对称正定矩阵15

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对称矩阵正定的充要条件

对称矩阵正定的充要条件1.引言1.1 概述对称矩阵正定的充要条件是一种在线性代数中常见并且十分重要的性质。

它与矩阵的特征值和特征向量密切相关，可以在很多实际问题中得到应用。

在本文中，我们将探讨对称矩阵正定的充分条件和必要条件，同时总结并讨论这些条件的意义。

在开始深入讨论之前，我们需要明确对称矩阵和正定矩阵的定义。

对称矩阵是指矩阵的转置和自身相等，而正定矩阵则是指其所有特征值均为正且对应的特征向量线性无关。

接下来，我们将首先介绍对称矩阵和正定矩阵的定义，以便读者对这些概念有一个清晰的认识。

然后，我们将详细讨论对称矩阵正定的充分条件和必要条件。

通过探究这些条件，我们能够更好地理解对称矩阵正定性质的本质。

最后，我们将总结这些条件，并探讨其在实际问题中的应用和意义。

通过研究对称矩阵正定的充要条件，我们能够更深入地理解矩阵的性质和特征，并能够将其应用到更广泛的领域中。

本文的目的是帮助读者掌握对称矩阵正定性质的重要概念和相关理论，进而在实际问题中灵活运用。

文章结构部分的内容可以如下编写：1.2 文章结构本文主要探讨对称矩阵正定的充要条件。

文章分为三个主要部分：引言、正文和结论。

在引言部分，我们将概述本文的目的和重要性，并介绍对称矩阵和正定矩阵的定义。

通过对这些基本概念的明确界定，我们可以更好地理解对称矩阵正定的条件。

接下来，在正文部分，我们将详细讨论对称矩阵和正定矩阵的定义。

我们将首先介绍对称矩阵的定义，阐明其特性和性质。

然后，我们将引入正定矩阵的定义，并探讨其与对称矩阵之间的联系。

在正文的最后部分，我们将详细探讨对称矩阵正定的充分条件和必要条件。

通过这些条件的讨论，我们可以更加准确地判断一个对称矩阵是否正定。

最后，在结论部分，我们将总结对称矩阵正定的充要条件，简洁地概括文章的主要观点和结果。

此外，我们还将探讨这些条件的实际应用和意义，以展示对称矩阵正定的重要性和价值。

通过以上结构，本文将从引言到正文再到结论，层层递进地介绍对称矩阵正定的充要条件。

正定矩阵的性质及判定方法

和学生们一起学习利用导函数求函数单调性的知识内容时ꎬ向学生们提出了一个问题:已知函数ｆ(ｘ)＝ｌｎｘ－ａｘꎬ求函数ｆ(ｘ)的单调性.很快学生们便想到先求出这一函数的导函数ꎬｆᶄ(ｘ)＝１/ｘ－ａꎬ随后学生直接去求当这一导函数大于０的解ꎬ以及小于０的解ꎬ进而得出最后的单调性.很显然学生在解的过程中忽略的ａ的值ꎬ想当然的认为ａ的值大于０.于是ꎬ学生们在教师的引导下分类讨论这一问题.分出了三种大的情况当ａ小于０时ꎬ当ａ等于０时ꎬ当ａ大于０时.这样分类讨论这一问题ꎬ对这一问题有了很好的思考ꎬ同时ꎬ对导函数的内容理解得更加深刻.数学课堂教学过程中ꎬ教师通过巧妙地渗入分类讨论思想ꎬ成功地开阔了学生的思维空间ꎬ帮助学生整理了自己的学习思路ꎬ注重让学生自己探索解题过程ꎬ有效地锻炼了学生的解题能力ꎬ发展了学生多方面才能.㊀㊀四㊁引导探究思考ꎬ提升学生学习效率枯燥抽象早已是数学学科的代名词ꎬ教师一味地灌输ꎬ学生一味地机械记忆ꎬ会使得整个课堂学习效果不佳ꎬ效率不高.由此ꎬ教师需要创新改变ꎬ注重更多地从学生的角度开展教学ꎬ多开发学生主体这一学习资源.数学课堂学习中ꎬ教师可以注重引导学生自主探究思考ꎬ为学生创造更多的探究学习平台ꎬ间接激起学生探究学习欲望ꎬ促使学生深入体验学习ꎬ进一步提升学生课堂学习效率.例如:在教学圆与方程时ꎬ教师在课堂教学伊始向学生们提出问题:点与圆有着怎样的位置关系?直线与圆又有着怎样的位置关系呢?学生在教师问题的催动下主动地进入到思考探究中.很快学生们想到点与圆有三种位置关系:在圆外㊁在圆上㊁在圆内.并主动思考利用圆的方程式该如何去解决这一问题.同样通过圆方程以及直线方程该怎样得出直线与圆的位置关系.学生们就这样主动地探究分析ꎬ无形中对这部分数学知识有了很好的体验和认识.数学课堂教学中ꎬ教师选择将数学知识以问题的形式抛给学生ꎬ成功地为学生们搭建了一个探究学习的平台ꎬ让学生主动探究㊁积极思考ꎬ有效地锻炼了学生的探究思维能力.总之ꎬ学生地位日益凸显ꎬ教师教学过程中更加注重学生的学习过程ꎬ以促进学生发展为教学目的ꎬ这样才能更好地实现高效率数学课堂学习.在今后的数学教学中ꎬ教师要善于让学生自主探究㊁积极体验学习ꎬ让学生更多地参与学习活动ꎬ演绎魅力数学课堂.㊀㊀参考文献:[１]焦凤龙.基于核心素养的高中数学课堂教学策略[Ｊ].学周刊ꎬ２０１９(２５):４０.[２]谭锴ꎬ方采文.研究性学习在高中数学课堂教学中的实践与思考[Ｊ].中学生数理化(学习研究)ꎬ２０１９(Ｚ１):４２.[责任编辑:李㊀璟]正定矩阵的性质及判定方法何守元(云南省丽江市丽江师范高等专科学校㊀６７４１００)摘㊀要:本文在定义基础上集中讨论了正定矩阵的性质㊁特征ꎬ并给出了矩阵正定性的判定方法.关键词:正定ꎻ矩阵ꎻ性质ꎻ判定方法中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)２４－００１８－０２收稿日期:２０２０－０５－２５作者简介:何守元(１９６４.１１－)ꎬ男ꎬ云南省丽江人ꎬ硕士ꎬ副教授ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀先看正定矩阵的定义:若一个实二次型ｆ(ｘ１ꎬｘ２ꎬ ꎬｘｎ)＝ＸＴＡＸ正定ꎬ则称矩阵Ａ为正定矩阵.显然ꎬ由定义可知:正定矩阵Ａ必须满足两个条件:首先ꎬＡ必须是实对称矩阵.否则不存在正定矩阵的概念ꎻ其次ꎬ以Ａ为矩阵的实二次型ｆ(ｘ１ꎬｘ２ꎬ ꎬｘｎ)＝ＸＴＡＸ必须是正定二次型ꎬ即Ａ与同价单位方阵Ｅ合同.由此可得正定矩阵的一系列性质ꎬ它们是判定Ａ为正定矩阵的依据:性质１㊀实对称矩阵Ａ为正定矩阵的充要条件是Ａ与同价单位方阵Ｅ合同.㊀㊀(因为Ａ为正定矩阵的充要条件是实二次型ｆ(ｘ１ꎬｘ２ꎬ ꎬｘｎ)＝ＸＴＡＸ是正定二次型.)性质２㊀正定矩阵的行列式大于零.(或:正定矩阵必满秩㊁可逆.)它的等价命题是:行列式不大于零的实对称矩阵ꎬ不是正定矩阵.这只是判定正定矩阵的必要而不充分条件.