最优化方法源程序1
最优化 马昌凤 第三章作业
最优化方法及其Matlab程序设计习题作业暨实验报告学院：数学与信息科学学院班级：12级信计一班姓名：李明学号：1201214049第三章 最速下降法和牛顿法一、上机问题与求解过程1、用最速下降法求212221216423),(x x x x x x f --+=的极小值。
解：仿照书上编写最速下降法程序如下：function [x,val,k]=grad(fun,gfun,x0) %功能：用最速下降法求解无约束化问题：min f(x) %输入：x0是初始点，fun,gfun 分别是目标函数和梯度 %输出：x,val 分别是近似嘴有点和最优值，k 是迭代次数 maxk=5000;rho=0.5;sigma=0.4;%一开始选择时选择的rho 和sibma 选择的数据不够合理，此处我参照书上的数据编写数据 k=0;epsilon=1e-5; while (k<maxk)g=feval(gfun,x0); %计算梯度 d=-g;%计算搜索方向if (norm(d)<epsilon),break ;end m=0;mk=0; while (m<20)%Armijo 搜索if (feval(fun,x0+rho^m*d)<feval(fun,x0)+sigma*rho^m*g'*d) mk=m;break ;%直接利用Armijo 搜索公式,一开始的时候没有记住公式编写出现错误 end m=m+1; endx0=x0+rho^mk*d; k=k+1; end x=x0;val=feval(fun,x0) %求得每一个的函数值然后仿照书上建立两个目标函数和梯度的M 文件：function f=fun(x)f=3*x(1)^2+2*x(2)^2-4*x(1)-6*x(2); function g=gfun(x) g=[6*x(1)-4,4*x(2)-6]';选取初始点为']0,0[，调用函数程序，得出最小极值点为']500.1,6667.0[，极小值为8333.5-，在界面框中输入的程序如下：[x,val,k]=grad('fun','gfun',x0) val = -5.8333 x =0.6667 1.5000 val =-5.8333 k = 10从结果可以看出迭代次数为10次，如果选取不同的初值点则迭代次数不一样，但是极小值相同。
最优化方法PPT
共117页第8页
同时太阳系这个"整体"又是它所属的"更大整 体"--银河系的一个组成部分。世界上的具体系统是 纷繁复杂的，必须按照一定的标准，将千差万别的 系统分门别类，以便分析、研究和管理，如：教育 系统、医疗卫生系统、宇航系统、通讯系统等等。 如果系统与外界或它所处的外部环境有物质、能量 和信息的交流，那么这个系统就是一个开放系统， 否则就是一个封闭系统。开放系统具有很强的生命 力，它可能促进经济实力的迅速增长，使落后地区 尽早走上现代化。如改革开放以来已大大增强了我 们的综合国力。而我国的许多边远山区农村，由于 交通不便，相对封闭，还处于比较落后的状态。
会科学和思维科学的相互渗透与交融汇流，产生了 具有高度抽象性和广泛综合性的系统论、控制论和 信息论。
系统论是研究系统的模式、性能、行为和规律 的一门科学。它为人们认识各种系统的组成、结构、 性能、行为和发展规律提供了一般方法论的指导。 系统论的创始人是美籍奥地利理论生物学家和哲学 家路德维格·贝塔朗菲。系统是由若干相互联系的 基本要素构成的，它是具有确定的特性和功能的有 机整体。如太阳系是由太阳及其围绕它运转的行星 （金星、地球、火星、木星等等）和卫星构成的。
从数学上比较一般的观点来看，所谓最优化问题可 以概括为这样一种数学模型：给定一个“函数”，F(X)， 以及“自变量”X应满足的一定条件，求X为怎样的值时， F(X)取得其最大值或最小值。这里在函数和自变量两个 词上之所以打上引号，是想强调它们的含意比中学数学 和大学微积分中函数的定义要广泛得多。通常，称F(X) 为“目标函数”，X应满足的条件为“约束条件”。约 束条件一般用一个集合D表示为：X∈D。求目标函数 F(X)在约束条件X∈D下的最小值或最大值问题，就是一 般最优问题的数学模型，它还可以利用数学符号更简洁 地表示成：Min F(X)或Max F(X)。
算法实训-最大k乘积问题
最大k乘积问题一、问题定义【问题描述】最大k乘积问题：设I是一个n位十进制整数。
如果将I划分为k段，则可得到k个整数。
这k个整数的乘积称为I的一个k乘积。
试设计一个算法，对于给定的I和k，求出I的最大k乘积。
【输入输出及示例】输入：整数位数n及分段数k；并输入n位整数各位数字l输出：最大连乘积示例：运行程序；请输入整数位数及分段数：5 4请输入该整数：12345最大连乘积：720二、问题分析1.证明满足最优性原理：假设最大k乘积是将前x位划分为k-1段，再乘以最后的整数。
若前x位的划分不是最优的方法，则其乘积必然小于最优化分方法所得乘积S_max,则其与最后的整数所得结果也并非最大k乘积，与前提矛盾。
因此，将前x位划分为k-1段所得结果比为其最大乘积。
2.动态规划的基本步骤：（1）分析最优解的性质，并刻画其结构特征。
（2）递归的定义最优解。
（3）以自底向上或自顶向下的记忆化方式（备忘录法）计算出最优值。
（4）根据计算最优值时得到的信息，构造问题的最优解。
3.求解m(i,j)（m(i,j)为第i位到第j位所组成的十进制数）若要求得最大k乘积，需要对n位十进制整数进行预处理，以便于后续计算。
令m(i,j)为第i位到第j位所组成的十进制数，欲求得m(i,j),需要对整数l进行求余及求除数运算，最终将得到的各个位数存入m m(i,j)值4.求出递推关系式j=0，dp[i][j]=m[1][i]；由前i位添加0个乘号，即作为一个整数，显然等于m[1][i]；j>1，dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[k][j-1]*m[k+1][i])（1<=k<i）；即前i位(1:i)数字添加j个乘号（j+1组）的最大值：等于前k位添加j-1个乘号的最大值dp[k][j-1]，再乘以k+1-i位数字组成的因子m[k+1][i]，对1<=k<i，取这些乘积的最大值。
以n=5,k=4 l=12345为例子，dp表格如下：DP表记录所有已经求解过的子问题的答案，只要一个子问题被求解过，就将其答案保存起来，这样，便可以轻易的找到我们所要求的最优解，节约大量的时间；三、源程序清单///////////////////////////////////////////////////////////////*/#include <bits/stdc++.h>using namespace std;/////////////////////////////////////////////////////////////////int dp[1000][1000];int m[1000][1000];int main(){int n, k, l;//定义整数位，分段个数，整数lcout<<"请输入整数位数及分段数：" ;cin >> n >> k ;cout<<"请输入该整数：";cin>> l;if(k == 1){//如果k=1，则最大数为其本身cout << l;return 1;}//预处理//m[i][j]从第i位到第j位所组成的十进制数int b = 1, q = 1;for(int i = n; i >= 1; i--){int p = 10;b = l / q;//对l求余q *= 10;//cout << b<<" " ;for(int