八年级数学专题训练(6)
人教版八年级上册数学期末复习6专题六 作图专题
则H即为工厂位置．
四、网格作图
13．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(0，1)， B(3，2)，C(1，4)均在正方形网格的格点上．
(1)画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1； (2)将△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位长度后得到
△A2B2C2，写出顶点 A2，B2，C2的坐标．
解：如图，作出AB和BC的中垂线，相交于点P， 则点P是所求的到三村距离相等的点
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°. (1)用尺规作出AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F. (2)若BF＝3，求CF的长度．
解：(1)如图所示：
(2)连接AF.
∵AB＝AC，∠BAC＝120°
∴∠B＝∠C＝
1 2
(180°－120°)＝30°
又由(1)知BF＝AF
∴∠FAB＝∠B＝30°
∴∠FAC＝120°－30°＝90°
∴CF＝2AF＝2BF＝2×3＝6
12. 如图，已知甲村和乙村靠近公路a，b，为了发展经济， 甲、乙两村准备合建一个工厂，经协商，工厂必须满足 以下要求：
(1)到两村的距离相等； (2)到两条公路的距离相等．你能帮忙确定工厂的位置吗？
解：如图
15.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为 A(2，3)，B(3，1)，C(－2，－2)．
(1)请在图中作出△ABC关于y轴的轴对称图形△A′B′C′(A，B，C 的对称点分别是A′，B′，C′)，并直接写出A′，B′，C′的坐标．
(2)求△A′B′C′的面积．
解：(1)如图所示，点A′(－2，3)， B′(－3，1)，C′(2，－2)；
解：设a、b相交于点O.甲村为点E，乙村为点D.
1浙江版数学八年级上册专题训练.6 尺规作图
1.6 尺规作图一、选择题1. 请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图， 根据图形全等的知识，说明画出 的依据是 ( )A.B.C.D.（第1题图） （第2题图）2. 如图，在平面直角坐标系中，点 ，在 轴上任取一点 ，完成以下作图步骤：①连接，作线段的垂直平分线 ，过点 作 轴的垂线 ，记 ， 的交点为 ； ②在 轴上多次改变点 的位置，用①的方法得到相应的点 ，把这些点用平滑的曲线顺次连接起来，得到的曲线是A. 直线B. 抛物线C. 双曲线D. 双曲线的一支3. 如图，过点 画直线 的平行线 的作法的依据是A. 两直线平行，同位角相等B. 同位角相等，两直线平行C. 两直线平行，内错角相等D. 内错角相等，两直线平行（第3题图） （第4题图）4. 如图，已知 ，用尺规在上确定一点 ，使，则符合要求的作图痕迹是A. B. C. D. 5. 如图，已知，，用尺规作图的方法在上取一点 ，使得，则下列选项正确的是 ( )A. B. C. D.6. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明的依据是A. B. C. D.（第6题图）（第7题图）7. 如图，已知，用尺规在上确定一点，使．则下列四种不同方法的作图中准确的是A. B. C. D.8. 如图，点在的边上，用尺规作出了，作图痕迹中，是( )（第8题图）A. 以点为圆心，为半径的弧B. 以点为圆心，为半径的弧C. 以点为圆心，为半径的弧D. 以点为圆心，为半径的弧9. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明的依据是( )A. B. C. D.（第9题图）10. 如图，已知，，用尺规作图的方法在上取一点，使得，则下列选项正确的是A. B.C. D.二、填空题11. 在数学课上，老师提出如下问题：小义同学作法如下：（第11题图）老师说：“小义的作法正确.”请回答：小义的作图依据是 .12. 如图，作一个角等于，在射线上，以点为圆心，以为半径画弧，交于点；然后以点为圆心，以为半径画弧，交于点；再以为圆心，以长为半径画弧，交前面的弧于点．过点作，则就是所求作的角．（第12题图）（第13题图）13. 尺规作图：已知，试在内确定一点，使点到，的距离相等，并且到，两点的距离也相等，要求保留作图痕迹，并简要说明理由．理由：．14. “已知点在直线上，利用尺规作图过点作直线”的作图方法如下：①以点为圆心，以任意长为半径画弧，交直线于，两点；②分别以，两点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点；③连接．则直线．请什么此方法依据的数学原理是．（第14题图）15. 阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：经过已知直线上一点作这条直线的垂线．已知：直线和上一点．求作：的垂线，使它经过点．（第15题图①）小艾的作法如下：如图，（1）在直线上取一点，使点与点不重合，以点为圆心，长为半径作弧，交于，两点；（2）分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点；（3）作直线．所以直线就是所求作的垂线．老师表扬了小艾的作法是对的．（第15题图②）请回答：小艾这样作图的依据是．16. 在中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于两点，；②作直线交于点，连接 . 若，，则的度数为．（第16题图）（第17题图）17. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图，则说明的依据是．三、解答题18. 有公路同侧、异侧的两个城镇 , ，如下图．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇，的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等，发射塔应修建在哪个位置．请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点的位置．（保留作图痕迹，不要求写出画法）（第18题图）19. 为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点，使到该镇所属村，村，村的村委会所在地的距离都相等（，，不在同一直线上，地理位置如图），请你用尺规作图的方法确定点的位置．要求：写出已知、求作，不写作法，保留作图痕迹．（第19题图）20. 如图，已知线段及，只用直尺和圆规求作，使，，（在指定作图区域内作图，保留作图痕迹，不写作法）（第20题图）21. 已知：如图，在中，，．请用直尺和圆规找到一条直线，把恰好分割成两个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕迹）．（第21题图）22. 如图是三角形陶瓷碎片的一部分，现打算复制一块完整的陶瓷片，请你根据提供的信息，用尺规作一个完整的三角形瓷片．（第22题图）23. 某区进行生态城市建设，需将，，三个小区中的区搬迁到处成立新区．其中与关于直线对称．（第23题图）Ⅰ. 根据要求在下图中确定区的位置．Ⅱ. 为引领社区居民健康文明生活，现计划建立一个社区文化广场，要求广场到，，三个小区的距离相等.请你利用尺规作图的方法确定点的位置．（要求保留作图痕迹，不用说明步骤）．参考答案一、1. A 2. B 3. D 4. D 5. D 6. A 7. D 8. D 9. A10. D二、11. 三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形对应角相等（写出其中一个即可）12. ；；射线13.如图，点即为所求.（第13题答图）理由是：角平分线上一点到角两边距离相等；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．14.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线．15.等腰三角形“三线合一”，两点确定一条直线．16.17.三、18.点在线段的垂直平分线上，且在两条公路夹角的平分线上．（1）作两条公路夹角的平分线或；（2）作线段的垂直平分线；则射线、与直线的交点、就是所求的位置．（第18题答图）19. 解：已知：村、村、村.求作：新建一个医疗点，使到村、村、村所在地的距离都相等．如答图.（第19题答图）20. 如答图.（第20题答图）21. 如答图.（第21题答图）22. 如答图，即为所求．（第22题答图）23. 如答图.（1）（2）（第23题答图）。
微专题6 方法技巧 巧用勾股定理解决折叠问题课件 2024-2025学年 华东师大版数学八年级上册
长为CD+AD+AC=BC+AC=7+5=12(cm).
7.(2024·汉中期末)在数学实验课上,李静同学剪了两张直角三角形纸片,进行了如
图的操作:
操作一:如图1,将Rt△ABC纸片沿某条直线折叠,使斜边两个端点A与B重合,折痕为
AD上的点E处,折痕的一端点G在边BC上.
(2)如图(2),当折痕的另一端F在AD边上且BG=10时,
①求证:EF=EG.
②求HF的长.