例如:Ａ＝０１２１０１２１０æèççöø÷÷是实对称矩阵ꎬ且｜Ａ｜＝２>０ꎬＡ可逆８１Copyright©博看网 . All Rights Reserved.(满秩)矩阵ꎬ但Ａ经过合同变换化为ｄｉｇ(１ꎬ－１ꎬ－１)ꎬ其负惯性指数为２ꎬ故Ａ不是正定矩阵.性质３㊀正定矩阵的逆也是正定矩阵.(因为Ａ＝ＰＴＥＰꎬＡ－１＝[(Ｐ－１)Ｔ]ＴＥ(Ｐ－１)ＴꎬＡ－１也与单位方阵Ｅ合同ꎬ必然正定.)性质４㊀实对称矩阵Ａ为正定矩阵的充要条件是Ａ的特征根全大于零.这是因为:任意实二次型都可用正交变换化为标准型ꎬ标准型的矩阵的主对角元为它的特征根ꎬ必须全为正数.性质５㊀实对称矩阵Ａ为正定矩阵的充要条件是Ａ的顺序主子式全大于零.(这在一般教材上均有证明)综合以上定义和性质ꎬ不难看出ꎬ正定矩阵具有下列显著特征:(１)实对称矩阵(这是前提)ꎻ(２)满秩㊁可逆㊁行列式非零(这三个特征是等价的)ꎻ(３)与同阶单位方阵合同ꎻ(４)特征根全为正实数ꎻ(５)与同阶对角形方阵ｄｉｇ(ｔ１ꎬｔ２ꎬ ꎬｔｎ)相似且合同(其中ｔｉ为它的特征根).(６)行列式等于ｔ１ｔ２ｔｎ(即:全部特征根的积).根据上述讨论ꎬ可得出正定矩阵的判别方法:判法１㊀若Ａ为具体矩阵(元素全知)ꎬ则可直接计算它的顺序主子式ꎬ若全大于零ꎬ则Ａ为正定矩阵.若不全大于零ꎬ则Ａ非正定.例１㊀Ａ＝１－１２－１１２２２４æèççöø÷÷ꎬ其二阶顺序主子式Ｄ２＝１－１－１１æèçöø÷＝０ꎬ故它虽为实对称矩阵ꎬ但不是正定矩阵.这种方法对元素含有参数的矩阵正定性的讨论同样特别有效.例２㊀当ｔ为何值时ꎬＡ＝ｔ１－１１ｔ－１－１－１ｔæèççöø÷÷为正定矩阵?㊀显然ꎬ其顺序主子式Ｄ１＝ｔ>０ꎬＤ２＝ｔ１１ｔæèçöø÷＝ｔ２－１>０ꎬＤ３＝｜Ａ｜＝(ｔ＋２)(ｔ－１)２>０ꎬ由此可得:ｔ>１时Ａ为正定矩阵.判法２㊀若Ａ为具体矩阵(元素全知)ꎬ则可直接解特征方程ｆ(ｔ)＝｜ｔＩ－Ａ｜＝０ꎬ计算出Ａ的全部特征根.若特征根全大于零ꎬ则Ａ为正定矩阵.若特征根不全为正数ꎬ则Ａ非正定.例３㊀Ａ＝１－２２－２－２４２４－２æèççöø÷÷为实对称矩阵ꎬｆ(ｔ)＝｜ｔＩ－Ａ｜＝(ｔ－２)２(ｔ＋７)＝０ꎬ得特征根为２㊁２㊁－７ꎬ有一个根不是正数ꎬ故Ａ不是正定矩阵.判法３㊀若Ａ为具体矩阵(元素全知)ꎬ则可用合同变换法ꎬ将其化为对角形矩阵.若对角形矩阵为单位方阵Ｅ(或:主对角元全为正数)ꎬ则Ａ为正定矩阵.否则ꎬ不是正定矩阵.如:上述例１中ꎬ对Ａ施行合同变换:１－１２－１１２２２４æèççöø÷÷ң１００００４０４６æèççöø÷÷ң１０００６４０４０æèççöø÷÷ңＡ＝１０００６０００－１６６æèçççöø÷÷÷ңＡ＝１０００１０００－１æèççöø÷÷.得到的对角形矩阵不是单位方阵(或对角元出现负数)ꎬ故Ａ不是正定矩阵.只有经合同变换后能变出单位方阵的实对称矩阵ꎬ才是正定矩阵.判法４㊀若Ａ为具体矩阵(元素全知)ꎬ可直接计算Ａ的行列式｜Ａ｜ꎬ若｜Ａ｜ɤ０ꎬ则Ａ不正定.这是根据性质２的等价命题来判定的.如:上述例１中ꎬ｜Ａ｜＝－１６<０ꎬ说明Ａ不是正定矩阵.注意:这是必要而不充分条件.行列式等于零的实对称矩阵当然不是正定矩阵ꎬ行列式大于零的实对称矩阵也不一定是正定矩阵.对于抽象矩阵ꎬ可根据题目给出的具体条件ꎬ灵活应用正定矩阵的性质作出判断.如看ｎ阶实对称矩阵的秩和正惯性指数是否都等于ｎ?与它合同的矩阵是否为正定矩阵?由题中信息是否可推知其特征根全为正数?是否可推知其顺序主子式全大于零?等等.例４㊀若Ａ是正定矩阵ꎬＥ是与Ａ同价的单位方阵ꎬ则ｋ为足够大的实数时ꎬ可以判定ｋＥ＋Ａ也是正定矩阵.事实上ꎬ若Ａ的特征根为ｔｉ>０ꎬ则ｋＥ＋Ａ的特征根为ｔｉ＋ｋꎬ从而当ｋ足够大时ꎬ就可保证ｋＥ＋Ａ的特征根全为正数ꎬ使ｋＥ＋Ａ为正定矩阵.例５㊀若Ａ＝(ａｉｊ)是正定矩阵ꎬｂｉ(ｉ＝１ꎬ２ꎬ ꎬｎ)是任意ｎ个非零实数ꎬ则Ｂ＝(ａｉｊｂｉｂｊ)也是正定矩阵.事实上ꎬ若Ａ正定ꎬ则其顺序主子式｜Ａｋ｜>０ꎬ而Ｂ的顺序主子式｜Ｂｋ｜＝ｂ２１ｂ２ｋ｜Ａｋ｜>０ꎬ从而Ｂ也是正定矩阵.综上所述ꎬ深刻理解正定矩阵的定义和性质ꎬ就能在实际应用中对矩阵的正定性判别做到游刃有余ꎬ灵活自如!㊀㊀参考文献:[１]何守元.高等代数[Ｍ].北京:现代教育出版社ꎬ２０１５:１５.[２]刘振宇.高等代数的思想和方法[Ｍ].济南:山东大学出版社ꎬ２００９.[３]扬子胥.高等代数精选题解[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ２００８.[责任编辑:李㊀璟]９１Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

§ P15 5.3 正定二次型与对称正定矩阵

定理3 设n元实二次型 f X T AX 的秩为r，正惯性指标为p, 负惯性指标为q，则二次型为 (1) 正定的充要条件是p=n, (2) 负定的充要条件是q=n, (3) 不定的充要条件是0＜p＜r≤n, 0＜q
21:54:29
4
定理4 设A是n阶对称矩阵，则有 (1) A是正定的充要条件是A的特征值全是正数。 (2) A是正定的充要条件是A与单位阵合同， T 即存在可逆矩阵 C，使A C C (3) A是正定的，则|A|＞0
由定义可知，正定矩阵必是半正定矩阵，但是半正定矩阵不一定是正定矩阵。
21:54:29 1
一个二次型既不是半正定的，也不是半负正定的，则称是不定的二次型。例如 f x 2 4 y 2 16z 2
2 2 f x1 3 x2
为正定二次型
为负定二次型
为半正定二次型。为半负定二次型。
T
X T ( BT B) X ( BX )T ( BX ) Y T Y
y y y 0
2 1 2 2 2 m
所以BTB是半正定矩阵。如果B的秩是n，即B的列向量线性无关，因此当 X≠0时，必定有Y=BX≠0，从而有
T T 2 1 2 2 2 m
21:54:29 8
X (B B) X y y y 0 所以这时BTB是正定矩阵。
k k
3 0 2 0 0
1 4 3 k k 1 1 k 1 k
k 1 0, k 1,2,, n
21:54:29
2A的全部顺序主子式都大于0. A正定，f正定.
17
例6 判断n阶(n≥2)矩阵A是否是正定阵.
2 1 A 1
1 2 1
1 1 2