j = i; j >= 1; j--){m[j][i] = b % p;p *= 10;//cout << m[j][i] << " ";//可以输出m[j][i]数组}//cout<<endl;}for(int i = 1; i <= n; i++){ //枚举前n个数字for(int j = 0; j <= i; j++){//枚举乘号的个数if(j == 0){dp[i][j] = m[1][i];continue;}for(int n = 1; n <= i; n++)//枚举乘号的位置dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[n][j-1]*m[n+1][i]);//递推关系式}}//输出dp表格/*for(int i = 1; i <=n; i++){for(int j = 0; j <i; j++){cout << dp[i][j] << " ";}cout<<endl;}*/cout <<"最大连乘积为："<<dp[n][k-1];return 0;}四、运行界面截图运行界面1：运行界面2：运行界面3：五、实验总结1.动态规划基本思想：该题的基本思想就是用到了动态规划的基本思想，先求解子问题的结果，将其记录到DP表中，再依次求解，得到最终结果；动态规划思想启发于分治算法的思想，也是将复杂问题化解若干子问题，先求解小问题，再根据小问题的解得到原问题的解。
最优切割问题
————最优切割问题99131059 魏炜一：问题的提出某些工业部门（如贵重石才的加工等）采用截断切割的加工方式。
这里“截断切割”是指将物体沿某个切割平面分成两个部分。
从一个长方体中加工出一个已知尺寸位置预定的长方体（这个长方体的对应表面是平行的），通常要经过6次截断切割。
设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积的r倍，且当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，因调整刀具需额外费用e。
试为这些部门设计一种安排个面加工次序的方法。
待加工的长方体和成品的长，宽，高分别为10，14.5,19和3,2,4两者左侧面，正面，底面之间的距离分别为6 ,7,9（单位均为厘米）垂直切割的费用为每平方厘米1元。
r和e数据如下(a)r=1,e=0 (b)r=1.5 e=2二：问题的分析刚拿到这个题目时，还是很茫然的，不知应该用什么样的方法进行解答，当学到图与网络分析的时候，突然觉得这道题是不是可以用最短路的来求解呢？抱着试试看的心里，我将问题成功的转换成了求一个图的最短路的问题，而我们要求最短路就是要先求出每一条边所表示的权重。
三：问题的解决设待加工体的长、宽、高分别为a0、b0、c0。
六个切割面分别位于左、右、前后、上下相应为S1、S2、S3、S4、S5、S6。
这六个面与成品的相应外测面的距离分别为d1、d2、d3、d4、d5、d6。
不失一般性设d1>=d2、d3>=d4、d5>=d6。
故可以只考虑S1在S2前、S3在S4前、S5在S6前被切割的方式。
I：e=0 r=1 的情形。
先考虑如何建立图形。
将切割问题转化为求图的最短路径问题。
赋权网络图G*的建立。
由于共计切6刀，因此我们想到要建立一个三维网络图：① 图形的解释。
图中各个点表示每个切割状态。
例如)0,0,0(1v 表示最初状态，)2,2,2(27v 表示已经切割完毕。
)0,2,1(8v 表示左前被切一刀，前后各被切一刀，上下没有被切。
贪心策略
一、贪心策略的定义【定义1】贪心策略是指从问题的初始状态出发，通过若干次的贪心选择而得出最优值(或较优解)的一种解题方法。
其实，从"贪心策略"一词我们便可以看出，贪心策略总是做出在当前看来是最优的选择，也就是说贪心策略并不是从整体上加以考虑，它所做出的选择只是在某种意义上的局部最优解，而许多问题自身的特性决定了该题运用贪心策略可以得到最优解或较优解。
二、贪心算法的特点通过上文的介绍，可能有人会问：贪心算法有什么样的特点呢？我认为，适用于贪心算法解决的问题应具有以下2个特点：1、贪心选择性质：所谓贪心选择性质是指应用同一规则f，将原问题变为一个相似的、但规模更小的子问题、而后的每一步都是当前看似最佳的选择。
这种选择依赖于已做出的选择，但不依赖于未做出的选择。
从全局来看，运用贪心策略解决的问题在程序的运行过程中无回溯过程。
关于贪心选择性质，读者可在后文给出的贪心策略状态空间图中得到深刻地体会。
2、局部最优解：我们通过特点2向大家介绍了贪心策略的数学描述。
由于运用贪心策略解题在每一次都取得了最优解，但能够保证局部最优解得不一定是贪心算法。
如大家所熟悉得动态规划算法就可以满足局部最优解，在广度优先搜索（BFS）中的解题过程亦可以满足局部最优解。
在遇到具体问题时，往往分不清哪些题该用贪心策略求解，哪些题该用动态规划法求解。
在此，我们对两种解题策略进行比较。
三、贪心策略的理论基础--矩阵胚正如前文所说的那样，贪心策略是最接近人类认知思维的一种解题策略。
但是，越是显而易见的方法往往越难以证明。
下面我们就来介绍贪心策略的理论--矩阵胚。
"矩阵胚"理论是一种能够确定贪心策略何时能够产生最优解的理论，虽然这套理论还很不完善，但在求解最优化问题时发挥着越来越重要的作用。
【定义3】矩阵胚是一个序对M=[S，I] ，其中S是一个有序非空集合，I是S的一个非空子集，成为S的一个独立子集。
最优化方法 powell法求解无约束优化问题
数学与计算科学学院实验报告
实验项目名称powell法求解无约束优化问题
所属课程名称最优化方法
实验类型算法编程
实验日期
班级
学号
姓名
成绩
附录1：源程序
附录2：实验报告填写说明
1．实验项目名称：要求与实验教学大纲一致。
2．实验目的：目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求。
3．实验原理：简要说明本实验项目所涉及的理论知识。
4．实验环境：实验用的软、硬件环境。
5．实验方案（思路、步骤和方法等）：这是实验报告极其重要的内容。
概括整个实验过程。
对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作。
对于设计性和综合性实验，在上述内容基础上还应该画出流程图、设计思路和设计方法，再配以相应的文字说明。
对于创新性实验，还应注明其创新点、特色。
6．实验过程（实验中涉及的记录、数据、分析）：写明具体实验方案的具体实施步骤，包括实验过程中的记录、数据和相应的分析。
7．实验结论（结果）：根据实验过程中得到的结果，做出结论。
8．实验小结：本次实验心得体会、思考和建议。
9．指导教师评语及成绩：指导教师依据学生的实际报告内容，给出本次实验报告的评价。
数学建模最优化模型
或[x，fval]= fminsearch（...） （4）[x，fval，exitflag]= fminunc（...）；
或[x，fval，exitflag]= fminsearch （5）[x，fval，exitflag，output]= fminunc（...）；
41m外点法sutm内点法障碍罚函数法1罚函数法2近似规划法罚函数法罚函数法基本思想是通过构造罚函数把约束问题转化为一系列无约束最优化问题进而用无约束最优化方法去求解这类方法称为序列无约束最小化方法简称为sumt法其一为sumt外点法其二为sumt内点法其中txm称为罚函数m称为罚因子带m的项称为罚项这里的罚函数只对不满足约束条件的点实行惩罚
曲线不一定通过那m个测量点,而要产生“偏差”.
