 IR j8 A R 15 I C j CU j 1000 (83.3 106 ) ( j120) 10 A U j120 IL 4A 3 j L j1000 (30 10 )
定理4
若A、B为复常数,若在所有的时刻都满足
Re[ Ae jt ] Re[ Be jt ]
正弦稳态电路的功率及功率因数的提高
正弦稳态电路的功率及功率因数的 提高
contents
目录
• 引言 • 正弦稳态电路的功率 • 功率因数对电力系统的影响 • 提高正弦稳态电路功率因数的方法 • 实际应用与案例分析 • 结论与展望
01 引言
主题简介
正弦稳态电路
在交流电作用下，电路中的电压 和电流都保持正弦波形的稳态。
功率因数
衡量电气设备利用功率效率的指 标，定义为有功功率与视在功率 的比值。
研究目的和意义
提高电力利用率
01
通过提高功率因数，减少无功功率的消耗，从而提高电力利用
率，降低能源浪费。
改善电网质量
02
功率因数的提高有助于改善电网的电压质量，减少谐波干扰，
提高供电稳定性。
降低能耗和节约成本
03
企业或工厂在电力方面的成本降低，有助于节约运营成本，提
高经济效益。
02 正弦稳态电路的功率
并联电容补偿的优点是能够减小线路的损耗，提高电压质量，但可能会引 起电流增大，需要合理选择电容容量。
同步电机和感应电动机的补偿
同步电机和感应电动机在运行过程中会产生无功功率，通过对其运行状 态进行控制，可以改善功率因数。
对于同步电机，可以通过调应电动机，可以通过控制负载的大小和性质来减小无功功率。
03
加强与实际应用的结合，将研究成果应用于实际电力系统，以提高电 力系统的运行效率和稳定性。
04
深入研究正弦稳态电路的谐波抑制和节能技术，为实现绿色、智能的 电力系统提供技术支持。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
功率因数提高的意义
提高功率因数可以减少线路损耗、改善电压质量、提高设备利用率 等。
功率因数提高的方法
contents
目录
• 引言 • 正弦稳态电路的功率 • 功率因数对电力系统的影响 • 提高正弦稳态电路功率因数的方法 • 实际应用与案例分析 • 结论与展望
01 引言
主题简介
正弦稳态电路
在交流电作用下，电路中的电压 和电流都保持正弦波形的稳态。
功率因数
衡量电气设备利用功率效率的指 标，定义为有功功率与视在功率 的比值。
研究目的和意义
提高电力利用率
01
通过提高功率因数，减少无功功率的消耗，从而提高电力利用
率，降低能源浪费。
改善电网质量
02
功率因数的提高有助于改善电网的电压质量，减少谐波干扰，
提高供电稳定性。
降低能耗和节约成本
03
企业或工厂在电力方面的成本降低，有助于节约运营成本，提
高经济效益。
02 正弦稳态电路的功率
并联电容补偿的优点是能够减小线路的损耗，提高电压质量，但可能会引 起电流增大，需要合理选择电容容量。
同步电机和感应电动机的补偿
同步电机和感应电动机在运行过程中会产生无功功率，通过对其运行状 态进行控制，可以改善功率因数。
对于同步电机，可以通过调应电动机，可以通过控制负载的大小和性质来减小无功功率。
03
加强与实际应用的结合，将研究成果应用于实际电力系统，以提高电 力系统的运行效率和稳定性。
04
深入研究正弦稳态电路的谐波抑制和节能技术，为实现绿色、智能的 电力系统提供技术支持。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
功率因数提高的意义
提高功率因数可以减少线路损耗、改善电压质量、提高设备利用率 等。
功率因数提高的方法
正弦稳态电路的功率2
无功功率是交流电动机和变压器运行的必要条件
四.视在功率
视在功率一般不守恒
S UI 单位： V A
又叫容量，表示电源有可能提供的最大有功功率
有功功率： P UI cos 单位： W 无功功率： Q UI sin 单位： var
视在功率： S P2 Q2 单位：V A
Z
I
X
U
U X
I
S
Q
iR 2IR sin ω t
pR
+
+
u
iR
oo
t
pR uiR 2U sint 2IR sin ωt
UIR[1 cos(2t)]
2sin2 1 cos 2
pR 0
电阻总是吸收功率
2.电感的瞬时功率
i
+
U
u -
L L IL
u 2U sinωt
iL 2I L sin (t 90o )
cos P P
S P2 Q2
提高cos 的意义：
（1）提高电源的利用率 （2）减小线路的功率损耗
提高功率因数的方法 P cos
S
S1 S
Q1
1
Q
P
Q1
P1
有功功率不变，减小视在功率，需减少无功功率 视在功率不变，增大有功功率, 需减少无功功率
R
U R
P