【解析】(2)①∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的点E处,
∴∠BGF=∠EGF,
∵长方形纸片ABCD的边AD∥BC,
∴∠BGF=∠EFG,
∴∠EGF=∠EFG,
∴EF=EG;
DE.
36°
(2)如果∠CAD∶∠BAD=1∶2,可得∠B的度数为____;
操作二:如图2,李静拿出另一张Rt△ABC纸片,将直角边AC沿直线CD折叠,使点A与
点E重合,若AB=10 cm,BC=8 cm,请求出BE的长.
【解析】(2)设∠CAD=x,则∠BAD=2x.
由翻折的性质可知:∠BAD=∠CBA=2x,
②∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的点E处,
∴EG=BG=10,HE=AB=8,FH=AF,
∴EF=EG=10,
在Rt△EFH中,FH= − = − =6.
本课结束
类型一 三角形的折叠问题
1.(2024·天津模拟)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=6,BC=9,将△ABC折叠,使点C与
AB的中点D重合,折痕交AC于点M,交BC于点N,则线段BN的长为
专题06 平行四边形解答题压轴训练(解析版)八年级数学下期(人教版)
专题06 平行四边形解答题压轴训练（时间：60分钟 总分：120） 班级 姓名 得分一、解答题1．如图1，在ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，以EC ，CF 为邻边作ECFG ．（1）求证：ECFG 是菱形．（2）如图2，若90ABC ∠=︒，8AB =，12AD =，M 是EF 的中点，求DM 的长． （3）如图3，若120ABC ∠=︒，连结BD ，BG ，CG ，DG ，求BDG ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）；（3）60°【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD ∥BC ，AB ∥CD ，再根据平行线的性质证明∥CEF =∥CFE ，根据等角对等边可得CE =CF ，再有条件四边形ECFG 是平行四边形，可得四边形ECFG 为菱形，即可解决问题；（2）首先证明四边形ECFG 为正方形，再证明∥BME ∥∥DMC 可得DM =BM ，∥DMC =∥BME ，再根据∥BMD =∥BME +∥EMD =∥DMC +∥EMD =90°可得到∥BDM 是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可求解．（3）延长AB 、FG 交于H ，连接HD ，求证平行四边形AHFD 为菱形，得出∥ADH ，∥DHF 为全等的等边三角形，证明∥BHD ∥∥GFD ，即可得出答案．【详解】解：（1）∥AF 平分∥BAD ，∥∥BAF =∥DAF ，∥四边形ABCD 是平行四边形，∥AD ∥BC ，AB ∥CD ，∥∥DAF =∥CEF ，∥BAF =∥CFE ，∥∥CEF =∥CFE ，∥CE =CF ，又∥四边形ECFG 是平行四边形，∥四边形ECFG 为菱形；（2）如图，连接BM ，MC ，∥∥ABC =90°，四边形ABCD 是平行四边形，∥四边形ABCD 是矩形，又由（1）可知四边形ECFG 为菱形，∥ECF =90°，∥四边形ECFG 为正方形．∥∥BAF =∥DAF ，∥BE =AB =DC ，∥M 为EF 中点，∥∥CEM =∥ECM =45°，∥∥BEM =∥DCM =135°，在∥BME 和∥DMC 中，BE CD BEM DCM EM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∥∥BME ∥∥DMC （SAS ），∥DMC=∥BME．∥∥BMD=∥BME+∥EMD=∥DMC+∥EMD=90°，∥∥BMD是等腰直角三角形．∥AB=8，AD=12，∥BDBD=；∥DM=2（3）∥BDG=60°，延长AB、FG交于H，连接H D．∥AD∥GF，AB∥DF，∥四边形AHFD为平行四边形，∥∥ABC=120°，AF平分∥BAD，∥∥DAF=30°，∥ADC=120°，∥DF A=30°，∥∥DAF为等腰三角形，∥AD=DF，∥平行四边形AHFD为菱形，∥∥ADH，∥DHF为全等的等边三角形，∥DH=DF，∥BHD=∥GFD=60°，∥FG=CE，CE=CF，CF=BH，∥BH=GF，在∥BHD与∥GFD中，BHD GFD BH GF ⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∥∥BHD ∥∥GFD （SAS ），∥∥BDH =∥GDF∥∥BDG =∥BDH +∥HDG =∥GDF +∥HDG =60°．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．2．如图，在四边形ABCD 中，连接AC ，BD 交于点O ，∠ADO ＝∠CBO ，且AO ＝CO ，E 为线段OC 上一点，连接DE 并延长交BC 于点F ．（1）求证：四边形ABCD 为平行四边形；（2）若∠ADE ＝45°，AD ∠AC ，AE ＝3，CE ＝2，求三角形AOD 的面积．【答案】（1）见解析；（2）154【分析】 （1）依据∥AOD ∥∥COB （AAS ），即可得出AD ＝BC ，再根据∥ADO ＝∥CBO ，即可得到AD ∥BC ，进而判定四边形ABCD 是平行四边形；（2）依据∥ADE 是等腰直角三角形，即可得到AD 的长，由平行四边形的性质可得OA 的长，再根据三角形面积计算公式，即可得出∥AOD 的面积．【详解】（1）∥AC ，BD 交于点O ，∥∥AOD ＝∥COB ，在∥AOD 和∥COB 中，ADO CBO AOD COB AO CO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∥∥AOD ∥∥COB （AAS ），∥AD ＝BC ，∥∥ADO ＝∥CBO ，∥AD ∥BC ，∥四边形ABCD 是平行四边形；（2）∥∥ADE ＝45°，AD ∥AC ，∥∥AED ＝45°，∥AD ＝AE ＝3，又∥CE ＝2，∥AC ＝3+2＝5，∥在平行四边形ABCD 中，AO ＝12AC ＝52， ∥Rt∥AOD 的面积＝12×AD ×AO ＝12×3×52＝154．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定． 3．定义：一组邻角相等的凸四边形叫做“友好四边形”．（1）写出我们所学过的特殊四边形中是“友好四边形”的图形的名称____（写一个） （2）在探究“友好四边形”性质时：∠小明画了一个“友好四边形”ABCD （如图），其中A B ∠=∠，AD BC =，此时他发现//AB DC ，请你证明此结论：∠由此小明猜想：“对于任意“友好四边形”当一组对边相等时，另一组对边就平行”，请你直接判断这个命题是真命题还是假命题；（3）已知：在“友好四边形”ABCD 中90A ∠=︒，60C ∠=°，6AB =，10BC =，请画出相应图形，并直接写出CD 的长．【答案】（1）矩形；（2）∥见解析；∥假命题；（3）画图见解析，11或2或10+【分析】（1）根据友好四边形的定义即可；（2）∥作出辅助线，判断出∥DF A ∥∥CEB ，再判断出四边形DFEC 是平行四边形即可；∥举出反例来说明；（3）分四种情况画图计算即可．【详解】解（1）矩形，矩形的四个角都是直角，根据“友好四边形”的定义，得到矩形是“友好四边形”；（2）∥如图，过点C 作CE AB ⊥，DF AB ⊥，DAB CBA ∠=∠，DAF CBE ∴∠=∠，CE AB ⊥，DF AB ⊥，90DFA CEB ∴∠=∠=︒，AD BC =，DFA CEB ∴∆≅∆，DF CE ∴=，90DFA CEB ∠=∠=︒，//DF EC ∴，∴四边形DFEC 是平行四边形，//AB CD ∴；∥假命题，反例如图，,AB AC = 则,B C ∠=∠在等腰三角形的腰上取点D ，E ，使得DE BC =，四边形DBCE 是友好四边形，没有对边平行．（3）∥90D A ∠=∠=︒，如图，作BE DC ⊥，90D A BED ∠=∠=∠=︒，∴四边形ADEB 是矩形，6DE AB ∴==．在Rt BEC △中，10BC =，60C ∠=°，5CE ∴=，11CD DE CE ∴=+=；∥如图，90A B ∠=∠=︒，作CE AD ⊥，90A B AEC ∠=∠=∠=︒，∴四边形ABCE 是矩形，10AE BC ∴==，6CE AB ==，在Rt CED 中，30DCE BCE BCD ∠=∠-∠=︒，CD ∴=，∥60B C ∠=∠=︒．