将测量点沿垂线方向到曲线的距离的
y
平方和作为这种“偏差”的度量.即
2
x
S
m i 1
yi
a1
1 a3
a2 ln 1 exp
xi a4 a5
显然偏差S越小,曲线就拟合得越好,说明参数值就选择得越好，从而 我们的问题就转化为5维无约束最优化问题。即：
一下是否达到了最优。 （比如基金人投资）
• 在各种科学问题、工程问题、生产管理、社会 经济问题中，人们总是希望在有限的资源条件 下，用尽可能小的代价，获得最大的收获。
（比如保险）
数学家对最优化问题的研究已经有很多年的 历史。
以前解决最优化问题的数学方法只限于古典 求导方法和变分法（求无约束极值问题），拉格 朗日（Lagrange）乘数法解决等式约束下的条件 极值问题。
流程优化方法
流程优化的方法。
流程优化是企业管理的战略选择，是与流程重组相对应的。
因为流程重组强调剧烈的变革和急速的重塑，除了那些准备充分的企业或是濒临绝境的企业作此选择之外，多数企业都寻求渐进的改善，即流程优化。
因此流程优化是基于企业实际的改善，但绝不囿于现实。
为此，我们必须首先确定流程优化原则，然后再来探讨流程优化的方法。
一、流程优化的原则1、源于现实、高于现实原则；2、借鉴行业标杆原则；3、鼓励创新原则；4、全员参与原则；5、始终贯彻流程管理的基本原则（参阅张国祥老师《流程管理的基本原则》）。
二、流程优化的注意事项1、打破传统，不等于摒弃一切。
优良传统必须继承。
2、了解学习本行业的最新做法。
行业经验可以借鉴，但不能照搬。
3、分析本企业经过努力能达到的标准，按照现实可行、发展有力来设置新的流程工作标准。
4、按照顾客至上、价值增值原则重新设计各个运行流程。
三、具体做法如下1、找出现有活动的阻塞环节；2、砍掉无价值活动；3、合并分散活动；4、找出本企业员工最好的做法；5、吸纳本行业最优做法；6、吸收员工的创新建议。
现在管理学界提出了一个“氨基酸组合效应”，即组成人体蛋白的八种氨基酸，只要有一种含量不足，其他七种就无法合成蛋白质。
当缺一不可时，一就是一切。
因此企业在进行流程优化时，我们建议认真借鉴“氨基酸组合效应”。
流程优化的最高境界就是“缺一不可”。
凡是可有可无的环节、活动都应该砍掉。
四、流程优化步骤流程优化是牵涉全局的管理工作，必须全员重视、全员参与。
绝不可少数人闭门造车。
为确保流程优化切实可行，张老师建议企业按以下步骤进行：第一步设计师负责，按前面说的具体做法，完成初步设计；第二步征求流程涉及的各岗位员工意见，使之具有可操作性；第三步设计小组优化讨论，使各流程之间相互衔接；第四步企业高层补充完善，确保不留运行空白；第五步企业负责人审批，便之具有本企业的“法规”效力；第六步广泛开展宣传教育，使新的流程管理思想、方法深入人心；第七步全面试行，用实践经验流程优化的效果；第八步总结完善，持续改进。
轻松学会DSP——C程序编写和编译课件
根据个人习惯选择
开发者可以根据自己的习惯和喜好 选择适合自己的开发环境，比如习 惯使用CCS的开发者可以选择CCS 作为开发环境。
根据开发成本选择
开发者还需要考虑开发环境的成本 ，比如购买IDE的费用、学习成本等 。在选择开发环境时，需要根据实 际情况进行综合考虑。
05
DSP程序调试
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
FFT算法分类
FFT算法有多种实现方式，如基于 蝶形运算的Cooley-Tukey FFT算 法和基于分治思想的FFT算法等。 Cooley-Tukey算法是最常用的 FFT算法，其基本思想是将一个长 度为$N$的DFT分解为多个长度 为$N/2$的Hale Waihona Puke FT，递归计算直到 长度为2的DFT。
FFT算法实现过程
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
轻松学会DSP——C程序编
写和编译课件
• DSP基础概念 • DSP编程语言 • DSP编译过程 • DSP开发环境 • DSP程序调试 • DSP应用实例
目录
CONTENTS
01
DSP基础概念
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
数字控制系统有多种类型，如开环控 制系统和闭环控制系统等。开环控制 系统结构简单，但控制精度和稳定性 较差；闭环控制系统具有反馈环节， 能够提高控制精度和稳定性。
数字控制系统的设计方法包括状态空 间法、根轨迹法和频域法等。状态空 间法能够得到系统的全部状态信息， 但计算量大；根轨迹法能够得到系统 的极点位置，但计算精度较低；频域 法能够得到系统的频率响应，但无法 得到系统的全部状态信息。
机器学习实验一之逻辑回归
机器学习实训实验报告（一）专业班级学号姓名实验项目名称：基于logistics回归和Sigmund分类，最优化方法进行系数确定及确定西瓜的好坏实验内容：1、以书89页西瓜数据集创建集（全部数据作为回归方程训练集）。
2、运用Logistic回归梯度算法，计算回归系数，得出图像。
3、运用随机梯度上升法，计算回归系数，得出图像。
4、运用改进的随机梯度上升法，计算回归系数，得出图像。
5、从西瓜的特征，来预测西瓜的好坏。
（集的划分以下给出）实验过程：算法分析：Logistic回归Logistic回归为概率型非线性回归模型, 是研究二值型输出分类的一种多变量分析方法。
通过logistic回归我们可以将二分类的观察结果y与一些影响因素[x1,x2,x3,…]建立起关系从而对某些因素条件下某个结果发生的概率进行估计并分类。
Sigmoid函数对于二分类问题，我们想要一个函数能够接受所有输入然后预测出两种类别，可以通过输出0或者1。
这个函数就是sigmoid函数，它是一种阶跃函数具体的计算公式如下: 源程序代码：from numpy import *import matplotlib.pyplot as pltplt.rcParams['font.sans-serif']=['Simhei'] #解决中文显示问题，指定为黑体plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False #解决负数坐标显示问题#数据处理函数，读取文件testSet.txt的内容#前两列分别为x1和x2值，第3列为数据的类别def loadDataSet():#存放训练数据dataMat = []#每条数据的类别labelMat = []#打开文件读取训练样本fr = open('4.5.txt')#按行读取文件内容for line in fr.readlines():lineArr = line.strip().split()#为计算方便，将x0设置为1#线性回归为h(x)=W0*1+W1*X1+W2*X2#(W0,W1,W2)*(1,X1,X2),(W0,W1,W2)为所求回归系数Sigmoid函数的性质: 当x为0时，Sigmoid函数值为0.5，随着x的增大对应的Sigmoid值将逼近于1; 而随着x的减小, Sigmoid 函数会趋近于0。
最优化方法 实验1 确定初始空间
实验报告实验课程名称最优化方法实验项目名称确定初始空间年级专业学生姓名学号理学院实验时间：学生实验室守则一、按教学安排准时到实验室上实验课，不得迟到、早退和旷课。
二、进入实验室必须遵守实验室的各项规章制度，保持室内安静、整洁，不准在室内打闹、喧哗、吸烟、吃食物、随地吐痰、乱扔杂物，不准做与实验内容无关的事，非实验用品一律不准带进实验室。
三、实验前必须做好预习（或按要求写好预习报告），未做预习者不准参加实验。
四、实验必须服从教师的安排和指导，认真按规程操作，未经教师允许不得擅自动用仪器设备，特别是与本实验无关的仪器设备和设施，如擅自动用或违反操作规程造成损坏，应按规定赔偿，严重者给予纪律处分。
五、实验中要节约水、电、气及其它消耗材料。
六、细心观察、如实记录实验现象和结果，不得抄袭或随意更改原始记录和数据，不得擅离操作岗位和干扰他人实验。