五. 功率因数
有功功率与视在功率的比值 P cos
I
S
++
U Z
-
Z R jX
U
Z
I
R
0 cos 1
对电源利用 率的衡量 功率因数角
X
X 0 ， 0 ， 感性 ， 滞后的功率因数 X 0 ， 0， 容性 ， 超前的功率因数
正弦稳态电路的功率
负载
cos =0.7, P=0.7S=52.5kW
设备容量 S (额定)向负载送多少有功功率要 由负载的阻抗角决定。
一般用户： 异步电机 空载 cos =0.2~0.3
满载 cos =0.7~0.85
荧光灯
cos =0.45~0.6
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② 当输出相同的有功功率时，线路上电流大，
6. 任意阻抗的功率计算
+i
PZ =UIcos =I2|Z|cos =I2R
u -
Z QZ =UIsin =I2|Z|sin =I2X
＝I2(XL＋XC)=QL＋QC
QL I 2 X L 0 吸收无功功率为正
QC I 2 XC 0 吸收无功功率为负 (发出无功)
S P2 Q2 I 2 R2 X 2 I 2 Z
I=P/(Ucos)，线路压降损耗大。
+i
u
Z
-
1 2 I
U
P UI cos I U cos I
解决办法： （1）高压传输。 （2）改进自身设备。 （3）并联电容，提高功率因数。
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分析
I
+
R IL IC
U
_
L
C
特点：
1 2 I
U
IL IC
并联电容后，原负载的电压和电流不变， 吸收的有功功率和无功功率不变，即：负载的 工作状态不变。但电路的功率因数提高了。
-
QR =UIsin =UIsin0 =0
i
+ u
L PL=UIcos =UIcos90 =0
-
QL =UIsin =UIsin90 =UI=I2XL
i
+
PC=UIcos =UIcos(-90)=0
cos =0.7, P=0.7S=52.5kW
设备容量 S (额定)向负载送多少有功功率要 由负载的阻抗角决定。
一般用户： 异步电机 空载 cos =0.2~0.3
满载 cos =0.7~0.85
荧光灯
cos =0.45~0.6
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② 当输出相同的有功功率时，线路上电流大，
6. 任意阻抗的功率计算
+i
PZ =UIcos =I2|Z|cos =I2R
u -
Z QZ =UIsin =I2|Z|sin =I2X
＝I2(XL＋XC)=QL＋QC
QL I 2 X L 0 吸收无功功率为正
QC I 2 XC 0 吸收无功功率为负 (发出无功)
S P2 Q2 I 2 R2 X 2 I 2 Z
I=P/(Ucos)，线路压降损耗大。
+i
u
Z
-
1 2 I
U
P UI cos I U cos I
解决办法： （1）高压传输。 （2）改进自身设备。 （3）并联电容，提高功率因数。
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分析
I
+
R IL IC
U
_
L
C
特点：
1 2 I
U
IL IC
并联电容后，原负载的电压和电流不变， 吸收的有功功率和无功功率不变，即：负载的 工作状态不变。但电路的功率因数提高了。
-
QR =UIsin =UIsin0 =0
i
+ u
L PL=UIcos =UIcos90 =0
-
QL =UIsin =UIsin90 =UI=I2XL
i
+
PC=UIcos =UIcos(-90)=0
正弦稳态电路的功率公式
正弦稳态电路的功率公式1.有功功率：有功功率表示电路中能转化为其他形式的功率，通常是用于实现有用功能的功率。
在正弦稳态电路中，有功功率可以通过电压和电流的乘积来计算。
对于单相电路，有功功率的公式如下：P = V × I × cos(θ)其中，P表示有功功率，V表示电流的有效值，I表示电压的有效值，θ表示电压和电流之间的相位差。
在三相电路中，有功功率的公式如下：P = √3 × V × I × cos(θ)其中，P表示有功功率，V表示电压的有效值，I表示电流的有效值，θ表示电压和电流之间的相位差。
2.无功功率：无功功率表示电路中产生的电能不能被转化为其他形式的功率，它主要是用来提供电路元件的无效功率。
在正弦稳态电路中，无功功率可以通过电压和电流的乘积来计算。
对于单相电路，无功功率的公式如下：Q = V × I × sin(θ)其中，Q表示无功功率，V表示电流的有效值，I表示电压的有效值，θ表示电压和电流之间的相位差。