如图，延长AD ，BC 交于E在Rt ABE △中，60B ∠=︒，6AB =，212BE AB ∴==，30E ∠=︒12102CE BE BC ∴=-=-=，60BCD ∠=︒，30CDE CED ∴∠=∠=︒，2CD CE ∴==，∥60D C ∠=∠=︒，如图，延长DA ，CB 交于E ，60D C ∠=∠=︒，60E ∴∠=︒，CD CE =，在Rt ABE △中，90,BAD BAE ∠=∠=︒ 60E ∠=︒，6AB =，BE ∴=10CD BC BE ∴=+=+【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是作出图形，也是本题的难点． 4．在四边形ABCD 中，AB BC CD DA 、、、的中点分别为P 、Q 、M 、M ；（1）如图1，试判断四边形PQMN 怎样的四边形，并证明你的结论；（2）若在AB 上取一点E ，连结DE ，CE ，恰好ADE 和BCE 都是等边三角形（如图2）：∠判断此时四边形PQMN 的形状，并证明你的结论；∠当6AE =，3EB =，求此时四边形PQMN 的周长（结果保留根号）．【答案】（1）平行四边形，理由见解析；（2）∥菱形，证明见解析；∥【分析】（1）连接AC 、BD ．利用三角形中位线定理判定四边形PQMN 的对边平行且相等，易证该四边形是平行四边形；（2）∥设ADE ∆的边长是x ，BCE ∆的边长是y ，由于222221())2DB x y x xy y =++=++，22221())2AC x y y x xy y =++=++，可得平行四边形PQMN 的对角线相等，从而得出平行四边形PQMN 是菱形；∥如图2，过点D 作DF AB ⊥于F ，则通过解三角形求得DF =DB ∥知四边形PQMN 是菱形，可计算得周长是【详解】解：（1）如图1，连接AC 、BD ．PQ ∵为ABC ∆的中位线，12PQ AC ∴=且1//2PQ AC ，同理12MN AC=且1//2MN AC．MN PQ∴=且//MN PQ，∴四边形PQMN为平行四边形；（2）∥四边形PQMN是菱形，如图2，连接AC，BD，∥∥ADE和∥BCE都是等边三角形，∥AE=DE，CE=BE，∥AED=∥BEC=60°，∥∥AEC=∥DEB，∥∥AEC∥∥DEB，∥AC=BD，∥点M，N是AD，CD的中点，∥MN是∥ADC的中位线，∥MN=12 AC，同理：PN=12 BD，∥MN=PN，由（1）知，四边形PQMN是平行四边形，∥平行四边形PQMN是菱形；∥过点D作DF AB⊥于F，则DF=又222DF FB DB+=，DB∴=∴由∥知四边形PQMN是菱形，可计算得周长是142⨯=．【点睛】本题考查了中点四边形以及菱形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，解题时，利用了三角形中位线的性质定理．5．定义：数学活动课上：陈老师给出如下定义：有组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形．（1）如图1，平行四边形ABCD 中，60,B BCD ∠=︒∠的平分线交AD 于E ．求证：四边形ABCE 是对等四边形．（2）如图2，已知A 、B 、C 在格点（小正方形的项点）上，请在方格图中画出以格点为顶点，AB 、BC 为边的两个对等四边形ABCD ．（3）如图3，在Rt PBC 中，90,9PCB BC ∠=︒=，点A 在BP 边上，且13,,12AB AD PC CD =⊥=，若PC 上存在符合条件的点M ，使四边形ABCM 为对等四边形，求出CM 的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）13或1212+【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD ∥BC ，∥B =∥D =60°，AB =CD ，由角平分线的定义及等腰三角形的性质得出CE =CD ，根据对等四边形的定义可得出结论；（2）根据对等四边形的定义画出图形即可；（3）分CM =AB 与AM =BC 两种情况进行讨论即可．【详解】解：（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，60B D ∠=∠=︒，AB CD =，180120BCD B ∴∠=︒-∠=︒， CE 平分BCD ∠，60BCE DCE ∴∠=∠=︒，60BCE DEC ∠=∠=︒，D DEC ∴∠=∠，CE CD ∴=，又AB CD =，CE AB ∴=，BC AD =，AE BC ∴≠，∴四边形ABCE 是对等四边形；（2）如图2，四边形ABCQ 即为所求；（3）如图3，∥当CM AB =时，13CM =；∥当9AM BC ==时，过A 作AE BC ⊥于点E ，则12AE CD ==，5BE =，4AD CE ∴==，MD当点M 在线段CD 上时，12CM CD DM =-=当点M 在DP 上时，12CM CD DM =+=+．综合以上可得CM 的长为13或12-12【点睛】此题属于四边形综合题，考查了作图-应用与设计作图，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，弄清题中的新定义是解本题的关键．6．（问题背景）如图1，P 是等边三角形ABC 外一点，30APB ∠=︒，则222PA PB PC +=．小明为了证明这个结论，将PAB △绕点A 逆时针旋转60︒，请根据此思路完成其证明；（迁移应用）如图2，在等腰直角三角形ABC 中，BA BC =，90ABC ∠=︒，点P 在ABC外部，且45BPC ∠=︒，若APC △的面积为5.5，求PC ；（拓展创新）如图3，在四边形ABCD 中，//AD BC ，点E 在四边形ABCD 内部，且DE EC =，90DEC ∠=︒，135AEB ∠=︒，AD =，BC ，直接写出AB 的长．【答案】[问题背景]见解析；[迁移应用；[拓展创新]【分析】[问题背景]按题意画出图形，根据旋转的性质得到AP =AP ′，PB=P ′C ，证明∥APP ′为等边三角形，从而推出∥PP ′C =90°，在∥PP ′C 中，利用勾股定理得到222PP P C PC ''+=，再利用等量代换可得结果；[迁移应用]作线段BM 垂直于BP 交PC 的延长线于点M ，连接AM ，证得∥PBC =∥ABM ，证明∥PBC ∥∥MBA （SAS ），得出∥AMP =90°，由三角形的面积可求出答案；[拓展创新]将∥AED 绕点E 顺时针旋转90°至∥FEC ，连接BF ，证得∥FCE =90°，由勾股定理求出FB =∥ABE ∥∥FBE （SAS ），由全等三角形的性质得出AB =FB ．【详解】解：[问题背景]如图1，连接PP ′，由旋转可得：AP =AP ′，PB =P ′C ，∥P AP ′=∥BAC =60°，∥∥APP ′为等边三角形，∥∥APP ′=60°，PP ′=AP ′=P A ，∥∥APB =30°，∥∥AP ′C =30°∥∥PP ′C =90°，在∥PP ′C 中，222PP P C PC ''+=，∥222PA PB PC +=；[迁移应用]如图2，作线段BM 垂直于BP 交PC 的延长线于点M ，连接AM ，∥∥BPM =45°，∥PBM =90°，∥∥BPD 为等腰直角三角形，∥BP =BM ，∥∥ABM +∥MBC =∥ABC =90°，∥PBM =∥PBC +∥MBC =90°，∥∥PBC =∥ABM ，在∥PBC 和∥MBA 中，PB PM PBC ABM BA BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∥∥PBC ∥∥MBA （SAS ），∥∥AMP =90°，∥S ∥P AC ＝12PC •AD ＝12PC 2=5.5， ∥PC（负值舍去）．[拓展创新]如图3，将∥AED 绕点E 顺时针旋转90°至∥FEC ，连接BF ，则AD =CFAE =EF ，∥ADE =∥FCE ，∥∥EDC =∥ECD =45°，∥AD ∥BC ，∥∥ADE +∥EDC +∥ECD +∥ECB =180°，∥ED =EC ，∥CED =90°，∥∥EDC =∥ECD =45°，∥∥ADE +∥ECB =90°，∥∥FCE +∥ECB =90°，即∥FCB =90°，∥FB∥∥AEB =135°，∥AEF =90°，∥∥FEB =360°-135°-90°=135°，∥∥AEB =∥FEB ，在∥ABE 和∥FBE 中，AE EF AEP FEB BE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∥∥ABE ∥∥FBE （SAS ），∥AB =FB=【点睛】本题是四边形综合题目，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键．