椭圆方程性质的应用
3.1.2.2《椭圆方程及性质的应用》课件(北师大版选修2-1)
【解析】由椭圆的对称性知 |P1F1|=|P7F2|，|P2F1|=|P6F2|， |P3F1|=|P5F2|，且|P4F1|=5， ∴|P1F1|+|P2F1|+|P3F1|+…+|P7F1| =（|P1F1|+|P7F1|）+（|P2F1|+|P6F1|）+（|P3F1|+|P5F1|） +|P4F1|
x 2 2 有两个不同的交点， 2.（5分）已知直线y=kx+2与椭圆 +y =1 2
则斜率k的范围是_______.
【解题提示】联立方程组，消去y,由Δ>0求k的范围.
【解析】
答案：
x 2 y2 3.（5分）如图，把椭圆 + =1的长轴AB分成8等份，过每 25 16
个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1、P2、…、P7七个点， F是椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=_______.
一、选择题（每题5分，共15分）
x 2 y2 1.(2010·太原高二检测）已知F1、F2是椭圆 + =1 的两焦 16 9
点，经点F2的直线交椭圆于点A、B，若|AB|=5，则 |AF1|+|BF1|等于( (A)11 (B)10 ) (C)9 (D)16
（1）求动点M的轨迹方程； （2）若过点N（ 1 ,1)的直线l交动点M的轨迹于C、D两点，且N
2
为线段CD的中点，求直线l的方程. 【解析】（1）设M（x,y),因为kAM·kBM=-2，所以
y y =-2(x≠〒1). x+1 x-1
化简得:2x2+y2=2(x≠〒1).
x 2 y 2 (a>b>0),以其左焦点F （-c,0) 1.（5分）已知椭圆E： + =1 1 2 2 a b
椭圆的标准方程及性质的应用 课件
本题的这两种解法，是解中点弦问题的常用方法，解中点弦问题关键在于 充分利用“中点”这一条件，灵活运用中点坐标公式及根与系数的关系，法一 是设出方程，根据中点坐标求出k；法二是设出交点坐标，代入方程，整体作 差求直线方程也叫点差法，是“设而不求”.
[再练一题] 3.焦点分别为(0,5 2 )和(0，－5 2 )的椭圆截直线y＝3x－2所得椭圆的弦的 中点的横坐标为12，求此椭圆方程.
位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 ________解 Δ____0 相切 ________解 Δ____0 相离 ________解 Δ____0
【答案】 两 > 一 ＝ 无 <
直线与椭圆位置关系的判断
对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆
x2 4
＋y2＝1的位置关
系.
【精彩点拨】
联立两 个方程
(3)由Δ＜0，得m＜－3 2或m＞3 2，也就是当m＜－3 2或m＞3 2时，直线l和椭圆C相离.
已知动点 P 与平面上两定点 A(－ 2，0)，B( 2，0)连线的斜率的积 为定值－1.
2 (1)试求动点 P 的轨迹方程 C;
求弦长的两种方法 (1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点距离公式求弦长. (2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利 用弦长公式：|P1P2|＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2＝ 1＋k12 y1＋y22－4y1y2，其 中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和 与两根之积后代入公式可求得弦长.
经检验，此时Δ>0.
所以椭圆方程为7y52 ＋2x52 ＝1.
探究2 怎样处理与弦的中点有关的问题？
【提示】 在处理与弦的中点有关的问题时，主要有两种方法：
椭圆方程及其应用
椭圆方程及其应用概述椭圆方程是描述平面上椭圆的几何性质的方程。
它是一种二次方程，通常形式为 Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0。
本文将介绍椭圆方程的基本定义、性质，以及它在不同领域的应用。
基本定义与性质椭圆方程的一般形式为 Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0。
其中 A、B、C、D、E 和 F 是实数系数，且 A 和 C 不同时为零。
通过对齐次化和变换，椭圆方程可以转化为标准形式：(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1其中 (h, k) 是椭圆的中心坐标，a 和 b 分别是椭圆在 x 和 y 方向上的半长轴长度。
椭圆的离心率定义为 c/a，其中 c 是椭圆的焦点之间的距离。
椭圆方程具有如下性质：1. 椭圆是一个封闭的曲线，其形状类似于圆，但更加拉长。
2. 所有椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和是常数。
3. 椭圆的直径是椭圆上两个离焦点最远的点之间的距离。
4. 椭圆的离心率决定了椭圆的形状，当离心率接近于 0 时，椭圆接近于圆；当离心率大于 0 但小于 1 时，椭圆呈现出拉长的形状。
应用领域椭圆方程在许多领域中有广泛的应用，以下介绍其中几个典型的应用：1. 天体力学椭圆方程在描述行星、卫星和彗星的轨道时起着重要作用。
行星的轨道通常是近似椭圆的，通过求解椭圆方程可以精确描述行星在椭圆轨道上的运动，从而预测它们的位置和速度。
2. 信号处理在信号处理领域，椭圆滤波器是一种常用的数字滤波器。
椭圆滤波器的频率响应可以用椭圆方程来描述，它具有可调节的通带和阻带波纹特性，能够实现比其他常见滤波器更陡峭的过渡带和更小的波纹。
3. 地理学在地理学中，椭圆方程被广泛用于描述地球的形状。
根据地球的形状和椭圆方程的参数，可以计算出地球的椭球体参数，如长半轴、短半轴和离心率，从而精确地描述地球的地理特征。
椭圆的标准方程及性质的应用新教材选择性必修人教版选择性必修第一册
第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用学 习 任 务 核 心 素 养1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．(重点)2．能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题．(难点)1.通过直线与椭圆位置关系的判断，培养逻辑推理素养． 2．通过弦长、中点弦问题及椭圆综合问题的学习，提升逻辑推理、直观想象及数学运算素养.类比点与圆的位置关系，点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)有怎样的位置关系？知识点1 点与椭圆的位置关系点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系： 点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1； 点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2<1； 点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20b 2>1.1.(1)点P (2,1)与椭圆x 24＋y 29＝1的位置关系是________． (2)若点A (a ,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是________． (1)点P 在椭圆外部 (2)(－2，2) [(1)由224＋129>1知，点P (2,1)在椭圆的外部．(2)∵点A 在椭圆内部， ∴a 24＋12＜1，∴a 2＜2，∴－2＜a ＜ 2.]类比直线与圆的位置关系及判断方法，直线与椭圆有哪几种位置关系？如何判断？知识点2 直线与椭圆的位置关系 (1)判断直线和椭圆位置关系的方法直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系的判断方法：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y ，得关于x 的一元二次方程．当Δ>0时，方程有两个不同解，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程有两个相同解，直线与椭圆相切； 当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离． (2)弦长公式设直线方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，直线与椭圆的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2， 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(kx 1－kx 2)2 ＝1＋k 2(x 1－x 2)2＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2， 或|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k y 1－1k y 22＋(y 1－y 2)2 ＝1＋1k 2(y 1－y 2)2＝1＋1k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2，其中，x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y (或x )后得到关于x (或y )的一元二次方程，利用根与系数的关系求得．2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大． ( )(2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与点P (b ,0)，过点P 可作出该椭圆的一条切线．( ) (3)直线y ＝k (x －a )(k ≠0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的位置关系是相交．( )[提示] (1)√ 根据椭圆的对称性可知，直线过椭圆的中心时，弦长最大． (2)× 因为P (b ,0)在椭圆内部，过点P 作不出椭圆的切线．(3)√ 直线y ＝k (x －a )(k ≠0)过点(a ,0)且斜率存在，所以直线y ＝k (x －a )与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的位置关系是相交．类型1 直线与椭圆的位置关系【例1】 已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．[解]直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎨⎧y ＝2x ＋m ，x 24＋y 22＝1，消去y ，得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0. ①方程①的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ＞0，即－32＜m ＜32时，方程①有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)当Δ＜0，即m ＜－32或m ＞32时，方程①没有实数解，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．直线与椭圆位置关系的判断方法[跟进训练]1．在平面直角坐标系Oxy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q ，求k 的取值范围．[解] 由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0，直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2＝4k 2－2>0，解得k <－22或k >22，所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞.类型2 弦长和中点弦问题【例2】 过椭圆x 216＋y 24＝1内一点M (2,1)引一条弦，使弦被M 点平分． (1)求此弦所在的直线方程； (2)求此弦长．