正定矩阵的判定方法

正定矩阵的判定方法概述正定矩阵是线性代数中一个重要的概念，它在许多数学和科学领域中都有广泛的应用。

在解决优化问题、最小二乘法、概率统计和信号处理等领域中，正定矩阵的判定方法是关键的操作。

本文将介绍什么是正定矩阵，并详细讨论几种判定正定矩阵的方法。

正定矩阵的定义在开始讨论正定矩阵的判定方法之前，我们首先来了解正定矩阵的定义。

一个n × n 的实对称矩阵 A 称为正定矩阵，如果对于任意的非零向量 x，都有 x^TAx > 0。

其中，x^T 表示 x 的转置，x^TAx 表示向量 x 与矩阵 A 的乘积。

根据这个定义，我们可以得出正定矩阵的一些基本特征：1. 正定矩阵的特征值均为正数。

2. 正定矩阵的所有主子式（即从左上角到右下角的任意一组连续的对角线元素）均为正数。

3. 正定矩阵的所有奇异值均为正数。

接下来，我们将详细讨论几种常见的判定正定矩阵的方法。

1. 全主子式判定法全主子式判定法是最常用的判定正定矩阵的方法之一。

根据正定矩阵的定义，我们知道所有的主子式都应该是正数。

因此，我们可以通过计算矩阵的所有主子式，并检查它们是否都大于零来判断矩阵是否为正定矩阵。

具体的步骤如下：1) 对于一个n × n 的矩阵 A，计算所有的k × k 的主子式 D1,D2, ..., Dn，其中 k = 1, 2, ..., n。

2) 检查所有的主子式是否都大于零。

如果是，则矩阵 A 是正定矩阵；否则，矩阵 A 不是正定矩阵。

这种方法的时间复杂度为 O(n^3)，其中 n 是矩阵的维度。

2. 特征值判定法特征值判定法是另一种常用的判定正定矩阵的方法。

根据正定矩阵的定义，我们知道矩阵的特征值都应该是正数。

因此，我们可以通过计算矩阵的特征值，并检查它们是否都大于零来判断矩阵是否为正定矩阵。

具体的步骤如下：1) 对于一个n × n 的矩阵 A，求解其特征值λ1, λ2, ..., λn。

对称正定矩阵15

9 10 9
yi =
bi − ∑ lik ⋅ yk
k =1
lii
b1 9 y1 = = l11 6
2
b2 − l21 ⋅ y1 y2 = l22
k =1
7*9 10 − 6 = 29 6
−3 = 174
y3 =
b3 − ∑ l3 k ⋅ yk l33
10 = 29
即
Ax = b i = 2,3,L, n
第五章 a11
a21 A= M an1
a12 解线性方程组的直接法 L a1n i −1 a22 L a2n bi − ∑lij x j § M j =1 M 5.5 平方根法 x = M i lii an2 L ann
r −1
-------------(7) -------------(8) i = r , r + 1,L , n
k =1
air = ∑ lik ⋅ lrk = ∑ lik ⋅ lrk + lir ⋅ lrr
k =1
r −1
k =1
由( 6 ) ~ ( 8 )式可得 L的元素的计算公式
l11 = a11
中间量lrk 得以控制, 不会放大平方根法是数值稳定的
事实上,对称正定方程组也可以用顺序Gauss消去法求解而不必加入选主元步骤
思考
~ ~ ~ 原因为 D = diag (u11 , u 22 , L , u nn ) = D D
1 2 1 2
~ ~ ~ D = diag ( u11 , u22 ,L , unn )
因此不作A的LLT 分解
考虑改变分解方式
? ~ ~~ = LDLT A = L U = L DU 1 = LDU

正定矩阵地性质和判定方法及应用

正定矩阵地性质和判定方法及应用正定矩阵是线性代数中一个重要的概念，它在优化问题、最小二乘问题、信号处理、机器学习等领域中都有广泛应用。

在本文中，我将介绍正定矩阵的性质、判定方法以及一些应用。

一、正定矩阵的性质：1.定义：设A是n×n矩阵，如果对于任意非零向量x，都有x^TAx>0，则A是正定矩阵。

2.特征值：正定矩阵的特征值都大于0。

3.对称性：正定矩阵一定是对称矩阵。

4.非奇异性：正定矩阵一定是非奇异矩阵，即其行列式不为0。

5.可逆性：正定矩阵一定是可逆矩阵，即存在逆矩阵A^(-1)，使得AA^(-1)=I。

6.二次型：正定矩阵可以表示为二次型的矩阵形式。

二、正定矩阵的判定方法：1.主子式判定法：设A是n×n矩阵，如果A的所有n阶主子式都大于0，则A是正定矩阵。

2.特征值判定法：设A是对称矩阵，如果A的所有特征值都大于0，则A是正定矩阵。

3.正定矩阵的条件：设A是对称矩阵，则A是正定矩阵的充分必要条件是存在n阶非奇异矩阵B，使得A=B^TB。

三、正定矩阵的应用：1.优化问题：正定矩阵在优化问题中应用广泛。

例如，在最小二乘问题中，正定矩阵可用于求解线性方程组的最优解。

正定矩阵还可以用于确定函数的极小值点。

2.信号处理：正定矩阵在信号处理中有重要应用。

例如，在信号滤波中，通过构造正定矩阵，可以设计出有效的滤波器，对信号进行去噪或增强。

3.机器学习：正定矩阵在机器学习中也起到关键作用。

例如，在支持向量机中，可以使用正定矩阵的核函数来进行非线性分类。

正定矩阵还可以用于降维算法中的线性判别分析，提高分类的准确性。

4.最小二乘问题：正定矩阵可以用于解决最小二乘问题，即寻找一组关系最紧密的数据的最优拟合线。

通过构造正定矩阵，可以求得最小二乘问题的闭合解，提高计算效率。

综上所述，正定矩阵是线性代数中一个重要的概念，具有许多重要的性质和判定方法。

正定矩阵在优化问题、最小二乘问题、信号处理、机器学习等领域中都有广泛应用。

实对称矩阵正定、半正定的简易判别

目录1.引言 ......................................................................... 错误！未定义书签。

2.实对称矩阵正‎定、半正定的简易‎判别方法 ............. 错误！未定义书签。

2.1 实对称矩阵的几个定‎义[]3 .............................................. 错误！未定义书签。

2.2 实对称矩阵正‎定的充分必要‎条件有下列几‎种方法: ............................................ 1 2.3 实对称矩阵正‎定简易判别的‎几个充分必要‎条件。

.............................................. 3 2.3.1 n 阶实对称矩阵‎A 正定的充分必‎要条件是合同‎A 于单位矩阵E []3. (4)2.3.2n 元实二次型正‎定的充分必要‎条件是它的正‎惯性指数等于‎[]9n 。

.................... 5 2.4 实对称矩阵半‎A 正定的几个充‎分必要条件[]6。

................................................ 5 2.4.1 二次型()n x x x f ,,,21 Ax x T=，其中A A T =，()n x x x f ,,,21 半正定。

. 52.4.2n 阶实对称矩阵‎A 是半正定矩阵‎的充分必要条‎件是的正惯性‎A 指数等于它的‎秩。

(5)2.4.3n 阶对称矩阵是‎A 半正定矩阵的‎充分必要条件‎是的特征值全‎A 大于等于零，但至少有一个‎特征值等于零‎。

(5)2.4.4 实对称矩阵的‎A 所有主子式皆‎大于或等于零‎。

............................................. 5 2.4.5 有实矩阵C 使C C A T=，则A 半正定。

正定矩阵知识点总结

正定矩阵知识点总结1. 正定矩阵的定义在线性代数中，一个矩阵被称为正定矩阵，如果它是一个对称矩阵，并且对于任意非零向量x，都有x^T * A * x > 0，其中A是这个矩阵。

这个定义可以进一步推广到Hermitian矩阵（对于复数域）和实对称矩阵（对于实数域）上，即一个Hermitian矩阵或者实对称矩阵被称为正定矩阵，如果对于任意非零复数向量x，都有x^H * A * x > 0或者对于任意非零实数向量x，都有x^T * A * x > 0。

2. 正定矩阵的性质正定矩阵具有许多重要的性质，其中一些是：（1）正定矩阵是非奇异（即可逆）的，因为它的特征值都是正数。

（2）正定矩阵的所有主子式都是正数。

（3）正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵。

（4）对称矩阵A是正定的当且仅当它的所有特征值都是正数。

（5）正定矩阵的行列式是正数。

3. 判断一个矩阵是否为正定矩阵判断一个矩阵是否为正定矩阵有多种方法，以下是其中一些常用的方法：（1）特征值判据：判断一个对称矩阵A是否为正定矩阵可以通过它的特征值来判断，如果A的所有特征值都是正数，则A是正定的。