在三相电路中，无功功率的公式如下：Q = √3 × V × I × sin(θ)其中，Q表示无功功率，V表示电压的有效值，I表示电流的有效值，θ表示电压和电流之间的相位差。
3.视在功率：视在功率表示电路中的总功率，它等于有功功率和无功功率的向量和。
在正弦稳态电路中，视在功率可以通过电压和电流的乘积来计算。
对于单相电路，视在功率的公式如下：S=V×I其中，S表示视在功率，V表示电流的有效值，I表示电压的有效值。
在三相电路中，视在功率的公式如下：S=√3×V×I其中，S表示视在功率，V表示电压的有效值，I表示电流的有效值。
4.功率因数：功率因数表示有功功率和视在功率之间的比率，它反映了电路中有效功率的利用率。
功率因数通常用cos(θ)表示，在正弦稳态电路中，功率因数可以通过有功功率和视在功率的比值来计算。
《电路分析》——正弦稳态分析
0 电压超前电流角 0 电压与电流同相 0 电压滞后电流角 180 电压与电流反相
>0， u超前i 角，或i 落后u 角(u 比i先到达最大值)；
u, i u i
O
t
yu yi
<0， i 超前 u 角，或u 滞后 i 角,i 比 u 先到达最大值。
Im A2
0
图解法
A1 Re
(2) 乘除运算——采用极坐标形式
若 A1=|A1| 1 ，A2=|A2| 2
则:
A1 A2
A1 e j1
A2 e j2
A1
A e j(12 ) 2
A1 A2 1 2 乘法：模相乘，角相加。
A1 A2
| A1 |θ1 | A2 |θ2
几种不同值时的旋转因子
Im
(1) ,
jI jI
I
2
j
e2
cos
j sin
j
2
2
I I
0
Re
jI
jI
(2) ,
jபைடு நூலகம்
e2
cos(
)
j sin(
)
j
2
2
2
(3) , e j cos( ) j sin( ) 1
其它非正弦的周期信号不能照搬这个关系式；
（2）工程上所说的正弦电压和电流的大小都是指有效值； （3）一般电压表和电流表的刻度都是按有效值来标定的； （4）交流电气设备铭牌上所标定的电压、电流值都是有效 值。如“220V，100W”的白炽灯，是指它的额定电压的有效 值是220V。
>0， u超前i 角，或i 落后u 角(u 比i先到达最大值)；
u, i u i
O
t
yu yi
<0， i 超前 u 角，或u 滞后 i 角,i 比 u 先到达最大值。
Im A2
0
图解法
A1 Re
(2) 乘除运算——采用极坐标形式
若 A1=|A1| 1 ，A2=|A2| 2
则:
A1 A2
A1 e j1
A2 e j2
A1
A e j(12 ) 2
A1 A2 1 2 乘法：模相乘，角相加。
A1 A2
| A1 |θ1 | A2 |θ2
几种不同值时的旋转因子
Im
(1) ,
jI jI
I
2
j
e2
cos
j sin
j
2
2
I I
0
Re
jI
jI
(2) ,
jபைடு நூலகம்
e2
cos(
)
j sin(
)
j
2
2
2
(3) , e j cos( ) j sin( ) 1
其它非正弦的周期信号不能照搬这个关系式；
（2）工程上所说的正弦电压和电流的大小都是指有效值； （3）一般电压表和电流表的刻度都是按有效值来标定的； （4）交流电气设备铭牌上所标定的电压、电流值都是有效 值。如“220V，100W”的白炽灯，是指它的额定电压的有效 值是220V。
正弦稳态电路的分析
u i 0 u i 说明u 超前于 i 度；
u i 0 u i
u滞后于 i 度或i趋前于 u 度
6.2.2 相位差
u i 0 ，表示 u 与 i 同相； u u i 180o ,表示 与 i 反相； u u i 90o ，表示 与 i 正交。
f (t) Fm cos(t )
若表示电路中的电流信号，在选定参考方 向下，可表示为
i(t) Im cos(t i )
6.2 正弦信号
f (t) Fm cos(t )
Fm 是正弦信号的振幅或最大值
(t ) 是瞬时相位
是初相 周期T 正弦信号每经过一个周期T的时间，相位 变化弧度
两种分析法的简单比较
2.用相量法
列写电路电压相量方程
•
•
•
U S U R U C
解这个代数方程，用复数运算求出
再写出与
•
UC
相对应的瞬时值
uC (t)
•
U。C
，
即求出电路的稳态响应。
6.2 正弦信号
6.2.1正弦信号的三个特征量 按正弦或余弦规律变化的周期电压、电 流、电荷和磁链信号统称为正弦信号。 以余弦信号为例，正弦信号的一般表达 式为
周期电流 i流过电阻R在一个周期T内所 作功为
w
T
p(t)dt
T Ri2 (t)dt
0
0
6.2.3 有效值
• 直流电流 I流过 R 在 T 内所作功为
• 两者相等 即
I 2RT T i2Rdt 0
