人教版高中数学必修一《指数函数》ppt课件
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人教版高中数学必修第一册4.2指数函数 课时3 指数函数的概念【课件】
现实世界的密切联系,学会用函数模型描述客观世界事物变化规
律.
学习目标
课程目标
学科核心素养
通过具体实例，了解指数函数的
实际意义
通过具体实例，感受不同现实背景
下函数值增长的变化规律，知道增
长率为常数的变化方式为指数增长，
培养数学建模及数学抽象素养
通过建立函数模型的过程，抽象
出指数函数的概念
通过由特殊到一般的研究方法，抽
天内，他在得到310万元的同时，共付给了神秘人2 147 483 647分，也
就是2 000多万元！
张财主的故事一定让你感到吃惊：开始时微不足道的数字，两倍两倍
地增长，竟然会变得这么巨大！事实的确如此，因为张财主碰上了“指
数爆炸”．一种事物如果成倍成倍地增大(如2×2×2×…), 即符合指数
函数y＝ax(a> 1)时， 这种增大的速度就像“大爆炸”一样，非常惊人．
中物质A的质量是物质B的质量的2倍，而120 h后两种物质的质量相等．已
知物质A的半衰期为7.5 h，则物质B的半衰期为(
思路点拨
进行求解
A. 10 h
B.
8 h
C. 12 h
D.
15 h
)
根据题设中实际问题建构指数函数模型，再利用指数幂的运算
【方法规律】
由特殊到一般探求变化规律，建构不同的指数函数模型，研究两者之间的
【问题3】你能再写出一些类似的函数吗?这些函数具有什么共同特征?
【活动2】探究指数函数的结构特征
【问题4】你能从上述函数中,抽象出指数函数的定义吗?
【问题5】下列函数中,哪些是指数函数?哪些不是指数函数?
【问题6】对于指数函数,其底数有怎样的要求?
律.
学习目标
课程目标
学科核心素养
通过具体实例，了解指数函数的
实际意义
通过具体实例，感受不同现实背景
下函数值增长的变化规律，知道增
长率为常数的变化方式为指数增长，
培养数学建模及数学抽象素养
通过建立函数模型的过程，抽象
出指数函数的概念
通过由特殊到一般的研究方法，抽
天内，他在得到310万元的同时，共付给了神秘人2 147 483 647分，也
就是2 000多万元！
张财主的故事一定让你感到吃惊：开始时微不足道的数字，两倍两倍
地增长，竟然会变得这么巨大！事实的确如此，因为张财主碰上了“指
数爆炸”．一种事物如果成倍成倍地增大(如2×2×2×…), 即符合指数
函数y＝ax(a> 1)时， 这种增大的速度就像“大爆炸”一样，非常惊人．
中物质A的质量是物质B的质量的2倍，而120 h后两种物质的质量相等．已
知物质A的半衰期为7.5 h，则物质B的半衰期为(
思路点拨
进行求解
A. 10 h
B.
8 h
C. 12 h
D.
15 h
)
根据题设中实际问题建构指数函数模型，再利用指数幂的运算
【方法规律】
由特殊到一般探求变化规律，建构不同的指数函数模型，研究两者之间的
【问题3】你能再写出一些类似的函数吗?这些函数具有什么共同特征?
【活动2】探究指数函数的结构特征
【问题4】你能从上述函数中,抽象出指数函数的定义吗?
【问题5】下列函数中,哪些是指数函数?哪些不是指数函数?
【问题6】对于指数函数,其底数有怎样的要求?
高一数学指数函数ppt课件
图像法
运算性质法
利用指数函数的运算性质，如乘法公 式和指数法则，推导出奇偶性的判断 方法。例如，若f(x)和g(x)都是奇函数， 则f(x)*g(x)也是奇函数。
通过观察指数函数的图像，判断其是 否关于原点对称或关于y轴对称，从而 确定函数的奇偶性。
06 典型例题解析与 课堂互动环节
典型例题选讲及思路点拨
指数函数的图像关于y轴对称。
当a>1时，函数在定义域内单调递增，图 像上升；当0<a<1时，函数在定义域内单 调递减，图像下降。
指数函数图像特点 函数图像过定点（0,1）。
指数函数性质探讨
指数函数的单调性
01
当a>1时，函数在R上单调递增；当0<a<1时，函数在R上单调
递减。
指数函数的周期性
02
指数函数不是周期函数。
应用举例
$3^4 = (frac{3}{2})^4 times 2^4$
对数转换
当底数不同且难以直接 计算时，可通过对数转 换为相同底数进行计算。
应用举例
比较 $7^{10}$ 和 $10^7$ 的大小，可转 换为比较 $10 times
log7$ 和 $7 times log10$。
复杂表达式化简技巧
利用指数函数构建可持续增长模型，可以预测未来经济发展的趋势和可能遇到的问 题，帮助学生了解经济增长的复杂性和不确定性。
05 指数函数图像变 换与性质变化规 律
平移、伸缩变换对图像影响
平移变换
指数函数图像沿x轴或y轴平移，不改 变函数的形状和周期性，只改变函数 的位置。
伸缩变换
通过改变函数的参数，实现对指数函 数图像的横向或纵向伸缩，从而改变 函数的周期和振幅。
指数函数的图象与性质课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
3.探究函数 = 与 =
深理解；
两道题进一步促进形成
4.通过练习检测目标是否
用函数观点解决实际问
达成.
题的意识.
象与性质
1.用描点法或信息技术画函
数 = 的图象，归纳其
性质；
2.用描点法或信息技术化函
数 =
的图象归纳其性
的图象的关系，并用信
息技术验证.
小结
过程设计
性质.
过程设计
2设计意图
例 1 引导学生将每一组中的两个值可以
看作一个指数函数的两个函数值利用单
调性进行比较，引导学生总结规律方法.
通过应用函数的单调性比较大小，进一
步理解指数函数的单调性.例 2 引导学生
将实际问题转化为数学问题，通过建立
指数函数模型，培养学生数学建模能力
，使学生学习“有用的数学”.
2 思维与能力基础
学生在上一章学习了幂函数，知道研究具体函数基本思路及一般过程，即“背景-概念-图象和性质-
应用”，经历过利用图象归纳出函数性质的过程.本节的学习可采用类比的方法，引导学生发现研究的
对象，研究的内容、研究的方法.