弦的中点坐标已知，则弦的两端点的横(纵坐标)之和可求，由此思考解决问题的方法.[解] (1)法一：设所求直线方程为y －1＝k (x －2)．代入椭圆方程并整理，得 (4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0. 又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1，x 2是方程的两个根， 于是x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1.又M 为AB 的中点，∴x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1＝2，解得k ＝－12.故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.法二：设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 又M (2,1)为AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 又A ，B 两点在椭圆上，则x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16. 两式相减得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0.于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2)＝－12，即k AB ＝－12. 又直线AB 过点M (2,1)，故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. (2)设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x ＋2y －4＝0，x 216＋y 24＝1，得x 2－4x ＝0，∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝0，∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122·42－4×0＝2 5.1．本例中把条件改为“点M (2,1)是直线x ＋2y －4＝0被焦点在x 轴上的椭圆所截得的线段的中点”，求该椭圆的离心率．[解] 设直线与椭圆的两交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 由x 21a 2＋y 21b 2＝1和x 22a 2＋y 22b 2＝1，得4(x 1－x 2)a 2＝－2(y 1－y 2)b 2，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－2b 2a 2.又x ＋2y －4＝0的斜率为－12，∴b 2a 2＝14. 所以椭圆的离心率为e ＝ca ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－14＝32.2．把本例条件中“使弦被M 点平分去掉”，其他条件不变，求弦的中点P 的轨迹方程．[解] 设弦的中点为P (x ，y )，两端点的坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1.∴2x (x 1－x 2)16＝－2y (y 1－y 2)4，从而k l ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 4y .又k l ＝k PM ＝y －1x －2，∴－x 4y ＝y －1x －2.整理得x 2＋4y 2－2x －4y ＝0.故轨迹方程为x 2＋4y 2－2x －4y ＝0.(椭圆内的部分)试总结用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤．[提示] ①设点——设出弦的两端点坐标； ②代入——代入圆锥曲线方程；③作差——两式相减，再用平方差公式把上式展开； ④整理——转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解．[跟进训练]2．已知斜率为2的直线l 经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A ，B 两点，求弦AB 的长．[解] 因为直线l 过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1(1,0)，又直线的斜率为2，所以直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.法一：解方程组⎩⎨⎧x 25＋y 24＝1，2x －y －2＝0，得交点A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43，所以|AB |＝(x A －x B )2＋(y A －y B )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－532＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－432 ＝1259＝553.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由方程组⎩⎨⎧x 25＋y 24＝1，2x －y －2＝0消去y 得3x 2－5x ＝0，因为Δ＝(－5)2＝25>0， 则x 1＋x 2＝53，x 1·x 2＝0. 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1－x 2)2(1＋k 2AB ) ＝(1＋k 2AB )[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋22)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫532－4×0＝553.类型3 直线与椭圆的最短距离问题【例3】 在椭圆x 24＋y 27＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y －16＝0的距离最短，并求出最短距离．[解] 设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为y ＝32x ＋m ， 代入x 24＋y 27＝1，并整理得4x 2＋3mx ＋m 2－7＝0， 由Δ＝9m 2－16(m 2－7)＝0 得m 2＝16，∴m ＝±4，故两切线方程为y ＝32x ＋4和y ＝32x －4，显然y ＝32x －4即3x －2y －8＝0距l 最近，它们之间的距离即为所求最短距离，且y ＝32x －4与椭圆的切点即为所求点P .故所求最短距离为 d ＝|16－8|32＋(－2)2＝813＝81313. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 27＝1，y ＝32x －4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝－74，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－74.本题将求最小距离问题转化为直线与椭圆的相切问题.此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x 得到关于x 或y 的一元二次方程，根据判别式Δ＝0建立方程求解.[跟进训练]3．已知椭圆x 2＋8y 2＝8，在椭圆上求一点P ，使P 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．[解] 设与直线x －y ＋4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x －y ＋a ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋a ＝0，消x 得9y 2－2ay ＋a 2－8＝0， 由Δ＝4a 2－36(a 2－8)＝0， 解得a ＝3或a ＝－3，∴与直线l 距离较近的切线为x －y ＋3＝0，它们之间的距离即为所求最短距离，且x －y ＋3＝0与椭圆的切点即为所求点P .故所求最短距离为d ＝|4－3|2＝22.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－83，y ＝13，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，13.类型4 与椭圆有关的综合问题【例4】 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为M ，且△MF 1F 2为面积是1的等腰直角三角形．(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线l ：y ＝－x ＋m 与椭圆E 交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆与y 轴相切，求m 的值．[解] (1)由题意可得M (0，b )，F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，由△MF 1F 2为面积是1的等腰直角三角形得12a 2＝1，b ＝c ，且a 2－b 2＝c 2，解得b ＝c ＝1，a ＝2，则椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，－x ＋m ＝y⇒3x 2－4mx ＋2m 2－2＝0，有Δ＝16m 2－12(2m 2－2)>0， 即－3<m <3，x 1＋x 2＝4m 3，x 1x 2＝2m 2－23，可得AB 中点横坐标为2m3， |AB |＝1＋1·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·16m 29－8m 2－83＝433－m 2，以AB 为直径的圆与y 轴相切， 可得半径r ＝12|AB |＝2|m |3， 即233－m 2＝2|m |3，解得m ＝±62∈(－3，3)，则m 的值为±62.解决直线和椭圆综合问题的注意点(1)根据条件设出合适的直线的方程，当不知直线是否有斜率时需要分两种情况讨论．(2)在具体求解时，常采用设而不求、整体代换的方法，可使运算简单． (3)不要忽视判别式的作用，在解题中判别式起到了限制参数范围的作用，这一点容易忽视．[跟进训练]4．椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点A (－2,0)，且离心率为22. (1)求椭圆E 的方程；(2)过点P (4,0)任作一条直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N .在x 轴上是否存在点Q ，使得∠PQM ＋∠PQN ＝180°？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．[解] (1)由条件可知，椭圆的焦点在x 轴上，且a ＝2，又e ＝c a ＝22，得c ＝ 2.由a 2－b 2＝c 2得b 2＝a 2－c 2＝2. ∴所求椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.(2)若存在点Q (m ,0)，使得∠PQM ＋∠PQN ＝180°， 则直线QM 和QN 的斜率存在，分别设为k 1，k 2. 等价于k 1＋k 2＝0.依题意，直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为y ＝k (x －4)．由⎩⎨⎧y ＝k (x －4)x 24＋y 22＝1，得(2k 2＋1)x 2－16k 2x ＋32k 2－4＝0.因为直线l 与椭圆C 有两个交点，所以Δ＞0. 即(16k 2)2－4(2k 2＋1)(32k 2－4)＞0，解得k 2＜16.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝16k 22k 2＋1，x 1x 2＝32k 2－42k 2＋1，y 1＝k (x 1－4)，y 2＝k (x 2－4)， 令k 1＋k 2＝y 1x 1－m ＋y 2x 2－m ＝0，(x 1－m )y 2＋(x 2－m )y 1＝0，当k ≠0时，2x 1x 2－(m ＋4)(x 1＋x 2)＋8m ＝0， 化简得，8(m －1)2k 2＋1＝0，所以m ＝1.