第四章 相似原理与量纲分析

图 4-2 几何相似、运动相似与动力相似
为了同时满足上述几类相似，原型与模型的相应物理量之间必须满足一定的约束条件。以匀速运动 为例，原型与模型之间必须首先满足
v p / vm Cv
l p / lm Cl p / m C
公式中的 Cv、Cl、Cτ 称为速度、位移和时间的相似常数。 根据匀速运动的特点，要保证原型与模型之间相似，上述相似常数必须满足
在热量传输研究中需要加上第四个基本量纲——温度量纲 Θ。
除了量纲量之外还存在无量纲量(nondimensional variable)，即没有量纲的物理量。无量纲量有两种， 一种是自然无量纲量，例如常数；另一种是由一定物理量组合而成，例如各种相似准数。
无量纲物理量具有以下性质：客观性、不受运动规模的影响、清楚反映问题实质、可进行超越函是判断模型与原型是否相似的关键。因此，如何获得所研究问题相关的 相似准数是研究相似现象的必要步骤。常用的相似准数确定方法主要包括量纲分析法、方程分析法(包括 相似转换法和积分类比法)和定律分析法。本课程只介绍量纲分析法(dimensional analysis)。 4.2.1 量纲与单位 任何物理量都包括大小和种类两方面。物理量的大小可以用相应的单位(unit)来表示；物理量所属的 种类则用量纲(dimension，又称为因次)来表示，例如长度就是一种量纲。量纲与单位有以下区别：量纲 是物理量的测量尺度，反映物理量的物理属性，不含有数值；单位是一种分配数值给量纲的方法。同一 量纲可以用多种单位表示，例如长度可以用米、毫米、微米、纳米等单位来表示。 量纲可以分为基本量纲(fundamental/basic dimension)和导出量纲(nonprimary dimension)。基本量纲是 具有独立性的量纲，在动量传输领域中有三个基本量纲：长度量纲 L、时间量纲 T、质量量纲 M。导出 量纲由基本量纲组合而成，例如速度量纲由长度量纲和时间量纲组合而成。
例 4-1 图
假设：(1)空气为不可压缩流体(待验证)；(2)风洞壁面离模型车足够远，对空气阻力无影响；(3)模型与原 型几何相似； (4)风洞有一个移动带来模拟汽车下的地面(以达到流动中每一处特别是汽车下的地面处的动 力学相似)。 解： 该问题属于前面介绍的外部流动问题，相关物理量为空气阻力 Fd 、汽车速度 v、特征长度 L、空气密度 和粘度 µ。该问题可以表示为
Eu
p v 2
(4)斯特劳哈尔数(Strouhal number)Sr 斯特劳哈尔数表示区域惯性力和对流惯性力之比，可以表示为
Sr
l v
斯特劳哈尔数反映了流体运动随时间变化的情况，是研究非稳定流动和脉动流动时的重要相似准数。 (5)马赫数(Mach number)Ma 马赫数表示弹性力和惯性力之比，反映了流动的压缩程度，适用于流体压缩程度很大时，已在第一章进行过介绍。 (6)韦伯数(Weber number)Wb 韦伯数表示惯性力与表面张力之比，可以表示为
Ne
v 2 L2
FL
CL
公式中的 Cf 为阻力系数，CL 为升力系数。
4.1.2 相似三定律 根据上一小节的介绍，用模型研究法进行实验研究必须保证模型与原型对应的物理现象彼此相似， 相似三定律告诉我们如何判断原型与模型对应的物理现象是否相似以及彼此相似现象的性质。 4.1.2.1 相似第一定律 相似第一定律：彼此相似的现象必定具有数值相同的同名相似准数。 相似第一定律是现象相似的必要条件，它揭示了相似现象的基本性质——相似准数相等。
例 4-1A 表面张力的主量纲 一个工程师在研究为什么有些昆虫能够在水上行走。该问题中一个重要的流体属性是表面张力，它的量 纲是每单位长度上的力。以主量纲的形式写出表面张力的量纲。
例 4-1A 图
解：
Force [Force] [MLT2 ] 2 [ s ] [Length] [L] [MT ] Length
4 相似原理与量纲分析
4.0 本章主要内容导读
通过第三章的学习，可以看到用数学分析方法研究动量传输问题具有较大的局限性，许多情况下无 法得到问题的解析解，此时往往通过实验方法或者数值模拟方法进行研究。实验方法通常包括直接实验 法和模型研究法。由于实验研究条件的限制，很多时候并不能采用直接实验法研究原始研究对象(原型)， 此时往往采用模型研究法，建立一个模型来模拟原型。模型实验研究的理论指导基础是相似原理，具体 实践方法则是量纲分析。本章对这两部分内容进行讨论，主要内容如图 4-1 所示。
Fr
v gl
弗劳德数反映了流体流动中重力的影响程度，是具有自由液面的液体流动时最重要的相似准数。 在某些流动情况下，流体的粘性力和重力、惯性力同样重要，此时需要同时考虑雷诺数和弗劳德数。同时满足雷诺数和弗 劳德数相等的唯一方法是在模型中采用粘度不同于原型流体的流体。 (3)欧拉数(Euler number)Eu 欧拉数表示压力(压差力)和惯性力之比，可以表示为
