课时达标检测(三) 充分条件与必要条件

课时达标检测（三） 充分条件与必要条件
一、选择题
1．“tan α＝1”是“α＝π4
”的( ) A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选B ∵若tan α＝1，
则α＝k π＋π4(k ∈Z)，α不一定等于π4
； 而若α＝π4
，则tan α＝1， ∴tan α＝1是α＝π4
的必要不充分条件． 2．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( )
A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C ．丙是甲的充要条件
D ．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
解析：选A 因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．
又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，
但乙⇒/ 丙，如图．
综上，有丙⇒甲，但甲丙，
即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．
3．(北京高考)“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A 由sin φ＝0可得φ＝k π(k ∈Z)，此为曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点的充要条件，故“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的充分不必要条件．
4．(浙江高考)设四边形ABCD 的两条对角线为AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”
是“AC⊥BD”的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A当四边形ABCD为菱形时，其对角线互相垂直，必有
AC⊥BD；但当AC⊥BD时，四边形不一定是菱形(如图)，因此“四边形
ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．
5．使|x|＝x成立的一个必要不充分条件是()
A．x≥0B．x2≥－x
C．log2(x＋1)＞0 D．2x＜1
解析：选B∵|x|＝x⇔x≥0，
∴选项A是充要条件，选项C、D均不符合题意．
对于选项B，∵由x2≥－x，得x(x＋1)≥0，
∴x≥0或x≤－1.
故选项B是使|x|＝x成立的必要不充分条件．
二、填空题
6．如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B 的________(填“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”或“充要”)条件．解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即A⇒/ B．又因否命题为真，所以逆命题为真，即B⇒A，所以A是B的必要不充分条件．
答案：必要不充分
7．条件p：1－x＜0，条件q：x＞a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
解析：p：x＞1，若p是q的充分不必要条件，则p⇒q，但q⇒/ p，也就是说，p对应集合是q对应集合的真子集，所以a＜1.
答案：(－∞，1)
8．下列命题：
①“x＞2且y＞3”是“x＋y＞5”的充要条件；
②b2－4ac＜0是一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0解集为R的充要条件；
③“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充分不必要条件；
④“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件．
其中真命题的序号为______________．
解析：①x＞2且y＞3时，x＋y＞5成立，反之不一定，如x＝0，y＝6.所以“x＞2且y ＞3”是“x＋y＞5”的充分不必要条件；
②不等式解集为R的充要条件是a＜0且b2－4ac＜0，故②为假命题；
③当a＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则a
1＝2
1
，∴a＝2.因此，“a＝2”是
“两直线平行”的充要条件；
④lg x＋lg y＝lg(xy)＝0，
∴xy＝1且x＞0，y＞0.
所以“lg x＋lg y＝0”成立，xy＝1必成立，反之不然．
因此“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件．
综上可知，真命题是④.
答案：④
三、解答题
9．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件．
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；
(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；
(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；
(4)p：圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，q：c2＝(a2＋b2)r2.
解：(1)∵|x|＝|y|⇒/ x＝y，
但x＝y⇒|x|＝|y|，
∴p是q的必要条件，但不是充分条件．
(2)∵△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形，
△ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形，
∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．
(3)∵四边形的对角线互相平分四边形是矩形， 四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分，
∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件．
(4)若圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切， 则圆心到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ，
即r ＝|c |a 2＋b 2
， 所以c 2＝(a 2＋b 2)r 2；
反过来，若c 2＝(a 2＋b 2)r 2，
则|c |
a 2＋
b 2＝r 成立， 说明x 2＋y 2＝r 2的圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋
c ＝0的距离等于r ， 即圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，
故p 是q 的充要条件．
10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.
证明：(1)充分性：
当q ＝－1时，a 1＝p －1.
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)．
当n ＝1时，上式也成立．
于是a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)
＝p ， 即数列{a n }为等比数列．
(2)必要性：
当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q .
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)．
∵p ≠0且p ≠1， ∴a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p . 因为{a n }为等比数列，
所以a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p ＝p (p －1)p ＋q
， ∴q ＝－1. 即数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.。