当k ＝0时，也成立．所以存在点Q (1,0)，使得∠PQM ＋∠PQN ＝180°.1．若点P (a ,1)在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，则a 的取值范围为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－233 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43B [由题意知a 22＋13>1，即a 2>43，解得a >233或a <－233.]2．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交D ．相交或相切A [把x ＋y －3＝0代入x 24＋y 2＝1， 得x 24＋(3－x )2＝1，即5x 2－24x ＋32＝0. ∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0， ∴直线与椭圆相离．]3．已知F 是椭圆x 225＋y 29＝1的一个焦点，AB 为过椭圆中心的一条弦，则△ABF 面积的最大值为( )A ．6B ．15C ．20D ．12D [由可知a ＝5，b ＝3，c ＝52－32＝4，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则S ＝12|OF |·|y 1－y 2|≤12|OF |·2b ＝12.]4．已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m ，当直线与椭圆有公共点时，则实数m 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，52 [由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，当直线与椭圆有公共点时，Δ＝4m 2－4×5(m 2－1)≥0， 即－4m 2＋5≥0，解得－52≤m ≤52.]5．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点F (c ,0)的弦中最短弦长是________． 2b 2a [最短弦是过焦点F (c ,0)且与焦点所在坐标轴垂直的弦．将点(c ，y )的坐标代入椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a ，故最短弦长是2b 2a .]回顾本节知识，自我完成以下问题： (1)直线和椭圆有几种位置关系？如何判断？[提示]三种位置关系：相交、相切、相离．解直线方程与椭圆方程组成的方程组，通过解的个数判断位置关系，当方程组有两个解(Δ>0)时，直线与椭圆相交，当方程组有一个解(Δ＝0)时，直线与椭圆相切，当方程组无解(Δ<0)时，直线与椭圆相离．(2)当直线与椭圆相交时，试写出弦长公式．[提示]|AB|＝1＋k2·(x1＋x2)2－4x1x2＝1＋12－4y1y2.k2·(y1＋y2)(3)如何处理椭圆的中点弦问题？[提示]①根与系数的关系法：联立直线方程与椭圆方程构成方程组，消掉其中的一个未知数，得到一个一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系结合中点坐标公式求解．②点差法：设出弦的两个端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．即“设而不求”思想，这也是此类问题最常用的方法．。
椭圆标准方程及性质的应用(解析版)
2.2.2椭圆的简单几何性质第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用（1）【教学目标】知识目标：进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系； 能力目标：能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题；思想目标：通过弦长、中点弦问题及椭圆综合问题的学习，提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养． 【教学过程】一、自主学习知识检测1．点与椭圆的位置关系点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系；点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b2＝1；点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2<1；点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20b 2>1．2．直线与椭圆的位置关系（1）直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y 得一个关于x 的一元二次方程．(2)直线与椭圆相交1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋1k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2，其中x 1，x 2(y 1，y 2)是上述一元二次方程的两根． (3)弦的中点P 0(x 0，y 0)与弦所在直线的斜率k 的关系．(点差法)设弦AB 的端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1x 22a 2＋y22b 2＝1⇒x 21－x 22a 2＋y 21－y 22b2＝0，即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，即2x 0(x 1－x 2)a 2＋2y 0k (x 1－x 2)b 2＝0，即x 0a 2＋y 0k b 2＝0.3.自主检测1．已知点(3,2)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，则A ．点(－3，－2)不在椭圆上B ．点(3，－2)不在椭圆上C ．点(－3,2)在椭圆上D ．无法判断点(－3，－2)、(3，－2)、(－3,2)是否在椭圆上 答案：C2．直线y ＝x ＋1与椭圆x 2＋y 22＝1的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．无法确定答案：C3．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫23，53B.⎝⎛⎭⎫43，73C.⎝⎛⎭⎫－23，13D.⎝⎛⎭⎫－132，－172 答案：C 二、名师引路已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1．试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不同的公共点； (2)有且只有一个公共点．【解】 直线l 的方程与椭圆C 的方程联立， ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 24＋y 22＝1，消去y ， 得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0．①方程①的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144． (1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程①有两个不同的实数解，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不同的公共点． (2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解． 这时直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点． 变式1：直线l ：y ＝66x ＋2与椭圆2x 2＋3y 2＝6的位置关系为________(填相交、相切或相离)． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝66x ＋2，2x 2＋3y 2＝6，得2x 2＋3⎝⎛⎭⎫66x ＋22＝6， 即52x 2＋26x ＋6＝0． Δ＝(26)2－4×52×6＝24－60＝－36<0．因此直线与椭圆没有公共点． 答案：相离已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4，2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点．(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程． 【解】 (1)由已知可得直线l 的方程为 y －2＝12(x －4)，即y ＝12x ．由⎩⎨⎧y ＝12x ，x 236＋y29＝1，可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18．于是|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2 ＝（x 1－x 2）2＋14（x 1－x 2）2＝52×62＝310． 所以线段AB 的长度为310．(2)法一：易知直线l 的斜率存在，不妨设为k ，则其方程为y －2＝k (x －4)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 29＝1，y －2＝k （x －4），消去y 得(1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0． 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝32k 2－16k 1＋4k 2，由于AB 的中点恰好为P (4，2)， 所以x 1＋x 22＝16k 2－8k 1＋4k 2＝4，解得k ＝－12，且满足Δ>0．这时直线的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－12x ＋4．法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则有⎩⎨⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y 229＝1，两式相减得x 22－x 2136＋y 22－y 219＝0，整理得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－9（x 2＋x 1）36（y 2＋y 1）， 由于P (4，2)是AB 的中点， 所以x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4， 于是k AB ＝－9×836×4＝－12，于是直线AB 的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－12x ＋4．变式2： 已知斜率为2的直线l 经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆交于A ，B 两点，则|AB |＝____________．解析：因为直线l 经过椭圆的右焦点F 1(1，0)，且斜率为2，则直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0x 25＋y 24＝1，得3x 2－5x ＝0．解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0y 1＝－2，⎩⎨⎧x 2＝53y 2＝43．|AB |＝259＋⎝⎛⎭⎫43＋22＝553． 答案：553已知椭圆4x 2＋y 2＝1，直线y ＝x ＋m ，设直线与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，求△AOB 面积的最大值及△AOB 面积最大时的直线方程．【解】 可求得O 到AB 的距离d ＝|m |2，将y ＝x ＋m 代入4x 2＋y 2＝1， 消y 得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0． 又|AB |＝2510－8m 2，Δ＝20－16m 2＞0，－52＜m ＜52， 所以S △AOB ＝12|AB |·d＝12×25 10－8m 2·|m |2＝25⎝⎛⎭⎫54－m 2m 2 ≤25·⎝⎛⎭⎫54－m 2＋m 22＝14． 