有关有理数与无理数的证明

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有理数与无理数的门当户对原理(一)

有理数与无理数的门当户对原理(一)有理数与无理数的门当户对原理1. 引言•有理数与无理数是数学中常见的两种数，它们在数轴上存在着明显的差异。

•本文将从浅入深，逐步解释有理数与无理数的概念及其门当户对原理。

2. 有理数与无理数的定义•有理数是可以表示为两个整数的比值的数，例如: 1/2，3/4等。

•无理数是无法表示为两个整数比值的数，例如: π，√2等。

3. 有理数的门当户对原理•有理数之间的运算结果仍然是有理数，例如: 1/4 + 5/6 = 11/12。

•有理数与有理数的运算结果是有理数，例如: 3/4 × 2/3 = 1/2。

•有理数与有理数的运算结果有时是无理数，例如: √2 × √2 = 2。

4. 无理数的门当户对原理•无理数之间的运算结果一般仍然是无理数，例如: √2 + √3 = √2 + √3。

•无理数与无理数的运算结果有时是有理数，例如: √2 × √2 = 2。

•无理数与无理数的运算结果有时是无理数，例如: √2 × √3 = √6。

5. 有理数与无理数的门当户对原理实例解析•设有理数a = 3/4，无理数b = √2。

•当a与b进行加法运算时，结果为a + b = 3/4 + √2。

由定义可知，此结果是无理数。

•当a与b进行乘法运算时，结果为a × b = 3/4 × √2。

由定义可知，此结果是无理数。

6. 结论•有理数与有理数之间的运算结果，包括加法、乘法等，仍然保持在有理数范围内。

•有理数与无理数之间的运算结果，具有一定的不确定性，有可能是有理数，也有可能是无理数。

•无理数与无理数之间的运算结果，也具有一定的不确定性，有时是有理数，有时是无理数。

7. 总结•有理数与无理数的门当户对原理揭示了它们之间的运算特性。

•在实际问题中，我们需要根据具体的运算式及问题背景，判断运算结果的类型。

以上便是关于有理数与无理数的门当户对原理的相关解释。

证明π是无理数的简单方法

证明π是无理数的简单方法
证明π是无理数的简单方法
引言
π是数学中一个非常重要的常数，它是圆周长与直径的比值，也被称为圆周率。

π的精确值无法用有限个数字表示，因此它被认为是一个无理数。

本文将介绍一种简单的方法来证明π是无理数。

证明过程
1. 假设π是有理数
假设π可以表示为两个整数m和n的比值，即：
π = m/n
其中m和n互质。

2. 推导出矛盾
根据π的定义可知：
C = πd = 2rπ
其中C为圆周长，d为直径，r为半径。

因此有：
C = 2rπ = 2nr
又因为m和n互质，所以m和n必定至少有一个是奇数。

假设m是奇数，则可将上式改写成：
C = 2nr = m/n * d
移项得到：
d = 2nr/m * n
由于m和n互质，所以2nr/m必定不是整数。

但d是整数，因此n 必定包含一个大于1的因子p。

又因为p能够整除n和d，所以p也能够整除r。

但这与r和d互质相矛盾。

3. 得出结论
由于假设π是有理数推导出了矛盾，因此π必定是无理数。

结论
综上所述，我们通过假设π是有理数并推导出矛盾的方法证明了π是
无理数。

这个简单的证明方法已经被人们广泛应用于教学和科研领域。

证明的格式 (2)

证明的格式证明是数学推理的基础，它用于表达和验证某种数学命题的正确性。

在证明中，我们通过逻辑推理和数学知识来展示一个命题为真的理由。

在数学领域中，有许多不同的证明方法和格式，本文将介绍一些常见的证明格式和如何使用Markdown 文本格式来书写证明。

1. 直接证明直接证明是最常见的证明方法，它直接展示了一个命题的证据。

在直接证明中，我们通常假设前提条件为真，并通过一系列逻辑推理的步骤来得出结论。

以下是一个简单的直接证明的例子：定理：若a和b都是偶数，则ab也是偶数。

证明：假设a和b都是偶数，则可以写成a=2m和b=2n 的形式，其中m和n是整数。

那么ab = (2m)(2n) = 4mn，由于4、m和n都是整数，所以mn也是整数。

因此，ab是偶数。

证毕。

在Markdown文本中，我们可以使用以下格式来书写直接证明：**定理：** 若a和b都是偶数，则ab也是偶数。

**证明：** 假设a和b都是偶数，则可以写成a=2m和b=2n的形式，其中m和n是整数。

那么ab = (2m)(2n) = 4mn，由于4、m和n都是整数，所以mn也是整数。

因此，ab是偶数。

证毕。

2. 间接证明间接证明是一种常见的证明方法，它通过推导出一个矛盾或错误的结论来证明一个命题的真实性。

在间接证明中，我们通常假设反命题为真，并使用逻辑推理的步骤来推出矛盾的结论。

以下是一个简单的间接证明的例子：定理：开方2是无理数。

证明：假设开方2是有理数，可以写成开方2 = p/q 的形式，其中p和q是互质的整数。

那么2 = (p/q)^2 = p2/q2。

将等式两边乘以q2，得到2q2 = p2。

因此，p2是偶数。

由于整数的平方只能是偶数或奇数，因此p也是偶数，即p = 2k（其中k是整数）。

将这个结果代入等式中，得到2q^2 = (2k)^2 = 4k2。

因此，将等式两边除以2，得到q2 = 2k2。

这意味着q2也是偶数，从而q也是偶数。

证明：无理数比有理数多。

证明：无理数比有理数多证明之前需要清楚以下几个概念和定义。

1、有理数包含整数和分数，任意一个有理数可以化成a/b，a、b为整数且b不等于02、无理数是无限不循环小数，是一切不属于有理数的实数。

3.证明两个数集一样多可以用一一对应的方法。

可数集合是指能和自然数一一对应的集合。

例如偶数2 4 6 8 10……自然数1 2 3 4 5 6 7 8……任意一个自然数n，都可以有偶数2n与之对应。

所以整数与偶数一样多。

偶数集是一个可数集合。

--------------------------------------------------------------------------------------- 首先证明，任意两个可数集的合集仍为可数集。