3 思维与能力基础
指数函数性质的探索需要学生自行选择具体的函数，学生可能在底数的选取上没有思路，在得到
要求用信息技术画图；
3.增加了例4(利用图象分析和解决问题).
3.正文和习题中均没有图象和相关题目.
学情分析
1 知识基础
学生在前面学习了指数函数的概念，解析式，指数增长与指数衰减，在此基础上，能够根据解析
式采用描点法画出函数图象，能够根据指数增长与指数衰减两种类型，对a的取值进行讨论，研究指
新人教A版必修一指数函数课件(36张)
【解析】画出 f(x)=|3x-1|的图象如图:
要使 c<b<a 且 f(c)>f(a)>f(b)成立,则有 c<0 且 a>0.
由 y=3x 的图象可得 0<3c<1<3a,∵f(c)=1-3c,
f(a)=3a-1,f(c)>f(a),∴1-3c>3a-1,即 3c+3a<2.
D.3c+3a<2
T 题型三指
2
ab
(3)
1 1
1 1 (a>0,b>0).
4
(a4 b2 ) a 3 b3
先把根式化为分数指数幂,再根据幂的运算性质进行计算.
2
【解】(1)原式= 8
27
=
2
3
1
+5002 -10(
27 -3
8
+
1
500
-
1
2
−
10
+1
5-2
5+2)+1
4
9
167
.
9
= +10 5-10 5-20+1=-
(2)原式= 5-2-1- ( 5-2)2 =( 5-2)-1-( 5-2)=-1.
= 2
(m +2mn+4n2 )(m-2n)
=m3=a.
1-
2n
m
·m
×
1
32)6-
2
3
1
3
=2+4×27=110.
T 题型二指
数函数的图象
例 2 已知函数 y=
1 |x+1|
.
3
(1)作出其图象;
要使 c<b<a 且 f(c)>f(a)>f(b)成立,则有 c<0 且 a>0.
由 y=3x 的图象可得 0<3c<1<3a,∵f(c)=1-3c,
f(a)=3a-1,f(c)>f(a),∴1-3c>3a-1,即 3c+3a<2.
D.3c+3a<2
T 题型三指
2
ab
(3)
1 1
1 1 (a>0,b>0).
4
(a4 b2 ) a 3 b3
先把根式化为分数指数幂,再根据幂的运算性质进行计算.
2
【解】(1)原式= 8
27
=
2
3
1
+5002 -10(
27 -3
8
+
1
500
-
1
2
−
10
+1
5-2
5+2)+1
4
9
167
.
9
= +10 5-10 5-20+1=-
(2)原式= 5-2-1- ( 5-2)2 =( 5-2)-1-( 5-2)=-1.
= 2
(m +2mn+4n2 )(m-2n)
=m3=a.
1-
2n
m
·m
×
1
32)6-
2
3
1
3
=2+4×27=110.
T 题型二指
数函数的图象
例 2 已知函数 y=
1 |x+1|
.
3
(1)作出其图象;
高一数学指数函数00ppt课件
化学反应速率
在化学中，某些化学反应的速率与反应物的浓度成正比。当反应物浓度较高时，反应速率也较快；反之则较慢。 这种关系可以用指数函数来描述，其中反应速率常数与反应温度、压力等因素有关。
05
指数函数与对数函数关系 探讨
对数函数定义及图像特征回顾
对数函数定义
对于任意正实数a（a≠1），函数y=logax（x>0）叫做对数 函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）。
利用对数运算性质化 简得 $x = 3$。
两边取对数得 $x = log_2 8$。
一元二次指数方程求解
• 定义与性质：一元二次指数方程是指形如 $a^x + b^x = c$ 的方程，其中 $a > 0$，$b > 0$，$c > 0$。
一元二次指数方程求解
求解步骤 观察方程形式，尝试通过换元法将其转化为一元一次或一元二次方程。
高一数学指数函数00ppt课件
contents
目录
• 指数函数基本概念与性质 • 指数运算规则与技巧 • 指数方程求解方法 • 指数函数在生活中的应用举例 • 指数函数与对数函数关系探讨 • 课堂小结与拓展延伸
01
指数函数基本概念与性质
指数函数定义及图像特征
指数函数定义
形如 y = a^x (a > 0, a ≠ 1) 的函 数称为指数函数。
深入探讨了指数函数的四则运算，包 括加法、减法、乘法和除法。
学生自我评价报告分享
01
知识掌握情况
大部分学生表示能够理解和掌握指数函数的基本概念和性质，以及相关
的运算方法。
02
学习困难与挑战
部分学生反映在解决复杂问题和应用指数函数时仍存在一定困难，需要
在化学中，某些化学反应的速率与反应物的浓度成正比。当反应物浓度较高时，反应速率也较快；反之则较慢。 这种关系可以用指数函数来描述，其中反应速率常数与反应温度、压力等因素有关。
05
指数函数与对数函数关系 探讨
对数函数定义及图像特征回顾
对数函数定义
对于任意正实数a（a≠1），函数y=logax（x>0）叫做对数 函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）。
利用对数运算性质化 简得 $x = 3$。
两边取对数得 $x = log_2 8$。
一元二次指数方程求解
• 定义与性质：一元二次指数方程是指形如 $a^x + b^x = c$ 的方程，其中 $a > 0$，$b > 0$，$c > 0$。
一元二次指数方程求解
求解步骤 观察方程形式，尝试通过换元法将其转化为一元一次或一元二次方程。
高一数学指数函数00ppt课件
contents
目录
• 指数函数基本概念与性质 • 指数运算规则与技巧 • 指数方程求解方法 • 指数函数在生活中的应用举例 • 指数函数与对数函数关系探讨 • 课堂小结与拓展延伸
01
指数函数基本概念与性质
指数函数定义及图像特征
指数函数定义
形如 y = a^x (a > 0, a ≠ 1) 的函 数称为指数函数。
深入探讨了指数函数的四则运算，包 括加法、减法、乘法和除法。
学生自我评价报告分享
01
知识掌握情况
大部分学生表示能够理解和掌握指数函数的基本概念和性质，以及相关
的运算方法。
02
学习困难与挑战
部分学生反映在解决复杂问题和应用指数函数时仍存在一定困难，需要
高中数学人教A版必修第一册4.2指数函数(教学课件)
f
(1)
1
π3
3
π
，
f
(3)
π1
1 π
.