当且仅当“54－m 2＝m 2”时，上式取“＝”．此时m ＝±104∈⎝⎛⎭⎫－52，52． 所以△AOB 面积的最大值为14，面积最大时直线方程为x －y ±104＝0． 变式3：如图所示，点A 、B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，P A ⊥PF ．(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，点M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．解：(1)由已知可得点A (－6，0)，F (4，0)，B (6，0)， 设点P 的坐标是(x ，y )，则AP →＝(x ＋6，y )，FP →＝(x －4，y )． 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，（x ＋6）（x －4）＋y 2＝0.则2x 2＋9x －18＝0, 解得x ＝32或x ＝－6．由于y >0，只能x ＝32，于是y ＝523．所以点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫32，523． (2)直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0． 设点M 的坐标是(m ，0)， 则M 到直线AP 的距离是|m ＋6|2，于是|m ＋6|2＝|m －6|，又－6≤m ≤6，解得m ＝2， 所以点M (2，0)．设椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离为d ，有 d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49(x －92)2＋15， 由于－6≤x ≤6．所以当x ＝92时，d 取最小值15．三、课后练习1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定解析：选B ．直线y ＝kx －k ＋1恒过定点(1，1)． 又因为129＋124＜1，所以点(1，1)在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，所以直线y ＝kx －k ＋1与椭圆相交．故选B ．2．过椭圆x 225＋y 29＝1的右焦点且倾斜角为45°的弦AB 的长为( )A ．5B ．6C ．9017D ．7 解析：选C ．椭圆的右焦点为(4，0)，直线的斜率为k ＝1， 所以直线AB 的方程为y ＝x －4， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －4，x 225＋y 29＝1，得9x 2＋25(x －4)2＝225，由弦长公式易求|AB |＝9017． 3．若过椭圆x 216＋y 24＝1内一点(2，1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是________．解析：设弦两端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1， 两式相减并把x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2代入得，y 1－y 2x 1－x 2＝－12，所以所求直线方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0． 答案：x ＋2y －4＝04．已知直线l ：y ＝x －12，椭圆C ：x 2＋4y 2＝4．(1)求证：直线l 与椭圆C 有两个交点； (2)求连接这两个公共点所成线段的长． 解：(1)证明：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －12，x 2＋4y 2＝4消去y 得5x 2－4x －3＝0．所以Δ＝(－4)2－4×5×(－3)＝76＞0， 所以直线l 与椭圆C 有两个交点． (2)设两交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由(1)知x 1＋x 2＝45，x 1·x 2＝－35．所以|AB |＝（y 2－y 1）2＋（x 2－x 1）2 ＝2·（x 2－x 1）2＝2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝2·⎝⎛⎭⎫452－4×⎝⎛⎭⎫－35＝2538． 2．已知椭圆x 216＋y 24＝1，求过点Q (8，2)的直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程．解：设椭圆中弦的两端点分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)，弦AB 的中点为R (x ，y )，则2x ＝x 1＋x 2，2y ＝y 1＋y 2．因为A 、B 两点均在椭圆上，故有x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16．两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝－4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)． 因为x 1≠x 2，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24（y 1＋y 2）＝－x 4y ．由k AB ＝k RQ 得，－x 4y ＝y －2x －8，得所求轨迹方程为(x －4)2＋4(y －1)2＝20⎝⎛⎭⎫0<x ≤165．四、课堂小结知识结构深化拓展1．直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)的位置关系的判断方法：联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消y 得一个一元二次方程．位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ＞0 相切 一解 Δ＝0 相离无解Δ＜02．设而不求思想解决直线与椭圆的位置关系问题经常利用设而不求的方法，解题步骤为 (1)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)；(2)联立直线与椭圆的方程； (3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求； (5)把题干中的条件转化为x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2，进而求解．。
椭圆方程a和b
椭圆方程a和b椭圆是一种常见的几何形状，它在数学和科学中有着广泛的应用。
椭圆的方程可以用一对参数a和b来表示，其中a是椭圆的长半轴，b是椭圆的短半轴。
本文将介绍椭圆方程的基本概念、性质以及一些应用。
一、椭圆方程的基本概念椭圆可以定义为平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的集合。
这两个固定点被称为焦点，它们分别位于椭圆的长轴两侧。
椭圆的方程可以用坐标系中的参数表示，其中横坐标x和纵坐标y 满足以下方程：(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1这就是椭圆的标准方程，其中a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴。
根据a和b的取值，椭圆可以是一个圆形（a=b），也可以是一个长条形（a>b）或者是一个扁平的形状（a<b）。
二、椭圆的性质椭圆具有一些独特的性质，下面我们将介绍其中的一些重要性质：1. 焦点性质：椭圆上的任意一点到焦点的距离之和等于常数2a。
这个性质决定了椭圆的形状和大小。
2. 对称性质：椭圆具有关于x轴和y轴的对称性。
也就是说，如果(x, y)是椭圆上的一点，则(-x, y)、(x, -y)和(-x, -y)也是椭圆上的点。
3. 切线性质：椭圆上的切线与椭圆的长轴和短轴垂直。
这个性质可以用来确定椭圆上的切线方程。
4. 参数方程：椭圆也可以用参数方程描述。
参数方程的形式为x = a*cos(t)，y = b*sin(t)，其中t是参数的取值范围。
三、椭圆的应用椭圆在物理学、工程学和天文学等领域有着广泛的应用。
下面列举几个常见的例子：1. 天体轨道：行星、卫星和彗星的轨道可以用椭圆来描述。
行星围绕太阳运动的轨道就是一个椭圆。
2. 光学器件：椭圆镜、椭圆透镜等光学器件的设计和制造涉及到椭圆方程的应用。
这些器件可以将光线聚焦到特定的点上。
3. 电子学：椭圆在微波天线和天线阵列的设计中有着重要的应用。
椭圆形状的天线可以实现特定的辐射模式和指向性。
4. 机械设计：椭圆齿轮可以用来传递旋转运动，广泛应用于机械传动系统中。
椭圆方程参数方程
椭圆方程参数方程1. 引言椭圆是数学中的一种曲线，具有特殊的几何性质和参数方程。
本文将介绍椭圆方程的参数方程以及相关的几何性质和应用。
2. 椭圆的定义椭圆是平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的轨迹。
称F1和F2为椭圆的焦点，a为椭圆的半长轴。
椭圆的参数方程可以表示为：x = a*cosθy = b*sinθ其中a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。
3. 椭圆的几何性质椭圆具有许多特殊的几何性质。
首先，椭圆的离心率e满足0 < e < 1，即椭圆是一个凸曲线。
其次，椭圆的焦距等于2a*e，其中e 为离心率。
此外，椭圆的面积可以表示为πab，其中π为圆周率。
椭圆还具有对称性，即关于x轴和y轴对称。
4. 椭圆的参数方程的应用椭圆的参数方程在实际应用中有广泛的应用。
例如，在天文学中，椭圆的参数方程可以用来描述行星绕太阳公转的轨道。
在物理学中，椭圆的参数方程可以用来描述电子在磁场中的运动轨迹。
在工程学中，椭圆的参数方程可以用来设计椭圆形的建筑物或物体。
5. 椭圆的相关公式除了参数方程之外，椭圆还有一些重要的公式。
椭圆的离心率e可以通过以下公式计算：e = √(1 - (b^2/a^2))其中，a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。
6. 椭圆的应用举例椭圆的参数方程在实际生活中有许多应用。
例如，在地理学中，椭圆的参数方程可以用来描述地球的形状。
在航天工程中，椭圆的参数方程可以用来计算卫星的轨道。
在电子工程中，椭圆的参数方程可以用来设计天线的形状。
7. 总结通过本文的介绍，我们了解了椭圆方程的参数方程及其几何性质和应用。
椭圆是一种具有特殊几何性质的曲线，可以通过参数方程来描述。
椭圆的参数方程在科学和工程领域中有广泛的应用，可以用来描述天体运动、轨道设计以及物体形状等。
掌握椭圆方程的参数方程，对于深入理解椭圆的性质和应用具有重要意义。
椭圆方程及性质的应用
求2x2+y的最大值与最小值.
01
【审题指导】已知
间的向量关系是本题的
核心条
02
NP， NQ， GQ
件，可由其得出相关的几何性质解题：GQ为线段NP的
03
垂直平
分线.借助线段的垂直平分线的性质可求C的方程,进
而求
04
2x2+y的范围.
【规范解答】(1) N P 2 N Q ,G Q N P 0 ， ∴Q为PN的中点，且GQ⊥PN. ∴GQ是线段PN的垂直平分线. ∴|GN|=|GP|， ∴|GM|+|GN|=|MP|= 6 2 5, ∴G点的轨迹是以M，N为焦点的椭圆. 其中 2 a 6 ,2 c 25 , a 3 ,c 5 , ∴b2=a2-c2=4. ∴点G的轨迹C的方程是 x 2 y 2 1.
2. 弦长公式：
① 设直线方程为y=kx+m，椭圆
方程为
(a>b>0)或
直线与椭圆的位置关系
x2 a2
y2 b2
1
y2 a2
x2 b2
1
b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1,y1),
A B 1 k 2 x 1 x 2 1 k 2x 1 x 2 2 4 x 1 x 2
或 A B 1 k 1 2|y 1 B(3y .x2 2|中 ,点y1 2问 )题,k 1 则2 y 1 y 2 2 4 y 1 y 2 .
x2 a2
1,
理解椭圆的方程与变量范围的 关系：
y2 b2
○1在 由方xa22程 0，
(a>b>0)中，
○ 可得
∴x2≤a2,∴-
a≤x≤a.
