小波变换
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小波变换
赵迪迪
1
1
2
小波及其数学原理
快速小波变换算法
3
小波在图像处理中的应用
2
1
小波及其数学原理
• 小波的概念
• 多分辨率wenku.baidu.com析
小波及其数学原理 • 小波函数的构建
1
• 小波序列展开 • 离散小波变换
3
小波的概念
小波是定义在有限区间上且其平均值为零的一种函数。 傅立叶分析是把一个信号分解成各种不同频率的正弦波,小波分析是把一个信号分解成一系列的小波, 这些小波都是通过将原始小波经过移位和缩放之后得到的。
������������ ������������ (������)
其中,������������ 是具有实数值的展开系数,������������ 是具有实数值的展开函数。如果展开形式是唯一的,即对于 任何指定的 ������ ������ 只有一个 ������������ 序列与之相对应,那么 ������������ (������) 称为基函数。可展开的函数组成了一个函数空间, 被称展开集合的闭生空间,表示为
������������,������ ������ , ������������,������ ������ =0
然后可以将所有的可度量的、平方可积函数空间表示如下:
������2 ������ = ������ ������0 ⨁������ ������0 ⨁������ ������0+1 ⨁…
+∞
根据������2 ������ = ������ ������0 ⨁������ ������0 ⨁������ ������0+1 ⨁…,可以写出
������ ������ =
������
������������0 ������ ������������0,������ ������ +
������=������0 ������
6
多分辨率分析
定义下式代表对任何������, ������上的生成子空间
������ ������ = ������������������������{������ ������,������ ������ } ������ 增加������将增加V������ 的大小,允许具有变化较小的变量或较细的细节函数包含在子空间中。这是由于������增大 时,用于表示子空间函数的������������,������ ������ 范围变窄,������ 有较小变化即可分开。
8
因此,如果函数������ ������ 是������0 的元素,那么它必然也是 ������1 的元素。这是由于 ������0 中任何元素的展开函数都属于 ������1 。 或者说, ������0 是������1 的一个子空间,即������0 ⊂ ������1 。
多分辨率分析
子空间������ ������ 的展开函数可以被表述为子空间������ ������+1 的展开函数的加权和
以哈尔尺度函数为例来进行说明。考虑单位高度、单位宽度的尺度函数
������ ������ ∈
������0,0 ������ = ������(������) ������0,1 ������ = ������(������ − 1)
1, 0
0 ≤ ������ < 1 其他
������1,0 ������ = 2������(������) ������1,1 ������ = 2������(������ − 1)
������ ������ = ������������ ������ + ������������ (������)
������������ ������ 是������ ������ 使用������0 尺度的近似,而������������ (������)为������ ������ − ������������ ������ 的差,用������0 小波的和表示。这 两个展开式将������ ������ 用类似高通和低通滤波器的方法分成两部分。 ������ ������ 的低频部分在������������ ������ 中 得到,而高频细节则在������������ (������)中编码。
������ = ������������������������{������������ ������ }
������
下面来考虑由整数平移和实数二值尺度、平方可积函数φ(������)组成的展开函数集合 ������������,������ ������ ,其中
������������,������ ������ = 2������/2 ������(2������ ������ − ������) ������决定了������������,������ ������ 在������轴上的位置,������决定了������������,������ ������ 的宽度,即沿������ 轴的宽或窄的程度,而������/2控制其高 度或幅度。由于������������,������ ������ 的形状随������发生变换,������(������)被称为尺度函数。通过选择适当的������ ������ ,{������������,������ ������ }可以 决定生成空间������2 (������),也就是可以决定所有可度量的平方可积函数的集合。
������
尺度与小波函数子空间:������ ������+1 = ������ ������ ⨁������ ������
这里⨁表示空间并集(类似于集合并集)。 ������ ������+1 中的正交补集是������ ������ ,而且 ������ ������ 中的所有成员对于������ ������ 中的所有成员都正交。
11
小波函数的构建
因为小波空间存在于由相邻较高分辨率尺度函数跨越的空间中,任何小波函数可以表示成平移的双 倍分辨率尺度函数的加权和。 ������ ������ =
������
ℎ������ ������
1 22 ������(2������
− ������)
ℎ������ ������ = (−1)������ ℎ������ 1 − ������ 举例,如何用尺度函数构建小波函数。 已知子空间������ ������ 的展开函数可以被表示成子空间������ ������+1 的展开函数的加权和。以单位高度、宽度的哈尔 尺度函数为例,������0 的展开函数被表示成两项������1 的展开函数的加权和,单位高度、单位宽度的哈尔尺度函 数的系数ℎ������ 0 = ℎ������ 1 = 1/ 2 : 1 1 ������ ������ = 2������ 2������ + [ 2������ 2������ − 1 ] 2 2 上述表达式中用方括号括起来的项分别是������1,0 (������)和������1,1 (������)。