图象
定义域
值域 性
过定点 质
单调性
奇偶性
0 a 1
a 1
R (0， )
(0，1) ，即 x 0 时， y 1
减函数
增函数
非奇非偶
例 2 比较下列各题中两个值的大小： （1）1.72.5 ，1.73 ；（2） 0.8 2 ， 0.8 3 ；（3）1.70.3 ，0.93.1 .
t
1
t
1
2
2
3 4
，
函数
f
(t)
t
1 2
2
3 4
在 (0, )
上为增函数，
f
(t)
f
(0)
1，
函数 y
1 4
x
1 2
x
1 的值域为(1, )
.
8.已知函数 f (x) ax ( a 0 ，且 a 1)在[1,1] 上恒有 f (x) 2 ，则 实数 a 的取值范围为___12_,_1__∪__(1_,_2_)___.
3 2a 0
对于
B，欲使得该函数为增函数，需满足
a 3
1 2a
1
a
，解得1
a
3 2
，故
B
正确；
对于 C， f (1) 3 2a 1 1 ，解得 a 1 ，故 C 错误； 2
对于 D，该函数为非奇非偶函数，故 D 错误. 故选 AB.
6.已知指数函数 f (x) (2a 1) x ，且 f (3) f (2) ，则实数 a 的 取值范围是_____12_,_1___________.
4.2.1指数函数的概念PPT课件(人教版)
数学问题
这说明2001年…
实际问题
例 2（2）在问题 2 中，某生物死亡 10000 年后，它体内碳 14 的含量衰减为原来的百分之几？
这说明…
思考：连续两个半衰期是否就是一个“全衰期”？
例 2 （1）在问题 1 中，如果平均每位游客出游一次可给当地带 来 1000 元门票之外的收入，A 地景区的门票价格为 150 元，比 较这 15 年间 A，B 两地旅游收入变化情况.
1118 113
1244 126
B景区每年旅游人次约为上 一年的1.11倍
年增加量是相邻两年的游客人次 做减法得到的，能否通过对B地 景区每年的游客人次做其他运算 发现游客人次的变化规律呢？
增长率为常数的变化 方式，称为指数增长 .
时间/
A地景区
年
人次/ 万次
年增加量 /万次
2001 600
2002 609 9 2003 620 11 2004 631 11 2005 641 10 2006 650 9 2007 661 11 2008 671 10 2009 681 10 2010 691 10 2011 702 11
1.11x 倍.
设经过 x 年后的游客人次为2001年的 y 倍
探究1：比较两地景区游客人次的变 化情况，你发现怎样的变化规律？
增加量、增长率是 刻画事物变化规律 的两个重要的量.
A地
B地
问题 2 当生物死亡后，它机体内原有的碳 14 含量会按确 定的比率衰减（称为衰减率）, 若年衰减率为 p ，你能表 示出死亡生物体内碳 14 含量与死亡年数之间的关系吗？
探究1：比较两地景区游客人次的变化情况， 你发现怎样的变化规律？
A地
B地
线性增长
这说明2001年…
实际问题
例 2（2）在问题 2 中，某生物死亡 10000 年后，它体内碳 14 的含量衰减为原来的百分之几？
这说明…
思考：连续两个半衰期是否就是一个“全衰期”？
例 2 （1）在问题 1 中，如果平均每位游客出游一次可给当地带 来 1000 元门票之外的收入，A 地景区的门票价格为 150 元，比 较这 15 年间 A，B 两地旅游收入变化情况.
1118 113
1244 126
B景区每年旅游人次约为上 一年的1.11倍
年增加量是相邻两年的游客人次 做减法得到的，能否通过对B地 景区每年的游客人次做其他运算 发现游客人次的变化规律呢？
增长率为常数的变化 方式，称为指数增长 .
时间/
A地景区
年
人次/ 万次
年增加量 /万次
2001 600
2002 609 9 2003 620 11 2004 631 11 2005 641 10 2006 650 9 2007 661 11 2008 671 10 2009 681 10 2010 691 10 2011 702 11
1.11x 倍.
设经过 x 年后的游客人次为2001年的 y 倍
探究1：比较两地景区游客人次的变 化情况，你发现怎样的变化规律？
增加量、增长率是 刻画事物变化规律 的两个重要的量.
A地
B地
问题 2 当生物死亡后，它机体内原有的碳 14 含量会按确 定的比率衰减（称为衰减率）, 若年衰减率为 p ，你能表 示出死亡生物体内碳 14 含量与死亡年数之间的关系吗？
探究1：比较两地景区游客人次的变化情况， 你发现怎样的变化规律？
A地
B地
线性增长
《指数函数》PPT课件
商的乘方
商的乘方等于乘方的商。 如：$(a/b)^n = a^n div b^n$。
指数函数的极限与连续
极限性质
当底数大于1时，指数函数随着指 数的增大而趋于无穷大；当底数 在0到1之间时，指数函数随着指 数的增大而趋于0。
连续性
指数函数在其定义域内是连续的， 即对于任意两个相邻的点，函数值 之间的差可以无限小。
。
工程学
在工程学中，指数函数可用于 描述材料疲劳、信号处理等问
题。
计算机科学
在计算机科学中，指数函数可 用于算法分析、图像处理等领
域。
THANKS
感谢观看
02 指数函数的运算 性质
指数函数的四则运算
加法运算
同底数指数相加，指数 不变，底数相乘。如：
$a^m + a^m = 2a^m$。
减法运算
同底数指数相减，指数 不变，底数相除。如： $a^m - a^m = 0$。
乘法运算
同底数指数相乘，指数 相加，底数不变。如：
$a^m times a^n = a^{m+n}$。
级数展开的定义
将指数函数表示为无穷级数的形式，便于分析和 计算。
泰勒级数展开
通过泰勒公式将指数函数展开为幂级数，适用于 函数在某点的局部逼近。
麦克劳林级数展开
特殊形式的泰勒级数，用于在原点处展开指数函 数。
指数函数的傅里叶变换
傅里叶变换的概念
01
将时间域的函数转换为频域的函数，便于分析信号的频率特性
指数函数在生物学中的应用
细菌增长模型
指数函数可以描述细菌在适宜环 境下的增长情况，用于预测细菌
数量。
药物代谢动力学
指数函数可以模拟药物在体内的 代谢过程，用于计算药物浓度随
人教高中数学必修一2.1.2指数函数及其性质(课件)
思考:这两个例子的式子有什么共同特征?