七、使用易燃、易爆、腐蚀性、有毒有害物品或接触带电设备进行实验，应特别注意规范操作，注意防护；若发生意外，要保持冷静，并及时向指导教师和管理人员报告，不得自行处理。
仪器设备发生故障和损坏，应立即停止实验，并主动向指导教师报告，不得自行拆卸查看和拼装。
八、实验完毕，应清理好实验仪器设备并放回原位，清扫好实验现场，经指导教师检查认可并将实验记录交指导教师检查签字后方可离去。
九、无故不参加实验者，应写出检查，提出申请并缴纳相应的实验费及材料消耗费，经批准后，方可补做。
十、自选实验，应事先预约，拟订出实验方案，经实验室主任同意后，在指导教师或实验技术人员的指导下进行。
十一、实验室内一切物品未经允许严禁带出室外，确需带出，必须经过批准并办理手续。
学生所在学院：理学院专业：数学与应用数学班级：应数121实验步骤：①给定初始点x0，初始步长h，令x1 = x0，记f1 = f (x1).②由x0和h，产生新的探测点x2 = x0 + h，记 f 2 = f (x2).③比较函数值f 1和 f 2的大小，确定向前或向后探测的策略。
《最优化理论与算法B》大作业报告
单位代码10006学号***最优化理论与算法B课程报告院（系）名称宇航学院专业名称飞行器设计学生姓名***学生学号***任课教师刘**2012年5月16日目录最优化理论与算法报告 (1)1流量工程 (1)1.1目标函数为最大链路利用率的优化 (1)1.2 目标函数为M/M/1延迟公式的逐段线性近似函数时的优化 (3)2.编写部分算法程序 (6)2.1 (题5.6) (7)2.2 (题5.7) (8)2.3 (题5.8) (9)2.4 (题5.9) (13)2.5 (题5.14) (17)2.6 (题5.19) (19)2.7 (题6.4) (22)致谢 (26)参考文献 (27)最优化理论与算法报告1 流量工程流量工程问题，就是网络上有几组(s,t)，每组(s,t)中，从源s发出一定的流量通过网路达到宿t，所有的(s,t)的流量在网路上相互叠加，要求每条网路的总流量不超过网路容量(流量约束)，网路上的每个节点流量平衡(流平衡约束)。
流量工程问题的优化，就是在满足流量约束和流平衡约束的条件下，对每组(s,t)在网路上的流量进行合理配置，使网络的性能达到最优。
衡量网络性能有两个指标，最大链路利用率和M/M/1延迟。
可以分别以这两个性能为目标函数，构造线性规划模型进行优化。
流量向量f1×39=[ f11,...,f113,f21,...,f213,f31,...f313]。
其中f mn(m=1,2,3;n=1, (13)为当网络上只存在源宿(s m，t m)时，网路上的流量。
在本节主要使用MATLAB的优化工具箱进行优化。
当线性规划是min f'xs.t . Ax<=bAeqx=beqlb<=x<=ub时，调用格式为：[x, fval, exitflag, output, lambda]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0). 其中，x为返回的最优解向量，fval是目标函数的最优值，exitflag 是描述函数计算的退出条件，output 为返回的优化信息，lambda 返回x处的拉格朗日乘子。
蒙特卡罗最优化
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常用的收敛准则有：
绝对收敛
可以看出，二分法不会失效，达到指定精度 所需要的迭代次数也是事先可以得到的。如 果在区间[a,b]里方程有多个根，则二分
目前五页\总数五十四页\编于十二点
法会找到一个根。二分法的收敛速度是线性的。 相对收敛
k
k
2 k
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简单问题
该混合高斯分布一共有K个分布，并且对于每个观察 到的x，如果我们同时还知道它属于K中的哪一个分布， 则我们可以根据最大似然估计求出每个参数。
结论： x k
k
1 Nk
xk
Hale Waihona Puke xk表示属于第k个高斯
分布的观察数据x。
k2N 1k xk (xkk)(xkk)T
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运行结果：
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运行结果：
时停止迭代。此准则可以不考虑x的单位情况下达到指定 的精度。
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例1 解方程
其中a为常数，n>2为一整数。显然，方程的解为
下面我们使用二分法求此方程的一个数值解。我们 首先要找到一个区间，比如(0,5n)，使得函数
在区间两端有着不同的符号。然后即可使用二分法。
目前七页\总数五十四页\编于十二点
程序： a <- 0.5
最优化方法
经过有限次迭代后(在 matlab 可见全部迭代结果)满足要求的结果为： f ������ ∗ = −1.00000047499302 。 采用解析法可求得其精确解为： ������ ∗ = −1， f ������ ∗ = −1，可见通过有限次迭代后可求得精度相当高的数值解，而且收 敛速度也很快。 因此在实际计算中，最常用的一维搜索试探方法就是黄金 分割法。
������1 ← ������ − ������ ������ − ������ ������1 ← ������ ������1
Y
������ − ������ ������2 − 1 < ������和 < ������ ? ������ ������2
N
������∗ ←
1 ������ + ������ 2
对函数f ������ = ������ 2 + 2������,在给定的搜索区间−3 ≤ x ≤ 5上，试用黄金分 割法求极小值点������ ∗ 。如图 2。
四、 算法描述：
黄金分割法的搜索过程是： 1） 2） 给出初始搜索区间[a,b]及收敛精度ε，将μ赋以 0.618。 按坐标点计算公式������1 = b − μ ������ − ������ , ������2 = ������ − μ ������ − ������ , 计算������1 和 ������2 ，并计算其对应的函数值f(������1 ), f ������2 。 3） 跟区间消去法原理缩短搜索区间。 为了能用原来的坐标点计算公式， 需要进行区间名称的代换， 并在保留区间中计算一个新的试验点及 其函数值。 4） 检查区间是否缩短到足够小和函数值收敛到足够近， 如果条件不满 足则返回到步骤 2。 5） 如果条件满足， 则取最后两试验点的平均值作为极小点的数值近似 解。
最优化 马昌凤 第二章作业
最优化方法及其Matlab程序设计习题作业暨实验报告学院：数学与信息科学学院班级：12级信计一班姓名：李明学号：1201214049第二章 线搜索技术一、上机问题与求解过程 1、用0.618法求解 .1)(min 2--=x x x f 初始区间]1,1[-，区间精度为50.=0δ. 解：当初始时不限制近似迭代函数值得大小，编写程序运行结果为：从结果可以看出迭代次数为9次，极小点为5016.0，极小点的函数值为2500.1-。
根据人工手算，极小值点应该为500.0，所以在设计程序的时候添加函数值误差范围，并取范围为10101-⨯。
