加权残值法在煤矿输送机托辊轴挠度计算方面的应用研究李慎旺

煤矿机械

Coal Mine Machinery

Vol.34No.01Jan.2013

第34卷第01期2013年01月

m e 1d v 21d t +v 2

212d m e 1d s =F e 1

（22）4结语本文针对不同的性能要求，对油缸直推式举升机构进行了尺度综合，建立了机构运动学和动力学数学模型。运动分析和动力分析的结果表明：

（1）用相对尺度来表示机构间的长度关系，本质地描述了机构的形状特征。因为不论构件的实际长度如何变化，所得的机构都是几何相似的机构。所以把油缸初始位置的长度作为单位长度，则其他杆件的长度均以相对此长度的相对尺度来表示；

（2）对于按给定油缸尺度的设计来说，为了充分发挥油缸的能力，使机构省力，还应考虑摇杆长度对作用力臂的影响。上述结果表明，使摇杆长度和机架长度相等或接近相等的机构，最为省力；

（3）上、下限位置油缸传动力臂的大小是呈相反的方向变化，下限位置传动力臂最大的机构，其

上限位置传动力臂为最小，显然，这便于调整设计

方案。

参考文献：

［1］李利君.摆动缸式举升机构的优化设计［J ］.机械设计与研究,1993

（3）：8－10.

［2］李鹏南,李爱军，等.矿用自卸汽车举升机构优化设计［J ］.矿山机

械,2002（2）：27－29.

［3］樊炳辉,荣学文，等.喷嘴摆动液压驱动机构的优化设计［J ］.中国

机械工程,1998（9）：55－56.

［4］韩旭东.牙轮钻架双作用摆动油缸起落机构设计［J ］.青岛建筑

工程学院学报,1999（1）：85－91.

作者简介：郑文玉（1963－），女，四川达州人，副教授，1985年毕业于山西矿业学院，工学学士.

责任编辑：王海英收稿日期：2012－09－10

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引言

工程问题，一般先建立物理模型，然后根据物理模型建立数学模型，数学模型包括微分方程的建立以及边界条件与初始条件的提出等2个部分，当数学模型建立起来后，就要求解某一边值问题的微分方程。这个解有精确解，也有近似解，加权残值法不是严格地求微分方程的解析解，加权残值法是一种定解问题的近似求解方法，即直接从微分方程得

出问题的近似解。此方法具有原理简单、方法简便、计算工作量小的优点，因此具有很强的实用价值。

带式输送机的托辊、滚筒都可近似看成受均匀载荷作用的轴，可用加权残值法计算其挠度，这为受均匀载荷轴挠度计算提供了方法和依据。

1加权残值法的基本概念

具体的工程定解问题：Lu －f=0（在域V 内）Gu －g =0（在边界S 上），这里，u 为待求的未知函数，L 和

加权残值法在煤矿输送机托辊轴挠度计算方面的

应用研究

李慎旺

（河北科技大学唐山分院，河北唐山063000）

摘要：介绍了加权残值法的基本概念，根据具体结构建立了物理模型，对物理模型进行分析

建立了数学模型。运用加权残值法的最小二乘法和子域法对数学模型进行了求解，用Pro/E 软件进行了仿真。这为托辊轴挠度计算提供了方法和依据。从而可达到降低生产成本、缩短研制周期、提高质量等目的。

关键词：加权残值法；最小二乘法；子域法；挠度；建模；仿真中图分类号：TH132.41文献标志码：A 文章编号：1003－0794（2013）01－0036－03

Application Study of Method of Weighted Residuals for Calculation of

Axis of Idler for Mine Conveyor

LI Shen-wang

(Tangshan Branch ，Hebei University of Science and Technology ，Tangshan 063000，China)

Abstract:The method of weighted residuals is introduced in this paper.Physical model type is built up according to the concrete structure,and the mathematical model is built up by analyzing physical model.The least square method and subdomain method of method of weighted residuals are applied in calculating mathematical model.Simulation is carried on in the Pro/Engineer software,and this provided methods for the calculation of deflection of axis of idler.This can attain to the purposes such as lower production cost,shorter developing period and higher quality.

