求轨迹方程常用的方法汪雪芳

求轨迹方程常用的方法汪雪芳

轨迹方程，特别是圆锥曲线轨迹方程的求解内容丰富，联系广泛.它既包括代数、几何及三角等章节中的众多基础知识，又容纳许多解题技巧，方法多、技巧性强、运算量大，是学习过程中的难点，同时也是高考命题中的热点.解这类问题的方法大致有：（1）直接法；（2）待定系数法；（3）定义法；（4）代入转移法；（5）参数法；（6）设而不求法.本文通过实例，从不同角度用常规方法进行了归纳，在此与各位同仁共勉.

1.直接法

直接利用条件建立x，y之间的关系F（x，y）=0.

例1：已知动点P到定点F（-1，0）和直线x=2的距离相等，求P的轨迹方程.

分析：由题意，可根据点到点的距离与点到直线的距离，直接找到x，y之间的函数关系.

解：设点P坐标为（x，y），由题意可知 =|x-2|（*）

（*）式两边平方可化简为y =-6x+3

方法点评：运用直接法求解圆锥曲线轨迹方程时，可根据圆锥曲线的定义，直接得到等量关系.此方法适用范围较普遍.

2.待定系数法

已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数.

例2：线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0）（m>0），端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为？摇？摇？摇？摇.

分析：对于线段AB所在的直线应分斜率存在与否分类讨论，斜率不存在的情形时，A、B两点的横坐标相等，又由点在抛物线上讨论可得；对于斜率存在的情形，由题意可知，A、B两点为抛物线与直线的交点，所以可联立两方程，再利用根与系数的关系，求出y y ，|y |・|y |=2m解之.

解：依题意可设所求抛物线方程为y =2px（p>0）.

（1）当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程可表示为x=m，设点A坐标为（m，y ），点B坐标为（m，y ），因为点A、点B在抛物线y =2px（p>0）上，所以y =2pm，y =2pm.此时端点A、B到x轴距离之积|y |・|y |=2m，即4p m =4m ，解得p=1.故抛物线方程为y =2x.

（2）当直线AB的斜率存在时，设斜率为k（k≠0），则依题意可知点A、点B为直线与抛物线的交点，设直线AB的方程为y=k（x-m），将方程y =2px（p>0）和y=k（x-m）联立解得ky -2py-2pkm=0，即得y y =-2pm，而点A、B到x 轴距离之积|y |・|y |=2m，亦即|y y |=|-2pm|=2m（*），解（*）式得p=1，故抛物线方程为y =2x.

综合上述（1）、（2）可知，所求抛物线方程为y =2x.

方法点评：待定系数法是解题的常用方法，在求曲线的轨迹方程时亦是一种很不错的方法.

3.定义法

先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程.

例3：△ABC中，B（-13，0），C（13，0），且sinC-sinB= sinA，求点A的轨迹方程.

分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R（R为外接圆半径），利用余弦定理的推论，转化为边长的关系.

解：∵sinC-sinB= sinA

2RsinC-2RsinB= ・2RsinA

∴|AB|-|AC|= |BC|

又|BC|=26

即|AB|-|AC|=10（*）

∴点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）

∵2a=10，2c=26

∴a=5，c=13，b=12

所求轨迹方程为 - =1（x>5）

方法点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）.

4.代入转移法

动点p（x，y）依赖于另一动点Q（x ，y ）的变化而变化，并且Q（x ，y ）又在某已知曲线上，则可先用x，y 的代数式表示x ，y ，再将x ，y 代入已知曲线得要求的轨迹方程.

例4：动点P是抛物线y=2x 上任一点，定点为A（0，-3），点M分P 所成的比为2，则M的轨迹方程为？摇？摇？摇？摇？摇.

分析：分别设出点M坐标为（x，y），点P坐标为（x ，y ），根据题意知P =2P ，再将两向量分别用坐标表示，就可找到x与x ，y与y ，又由点P在抛物线上，从而将x 与y 之间的函数关系转化为x与y之间的函数关系.

解：设点M坐标为（x，y），点P坐标为（x ，y ），则y =2x ，

由题意知P =2P ，P =（-x ，-3-y ），P =（x-x ，y-y ），故有-x =2（x-x ）且-3-y =2（y-y ），解得：x =2x，y =2y+3.

又因为y =2x ，所以2y+3=2（2x），化简得y=4x - .

方法点评：本题中利用坐标表示向量，并运用代入转移法使问题求解思路易于理解，求解过程得以简化.

5.参数法

当动点p（x，y）坐标之间的关系不易直接找到，也没

有相关动点可用时，可考虑将x，y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程.

例5：在圆x +y =4上，有一定点A（2，0）和两动点B，C（A，B，C按逆时针排列），当B，C两点保持∠BAC= 时，求△ABC的重心的轨迹.

分析：圆周角∠BAC= 可转化为圆心角∠BOC= ，选用“角参数”，令B（2cosθ，2sinθ），则C（2cos（θ+ ），2sin （θ+ ）），则重心可用θ表示出来.