编写的设计函数程序并调试改正如下：function [s,fs,k,G,FX,E]=gold(f,a,b,H,F) %输入：% f:目标函数，a ：搜索区间左侧端点；b:搜索区间右侧端点； % H ：搜索区间允许范围；F ：搜索区间函数值允许范围； %输出：% s:近似极小值点：fa ：近似极小点数值；k:迭代次数：% FX ：近似迭代函数值；E=[h,fh]，h 为近似区间误差，fh 为函数值误差 t=(sqrt(5)-1)/2;h=b-a; p=a+(1-t)*h;q=a+t*h;fa=feval(f,a);fb=feval(f,b); fp=feval(f,p);fq=feval(f,q); k=1;G(k,:)=[a,p,q,b];%初始时错误语句：G(1,:)=[a,p,q,b]; %初始调试的时候没有注意到后面需要开辟k 行空间 FX(k,:)=[fa,fp,fq,fb];while (abs(fa-fb)>F) ((b-a)>H) if (fp<fq)b=q;fb=fq;q=p;fq=fp;h=b-a;p=a+(1-t)*h;fp=feval(f,p); %初始时错误语句：b=q;fb=fq;h=b-a;q=a+t*h;fq=feval(f,q); %初始调试的时候对0.618方法没有充分理解所以出现错误 elsea=p;fa=fp;p=q;fp=fq;h=b-a;q=a+t*h;fq=feval(f,q);%初始时错误语句：a=p;fa=fp;h=b-a;p=a+(1-t)*h;fp=feval(f,p); %初始调试的时候对0.618方法没有充分理解所以出现错误 end极小点(s) 迭代次数搜索区间误差 函数值误差 0.501690.04260.0006k=k+1;G(k,:)=[a,p,q,b];%初始时错误语句：G(1,:)=[a,p,q,b]; %初始调试的时候没有注意到前面已经开辟k 行空间 FX(k,:)=[fa,fp,fq,fb]; end if (fp<fq) s=p;fs=fp; elses=q;fs=fq; endh=b-a;fh=abs(fb-fa);%选取试探点最小的数值为近似点，并且计算出以上为搜索区间的的最后误差以及函数值误差 E=[h,fh];在命令窗口内输入如下命令：[s,fs,k,G,FX,E]=gold(inline('s^2-s-1'),-1,1,0.05,1e-10) 回车之后得到如下数据结果：附：在窗口中输出的结果如下>> [s,fs,k,G,FX,E]=gold(inline('s^2-s-1'),-1,1,0.05,1e-10) s = 0.5000 fs = -1.2500 k = 24 G =-1.0000 -0.2361 0.2361 1.0000 -0.2361 0.2361 0.5279 1.0000 0.2361 0.5279 0.7082 1.0000极小点 极小点数值 迭代次数 搜索区间误差 函数值误差 0.500-1.250024410321.0-⨯0000.00.2361 0.4164 0.5279 0.70820.4164 0.5279 0.5967 0.70820.4164 0.4853 0.5279 0.59670.4164 0.4590 0.4853 0.52790.4590 0.4853 0.5016 0.52790.4853 0.5016 0.5116 0.52790.4853 0.4953 0.5016 0.51160.4953 0.5016 0.5054 0.51160.4953 0.4992 0.5016 0.50540.4953 0.4977 0.4992 0.50160.4977 0.4992 0.5001 0.50160.4992 0.5001 0.5006 0.50160.4992 0.4997 0.5001 0.50060.4997 0.5001 0.5003 0.50060.4997 0.5000 0.5001 0.50030.4997 0.4999 0.5000 0.50010.4999 0.5000 0.5000 0.50010.5000 0.5000 0.5000 0.50010.5000 0.5000 0.5000 0.50000.5000 0.5000 0.5000 0.50000.5000 0.5000 0.5000 0.5000 FX =1.0000 -0.7082 -1.1803 -1.0000 -0.7082 -1.1803 -1.2492 -1.0000 -1.1803 -1.2492 -1.2067 -1.0000 -1.1803 -1.2430 -1.2492 -1.2067 -1.2430 -1.2492 -1.2406 -1.2067 -1.2430 -1.2498 -1.2492 -1.2406 -1.2430 -1.2483 -1.2498 -1.2492 -1.2483 -1.2498 -1.2500 -1.2492 -1.2498 -1.2500 -1.2499 -1.2492 -1.2498 -1.2500 -1.2500 -1.2499 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2499 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.2500 -1.25001.0e-04*0.3121 0.00002、用0.618法求解.12)(min 3+-=x x x f的近似最优解，初始搜索区间为]3,0[，区间精度为50.=1δ. 解：当初始时不限制近似迭代函数值得大小，编写程序运行结果为：从结果可以看出迭代次数为8次，极小点为8115.0，极小点的函数值为0886.0-。
第4章-汇编语言程序设计教案
第四章教学实施计划3课堂教学实施计划第 8 课教学过程设计：复习 0 分钟；授新课 100 分钟讨论 0 分钟；其它 0 分钟授课类型（请打√）：理论课√讨论课□实验课□习题课□其它□教学方式（请打√）：讲授√讨论□示教□指导□其它□教学手段（请打√）：多媒体√模型□实物□挂图□音像□其它□4.1 汇编语言程序设计概述程序实际上是一系列计算机指令的有序集合。
我们把利用计算机的指令系统来合理地编写出解决某个问题的程序的过程，称为程序设计。
程序设计是单片机应用系统设计的重要组成部分，单片机的全部动作都是在程序的控制下进行的。
随着芯片技术的发展，很多标准的或功能型的硬件电路都集成到了芯片中，所以，软件设计在单片机应用系统开发中占的比重越来越大。
一、汇编语言和高级语言汇编语言：用助记符表示的指令称为汇编语言，用汇编语言编写的程序称为汇编语言源程序汇编语言也是面向机器的，它仍是一种低级语言。
汇编语言离不开具体计算机的硬件，与硬件紧密相关。
高级语言：高级语言不受具体“硬件”的限制，具有通用性强，直观、易懂、易学，可读性好等优点。
多数的51单片机用户使用C语言来进行程序设计。
C语言已经成为人们公认的高级语言中高效、简洁而又贴近51单片机硬件的编程语言。
二、汇编语言的特点•助记符指令和机器指令一一对应，所以用汇编语言编写的程序效率高，占用存储空间小，运行速度快，因此汇编语言能编写出最优化的程序。
•使用汇编语言编程比使用高级语言困难，因为汇编语言是面向计算机的，汇编语言的程序设计人员必须对计算机硬件有相当深入的了解。
•汇编语言能直接访问存储器及接口电路，也能处理中断，因此汇编语言程序能够直接管理和控制硬件设备。
•汇编语言缺乏通用性，程序不易移植，各种计算机都有自己的汇编语言，不同计算机的汇编语言之间不能通用。
三、汇编语言的语句格式•指令语句：每一条指令语句在汇编时都产生一个指令代码（也称机器代码），执行该指令代码对应着机器的一种操作。
巴班斯基教学过程最优化理论评析
2012年第10期山东社会科学No．10总第206期SHANDONG SOCIAL SCIENCES General No．206巴班斯基教学过程最优化理论评析王春华（山东师范大学传媒学院，山东济南250014）［摘要］巴班斯基的教学过程最优化理论是在世界上有较大影响的一种教学理论。
该理论以辩证唯物主义和系统论为方法论基础，分析了作为一个系统的教学过程所包含的基本成分和联系，并进而建立了较完备的教学原则和教学方法体系，阐释了教学内容最优化的准则和程序，提出了最优化教学条件的创设方法，同时指出了对学生进行因材施教的途径。