○ 同理-b≤y≤b.
注意：变量的范围一般不直接给出，而是由曲线的方程决定， 故要重视对这一隐含条件的挖掘.
原创1：3.1.2 第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用
+
1 2 23
＋ ＞0.
8
2
设A，B的横坐标分别为x1，x2，
1 +2 −18(1−)
4
则
＝
＝1，解得k＝－ .
2
2(9 2 +4)
9
4
9
故AB的方程为y＝－ (x－1)＋1，
即4x＋9y－13＝0.
典例精析
跟踪练习
题型三：中点弦问题
例6
已知一直线与椭圆4x2＋9y2＝36相交于A，B两点，弦AB的中点坐标为M(1，1)，
然后利用根与系数的关系求弦长，从而绕过求直线与椭圆的交点坐标．
若直线y＝kx＋b与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
则|AB|＝ 1 + 2 |x1－x2|＝ 1 + 2 · 1 + 2
或|AB|＝ 1 +
1
·|y －y2|＝
2 1
1+
1
2
2
· 1 + 2
− 41 2 ，
+ =
由ቐ 2
2
+
20
5
=1
y
，消去y，
得5x2－8mx＋4m2－20Байду номын сангаас0.
令Δ＝(－8m)2－4×5×(4m2－20)＝0，
得m＝5或m＝－5.
∴所求最大距离即为直线x＋y＝－5与直线l间的距离，
11
2
11 2
.
2
∴最大距离为 ＝
O
x
典例精析
题型一：直线与椭圆的位置关系
例4
2 2
已知A(6，0)，B(0，6)，C为椭圆 ＋ ＝1上一点，求△ABC面积的最小值．
椭圆的性质及其用法
椭圆的性质及其用法⑴椭圆的标准方程：22221(0)x y a b a b+=＞＞ 焦点为12(,0),(,0)F c F c -。
焦点为12(0,),(0,)F c F c -的椭圆的方程：22221y x a b+=(0)a b ＞＞ 122PF PF a +=。
以上两种方程都叫做椭圆的标准方程（其中222b ac =-）。
例：已知一个贮油罐横截面的轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m ，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m ，求这个椭圆的标准方程。
解：以两焦点12,F F 所在直线为x 轴，线段12,F F 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy ，则这个椭圆的标准方程为： 22221(0)x y a b a b+=＞＞ 根据题意23a =，2 2.4c =即： 1.5a =， 1.2c =∴222221.5 1.20.81b a c =-=-=因此，这个椭圆的标准方程： 2212.250.81x y +=。
⑵椭圆的几何性质：①范围： 由方程22221x y a b+=可知，椭圆上任意一点的坐标(,)x y 都满足222211x y a b =-≤ 即：22x a ≤∴a x a -≤≤ b y b -≤≤②对称性：椭圆是关于x 轴、y 轴和原点都对称的图形，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。
③顶点：在椭圆的标准方程中，令0x =，得y b =±，这说明点12(0,),(0,)B b B b -是椭圆与y 轴的两个交点；点12(,0),(,0)A a A a -是椭圆与x 轴的两个交点。
这四个点是对称轴与椭圆的交点，称为椭圆的顶点。
线段1212,,,A A B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a 和2b 。
④离心率： 焦距与长轴长的比c a叫做椭圆的离心率，记为(0,1)e ∈。
当c a 越接近于0时，椭圆越接近于圆；当c a 越接近于1时，椭圆越扁，随着c a 的增大，椭圆越来越扁。
椭圆的参数方程及其应用课件
通过模拟结果的分析，可以深入理解椭圆参数方程的性质，为后续 的应用提供基础。
椭圆参数方程的数值模拟在物理问题中的应用
力学问题
椭圆参数方程可以用于描述力学 问题中的椭圆运动轨迹，如行星
的运动轨迹等。
电磁学问题
椭圆参数方程可以用于描述电磁 学中的椭圆波函数，如电子的波
函数等。
流体力学问题
椭圆曲线上的线积分等问题。
椭圆的参数方程的积分学分析还 可以用于求解一些物理问题，如 质点的运动轨迹、振动问题等。
05
椭圆的参数方程的数值模拟
用数值模拟方法研究椭圆参数方程的性质
椭圆参数方程的表示形式
椭圆参数方程是一种用参数表示的椭圆方程，通过参数的变化可 以研究椭圆的形状和大小。
数值模拟方法
采用数值计算的方法来模拟椭圆参数方程的性质，如参数的变化对 椭圆形状的影响、椭圆的旋转等。
星绕太阳的运动轨迹可以用椭圆的参数方程表示。
02
椭圆参数方程的极坐标形式
在极坐标系中，椭圆的参数方程通常表示为半径r关于角度θ的函数。这
种形式可以直观地描述椭圆的形状和大小。
03
运动轨迹的解析方法
使用椭圆的参数方程描述物体运动轨迹时，可以通过解析方法求解轨迹
的形状和位置。例如，通过已知的行星运动规律，可以推导出其运动轨
椭圆参数方程可以用于描述流体 力学中的椭圆流动，如涡旋的流
动等。
06
椭圆的参数方程在科技论文中的应用
在物理学领域的应用
粒子运动轨迹
01
椭圆的参数方程可以描述许多物理现象中的粒子运动轨迹，例
如行星绕太阳的运动轨迹、电子在电场中的运动轨迹等。
波动现象
02
椭圆的参数方程可以描述一些波动现象，例如声波、电磁波等
课件2：3.1.2 第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用
归纳总结
代数法判断直线与椭圆的位置关系
判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的
方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次
方程，则
Δ>0⇔直线与椭圆相交；
Δ＝0⇔直线与椭圆相切；
Δ<0⇔直线与椭圆相离．
提醒：注意方程组的解与交点个数之间的等价关系．
当堂达标
x2 y2
【解析】由题意得，椭圆 2＋ 2＝1 的焦点在 x 轴上，
a b
且 a2＝25，b2＝9.
【答案】D
x2 y2
2．若点 P(a,1)在椭圆 2 ＋ 3 ＝1 的外部，则 a 的取值范围为(
2 3 2 3
A．－
3 ， 3
2 3
2 3
B．
，＋∞∪－∞，－ 3
例1 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转
椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）
的一部分。过对称轴的截口 ABC是椭圆的一部分，
灯丝位于椭圆的一个焦点1 上，片门位另一个焦点2 上，由椭圆
一个焦点1 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个
椭圆焦点2 ，已知 ⊥ 1 2 ， 1 =2.8cm, 1 2 =4.5cm,试建立
可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线 l 与椭圆 C 有两个公共点．
(2)当 Δ＝0，即 m＝±3 2时，方程①有两个相同的实数解，
可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线 l 与椭圆 C
有且只有一个公共点．
(3)当 Δ＜0，即 m＜－3 2或 m＞3 2时，方程①没有实数
解，可知原方程组没有实数解．这时直线 l 与椭圆 C 没有
2.1.2-椭圆的简单几何性质-第2课时-椭圆方程及性质的应用
(c,0)、(c,0)
(0,c)、(0,c)
(a,0)、(0,b)
(b,0)、(0,a)
e=
c a
(
0
<
e
<
1
)
1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单 性质.（重点）
2.能用椭圆的简单性质求椭圆方程.（重点） 3.能用椭圆的简单性质分析解决有关问题.（难点）
探究点1 利用椭圆的简单几何性质求椭圆的方程
【解析】建立上图 所示的直角坐标系, 设所求椭圆方程为
在 Rt BF1F2 中,
x2 a2
y2 b2
1.
待定 系数
| F2 B | | F1B |2 | F1F2 |2 2.82 4.52 .