w T RI 2dt RI 2T 0 I 1 T i2dt T0
或
A | A |
u i 0 u i
u滞后于 i 度或i趋前于 u 度
6.2.2 相位差
u i 0 ，表示 u 与 i 同相； u u i 180o ,表示 与 i 反相； u u i 90o ，表示 与 i 正交。
f (t) Fm cos(t )
若表示电路中的电流信号，在选定参考方 向下，可表示为
i(t) Im cos(t i )
6.2 正弦信号
f (t) Fm cos(t )
Fm 是正弦信号的振幅或最大值
(t ) 是瞬时相位
是初相 周期T 正弦信号每经过一个周期T的时间，相位 变化弧度
两种分析法的简单比较
2.用相量法
列写电路电压相量方程
•
•
•
U S U R U C
解这个代数方程，用复数运算求出
再写出与
•
UC
相对应的瞬时值
uC (t)
•
U。C
，
即求出电路的稳态响应。
6.2 正弦信号
6.2.1正弦信号的三个特征量 按正弦或余弦规律变化的周期电压、电 流、电荷和磁链信号统称为正弦信号。 以余弦信号为例，正弦信号的一般表达 式为
周期电流 i流过电阻R在一个周期T内所 作功为
w
T
p(t)dt
T Ri2 (t)dt
0
0
6.2.3 有效值
• 直流电流 I流过 R 在 T 内所作功为
• 两者相等 即
I 2RT T i2Rdt 0
w T RI 2dt RI 2T 0 I 1 T i2dt T0
或
A | A |
第6章(3)正弦稳态电路的功率
1 T P = ∫ p (t )dt = UI cos ϕ = UI λ T 0
单位：瓦 (6.5-3)
在正弦稳态情况下，平均功率不仅与电压、电流的有 效值有关，而且与电压、电流的位相差有关。 式中 λ = cos ϕ 称为功率因数(power factor) ϕ = ϕu − ϕi 称功率因数角(power-factor angle) 通常所说的功率，都是指平均功率而言。平均功 率又叫有功功率(active power)。
Q = UI sin ϕ = UI sin ϕ Z
(6.5-27)
②Reactive Power in Terms of Z or Y : 对于不含 独立源的一端口，无功功率也可以 用阻抗或导纳计算。根据式(6.5-6)和(6.5-18)， (6.5-18)，即 2 * * (6.5-28a) Q = Im(UI ) = Im( ZII ) = I Im( Z ) = I 2 X (ω )
p (t ) = UI cos ϕ + UI cos(2ωt + 2ϕu − ϕ ) = UI cos ϕ + UI cos ϕ cos(2ωt + 2ϕu ) + UI sin ϕ sin(2ωt + 2ϕu )
(6.5-2) 上式中第一项始终大于(或小于、或等于零)，它是 瞬时功率中的不可逆部分；第二项是瞬时功率中的 可逆部分，其值正负交替，说明能量在外施电源和 二端网络之间来回交换。
第六章 正弦电路的稳态分析
注： i) 如果一端口只由R、L、C等无源元件组成，则功率 因数角φ＝阻抗角φZ，且|φZ|≤900，所以平均功率P≥0， 一端口吸收能量。根据能量守恒可知，P为一端口中电阻 元件所消耗的总功率（∵L、C元件不耗能）。 ii) 如果一端口除无源元件外尚有受控源(亦有功率因 数角φ＝阻抗角φZ)， |φZ|可能＞900。其平均功率P为负 值，说明该一端口对外提供能量。 iii) 如果一端口内含有独立电源，则功率因数角φ为 端口电压与端口电流的位相差。P可能为正，也可能为负 值。即一端口可能吸收能量，也可能对外提供能量。
单位：瓦 (6.5-3)
在正弦稳态情况下，平均功率不仅与电压、电流的有 效值有关，而且与电压、电流的位相差有关。 式中 λ = cos ϕ 称为功率因数(power factor) ϕ = ϕu − ϕi 称功率因数角(power-factor angle) 通常所说的功率，都是指平均功率而言。平均功 率又叫有功功率(active power)。
Q = UI sin ϕ = UI sin ϕ Z
(6.5-27)
②Reactive Power in Terms of Z or Y : 对于不含 独立源的一端口，无功功率也可以 用阻抗或导纳计算。根据式(6.5-6)和(6.5-18)， (6.5-18)，即 2 * * (6.5-28a) Q = Im(UI ) = Im( ZII ) = I Im( Z ) = I 2 X (ω )
p (t ) = UI cos ϕ + UI cos(2ωt + 2ϕu − ϕ ) = UI cos ϕ + UI cos ϕ cos(2ωt + 2ϕu ) + UI sin ϕ sin(2ωt + 2ϕu )