7．在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA任x轴上，OC在y轴上，B（4，3），点M 从点A开始，以每秒1个单位长度的速度沿AB→BC→CO运动，设∠AOM的面积为S，点M运动的时间为t．（1）当0＜t＜3时，AM＝，当7＜t＜10时，OM＝；（用t的代数式表示）（2）当∠AOM为等腰三角形时，t＝；（3）当7＜t＜10时，求S关于t的函数关系式；（4）当S＝4时，求t的值．【答案】（1）t，10-t；（2）5；（3）S=20-2t；（4）2或8．【分析】（1）利用路程，速度和时间的关系求解即可；（2）由题意可知只有等MA=MO，此时点M在线段BC上，进一步CM=BM=2解答即可；（3）当7<t< 10时，点M在线段OC上，再利用三角形面积公式求解即可；（4）分点M在线段AB上、点M在线段BC上和点M在线段OC上三种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）当0<t<3时，点M在线段AB上，即AM=t当7＜t<10时，点M在线段OC上，OM=10-t故填：t，10-t；（2）∥四边形ABCO是矩形，B（4，3）∥OA=BC=4，AB=OC=3，∥∥AOM为等腰三角形，∥只有当MA=MO，此时点M在线段BC上，CM=BM=2，∥t=3+2=5故填：5；（3）∥当7<t <10时，点M 在线段OC 上 ∥114(10)20222S OA OM t t =⋅⋅=⨯⨯-=-； （4）∥当点M 在线段AB 上时，4=12×4t ，解得t =2； ∥当点M 在线段BC 上时，S =6，不符合题意；当点M 在线段OC 上时，4=20-2t ，解得t =8．综上所述，满足条件的的值为2或8．【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质、三角形的面积、等腰三角形的判定和性质等知识点，灵活应用所学知识并掌握分类讨论的思想成为解答本题的关键．8．如图1，已知ABC ∆，90,60ABC ACB ∠=∠=，点E 为AB 边上一点，过点E 作EF AC ⊥于点F ，连接CE ，点G 为CE 的中点，连接,GF GB ．（1）线段GF 与GB 的数量关系为_____________；（2）将Rt AEF ∆绕点A 逆时针旋转60°，如图2所示，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）在平面内，将Rt AEF ∆绕点A 旋转，当点F 落在AB 边上，若8,4BC AE ==，请直接写出的BG 长．【答案】（1）FG BG =；（2）成立，理由见解析；（3）6BG =【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质即可求解；（2）分别取,AC AE 的中点,M N ，连接,,,BM FN MG GN ，根据中位线的性质及全等三角形的判定定理证明GMB FNG ∆≅∆，故可求解；（3）依题意作图，分别求出EF ，AF ，再得到BF 的长， 再证明FEG HCG ≅，求出BH 的长，进而得到FH 的长，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可求解．【详解】解：（1）∥90ABC ∠=︒，EF AC ⊥∥∥BCE 和∥FEC 是直角三角形∥点G 为CE 的中点 ∥BG=12EC ，12FG EC = ∥FG BG =，故答案为：FG BG =；（2）成立，理由如下：如图，分别取,AC AE 的中点,M N ，连接,,,BM FN MG GN ，∥AF EF ⊥，∥090ABC AFE ∠=∠=∥ 分别,M N 是,AC AE 的中点， ∥11,22BM AC FN AE ==， ∥G 是CE 中点，M 是AE 中点， ∥1//,2GM AE GM AE =；同理1//,2GN AC GN AC =， ∥,GM FN BM GN ==∥90,60ABC ACB ∠=︒∠=︒∥30CAB ∠=︒，∥30,30FAE EAC ∠=︒∠=︒，∥90FNG FNE ENG ∠=∠+∠=︒，同理，90GMB ∠=︒即GMB FNG ∠=∠ ∥()GMB FNG SAS ∆≅∆∥FG BG =；（3）依题意作图，∥∥EAF =30°，EF ∥AF ，∥EF =122AE =，AF 同理∥CAB =30°，AB ∥BC∥AC =2BC =16，AB =∥BF =AB -AF =∥EF ∥AB ，AB ∥BC∥//EF BC∥FEG HCG ∠=∠∥点G 为CE 的中点，∥CG =EG又FGE HGC ∠=∠∥FEG HCG ≅∥CH =EF =2，FG =HG∥BH =BC -CH =6∥FH 12=∥G 点是FH 中点∥BG =162FH =．【点睛】此题主要考查三角形的几何证明，解题的关键是全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线定理、勾股定理及含30°的直角三角形的性质．9．如图，在ABCD 中，2=AD AB ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，作CG AB ⊥于点G ，GF 的延长线交CD 的延长线于点H ．（1）求证：四边形ABEF 是菱形．（2）当5,8AB BF ==时，∠求GH 的长．∠如图2，CG 交BF 于点P ，记FGP 的面积为1S ，BCP 的面积为2S ，则21S S -的值为________．【答案】（1）见解析；（2）∥12；∥16825 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD ∥BC ，AD =BC ，再根据中点的定义得到AF =BE ，可得四边形ABCD 是平行四边形，结合AB =AF ，可得结论；（2）∥连接AE 交BF 于点O ，由菱形性质可得∥AOB =90°，从而求出菱形ABEF 的面积，可得四边形ABCD 的面积，根据CG ∥AB 可得CG ，从而求出AG ，证明∥AFG ∥∥DFH ，得到AG =DH ，在∥GCH 中利用勾股定理求出GH 即可；∥过F 作FK ∥AB 交BA 延长线于K ，求出FK ，从而得到∥BGF 和∥BGC 的面积，从而分别得出S 1和S 2，可得S 1-S 2．【详解】解：（1）∥四边形ABCD 是平行四边形，∥AD ∥BC ，AD =BC ，∥E 、F 分别为B C 、AD 中点，∥AF =12AD ，BE =12BC ， ∥AF =BE ，∥AF ∥BE ，∥四边形ABEF 是平行四边形，∥AD =2AB ，AD =2AF ，∥AB=AF，∥四边形ABEF是菱形；（2）∥连接AE交BF于点O，∥四边形ABEF是菱形，∥AE∥BF，OB=OF=12BE=4，OA=OE=12AE，∥∥AOB=90°，在Rt∥AOB中，OA ∥AE=2OA=6，∥S菱形ABEF=12AE·BF=12×6×8=24，∥E、F分别是B C、AD中点，∥BE=EC，AF=FD，∥AD∥BC，∥四边形ABEF，四边形EFDC都是平行四边形，且底和高相等，∥S四边形ABEF=S四边形EFDC=24，∥S四边形ABCD=S四边形ABEF+S四边形EFDC=48，∥CG∥AB，∥S四边形ABEF=AB·CG=5CG=48，∥BGC=90°，∥CG=485，∥AD=BC=2AB=10，∥BG145 =，∥AG=AB-BG=5-145=115，∥四边形ABCD是平行四边形，∥AB=CD=5，AB∥CD，∥∥A=∥FDH，∥GCH=∥BGC=90°，∥F是AD中点，∥AF=DF，在∥AFG和∥DFH中，A FDH AF DFAFG DFH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∥∥AFG ∥∥DFH （ASA ）， ∥AG =DH =115， ∥CH =CD +DH =5+115=365， 在Rt ∥GCH 中，GH=12；∥过F 作FK ∥AB 交BA 延长线于K ， ∥S 四边形ABEF =AB ·FK =5FK =24， ∥FK =245， ∥S ∥BGF =12BG ·FK =11424255⨯⨯=16825， S ∥BGC =12BG ·CG =11448255⨯⨯=33625， ∥S 2=S ∥BGC -S ∥BGP =33625-S ∥BGP ， S 1=S ∥BGF -S ∥BGP =16825-S ∥BGP ， ∥S 2-S 1=33625-16825=16825．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，重点考查了几何图形的推理论证能力，同时也要结合已知条件作出辅助线，扩大运用范围． 10．