法
由 椭 圆 的 性 质 知 ,| F1B | | F 2 B | 2a , 所 以
1
1
a 2 ( | F1B | | F2 B | ) 2 2.8
中 ,F
是椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=1
(a>b>0) 的 右焦 点 ,直 线
y=
b 2
与椭圆交于
B,C
两点,且∠BFC=90°,则该
6
椭圆的离心率是 3 .
4. 已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上， 离心率为 3 ，且G上一点到G的两个焦点的距离之 和为12，则2椭圆G的方程为___3x_62 __y9_2 __1__.
|
PF1
|
4 3
,|
PF2
|
14 ， 3
求椭
圆C的方程.
【解析】因为点P在椭圆C上，所以2a | PF1 | | PF2 | 6,a 3
椭圆方程的基本性质及其应用
椭圆方程的基本性质及其应用椭圆方程是数学中一个重要的概念，它在不同领域的问题中都有着广泛的应用。
本文将介绍椭圆方程的基本性质以及其在实际问题中的应用。
一、椭圆方程的基本性质椭圆方程是指形如 $ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f =0$ 的二次方程，其中 $a,b,c,d,e,f$ 都是实数且 $a,b,c$ 不全为零。
其图像是一个椭圆或一个退化的椭圆，例如两条直线。
椭圆方程的基本性质包括：1. 椭圆方程的系数矩阵是一个实对称矩阵。
（这个可以通过对称性来证明）2. 椭圆方程对应的椭圆可以通过平移、旋转、缩放三个基本变换得到。
3. 椭圆方程的解法可以通过配方法，化为标准形式后求出$x$ 和 $y$ 的值。
4. 椭圆方程的根的个数在不同条件下是有区别的。
当它有两个不同实根时，对应的椭圆方程图像是两条直线；当它有两个共轭复根时，对应的椭圆方程图像是一个退化的椭圆；当它有两个不同实根和一个共轭复根时，对应的椭圆方程图像是一个椭圆。
二、椭圆方程的应用椭圆方程在各个领域的问题中都有着广泛的应用，下面仅列出一些典型的例子。
1. 机械工程：在机械运动学中，椭圆方程可以用于描述转矩传递的行为。
例如，当一个椭圆形轮廓的齿轮与一个圆形轮廓的齿轮啮合时，它们之间的传递角速度可以通过椭圆方程来计算。
2. 电磁学：在电磁场中，椭圆方程可以用于描述电场和磁场的分布。
例如，当一个二元球对称的电场在两个直接相交的平面上被截面后，这两个截面形成的几何形状是一个椭圆。
3. 经济学：在经济学中，椭圆方程可以用于描述生产生态系统的生物量和体积之间的关系。
例如，如果一个生态系统中的物种的生物量是椭圆形的，那么它们之间的相互影响可以通过椭圆方程来描述。
4. 物理学：椭圆方程在物理学中也有着广泛的应用。
例如，当一个由两个质点组成的系统的轨迹是椭圆形时，它们之间的相互作用可以用椭圆方程来计算。
三、总结椭圆方程作为数学中一个重要的概念，在各个领域的问题中都有着广泛的应用。
椭圆的标准方程及性质的应用
1234
4.万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕， 继2008年北京奥运会之后，国家体育场(又名鸟巢)将再 次承办奥运会开幕式.在手工课上，王老师带领同学们一 起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看 成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40 cm， 短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为10 cm，则小椭圆的长轴长为_2_0_ cm.
kOM·kAB的值吗？
提示
将点 A(x1，y1)，B(x2，y2)代入椭圆方程得xxmm2122＋＋yynn2122＝＝11，，
将两式作差
并整理得x1－x2mx1＋x2＋y1－y2ny1＋y2＝0，记弦 AB 的中点为 M(x0，y0). 若 x1≠x2，则yx11－ －yx22yx11＋ ＋yx22＝－mn ，即xy11－－xy22·yx00＝－mn ，从而 kAB·yx00＝
∴x1＋2 x2＝442kk22＋－1k＝2， 解得 k＝－12. 故所求直线的方程为x＋2y－4＝0. 经检验，所求直线满足题意.
方法二 设点A(x1，y1)，B(x2，y2). ∵M(2,1)为AB的中点， ∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2. 又A，B两点在椭圆上，
则 x21＋4y21＝16，x22＋4y22＝16，
A.a1＋c1＝a2＋c2
√B.a1－c1＝a2－c2
C.ac11<ac22
√D.ac11>ac22
解析 由图可知，a1>a2，c1>c2，所以a1＋c1>a2＋c2，所以A不正确； 在椭圆轨道Ⅰ中可得，a1－c1＝|PF|， 在椭圆轨道Ⅱ中可得，|PF|＝a2－c2， 所以a1－c1＝a2－c2，所以B正确； a1＋c2＝a2＋c1，两边同时平方得，a21＋c22＋2a1c2＝a22＋c21＋2a2c1， 所以 a21－c21＋2a1c2＝a22－c22＋a2c1，
「高中数学椭圆的参数方程的几点应用」
「高中数学椭圆的参数方程的几点应用」1.行星轨道椭圆的参数方程可以用来描述行星绕太阳的轨道。
根据开普勒第一定律，行星轨道是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。
通过给定行星的离心率、半长轴和焦点的位置，可以得到行星在任意时间的位置。
这种方法对于研究行星运动和预测行星位置等方面有重要的应用。
2.船只的航海问题在船只的航海问题中，船只从A点出发经过几个固定的轨迹点到达B 点。
如果船只的航行速度和方向是已知的，可以用椭圆的参数方程来描述轨迹。
这样可以帮助船只确定航线，避免与障碍物相撞。
3.天文测量在天文学中，使用椭圆参数方程可以描述行星、彗星和其他天体的轨道。
通过观测这些天体的位置和运动，并将其拟合到椭圆参数方程中，可以得到更精确的轨道参数，进而研究行星和天体的物理特性。
4.反射镜和抛物面反射椭圆是反射镜和抛物面反射的基础。
抛物面可以被看作是椭圆沿着一个焦点方向拉伸而形成的。
椭圆的参数方程可以用来描述反射镜的形状，使得光线可以聚焦到一个点上。
这种技术在望远镜、摄影镜头等光学仪器中有着广泛的应用。
5.电子轨道在量子物理中，电子围绕原子核的轨道也可以用椭圆参数方程来描述。
这种描述方法可以帮助研究和理解电子在原子中的分布和运动。
通过椭圆参数方程，可以计算电子的能级、轨道半径等物理参数，对于研究原子结构和化学键等方面有重要的应用。
以上是椭圆参数方程的几个应用。
椭圆作为一个重要的数学概念，在物理学、工程学等多个领域都有广泛的应用。
椭圆参数方程作为椭圆的数学描述方法，可以帮助我们更准确地描述和计算各种现象，深化对椭圆曲线的理解，提高数学应用能力。
3.1.3椭圆方程及性质的应用课件(人教版)
y2 x2 2
1
y1 y2
x1x2
2(x1 x2 ) 4 0 ,
即
3(m2 4k 2 ) 3 4k 2
4(m2 3) 3 4k 2
16mk 3 4k 2
4
0
，
五、直线与椭圆的定点问题
6.已知椭圆 C : x2 y2 1, 若直线 l : y kx m 与椭圆 C 相交于 A ，B 两点（ A，B 不是左右顶点）， 43
y2
1的左、右焦点.
（Ⅰ）若 P 是该椭圆上的一个动点，求 PF1 PF2 的最大值和最小值;
（Ⅱ）设过定点 M (0,2) 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A 、B ，且∠ AOB为锐角（其中 O 为坐标原点），
求直线 l 的斜率 k 的取值范围.
【解析】（Ⅰ）方法一：由已知得 a 2, b 1, c 3 ，所以 F1( 3,0), F2( 3,0) ，设 P(x, y) ，则
且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点，求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标．
【解析】即 7m2 16mk 4k 2 0 (7m 2k)(m 2k) 0 ，
解得 m1
2k, m2
2k 7
，且满足 3 4k 2
m2
0
.