设集合A={a1,a2,a3...},B={b1,b2,b3...}且A,B集合均为可数集合也就是A: a1 a2 a3 ... B: b1 b2 b3 ...分别与自然数相对应1 2 3 ... 1 2 3 ...则AB合集{a1,b1,a2,b2,a3,b3...} 可与自然数一一对应a1 b1 a2 b2 a3 b3 ...1 2 3 4 5 6 ...所以两个可数集的合集是可数集。

下面证明有理数是可数集，也就是有理数和自然数一样多。

有理数可以化成a/b,a,b皆为整数且b不为0,将它化成集合C=(a,b)因为a为整数，b为不为0的整数，所以a、b都是可数的。

设a=1,则可以得到新的集合Ca={(1,1),(1,-1),(1,2),(1,-2)...}因为b是可数的，所以Ca集合也是可数的。

设b=1,得到集合Cb={(1,1),(-1,1),(2,1),(-2,1)...}同上，Cb也是可数集合。

根据前一证明，两个可数集的合集可数，所以Ca与Cb的合集C为可数集合，即有理数为可数集，所以有理数和自然数一样多。

然后证明，实数集是不可数的。

设一个无理数H=0.abcdefgh.... ,a,b,c,d,e,f,g,h..是1-8间的正整数。

有理数与无理数辨析

有理数与无理数辨析四川省邻水县九龙中学任贤德 2006.8在初中，我们已学过实数的有关概念，实数包括有理数和无理数。

很多同学对于有理数和无理数概念的理解较模糊，对学习造成一定影响，甚至到了高中，也存在这种现象。

为此，有必要对此进行辨析。

有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，如：218、18.25、1..6等。

我们可将整数、有限小数的小数位后面添加0，把它看成是以0为循环节的无限循环小数，如：218=218..0 ，18.25=18.25.0，在此观点下，有理数就可看成是无限循环小数。

而有理数又可化为分数，整数可看成是分母为1的分数，如：218=218/1，有限小数化成分数，先去掉小数点得到的数作为分子，若小数点后的位数有n 位,则分母就为n 10，如18.25=1825/100=73/4，无限循环小数可化为分数（其化法见后），如：1..6=4/3，所以有理数都可表示成分数，即表示成q/p(其中p 、q 是整数，且p 、q 互质)。

分数化小数时，若除不尽，则得到的小数一定是无限循环小数，因此分数与小数可以互化。

与此相对，无理数就是无限不循环的小数，如：2、3、π=3.1415926……、e=2.71828……、0.101001000……。

有人说无理数就是开方开不尽的数，这种理解是片面的，当然开方开不尽的数是无理数，但如π=3.1415926……、e=2.71828……并不是因为开方开不尽而得到的数，又如0.101001000……，1的后面依次多一个0，也不是因为开方开不尽而得到的数，所以前面对于无理数的理解是错误的，必须纠正。

下面再来谈谈有关的几个问题：1．（混）循环小数化为分数（此法证明须用到无穷递缩等比数列，证明较繁，故略去）（1）无限循环小数化分数无限循环小数化分数时，其分母为9···90···0,其中9的个数为一个循环节的数字个数，0的个数为循环节前、小数点后0的个数，其分子为一个循环节的数字。

有关有理数与无理数的证明

有关有理数与无理数的证明狄利克雷函数（Dirichlet Function），在实数上处处不连续的证明(2006年10月25日修改版)声明：前天下午在与曲建勋的讨论中找到其证明方式本证明过程，最关键的两个步骤，由我和曲建勋分别提出，在此对曲建勋表示感谢，并郑重声明，并非我一人完成此证明√2代表根号2证明过程我写得很啰嗦，尤其是前面三个命题，可能有些人会认为太显而易见了，但为了严谨我还是写出来了，高人可以略过其证明过程前提：1、任何有理数均可写成既约分数p/q (p,q∈Z 且q≠0)2、任何无理数据不可写成这样的形式，且均可写成无限不循环小数3、任何实数必定属于有理数或无理数中的一类，且不能同时属于两类数命题1：任何有理数与无理数相加结果都是无理数证明：假设命题不成立设p/q (p,q∈Z 且q≠0)为任意有理数X为任意无理数则p/q+X=m/n (m,n∈Z 且n≠0)X=m/n-p/q=(mq-np)/(n*q)则根据前提1，X为有理数，与假设矛盾故假设不成立，命题1成立命题2：任何无理数除以非零有理数结果都是无理数证明：假设命题不成立设p/q (p,q∈Z 且q≠0,p≠0)为任意非零有理数X为任意无理数则X/(p/q)=m/n (m,n∈Z 且n≠0)X=(p*m)/(q*n)则根据前提1，X为有理数，与假设矛盾故假设不成立，命题2成立命题3：√2为无理数证明：假设命题不成立则√2为有理数，设√2=p/q (p,q∈Z 且q≠0)2=(p*p)/(q*q)则p必须是偶数∵p/q是既约分数∴q是奇数∴设p=2n q=2m+1(m,n∈Z)∵2*q*q=p*p∴2*(2m+1)*(2m+1)=2n*2n ∴(2m+1)*(2m+1)=2n*n 而m,n∈Z时本式不能成立故假设不成立，命题3成立命题4：任何有限小数都是有理数证明：显而易见~~下面进入本证明的关键部分首先介绍狄利克雷函数（Dirichlet Function）f(x)= 1(x为有理数)0(x为无理数)命题5：任意两个有理数之间一定存在至少一个无理数证明：设p/q、m/n (p,q,m,n∈Z 且q≠0,n≠0)为任意两个有理数，不妨设p/q ＜m/n则m/n-p/q=(mq-np)/(nq)为有理数设Q为正有理数，且满足√2＜Q(mq-np)/(nq)则0＜√2/Q＜(mq-np)/(nq)p/q＜√2/Q+p/q＜(mq-np)/(nq)+p/q=m/n根据命题1、2、3,√2/Q+p/q为无理数∴命题5成立命题6：任意两个无理数之间一定存在至少一个有理数证明：设X,Y为任意两个无理数，且X＜Y将X,Y写成小数形式，从最高位开始比较两个数直到找到一位X,Y不一样的位数，那一位上的数必然是X＜Y 去掉Y在那一位以后的所有位，得到一个有限小数，记为Z 显而易见X＜Z＜YZ为有理数，命题6成立根据命题5、6，任意有理数都不连续，任意无理数也都不连续，根据前提3，则狄利克雷函数在全体实数上处处不连续。