该理论具有继承性与创新性相结合、理论性与实用性相结合、全面性与针对性相结合等特点，在提高教学质量与效益、提高教育研究水平等方面具有重大意义。
今后，该理论应与时俱进，从如何进一步突出学生主体地位，适应信息化、网络化环境等方面进行深入研究和发展。
［关键词］巴班斯基；教学过程最优化理论；评析［中图分类号］G42［文献标识码］A［文章编号］1003－4145［2012］10－0188－05教学过程最优化理论是20世纪70年代苏联著名教育家巴班斯基在实践经验的基础上提出来的，它是以辩证唯物主义为指导思想，运用现代系统论的原则和方法，对教学过程进行综合性研究和探索的一种教学理论。
该理论以其独特的思想和方法，在众多的教学理论中独树一帜，对世界的教育实践和教育教学理论的发展，尤其是对当代的教学设计产生了极大的影响。
一、教学过程最优化理论的产生基础20世纪60年代，科学技术的突飞猛进和美苏两国的竞争推动了世界范围内的教学改革运动。
尽管改革的内容在各国并不相同，但教学内容的现代化、“高难度”、“高速度”却是各国教学改革的共同特征。
这次教学改革运动虽然取得了一定的成绩，但也产生了许多问题，如教师不能适应新教材教法的要求，学生学业负担过重，学生的全面发展未能实现，等等。
在苏联，除了以上问题外，学校教育改革的片面性、形式主义等问题也十分严重。
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最优化方法源程序一、线性规划问题例 解线性规划函数linprog ()线性规划规划矩阵形式：x c z T =min⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=≤UBx LB B ABAx t s eq eq .格式为:x= linprog (c,A,B,Aeq,Beq,LB,UB) 例 解线性规划⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+≤≤++=0,120062200500.200100max 212112121x x x x x x x t s x x z即 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=21)200,100('min x xz()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫⎝⎛==⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛[],001200622005000111.2121LU LB x xx x t s%线性规划求解clear;c=[-100,-200]';A=[1,1;1,0];B=[500,200]';Aeq=[2,6];Beq=1200;LB=[0,0]';UB=[];[x,fval,exitflag,output]=linprog(c,A,B,Aeq,Be q,LB,UB)执行结果：Optimization terminated.x =200.0000133.3333fval =-4.6667e+004exitflag =1output =iterations: 4algorithm: 'large-scale: interior point'cgiterations: 0message: 'Optimization terminated.'二、无约束一元非线性规划问题例1 0.618法function [s,phis,k,G,E]=golds(phi,a,b,delta,epsilon)%功能: 0.618法精确线搜索%输入: phi是目标函数, a, b 是搜索区间的两个端点% delta, epsilon分别是自变量和函数值的容许误差%输出: s, phis分别是近似极小点和极小值, G是nx4矩阵,% 其第k行分别是a,p,q,b的第k次迭代值[ak,pk,qk,bk],% E=[ds,dphi], 分别是s和phis的误差限. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%t=(sqrt(5)-1)/2; h=b-a; phia=feval(phi,a); phib=feval(phi,b);p=a+(1-t)*h; q=a+t*h; phip=feval(phi,p); phiq=feval(phi,q);k=1; G(k,:)=[a, p, q, b];while(abs(phib-phia)>epsilon)|(h>delta)if(phip<phiq)b=q; phib=phiq; q=p; phiq=phip;h=b-a; p=a+(1-t)*h; phip=feval(phi,p);elsea=p; phia=phip; p=q; phip=phiq;h=b-a; q=a+t*h; phiq=feval(phi,q);endk=k+1; G(k,:)=[a, p, q, b];endds=abs(b-a); dphi=abs(phib-phia);if(phip<=phiq)s=p; phis=phip;elses=q; phis=phiq;endE=[ds,dphi];程序调用:>> [s,phis,k,G,E]=golds(inline('2*x^2-x-1'),-1,1,0.16,3)s =0.236067977499790phis =-1.1246117974981077G =-1.000000000000000 -0.236067977499790 0.236067977499790 1.000000000000000 -0.236067977499790 0.236067977499790 0.527864045000421 1.000000000000000 -0.236067977499790 0.055728090000841 0.236067977499790 0.5278640450004210.055728090000841 0.236067977499790 0.347524157501472 0.5278640450004210.055728090000841 0.167184270002524 0.236067977499790 0.3475241575014720.167184270002524 0.236067977499790 0.278640450004206 0.3475241575014720.167184270002524 0.209756742506940 0.236067977499790 0.278640450004206E =0.111456180001683 0.012076339517143例2 最速降法function [x,val,k]=grad(fun,gfun,x0)% 功能: 用最速下降法求解无约束问题: min f(x)%输入: x0是初始点, fun, gfun分别是目标函数和梯度%输出: x, val分别是近似最优点和最优值, k是迭代次数.maxk=5000; %最大迭代次数rho=0.5;sigma=0.4;k=0; epsilon=1e-5;while(k<maxk)g=feval(gfun,x0); %计算梯度d=-g; %计算搜索方向if(norm(d)<epsilon), break; endm=0; mk=0;while(m<20) %Armijo搜索if(feval(fun,x0+rho^m*d)<feval(fun,x0)+sigma*rho^m*g'*d)mk=m; break;endm=m+1;endx0=x0+rho^mk*d;k=k+1;endx=x0;val=feval(fun,x0);function f=fun(x)f=x(1)^2+4*x(2)^2;function gf=gfun(x)gf=[2*x(1), 8*x(2)]';function He=Hess(x)n=length(x);He=zeros(n,n);He=[2, 0;0, 8];程序调用:>> x0=[1 1]';>> [x,val,k]=grad('fun','gfun',x0)x =val =k =2例 MATLAB 函数fminbnd()用于一元函数无约束优化的局部最优解常用格式如下：（1）x= fminbnd (fun,x1,x2)（2）x= fminbnd (fun,x1,x2,options)（3）[x ，fval]= fminbnd （...）（4）[x ，fval ，exitflag]= fminbnd （...）（5）[x ，fval ，exitflag ，output]= fminbnd （...）其中（3）、（4）、（5）的等式右边可选用（1）或（2）的等式右边。