在∠ABC 中，D 是BC 边长的一点，E 是AC 边的中点，过点A 作//BC AF 交DE 的延长线于点F ，连接AD ，CF ．（1）求证：四边形ADCF 是平行四边形：（2）若2FEA ADE ∠=∠，CF =1CD =，请直接写出AE 的长为__________．【答案】（1）证明见解析；（2）32． 【分析】（1）利用平行线的性质得EFA EDC ∠=∠，据中点的性质可得AE EC =，从而可证EFA EDC ≅△△，进而得AF CD =，即可根据“一组对边平行且相等”的四边形是平行四边形，本题证毕；（2）根据已知条件先证平行四边形ADCF 是矩形，再在Rt ∥CDF中，运用勾股定理即可得3DF ==，进而可得出AE 的长．【详解】（1）证明：∥//BC AF ， ∥EFA EDC ∠=∠， ∥E 是AC 边的中点， ∥AE EC =，在EFA EDC △和△中，EFA EDC FEA DEC AE EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∥EFA EDC ≅△△（AAS ）， ∥AF CD =， ∥//BC AF ，∥四边形ADCF 是平行四边形； （2）∥2FEA ADE ∠=∠FEA ADE EAD ∠=∠+∠∥ADE EAD ∠=∠ ∥AE DE =∥四边形ADCF 是平行四边形 ∥,AE CE EF DE ==∥AE CE DE EF +=+,即AC DF =, ∥平行四边形ADCF 是矩形 在Rt ∥CDF 中， ∥3AC DF ==, ∥1322AE AC ==, 故AE 的长为32． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，勾股定理的知识．熟练利用相关定理分析，得出结论是解题关键．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()000,A a ，()111,A a ，()222,A a ，…，(),n n A n a ，(),0B n ，其中0a ，1a ，2a ，…，n a ，n 为正整数．顺次连接0A ，1A ，2A ，…，n A ，B的折线与x 轴、y 轴围成的封闭图形记为图形M ．小明在求图形M 的面积时，过点()111,A a ，()222,A a ，…，()111,n n A n a ---作x 轴的垂线，将图形M 分成n 个四边形，计算这些四边形面积的和，可以求出图形M 的面积．请你参考小明的思路，解决下面的问题． （1）当2n =时，∠若0121,3,2a a a ===，如图1，则图形M 的面积为 ； ∠用含有0a ，1a ，2a 的式子表示图形M 的面积为 ．（2）当4n =时，从1，2，3，…，10这10个正整数中任选5个不同的数作为01234,,,,a a a a a ． ∠小明选择了012344,5,7,6,3a a a a a =====，请在图2中画出此时的图形M ； ∠在∠的条件下，若小聪用剩下的5个数1，2，8，9，10作为01234,,,,a a a a a 的取值，使新得到的图形M 的面积与小明的图形M 的面积相等，请直接写出这五个数的排序 （写出一组即可）． 【答案】（1） ∥92； ∥0121122a a a ++ ；（2）∥画图见解析；∥ 8，1，2，10，9（答案不唯一）． 【分析】(1)∥利用分割法求出面积即可；∥利用分割法求解即可；(2)∥根据题意，利用描点法画出图形即可；∥根据面积相等取点即可(答案不唯一) 【详解】 (1)∥如图1所示，过点1A ，作1AE OB ⊥于E ， 图形M 的面积=四边形01OA A E 的面积+四边形21EBA A ，119(13)1(32)1222=⨯+⨯+⨯+⨯=， 故答案为：92； ∥同样可得图形M 的面积=0121122a a a ++， 故答案为：0121122a a a ++ ． （2）∥如图2所示：，∥如图3所示，小明的图形M 的面积()14557766312=⨯+++++++⨯ 21.5=，新图形M 的面积1(8112210109)2=⨯+++++++ 21.5=，∥新得到的图形M 的面积与小明的图形M 的面积相等， 故答案为：8，1，2，10，9． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了坐标与图形的性质，多边形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 12．问题提出（1）如图1，点A ，B 在直线l 的同侧，在直线l 上作一点P ，使得AP BP +的值最小． 问题探究（2）如图2，正方形ABCD 的边长为6，点M 在DC 上，且2DM =，N 是AC 上的一动点，则DN MN +的最小值是_________． 问题解决（3）现在各大景区都在流行“真人CS ”娱乐项目，其中有一个“快速抢点”游戏，游戏规则如图3，在用绳子围成的一个边长为12m 的正方形ABCD 场地中，游戏者从AB 边上的点E 处出发，分别先后赶往边,,BC CD DA 上插小旗子，最后回到点E ．求游戏者所跑的最少路程．【答案】（1）见解析；（2）（3） 【分析】（1）作点A 关于直线l 的对称点A '，连接A B '交直线l 与一点，该点即为所求P 点； （2）根据点B 关于AC 是对称点为点D ，连接BM 交AC 与点N ，则此时DN +MN 的值最小，则有DN +MN = BN +MN =BM ，根据勾股定理求解BM 即可；（3）作点G 关于点C 的对称点G '，则FG FG '=，作,D A CD D A DA ''''⊥='，作点H 关于点C 的对称点H '，则G H GH ''=，作A B D A ''''⊥，作点E 关于点C 的对称点E ''，则H E HE '''=，作点E ''关于点A '的对称点E '，则H E H E ='''''，由两点之间线段最短可知，当,,,,E F G H E '''在一条直线上时，路程最小，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）如图1，作点A 关于直线l 的对称点A '，连接A B '交直线l 与点P ，该点即为所求．（2）∥四边形ABCD 是正方形， ∥点B 关于AC 是对称点为点D ，如图，连接BM 交AC 与点N ，则此时DN +MN 的值最小，∥DN +MN =BN +MN =BM ， ∥CD =BC =6，DM =2， ∥MC =4，∥BM ==；（3）如图2，延长DC 到D '，使CD CD ='，作点G 关于点C 的对称点G '，则FG FG '=，作,D A CD D A DA ''''⊥='，作点H 关于点C 的对称点H '，则G H GH ''=， 作A B D A ''''⊥，作点E 关于点C 的对称点E ''，则H E HE '''=， 作点E ''关于点A '的对称点E '，则H E H E ='''''， ∥,H E HE A E AE '''='=，过点E '作E K AK '⊥，交AB 的延长线于点K ，则2EK AB =，容易看出，当,,,,E F G H E '''在一条直线上时，路程最小，最小路程为EE ==='．答：游戏者所跑的最少路程是． 【点睛】本题考查正方形的性质以及最短路程问题，解题的关键是正确画出图形，根据两点之间线段最短的道理求解．13．ABCD ，过点D 作ED AD ⊥交AB 的延长线于点E ，BE AB =． （1）如图1，求证：四边形BDCE 是菱形；（2）P 为线段BC 上一点，点M ，N 在直线AE 上，且PM PB =，DPN BPM ∠=∠． ∠当60A ∠=︒时，如图2，求证：CD PB BN =+．∠当45A ∠=︒时，如图3，线段CD ，PB ，BN 的数量关系如何？（请直接写出猜想的结论）【答案】（1）见解析；（2）∥见解析；∥CD + BN ． 【分析】（1）利用直角三角形的性质得到BD =BE =AB ，证明四边形BDCE 是平行四边形，再证明四边形BDCE 是菱形即可；（2）∥利用ASA 证明∥DBP ≅∥NMP ，再利用线段的和与差即可证明CD =PB +BN ； ∥同理证得四边形BDCE 是正方形，证明∥MBP 是等腰直角三角形，利用ASA 证明∥DBP ≅∥NMP ，利用线段的和与差即可得到CD + BN ． 