谈谈有理数与无理数

谈谈有理数与无理数实数通常分为有理数和无理数两类。

这两类数的性质，对于九年义务教育阶段的初中学生来说，知道得较少。

本文试图对初中数学中关于有理数和无理数的知识作一个梳理和拓展，以此帮助初中读者加深对实数的认识。

关于有理数，我们知道得较多，其特征有：1、由于实数实际上就是小数，因此有理数是指那些有限小数和无限循环小数；2、每个有理数都可以写成分数的形式，即nm ，其中m 和n 都是整数，且n ≠0。

利用这一特征很容易证明：任意两个有理数进行加、减、乘、除（除数不为0）四则运算所得的结果仍是有理数。

我们不加证明地给出关于有理数的一条结论：当有理数nm 的分母n 能分解质因数为2α³5β（其中α、β为自然数）时，有理数nm 能化成有限小数；否则，化为无限循环小数。

（关于有理数与小数的互化问题，有兴趣的同学请可阅读相关书籍，不再赘述）无理数是指那些无限不循环小数。

大家熟悉的无理数很多，2、e 、π等等都是。

与有理数相比，无理数不具备那样好的性质。

譬如，两个无理数的四则运算结果不一定是无理数，象π-π=0，22=1。

根据有理数和无理数之间的相互关系，可以得到如下两条性质，它们在处理与有理数无理数有关的问题时，起着基本的作用：1、任何有理数≠任何无理数；2、设是a 有理数，b 是无理数，则a+b ，a-b ，a ²b （a ≠0），a/b （a ≠0）都是无理数。

下面着重介绍实数无理性的判定方法。

在现行初中数学范围内所遇到的无理数主要有这样几种类型：与开方运算有关，如2，311；与对数值有关，如log 23；与三角函数值有关，如cos20°，sin1°；此外还有象e （自然对数的底）、π（圆周率）这样的特殊值。

判定实数无理性的方法很多，但都有一个共同的特点，即采用反证法的技巧。

原因有二：第一、无理数的概念通常以“不是有理数的实数称为无理数”这一否定方式给出的；第二、当反设要判定的实数α不是无理数时，由有理数和无理数的关系，α就是有理数，故α=nm （n ≠0），于是就得到一个具体的等式，这为我们导出矛盾提供了一个直观的工具。

什么是无理数及其定义是什么

什么是无理数及其定义是什么什么是无理数及其定义是什么无理数最早是由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现，那么什么是无理数?下面店铺就带大家一起来详细了解下吧。

无理数基本定义无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。

若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。

常见的无理数有大部分的平方根、π和e(其中后两者同时为超越数)等。

无理数的另一特征是无限的连分数表达式。

传说中，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟-子希伯斯发现。

他以几何方法证明无法用整数及分数表示。

而毕达哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信无理数的存在。

但是他始终无法证明不是无理数，后来希伯斯将无理数透露给外人——此知识外泄一事触犯学派章程——因而被处死，其罪名等同于“渎神”。

无理数是无限不循环小数和开方开不尽的数. 如圆周率、√2(根号2)等。

有理数是所有的分数，整数，它们都可以化成有限小数，或无限循环小数。

如22/7等。

实数(real number)分为有理数和无理数(irrational number)。

有理数可分为整数(正整数、0、负整数)和分数(正分数、负分数) 也可分为正有理数，0，负有理数。

除了无限不循环小数以外的数统称有理数。

1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成整数、小数或无限循环小数，比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333……而无理数只能写成无限不循环小数，比如√2=1.414213562…………根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数。

2、无理数不能写成两整数之比。

利用有理数和无理数的主要区别，可以证明√2是无理数。

证明：假设√2不是无理数，而是有理数。

既然√2是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式：√2=p/q再假设p和q没有公因数可以约，所以可以认为p/q 为最简分数,即最简分数形式。

把√2=p/q 两边平方得 2=(p^2)/(q^2)即 2(q^2)=p^2由于2q^2是偶数，p 必定为偶数，设p=2m由 2(q^2)=4(m^2)得 q^2=2m^2同理q必然也为偶数，设q=2n既然p和q都是偶数，他们必定有公因数2，这与前面假设p/q 是最简分数矛盾。

2.2有理数与无理数

0，2008, 95%
}无理数集合{ }
有理数集合{
正数集合{
整数集合{ 负整数集合{
} 负数集合{
}分数集合{ }负分数集合{
}
} }
例2.判断正误，若不对，请说明理由，并加以改正。
1.有理数可分为正有理数和负有理数两类(
3.有理数都是有限小数 4.有限小数都是有理数 5.无理数都是无限小数 6.无限小数都是无理数 ( ( ( ( ) ) ) ) )
)
2.无理数是无限不循环小数，有理数是无限循环小数( )
7.分数中有有理数，也有无理数。(
8.任何分数一定是有理数.（）
3.下面两个圈中分别表示正数集合和整数集合，请在每个圈中填6个数，其中3个数既是正数又是整数，这3个么数的集合吗？
正数集
整数集
a
a
a
a
设大正方形的边长为a，那么，a是有理数吗？
问题1：a是一个整数吗？
问题2：a是1与2之间的一个分数吗?(也就是1与2之间的分数的平方会等于2吗?)
问题2：a是1与2之间的一个分数吗?(也就是1与2之间的分数的平方会等于2吗?)
3 2 3 2 9
1 . 5 1 . 5 2 . 25 1 . 4 1 . 4 1 . 96 1 .4 a 1 .5
无理数与有理数的区别