底数是常数,指数是变量
1. 指数函数的定义
系数为1
y＝1 ·ax
自变量
常数
定义：一般地,函数 y ax (a 0, a 1, x R) 叫做指数函数
注意:
(1) 规定a 0, a 1
x 0 a x恒等于零
a 0x 0 无意义
a 0 无意义
…...
2 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年 剩留的质量约是本来的84%.求出这种物质的剩留 量随时间(单位:年)变化的函数关系.
设最初的质量为1,时间变量用x表示,剩留量用y表示
则
经过1年, y 184% 0.841 经过2年, y 1 0.84 0.84 0.842
归纳出:经过x年, y 0.84 x
• (1)
1
y 3x
• (2) y 5 x1
• (3)函数 y a2x3 3 恒过点 ( 3 , 4)
2
小结归纳：
• 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ • 你又掌握了哪些数学思想方法？ • 你能将指数函数的学习与实际生活联系起
来吗？
布置作业：习题2-1A组第5、6、7、8题
A先生从今天开始每天给你10万元,而 你承担如下任务:第一天给A先生1元, 第二天给A先生2元,,第三天给A先生4 元,第四天给A先生8元,依次下去…那 么,A先生要和你签定15天的合同,你同 意吗?又A先生要和你签定30天的合同, 你能签这个合同吗?
(8) y (2a 1)x (a 1 , a 1) 2
答案：（1）（6）（8）是指数函数
2：函数y (a2 3a 3) ax是指数函数，则a 2
3：已知y=f(x)是指数函数，且f(2)=4,求函数
底数是常数,指数是变量
1. 指数函数的定义
系数为1
y＝1 ·ax
自变量
常数
定义：一般地,函数 y ax (a 0, a 1, x R) 叫做指数函数
注意:
(1) 规定a 0, a 1
x 0 a x恒等于零
a 0x 0 无意义
a 0 无意义
…...
2 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年 剩留的质量约是本来的84%.求出这种物质的剩留 量随时间(单位:年)变化的函数关系.
设最初的质量为1,时间变量用x表示,剩留量用y表示
则
经过1年, y 184% 0.841 经过2年, y 1 0.84 0.84 0.842
归纳出:经过x年, y 0.84 x
• (1)
1
y 3x
• (2) y 5 x1
• (3)函数 y a2x3 3 恒过点 ( 3 , 4)
2
小结归纳：
• 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ • 你又掌握了哪些数学思想方法？ • 你能将指数函数的学习与实际生活联系起
来吗？
布置作业：习题2-1A组第5、6、7、8题
A先生从今天开始每天给你10万元,而 你承担如下任务:第一天给A先生1元, 第二天给A先生2元,,第三天给A先生4 元,第四天给A先生8元,依次下去…那 么,A先生要和你签定15天的合同,你同 意吗?又A先生要和你签定30天的合同, 你能签这个合同吗?
(8) y (2a 1)x (a 1 , a 1) 2
答案：（1）（6）（8）是指数函数
2：函数y (a2 3a 3) ax是指数函数，则a 2
3：已知y=f(x)是指数函数，且f(2)=4,求函数
新课标人教版必修一指数函数及其性质课件(共17张PPT)
x 1 2
2 x 1 5的最大值为_______
a 2x a 2 例4：设函数f(x)= 为奇函数. x 2 1
求： （1）实数a的值； （2）用定义法判断f（x）在其定义域上的单调性.
课堂总结：
1:根式的概念与相关的结论
2：指数幂运算的推广：
整数
有理数
实数
3：指数的运算性质： 求值与化简（整体思想）
高中数学必修1同步辅导课程——指数函数及其性质
牢记底的限制；
a＞0且 a 1
熟悉单调分类； a 1单增；0 a 1单减； 弄清值域变化； 掌握草图画法。 一撇一捺
高中数学必修1同步辅导课程——指数函数及其性质
典型题例：
例1：比较下列各题中两个值的大小： （1） 0.8 －0 . 1 < 0.8 －0 . 2
1 x 2 8 2 x (1) ( ) 3 3 解：原不等式可化为
3
x 2 8
3
2 x
∵ 函数 y=3x 在R上是增函数 ∴ - x2 + 8 > - 2x
解之得：- 4 < x < 2
∴ 原不等式的解集是（- 4, 2）
高中数学必修1同步辅导课程——指数函数及其性质
(2) a
x 2 2 x
解：原不等式可化为
1 x2 ( ) (a 0且a 1) a
a
x2 2x
a
x2
(1)若a>1,则原不等式等价于 x2 - 2x >－ x2 ∵原不等式ห้องสมุดไป่ตู้解集为（－∞ ，0）∪（1，＋∞ ） (2)若0<a<1,则原不等式等价于 x2 - 2x < －x2 ∴原不等式的解集为（0,1 ）
2 x 1 5的最大值为_______
a 2x a 2 例4：设函数f(x)= 为奇函数. x 2 1
求： （1）实数a的值； （2）用定义法判断f（x）在其定义域上的单调性.