Key words:method of weighted residuals;least square method;subdomain method;deflection;modeling;simulation

G 分别为控制方程（在域V 内）和边界条件（在边界

S 上）的微分算子。f 和g 分别是域内和边界上的已

知项。一般地，定解问题的精确解难以求得，从而求助于近似解，假设一个待求函数u 的试函数

u ~

=N

i =1

ΣC i v i

式中

C i ———

待定系数；v i ———

试函数项。将式（1）代入Lu －f =0或Gu －g =0中，一般不会精确满足，于是就出现了内部残值R V 和边界残值R S ，即

R V ＝L u ~

－f ≠0R S ＝G u ~

－g ≠0

为了消除残值，选取内部权函数W V 和边界权函数W S ，使得残值R V 和R S 分别与相应权函数的乘积在域内和边界上的积分为零，即

V 乙

R V W V d V =0

S

乙R S

W S

d S =0

据此，就可以得到关于待定系数C i （i =1，2，…N ）的代数方程组，求得了C i 后，即确定了近似解。按试函数是否满足控制方程和边界条件，将加权残值法分为3类：内部法、边界法、混合法，据权函数的形式分类，主要有以下5种方法：最小二乘法、配点法、子域法、伽辽金法、矩量法。

（1）最小二乘法的基本思想

最小二乘法的基本思想是选取一个试函数，使得在域V 内的残值平方积分J （C i ）＝V

乙

R 2d V 最小。为

使J （C i ）最小，取极值条件

坠J （C i ）i

=0（i =1，2，…N ）

即可得到最小二乘法的基本方程

V

乙R 坠R 坠C

i

d V ＝0（i =1，2，…N ）

式（2）将给出N 个代数方程，用于求解N 个待定系数C i （i =1，2，…N ）。这个方法一般计算精度高，但运算较为繁琐。

（2）子域法的基本思想

如果将待求问题的整个区域V 按任意方式划分为N 个子域V i （i =1，2，…N ），并定义此时的权函数

W i ＝

1（在V i 内）0（不在V i 内i

）

于是在每个子域V i 内可列出消除残值的方程为

V i

乙

R i d V =0（i =1，2，…N ）

这里，N 个子域共有N 个方程，联立求解即得待定系数C i （i =1，2，…N ）。

需要说明的是，每个子域的试函数的选取可以相同，也可以不同。若各子域的试函数互不相同时，则必须考虑各子域间的连接条件。

2建立输送机托辊轴的物理模型和数学模型

如图1为带式输送机，其中图1中的带式输送机的托辊、滚筒可近似看成受均匀载荷作用的轴。图2为托辊受力的物理模型，根据物理模型应用弹性理论中的最小位能原理建立数学模型，考虑受均匀分布载荷强度为q 的等截面托辊轴，应变能

U=

乙乙乙1σx 2d x d y d z

因σx ＝M y I ，M =EI d 2

w d x

2

，这里的w 是挠度，I 是梁的横截面A 对z 轴的惯矩（图2上未画出z 轴，它

垂直于纸面），故应变能

U=1L

0乙EI d 2w d x 2

L L

2

d x =EI

L 0

乙d 2w d x 2

L L

2

d x 图1带式输送机图2托辊轴受力物理模型

由外载荷所作的功

W＝

L

乙qw d x

故系统的总位能

J＝U－W＝L

0乙

［EI 2d 2w d x 2

L L

2－qw ］d x

它对应于虚位移δw 的变分δJ =δ（U－W ）＝

L

0乙

（EI d 4w d x 4-q ）δw d x +［EI d 2w d x 2d δw d x －EI d 3

w d x

3δw ］x=L 取δJ ＝0，由于δw 的任意性（但在两端为零）,故

得托辊挠度的数学模型方程为

EI d 4w d x 4

-q =0（0

3托辊轴挠度的加权残值法计算

由托辊轴挠度的数学模型方程EI d 4

w -q =0，边界条件为w|x =0=0，w|x=L =0，选取一阶近似的试函数为

w ~1=C sin πx ，二阶近似的试函数为w ~

2=C 1sin πx +

C 2sin 3πx L

，将一阶、二阶近似试函数代入以上挠曲

线微分方程得到内部残值

R V1=EIC

π

L L L 4sin πx -q R V 2

=EI πL L L 4

C 1

sin πx L +δ1

C 2

sin 3πx L

L L -q x=01

x

y

L

q

2

1.滚筒

2.托辊