函数fminbnd 的算法基于黄金分割法和二次插值法，它要求目标函数必须是连续函数，并可能只给出局部最优解.1) fval 是函数f(x)在解x 处的值.2) exitflag 的值描述程序运行情况,如果exitflag 的值大于0,则程序收敛于解;如果exitflag 的值等于0,则函数计算达到最大次数; 如果exitflag 的值小于0,则程序未收敛到解.3) output 输出程序运行的某些信息.其中output.iterations 是迭代次数; output.funccount 是函数计算次数; output.algorithm 程序所使用的算法; output.firstorderopt 是一阶最优性的度量.例 求x e x f x s i n 2)(-=在 80<<x 中的最大值与最小值.f='2*exp(-x).*sin(x)';fplot(f,[0,8]); %作图语句[xmin,ymin]=fminbnd (f, 0,8)f1='-2*exp(-x).*sin(x)'; %标准函数为求最小故乘-1[xmax,ymax]=fminbnd (f1, 0,8)运行结果:xmin =3.9270ymin =-0.0279xmax =0.7854ymax =-0.6448 (0.6448)P59 例3.5f='exp(-x)+x^2';fplot(f,[0,1]); %作图语句[xmin,ymin]=fminbnd (f,0,1)运行结果:xmin =0.3517ymin =0.8272三、无约束多元非线性规划问题例MATLAB函数函数fminunc()用于多元函数无约束优化的局部最优解命令格式为:（1）x= fminunc（fun,X0 ）；或x=fminsearch（fun,X0 ）（2）x= fminunc（fun,X0 ，options）；或x=fminsearch（fun,X0 ，options）（3）[x，fval]= fminunc（...）；或[x，fval]= fminsearch（...）（4）[x，fval，exitflag]= fminunc（...）；或[x，fval，exitflag]= fminsearch（5）[x，fval，exitflag，output]= fminunc（...）；或[x，fval，exitflag，output]= fminsearch（...）fminsearch是用单纯形法寻优. fminunc的算法见以下几点说明：[1] fminunc为无约束优化提供了大型优化和中型优化算法。
由options中的参数LargeScale控制：LargeScale=’on’(默认值),使用大型算法LargeScale=’off’(默认值),使用中型算法[2] fminunc为中型优化算法的搜索方向提供了4种算法，由options中的参数HessUpdate控制：HessUpdate=’bfgs’（默认值），拟牛顿法的BFGS公式；HessUpdate=’dfp’，拟牛顿法的DFP公式；HessUpdate=’steepdesc’，最速下降法[3] fminunc为中型优化算法的步长一维搜索提供了两种算法，由options中参数LineSearchType控制：LineSearchType=’quadcubic’(缺省值)，混合的二次和三次多项式插值；LineSearchType=’cubicpoly’，三次多项式插使用fminunc和fminsearch可能会得到局部最优解.P60 例3.6function f=fun1(x)f=exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);>> [x,fval]=fminunc('fun1',[-1,1])x =0.5000 -1.0000fval =3.6609e-015例 香蕉函数T x x x x x x x f ),(,)1()(100)(min 21212221=-+-=该问题有精确解0*)(,)1,1(*==x f x T绘等高线图:[X,Y]=meshgrid(-2:.125:2,-1:.125:3);Z=100*( X.^2-Y).^2+(X-1).^2;conts = exp(3:20);[C,h]=contour(X,Y ,Z,conts);clabel(C,h) %等高线填标签xlabel('x1'),ylabel('x2'),title('Minimization of the Banana function')例 DFP 算法求解无约束问题:香蕉函数function [x,val,k]=dfp(fun,gfun,x0)%功能: 用DFP算法求解无约束问题: min f(x)%输入: x0是初始点, fun, gfun分别是目标函数及其梯度%输出: x, val分别是近似最优点和最优值, k是迭代次数.maxk=1e5; %给出最大迭代次数rho=0.55;sigma=0.4; epsilon=1e-5;k=0; n=length(x0);Hk=eye(n);while(k<maxk)gk=feval(gfun,x0); %计算梯度if(norm(gk)<epsilon), break; end %检验终止准则dk=-Hk*gk; %解方程组, 计算搜索方向m=0; mk=0;while(m<20) % 用Armijo搜索求步长if(feval(fun,x0+rho^m*dk)<feval(fun,x0)+sigma*rho^m*gk'*dk) mk=m; break;endm=m+1;end%DFP校正x=x0+rho^mk*dk;sk=x-x0; yk=feval(gfun,x)-gk;if(sk'*yk>0)Hk=Hk-(Hk*yk*yk'*Hk)/(yk'*Hk*yk)+(sk*sk')/(sk'*yk);endk=k+1; x0=x;endval=feval(fun,x0);function f=fun(x)f=100*(x(1)^2-x(2))^2+(x(1)-1)^2;function gf=gfun(x)gf=[400*x(1)*(x(1)^2-x(2))+2*(x(1)-1), -200*(x(1)^2-x(2))]';程序调用:>> x0=[0,0]'>> [x,val,k]=dfp('fun','gfun',x0)x =0.9999999943347680.999999988038449val =7.192197151384610e-017k =29例共轭梯度法求解无约束问题: 香蕉函数function [x,val,k]=frcg(fun,gfun,x0)% 功能: 用FR共轭梯度法求解无约束问题: min f(x)%输入: x0是初始点, fun, gfun分别是目标函数和梯度%输出: