浙江省金丽衢十二校2020高三数学第一次联考试题(含解析)

浙江省金丽衢十二校2020届高三数学第一次联考试题（含解析）1.设集合{}{}|(3)(2)0,,|13,M x x x x R N x x x R =+-<∈=≤≤∈，则M N ⋂=（ ） A. [)1,2 B. [1,2]C. (]2,3 D. [2,3]【答案】A 【解析】因为{}{}|(3)(2)0,{|32},|13,M x x x x R x x N x x x R =+-<∈=-<<=≤≤∈，因此可知M N ⋂=[)1,2，选A2.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>一条渐近线与直线2420x y -+=垂直，则该双曲线的离心率为（ ）D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得渐近线的方程，利用两条直线垂直斜率相乘等于1-列方程，结合222c a b =+求得双曲线离心率.【详解】由题可知双曲线的渐近线方程为b y x a =±，则112b a -⨯=-，即2ba=，又，所以e ==故选A.【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线以及离心率的求法，考查两条有斜率的直线相互垂直时，斜率相乘等于1-，属于基础题.3.若实数x ，y 满足约束条件22022x y x y y +-≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则x y -的最大值等于（ ）A. 2B. 1C. -2D. -4【答案】A 【解析】 【分析】作出可行域，平移目标函数，找到取最大值的点，然后可求最大值. 【详解】根据题意作出可行域如图：平移直线:0l x y -=可得在点A 处取到最大值，联立22020x y x y +-=⎧⎨+-=⎩可得(2,0)A ,代入x y-可得最大值为2，故选A.【点睛】本题主要考查线性规划，作出可行域，平移目标函数，求出最值点是主要步骤，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.4.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.163π+ B.112π+ C.1123π+ D.143π+ 【答案】C 【解析】 【分析】观察三视图可知，几何体是一个圆锥的14与三棱锥的组合体，然后计算出两个简单几何体的体积，相加可得出结果.【详解】观察三视图可知，几何体是一个圆锥的14与三棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为1，高为1．三棱锥的底面是两直角边分别为1、2的直角三角形，高为1． 则几何体的体积211111111213432123V ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+，故选：C. 【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，解题时要利用三视图得出几何体的组合方式，并计算出各简单几何体的体积，然后将各部分相加减即可.5.己知a ，b 是实数，则“2a >且2b >”是“4a b +>且4ab >”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可。

【详解】因为“2a >且2b >”⇒ “4a b +>且4ab >” “4a b +>且4ab >”¿“2a >且2b >”所以“2a >且2b >”是“4a b +>且4ab >”的充分而不必要条件 故选A【点睛】本题考查充分条件与必要条件，属于基础题。

6.口袋中有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0，1，2，3，4，从中任取3个球，以ξ表示取出球的最大号码，则()E ξ=（ ） A. 3.55 B. 3.5 C. 3.45D. 3.4【答案】B 【解析】 【分析】根据ξ的可能值，计算出每个可能值的概率，再计算()E ξ。

【详解】依题意知ξ可取2,3,4则35112()10PC ξ=== , 23353()310C P C ξ===,24356()410C P C ξ===所以()136+3+4=3.5101010=2E ξ⨯⨯⨯ 故选B【点睛】本题考查数学期望，属于基础题。

7.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中， 13,4,AB AA P ==是侧面11BCC B 内的动点，且1,AP BD ⊥记AP 与平面1BCC B 所成的角为θ，则tan θ的最大值为A.43B.53C. 2D.259【答案】B 【解析】 【分析】建立以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系，设点(),3,P m n ，利用1AP BD ⊥，转化为10AP BD ⋅=u u u v u u u u v，得出34n m =，利用空间向量法求出sin θ的表达式，并将34n m =代入sin θ的表达式，利用二次函数的性质求出sin θ的最大值，再由同角三角函数的基本关系求出tan θ的最大值。

【详解】如下图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则()3,0,0A 、()3,3,0B、()10,0,4D ，设点(),3,P m n ，则03m ≤≤，04n ≤≤，()3,3,AP m n =-u u u v，()13,3,4BD =--u u u u v，1AP BD ⊥Q ，则()()133334340AP BD m n m n ⋅=--+⨯-+=-+=u u u v u u u u v ，得34n m =，平面11BCC B 的一个法向量为()0,1,0a =v，所以，()()2222sin 339394AP aAP a m n m m θ⋅===⋅-++⎛⎫-++ ⎪⎝⎭u u u v v u u u v v22561816m m -+ 当[]6480,32525216m -=-=∈⨯时，sin θ取最大值，此时，tan θ也取最大值，且()max 2sin 34254848618162525θ==⎛⎫⨯-⨯+ ⎪⎝⎭，此时，2cos 1sin 34θθ=-=，因此，()max 345tan 3334θ==，故选：B 。

【点睛】本题考查立体几何的动点问题，考查直线与平面所成角的最大值的求法，对于这类问题，一般是建立空间坐标系，在动点坐标内引入参数，将最值问题转化为函数的问题求解，考查运算求解能力，属于难题。