(6.5-2) 上式中第一项始终大于(或小于、或等于零)，它是 瞬时功率中的不可逆部分；第二项是瞬时功率中的 可逆部分，其值正负交替，说明能量在外施电源和 二端网络之间来回交换。
第六章 正弦电路的稳态分析
注： i) 如果一端口只由R、L、C等无源元件组成，则功率 因数角φ＝阻抗角φZ，且|φZ|≤900，所以平均功率P≥0， 一端口吸收能量。根据能量守恒可知，P为一端口中电阻 元件所消耗的总功率（∵L、C元件不耗能）。 ii) 如果一端口除无源元件外尚有受控源(亦有功率因 数角φ＝阻抗角φZ)， |φZ|可能＞900。其平均功率P为负 值，说明该一端口对外提供能量。 iii) 如果一端口内含有独立电源，则功率因数角φ为 端口电压与端口电流的位相差。P可能为正，也可能为负 值。即一端口可能吸收能量，也可能对外提供能量。
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6.5 正弦稳态功率和能量
• 1 基本概念 • 2 电阻平均功率 • 3 电感、电容的平均 储能 • 4 单口网络的平均功 率 功率因数 • 5 单口网络的无功功率
• 6 复功率
• 7 正弦稳态最大功率传 递定理
一、 单口网络的平均功率（有功功率)、 无功功率、视在功率、功率因数
1、单口网络的瞬间功率： 设任何时刻，单口网络上电流、电压关联参考方向, 表示为 u(t) = Umcos(t+u)，i(t) = Imcos(t+i)，则网络吸收的功率为 p(t) = i(t)•u(t) = UmImcos(t+u)cos(t+i) UmIm [cos( – ) + cos(2t+ + )] = u i u i 2 = UI [cos + cos(2t+u+i)]
无功功率的物理意义：电容和电感之间交换电磁能量，体现在 无功功率相互抵消。理想情况下，两者正好相等（?）。
三、复功率
• • •* 视在功率相量： S = UI = UI(cos z + jsin z) = P +jQ = Scos + jSsin (V•A)
6.5.4 正弦稳态最大功率传递定理
与第四章中讨论的电阻电路最大功率传递定理类似，所不 同的是所有的量都必须是相量。 • • Us Us • • Zs = I + I= + ( Rs+RL) + j(Xs+XL) Zs + ZL • • Us U ZL U s I= L ( Rs+RL)2 + (Xs+XL)2 – – 负载上得到的有功功率（即负载电阻获得的功率）为 2 U s RL PL = I2 RL = 2 2 ( Rs+RL) + (Xs+XL) 目标：选择 RL和 XL，使 PL 最大。 第一步，使分母第二项为零，即XL = – Xs ；
+ I
10kW 0.8 (超前) 15kW 0.6 (滞后)
– = 10000 [0.8 – j 1 – 0.82 ] 2300V 0.8 = 10000 – j7500 V•A • S2 = S2[cosZ2+ jsinZ2] = 15000 [0.6 + j 1 – 0.62 ] 0.6 = 15000 + j20000 V•A • S = S1 + S2 = 25000 + j12500 = 27950.85 26.57° V•A
1 T 2、单口网络的平均功率： P pdt UI cos （W） T 0
平均功率亦称有功功率，是电路实际消耗的功率。 3、单口网络的无功功率： Q UI sin （var）
无功功率反映电路中储能元件与外电路或电源之间能量交换。
“无功”表示能量在往复交换过程中没有被消耗掉。 4、视在功率： S=UI＝ P 2 Q 2 （VA)
Q = QL + QC = 0， QC = – QL = – 86.6 kvar = – CU2 – QC 86600 C= = U2 100×220 2 = 5695.4µ F 此时，因 =1，故 P = UI，即 P I = U = 50000 = 227.27 A 220
I IC C I
例 求图所示电路电源对电路提供的功率（有功功率）。
3 + 2H – 4 + 1F 8 • I 3 4
j4
– 10 0°
–j4
10 2 cos2tV
解 利用 P = UI cos z 计算，只要算得阻抗 Z 即可， j4(4–j4) Z = 3 + j4+4 –j4 = 3 + 4 + j4 = 7 + j4 = 8.0623 29.74° I = U = 10 = 1.2403 A 8.0623 |Z| P = UI cos z = 10×1.2403×cos 29.74° = 10.77W
2 U o 2 2WL 无功功率： QL UI sin 90 UI LI L