������1 = ������0 ⨁������0 ������0
������������,������ ������ =
������ 22 ������(2������ ������
− ������)
������1
������0
使用尺度函数,可以写成: ������ ������ = ������������������������{������������,������ ������ }
14
1
小波及其数学原理
• 小波的概念
• 多分辨率分析
小波及其数学原理 • 小波函数的构建
1
• 小波序列展开 • 离散小波变换
15
小波序列展开
在小波变换方面,主要研究三种类型:连续小波变换(CWT)、小波级数展开和离散小波变 换(DWT)。分别对应傅里叶域中的连续傅里叶变换、傅里叶序列展开和离散傅里叶变换。 通过前面的介绍,已知如果������(������) ∈ ������ ������0 ,则有
12
小波函数的构建
已知哈尔尺度函数的系数,使用ℎ������ ������ 和ℎ������ ������ 的关系式,得到相应的小波函数系数为
ℎ������ 0 = (−1)0 ℎ������ 1 − 0 = 1/ 2 ℎ������ 1 = (−1)1 ℎ������ 1 − 1 = −1/ 2
������������+1,������ ������ = ������������,������ ������ =
������+1 2 2 ������(2������+1 ������
− ������)
������������ ������������+1,������ (������)
������
为: 1, ������ ������ = −1, 0, 0 ≤ ������ < 0.5 0.5 ≤ ������ < 1 其他
13
小波函数的构建
已知图中的函数位于子空间������1 中,而不在子空间������0 中。根据前面的讨 论,虽然该函数不能在������0 中精确的表示,但是它可以用������0 和������0 的展开函数 来进行展开:
������������ (������)������������,������ (������)
其中,������0 是任意开始的尺度, ������������0 ������ 和������������ (������)分别是前两个公式中������������ 的改写。 ������������0 ������ 通常被称 为近似值(尺度系数); ������������ (������)称为细节(小波系数)。 ������������0 ������ = ������ ������ , ������������0,������ (������) = ������������ (������) = ������ ������ , ������������,������ (������) = ������ ������ ������������0,������ ������ ������������ ������ ������ ������������,������ (������)������������
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1
小波及其数学原理
• 小波的概念
• 多分辨率分析
小波及其数学原理 • 小波函数的构建
1
• 小波序列展开 • 离散小波变换
5
多分辨率分析
多分辨率分析是构造小波基的一种有效方法。 信号或函数������(������)可以被分解为一系列展开函数的线性组合。 ������ ������ =
������
������ ������ =
������
������������ ������������0,������ (������)
而如果������(������) ∈ ������ ������ ,则有 ������ ������ =
������
������������ ������������,������ (������)
������������,������ ������ =
������
������+1 ℎ������ (������)2 2 ������(2������+1 ������
− ������)
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1
小波及其数学原理
• 小波的概念
• 多分辨率分析
小波及其数学原理 • 小波函数的构建
1
• 小波序列展开 • 离散小波变换
10
小波函数的构建
定义小波函数������ ������ ,该小波函数跨越了相邻两尺度子空间������ ������ 和������ ������+1 的差异。
������2 = ������1 ⨁������1 = ������0 ⨁������0 ⨁������1
定义跨越子空间������ ������ 的小波集合{������������,������ ������ }
左图演示了将������0,0 ������ 分解为������1 展开函数的和式。
������0,������ ������ =
1 2
������1,2������ ������ +
1 2
������1,2������+1 ������ ������0 ⊂ ������1 ⊂ ������2
������0
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多分辨率分析
由于������0 中的函数不够精细,因而不能准确的表示该成员,所以该函数 不属于子集������0 。需要使用������1 中更为精细(分辨率更高)的函数来对其进行 表示,即采用下述这个三项和的形式
������ ������ = 0.5������1,0 ������ + ������1,1 ������ − 0.25������1,4 ������
������ ������ =
������
ℎ������ ������
1 22 ������(2������
− ������)
������ ������ = ������ 2������ − ������(2������ − 1)
任何小波函数都可以表示成平移的双倍分辨率尺度函数的加权和。所以可得哈尔小波函数
赵迪迪
1
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2
小波及其数学原理
快速小波变换算法
3
小波在图像处理中的应用
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1
小波及其数学原理
• 小波的概念
• 多分辨率wenku.baidu.com析
小波及其数学原理 • 小波函数的构建
1