1.无理数是无限不循环小数， 2有理数（包括整数和分数） 3任何一个有理数都可以化成分数形式，而无理数则不能
例1、把下列各数填入相应的集合内：
3 1 2 ,

3

,
0 0.5， -3.14159， . 1 8 , 0.12121121112…，
22 7 ,

判断无理数的四个方法

判断无理数的四个方法无理数是指不能表示为两个整数的比值的数，它的小数部分无限不循环。

在数学中，我们经常需要判断一个数是否为无理数。

下面将介绍四种常见的方法来判断一个数是否为无理数。

方法一：反证法反证法是一种常用的数学证明方法，用于证明某个命题的否定。

对于判断一个数是否为无理数，我们可以采用反证法。

假设一个数是有理数，即可以表示为两个整数的比值。

然后我们推导出一个矛盾的结论，即这个数同时也可以表示为两个互质的整数的比值。

因为有理数可以化简为最简形式，所以这个假设与无理数的定义相矛盾，从而证明了这个数是无理数。

方法二：连分数展开法连分数是一种将一个实数表示为一个无限连分数的方法。

对于一个无理数来说，它的连分数展开是无限不循环的。

因此，我们可以通过计算连分数展开的有限项来判断一个数是否为无理数。

如果连分数的展开具有循环结构，那么这个数就是有理数；如果连分数的展开没有循环结构，那么这个数就是无理数。

方法三：代数证明法有些无理数可以通过代数方程的解来表示，这种无理数称为代数无理数。

对于一些特定的代数无理数，我们可以通过代数运算和方程的性质来判断它们是否为无理数。

例如，根号2是一个代数无理数，我们可以通过假设根号2是有理数，然后推导出一个矛盾的结论，从而证明根号2是无理数。

方法四：几何证明法几何证明法是通过几何图形的性质来判断一个数是否为无理数。

例如，我们可以通过构造正方形的对角线长度为1的等腰直角三角形来证明根号2是无理数。

假设根号2是有理数，那么我们可以构造出一个边长为1的正方形，然后根据勾股定理可以得到对角线的长度为根号2。

但是根号2是无理数，所以我们得出了一个矛盾的结论，从而证明根号2是无理数。

通过以上四种方法，我们可以判断一个数是否为无理数。

无理数的研究在数学中有着重要的地位，它不仅与代数、几何等数学分支密切相关，还在物理、工程等应用领域有着广泛的应用。

因此，对于无理数的判断方法的研究和应用具有重要的意义。

根号3是无理数的证明过程

根号3是无理数的证明过程根号3是无理数的证明过程在数学中，我们经常遇到有理数和无理数的概念。

有理数是可以用两个整数的比值表示的数，例如1/2、3/4等等，而无理数则不能用有限的小数或者比值来表示。

本文将就根号3是否为无理数进行证明，让我们一起来看看吧。

首先，我们需要先了解一个重要的数学定理，即平方根的存在性定理。

该定理指出，任何非负实数都存在一个平方等于它自己的实数，这个实数就是平方根。

基于该定理，我们可以断言，根号3存在，且大于0。

假设根号3是一个有理数，即可以用两个整数的比值来表示。

我们可以将根号3表示为a/b（a、b为整数），并且已将其化简至最简形式。

我们可以假设a和b之间没有公因数，即a和b互质。

根据我们的假设，可得出以下等式：根号3 = a/b。

我们可以对该等式进行平方变换，得到：3 = (a^2)/(b^2)。

同时，我们还可以得知，a和b不能同时为偶数，否则可以继续化简。

根据上述等式，我们可以推断出a^2为3的倍数，即a^2 = 3k（k 为整数）。

进一步推导，我们知道a也必然为3的倍数，即存在一个整数r，使得a = 3r。

将上述结果代回等式，我们可以得到：(3r)^2 = 3k。

即9r^2 =3k。

简化得到3r^2 = k。

这就表明k也是3的倍数。

经过前面的推论，我们可以得出结论，a和b都是3的倍数。

然而，这一结论与我们最初的假设相矛盾，即a和b之间没有公因数。

因此，我们的假设是错误的，根号3不是有理数。

综上所述，我们可以得知根号3是无理数。

通过对根号3进行推导和推理，我们可以看到，根号3无法用有限的小数或者比值来表示，从而证明了根号3的无理性。

这个证明过程不仅让我们更深入地理解了无理数的概念，同时也为我们在其他数学问题的解决过程中提供了指导。

证明根号2是无理数的八种方法

怎样证明是一个无理数 22 是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲， 2 的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好例证.换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根 “晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法，值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明 2 是一个无理数，从而体会这一点.a 证法 1：尾数证明法.假设 2 是一个有理数，即 2 可以表示为一个分数的形式 2 = . b其中(a ,b )=1，且 a 与 b 都是正整数.则 2 .由于完全平方数的尾数只能是 0、1、4、5、a 2b 2 b 2 6、9 中的一个，因此 2 的尾数只能是 0、2、8 中的一个.因为 2 ，所以与2 的尾 b 2 a 2 b 2 a 2 b 2 数都是 0，因此的尾数只能是 0 或 5，因此 a 与 b 有公因数 5，与(a ,b)=1 矛盾！因此 2 是 b 2 无理数.这个证法可以证明被开方数的尾数是 2、3、7、8 的平方根都是无理数.a 证法 2：奇偶分析法.假设 2 = .其中(a ,b )=1，且 a 与 b 都是正整数.则 2 .可知 aa 2b 2 b 是偶数，设 a=2c ,则 4 2 ， 2 ，可知 b 也是偶数，因此 a 、b 都是偶数，这与(a,b )=1 c 2 b 2 b 2 c 2 矛盾！因此 2 是无理数.希帕索斯就是用这种方法证明了 2 不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬身海底.证法 3：仿上，得到 2 ，易见 b>1，否则 b=1，则 2 =a 是一个整数,这是不行的. a 2 b 2 a a 改写成 2 .因为 b>1，因此 b 有素因子 p ，因此 p 整除或 a ，总之，p 整除 a ， a 2 2b 2 b a 2 2因此 p 同时整除 a 与 b ，这与(a ,b )=1 矛盾.证法 4：仿上，得到 2 ，等式变形为b a b (a b )(a b) ，因为 b>1，因此a 2b 2 2 2 2 ，存在素因子 p p 整除 a+b 或 a-b 之一，则同时整除 a+b 与 a-b ，因此 p 整除 a ，因此 p 是 a 、 b 的公因数，与(a ,b )=1 矛盾.证法 5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地写成素数幂的积的形式，因此 a p p p ，b q q q ，其中 , , 与 , , p p q q r r r m s s s 1 2 1 2 n 1 2 m 1 2 n1 1 m n都是素数， r , ,r 与 s , s 都是正整数，因此 p p p =2q q q ，素数 2 n2 2r 2 2r m 2 2s 22 r s s 1 1 n 1 m 1 n 1 2 1 2 m 在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，矛盾，因此 2 是无理数.a a 证法 6：假设 2 = ，其中右边是最简分数，即在所有等于的分数中，a 是最小的正整b b数分子，在 2 的两边减去 ab 有 2 ， ( ) (2 ) ，即 a 2 b 2 a 2 ab b 2 ab a a b b ba a 2b a 2 b a b b a a ，右边的分子 2 - < ，这与是最小的分子矛盾，因此 2 是无理数.a 1 证法 7：连分数法.因为( 2 1)( 2 1) =1，因此 2 1， 1 2 1 1 1 2 1 ，将分母中的 2 用1 代替，有 2 1 ，不断重复这个 1 1 2 1 2 2 1 2，这是一个无限连分数.而任何有理数都可以表示为分子都是 1 1 过程，得 2 =1 1 2 1 2 2分母为正整数的有限连分数，因此 2 是无理数.证法 8：构图法。