3、电容C： z＝ u －i＝－90º 瞬间功率： p(t) = -UIsin2(t+u) 平均功率： P = 0 2 I o 2 2Wc 无功功率：QL UI sin(90 ) UI CU C
解：（1）由有功功率的定义，可得 PL 50000 = 454.55 A PL = UILcosL ， IL = = UcosL 220×0.5 QL = UILsinL = UIL 1– cos2L = 220×454.55×0.866 = 86600 var = 86.6 kvar
（2）根据电容与电感之间无功功率相互抵消的原理，并联后 电源提供的无功功率为：
由 S = UI得
27950.85 = 12.15 A I= S = 2300 U
例12-3 求图12-5所示正弦稳态电路中各电阻的平均功率总和， 各电感、电容平均储能的总和。 解：用相量网孔方程法求解。
1
1H 1H 1
列网孔方程 + • • i1 1 i2 1 = 1 – ( – j )I (1+j2–j )I1 2 2 2 1F – 1F • • =0 2 cos2t V 1 – (–j )I1 + (1+j2–j1)I2 2 3 1 1+j j 1 2 1 电阻平均功率和 2 解得 1 0 1+j 3 2R + I 2R j 0 P = I • • 1 2 2 2 I1 = I2 = = 05632 + 0.22 1+j 3 j 1 1+j 3 j 1 2 2 2 2 = 0.357W 1 1 3 3 j j 2 1+j 2 2 1+j 2 = 0.563 – 50.7° = 0.2 174.3°
+
• + U2 • • U 3 3 U4 4 – –
2 –
• I2
• + I3
• I4
Q = Q1 + Q2 + Q3 + Q4 = 25 – 35 – 10 + 20 = 0 (为什么？)
例12-13 电路如图12-21所示，试求每个负载吸收的总复功率， 及输入电流有效值。 解：由无功功率的定义，可得 • S1 = S1[cosZ1+ jsinZ1]
视在功率反映电力设备的最大负载能力。 5、功率因数： = cos＝P/S （超前或滞后） 功率因数表示传输系统中有功功率所占的比例。
p(t ) UI cos[1 cos(2t 2u )] UI sin sin(2t 2u )
二、单个元件的功率
1、电阻R： z＝ u － i＝0 瞬时功率： P(t) = UI [1+cos2(t+u)] 平均功率： P = IU =
解：视在功率 S 根据 已知条件可得： S = UI = 100×12.65 = 1265W
• + I
• U • I1 3 –j5 • I2
j4
–
–j4(3+ j4) = 16 –j12 = 20 – 36.87° = 6.325 – 18.45° Z= 3 –j1 3+ j4–j5 3.162 – 18.43°
Us2 RL 由此可得 PL = ( Rs+RL)2 第二步，令以上关于RL的导数等于零，或直接引用第四章中的 结论，即： RL = Rs 时，负载上获得的功率最大。 Us2 RL Us2 此时 PLmax = = 2 (2RL) 4RL 总结：当 ZL = RL + jXL = Rs – jXs = Zs* 时（共轭匹配），负载获 得的功率最大。 如果阻抗模值可变而阻抗角不变，那么在满足什么条件下获 得最大功率？
电感平均储能和 1 1 (05632 + 0.22) = 0.178 J 1 2 2 LI LI + = WL = 2 1 2 2 2 电容平均储能和 1 2 + 1 CU 2 CU WC = 2 2 1 2
I2 U2 = = 0.2 = 0.1V C 2
U1 =I2 | 1+j1.5 | = 0.2 12+1.52 = 0.3606V
jy
QL
Q
S x P
O
QC
例 工厂中的感应电机是感性负载， 功率因数较低，为提高功率因数， 可并联合适的电容器。设有一220V， 50Hz，50kW的感应电机功率因数 为0.5。问（1）使用时电源电流为 多少，无功功率 Q 为多少？（2） 若并联电容器使功率因数为 1，则 电容量为多少，此时电源电流等于 多少？
L
L
PL =50kW
R = 0.5
• IC QC • I
L
采用相量叠加法更加简单直接，如 右图所示。
QL
• U • S
• IL