课堂总结：
1:根式的概念与相关的结论
2：指数幂运算的推广：
整数
有理数
实数
3：指数的运算性质： 求值与化简（整体思想）
高中数学必修1同步辅导课程——指数函数及其性质
牢记底的限制；
a＞0且 a 1
熟悉单调分类； a 1单增；0 a 1单减； 弄清值域变化； 掌握草图画法。 一撇一捺
高中数学必修1同步辅导课程——指数函数及其性质
典型题例：
例1：比较下列各题中两个值的大小： （1） 0.8 －0 . 1 < 0.8 －0 . 2
1 x 2 8 2 x (1) ( ) 3 3 解：原不等式可化为
3
x 2 8
3
2 x
∵ 函数 y=3x 在R上是增函数 ∴ - x2 + 8 > - 2x
解之得：- 4 < x < 2
∴ 原不等式的解集是（- 4, 2）
高中数学必修1同步辅导课程——指数函数及其性质
(2) a
x 2 2 x
解：原不等式可化为
1 x2 ( ) (a 0且a 1) a
a
x2 2x
a
x2
(1)若a>1,则原不等式等价于 x2 - 2x >－ x2 ∵原不等式ห้องสมุดไป่ตู้解集为（－∞ ，0）∪（1，＋∞ ） (2)若0<a<1,则原不等式等价于 x2 - 2x < －x2 ∴原不等式的解集为（0,1 ）
高中必修人教A版高中数学必修1指数函数(一 完整版课件PPT
0.5 1 2 1.7 3 9
2.5 … 15.6 …
0.6 0.3 0.1 0.06 …
x
… -3 -2 -1
y 2x … 0.13 0.25 0.5
y 1 x … 8
42ຫໍສະໝຸດ 2-0.5 00.71 1
8
1.4 1
7
6
5
4
gx = 0.5x 3
2
1
0.5 1 2 3 … 1.4 2 4 8 …
在 y 2x, y 0.85 x 中指数x是自变量，
底数是一个大于0且不等于1的常量.
我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个 大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.
指数函数的定义：
函数 y a x (a 0且a 1)
叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R。
探究1：为什么要规定a>0,且a 1呢？
-1.5
-1
-0.5
-0.2
0.5
1
③ 1.70，.3 0.93.1 解③ ：根据指数函数的性质，得
1.70.3 1 且
3.2 3
2.8 2.6 2.4 2.2
2 1.8
fx = 1.7x 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2
-2
-1.5
-1
-0.5
-0.2
-0.4
0.5
1
(2)m (2)n 33
1.1m 1.1n
mn mn
⑶比较下列各数的大小：
10 , 0.42.5 ,
2 0.2
1 0.42.5 0
2 0.2
课后作业：
小结：1.指数函数的定义：函数 y a x (a 0且a 1)
指数函数课件(共16张PPT)
问题情境： 一种放射性物质不断变化为其他物质，毎经过一
年剩留的质量约是原来的84%．试写出这种物质的剩 留量随时间变化的函数解析式。
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
我们设最初的质量为1，经过x年，剩留量是y．则 经过1年，y=1×84%=0.84； 经过2年，y=1×0.84×0.84=0.84； 经过3年，y=1×0.84×0.84×0.84=0.84； …… 一般地，经过x年，
y=0.84x.
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
用描点法画出图象（图4-2).
从这个函数的对应值表和图象，可看到
y=2x在（-
,+
）上是增函数，y
1 2
x
在（-,+ ）上是减函数．这两个函数
的任意函数值y都大于0，且它们的图象
都经过点（0,1）.
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
1.02365≈? 1.01365≈? 0.99365≈? 借助计算器，我们可以算得： 1.02365≈1377.41 1.01365≈37.78 0.99365≈0.03 1.02365×1.01365≈52043.22 1.01365×0.99365≈0.96 对比上述计算结果，你能感受到指数运算的“威力”吗？
年剩留的质量约是原来的84%．试写出这种物质的剩 留量随时间变化的函数解析式。
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
我们设最初的质量为1，经过x年，剩留量是y．则 经过1年，y=1×84%=0.84； 经过2年，y=1×0.84×0.84=0.84； 经过3年，y=1×0.84×0.84×0.84=0.84； …… 一般地，经过x年，
y=0.84x.
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
用描点法画出图象（图4-2).
从这个函数的对应值表和图象，可看到
y=2x在（-
,+
）上是增函数，y
1 2
x
在（-,+ ）上是减函数．这两个函数
的任意函数值y都大于0，且它们的图象
都经过点（0,1）.
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
1.02365≈? 1.01365≈? 0.99365≈? 借助计算器，我们可以算得： 1.02365≈1377.41 1.01365≈37.78 0.99365≈0.03 1.02365×1.01365≈52043.22 1.01365×0.99365≈0.96 对比上述计算结果，你能感受到指数运算的“威力”吗？
高中数学必修一(人教版)《4.2.1 指数函数的概念》课件
[答案] B
[方法技巧] 判断一个函数是指数函数的方法
(1)需判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征． (2)看是否具备指数函数解析式所具有的所有特征．只要有一个特征不具备， 则该函数就不是指数函数．
【对点练清】
1．下列函数是指数函数的是
A．y＝π2x C．y＝2x－1
B．y＝(－8)x D．y＝x2
[方法技巧] 实际应用问题中指数函数模型的类型
(1)指数增长模型： 设原有量为N，每次的增长率为p，则经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1 ＋p)x(x∈N)． (2)指数减少模型： 设原有量为N，每次的减少率为p，则经过x次减少，该量减少到y，则y＝N(1 －p)x(x∈N)． (3)指数型函数： 把形如y＝kax(k≠0，a＞0，且a≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用 的函数模型．
[典例1] 给出下列函数：
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；
④y＝x3；⑤y＝(－2)x.
其中，指数函数的个数是
()
A．0
B．1
C．2
D．4
[解析] ①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x ＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量 x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底数为自变量，指数为常数， 故④不是指数函数．⑤中，底数－2<0，不是指数函数．
(2)若指数函数 f(x)的图象经过点(2,9)，求 f(x)的解析式及 f(－1)的值．
[解析] (1)指数函数 y＝f(x)＝ax(a>0，且 a≠1)的图象经过点－2，14，可 得 a－2＝14，解得 a＝2，函数的解析式为 y＝2x，f(4)f(2)＝24·22＝64.
人教A版高中数学必修第一册4.2指数函数【课件】
1 与指数函数有关的函数的定义域、值域问题
与指数函数有关的函数的定义域、值域的求法 (1)函数y=af(x)的定义域与f(x)的定义域相同; (2)求函数y=af(x)的值域,需先确定f(x)的值域,再根据指数函数y=ax的单调性确定函 数y=af(x)的值域; (3)求函数y=f(ax)的定义域,需先确定y=f(u)的定义域,即u的取值范围,亦即ax的取值 范围,由此构造关于x的不等式(组),确定x的取值范围,即y=f(ax)的定义域; (4)求函数y=f(ax)的值域,需先利用函数u=ax的单调性确定其值域,即u的取值范围, 再确定函数y=f(u)的值域,即y=f(ax)的值域.(以上a均满足a>0,且a≠1)
在R上为减函数,∴函数y=
1 3
x2
2
x
3
的单调递增区间
为(-∞,1],单调递减区间为[1,+∞).
