第6章 正弦稳态电路的功率

由 S = UI得
27950.85 = 12.15 A I= S = 2300 U
例12-3 求图12-5所示正弦稳态电路中各电阻的平均功率总和， 各电感、电容平均储能的总和。 解：用相量网孔方程法求解。
1
1H 1H 1
列网孔方程 + • • i1 1 i2 1 = 1 – ( – j )I (1+j2–j )I1 2 2 2 1F – 1F • • =0 2 cos2t V 1 – (–j )I1 + (1+j2–j1)I2 2 3 1 1+j j 1 2 1 电阻平均功率和 2 解得 1 0 1+j 3 2R + I 2R j 0 P = I • • 1 2 2 2 I1 = I2 = = 05632 + 0.22 1+j 3 j 1 1+j 3 j 1 2 2 2 2 = 0.357W 1 1 3 3 j j 2 1+j 2 2 1+j 2 = 0.563 – 50.7° = 0.2 174.3°
6.5 正弦稳态功率和能量
• 1 基本概念 • 2 电阻平均功率 • 3 电感、电容的平均 储能 • 4 单口网络的平均功 率 功率因数 • 5 单口网络的无功功率
• 6 复功率
• 7 正弦稳态最大功率传 递定理
一、 单口网络的平均功率（有功功率)、 无功功率、视在功率、功率因数
1、单口网络的瞬间功率： 设任何时刻，单口网络上电流、电压关联参考方向, 表示为 u(t) = Umcos(t+u)，i(t) = Imcos(t+i)，则网络吸收的功率为 p(t) = i(t)•u(t) = UmImcos(t+u)cos(t+i) UmIm [cos( – ) + cos(2t+ + )] = u i u i 2 = UI [cos + cos(2t+u+i)]
例 求图所示电路电源对电路提供的功率（有功功率）。
3 + 2H – 4 + 1F 8 • I 3 4
j4
– 10 0°
–j4
10 2 cos2tV
解 利用 P = UI cos z 计算，只要算得阻抗 Z 即可， j4(4–j4) Z = 3 + j4+4 –j4 = 3 + 4 + j4 = 7 + j4 = 8.0623 29.74° I = U = 10 = 1.2403 A 8.0623 |Z| P = UI cos z = 10×1.2403×cos 29.74° = 10.77W
无功功率的物理意义：电容和电感之间交换电磁能量，体现在 无功功率相互抵消。理想情况下，两者正好相等（?）。
三、复功率
• • •* 视在功率相量： S = UI = UI(cos z + jsin z) = P +jQ = Scos + jSsin (V•A)
6.5.4 正弦稳态最大功率传递定理
1 ImUm = RI2 = GU2 2
无功功率： Q=0
p(t ) UI cos[1 cos(2t 2u )] UI sin sin(2t 2u )
2、电感L： z＝ u －i＝90º 瞬间功率： p(t) = UIsin2(t+u) 平均功率： P =0
+
• + U2 • • U 3 3 U4 4 – –
2 –
• I2
• + I3
• I4
Q = Q1 + Q2 + Q3 + Q4 = 25 – 35 – 10 + 20 = 0 (为什么？)
例12-13 电路如图12-21所示，试求每个负载吸收的总复功率， 及输入电流有效值。 解：由无功功率的定义，可得 • S1 = S1[cosZ1+ jsinZ1]
Q = QL + QC = 0， QC = – QL = – 86.6 kvar = – CU2 – QC 86600 C= = U2 100×220 2 = 5695.4µ F 此时，因 =1，故 P = UI，即 P I = U = 50000 = 227.27 A 220
I IC C I
与第四章中讨论的电阻电路最大功率传递定理类似，所不 同的是所有的量都必须是相量。 • • Us Us • • Zs = I + I= + ( Rs+RL) + j(Xs+XL) Zs + ZL • • Us U ZL U s I= L ( Rs+RL)2 + (Xs+XL)2 – – 负载上得到的有功功率（即负载电阻获得的功率）为 2 U s RL PL = I2 RL = 2 2 ( Rs+RL) + (Xs+XL) 目标：选择 RL和 XL，使 PL 最大。 第一步，使分母第二项为零，即XL = – Xs ；
1 WC = 2 (0.36062 + 0.12) = 0.07 J
源自文库
用图解法可以更清楚地理解功率因数的物理意义， 以及三种功率之间的相互关系。
L
L
PL =50kW
R = 0.5
• IC QC • I
L
采用相量叠加法更加简单直接，如 右图所示。
QL
• U • S
• IL
• • 例12-12 电路如图12-20所示，已知 I1 = 100+j50A，U1 =500+j0 • • V，I4 = 50–j50A，U4 =200+j200V，试求每个元件吸收的无功功 率以及整个电路的总无功功率。 解：由无功功率的定义，可得 + • • • * U Q1 = Im[U1(–I1) ] = Im[(500+j0 )(–100+j50)] 1 1 – • = 25 kvar I1 • • * • • • Q2 = Im[U2(–I2) ] = Im[(U1 –U4 )I1*] = Im[(300–j200)(100–j50)] = – 35 kvar • • • * • •* Q3 = Im[U3I3 ] = Im[U4(–I2–I4) ] = Im[(200+j200)(50–j100)] = – 10 kvar • • Q4 = Im[U4I4*] = Im[(200+j200 )(50+j50)] = 20 kvar