1设a为有理数

P.4 习题1．设a 为有理数，x 为无理数，证明：（1）a + x 是无理数；（2）当0≠a 时，ax 是无理数.证明（1）（反证）假设a + x 是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x = a +x – a 是有理数. 这与题设“x 为无理数”矛盾，故a + x 是无理数.（2）假设ax 是有理数，于是aaxx =是有理数，这与题设“x 为无理数”矛盾，故ax 是无理数.3．设R b a ∈,，证明：若对任何正数ε有ε<-||b a ，则 a = b .证明由题设，对任何正数ε有0||+<-εb a ，再由教材P.3 例2，可得0||≤-b a ，于是0||=-b a ，从而 a = b .另证（反证）假设0||>-b a ，由实数的稠密性，存在 r 使得0||>>-r b a . 这与题设“对任何正数ε有ε<-||b a ”矛盾，于是0||=-b a ，从而 a = b .5．证明：对任何R x ∈有（1）1|2||1|≥-+-x x ；（2）2|3||2||1|≥-+-+-x x x 证明（1）|2||1||)2()1(|1-+-≤---=x x x x（2）因为|2||1||1||)3(2||3|2-+-≤-=-+≤--x x x x x ，所以2|3||2||1|≥-+-+-x x x 6．设+∈R c b a ,,证明||||2222c b c a b a -≤+-+证明建立坐标系如图，在三角形OAC 中，OA 的长度是22b a +，OC 的长度是22c a +， AC 的长度为||c b -. 因为三角形两边的差小于第三边，所以有||||2222c b c a b a -≤+-+7．设 b a b x ≠>>,0,0，证明x b x a ++介于1与ba之间. 证明因为1||1-=-<+-=-++bab b a x b b a x b x a ，1||)()(-=-<+-=-++bab b a x b b x a b b a x b x a 所以x b x a ++介于1与ba之间. 8．设 p 为正整数，证明：若 p 不是完全平方数，则p 是无理数.证明（反证）假设p 为有理数，则存在正整数 m 、n 使得mnp =，其中m 、n 互素. 于是22n p m =，因为 p 不是完全平方数，所以 p 能整除 n ，即存在整数 k ，使得kp n =. 于是222p k p m =，p k m 22=，从而 p 是 m 的约数，故m 、n 有公约数 p . 这与“m 、n 互素”矛盾. 所以p 是无理数.P.9 习题2．设S 为非空数集，试对下列概念给出定义：（1）S 无上界；若M ∀，S x ∈∃0，使得M x >0，则称S 无上界.（请与S 有上界的定义相比较：若M ∃，使得S x ∈∀，有M x ≤，则称S 有上界）（2）S 无界.若0>∀M ，S x ∈∃0，使得M x >||0，则称S 无界.（请与S 有界的定义相比较：若0>∃M ，使得S x ∈∀，有M x ≤||，则称S 有界） 3．试证明数集},2|{2R x x y y S ∈-==有上界而无下界.证明 S y ∈∀，有222≤-=x y ，故2是S 的一个上界.而对0>∀M ，取M x +=30，S M x y ∈--=-=12200，但M y -<0. 故数集S 无下界.4．求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：（1）},2|{2R x x x S ∈<=解 2s u p =S ，2inf -=S . 下面依定义加以验证2sup =S （2inf -=S 可类似进行）.S x ∈∀，有22<<-x ，即2是S 的一个上界，2-是S 的一个下界.2<∀α，若2-≤α，则S x ∈∀0，都有α>0x ；若22<<-α，则由实数的稠密性，必有实数 r ，使得22<<<-r α，即S r ∈，α不是上界，所以2sup =S . （2）},!|{+∈==N n n x x S解 S 无上界，故无上确界，非正常上确界为+∞=S sup . 下面证明：1inf =S .① S x ∈∀，有1!≥=n x ，即 1 是S 的一个下界；② 1>∀β，因为 S ∈=!11，即β不是S 的下界. 所以 1inf =S . (3)})1,0(|{内的无理数为x x S =解仿照教材P.6例2的方法，可以验证：1sup =S . 0inf =S ⑷ },211|{+∈-==N n x x S n 解 1s u p=S ，21inf =S 首先验证1sup =S .① S x ∈∀，有1211≤-=n x ，即 1 是S 的一个上界； ② 0>∀ε，取正整数0n ，使得ε<021n ，于是取02110n x -=. 从而S x ∈0，且ε->-=121100n x . 所以1sup =S5．设S 为非空有下界数集，证明：S S S min inf =⇔∈=ξξ证明：⇒）设S S ∈=ξinf ，则对一切S x ∈，有ξ≥x ，而S ∈ξ，故ξ是数集S 中的最小的数，即S min =ξ.⇐）设S min =ξ，则S ∈ξ；下面验证S inf =ξ；⑴ 对一切S x ∈，有ξ≥x ，即ξ是数集S 的下界； ⑵ 对任何ξβ>，只须取ξ=0x ，则β<0x . 所以S inf =ξ.6．设S 为非空数集，定义}|{S x x S ∈-=-. 证明： ⑴ S S sup inf -=- ⑵ S S inf sup -=- 证 ⑴ 设-=S inf ξ，下面证明：S sup =-ξ.① 对一切S x ∈，有-∈-S x . 因为-=S inf ξ，所以有ξ≥-x ，于是ξ-≤x ，即ξ-是数集S 的上界；② 对任何ξα-<，有ξα>-. 因为-=S inf ξ，所以存在-∈S x 0，使得α-<0x .于是有S x ∈-0，使得α>-0x .由①，②可知S sup =-ξ.7．设A 、B 皆为非空有界数集，定义数集},,|{B y A x y x z z B A ∈∈+==+ 证明：（1）B A B A sup sup )sup(+=+；（2）B A B A inf inf )inf(+=+ 证明（1）因为A 、B 皆为非空有界数集，所以A sup 和B sup 都存在.B A z +∈∀，由定义分别存在B y A x ∈∈,，使得y x z +=. 由于A x sup ≤，B y sup ≤，故B A y x z sup sup +≤+=，即B A sup sup +是数集B A +的一个上界.B A sup sup +<∀α，（要证α不是数集B A +的上界），A B s u p su p <-α，由上确界A sup 的定义，知存在A x ∈0，使得B x sup 0->α. 