(2)设u=
1 2
x
,则y=u2-8u+17(u>0),根据二次函数的性质知,该函数在(0,4]上单调递
减,在[4,+∞)上单调递增.
令
1 2
x
≤4,得x≥-2,∴y=
1 2
2
x
-8
解析
(1)由题意知1-
1 2
x
≥0,
∴
1 2
x
≤1=
1 2
0
,
∴x≥0,∴此函数的定义域为[0,+∞).
∵
1 2
x
≤1,且
1 2
x
>0,
∴0<
1 2
x
≤1,
∴0≤1-
1 2
x
<1,
∴0≤y<1,
4.2 指数函数(教学课件)——高中数学人教A版(2019)必修第一册(共33张PPT)
4.2 指数函数
学习目标
01
理解指数函数的概念和意义
02
理解指数函数的单调性和特殊点
03
体会指数函数模型的重要性
学习重点
指数函数的概念和图象
学习难点
指数函数性质的应用
新课导入
传说西塔发明了国际象棋而使国王十分高兴，他决定要重赏西塔，西塔说："
我不要你的重赏，陛下，只要你在我的棋盘上赏一些麦子就行了。在棋盘的第1
个格子里放1粒，在第2个格子里放2粒，在第3个格子里放4粒，在第4个格子里
放8粒，依此类推，以后每一个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数
的2倍，直到放满第64个格子就行了。区区小数，几粒麦子，这有何难，"来人"，
国王令人如数付给西塔。计数麦粒的工作开始了，第一格内放1粒，第二格内放
2粒第三格内放22粒，还没有到第二十格，一袋麦子已经空了。一袋又一袋的麦
一般地，指数函数的图象和性质如所示.
地景区的游客人次近似于指数增长.显然，从2001年开始，B地景区游客
人次的变化规律以近似描述为：
1年后，游客人次是2001年的1.111倍；
2年后，游客人次是2001年的1.112倍；
3年后，游客人次是2001年的1.113倍；
...x年后，游客人次是2001年的1.11x倍。
如果设经过x年后的游客人次为2001年的y倍，
施后的15年游客人次的图象
2010
观察图象和表格，可以发现，A地景区的游客人次近似于直线上升(线性
增长)，年增加量大致相等(约为10万次)；B地景区的游客人次则是非线
性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律.
从2002年起，将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可
学习目标
01
理解指数函数的概念和意义
02
理解指数函数的单调性和特殊点
03
体会指数函数模型的重要性
学习重点
指数函数的概念和图象
学习难点
指数函数性质的应用
新课导入
传说西塔发明了国际象棋而使国王十分高兴，他决定要重赏西塔，西塔说："
我不要你的重赏，陛下，只要你在我的棋盘上赏一些麦子就行了。在棋盘的第1
个格子里放1粒，在第2个格子里放2粒，在第3个格子里放4粒，在第4个格子里
放8粒，依此类推，以后每一个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数
的2倍，直到放满第64个格子就行了。区区小数，几粒麦子，这有何难，"来人"，
国王令人如数付给西塔。计数麦粒的工作开始了，第一格内放1粒，第二格内放
2粒第三格内放22粒，还没有到第二十格，一袋麦子已经空了。一袋又一袋的麦
一般地，指数函数的图象和性质如所示.
地景区的游客人次近似于指数增长.显然，从2001年开始，B地景区游客
人次的变化规律以近似描述为：
1年后，游客人次是2001年的1.111倍；
2年后，游客人次是2001年的1.112倍；
3年后，游客人次是2001年的1.113倍；
...x年后，游客人次是2001年的1.11x倍。
如果设经过x年后的游客人次为2001年的y倍，
施后的15年游客人次的图象
2010
观察图象和表格，可以发现，A地景区的游客人次近似于直线上升(线性
增长)，年增加量大致相等(约为10万次)；B地景区的游客人次则是非线
性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律.
从2002年起，将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可
数学人教A版必修第一册4.2.1指数函数的概念(17张PPT)
越美国，经济总量成为世界第一，为伟大复兴路奠定良好物质基础？
环节三：问题情境
问题1：随着中国经济增长，人民生活
水平不断提高，旅游成了越来越多家庭
的重要生活方式.由于旅游人数不断增加，
Ａ，Ｂ两地景区自2001年起采取了不同
的应对措施，Ａ地提高了景区门票价格，
而Ｂ地则取消了景区门票．右表为A,B
两地景区2001至2015年的游客人次.
课件
下课！
同学们再见！
授 课 老 师 ：
时 间 ： 2 0 2 4 年 9 月 1 日
2023
课件
下课！
同学们再见！
授 课 老 师 ：
时 间 ： 2 0 2 4 年 9 月 1 日
“一带一路”国际合作高峰论坛
材料： 美国2022年经济总量为25.46万亿美元，位居世界首位，中国经济总量为17.99
万亿美元，排世界第二位，美国比中国多出了7.47万亿美元。2012年至2022年，十年
课后固学
来，美国经济年平均增长率为2.2%，中国经济年平均增长率为6.6%.
思考:假设中国和美国未来的经济都保持这个年平均增长率，请问中国需要多久能够超
650
9
475
48
2007
661
11
528
53
2008
671
10
588
60
2009
681
10
655
67
2010
691
10
729
74
2011
702
11
811
82
2012
711
9
903
92
2013
721
10
环节三：问题情境
问题1：随着中国经济增长，人民生活
水平不断提高，旅游成了越来越多家庭
的重要生活方式.由于旅游人数不断增加，
Ａ，Ｂ两地景区自2001年起采取了不同
的应对措施，Ａ地提高了景区门票价格，
而Ｂ地则取消了景区门票．右表为A,B
两地景区2001至2015年的游客人次.
课件
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2023
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下课！
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“一带一路”国际合作高峰论坛
材料： 美国2022年经济总量为25.46万亿美元，位居世界首位，中国经济总量为17.99
万亿美元，排世界第二位，美国比中国多出了7.47万亿美元。2012年至2022年，十年
课后固学
来，美国经济年平均增长率为2.2%，中国经济年平均增长率为6.6%.