当 m 2k 时，有 l : y k(x 2) ，直线过定点 (2, 0), 与已知矛盾；
x1x2
3y1 y
x1x2
3(x1
c)(x2
c)
4 x1 x2
3(x1
x2 )c
3c2
3 2
c2
9 2
c2
3c2
0
又 x12 3y12 3b2 , x22 3y22 3b2 ，代入①得 2 2 1
数学中的椭圆型方程
数学中的椭圆型方程数学中，椭圆型方程是一类非常重要且广泛应用的方程类型。
它们在许多领域中起着重要作用，包括物理学、工程学、生物学和经济学等。
本文将介绍椭圆型方程的基本概念、性质和一些常见的应用。
一、椭圆型方程的定义和性质椭圆型方程是指二阶偏微分方程的一种形式，通常表示为：\[a\frac{{\partial^2 u}}{{\partial x^2}} + b\frac{{\partial^2u}}{{\partial x \partial y}} + c\frac{{\partial^2 u}}{{\partial y^2}} = f(x,y)\]其中，\(a\)、\(b\)、\(c\)是与\(u\)相关的系数，\(f(x, y)\)是已知的函数。
椭圆型方程中的二阶导数对\(u\)的贡献是正的。
椭圆型方程具有以下性质：1. 线性性质：椭圆型方程是线性的，这意味着如果\(u_1\)和\(u_2\)是该方程的解，那么\(c_1u_1 + c_2u_2\)也是该方程的解，其中\(c_1\)和\(c_2\)是常数。
2. 正定性质：椭圆型方程中的系数满足\(b^2 - 4ac < 0\)时，方程被称为正定的。
正定性质保证了方程解的唯一性和稳定性。
3. 边界条件：对于椭圆型方程，需要指定边界条件才能得到唯一解。
常见的边界条件包括Dirichlet边界条件（给定边界上的函数值）、Neumann边界条件（给定边界上的法向导数值）和Robin边界条件（给定边界上的线性组合）。
二、椭圆型方程的应用1. 热传导方程：热传导方程是一种椭圆型方程，用于描述物体中的热传导过程。
它在工程学和物理学中具有广泛应用，例如分析热交换器、传热管和材料热扩散等问题。
2. 电势方程：电势方程是一种椭圆型方程，用于描述电场中的电势分布。
它在电磁学和电子学中起着重要作用，用于分析电场和电势的分布以及导体和介质之间的电荷传输。
3. 流体力学方程：流体力学方程也可以表达为椭圆型方程的形式。
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椭圆方程及性质的应用教学目标1. 掌握直线与椭圆的位置关系.(重点)2. 通过一元二次方程根与系数关系的应用，解决有关椭圆的简单综合问 题•(重点)3•能利用椭圆的有关性质解决实际问题.(难点) 教材整理1点与椭圆的位置关系2 2设点 P(x o , y o )，椭圆彩 + 'b2= 1(a > b > 0).x 0 y 0x 2(1) 点P 在椭圆上？扌+学三1； (2)点P 在椭圆内？扌2 2(3)点P 在椭圆外?予+器> 1. 课堂练习2 2已知点(2,3)在椭圆m^s +*=1 上,【解析】 由椭圆的对称性知点(2,- 3)也在椭圆上. 【答案】 ④教材整理2直线与椭圆的位置关系 1. 直线与椭圆的位置关系及判定兀二次方程.位置关系 解的个数 △的取值相交 两解 A> 0相切一解注0直线y = kx + m 与椭圆字+古=1(a >b >0)联立 y = kx + m ,2 2笃+冷=1 ,a b '消去y 得一个则下列说法正确的是 ① 点(-2,3)在椭圆外 ② 点(3,2)在椭圆上 ③ 点(一2,- 3)在椭圆内④ 点(2,- 3)在椭圆上72. 弦长公式设直线y= kx+ b与椭圆的交点坐标分别为A(x i,y i),B(x2,y2),则AB|= 'l + k2 .1 + k? ly1—y2l.|X1 —X2|=判断(正确的打“v”，错误的打“x”)X2 y2(1) 点P(2,1)在椭圆4 + 9二1的内部.()(2) 过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切.()2(3) 过点A(0,1)的直线一定与椭圆X2+与二1相交.()(4) 长轴是椭圆中最长的弦.()【答案】(1)X ⑵v⑶v⑷V例题分析(1)若直线 mx + ny = 4和。
O : x 2x 2y 2+ y 2 = 4没有交点，则过点P(m, n)的直线与椭圆-9 + +4 = 1的交点个数为()A.2个B.至多一个C.1个D.0个(2) 已知椭圆4x 2 + y 2= 1及直线y = x + m ,问m 为何值时，直线与椭圆相切、相交？【精彩点拨】利用几何法判断直线与椭圆的位置关系•【自主解答】4(1)若直线与圆没有交点，则 d = p-_- >2, 寸 m 2 + n 2 ••• m 2+ n 2v4,m 2 + n 2m 2 n 2即 4 v 1；. 9 + 4 v 1, •点(m , n)在椭圆的内部，故直线与椭圆有2个交点.【答案】 A⑵将 y =x + m 代入 4x 2 + y 2= 1, 消去 y 整理得 5x 2 + 2mx + m 2 — 1 = 0. △二 4m 2— 20(m 2— 1) = 20— 16m 2. 当△二0时，得m=b ，直线与椭圆相切当A> 0时，得- -m v 三"，直线与椭圆相交•小结1•直线与椭圆的位置关系是通过代数法完成的，△的符号决定了交点的个数，从而确定了其位置关系.2.有关直线与椭圆的位置关系存在两类问题，一是判断位置关系，二是依据位置关系确定参数的范围，两类问题在解决方法上是一致的，都要将直线与椭圆方程联立，利用判别式及根与系数的关系进行求解.［再练一题］1. 已知椭圆的方程为x2+ 2y2=2.(1) 判断直线y=x+ .3与椭圆的位置关系；(2) 判断直线y = x+ 2与椭圆的位置关系；(3) 在椭圆上找一点P，使P到直线y=x+ 2的距离最小,并求出这个最小距离y=x+風［解］⑴由 2 2得3/ + 4 3x + 4= 0，x2+ 2y2= 2，•••g (4 3)2- 4X 3X 4= 0，A直线y= x+乜与椭圆相切.y= x+ 2，2⑵由 2 2得3x2+ 8x+ 6 = 0.x2+ 2y2= 2，•64 - 4X 3X 6=-8v 0，A直线y= x+ 2 与椭圆相离.⑶由⑴、⑵知直线y= x+ .3与椭圆的切点P满足条件，由⑴得P的坐标为护彳，最小距离d=|2-j= .2-尹2 2已知椭圆36^9 = 1和点P （4,2），直1线I 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点.（1）当直线I 的斜率为1时，求线段AB 的长 度；⑵当P 点恰好为线段AB 的中点时，求I 的方程.【精彩点拨】 （1）设直线方程-联立方程组一利用弦长公式求解； ⑵考查椭圆的中点弦问题及“点差法”的运用.1【自主解答】 （1 ）由已知可得直线I 的方程为y — 2= 2（x — 4）,11y= 2X ,2即 y =^X .由 X 22可得 X — 18= 0,若设 A(X 1 , y“，B (X 2, y 2).⑵法一：设I 的斜率为k ,X 2 y 2 彳则其方程为y —2 = k (X —4).联立36936+ 9 = 1,则 X 1 + X 2= 0, X 1X 2=— 18.于是 =X 1— X 22+ 4X 1 — X 2 所以线段AB 的长度为 3.10.2 2 x 1 —X 2 + y 1— y 2X 1+ X 2 2 — 4X 1X 2 = ~25X 6 2 = 310.y—2= k X— 4 ,消去y 得(1 + 4k2)x2—(32k2—16k)x+ (64k2—64k—20)= 0.32k 2 — 16k若设 A(x 37, y 1), B(x 2, y 2)，则 x 1 + x 2 = 厂,1 + 4 k 22x i + x 216k — 8k由于AB 的中点恰好为P(4,2)，所以一^ =夕=4, 2 1 + 4k 21 1解得k = — 2，且满足A>0.这时直线的方程为y — 2= — 2(x — 4), 刚 1即 y = — 2x + 4.法二：设 A(x 1, y 1), B(x 2, y 2), x 2 y 2 36+9 — 1, x 2—x 2 y 2 — y 2贝U 有 x 2 2两式相减得 —36 + ―9 — = 0,36+ 卷=1,37 1于是直线AB 的方程为y — 2= — 2(x — 4),即y = — ^x + 4. 