【详解】（1）∥BE =AB ，且ED ∥AD ， 即BD 为Rt ∥ADE 斜边的的中线， ∥BD =BE =AB =12AE ，∥四边形ABCD 是平行四边形，∥AB =CD ， AB ∥CD ，∥BE =CD ，BE ∥CD ，∥四边形BDCE 是平行四边形，又∥BD =BE ，∥四边形BDCE 是菱形；（2）∥∥四边形ABCD 是平行四边形，∥AD ∥BC ，∥∥PBM =∥A =60°，∥PM =PB ，∥∥PBM 是等边三角形，∥PM=PB =BM ，∥∥DPN =∥BPM ，∥∥DPN +∥BPN =∥BPM +∥BPN ，即∥DPB =∥NPM ，∥四边形BDCE 是菱形，∥∥DBP =∥NMP =60°，在∥DBP 和∥NMP 中，DPB NPM PB PMDBP NMP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∥∥DBP ≅∥NMP (ASA )，∥MN =BD =BE ，BM +BN =BM +ME ，∥BN =ME ，∥CD =BE =BM +ME =PB +BN ；∥∥∥A =45°，且ED ∥AD ，∥∥ADE 是等腰直角三角形，∥∥DEA =45°，同（1）法可证明四边形BDCE 是正方形，同∥可得∥DPN =∥BPM ，∥∥DPN -∥BPN =∥BPM -∥BPN ，即∥DPB =∥NPM ，∥PM =PB ，∥∥MBP =∥NMP =45°，∥∥MBP 是等腰直角三角形，即∥MBP =∥NMP =45°=∥PBD ，在∥DBP 和∥NMP 中，DPB NPM PB PMDBP NMP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∥∥DBP ≅∥NMP (ASA )，∥MN =BD =BE ，BM +BN =BM +ME ，∥BN =ME ，∥∥MBP 是等腰直角三角形，∥BM=MN +BN =BD +BN =CD + BN ；即CD + BN．【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，证明∥DBP ∥∥NMP 是本题的关键．14．如图，在正方形ABCD 中， 3CD =，P 是CD 边上一动点（不与D 点重合），连接AP ，点D 与点E 关于AP 所在的直线对称，连接AE ， PE ，延长CB 到点F ，使得BF DP =，连接EF ，AF ．（1）依题意补全图1；（2）若1DP =，求线段EF 的长；（3）当点P 在CD 边上运动时，能使为AEF 等腰三角形，直接写出此时DAP 的面积．【答案】（1）见解析；（2（3）4.5或94 【分析】（1）根据题意作出图形便可；（2）连接BP ，先证明 ADP ABF ≌，再证明FAE PAB ≌ ，求得 BP ，便可得EF ； （3）设 ()0DP x x =>，则 3CP x =- ，求出 AE 、AF 、EF ；当∥AEF 为等腰三角形时，分两种情况列出方程求出x 的值，进而求得最后结果．【详解】解：（1）根据题意，作图如下：（2）连接BP ，如图2．点D 与点E 关于AP 所在的直线对称，AE AD ∴=，PAD PAE ∠=∠，四边形ABCD 是正方形，AD AB ∴=，90ADC ABF ∠=∠=，DP BF =，()ADP ABF SAS ∴≌，AF AP ∴=，FAB PAD ∠=∠，FAB PAE ∴∠=∠，FAE PAB ∴∠=∠，()FAE PAB SAS ∴≌，EF BP ∴=，四边形ABCD 是正方形，3BC CD AB ∴===，1DP =，2CP ∴=，BP ∴=EF ∴=（3）设()0DP x x =>，则3CP x =-，EF BP ∴==3AE AD ==，AF AP ===AF AE ∴>，∴当AEF 为等腰三角形时，只能有两种情况：AE EF =或AF EF =，∥当AE EF =3=，解得3x =，ADP ∴面积为11·33 4.522DP AD =⨯⨯=； ∥当AF EF =时，解得32x =，ADP∴的面积为11393 2224 DP AD⨯=⨯⨯=，综上DAP的面积为4.5或94．【点睛】本题属于几何中的动点问题，综合考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，要求学生能理解相关概念与性能，能应用它们得到线段或角之间的关系，本题综合性较强，蕴含了分类讨论等思想方法．15．如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为边AB、BC的中点，连接AF、DE交于点G．（1）求证：AF∠DE；（2）如图2，连接BG，求证：BG平分∠EGF；（3）如图3，连接BD交AF于点H，设ADG的面积为S，求证：BG2=2S．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）利用正方形的性质证明ΔDAE∥ΔABF，得到∥ADE=∥BAF，推出∥DAG+∥ADG=90°，即可得到结论；（2）如图2，过点B作BM∥AF，垂足为M，设BF=a，则AB=2a，AF，利用平行线的性质及勾股定理求出BM a，AM，得到GM=BM a，推出ΔBMG为等腰直角三角形，求出∥BGM=∥BGE，由此得到结论；（3）根据ΔADG的面积为S，则AG·DG=2S，过点B作BM∥AF，垂足为M，由（2）推出BG2=2BM2，证明ΔDAG∥ΔABM，得到BM=AG，AM=DG，由AG·DG=2AG2=2S，得到AG2=S，即可得到结论．【详解】（1）∥四边形ABCD是正方形，∥AD=AB=BC，∥DAE=∥ABF=90°，∥E、F分别为边AB、BC的中点，∥AE=BF，∥ΔDAE∥ΔABF，∥∥ADE=∥BAF，∥∥DAG+∥EAG=90°，∥∥DAG+∥ADG=90°，∥∥AGD=90°，∥AF∥DE；（2）如图2，过点B作BM∥AF，垂足为M，则BM//GE，∥AE=BE，∥AG=GM，设BF=a，则AB=2a，AF，∥1122ABFS AB BF AF BM =⋅=⋅,∥2a a BM⋅=⋅，∴BM a，∥AM，∥GM=BM a，∥ΔBMG为等腰直角三角形，∥∥BGM=45°，∥BGE=90°-45°=45°，∥∥BGM=∥BGE，∥BG平分∥EGF；（3）ΔADG的面积为S，则AG·DG=2S，过点B作BM∥AF，垂足为M，由（2）知：GM=AG，BM=12AM，BG2=2BM2，∥∥AGD=∥AMB=90°，∥ADG=∥BAM，AB=AD，∥ΔDAG∥ΔABM，∥BM=AG，AM=DG，∥AG=12DG，AG·DG=2AG2=2S，即AG2=S，∥BM2=S，∥BG2=2BM2=2S．．【点睛】此题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．。
八年级数学下册期中期末-专题06 多边形与平行四边形(真题测试)(原卷版)
专题06 多边形与平行四边形【真题测试】一、选择题1．（浦东四署2018期中3）若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是（ ）(A)3； (B)4； (C)5； (D)6．2．（青浦2018期末3）在一个多边形的内角中，锐角不能多于（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．（普陀2018期末2）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（ ）A ．四边形B ．五边形C ．六边形D ．八边形4.（金山2018期中6）四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，下列条件中不能判断这个四边形是平行四边形的是（ ）A.AB//CD ，AD//BC ；B.AB=CD ，AD=BC ；C.AO=CO ，BO=DO ；D.AB//CD ，AD=BC.5.（浦东四署2019期中5）下列选项中一定能判定一个四边形是平行四边形的是（ ）A.一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形；B.一对邻角相等的四边形是平行四边形；C.两条对角线相互垂直的四边形是平行四边形；D.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形.6.（浦东四署2019期末5）在四边形ABCD 中，AC BD ⊥，再补充一个条件使得四边形ABCD 为菱形，这个条件可以是（ ）A.AC=BD ；B. 90ABC ∠=︒；C.AB=BC ；D.AC 与BD 互相平分.7．（闵行2018期末6）下列命题中，真命题是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．对角线互相平分的四边形是平行四边形D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 8．（静安2018期末3）下列命题中，假命题的是（ ）A ．矩形的对角线相等B ．平行四边形的对角线互相平分C ．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D ．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形9.（浦东一署2018期中5）下列命题正确的是（ ）A. 