（2）Sylvester判据：判断一个实对称矩阵A是否为正定矩阵可以使用Sylvester判据，即判断A的所有主子式都是正数。

（3）正定矩阵的定义：直接使用正定矩阵的定义来判断一个矩阵是否为正定矩阵，即对于任意非零向量x，都有x^T * A * x > 0。

4. 正定矩阵的应用正定矩阵在许多数学和工程领域都有广泛的应用，以下是一些重要的应用：（1）在优化理论中，正定矩阵被广泛应用于二次优化问题的求解。

（2）在信号处理领域，正定矩阵被用于设计滤波器和信号处理算法。

（3）在机器学习和统计学中，正定矩阵被用于协方差矩阵的估计和模型参数的拟合。

（4）在工程领域，正定矩阵被用于结构分析和控制系统设计。

5. 结论正定矩阵是线性代数中的重要概念，它具有许多重要的性质和应用。

实正定矩阵的判定及其重要结论

摘要:本文将运用高等代数中一系列矩阵理论的相关知识，给出了实对称矩阵的若干个判定定理及其证明，并且得到了实对称正定矩阵的若干重要结论.关键词:实对称正定矩阵;等价定理;充分条件Decision of Real Positive Definite Matrixand Its Important ConclusionAbstract:This paper provide a series of matrix theory knowledge of higher algebra ，give some of the equivalence theorem of real symmetric matrix and its proof and obtain some of the important conclusions of real symmetry positive definite matrix .Keywords:real symmetry positive definite matrix, equivalence theorem , sufficient condition禄鹏（天水师范学院数学与统计学院，甘肃天水，741000）摘要: 本文将运用高等代数中一系列矩阵理论的相关知识，给出了实对称矩阵的若干个判定定理及其证明，并且得到了实对称正定矩阵的若干重要结论.关键词: 实对称正定矩阵; 等价定理; 充分条件1 引言矩阵理论是数学的一个重要分支，它不仅是一门基础学科，也是最具有使用价值、应用广泛的数学理论[]2,1，现已成为处理有限维空间形式和数量关系的强有力的工具. 正定矩阵作为一类常用矩阵，其在数学学科和其他学科技术领域的应用也非常广泛[]4,3，因此它的判断问题一直倍受关注.虽然个别判定条件已被人们所熟知，但缺少系统的总结，本文将尽可能给出多个实对称正定矩阵的判定定理和重要结论，从而使人们能够更好地使用正定矩阵这个工具.2 实正定矩阵的等价定理定义1[]5 实二次型()n x x x f ,,,21 称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 都有()n c c c f ,,,21 0>.定义2[]5 实对称矩阵A 称为正定的，如果二次型AX X T 正定.引理1[]5 n 元实二次型()n x x x f ,,,21 是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于n .引理2[]5 任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的.引理3[]6 设A 是n 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵T 使得()n T diag AT T AT T λλλ,,,211 ==-， ()1 其中n λλλ,,,21 为A 的特征值. 引理4[]7 任何可逆实方阵都可以分解为正交矩阵Q 和上三角矩阵R 的乘积,其中R 的主对角元均为正.定理1 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是对于任意的n 维非零列向量X ,即10⨯∈≠n R X ，使0>AX X T .证明由定义1和定义2可证.定理2 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是A 的一切顺序主子式大于0.证明[]5 必要性, 因为A 是实对称正定矩阵，由定义2知，存在二次型 ()n x x x f ,,,21 ∑∑===ni nj j i ij x x a 11是正定的.对于每个k ,,1n k ≤≤令()k k x x f ,,1 ∑∑===ki kj j i ij x x a 11.我们来证明k f 是一个k 元的正定二次型. 对于任意一组不全为零的实数,,,1k c c 有()k k c c f ,,1 ∑∑===ki kj j i ij c c a 11=()0,,0,,,1 k c c f .0>因此()k k x x f ,,1 是正定的. 由正定矩阵的行列式大于零可知，k f 的行列式,01111>kk k ka a a an k ,,1 =. 这就证明了矩阵A 的一切顺序主子式大于0.充分性, 对n 作数学归纳法. 当1=n 时, ().21111x a x f = 由条件011>a ，显然有()1x f 是正定的.假设充分性的论断对于1-n 元二次型成立,现在来证明n 元的情形.令 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=----1,11,11,1111n n n n a a a a A ,=α⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-n n n a a ,11 ,于是矩阵A 可以分块写成A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=nn T a A αα1. 既然A 的顺序主子式全大于零，当然1A 的顺序主子式也全大于零. 由归纳法假定, 1A 是正定矩阵，换句话说，有可逆的1-n 阶矩阵G 使 11-=n T E G A G ,这里1-n E 代表1-n 阶单位矩阵. 令⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001G C , 于是 =11AC C T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡100T G ⎥⎦⎤⎢⎣⎡nn T a A αα1⎥⎦⎤⎢⎣⎡100G ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-nn T T n a G G E αα1. 再令 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-1012αT n G E C , 有 2112C AC C C T T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-101G E T n α⎥⎦⎤⎢⎣⎡-nn T T n a G G E αα1⎥⎦⎤⎢⎣⎡--101αT n G E ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-ααT T nn n GG a E 001. 令 21C C C =, ,ααT T nn GG a a -=就有 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=a AC C T 11 . 两边取行列式, a A C =2. 由条件,0>A ,因此0>a . 显然⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡a 11 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡a 11⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡111 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡a 11 . 这就是说，矩阵A 与单位矩阵合同，所以A 是正定矩阵.定理3 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是A 的一切顺序主子矩阵都是正定矩阵.证明由定理2可证.定理4 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是A 的特征值全大于0.证明必要性,A 为正定矩阵,若A 的全部特征值为n λλλ,,,21 不全大于0,不妨设01≤λ.由引理3存在正交矩阵T 使得()1式成立.令 (),,,,21n T ααα = 则i i i A αλα=()n i ,,2,1 =，即i α为A 的属于特征值i λ的特征向量. 特别的，取单位特征向量01≠β，即111βλβ=A .于是有 11111βλβββT T A =01≤=λ，这与A 为正定矩阵相矛盾，故A 的全部特征值为n λλλ,,,21 都大于0.充分性: 设A 的特征值为n λλλ,,,21 ，由引理3知存在正交矩阵T ，使得 ()n T diag AT T AT T λλλ,,,211 ==-. 从而有 ()T n T Tdiag A λλλ,,,21 =.任取0≠X ，则AX X T ()X T Tdiag X T n T λλλ,,,21 =()Y diag Y n T λλλ,,,21 =，其中 T X Y T T =()0,,,21≠n y y y ，于是AX X T 02222211>+++=n n y y y λλλ ，即A 为正定矩阵.定理5 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是A 合同与E .证明必要性, 由引理1和引理2知正定二次型()n x x x f ,,,21 可经过一适当的非退化线性替换TY X =化为规范形 22221ny y y +++ .其对应的矩阵为单位矩阵E . 即()()TY A TY T EY Y T =⇒()EY Y Y AT T Y T T T =，故A 合同与E .充分性, 由于A 合同与E ，即存在可逆矩阵C 使得C C EC C A T T ==.任取0≠X ，令()Tn y y y Y CX ,,,21 ==，则0≠Y ，于是Y Y CX C X AX X T T T T ===22221ny y y +++ 0>. 故A 是正定矩阵. 定理6 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是A 的一切主子式都大于0. 证明必要性，A 正定,令 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n a a a a A 1111,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k i i i i i i i i k a a a a A 1111, 其中 k A 为A 的主子矩阵, n i i k ≤<<≤ 11()n k ,,2,1 =.设矩阵A 与k A 的二次型分别为AY Y T 和X A X k T . 对任意(),0,,10≠=Ti i mb b X 存在(),0,,10≠=Tn c c Y 其中⎩⎨⎧==.;,,,0,1other i i k b c k k k 由A 正定,00AY Y T ,0>得00X A X k T是正定的, 故存在实可逆矩阵k T , 使⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k k k T k T A T λλ 1，其中(),,,10k i i =>λ 从而k k k k T k T A T A T λλ 12==0>. 又 02>k T ,故 0>k A ()n k ,,2,1 =.充分性, 实对称矩阵A 的一切主子式都大于0, 所以A 的一切顺序主子式都大于0. 由定理2可证A 为正定矩阵.定理7 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是A 的一切主子矩阵都是正定矩阵.证明必要性,A 正定,令 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n a a a a A 1111,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k i i i i i i i i k a a a a A 1111, 其中 k A 为A 的主子矩阵, n i i k ≤<<≤ 11()n k ,,2,1 =.显然 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k i i i i i i i i k a a a a A 1111()n k ,,2,1 =也是实对称矩阵.又因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k i i i i i i i i k a a a a A 1111的k 个顺序主子式均为A 的k 个主子式,由定理6知k 个主子式都大于零, 从而⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k i i i i i i i i k a a a a A 1111()n k ,,2,1 =为正定矩阵.充分性, 实对称矩阵A 的一切主子矩阵都是正定矩阵, 则矩阵A 的一切主子式都大于零, 由定理6即证A 是正定矩阵.定理8 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是A 半正定且0≠A .证明必要性, 因为A 正定，则显然A 一定半正定，且0≠A .充分性, 设A 的特征值为n λλλ,,,21 ,由A 半正定可知，i λ(),,,2,10n i =≥又021≠⋅⋅⋅=n A λλλ ，故(),,,2,10n i i =>λ 由定理4可知A 正定.定理9 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是对于任意的实列满秩矩阵m n C ⨯, 都有AC C T 为正定矩阵.证明必要性, 首先()TT ACC AC C T =,对任意的1⨯∈m R X ,0≠X ,由秩C n =, 知,0≠CX 而A 为正定矩阵, 故()()(),0>=CX A CX X AC C X TT T即 AC C T 为正定矩阵.充分性, AC C T 正定, 则对任意的1⨯∈m R X ,0≠X , 由秩C n =, 知,0≠CX 并且 ()()CX A CX T=()0>X AC C X T T , 即A 为正定矩阵.定理10 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是对于任意的实可逆矩阵T , 都有AT T T 为正定矩阵.证明必要性,首先()TT ATT AT T T =, 对任意的1⨯∈n R X ,0≠X ,由秩T n =, 知,0≠TX 而A 为正定矩阵, 故()()(),0>=TX A TX X AT T X TT T即 AT T T 为正定矩阵.充分性,AT T T 正定, 则对任意的1⨯∈n R X , 0≠X , 由秩T n =,知,0≠TX 并且 ()()TX A TX T=()0>X AT T X T T , 即A 为正定矩阵.定理11 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是存在正定矩阵B ,使2B A =. 