• 小波序列展开 • 离散小波变换
3
小波的概念
小波是定义在有限区间上且其平均值为零的一种函数。 傅立叶分析是把一个信号分解成各种不同频率的正弦波,小波分析是把一个信号分解成一系列的小波, 这些小波都是通过将原始小波经过移位和缩放之后得到的。
������������ ������������ (������)
其中,������������ 是具有实数值的展开系数,������������ 是具有实数值的展开函数。如果展开形式是唯一的,即对于 任何指定的 ������ ������ 只有一个 ������������ 序列与之相对应,那么 ������������ (������) 称为基函数。可展开的函数组成了一个函数空间, 被称展开集合的闭生空间,表示为
������������,������ ������ , ������������,������ ������ =0
然后可以将所有的可度量的、平方可积函数空间表示如下:
������2 ������ = ������ ������0 ⨁������ ������0 ⨁������ ������0+1 ⨁…
+∞
根据������2 ������ = ������ ������0 ⨁������ ������0 ⨁������ ������0+1 ⨁…,可以写出
������ ������ =
������
������������0 ������ ������������0,������ ������ +
������=������0 ������
6
多分辨率分析
定义下式代表对任何������, ������上的生成子空间
������ ������ = ������������������������{������ ������,������ ������ } ������ 增加������将增加V������ 的大小,允许具有变化较小的变量或较细的细节函数包含在子空间中。这是由于������增大 时,用于表示子空间函数的������������,������ ������ 范围变窄,������ 有较小变化即可分开。
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因此,如果函数������ ������ 是������0 的元素,那么它必然也是 ������1 的元素。这是由于 ������0 中任何元素的展开函数都属于 ������1 。 或者说, ������0 是������1 的一个子空间,即������0 ⊂ ������1 。
多分辨率分析
子空间������ ������ 的展开函数可以被表述为子空间������ ������+1 的展开函数的加权和
以哈尔尺度函数为例来进行说明。考虑单位高度、单位宽度的尺度函数
������ ������ ∈
������0,0 ������ = ������(������) ������0,1 ������ = ������(������ − 1)
1, 0
0 ≤ ������ < 1 其他
������1,0 ������ = 2������(������) ������1,1 ������ = 2������(������ − 1)
������ ������ = ������������ ������ + ������������ (������)
������������ ������ 是������ ������ 使用������0 尺度的近似,而������������ (������)为������ ������ − ������������ ������ 的差,用������0 小波的和表示。这 两个展开式将������ ������ 用类似高通和低通滤波器的方法分成两部分。 ������ ������ 的低频部分在������������ ������ 中 得到,而高频细节则在������������ (������)中编码。
������ = ������������������������{������������ ������ }
������
下面来考虑由整数平移和实数二值尺度、平方可积函数φ(������)组成的展开函数集合 ������������,������ ������ ,其中
������������,������ ������ = 2������/2 ������(2������ ������ − ������) ������决定了������������,������ ������ 在������轴上的位置,������决定了������������,������ ������ 的宽度,即沿������ 轴的宽或窄的程度,而������/2控制其高 度或幅度。由于������������,������ ������ 的形状随������发生变换,������(������)被称为尺度函数。通过选择适当的������ ������ ,{������������,������ ������ }可以 决定生成空间������2 (������),也就是可以决定所有可度量的平方可积函数的集合。
������
尺度与小波函数子空间:������ ������+1 = ������ ������ ⨁������ ������
这里⨁表示空间并集(类似于集合并集)。 ������ ������+1 中的正交补集是������ ������ ,而且 ������ ������ 中的所有成员对于������ ������ 中的所有成员都正交。
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小波函数的构建
因为小波空间存在于由相邻较高分辨率尺度函数跨越的空间中,任何小波函数可以表示成平移的双 倍分辨率尺度函数的加权和。 ������ ������ =
������
ℎ������ ������
1 22 ������(2������
− ������)
ℎ������ ������ = (−1)������ ℎ������ 1 − ������ 举例,如何用尺度函数构建小波函数。 已知子空间������ ������ 的展开函数可以被表示成子空间������ ������+1 的展开函数的加权和。以单位高度、宽度的哈尔 尺度函数为例,������0 的展开函数被表示成两项������1 的展开函数的加权和,单位高度、单位宽度的哈尔尺度函 数的系数ℎ������ 0 = ℎ������ 1 = 1/ 2 : 1 1 ������ ������ = 2������ 2������ + [ 2������ 2������ − 1 ] 2 2 上述表达式中用方括号括起来的项分别是������1,0 (������)和������1,1 (������)。
������1 = ������0 ⨁������0 ������0
������������,������ ������ =