于是B x sup 0<-α，再由上确界B sup 的定义，知存在B y ∈0，使得00x y ->α. 从而α>+=000y x z ，且B A z +∈0.因此B A sup sup +是数集B A +的上确界，即B A B A sup sup )sup(+=+另证 B A z +∈∀，由定义分别存在B y A x ∈∈,，使得y x z +=. 由于A x sup ≤，B y sup ≤，故B A y x z sup sup +≤+=，于是B A B A sup sup )sup(+≤+. ①由上确界的定义，0>∀ε，A x ∈∃0，使得2s up 0ε->A x ，B y ∈∃0，使得2s up 0ε->B y ，从而ε-+>+≥+B A y x B A sup sup )sup(00，由教材P.3 例2，可得B A B A sup sup )sup(+≥+ ②由①、②，可得 B A B A sup sup )sup(+=+ 类似地可证明：B A B A inf inf )inf(+=+P.15 习题9．试作函数)arcsin(sin x y =的图象解 )a r c s i n (si n x y =是以2π为周期，定义域为),(∞+-∞，值域为]2,2[ππ-的分段线性函数，其图象如图. 11．试问||x y =是初等函数吗？解因为2||x x y ==，可看成是两个初等函数u y =与2x u =的复合，所以||x y =是初等函数.12．证明关于函数[]x y =的如下不等式：（1）当0>x 时，111≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<-x x x （2）当0<x 时，x x x -<⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤111证明（1）因为 1111+⎥⎦⎤⎢⎣⎡<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x x ，所以当0>x 时，有x x x x x +⎥⎦⎤⎢⎣⎡<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡111，从而有111≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<-x x x .（2）当0<x 时，在不等式1111+⎥⎦⎤⎢⎣⎡<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x x 中同时乘以x ，可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤<+⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x x x x 111，从而得到所需要的不等式x x x -<⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤111. P.20 习题1．证明1)(2+=x xx f 是R 上的有界函数. 证明因为对R 中的任何实数x 有21212=≤+x x x x )||21(2x x ≥+ 所以 f 在R 上有界.2．（1）叙述无界函数的定义；（2）证明21)(xx f =为（0，1）上的无界函数；（3）举出函数 f 的例子，使 f 为闭区间 [0，1] 上的无界函数. 解（1）设函数D x x f ∈)(，若对任何0>M ，都存在D x ∈0，使得M x f >|)(|0，则称 f 是D 上的无界函数.（2）分析：0>∀M ，要找)1,0(0∈x ，使得M x >201. 为此只需Mx 10<. 证明 0>∀M ，取110+=M x ，则)1,0(0∈x ，且M M x >+=1120，所以f 为区间（0，1）上的无界函数.（3）函数⎪⎩⎪⎨⎧=≤<=0101)(x x xx f 是闭区间 [0，1] 上的无界函数.7．设f 、g 为定义在D 上的有界函数，满足)()(x g x f ≤，D x ∈ 证明：⑴ )(sup )(sup x g x f Dx Dx ∈∈≤；⑵ )(inf )(inf x g x f Dx Dx ∈∈≤证 ⑴ D x ∈∀，有)(sup )()(x g x g x f Dx ∈≤≤，即)(sup x g Dx ∈是f 在D 上的一个上界，所以)(sup )(sup x g x f Dx Dx ∈∈≤.⑵ D x ∈∀，有)()()(inf x g x f x f Dx ≤≤∈，即)(inf x f Dx ∈是g 在D 上的一个下界，所以)(inf )(inf x g x f Dx Dx ∈∈≤.8．设f 为定义在D 上的有界函数，证明：⑴ )(inf )}({sup x f x f Dx Dx ∈∈-=-； ⑵ )(sup )}({inf x f x f Dx Dx ∈∈-=-证 ⑴ D x ∈∀，有)}({sup )(x f x f Dx -≤-∈，于是)}({sup )(x f x f Dx --≥∈，即)}({sup x f Dx --∈是f 在D 上的一个下界，从而)}({sup )(inf x f x f Dx Dx --≥∈∈，所以)(inf )}({sup x f x f Dx Dx ∈∈-≥- ①反之，D x ∈∀，有)(inf )(x f x f Dx ∈≥，于是)(inf )(x f x f Dx ∈-≤-，即)(i n f x f Dx ∈-是f-在D 上的一个上界，从而)(inf )}({sup x f x f Dx Dx ∈∈-≤- ②由①，②得，)(inf )}({sup x f x f Dx Dx ∈∈-=-.9．证明：x tan 在)2,2(ππ-上无界，而在)2,2(ππ-内任一闭区间],[b a 上有界. 证0>∀M ，取)1arctan(0+=M x ，于是)2,2(0ππ-∈x . 则有M M x >+=1t a n 0，所以x tan 在)2,2(ππ-上无界.在)2,2(ππ-内任一闭区间],[b a 上，取|}tan ||,tan max{|b a M =，则],[b a x ∈∀，必有M x ≤|tan |，所以x tan 在],[b a 上有界.10．讨论狄利克雷函数⎩⎨⎧=为无理数当为有理数当x ，x x D 0,1)(，的有界性，单调性与周期性.解函数)(x D 是有界函数：1|)(|≤x D . 不是单调函数.)(x D 是周期函数，任何一个正有理数都是它的周期，故它没有最小周期. 证明如下：设 r 是任一正有理数. 若 x 是有理数，则r x ±是有理数，于是)(1)(x D r x D ==±；若 x 是无理数，则r x ±是无理数，于是)(0)(x D r x D ==±.