证明必要性, 设A 的全部特征值为n λλλ,,,21 全大于0，由引理3得 ()121,,,-=T Tdiag A n λλλ=()],,,[121-T Tdiag n λλλ ()],,,[121-T Tdiag n λλλ =2B ，其中 =B ()],,,[121-TTdiag nλλλ .因为B 为实对称矩阵，且特征值0>i λ(),,,2,1n i = 所以B 为正定矩阵.充分性, 由于B 为正定矩阵, 使2B A =，则B 为实对称可逆矩阵，且有 2B A =B B T =EB B T =，即A 合同与E .再由定理5得A 为正定矩阵.定理12 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是存在实可逆矩阵P ,使得P P A T =.证明必要性,A 是实对称正定矩阵，则存在实可逆矩阵P 使得 EP P A T =P P T =, 其中E 为n 阶单位矩阵.充分性, 因为存在实可逆矩阵P , 使得P P A T =,并且P P A T =EP P T =, 其中E 为n 阶单位矩阵. 即实对称矩阵A 合同与E ，所以A 为正定矩阵.定理13 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是存在实列满秩矩阵n m Q ⨯, 使Q Q A T =.证明必要性, 因为A 为正定矩阵, 则存在n 阶实可逆矩阵P , 使得 P P A T =()()n m n T nn P -⨯⨯=0()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯n n m n n P 0. 令 =Q ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯n n m n n P 0, 则 Q Q A T=, 其中Q 为n m ⨯列满秩矩阵.充分性,n m Q ⨯为实列满秩矩阵,则Q Q T 为n 阶可逆矩阵,故对任意的1⨯∈n R X ,0≠X , 由秩Q m =, 知,0≠QX 并且=AX X T QX Q X T T ()()QX QX T=,0>即A 为正定矩阵.定理14 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是存在n 阶主对角元素都大于零的上三角矩阵R ，使得R R A T =.证明必要性, 因为A 是实对称正定矩阵,则存在实可逆矩阵P ,使得P P A T =. 又由引理4知,存在矩阵Q 和P 使得 QR P =, 其中Q 为n 阶正交矩阵,R 为n 阶主对角元素都大于零的上三角矩阵, 从而P P A T =QR Q R T T =R R T =.充分性, 因为存在n 阶主对角元素都大于零的上三角矩阵R ，使得R R A T =. 则显然矩阵R 可逆, 由定理12即可证A 是正定矩阵.定理15 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是存在n 阶主对角元素都大于零的下三角矩阵U ,U U A T =.证明类似于定理14.定理16 实对称矩阵=A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3221A A A A T为正定矩阵的充要条件是1A 和21123A A A A T --为正定矩阵.证明当1A 可逆时，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡--E A A ET 1120⎥⎦⎤⎢⎣⎡3221A A A A T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--E A A E0211⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21123100A A A A A T ()2 必要性, 若A 正定，那么1A 也正定，11-A 存在. 令⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-E A A E T 0211，则T 可逆，所以AT T T 也正定.从而⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2112310A A A A AT 为正定矩阵，因此它的主子矩阵1A 和21123A A A A T --为正定矩阵.充分性, 由1A 和21123A A A A T--为正定矩阵.且两个正定矩阵的和也是正定矩阵知⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2112310A A A A AT 为正定矩阵. 再由()2式得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3221A A A A A T=()TT 1-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2112300A A A A A T 1-T ，即A 为正定矩阵.定理17 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是A 的正惯性指数等于A 的维数n .证明由引理1和定义2显然可证.定理18 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是存在正交向量组,,,,21n ααα 使.2211Tn n T T A αααααα+++=证明必要性,A 是正定矩阵,则由引理3可知,存在正定矩阵,U 使 ()U diag U A n T λλλ,,,21 =,()Tn U βββ,,,21 =,令 i i i βλα=()n i ,,2,1 =，为正交向量组, 即得.2211Tn n T T A αααααα+++=充分性,T n n T T A αααααα+++= 2211=[]T n TT ααα 21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n ααα 21 U U T = （U 为正交矩阵）, 显然A 是正定矩阵.3 实正定矩阵的重要结论对于实对称正定矩阵除了上面的一些充要条件用于判定一个矩阵是否为正定矩阵外, 还有一些很重要的结论,下面给出详细内容及其证明. ()1 若A 是n 阶实对称正定矩阵, 则0>A .证明设A 是一正定矩阵,因为A 与单位矩阵合同,所以有实可逆矩阵C 使 C C EC C A T T ==. 两边取行列式, 就有02>==C C C A T.()2 若A 是n 阶实对称正定矩阵,则1-A 也是实对称正定矩阵. 证明因为A 是实对称正定矩阵, 则0>A , 所以A 可逆. 又因为 ()(),111---==A A A T T所以1-A 也是实对称矩阵.设A 定特征值为,,,,21n λλλ 则由A 正定有 ()n i i ,,2,10 =>λ, 但1-A 的全部特征值为01>iλ()n i ,,2,1 =, 即1-A 为正定矩阵.()3 若A 是n 阶实对称正定矩阵, 则*A 也是正定矩阵（其中*A 表示A 的伴随矩阵）.证明已知*A =,1n n R A A ⨯-∈ 且()(),***==A A A T T又A 是正定矩阵, 所以0>A .设A 的特征值为,,,,21n λλλ 则由A 正定有 ()n i i ,,2,10 =>λ,于是*A 的n 个特征值为11211,,,---n A A A λλλ 也都大于零, 即*A 也是正定矩阵.()4 若A 是n 阶实对称正定矩阵,则k A （k 是正整数）也是正定矩阵.证明设A 的全部特征值为,,,,21n λλλ 则由A 正定有 ()n i i ,,2,10 =>λ,则k A 对全部特征值为,,,,21knk k λλλ 也都大于零, 即k A 也是正定矩阵. ()5 若A 是n 阶实对称正定矩阵,则必有nn a a a ,,,2211 都大于零,即主对角线上的元素都大于零.证明根据定义1和定义2可知，对任意的1⨯∈n R X ,且0≠X 有0>AX X T ,故依次令,100,,001⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= X可得,011>a ,022>a , ,0>nn a 即证主对角线上的元素都大于零.()6 若A 是n 阶实对称正定矩阵,则存在实数,a 使得A aE -是正定矩阵. 证明设A 的全部特征值为,,,,21n λλλ 则由A 正定有 ()n i i ,,2,10 =>λ, 则A aE -的特征值为 .,,1n a a λλ--令 {}1,,2,1,max +==n i a i λ, 则有()n i a i ,,2,10 =>-λ从而A aE -是正定矩阵, 即证存在实数a 使得A aE -是正定矩阵.()7 若A 是n 阶实对称矩阵,E 为n 阶单位矩阵, 证明:存在正数ε,是得A E ε+为正定矩阵.证明可证A E ε+为实对称矩阵, 且存在正交矩阵T ,使得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n T AT T λλ 1, 其中n λλλ,,,21 为A 的全部特征值,令 {}n λλλλ,,,max 210 =.不妨设0λ0>（因为,若0λ0=,则01===n λλ ,0=A ,结论已证）. 再令 110+=λε, 那么110<+λλi ()n i ,,2,1 =.所以 ()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++=-110011λλλλεn T A T⇒()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++=+-11110011λλλλεn T A E T ，其中0110>++λλi ()n i ,,2,1 =, 故A E ε+为正定矩阵.()8 若B A ,都是n 阶实对称矩阵,A 是正定矩阵, 证明: 存在实可逆矩阵T , 使得AT T T 与BT T T 同时为对角形.证明由于A 是正定矩阵,则A 合同与单位矩阵E ,即存在实可逆矩阵,P 使得 E AP P T =.而且BP P T 仍为实对称矩阵, 从而存在正交矩阵,Q 使得(),1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n T T Q BP P Q λλ 其中n λλλ,,,21 是BP P T 对特征值.令 PQ T =,则AT T T ()()()E Q AP P Q PQ A PQ T T T===,=BT T T ()()()===Q BP P Q PQ B PQ T T T ,1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n λλ其中E 为n 阶单位矩阵.()9 若B A ,都是n 阶实对称正定矩阵,证明 .B A B A +>+证明由于A 是正定矩阵,则A 合同与单位矩阵E ,即存在实可逆矩阵,P 使得 E AP P T =.而且BP P T 仍为实对称正定矩阵, 从而存在正交矩阵,Q 使得(),1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n T T Q BP P Q λλ 其中n λλλ,,,21 都大于零是BP P T 对特征值.令 PQ T =, 则 AT T T ()()()E Q AP P Q PQ A PQ T T T===,其中E 为n 阶单位矩阵,=BT T T ()()()===Q BP P Q PQ B PQ T T T ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n λλ 1, ()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++=+n T T B A T λλ111 , 有 ()()()n T B A λλλ+++=+111212.又知 12=P A ,n P B λλ 12=. 而PQ T =,其中Q 为正交矩阵, 则1±=Q , 且2222P Q P T ==.所以 ()()()n P B A λλλ+++=+111212n λλλ 211+≥,而 []n P B A λλλ 2121+=+, 即证 B A B A +>+.()10 若B A ,都是n 阶实对称正定矩阵,则B A +也正定.证明 B A ,都是n 阶实对称正定矩阵, 则()B A B A T +=+, 且对任意的1⨯∈n R X ,0≠X 有()0>+=+BX X AX X X B A X T T T , 所以B A +也正定.()11 若A 是n 阶实对称正定矩阵,证明:nn a a a A 2211≤, 其中()n i a ii ,,2,1 =为A 的主对角元素.证明设 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=nn Ta A A αα1, 其中1A 为A 的1-n 阶顺序主子阵, ()n n n n T a a a ,121,,,-= α因为A 正定, 所以1A 正定,11-A 存在,于是⎥⎦⎤⎢⎣⎡---10111A E T n α⎥⎦⎤⎢⎣⎡nn Ta A αα1⎥⎦⎤⎢⎣⎡---1111αA E n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-αα11100A a A T nn ,两边取行列式得()αα111--=A a A A T nn .因为1A 正定, 所以11-A 正定,011≥-ααA T ,01>A , 则由上式可得 nn a A A 1≤.同理1,121--≤n n a A A , 其中2A 为A 的2-n 阶顺序主子阵, 这样继续下去,可得 nn a A A 1≤nn n n a a A 1,12--≤≤≤ nn a a a 2211.()12 若B A ,都是n 阶实对称正定矩阵,证明:AB 的特征值均大于零.证明由于A 是正定矩阵, 则A 合同与单位矩阵E , 即存在实可逆矩阵,P 使得 E PAP T =.()()()11111-----==P B P BP P PAP PABP TTT .因为B 为正定矩阵, ()()11--P B P T也正定, 从而它的特征值全大于零. 再由上式可知AB 与()()11--P B P T相似, 所以它们有相同的特征值, 因此AB 的特征值均大于零.()13 若B A ,都是n 阶实对称正定矩阵, 且BA AB =, 证明AB 为正定矩阵. 证明见参考文献[]7第273271-页.参考文献[1] Pullman NP. Matrix Theory and its Applications[M]，Academic Press,1976. [2] COM PA. Principles and Practice of Mathematics[M]，SpringerVerlag,Berlin Heidelberg,1998.[3] Johnson CR. Positive definite matrices[J]，AmerMathMothly ,1970.[4] 胡跃进. 广义正定矩阵的一个不等式[J]，阜阳师范学院学报（自然科学版），2001. [5] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组. 高等代数（第三版）[M]，北京:高等教育出版社，2003.[6] 张禾瑞,郝镔新. 高等代数（第三版）[M]，北京:高等教育出版社，1983. [7] 钱吉林. 高等代数解题精粹（修订版）[M]，北京:中央民族大学出版社,2002.。