思考:假设中国和美国未来的经济都保持这个年平均增长率，请问中国需要多久能够超
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第二章 基本初等函数(Ⅰ)
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
2．1 指数函数 2．1.1 指数与指数幂的运算
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【课标要求】 1．理解 n 次方根及根式的概念． 2．正确运用根式运算性质进行运算变换． 3．理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化． 4．掌握有理指数幂的运算性质． 【核心扫描】 1．利用根式的运算性质对式子进行化简．(重点) 2．已知条件的求值问题．(难点) 3．根式与分数指数幂的互化．(重点) 4．运用有理指数幂运算性质进行化简、求值．(难点)
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【变式 2】 用分数指数幂表示下列各式：
(1)3
6 a·
－a(a<0)；
(2) 3 ab2 ab3(a，b>0)；
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
题型三 分数指数幂的运算 【例 3】 (12 分)计算下列各式：
审题指导 此类问题的解决先算乘方，再算乘除，且负化正，大 化小，小数化分数．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
题型一 根式性质的应用 【例 1】 计算下列各式的值：
3 (1)
－43；(2)4
－92；(3)6
3－π6；(4)8
x－28；
(5) 3－2 2＋3 1－ 23＋4 1－ 24. [思路探索] 根据根式的性质求解，注意被开方数的正负．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
活页规范训练
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
规律方法 (1)此类问题应熟练应用 ＝n am(a>0，m，n∈N*， 且 n>1)，当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里 向外用分数指数幂写出，然后用性质进行化简． (2)分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写 法，分数指数幂与根式可以相互转化．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【变式 1】 计算下列各式的值：(1)3 －83；(2) －102；
3 (3)
3－π3；(4)3
－83＋4
3－24－3 2－
33；
n (5)
x－πn(x<π，n∈N*)．
解
3 (1)
－83＝－8；
(2) －102＝|－10|＝10；
3 (3)
3－π3＝3－π；
(4)原式＝－8＋2－ 3－(2－ 3)＝－8；
若 a<0，n 为偶数，则n a没有意义．如( －2)2≠－2.
n (2)
an＝a|a，|，nn为为奇偶数数
(n>1，n∈N*)．
①当 n 为奇数时，则 a 是 an 的 n 次方根，即 a＝n an； ②当 n 为偶数时，∵(|a|)n＝an≥0，
则|a|是 an 的 n 次方根， 如4 －24＝2. 即n an＝|a|＝a－，aa，≥a0<，0.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【题后反思】 一般地，进行分数指数幂运算时，化负指数为正 指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，这样便于进行乘 除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【变式3】 计算下列各式：
课前探究学习
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
自学导引 1．根式及相关概念 (1)a 的 n 次方根定义 如果 xn＝a ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n>1，且 n∈N*. (2)a 的 n 次方根的表示
n 的奇偶性 a 的 n 次方根的表示符号 a 的取值范围
n 为奇数
n a
a∈R
n 为偶数
n (
a)n＝a(n>1，n∈N*，当 n 为奇数时，a∈R;
当 n 为偶数时，a≥0)．
①当 n 为奇数时，n a表示 a 的 n 次方根，由 n 次方根的定义，得
n (
a)n＝a；
②当 n 为偶数时，n a表示正数 a 的正的 n 次方根或 0 的 n 次方根．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
课前探究学习
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2．整数指数幂的运算性质对于实数指数幂也同样适用 即对任意实数 r，s，均有 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)(指数相加律)； (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)(指数相乘律)； (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)(指数分配律) 要注意上述运算性质中，底数大于 0 的要求．
n ±a
[0，＋∞)
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(3)根式
式子n a叫做根式，这里 n 叫做 根指数 ，a 叫做 被开方数 ． 2．根式的性质
(1)n 0＝ 0 (n∈N*，且 n>1)；
n (2)(
a)n＝a(n∈N*，且
n>1)；
n (3)
an＝a(n
为大于
1
的奇数)；
n (4)
an＝
解
3 (1)
－43＝3
－64，因为(－4)3＝－64，
所以3 －64＝－4，即3 －43＝－4；
4 (2)
－92＝4
81＝4
34＝3；
6 (3)
3－π6＝|－28＝|x－2|＝x2－－2x
x≥2 x<2 .
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(5)因为 3－2 2＝( 2)2－2 2＋1＝( 2－1)2， 所以原式＝ 1－ 22＋3 1－ 23＋4 1－ 24
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方法技巧 整体代换思想在条件求值中的应用 整体代换思想是指不去破坏条件的结构，将其整体代入进行运 算． 本节中的整体代换主要应用于条件求值，对于条件求值问题， 一定要弄清已知条件与所求的关系，然后采取整体代换的方法 求值．
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[思路分析] 从整体上寻求所求式与已知条件的关系，然后整体 代入求值。
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得 a＋a－1＋2＝5，即 a＋a－1＝3. (2)由 a＋a－1＝3.两边平方， 得 a2＋a－2＋2＝9， ∴a2＋a－2＝7. (3)a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2－1＋a－2)＝3×(7－1)＝18.