任何无理数都不是)(x D 的周期.11．证明：x x x f sin )(+=在R 上严格增. 证设21x x <，于是2sin 2cos2sin sin )()(121212112212x x x x x x x x x x x f x f -++-=--+=- 因为0>∀x ，有x x <sin ，所以12121212|2sin |2|2sin 2cos2|x x x x x x x x -<-≤-+，从而121212212sin 2cos2x x x x x x x x -<-+<-. 所以有 02sin 2cos2)()(211212121212=-+->-++-=-x x x x x x x x x x x f x f 即x x x f sin )(+=在R 上严格增.P.21 总练习题1．设R b a ∈,，证明： ⑴ |)|(21},max{b a b a b a -++=证若b a ≥，则a b a =},max{，a b a b a b a b a =-++=-++)(21|)|(21，这时有|)|(21},max{b a b a b a -++=；若b a <，则b b a =},max{，=-++|)|(21b a b a b b a b a =+-+)(21，也有|)|(21},max{b a b a b a -++=，所以 |)|(21},max{b a b a b a -++=2．设f 和g 都是初等函数，定义)}(),(max{)(x g x f x M =，)}(),(min{)(x g x f x m =，D x ∈试问)(x M 和)(x m 是否为初等函数？解由第1题有|))()(|)()((21)}(),(max{)(x g x f x g x f x g x f x M -++==，因为f 和g 都是初等函数，于是)()(x g x f -是初等函数，再由212})]()({[|)()(|x g x f x g x f -=-，知|)()(|x g x f -是初等函数，所以)(x M 是初等函数.8．设f 、g 和h 为增函数，满足)()()(x h x g x f ≤≤，R x ∈，证明：))(())(())((x h h x g g x f f ≤≤证因为f 、g 为增函数，再由)()(x g x f ≤，得))(())((x g f x f f ≤，))(())((x g g x g f ≤，所以有))(())((x g g x f f ≤. 同理可得))(())((x h h x g g ≤.9．设f 、g 为区间),(b a 上的增函数，证明)}(),(max{)(x g x f x =ϕ，)}(),(min{)(x g x f x =ψ也都是区间),(b a 上的增函数.证 ⑴ 先证)}(),(max{)(x g x f x =ϕ是区间),(b a 上的增函数. 设21x x <，于是有)()()}(),(max{)(12222x f x f x g x f x ≥≥=ϕ， )()()}(),(max{)(12222x g x g x g x f x ≥≥=ϕ，从而)()}(),(max{)(1112x x g x f x ϕϕ=≥，所以)(x ϕ是增函数.⑵ 其次证明)}(),(min{)(x g x f x =ψ是区间),(b a 上的增函数设21x x <，于是有)()()}(),(min{)(21111x f x f x g x f x ≤≤=ψ)()()}(),(min{)(21111x g x g x g x f x ≤≤=ψ从而 )()}(),(min{)(2221x x g x f x ψψ=≤12．设f 、g 为D 上的有界函数，证明： ⑴ )(sup )(inf )}()({inf x g x f x g x f Dx Dx Dx ∈∈∈+≤+⑵ )}()({sup )(inf )(sup x g x f x g x f Dx Dx Dx +≤+∈∈∈证 ⑴ 由p.17例2 (i)，有)(inf )}({inf )}()({inf x f x g x g x f Dx Dx Dx ∈∈∈≤-++ ①再由p.20习题8，有)(sup )}({inf x g x g Dx Dx ∈∈-=- ②结合①、②可得)(sup )(inf )}()({inf x g x f x g x f Dx Dx Dx ∈∈∈+≤+13．设f 、g 为D 上的非负有界函数，证明： ⑴ )}()({inf )(inf )(inf x g x f x g x f Dx Dx Dx ⋅≤⋅∈∈∈⑵ )(inf )(sup )}()({sup x g x f x g x f Dx Dx Dx ∈∈∈⋅≤⋅证 ⑴ D x ∈∀，有)()(inf x f x f Dx ≤∈，)()(inf x g x g Dx ≤∈，从而)()()(i n f )(i n f x g x f x gx f Dx Dx ⋅≤⋅∈∈. 即)(inf )(inf x g x f Dx Dx ∈∈⋅是)()(x g x f ⋅在D 上的一个下界，所以有)}()({inf )(inf )(inf x g x f x g x f Dx Dx Dx ⋅≤⋅∈∈∈15．设f 为定义在R 上以h 为周期的函数，a 为实数. 证明：若f 在 [ a , a +h ] 上有界，则f 在R 上有界.证设f 在 [ a , a +h ] 上有界，即存在0>M ，使得],[h a a x +∈∀，有M x f ≤|)(|.R x ∈∀，必存在整数m 和实数],[0h a a x +∈，使得0x mh x +=. 于是M x f mh x f x f ≤=+=|)(||)(||)(|00，所以f 在R 上有界.16．设f 在区间I 上有界. 记)(sup x f M Ix ∈=，)(inf x f m Ix ∈=，证明m M x f x f Ix x -=''-'∈'''|)()(|sup ,证 I x ∈∀，有M x f ≤)(，m x f ≥)(. 于是I x x ∈'''∀,，有m M x f x f -≤''-'|)()(|，即m M -是数集},:|)()(|{I x x x f x f ∈'''''-'的一个上界. 下面证明：m M -是数集},:|)()(|{I x x x f x f ∈'''''-'的最小上界.由上确界，下确界的定义知，0>∀ε，I x x ∈'''∃,，使得2)(ε->'M x f ，2)(ε+<''m x f ，从而εεε--=+-->''-'m M m M x f x f )2(2)()(. 所以m M -是数集},:|)()(|{I x x x f x f ∈'''''-'的最小上界.所以m M x f x f Ix x -=''-'∈'''|)()(|sup ,。