正定矩阵的判定方法

正定矩阵的判定方法
正定矩阵的判定方法有以下几种：
1. 定义判定法：对于一个n阶对称矩阵A，如果对于任意非零的n维向量x，都有x^T * A * x > 0，则称A为正定矩阵。

2. 特征值判定法：对于一个n阶对称矩阵A，如果它的所有特征值都大于零，则称A为正定矩阵。

3. 主子式法：对于一个n阶对称矩阵A，如果它的所有主子式都大于零，则称A为正定矩阵。

主子式是指A的任意一个顺序主子矩阵的行列式，顺序主子矩阵是指选择A的前k行和前k列所得到的矩阵。

这些方法可以单独使用，或者结合使用来判定一个矩阵是否是正定矩阵。

6.3二次型与对称矩阵正定性(全)

§3 二次型与对称矩阵的正定性定义6.3.1具有对称矩阵A 的二次型f (X )=X T AX ，如果对于任何X =(x 1, x 2, ¨, x n )T ≠0，都有X T AX >0，(或< 0)成立，则称f (X )=X T AX 为正定(负定)二次型，矩阵A 称为正定矩阵(负定矩阵)。

如果对于任何X =(x 1, x 2, ¨, x n )T ，都有X T AX ≥0，(或≤ 0)则称f (X )=X T AX 为半正定(负定)二次型，矩阵A 称为半正定(半负定)矩阵。

且有，使，()000012,,,0Tn X x x x =≠000TX AX =二次型正定(负定)，半正定(半负定)，则它对应的矩阵为正定(负定)，半正定(半负定)；反之亦然。

例6.3.1对二次型，当时，显然，所以这个二次型是正定的，其矩阵E n 是正定矩阵。

()2221212,,,n nf x x x x x x=+++()12,,,0Tn X x x x =≠()12,,,0n f x x x >例6.3.2二次型，可写成，当时，，因此是半负定二次型，其对应的矩阵是半负定矩阵。

()222123112132233,,2444f x x x x x x x x x x x x=--+-+-()()2123123,,20f x x x x x x =-+-≤12320x x x +-=()123,,0f x x x =()123,,f x x x 112112224--⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭例6.3.3是不定二次型，因为其符号有时正有时负。

()221212,2f x x x x =-定理6.3.1设A 为正定矩阵，如果A B ，则B 也是正定矩阵。

定理6.3.2 对角矩阵12n d d D d ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为正定矩阵的充分必要条件是i d >()1,2,,i n =定理6.3.3矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是存在非奇异矩阵C ，使得A=C T C ，即A 合同于单位矩阵。