平行四边形的对角线相等B. 一组邻边相等，一组对边平行的四边形是平行四边形C. 平行四边形的内角和与外角和相等D. 平行四边形相邻的两个内角相等10.（嘉定2019期末5）如果平行四边形ABCD 两条对角线的长度分别为AC=8cm ，BD=12cm ，那么BC 边的长度可能是（ ）A. BC=2cm ；B. BC=6cm ；C. BC=10cm ；D.BC=20cm.11．（青浦2018期末6）如图，在四边形ABCD 中，AC 于BD 相交于点O ，∠BAD ＝90°，BO ＝DO ，那么下列条件中不能判定四边形ABCD 为矩形的是（ ）A ．∠ABC ＝90B ．AO ＝OC C ．AB ||CD D ．AB ＝CD12.（浦东四署2019期末6）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AC=8，BC=6，点P 为斜边AB 上一动点，过点P 作PE AC ⊥于E ，PF BC ⊥于点F ，连结EF ，则线段EF 的最小值为（ ） A.125； B. 245； C.185； D. 5. P FECB A二、填空题13.（松江2018期中9）已知一个多边形的每个外角都等于60︒，那么这个多边形的边数是 .14. (长宁2018期末13)已知一个凸多边形的内角和等于720°，则这个凸多边形的边数为______． 15．（闵行2018期末14）七边形的内角和等于 度．16.（嘉定2019期末14）已知一个多边形的每个外角都是30︒，那么这个多边形是 边形.17.（浦东一署2018期中15）一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形的边数为______． 18. （松江2019期中14）若一个多边形的每个外角都是40°，则从这个多边形的一个顶点出发可以画____条对角线．19.（崇明2018期中19）四边形ABCD 中，若180A C ∠+∠=︒，那么B ∠的外角 D ∠（填“>”、“=”或“<”）20．（长宁2019期末3）两条对角线 的四边形是平行四边形．21.（静安2019期末14）在矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，46AOB ∠=︒，那么OAD ∠的度数为.22．（青浦2018期末13）在平行四边形ABCD 中，两邻角的度数比是7：2，那么较小角的度数为 ． 23．（静安2018期末16）如图，点G 为正方形ABCD 内一点，AB ＝AG ，∠AGB ＝70°，联结DG ，那么∠BGD ＝ 度．24．（长宁2019期末7）如图，四边形ABCD 是正方形，延长AB 到E ，使AE ＝AC ，则∠BCE 的度数是 ．25. （杨浦2019期中12）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD ，AC=10，BD=24 ，则AD= .OB D AC26．（闵行2018期末15）已知▱ABCD 的周长为40，如果AB ：BC ＝2：3，那么AB ＝ ．27.（浦东四署2019期末15）菱形的周长为8，它的一个内角为60︒，则菱形的较长的对角线长为 .28．（青浦2018期末17）如图，矩形ABCD 中，BC ＝6，AB ＝3，R 在CD 边上，且CR ＝1，P 为BC 上一动点，E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当P 从B 向C 移动时，线段EF 的长度为 ．29.（金山2018期中16）如图，已知ABCD Y 的周长是26cm ，AC 和BD 相交于点O ，OBC ∆的周长比OAB ∆的周长小2cm ，那么AD= cm.OCBAD30．（静安2018期末15）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，那么△DCF的周长是cm．31. （普陀2018期中14）已知矩形的两条对角线的夹角为60°，如果一条对角线长为6，那么矩形的面积为______．32．（长宁2019期末8）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，若AB＝5，OA＝4，则菱形ABCD的面积．33.（浦东一署2018期中18）如图，平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，E，F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=，则AB的长是______．34.（浦东四署2019期中18）如图，点E是ABCDY的对角线BD上一点，连接CE，若点E在线段AD的垂直平分线上，点D在线段EC的垂直平分线上，且68DCE∠=︒，则BAD∠= .EDCBA35．（普陀2018期末18）如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（a＞b ），M 是BC 边上一个动点，联结AM ，MF ，MF 交CG 于点P ，将△ABM 绕点A 旋转至△ADN ，将△MEF 绕点F 旋转恰好至△NGF ．给出以下三个结论：①∠AND ＝∠MPC ； ②△ABM ≌△NGF ；③S 四边形AMFN ＝a 2+b 2．其中正确的结论是 （请填写序号）．36．（青浦2018期末18）已知P 是正方形ABCD 内一点，将△ABP 绕点B 旋转，使得边BA 与边BC 重合，点P 落在点P ′的位置上．如果PB ＝2，那么PP ′的长等于 ．37. (奉贤2018期末17)如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ∠AOB =60°，BD =4，将△ABC 沿直线AC 翻折后，点B 落在点E 处，那么S △AED =______三、解答题38．（闵行2018期末23）如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足为点E ，且E 为边AB 的中点． （1）求∠A 的度数；（2）如果AB ＝4，求对角线AC 的长．39.（浦东四署2019期中25）如图，已知ABC ∆是等边三角形，点D 、F 分别在线段AB 、BC 上，60EDB ∠=︒，DE=CF.（1）求证：四边形EFCD 是平行四边形；（2）若BD=DE ，求证：AEF ∆是等边三角形.FE DCBA40. （普陀2018期中22）如图，已知△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，联结EC．（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；（2）当∠BAC=90°时，求证：四边形ADCE是菱形．41. （普陀2018期中24）如图，已知四边形ABCD是菱形，点E、F分别是菱形ABCD边AD、CD的中点．（1）求证：BE=BF；（2）当△BEF为等边三角形时，求∠ABC的度数．42. （浦东四署2018期中25）已知：如图，在□ABCD中，点E、F分别在边BC和AD上，且∠BAE=∠DCF．求证：四边形AECF是平行四边形．43. (长宁2018期末23)如图，在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AD与BE交于点O，点F、G分别是BO、AO的中点，联结DE、EG、GF、FD．（1）求证：FG∥DE；（2）若AC=BC，求证：四边形EDFG是矩形．44. (奉贤2018期末23)已知：如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，点D 是斜边AB 的中点，DE ∥BC ，且CE =CD ．（1）求证：∠B =∠DEC ；（2）求证：四边形ADCE 是菱形．45.（嘉定2019期末23）已知ABC ∆，90A ∠<︒（如图3），点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、AC 上，且四边形ADEF 是菱形.（1）请使用直尺与圆规，分别确定点D 、E 、F 的具体位置（不写画法，保留画图痕迹）；（2）如果60A ∠=︒，AD=4，点M 在AB 边上，且满足EM=ED ，求四边形AFEM 的面积；（3）当AB=AC 时，求DE AC的值. A B46．（普陀2018期末25）如图1，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3cm ，AD ＝5cm ，折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ ，过点E 作EF ∥AB 交PQ 于F ，连接BF ．（1）求证：四边形BFEP 为菱形；（2）当点E 在AD 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动；①当点Q 与点C 重合时（如图2），求菱形BFEP 的边长；②若限定P 、Q 分别在边BA 、BC 上移动，求出点E 在边AD 上移动的最大距离．。