8.己知函数()()21,043,0x e x f x x x x +⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，函数()y f x a =-有四个不同的零点，从小到大依次为1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x -++的取值范围为（ ） A. [)3,3e + B. [)3,3e + C. ()3,+∞ D. (]3,3e +【答案】D 【解析】 【分析】画出函数()f x 的草图，结合题意得到(1,]a e ∈。

且1x 20x <≤<3x 4x <，则可解出12+=2x x -，34+=3+x x a ，34=4x x ⋅，即可求出1234x x x x -++的取值范围。

【详解】当0x ≤时，()21(),x f x e +=令2(1)t x =+ ，()tf x e =单调递增又2(1)t x =+，在(,1)-∞-单调递减，在(10]-，单调递增， 所以()21()x f x e +=，在(,1)-∞-单调递减，在(10]-，单调递增，且(0)(1)1f e f =-=，。

当0x ≤时，4()=3f x x x+-，在(0,2)单调递减，在(2+)∞，单调递增，且(2)1f =。

画出函数()()21,043,0x e x f x x x x +⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩的图像，如图所示：又()y f x a =-有四个不同的零点，等价于()y f x =与y a =有四个不同的交点。

所以(1,]a e ∈。

且1x 20x <≤<3x 4x <。

当0x ≤时，()2111()x f x e +=，()2212()x f x e +=，即()()22121112+=2x x e e x x ++=⇒- 所以1210x x --<< 当0x ＞时， 解43=x a x+-，化简得2(3+)40x a x -+=，所以34+=3+x x a ，34=4x x ⋅又(1,]a e ∈， 所以344+3x x e <≤+ 所以123433x x x x e <-++≤+ 故选D【点睛】本题考查函数的性质，画出草图，判断出交点的位置，是首要任务。

属于难题。

9.函数()21ln f x x x=-+的图像大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】取特值1e判断正负，即可得出答案。

【详解】122=01111ln 2f e e e e⎛⎫=< ⎪⎝⎭-+- 故选B【点睛】本题考查函数图象的识别，根据函数的定义域、值域、单调性、对称性及特值是解决问题的关键，属于基础题。

10.设等差数列1a ，2a ，…，n a （3n ≥，*N n ∈)的公差为d ，满足1211n a a a a ++⋅⋅⋅+=-2121122n a a a a +-+⋅⋅⋅+-=+++2n a m +⋅⋅⋅++=，则下列说法正确的是（ ） A. 3d ≥B. n 的值可能为奇数C. 存在*i N ∈，满足21i a -<<D. m 的可能取值为11【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设出绝对值函数()2(1),3f x x x d x d x n d n =+++++++-≥L ， 根据绝对值函数的性质判断即可。

【详解】因1211n a a a a ++⋅⋅⋅+=-2121122n a a a a +-+⋅⋅⋅+-=+++2n a m +⋅⋅⋅++=所以111+(1)a a d a n d ++⋅⋅⋅++-11111+1(1)a a d a n d =-+-+⋅⋅⋅+-+-111222+(1)a a d a n d m =+++++⋅⋅⋅++-=令()2(1),3f x x x d x d x n d n =+++++++-≥L 则111()(1)(2)f a f a f a m =-=+= （*） ①当0d =时，()f x n x =，不满足（*），舍去。

②当0d >时，由（*）得()f x 为平底型，故n 为偶数(4)n ≥ 。

()f x 的大致图像为：则11112(1)22n nd a a a d -≤-<<+≤--所以(1)+=322n n d d d --≥，故A 正确。

由1111212(1)222(1)2n d a n n d a d n a d⎧-≤-⎪⎪⇒-≤≤---⎨⎪+≤--⎪⎩当1,2,,2n i =L 时1(1)2(1)(1)()222i n na a i d d i d i d =+-≤---+-=-- 当+1,+2,,22n n i n =L 时1(1)1(1)=1+(1)122i n na a i d d i d i d =+-≥-+---≥ 故不存在*i N ∈，满足21i a -<<，C 错112122()n nn m f a a a a a a +==++++++L L1212222()()n n n n a a a a a a ++≥+++-+++L L2112=()24n n n a a d +-= 由于4,3n d ≥≥ 所以2124n m d ≥≥，故D 错③当0d <时，令0d d '=->由于()f x 的图像与()f x -的图像关于y 轴对称，故只需研究()f x - 故令()()g x f x =-=2(1),3x x d x d x n d n -+-++-+++-+-≥L2(1),3x x d x d x n d n '''=+++++++-≥L因为111()(1)(2)f a f a f a m =-=+= 所以111()(1)(2)g a g a g a m -=--=-+=由②知()g x 为平底型，故n 为偶数(4)n ≥，故B 错 令1111,(1)1i i a a a a i d a ''''=--=+-=-所以()(1)(2)i i i g a g a g a m '''=-=+=3d d '⇒=-≥ ，故A 正确由②知，不存在*i N ∈，满足2121112i i i a a a -<<⇔-<-<⇔-<'<-，故C 错由②知，2()124i n m g a d '=≥≥，故D 错综上所述，A 正确,BCD 错误 故选A.【点睛】本题结合等差数列综合考查绝对值函数的性质，属于难题。