实对称矩阵正定的一些等价条件

实对称矩阵正定的一些等价条件实对称矩阵是指矩阵的转置矩阵等于它本身，即$A^T=A$。

正定的定义是所有特征值都大于零，即$\lambda_i>0,i=1,2...,n$。

这篇文章将介绍实对称矩阵正定的一些等价条件。

1. 实对称矩阵的主元顺序全部是正数主元是指矩阵的顶点，即对角线上的元素。

若实对称矩阵的主元顺序全是正数，则该矩阵正定。

证明：设$\lambda$是该矩阵的特征值，$x$是对应的特征向量，则有：$$Ax=\lambda x$$又因为$A$为实对称矩阵，所以$x^TAx=x^T(A^T)x=(Ax)^Tx=\lambda x^Tx$则得到$\lambda x^Tx=(Ax)^Tx>0$，因为$x^Tx>0$，故$\lambda>0$。

2. 所有的顺序子式（即主子式）都是正数主子式是指以矩阵的顶点为左上角的$k$阶子矩阵的行列式，即在第$1$行和第$1$列选取$k$个元素，并且这$k$个元素的行数和列数分别为$1,2,...k$。

若该实对称矩阵的所有顺序子式都是正数，则该矩阵正定。

证明：对主子式采用数学归纳法。

（1）当$k=1$时，显然是正数。

（2）假设$k<l$时命题成立，现在考虑$k=l$时该矩阵是否正定。

即证明：对于矩阵$A_{l\times l}$，如果所有的顺序子式都是正数，则$A$正定。

由于$A$为实对称矩阵，则存在正交阵$Q$使得$Q^TAQ$为对角阵。

因为对任意的非零向量$x$，都有$x^TAx=x^T(Q^TQ)AQ^TQx=(Qx)^T(QAx)$，所以$A$正定的充分必要条件为$Q^TAQ$的所有主元为正数。

$$A=\begin{bmatrix}a_{11}&b^T\\b&C\end{bmatrix}$$由于$a_{11}>0$，所以$\begin{vmatrix}a_{11}\end{vmatrix}>0$，$C$为$(l-1)\times(l-1)$的矩阵，从而$C$的所有顺序子式都是正数。

对称正定矩阵与非奇异GM-矩阵的判定

对称正定矩阵与非奇异GM-矩阵的判定
赵姣珍;谭学文;杨晓英
【期刊名称】《四川理工学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2009(022)006
【摘要】若矩阵A∈Rn×n能表示为A=sI-B,s＞0,其中矩阵B和BT都具有Perron-Frobenius性质,则称矩阵A:(1)是GZ-矩阵(广义Z-矩阵);(2)是GM-矩阵(广义M-矩阵),如果0＜ρ(B)≤s.这类矩阵在科学计算方面有着重要的作用,文章构造对称正定矩阵AW+WAT和W-GTWG给出了矩阵A为GM-矩阵的一些判定准则.
【总页数】2页(P45-46)
【作者】赵姣珍;谭学文;杨晓英
【作者单位】云南大学数学与统计学院,昆明,650091;云南大学数学与统计学院,昆明,650091;云南大学数学与统计学院,昆明,650091
【正文语种】中文
【中图分类】O157.6
【相关文献】
1.矩阵Schur补的非奇异H矩阵判定算法 [J], 马胜辉;段复建
2.判定实对称矩阵为正定、半正定、负定、半负定或不定的一个算法 [J], 胡庆军
3.广义α-对角占优矩阵与非奇异H-矩阵的判定 [J], 张钟元;宋岱才
4.判定实对称矩阵为正定矩阵的一个充分条件 [J], 呙林兵
5.块α-对角占优矩阵与非奇异块H-矩阵的判定条件研究 [J], 贾明辉
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实对称矩阵A正定

k1
c1
Y
0

k2

,
X0

CY
0

c2

,
kn
cn
则，
f (c1,c2, ,cn ) X0 AX0 Y0(CAC )Y0 g(k1,k2, ,kn )
§4 正定二次型 © 2009, Henan Polytechnic University
正定. 取
Xi (0,
,0, 1 ,0, 第i个
, 0)
则 f ( Xi ) XiAXi aii 0, i 1, 2, , n
§4 正定二次型 © 2009, Henan Polytechnic University
88
注意
第五章二次型
反之不然. 即， A (aij )nn 为对称矩阵，且
同理，若 g 正定，则 f 正定.
所以，非退化线性替换不改变二次型的正定性.
§4 正定二次型 © 2009, Henan Polytechnic University
44
定理1
第五章二次型
n元实二次型 f ( x1, x2 , , xn ) 正定
充分必要条件是它的正惯性指数等于n.
证：设 f ( x1, x2 , , xn )经非退化线性替换 X CY 变成标准形
１．、正定二次型
第五章二次型
1、定义：实二次型 f ( x1, x2, , xn ) 若对任意
一组不全为零的实数 c1,c2 , ,cn 都有
f (c1,c2 , ,cn ) 0
则称f 为正定二次型.
n
如，二次型 f ( x1, x2, , xn ) xi2

数值线性代数1

数值线性代数自测题1A一、选择题（每小题4分，共40分）1．设nn R A ⨯∈是对称正定矩阵，且LR A =，其中：L 是下三角矩阵，R 是上三角矩阵，那么_______A ．一定有R L =B ．一定有TR L = C ．一定有*R L =D ．L 和TR 不一定相等。

2．已知A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--123422221，则1A =___________． A ．8B ．7C ．６D ．５3．已知矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=40300063123060011283123210A则Ａ是___________．Ａ．不可约的Ｂ．可约的Ｃ．不可约对角占优的Ｄ．严格对角占优的 4．数值计算的直接法，是指＿＿＿＿．Ａ．采取逐次逼近的方法来逼近问题的精确解的一类算法．Ｂ．根据问题固有的属性，经有限步迭代就可得到精确解的算法．Ｃ．在没有误差的情况下可在有限步得到计算问题的精确解的算法．Ｄ．通过观察可得到问题的精确解的算法．5．求解线性方程组的一类最基本的直接算法——Gauss 消去法是目前求解中小规模线性方程组的最常用的方法，它一般用于系数矩阵_______的线性方程组. A ．稀疏Ｂ．稠密Ｃ．对称正定Ｄ．严格对角占优或不可约 6．求解线性方程组b Ax =的单步线性定常迭代法：g Mx xk k +=+)()1(收敛的充分必要条件是＿＿＿＿．Ａ．1)(1<=-A A A κ Ｂ．1)(<A ρＣ．1)(<M ρＤ．]),([)(b A rank A rank =7．求解线性方程组b Ax =的正交化算法，＿＿＿＿．Ａ．要求方程组必须是矛盾方程Ｂ．首先要保证方程组有解Ｃ．要求方程组系数矩阵对称正定Ｄ．通常限定Ａ是列满秩的． 8．求解线性方程组的共轭梯度法，适用于＿＿＿＿．Ａ．稀疏方程组Ｂ．稠密方程组Ｃ．非奇异方程组Ｄ．正定方程组9．计算一个矩阵的特征值和对应特征向量的幂法可以求出＿＿＿＿＿．Ａ．模最大的特征值和对应的特征向量Ｂ．任意一个指定的特征值和对应的特征向量Ｃ．模最小的特征值和对应的特征向量Ｄ．全部特征值和对应的特征向量10．计算矩阵特征值及特征向量的ＱＲ方法是自电子计算机问世以来矩阵计算的重大进展之一，它是目前计算一般矩阵的＿＿＿＿行之有效的方法之一．Ａ．模最大特征值及对应的特征向量Ｂ．模最小特征值及对应的特征向量Ｃ．全部特征值及对应特征向量Ｄ．非零特征值及对应的特征向量二、计算题（每空８分，共２４分）11．构造Gauss 变换L ，使TT L )00,0,3,0,1()12,9,6,3,0,1(=. 12．设T x )4,3,6,4,0,1(=．求一个Householder 变换和一个正数α使THx )0,0,6,4,,1(α=．13．给出求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+1221122321321321x x x x x x x x x的Jacobi 迭代算法的分量形式．三、综合题（共３６分）14．（７分）用列主元Gauss 消１法解矩阵方程：B AX =，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=113312121A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=354604B ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=323122211211x x x x x x X ． 15．（７分）设nn A ⨯∈R 对称正定．试证：求方程组b Ax =的解等价于求二次泛函xb Ax x x T T -=21)(ϕ的极小点。

正定矩阵通俗解释

正定矩阵通俗解释正定矩阵是线性代数中重要的概念之一。

在很多实际应用中，正定矩阵扮演着重要的角色。

本文将从通俗易懂的角度，对正定矩阵的概念、性质以及应用进行解释。

首先，什么是正定矩阵？正定矩阵是指一个$n\times n$的实对称矩阵$A$，满足对于任意非零向量$x\in\mathbb{R}^n$，都有$x^TAx>0$。

