带电粒子在磁场中运动最小面积问题

带电粒子在磁场中运动最小面积问题

例1.在xOy平面有许多电子（质量为m,电荷量为e）,从坐标原点O不断以相同大小的速度v0沿不同的方向射入第一象限,如图所示.现加上一个垂直于xOy平面的磁感应强度为B的匀强磁场,要求这些电子穿过该磁场后都能沿平行于x轴向运动,试求出符合条件的磁场最小面积.

例2．一质量为m、带电荷量为q的粒子以速度v0从O点沿y轴向射入磁感应强度为B的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴向夹角30°，如图所示(粒子重力忽略不计)．试求：

(1)圆形磁场区域的最小面积．

(2)粒子从O点进入磁场区域到达b点所经历的时间．

(3)b点的坐标．

例3．一个质量为m，带＋q电量的粒子在BC边上的M点以速度v垂直于BC边飞入正三角形ABC。为了使该粒子能在AC边上的N点图示(CM＝CN)垂直于AC边飞出三角形ABC，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域，且不计粒子的重力．试求：

(1)粒子在磁场里运动的轨迹半径r及周期T；

(2)该粒子在磁场里运动的时间t；

(3)该正三角形磁场区域的最小边长；

针对训练

1．(09年高考)如图甲所示，ABCD是边长为a的形．质量为m、电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边射入形区域．在形适当区域中有匀强磁场．电子从BC边上的任意点入射，都只能从A 点射出磁场．不计重力，求：

(1)此匀强磁场区域中磁感应强度的大小和方向．

(2)此匀强磁场区域的最小面积．

2．（09年卷）图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=2.0×10-3T,在X轴上距坐标原点L=0.50m的P处为离子的入射口，在Y上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以v=3.5×104m/s的速率从P处射入磁场，若粒子在y轴上距坐标原点L=0.50m 的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m,电量为q,不记其重力。

（1）求上述粒子的比荷q/m

（2）如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限再加一个匀强电场，就可以使其沿y轴向做匀速直线运动，求该匀强电场的场强大小和方向，并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场；

（3）为了在M处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限的磁场可以局限在一个矩形区域，求此矩形磁场区域的最小面积，并在图中画出该矩形。

3、（1994年全国高考试题）如图12所示，一带电质点，质量为m ，电量为q ，以平行于Ox 轴的速度v 从y 轴上的a 点射入图中第一象限所示的区域。为了使该质点能从x 轴上的b 点以垂直于Ox 轴的速度v 射出，可在适当的地方加一个垂直于xy 平面、磁感应强度为B 的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域，试求这圆形磁场区域的最小半径。重力忽略不计。

4.[2010·模拟] 如图甲所示，水平放置的平行金属板A 和B 间的距离为d ，板长L ＝23d ，B 板的右侧边缘恰好是倾斜挡板NM 上的一个小孔K ，NM 与水平挡板NP 成60°角，K 与N 间的距离K N ＝a.现有质量为m 、带正电且电荷量为q 的粒子组成的粒子束，从AB 的中点O 以平行于金属板方向OO ′的速度v 0不断射入，不计粒子所受的重力．

(1)若在A 、B 板上加一恒定电压U ＝U 0，则要使粒子穿过金属板后恰好打到小孔K ，求U 0的大小．

(2)若在A 、B 板上加上如图乙所示的电压，电压为正表示A 板比B 板的电势高，其中T ＝2L v 0

，且粒子只在0～T 2

时间入射，则能打到小孔K 的粒子在何时从O 点射入？ (3)在NM 和NP 两挡板所夹的某一区域存在一垂直纸面向里的匀强磁场，使满足条件(2)从小孔K 飞入的粒子经过磁场偏转后能垂直打到水平挡板NP 上(之前与挡板没有碰撞)，求该磁场的磁感应强度的最小值．

5.如图，一带电粒子以某一速度在竖直平面做匀速直线运动，经过一段时间后进入一垂直于纸面向里、磁感应强度为B 的最小的圆形匀强磁场区域(图中未画出磁场区域)，粒子飞出磁场后垂直电场方向进入宽为L 的匀强电场，电场强度大小为E ，方向竖直向上．当粒子穿出电场时速率变为原来的 2 倍．已知带电粒子的质量为m ，电荷量为q ，重力不计．粒子进入磁场前的速度与水平方向成θ＝60°角．试回答：

(1)粒子带什么电？

(2)带电粒子在磁场中运动时速度多大？

(3)该最小的圆形磁场区域的面积为多大？

参考答案

例1.在xOy 平面有许多电子（质量为m,电荷量为e ）,从坐标原点O 不断以相同大小的速度v 0沿不同的方向射入第一象限,如图所示.现加上一个垂直于xOy 平面的磁感应强度为B 的匀强磁场,要求这些电子穿过该磁场后都能沿平行于x 轴向运动,试求出符合条件的磁场最小面积.

解：由于电子在磁场中作匀速圆周运动的半径R ＝mv 0/Be 是确定的，设磁场区域足够大，作出电子可能的运动轨道如图所示，因为电子只能向

第一象限平面发射，所以电子运动的最上面一条轨迹必为圆O 1，它就是磁场的上边界。其它各圆轨迹的圆心所连成的线必为以点O 为圆心，以R 为半径的圆弧O 1O 2O n 。由于要求所有电子均平行于x 轴向右飞出磁场，故由几何知识有电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点。如对图中任一轨迹圆O 2而言，要使电子能平行于x 轴向右飞出磁场，过O 2作弦的垂线O 2A ，则电子必将从点A 飞出，相当于将此轨迹的圆心O 2沿y 方向平移了半径R 即为此电子的出场位置。由此可见我们将轨迹的圆心组成的圆弧O 1O 2O n 沿y 方向向上平移了半径R 后所在的位置即为磁场的下边界，图中圆弧OAP 示。综上所述，要求的磁场的最小区域为弧OAP 与弧OBP 所围。利用形OO 1PC 的面积减去扇形OO 1P 的面积即为OBPC 的面积；即R 2-πR 2/4。根据几何关系有最小磁场区域的面积为S ＝2（R 2-πR 2/4）＝（π/2 -1）（mv 0/Be ）2。

例2. 一质量为m 、带电荷量为q 的粒子以速度v0从O 点沿y 轴向射入磁感应强度为B 的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区域后，从b 处穿过x 轴，速度方向与x 轴向夹角30°，如图所示(粒子重力忽略不计)．试求：

(1)圆形磁场区域的最小面积．

(2)粒子从O 点进入磁场区域到达b 点所经历的时间．

(3)b 点的坐标．

解析：(1)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径R ＝mv 0qB

由图可知∠aO ′b ＝60°

磁场区域最小半径

r ＝Rcos 30°＝3mv 02qB

磁场区域最小面积S ＝πr 2＝3πm 2v 204q 2B

2.