小结1. 求解直线与椭圆相交所得的弦长问题，一般思路是将直线方程与椭圆方程联 立，得到关于x(或y)的一元二次方程，然后结合根与系数的关系及两点间的距离 公式求弦长.一定要熟记公式的形式并能准确运算.2. 解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数， 利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决 .⑵点差法：禾U 用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程， 然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x 1, y 1), B(x 2, y 2)x 2 y 2是椭圆孑+話=1(a >b >0)上的两个不同的点，M(x o , y o )是线段AB 的中点，X 1 + x ? = 8, y 1 + y 2 = 4, 于是 k AB = —9X 8 36 X 4= 12,y2—y19 x2 + x1整理得k AB = =-x2 —x1由于P(4,2)是AB的中点,36 y2 + y11 1由①—②，得-2(x 38— x 2) + ^(y 2— y 2) = 0,a b于,且椭圆与直线x + 2y + 8二0相交于P,Q ,且|PQ|= 10,求椭圆的方程. 【解】 T e =中，b 2 = ^a 2.-椭圆方程为x 2 + 4y 2 = a 2 与 x + 2y + 8= 0 联立消去 y ,得 2x 2 + 16x + 64 — a 2= 0, 5由 A0得 a 2>32，由弦长公式得 10= 4X [64 — 2(64— a 2)].38 2••• a 2 = 36, b 2 = 9. •••椭圆的方程为 36+ ^9 = 1.探究 在椭圆的有关问题中，常出现离心率、弦长或面积的范围、最值问题，这 类问题一般思路是什么？【提示】(1)解决与椭圆有关的最值问题，一般先根据条件列出所求目标函数 的关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法， 应用不等式的性质，以及三 角函数的最值求法求出它的最大值或最小值及范围 . x 2 y 2(2)解决椭圆孑+器=1(a >b >0)中的范围问题常用的关系有①一a < x < a ,— b < y < b ；②离心率O v e v 1 ；③一元二次方程有解， 则判别式A> 0.b 2 x i + x 2 b 2 x o b 2x o孑•+厂—孑亦，即kAB =—ay o变形得巳2二 [再练一题]1(a>b>0)的离心率为已知椭圆C: x2+ 2y2= 4.(1)求椭圆C 的离心率；⑵设0为原点，若点A在直线y= 2上，点B在椭圆C上，且0A丄0B, 求线段AB长度的最小值.【精彩点拨】(2)中，设A, B坐标一OA 0B= 0- AB|化为关于x o的函数一求最值.【自主解答】(1)由题意，椭圆C的标准方程为x+=i,所以a2= 4，b2= 2，从而c2= a2—b2= 2.因此a = 2，c= 2.c \[2故椭圆C的离心率e= a^y.⑵设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x o, y o)，其中X O M0.因为OA丄OB，所以OA OB=0，即tx o+ 2y o = 0，解得t=—弩.又x o+ 2y0 = 4，所以ABf= (x o—t)2+ (y o—2)2= x o+警2+ (y o —2)2入u4y0 24 —x0 2 4—x0x0 8 22 2=x0+ y0+ 恚 + 4 = x°+—+ —x§+ 4= 2 + x g+ 4(0< x o< 4).2 8因为10 +加4(0<x§<4)，且当x0= 4时等号成立，所以AB|2>8.故线段AB长度的最小值为2 2.小结解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不 等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等， 解决这类问题需要正确地应 用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多的是利用方程根 与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数 的限制条件•［再练一题］3•已知椭圆 字+b 2 =1(a >b >0)的离心率为 屮，短轴的一个端点到右焦点的 距离为• .3，直线I : y = kx + m 交椭圆于不同的两点 A ，B.(1) 求椭圆的方程；(2) 若坐标原点O 到直线I 的距离为"^，求厶AOB 面积的最大值• 【解】⑴由|^36，a = V3，2所以c = 2, b = 1,所以椭圆的方程为X + 宀1. (2)由已知 J m ^-^23，所以 m 2= 4(1 + k 2)，+ k 2 2 42联立I : y = kx + m 和+ y 2 = 1，消去y ，整理可得：3 k 2+ 1 9k 2 + 112k 212=3+ 42= 3 + 書一＜ 4（心 0）， =9k +6k + 1 9k 2 + k 2+ 6k当且仅当k = ±33时取等号，验证知k =±f 满足题意,1y[3 \I 3显然 k = 0 时，|ABf = 3V 4•所以（S A AO E） max = 2X 2X-^ =-^.（1 + 3k 2）x 2 + 6kmx + 3m 2 — 3 = 0，所以 x 1 + x 2= —6km1 +X 1X 2 =3m 2— 3 1 + 3k 2' 所以 ABI 2=（1+r ）（x 1—X 2）2=12 1 + k 2 3k 2 + 1 — m 21 + 3k1 + 3k2 2【答案】2 22. 若直线y = kx + 2与椭圆青+号=1相切，则斜率k 的值是() 冷B.冷C. D.今X 2 V 2【解析】 把 y = kx + 2 代入-+ 专=1 得(2 + 3k 2)x 2 + 12kx + 6= 0,2 23. 直线y = x + 2与椭圆m +卷=1有两个公共点，则m 的取值范围是()y = x + 2,【解析】 由x 2 y 2+ 二=1 m 十 3 ',由 A>0 且 m H 3,得 m<0 或 m>1 且 m ^3, 又m>0, A m>1且m H 3.【答案】B2 24. 若过椭圆x6+ V4 = 1内一点(2,1 )的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程 是 ________ .x 2 y 2 x 2 V 2【解析】 设弦两端点A(x 1, y 1), B(x 2, y 2)，则届+ ；= 1,品+寸=1，两 y 4 — V 2 1 .,式相减并把X 1 + x 2 = 4, y 1 + y 2= 2代入得 =—2， A 所求直线方程为y — 1 =X 1 — x 2 24—$x — 2), 即卩 x + 2y — 4 = 0.【答案】 x + 2y — 4= 0=1有两个顶点在直线x + 2y = 2上，则该椭圆的焦点坐标是()A.( ±3, 0)B.(0, ± 3)C.( ± 5, 0)D.(0, ± 5)【解析】 •••直线 x + 2y = 2 过(2,0)和(0,1)点, 二 a =2, b = 1, A c = 3.椭圆焦点坐标为(土 3, 0).由于△二0, A k 2= 3, A k =【答案】 CA.m>1B.m>1 且 3C.m>3D.m>0 且 m ^ 3得(m + 3)x 2 + 4mx + m = 0.1.已知椭圆y x5. 如图2-1-4,已知斜率为1的直线I过椭圆专+ 二1的下焦点，交椭圆于A, B两点，求弦AB的长【解】令点A，B的坐标分别为A（x i，y i），B（X2, y2）.由椭圆方程知a2= 8，b2= 4, ••• c=「a2—b2= 2，•••椭圆的下焦点F的坐标为F（0，—2），•••直线过点B（2,0）和点F（0,—2）, •••直线I的方程为y= x— 2.2 2 4将其代入y+ 中=1,化简整理得3x2—4x—4= 0, ••• x i + x2= 4，x i x2= —§••• AB|=' x2 —x1 2+ y2 —y1 2=寸2 x2 —X1 2寸X1+ X22- 4X1x 4 3,。