������ 22 ������(2������ ������
− ������)
������1
������0
使用尺度函数,可以写成: ������ ������ = ������������������������{������������,������ ������ }
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小波及其数学原理
• 小波的概念
• 多分辨率分析
小波及其数学原理 • 小波函数的构建
1
• 小波序列展开 • 离散小波变换
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小波序列展开
在小波变换方面,主要研究三种类型:连续小波变换(CWT)、小波级数展开和离散小波变 换(DWT)。分别对应傅里叶域中的连续傅里叶变换、傅里叶序列展开和离散傅里叶变换。 通过前面的介绍,已知如果������(������) ∈ ������ ������0 ,则有
12
小波函数的构建
已知哈尔尺度函数的系数,使用ℎ������ ������ 和ℎ������ ������ 的关系式,得到相应的小波函数系数为
ℎ������ 0 = (−1)0 ℎ������ 1 − 0 = 1/ 2 ℎ������ 1 = (−1)1 ℎ������ 1 − 1 = −1/ 2
������������+1,������ ������ = ������������,������ ������ =
������+1 2 2 ������(2������+1 ������
− ������)
������������ ������������+1,������ (������)
������
为: 1, ������ ������ = −1, 0, 0 ≤ ������ < 0.5 0.5 ≤ ������ < 1 其他
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小波函数的构建
已知图中的函数位于子空间������1 中,而不在子空间������0 中。根据前面的讨 论,虽然该函数不能在������0 中精确的表示,但是它可以用������0 和������0 的展开函数 来进行展开:
������������ (������)������������,������ (������)
其中,������0 是任意开始的尺度, ������������0 ������ 和������������ (������)分别是前两个公式中������������ 的改写。 ������������0 ������ 通常被称 为近似值(尺度系数); ������������ (������)称为细节(小波系数)。 ������������0 ������ = ������ ������ , ������������0,������ (������) = ������������ (������) = ������ ������ , ������������,������ (������) = ������ ������ ������������0,������ ������ ������������ ������ ������ ������������,������ (������)������������
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小波及其数学原理
• 小波的概念
• 多分辨率分析
小波及其数学原理 • 小波函数的构建
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• 小波序列展开 • 离散小波变换
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多分辨率分析
多分辨率分析是构造小波基的一种有效方法。 信号或函数������(������)可以被分解为一系列展开函数的线性组合。 ������ ������ =
������
������ ������ =
������
������������ ������������0,������ (������)
而如果������(������) ∈ ������ ������ ,则有 ������ ������ =
������
������������ ������������,������ (������)
������������,������ ������ =
������
������+1 ℎ������ (������)2 2 ������(2������+1 ������
− ������)
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小波及其数学原理
• 小波的概念
• 多分辨率分析
小波及其数学原理 • 小波函数的构建
1
• 小波序列展开 • 离散小波变换
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小波函数的构建
定义小波函数������ ������ ,该小波函数跨越了相邻两尺度子空间������ ������ 和������ ������+1 的差异。
������2 = ������1 ⨁������1 = ������0 ⨁������0 ⨁������1
定义跨越子空间������ ������ 的小波集合{������������,������ ������ }
左图演示了将������0,0 ������ 分解为������1 展开函数的和式。
������0,������ ������ =
1 2
������1,2������ ������ +
1 2
������1,2������+1 ������ ������0 ⊂ ������1 ⊂ ������2
������0
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多分辨率分析
由于������0 中的函数不够精细,因而不能准确的表示该成员,所以该函数 不属于子集������0 。需要使用������1 中更为精细(分辨率更高)的函数来对其进行 表示,即采用下述这个三项和的形式
������ ������ = 0.5������1,0 ������ + ������1,1 ������ − 0.25������1,4 ������
������ ������ =
������
ℎ������ ������
1 22 ������(2������
− ������)
������ ������ = ������ 2������ − ������(2������ − 1)
任何小波函数都可以表示成平移的双倍分辨率尺度函数的加权和。所以可得哈尔小波函数