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方法点评 本题是已知代数式的值求其他代数式的值，通常又称 为“知值求值”，解决此类问题的步骤是： ①审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的特点； ②化简：化简已知条件与所求代数式； ③求值：把条件代入求值．
n (5)
x－πn＝πx－－πxnn为 为偶 奇数 数， ，nn∈ ∈NN**.，
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题型二 根式与分数指数幂的互化 【例 2】 将下列根式化成分数指数幂的形式．
(2) 1 ；
3
5 x
x22
[思路探索] 根据分数指数幂的意义以及运算性质转化．
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＝|1－ 2|＋(1－ 2)＋|1－ 2| ＝ 2－1＋1－ 2＋ 2－1＝ 2－1. 规律方法 利用根式的性质解题，关键是在理解的基础上熟记根
式的意义与性质，特别要注意在n an中，n 是偶数，且 a<0 的情况．同 时对于根式的运算还要注意变式，整体代换，以及平方差和完全 平方公式的运用，做到化繁为简，必要时进行讨论．
幂
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4．有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ ar＋s (a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝ arbr (a>0，b>0，r∈Q)．
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名师点睛
1．关于根式(n a)n 与n an的理解
|a|
＝a－aa≥a0<0
(n 为大于 1 的偶数)．
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3．分数指数幂的意义
正分数 分 指数幂
规定：amn ＝n am(a>0，m，n∈N*，且 n>1)
数 指
负分数 指数幂
规定：a－mn ＝
＝ 1 (a>0，m，n∈N*，且 n>1) n am
数 性质 0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂没有意义
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2．1 指数函数 2．1.1 指数与指数幂的运算
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【课标要求】 1．理解 n 次方根及根式的概念． 2．正确运用根式运算性质进行运算变换． 3．理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化． 4．掌握有理指数幂的运算性质． 【核心扫描】 1．利用根式的运算性质对式子进行化简．(重点) 2．已知条件的求值问题．(难点) 3．根式与分数指数幂的互化．(重点) 4．运用有理指数幂运算性质进行化简、求值．(难点)
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【变式 2】 用分数指数幂表示下列各式：
(1)3
6 a·
－a(a<0)；
(2) 3 ab2 ab3(a，b>0)；
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题型三 分数指数幂的运算 【例 3】 (12 分)计算下列各式：
审题指导 此类问题的解决先算乘方，再算乘除，且负化正，大 化小，小数化分数．
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题型一 根式性质的应用 【例 1】 计算下列各式的值：
3 (1)
－43；(2)4
－92；(3)6
3－π6；(4)8
x－28；
(5) 3－2 2＋3 1－ 23＋4 1－ 24. [思路探索] 根据根式的性质求解，注意被开方数的正负．
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规律方法 (1)此类问题应熟练应用 ＝n am(a>0，m，n∈N*， 且 n>1)，当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里 向外用分数指数幂写出，然后用性质进行化简． (2)分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写 法，分数指数幂与根式可以相互转化．
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【变式 1】 计算下列各式的值：(1)3 －83；(2) －102；
3 (3)
3－π3；(4)3
－83＋4
3－24－3 2－
33；
n (5)
x－πn(x<π，n∈N*)．
解
3 (1)
－83＝－8；
(2) －102＝|－10|＝10；
3 (3)
3－π3＝3－π；
(4)原式＝－8＋2－ 3－(2－ 3)＝－8；
若 a<0，n 为偶数，则n a没有意义．如( －2)2≠－2.
n (2)
an＝a|a，|，nn为为奇偶数数
(n>1，n∈N*)．
①当 n 为奇数时，则 a 是 an 的 n 次方根，即 a＝n an； ②当 n 为偶数时，∵(|a|)n＝an≥0，
则|a|是 an 的 n 次方根， 如4 －24＝2. 即n an＝|a|＝a－，aa，≥a0<，0.
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【题后反思】 一般地，进行分数指数幂运算时，化负指数为正 指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，这样便于进行乘 除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的．
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【变式3】 计算下列各式：
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自学导引 1．根式及相关概念 (1)a 的 n 次方根定义 如果 xn＝a ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n>1，且 n∈N*. (2)a 的 n 次方根的表示
n 的奇偶性 a 的 n 次方根的表示符号 a 的取值范围
n 为奇数
n a
a∈R
n 为偶数
n (
a)n＝a(n>1，n∈N*，当 n 为奇数时，a∈R;
当 n 为偶数时，a≥0)．
①当 n 为奇数时，n a表示 a 的 n 次方根，由 n 次方根的定义，得
n (
a)n＝a；
②当 n 为偶数时，n a表示正数 a 的正的 n 次方根或 0 的 n 次方根．
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2．整数指数幂的运算性质对于实数指数幂也同样适用 即对任意实数 r，s，均有 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)(指数相加律)； (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)(指数相乘律)； (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)(指数分配律) 要注意上述运算性质中，底数大于 0 的要求．
n ±a
[0，＋∞)
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(3)根式
式子n a叫做根式，这里 n 叫做 根指数 ，a 叫做 被开方数 ． 2．根式的性质
(1)n 0＝ 0 (n∈N*，且 n>1)；
n (2)(
a)n＝a(n∈N*，且
n>1)；
n (3)
an＝a(n
为大于
1
的奇数)；
n (4)
an＝
解
3 (1)
－43＝3
－64，因为(－4)3＝－64，
所以3 －64＝－4，即3 －43＝－4；
4 (2)
－92＝4
81＝4
34＝3；
6 (3)
3－π6＝|－28＝|x－2|＝x2－－2x
x≥2 x<2 .
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(5)因为 3－2 2＝( 2)2－2 2＋1＝( 2－1)2， 所以原式＝ 1－ 22＋3 1－ 23＋4 1－ 24
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方法技巧 整体代换思想在条件求值中的应用 整体代换思想是指不去破坏条件的结构，将其整体代入进行运 算． 本节中的整体代换主要应用于条件求值，对于条件求值问题， 一定要弄清已知条件与所求的关系，然后采取整体代换的方法 求值．
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得 a＋a－1＋2＝5，即 a＋a－1＝3. (2)由 a＋a－1＝3.两边平方， 得 a2＋a－2＋2＝9， ∴a2＋a－2＝7. (3)a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2－1＋a－2)＝3×(7－1)＝18.
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题型二 根式与分数指数幂的互化 【例 2】 将下列根式化成分数指数幂的形式．
(2) 1 ；
3
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＝|1－ 2|＋(1－ 2)＋|1－ 2| ＝ 2－1＋1－ 2＋ 2－1＝ 2－1. 规律方法 利用根式的性质解题，关键是在理解的基础上熟记根
式的意义与性质，特别要注意在n an中，n 是偶数，且 a<0 的情况．同 时对于根式的运算还要注意变式，整体代换，以及平方差和完全 平方公式的运用，做到化繁为简，必要时进行讨论．
幂
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4．有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ ar＋s (a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝ arbr (a>0，b>0，r∈Q)．
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1．关于根式(n a)n 与n an的理解
|a|
＝a－aa≥a0<0
(n 为大于 1 的偶数)．
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3．分数指数幂的意义
正分数 分 指数幂
规定：amn ＝n am(a>0，m，n∈N*，且 n>1)
数 指
负分数 指数幂
规定：a－mn ＝
＝ 1 (a>0，m，n∈N*，且 n>1) n am
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