其中，$x^T$表示向量$x$的转置。

可以理解为，正定矩阵是一种能保证$x$与$Ax$的内积为正的矩阵。

那么，正定矩阵有哪些性质呢？我们可以从以下几个方面进行说明：1. 正定矩阵的特征值都是正数。

即便是部分特征值为零的情况，其它非零特征值均为正。

2. 正定矩阵的行列式必须是正的。

3. 正定矩阵是非奇异矩阵，且求逆的结果也为正定矩阵。

基于以上性质，可以得出一个结论：正定矩阵是一种比较特殊的矩阵类型，它具有一些非常实用的优良性质。

例如，在数值计算、优化问题、信号处理的应用中，正定矩阵经常出现，并且可以用于帮助解决很多实际问题。

在数值计算方面，正定矩阵可用于设计求解一些线性方程组的算法。

例如，我们可以通过正定矩阵来构建一些高效且精确的迭代算法，如共轭梯度法、雅可比方法等等。

这些算法可以对大型稀疏矩阵进行求解，并且具有很高的求解速度和精度。

在优化问题中，正定矩阵则可用于设计一些高效的优化算法。

例如，批次优化、Newton算法等等。

这些算法的效率非常高，并且可以在各类大型优化问题中得到应用。

在信号处理方面，正定矩阵可用于设计一些高效的滤波器。

例如，我们可以通过正定矩阵来构建一种被称为最佳线性滤波器的滤波器。

它可以更好地去除带噪声的信号，并且在图像处理中也经常被应用。

除此之外，正定矩阵在微积分、微分方程、几何等领域中都有着广泛的应用。

例如，在微分方程中，正定矩阵可以用于判定某个边界值问题是否存在唯一解；在几何学中，正定矩阵可以用于判定坐标轴中的椭圆、四面体等对象的几何形态。

综上所述，正定矩阵是一种非常特殊且实用的矩阵类型。

正定矩阵的定义概念

正定二次型
★正定二次型和正定矩阵的概念 ★判别二次型或矩阵正定的方法
正定二次型是二次型中讨论最多的类型，本节结合二次型的标准型中系数给出正定二次型的概念，并给出了判定二次型正定及实对称矩阵的几种方法。
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正定二次型和正定矩阵的概念
二次型的标准形不是唯一的。标准形中所含项数是确定的( 即是二次型的秩 )。限定变换为实变换时，标准形中正系数的个数是不变的。
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第五章主要方法
一) 方阵的特征值与特征向量的求法
(1).计算A的特征多项式 f ( ) | A E |;
(2).求出f ( ) 0的全部根 ,即A的全部特征值 ;
( 3).把A的特征值逐个代入齐线次性方程组 ( A E ) x 0, 并求出这个方程组的个一基础解系, 则这个基础解系的非线零性组合就是 A的属于特征值的全部特征向量 .
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3 1 0 例16 判定对称矩阵 A 1 3 0 正定性。 0 0 3 解方法一因为a11 3 0,
a11 a12 a21 a22
3 1 0 3 1 8 0, | A | 1 3 0 24 0, 1 3 0 0 3
1.定义法： 2. 用霍尔维兹定理： A 的各阶主子式都为正，则A 是正定的; 3. 用A的特征值： A 的特征值全为正，则A 是正定的; 4. 化A所对应的二次型为标准形,根据标准形中的正平方项个数判断;
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由实二次型的矩阵表示及对称矩阵的正定性判别法知，判断二次型的正定性也有两种方法。一是利用对称矩阵A 的正定性。若二次型 f 的对称矩阵A 是正定的，则f 是正定二次型；若A 是负定的，则 f 也是负定二次型。二是将 f 化为标准形。若其标准形的 n 个系数全为正，则 f 是正定的；若 f 的标准形的 n 个系数全为负，则 f 是负定的。由于将 f 化为标准形非常复杂，因此第二种方法一般不用。

正定矩阵的几种经典证明方法

正定矩阵的几种经典证明方法正定矩阵作为线性代数中的重要概念，在数学与物理中都有着广泛的应用。

在线性代数中，我们常常会遇到正定矩阵，那么正定矩阵的证明方法有哪些呢？下面，我们将按照不同的方法分类，总结几种较为经典的证明方法。

一、特征值方法正定矩阵具有正定的特征值。

这一点是判断正定矩阵的重要依据。

如果判断一个方阵是否是正定矩阵，我们可以先求出其特征值，然后判断其特征值是否为正数。

如果所有的特征值都是正数，那么就可以确认该方阵是正定矩阵。

二、二次型方法正定矩阵的另一种较为常用的判断方法是利用其二次型的性质。

对于一个关于向量x的二次型Q(x)，如果当x≠0时，Q(x)>0，那么这个二次型就是正定的。

而对于正定矩阵，其二次型就一定是正定的。

三、行列式方法正定矩阵的另一个重要特征是其行列式的值始终大于0。

我们可以采用按照顺序进行行列式的一般化展开，然后观察每个项的符号，最终确定行列式的值是否大于0。

如果行列式的值大于0，那么该矩阵就是正定矩阵。

四、矩阵分解方法对于对称正定矩阵，其有很多可以用于判断其性质的矩阵分解方法，其中最常见的是Cholesky分解。

Cholesky分解方法的思想是将对称正定矩阵分解为一个下三角矩阵和它的转置矩阵的乘积。

如果能够成功将对称正定矩阵分解为下三角矩阵的乘积，那么就可以证明该矩阵是正定矩阵。

五、极值法正定矩阵的一个特性是其可以使二次型的值最小。

因此，我们可以根据二次型的最小值来判断一个矩阵是否是正定矩阵。

具体的判断方法是，求出矩阵的特征向量，然后代入二次型，将其转化为关于特征向量的多项式。

我们可以根据多项式的二次项系数是否为正值，来判断矩阵是否是正定矩阵。

以上是几种常见的正定矩阵的判定方法。

不同的判定方法有不同的适用场景，可以根据实际情况进行选择，来进行正定矩阵的证明。

对称和正定的关系

对称和正定的关系对称和正定的关系对称和正定是线性代数中两个重要概念，它们之间存在一定的关系。

下面将分别对对称和正定进行简述，并解释它们之间的联系。

对称在线性代数中，一个矩阵被称为对称矩阵，当且仅当它的转置矩阵等于它自身。

简单来说，对称矩阵就是以主对角线为对称轴对称的矩阵。

对称矩阵有以下几个特点： - 主对角线对称：矩阵的每个元素a(i, j)等于a(j, i)。

- 特征值为实数：对称矩阵的特征值都是实数。

- 特征向量正交：对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的。

正定一个n阶实对称矩阵A称为正定矩阵，当且仅当对于任意非零的实向量x，都有x^T * A * x > 0。

简单来说，正定矩阵的特征值都是正数。

正定矩阵具有以下几个性质： - 所有特征值大于0：正定矩阵的特征值都是正数。

- 非奇异：正定矩阵的行列式大于0，不可逆的矩阵不是正定的。

- 正定的逆仍为正定：一个矩阵如果是正定的，那么它的逆矩阵也是正定的。

对称和正定的关系对称和正定之间存在一定的关系： - 正定矩阵一定是对称矩阵，但对称矩阵不一定是正定矩阵。

因为对称矩阵只要求主对角线一侧元素和其对称位置的元素相等，没有限制其特征值的正负性。

- 对称正定矩阵有一些重要的性质和应用。

它们在优化、最小二乘问题和信号处理等领域中起着重要的作用。

通过基于对称正定矩阵的方法，可以更高效地解决实际问题。

总结来说，对称矩阵是具有对称性质的矩阵，而正定矩阵是对称矩阵中特殊的一类，它的特征值都是正数。

在实际应用中，对称正定矩阵有着重要的地位和作用。

对称和正定的关系对称和正定在线性代数中是两个重要的概念。

下面继续探讨它们之间的关系。

对称矩阵和正定矩阵•对称矩阵：一个矩阵被称为对称矩阵，当且仅当它的转置矩阵等于它自身。

对称矩阵具有主对角线对称和特征值为实数的特点。

•正定矩阵：一个n阶实对称矩阵A称为正定矩阵，当且仅当对于任意非零的实向量x，都有x^T * A * x > 0。