2 U o 2 2WL 无功功率： QL UI sin 90 UI LI L
3、电容C： z＝ u －i＝－90º 瞬间功率： p(t) = -UIsin2(t+u) 平均功率： P = 0 2 I o 2 2Wc 无功功率：QL UI sin(90 ) UI CU C
视在功率反映电力设备的最大负载能力。 5、功率因数： = cos＝P/S （超前或滞后） 功率因数表示传输系统中有功功率所占的比例。
p(t ) UI cos[1 cos(2t 2u )] UI sin sin(2t 2u )
二、单个元件的功率
1、电阻R： z＝ u － i＝0 瞬时功率： P(t) = UI [1+cos2(t+u)] 平均功率： P = IU =
+ I
10kW 0.8 (超前) 15kW 0.6 (滞后)
– = 10000 [0.8 – j 1 – 0.82 ] 2300V 0.8 = 10000 – j7500 V•A • S2 = S2[cosZ2+ jsinZ2] = 15000 [0.6 + j 1 – 0.62 ] 0.6 = 15000 + j20000 V•A • S = S1 + S2 = 25000 + j12500 = 27950.85 26.57° V•A
当负载阻抗角不变，而模值可以改变时，它的模等于电源内 阻抗的模时可以获得最大功率，称为模匹配。
Z L Z s Rs2 X s2
负载获得的最大功率为，
PL max
2 U oc cos L 2 Z s [1 cos( s L )]
• 例已知 ZR=3，ZL=j4，ZC= –j5，I=12.65 18.5° • • • I1=20 –53.1°，I2=20 90°，U=100 0°。求单口网络的功 率 P及视在功率、功率因数。
功率因数 = cosz = cos 18.45° = 0.9487（超前） 网络平均功率 P = UI cosz = 1200.05W
更简单的方法：由 U 和 I 之间的相位关系可得 • • •* S = UI = 100 0°×12.65 –18.5° = 1265 –18.5° W = 1200 + j401.4W 即 P = 1200W，Q = 401.4W 功率因数 = cosz = cos 18.5° = 0.9483（超前） P 也是电阻上消耗的功率，由此也可得 P = I12R = 202×3 = 1200W 功率因数 = cos = P = 0.9486 S
UI cos UI cos cos(2t 2 u ) UI sin sin(2t 2 u ) UI cos[1 cos(2t 2 u )] UI sin sin(2t 2 u )
不可逆部分
可逆部分
p(t ) UI cos[1 cos(2t 2u )] UI sin sin(2t 2u )
jy
QL
Q

S x P
O
QC
例 工厂中的感应电机是感性负载， 功率因数较低，为提高功率因数， 可并联合适的电容器。设有一220V， 50Hz，50kW的感应电机功率因数 为0.5。问（1）使用时电源电流为 多少，无功功率 Q 为多少？（2） 若并联电容器使功率因数为 1，则 电容量为多少，此时电源电流等于 多少？
解：视在功率 S 根据 已知条件可得： S = UI = 100×12.65 = 1265W
• + I
• U • I1 3 –j5 • I2
j4
–
–j4(3+ j4) = 16 –j12 = 20 – 36.87° = 6.325 – 18.45° Z= 3 –j1 3+ j4–j5 3.162 – 18.43°
1 T 2、单口网络的平均功率： P pdt UI cos （W） T 0
平均功率亦称有功功率，是电路实际消耗的功率。 3、单口网络的无功功率： Q UI sin （var）
无功功率反映电路中储能元件与外电路或电源之间能量交换。
“无功”表示能量在往复交换过程中没有被消耗掉。 4、视在功率： S=UI＝ P 2 Q 2 （VA)
解：（1）由有功功率的定义，可得 PL 50000 = 454.55 A PL = UILcosL ， IL = = UcosL 220×0.5 QL = UILsinL = UIL 1– cos2L = 220×454.55×0.866 = 86600 var = 86.6 kvar
（2）根据电容与电感之间无功功率相互抵消的原理，并联后 电源提供的无功功率为：
电感平均储能和 1 1 (05632 + 0.22) = 0.178 J 1 2 2 LI LI + = WL = 2 1 2 2 2 电容平均储能和 1 2 + 1 CU 2 CU WC = 2 2 1 2
I2 U2 = = 0.2 = 0.1V C 2
U1 =I2 | 1+j1.5 | = 0.2 12+1.52 = 0.3606V
Us2 RL 由此可得 PL = ( Rs+RL)2 第二步，令以上关于RL的导数等于零，或直接引用第四章中的 结论，即： RL = Rs 时，负载上获得的功率最大。 Us2 RL Us2 此时 PLmax = = 2 (2RL) 4RL 总结：当 ZL = RL + jXL = Rs – jXs = Zs* 时（共轭匹配），负载获 得的功率最大。 如果阻抗模值可变而阻抗角不变，那么在满足什么条件下获 得最大功率？
电感和电容的平均功率等于零。 物理意义是什么？
正弦稳态电路的无功功率：对任何一个正弦稳态电路，其无功 功率为所有电感、电容的无功功率之和。即 Q = QL + QC = 2(WL –WC) WL = WL1 + WL2 + ••• + WLm WC = WC1 + WC2 + ••• + WCn