Fd f (v, L, , )
相应的准数方程为
Cf
Fd f ( Re) v 2 L2
vL f
显然，必须保证雷诺数 Re 相等才能满足模型与原型的相似，因此有
2,m Rem
即
v L mvm Lm 2, p Re p p p p m p
这个速度非常大(大约为 100m/s)，一般的风洞在该速度下难以运行。而且这样的高速度下，空气的不可压缩假设可能不能 成立(Ma≈0.3)。 对该问题可以采取以下几种解决方法：(1)采用大的风洞(汽车制造商一般在非常大型的风洞中测试，对轿车采用 3/8 尺寸 模型，对货车和公共汽车采用 1/8 尺寸模型)；(2)采用其它流体进行实验。根据相似第二定律，即使采用不同的流体进行 实验，只要相应的相似准数相等，原型与模型就可以保持彼此相似，因此汽车、飞行器可以在水洞中进行相似实验，而潜 艇可以在风洞中进行相似实验。 对同样尺寸的模型， 水洞所需速度远远低于风洞速度(对本问题， 水洞所需速度约为 11m/s)； (3)对风洞加压和/或调节温度(效果有限)；(4)在接近最大速度的几个速度下进行风洞实验，然后根据自模化外推到全尺寸 雷诺数情况(见 4.3 节)。
Wb
v 2l
韦伯数适用于研究气液、液液及液固交界面上有显著表面张力作用的情况。 (7)牛顿数(Newton number)Ne 牛顿数表示外力与流体惯性力之比，可以表示为
Ne
F v 2l 2
当外力为阻力 Fd 或者升力 FL 时，牛顿数 Ne 可以表示为
Ne
v 2 L2
Fd
Cf
p Lp 17.4 106 kg/(m s) 1.185kg/m 3 vm v p m 80 km/h 18.35 10 6 kg/(m s) 1.27kg/m 3 5 354km/h L p m m
这种关系式称为准数方程。 相似第三定律反映了实验数据的处理方法——将物理量的关系表示为准数方程形式。
根据相似第三定律，任何定解问题的积分结果都可以表示成由这一定解问题所导出的相似准数之间的函数关系——准数方 程，方程中的每个准数由有关物理量构成，所以准数方程实际上就是定解问题的解。 当需要用实验手段找出具体准数方程时，实验的变量不是一般的物理变量，而是由物理量构成的独立的无量纲相似准数，使 实验变量的个数大大减少。 实际应用中，常将准数方程表示为如下形式
C
公式中的 C 称为相似指标。 上式也可以表示为
CvC 1 Cl
vl l vm m ll lm
因此，也可以根据综合数群 vτ/l 判断原型与模型是否相似，这种用于判断原型与模型是否相似的综合数 群称为相似准数(similarity parameters)。
动量传输中的常用相似准数
(1)雷诺数(Renolds number)Re 雷诺数表示惯性力和粘性力之比，反映了流体流动中粘性力的影响程度。具体定义式和作用已在第三章进行过介绍。 (2)弗劳德数(Froude number)Fr 弗劳德数表示惯性力和重力之比，可以表示为
未定i fi (1已定 , 2已定 ,, m已定 ) i 1， , n， m
对准数方程进一步处理的理论依据是白金汉 π 定理(见 4.2.3)，因此有许多教材将白金汉 π 定理称为相似第二定律，而将 上面的相似第二定律称为相似第三定律。
例 4-1 模型车与原型车的相似 一辆新型两厢车在 25℃时的时速是 80km/h，工程师建立了一个 1/5 尺寸的模型车进行风洞测试，风洞中 的温度为 5℃，风洞的速度达到多少才能保证模型与原型的相似？
图 4-1 第四章主要内容导读
4.1 相似原理
4.1.1 相似的基本概念 遵循同一物理方程的现象称为同类现象。如果两个同类现象对应物理量成比例(在对应的时空点，各 标量物理量的大小成比例，各向量物理量大小成比例、方向相同)，称这两个现象为相似现象。 对于动量传输问题，模型(model)与原型(prototype)之间必须满足如下相似条件才能成为相似现象(图 4-2)：(1)几何相似。几何相似又称为空间相似，要求模型与原型外形完全一样；对应线段成比例；对应 夹角相等；有粗糙度时粗糙度相似；(2)运动相似。要求模型与原型对应流线几何相似；对应点速度大小 成比例，方向相同；(3)动力相似。又称为受力相似，要求模型与原型的两个对应流场受同种外力作用； 对应点上对应作用力成比例。
相似准数相等等同于相似指标等于一，因此也可以将相似第一定律表示为“彼此相似现象的相似指标等于一。 ”
4.1.2.2 相似第二定律 相似第二定律：凡同一种类现象，如果定解条件相似，同时由定解条件的物理量所组成的相似准数 在数值上相等，这些现象必定相似。
相似第二定律反映了现象相似的三个充分必要条件——同类现象、定解条件相似、相似准数相等。