• • 例12-12 电路如图12-20所示，已知 I1 = 100+j50A，U1 =500+j0 • • V，I4 = 50–j50A，U4 =200+j200V，试求每个元件吸收的无功功 率以及整个电路的总无功功率。U Q1 = Im[U1(–I1) ] = Im[(500+j0 )(–100+j50)] 1 1 – • = 25 kvar I1 • • * • • • Q2 = Im[U2(–I2) ] = Im[(U1 –U4 )I1*] = Im[(300–j200)(100–j50)] = – 35 kvar • • • * • •* Q3 = Im[U3I3 ] = Im[U4(–I2–I4) ] = Im[(200+j200)(50–j100)] = – 10 kvar • • Q4 = Im[U4I4*] = Im[(200+j200 )(50+j50)] = 20 kvar
• 1 基本概念 • 2 电阻平均功率 • 3 电感、电容的平均 储能 • 4 单口网络的平均功 率 功率因数 • 5 单口网络的无功功率
• 6 复功率
• 7 正弦稳态最大功率传 递定理
一、 单口网络的平均功率（有功功率)、 无功功率、视在功率、功率因数
1、单口网络的瞬间功率： 设任何时刻，单口网络上电流、电压关联参考方向, 表示为 u(t) = Umcos(t+u)，i(t) = Imcos(t+i)，则网络吸收的功率为 p(t) = i(t)•u(t) = UmImcos(t+u)cos(t+i) UmIm [cos( – ) + cos(2t+ + )] = u i u i 2 = UI [cos + cos(2t+u+i)]
无功功率的物理意义：电容和电感之间交换电磁能量，体现在 无功功率相互抵消。理想情况下，两者正好相等（?）。
三、复功率
• • •* 视在功率相量： S = UI = UI(cos z + jsin z) = P +jQ = Scos + jSsin (V•A)
6.5.4 正弦稳态最大功率传递定理
与第四章中讨论的电阻电路最大功率传递定理类似，所不 同的是所有的量都必须是相量。 • • Us Us • • Zs = I + I= + ( Rs+RL) + j(Xs+XL) Zs + ZL • • Us U ZL U s I= L ( Rs+RL)2 + (Xs+XL)2 – – 负载上得到的有功功率（即负载电阻获得的功率）为 2 U s RL PL = I2 RL = 2 2 ( Rs+RL) + (Xs+XL) 目标：选择 RL和 XL，使 PL 最大。 第一步，使分母第二项为零，即XL = – Xs ；
+ I
10kW 0.8 (超前) 15kW 0.6 (滞后)
– = 10000 [0.8 – j 1 – 0.82 ] 2300V 0.8 = 10000 – j7500 V•A • S2 = S2[cosZ2+ jsinZ2] = 15000 [0.6 + j 1 – 0.62 ] 0.6 = 15000 + j20000 V•A • S = S1 + S2 = 25000 + j12500 = 27950.85 26.57° V•A
1 T 2、单口网络的平均功率： P pdt UI cos （W） T 0
平均功率亦称有功功率，是电路实际消耗的功率。 3、单口网络的无功功率： Q UI sin （var）
无功功率反映电路中储能元件与外电路或电源之间能量交换。
“无功”表示能量在往复交换过程中没有被消耗掉。 4、视在功率： S=UI＝ P 2 Q 2 （VA)
Q = QL + QC = 0， QC = – QL = – 86.6 kvar = – CU2 – QC 86600 C= = U2 100×220 2 = 5695.4µ F 此时，因 =1，故 P = UI，即 P I = U = 50000 = 227.27 A 220
I IC C I
例 求图所示电路电源对电路提供的功率（有功功率）。
3 + 2H – 4 + 1F 8 • I 3 4
j4
– 10 0°
–j4
10 2 cos2tV
解 利用 P = UI cos z 计算，只要算得阻抗 Z 即可， j4(4–j4) Z = 3 + j4+4 –j4 = 3 + 4 + j4 = 7 + j4 = 8.0623 29.74° I = U = 10 = 1.2403 A 8.0623 |Z| P = UI cos z = 10×1.2403×cos 29.74° = 10.77W
2 U o 2 2WL 无功功率： QL UI sin 90 UI LI L
3、电容C： z＝ u －i＝－90º 瞬间功率： p(t) = -UIsin2(t+u) 平均功率： P = 0 2 I o 2 2Wc 无功功率：QL UI sin(90 ) UI CU C
解：（1）由有功功率的定义，可得 PL 50000 = 454.55 A PL = UILcosL ， IL = = UcosL 220×0.5 QL = UILsinL = UIL 1– cos2L = 220×454.55×0.866 = 86600 var = 86.6 kvar