根号2是无理数的证明

根号2是无理数的证明一、引言数学中有许多有趣且重要的数，其中之一就是根号2。

在本文中，我们将探讨根号2是否为无理数，并给出相应的证明。

二、什么是无理数在开始证明之前，让我们先回顾一下无理数的概念。

无理数是指不能表示为两个整数之间的比值的数。

换句话说，无理数不能以分数的形式表示出来。

三、根号2的定义根号2是一个特殊的数，其定义为正数平方等于2的数。

我们用√2来表示根号2。

四、假设根号2是有理数我们首先假设√2是一个有理数，即可以表示为两个整数之间的比值。

假设√2可以表示为a/b，其中a和b是不相同的整数，并且a/b是最简形式。

五、对√2进行平方将方程两边平方，得到2=(a/b)²。

这可进一步转化为2b²=a²。

由此可知，a²是2的倍数。

1. 情况一：a为偶数在这种情况下，设a=2c，其中c为整数。

将这个值代入方程2b²=a²中，得到2b²=(2c)²，简化后得到b²=2c²。

同样地，b²也是2的倍数。

2. 情况二：a为奇数在这种情况下，设a=2c+1，其中c为整数。

将这个值代入方程2b²=a²中，得到2b²=(2c+1)²，简化后得到b²=(2c+1)²-2。

展开括号并简化后得到b²=4c²+4c-1。

此时，b²也是2的倍数。

3. 结论无论a是偶数还是奇数，b²都是2的倍数。

这意味着，b也是2的倍数。

六、矛盾的证明我们已经得出结论，即a和b都是2的倍数。

然而，我们最初假设a/b是最简形式，即a和b没有相同的约数。

这与a和b都是2的倍数的结论相矛盾。

因此，我们可以得出结论：√2不是有理数，而是一个无理数。

七、证明的意义证明根号2是一个无理数的意义在于揭示了数学中一类特殊的数。

无理数在实际应用中具有重要的作用，例如在几何学中的勾股定理中经常涉及到根号2。

√3是无理数的证明方法

√3是无理数的证明方法
√3是无理数，即不能表示为两个整数的比。

以下是一种证明方法：
假设√3是有理数，即可以写成分数的形式：√3 = a/b，其中a 和b为正整数，且a和b没有公因数（若有，则可以约分）。

则：
3 = a^2 / b^2
将等式两边都乘以b^2，得到：
3b^2 = a^2
因为3是质数，所以a必定是3的倍数，即a=3c（c为正整数）。

将其代入上式，得到：
3b^2 = (3c)^2
简化得：
b^2 = 3c^2
同样地，因为3是质数，所以b也必定是3的倍数，即b=3d（d 为正整数）。

将其代入上式，得到：
9d^2 = 3c^2
简化得：
3d^2 = c^2
但这与假设a和b没有公因数矛盾，因为假设成立时，c和d必定有公因数3，而这与前提矛盾。

因此，假设不成立，√3不能表示为两个整数的比，即√3是无理数。

经典证明——几乎所有有理数都是无理数的无理数次方

经典证明：几乎所有有理数都是无理数的无理数次方一个无理数的无理数次方是否有可能是一个有理数？这是一个非常经典的老问题了。

答案是肯定的，证明方法非常巧妙：考虑根号 2 的根号 2 次方。

如果这个数是有理数，问题就已经解决了。

如果这个数是无理数，那么就有：我们同样会得到一个无理数的无理数次方是有理数的例子。

这是一个典型的非构造性证明的例子：我们证明了无理数的无理数次方有可能等于有理数，但却并没有给出一个确凿的例子。

毕竟我们也不知道，真实情况究竟是上述推理中的哪一种。

那么，真实情况究竟是上述推理中的哪一种呢？Gelfond-Schneider 定理告诉我们，假设α和β都是代数数，如果α不等于 0 和 1 ，并且β不是有理数，那么α的β次方一定是超越数。

根据这一定理我们可以立即看出，根号 2 的根号 2 次方真的是一个无理数，实际情况应该是上述推理中的后者。

那么，是否存在一个无理数 a ，使得 a 的 a 次方是有理数呢？最近， Stan Dolan 证明了这样一个结论：事实上，几乎所有(1, ∞) 里的有理数都是某个无理数 a 的 a 次方。

注意到当 x 大于 1 时，函数 f(x) = x x是连续单调递增的，因而对于所有(1, ∞) 里的有理数 r ，一定存在唯一的 a ，使得 a a= r 。

不妨假设 a 是一个有理数，它的最简分数形式是 n / m 。

如果 m = 1 ，那么我们会有平凡解n n = r 。

下面我们证明， m 是不可能大于 1 的，否则会产生矛盾。

假设有理数 r 的最简分数形式是 c / b ，于是我们有：(n / m)n / m = c / b或者说：n n· b m = m n· c m注意到， m n是 n n· b m的约数。

然而， m 和 n 是互质的， m n与 n n没有公共因子，因而 m n一定是 b m的约数。

同理， b m是 m n· c m的约数，但由于 b 和 c 是互质的，因此 b m一定是 m n的约数。