x, val分别是近似最优点和最优值, k是迭代次数. maxk=5000; %最大迭代次数rho=0.6;sigma=0.4;k=0; epsilon=1e-4;n=length(x0);while(k<maxk)g=feval(gfun,x0); %计算梯度itern=k-(n+1)*floor(k/(n+1));itern=itern+1;%计算搜索方向if(itern==1)d=-g;elsebeta=(g'*g)/(g0'*g0);d=-g+beta*d0; gd=g'*d;if(gd>=0.0)d=-g;endendif(norm(g)<epsilon), break; end %检验终止条件m=0; mk=0;while(m<20) %Armijo搜索if(feval(fun,x0+rho^m*d)<feval(fun,x0)+sigma*rho^m*g'*d) mk=m; break;endm=m+1;endx0=x0+rho^mk*d;val=feval(fun,x0);g0=g; d0=d;k=k+1;endx=x0;val=feval(fun,x);function f=fun(x)f=100*(x(1)^2-x(2))^2+(x(1)-1)^2;function gf=gfun(x)gf=[400*x(1)*(x(1)^2-x(2))+2*(x(1)-1), -200*(x(1)^2-x(2))]';程序调用:>> x0=[-1,1]'>> [x,val,k]= frcg ('fun','gfun',x0)x =0.9999035586724200.999806719806067val =9.317481519760974e-009k =143例信赖域法求解无约束问题: 香蕉函数function [xk,val,k]=trustm(x0)%功能: 牛顿型信赖域方法求解无约束优化问题min f(x) %输入: x0是初始迭代点%输出: xk是近似极小点, val是近似极小值, k是迭代次数n=length(x0); x=x0; dta=1;eta1=0.15; eta2=0.75; dtabar=2.0;tau1=0.5; tau2=2.0; epsilon=1e-6;k=0; Bk=Hess(x); %Bk=eye(n);while(k<150)gk=gfun(x);if(norm(gk)<epsilon)break;end[d,val,lam,ik]=trustq(gk,Bk,dta);deltaq=-qk(x,d);deltaf=fun(x)-fun(x+d);rk=deltaf/deltaq;if(rk<=eta1)dta=tau1*dta;else if (rk>=eta2&norm(d)==dta)dta=min(tau2*dta,dtabar);elsedta=dta;endendif(rk>eta1)x0=x; x=x+d;% sk=x-x0; yk=gfun(x)-gfun(x0);%vk=sqrt(yk'*Bk*yk)*(sk/(sk'*yk)-Bk*yk/(yk'*Bk*yk));%Bk=Bk-Bk*yk*yk'*Bk/(yk'*Bk*yk)+sk*sk'/(sk'*yk)+vk*vk'%pauseBk=Hess(x);endk=k+1;endxk=x;val=fun(xk);%%% 目标函数%%%%%%%%%%%%%%%function f=fun(x)f=100*(x(1)^2-x(2))^2+(x(1)-1)^2;%%% 子问题目标函数%%%%%%%%%%%%%function qd=qk(x,d)gk=gfun(x); Bk=Hess(x);qd=gk'*d+0.5*d'*Bk*d;%%% 目标函数的梯度%%%%%%%%%%%%%%function gf=gfun(x)gf=[400*x(1)*(x(1)^2-x(2))+2*(x(1)-1), -200*(x(1)^2-x(2))]';%%% 目标函数的Hesse阵%%%%%%%%%%%%%%function He=Hess(x)n=length(x);He=zeros(n,n);He=[1200*x(1)^2-400*x(2)+2, -400*x(1);-400*x(1), 200 ];function [d,val,lam,k]=trustq(gk,Bk,dta)% 功能: 求解信赖域子问题: min qk(d)=gk'*d+0.5*d'*Bk*d, s.t. ||d||<=delta%输入: gk是xk处的梯度, Bk是第k次近似Hesse阵, dta是当前信赖域半径%输出: d, val分别是子问题的最优点和最优值, lam是乘子值, k是迭代次数. n=length(gk); gamma=0.05;epsilon=1.0e-6; rho=0.6; sigma=0.2;mu0=0.05; lam0=0.05;d0=ones(n,1); z0=[mu0,lam0,d0']';u0=[mu0,zeros(1,n+1)]';k=0; %k为迭代次数z=z0;mu=mu0; lam=lam0; d=d0;while ( k<=150) %Step1 of the algorithmdh=dah(mu,lam,d,gk,Bk,dta);if(norm(dh)<epsilon)break;endA=JacobiH(mu,lam,d,Bk,dta); b=beta(mu,lam,d,gk,Bk,dta,gamma)*u0-dh;B=inv(A); dz=B*b;dmu=dz(1); dlam=dz(2); dd=dz(3:n+2);m=0; mk=0;while (m<20)dhnew=dah(mu+rho^m*dmu,lam+rho^m*dlam,d+rho^m*dd,gk,Bk,dta);if(norm(dhnew)<=(1-sigma*(1-gamma*mu0)*rho^m)*dh)mk=m;break;endm=m+1;endalpha=rho^mk;mu=mu+alpha*dmu;lam=lam+alpha*dlam;d=d+alpha*dd;k=k+1;endval=gk'*d+0.5*d'*Bk*d; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%function p=phi(mu,a,b)p=a+b-sqrt((a-b)^2+4*mu); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%function dh=dah(mu,lam,d,gk,Bk,dta)n=length(d);dh(1)=mu; dh(2)=phi(mu,lam, dta^2-norm(d)^2);mh=(Bk+lam*eye(n))*d+gk;for(i=1:n)dh(2+i)=mh(i);enddh=dh(:);%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%function bet=beta(mu,lam,d,gk,Bk,dta,gamma)dh=dah(mu,lam,d,gk,Bk,dta);bet=gamma*norm(dh)*min(1,norm(dh)); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%function A=JacobiH(mu,lam,d,Bk,dta)n=length(d);A=zeros(n+2,n+2);pmu=-4*mu/sqrt((lam+norm(d)^2-dta^2)^2+4*mu^2);thetak=(lam+norm(d)^2-dta^2)/sqrt((lam+norm(d)^2-dta^2)^2+4*mu^2);A=[1, 0, zeros(1,n);pmu, 1-thetak, -2*(1+thetak)*d';zeros(n,1), d, Bk+lam*eye(n)];程序调用:>>x0=[-1,1]'>> [x,val,k]= trustm(x0)x =1.00001.0000val =4.3868e-017k =32例应用MATLAB函数解无约束非线性规划% method＝1，采用BFGS法。