（2）根据电容与电感之间无功功率相互抵消的原理，并联后 电源提供的无功功率为：
由 S = UI得
27950.85 = 12.15 A I= S = 2300 U
例12-3 求图12-5所示正弦稳态电路中各电阻的平均功率总和， 各电感、电容平均储能的总和。 解：用相量网孔方程法求解。
1
1H 1H 1
列网孔方程 + • • i1 1 i2 1 = 1 – ( – j )I (1+j2–j )I1 2 2 2 1F – 1F • • =0 2 cos2t V 1 – (–j )I1 + (1+j2–j1)I2 2 3 1 1+j j 1 2 1 电阻平均功率和 2 解得 1 0 1+j 3 2R + I 2R j 0 P = I • • 1 2 2 2 I1 = I2 = = 05632 + 0.22 1+j 3 j 1 1+j 3 j 1 2 2 2 2 = 0.357W 1 1 3 3 j j 2 1+j 2 2 1+j 2 = 0.563 – 50.7° = 0.2 174.3°
+
• + U2 • • U 3 3 U4 4 – –
2 –
• I2
• + I3
• I4
Q = Q1 + Q2 + Q3 + Q4 = 25 – 35 – 10 + 20 = 0 (为什么？)
例12-13 电路如图12-21所示，试求每个负载吸收的总复功率， 及输入电流有效值。 解：由无功功率的定义，可得 • S1 = S1[cosZ1+ jsinZ1]
视在功率反映电力设备的最大负载能力。 5、功率因数： = cos＝P/S （超前或滞后） 功率因数表示传输系统中有功功率所占的比例。
p(t ) UI cos[1 cos(2t 2u )] UI sin sin(2t 2u )
二、单个元件的功率
1、电阻R： z＝ u － i＝0 瞬时功率： P(t) = UI [1+cos2(t+u)] 平均功率： P = IU =
解：视在功率 S 根据 已知条件可得： S = UI = 100×12.65 = 1265W
• + I
• U • I1 3 –j5 • I2
j4
–
–j4(3+ j4) = 16 –j12 = 20 – 36.87° = 6.325 – 18.45° Z= 3 –j1 3+ j4–j5 3.162 – 18.43°
Us2 RL 由此可得 PL = ( Rs+RL)2 第二步，令以上关于RL的导数等于零，或直接引用第四章中的 结论，即： RL = Rs 时，负载上获得的功率最大。 Us2 RL Us2 此时 PLmax = = 2 (2RL) 4RL 总结：当 ZL = RL + jXL = Rs – jXs = Zs* 时（共轭匹配），负载获 得的功率最大。 如果阻抗模值可变而阻抗角不变，那么在满足什么条件下获 得最大功率？
电感平均储能和 1 1 (05632 + 0.22) = 0.178 J 1 2 2 LI LI + = WL = 2 1 2 2 2 电容平均储能和 1 2 + 1 CU 2 CU WC = 2 2 1 2
I2 U2 = = 0.2 = 0.1V C 2
U1 =I2 | 1+j1.5 | = 0.2 12+1.52 = 0.3606V
jy
QL
Q
S x P
O
QC
例 工厂中的感应电机是感性负载， 功率因数较低，为提高功率因数， 可并联合适的电容器。设有一220V， 50Hz，50kW的感应电机功率因数 为0.5。问（1）使用时电源电流为 多少，无功功率 Q 为多少？（2） 若并联电容器使功率因数为 1，则 电容量为多少，此时电源电流等于 多少？
L
L
PL =50kW
R = 0.5
• IC QC • I
L
采用相量叠加法更加简单直接，如 右图所示。
QL
• U • S
• IL
• • 例12-12 电路如图12-20所示，已知 I1 = 100+j50A，U1 =500+j0 • • V，I4 = 50–j50A，U4 =200+j200V，试求每个元件吸收的无功功 率以及整个电路的总无功功率。U Q1 = Im[U1(–I1) ] = Im[(500+j0 )(–100+j50)] 1 1 – • = 25 kvar I1 • • * • • • Q2 = Im[U2(–I2) ] = Im[(U1 –U4 )I1*] = Im[(300–j200)(100–j50)] = – 35 kvar • • • * • •* Q3 = Im[U3I3 ] = Im[U4(–I2–I4) ] = Im[(200+j200)(50–j100)] = – 10 kvar • • Q4 = Im[U4I4*] = Im[(200+j200 )(50+j50)] = 20 kvar