专题06 一元二次方程解答题压轴训练-2020-2021学年八年级数学下学期期末考试压轴题专练(浙教
专题06 一元二次方程解答题压轴训练一、解答题1．（2019·浙江八年级期末）某商场销售一批名牌运动衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，并且尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件运动衫售价每降价1元，商场平均每天可多售出2件，设每件运动衫降价x 元．（1）填空：降价后的每件运动衫盈利为________元，平均每天可售出________件（请用含x 的代数式表示）；（2）若商场每天要盈利1200元，则每件运动衫应降价多少元？2．（2021·浙江八年级月考）已知：方程22210x kx k -+-=是关于x 的一元二次方程． （1）判断此方程根的情况，并说明理由；（2）若a ，b ，c ，ABC 的三边，5c =，且a ，b 是一元二次方程22210x kx k -+-=的两根．k 何值时，ABC 是等腰三角形，并写出等腰三角形的底边．3．（2021·杭州市建兰中学八年级期中）如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的橱栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设选栏BC长为x米．（1）AB＝米（用含x的代数式表示）；（2）若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求橱栏BC的长；（3）矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值；若不可能，则说明理由．4．（2020·宁波外国语学校八年级期末）象山红美人柑橘是我省农科院研制的优质品种，宁波市某种植基地2017年种植“象山红美人”100亩，到2019年“象山红美人”的种植面积达到196亩．（1）求该基地这两年“象山红美人”种植面积的平均增长率；（2）市场调查发现，当“象山红美人”的售价为45元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时减少库存，已知该基地“象山红美人”的平均成本价为33元/千克，若使销售“象山红美人”每天获利3150元，则售价应降低多少元？5．（2020·义乌市荷叶塘初级中学八年级月考）等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P 沿射线AB 运动，Q 沿边BC 的延长线运动，PQ 与直线AC 相交于点D ．设P 点运动时间为t ，△PCQ 的面积为S ．（1）求出S 关于t 的函数关系式；（2）当点P 运动几秒时，S △PCQ =S △ABC ？（3）作PE△AC 于点E ，当点P 、Q 运动时，线段DE 的长度是否改变？证明你的结论．6．（2020·浙江杭州市·）设m 是不小于1-的实数，关于x 的方程()2222330x m x m m +-+-+=有两个不相等的实数根后12,x x ．（1）若22126x x +=，求m 值；（2）令121211mx mx T x x =+--，求T 的取值范围．7．（2020·浙江绍兴市·八年级其他模拟）新定义：如果一个角形的三条边长为a ，b ，c ，假设其大小关系为a b c ≤≤，同时满足2222a c b +=，我们就称这样的三角形为奇异三角形，例如等边三角形就是一个奇异三角形．（1）判断边长分别为2，4的三角形是否为奇异三角形，并说明用理由；（2）如图1，Rt ABC 为奇异三角形，90C ∠=︒，3AB =，且BC AC <，求AC 的长；（3）如图2，在奇异三角形ABC 中，BC AC AB <<，2AC =，点D 是AC 边上的中点，连结BD ，BD 将ABC 分割成2个三角形，其中ADB △是奇异三角形，BCD △是以CD 为底的等腰三角形，求AB 的长．8．（2019·浙江八年级月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 的顶点O 是坐标原点，点A 在第一象限，点C 在第四象限，点B 在x 轴的正半轴上.90OAB ∠=︒且OA AB =，OB ，OC 的长分别是一元二次方程211300x x -+=的两个根（OB OC >）.（1）求点A 和点B 的坐标.（2）点P 是线段OB 上的一个动点（点P 不与点O ，B 重合），过点P 的直线l 与y 轴平行，直线l 交边OA 或边AB 于点Q ，交边OC 或边BC 于点R ，设点P 的横坐标为t ，线段QR 的长度为m .已知4t =时，直线l 恰好过点C ，当03t <<时，求m 关于t 的函数关系式.（3）当 3.5m =时，请直接写出点P 的坐标.9．（2019·浙江金华市·八年级期中）如图1，已知平行四边形ABCD ，BC △x 轴，BC ＝6，点A 的坐标为（1，4），点B 的坐标为（﹣3，﹣4），点C 在第四象限，点P 是平行四边形ABCD 边上的一个动点．（1）若点P 在边CD 上，BC ＝CP ，求点P 的坐标；（2）如图2，若点P 在边AB ，AD 上，点P 关于坐标轴对称的点Q 落在直线y ＝﹣x +1上，求点P 的坐标；（3）若点P 在边AB ，AD ，BC 上，点E 是AB 与y 轴的交点，如图3，过点P 作y 轴的平行线PF ，过点E 作x 轴的平行线E ，它们相交于点F ，将△PEF 沿直线PE 翻折，当点F 的对应点落在坐标轴上时，求点P 的坐标．（直接写出答案）10．（2019·浙江八年级月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 的顶点O 是坐标原点，点A 在第一象限，点C 在第四象限，点B 在x 轴的正半轴上．△OAB =90°且OA =AB ，OB ，OC 的长分别是一元二次方程211300x x -+=的两个根（OB ＞OC ）．（1）求点A 和点B 的坐标．（2）点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O，B重合），过点P的直线l与y轴平行，直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R．设点P的横坐标为t，线段QR的长度为m．已知t=4时，直线l恰好过点C．当0＜t＜3时，求m关于t的函数关系式．（3）当m=3.5时，请直接写出点P的坐标．。
模型构建专题：全等三角形中的常见解题模型(解析版)八年级数学上册重难点专题提优训练(人教版)
专题06模型构建专题：全等三角形中的常见解题模型模型构建一四边形中构造全等三角形解题模型构建二一线三等角模型模型构建三三垂直模型模型构建四倍长中线模型模型构建一四边形中构造全等三角形解题例题：（2021·天津·耀华中学八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD．求证∠C＝∠A．【答案】见解析【解析】【分析】先连接BD，由AB＝CB、AD＝CD、BD=BD可证∠ABD∠∠CBD，即可证得结论．【详解】证明：如图：连接BD，∠在∠ABD和∠CBD中，AB BCAD CDBD BD=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ABD∠∠CBD，∠∠C＝∠A．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线、灵活运用SSS 证明三角形全等是解答本题的关键．【变式训练】1．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在四边形ABCD 中，CB AB ⊥于点B ，CD AD ⊥于点D ，点E ，F 分别在AB ，AD 上，AE AF =，CE CF =．(1)若8AE =，6CD =，求四边形AECF 的面积；(2)猜想∠DAB ，∠ECF ，∠DFC 三者之间的数量关系，并证明你的猜想．【答案】(1)48(2)∠DAB ＋∠ECF ＝2∠DFC ，证明见解析【解析】【分析】（1）连接AC ，证明∠ACE ∠∠ACF ，则S △ACE ＝S △ACF ，根据三角形面积公式求得S △ACF 与S △ACE ，根据S 四边形AECF ＝S △ACF ＋S △ACE 求解即可；（2）由∠ACE ∠∠ACF 可得∠FCA ＝∠ECA ，∠F AC ＝∠EAC ，∠AFC ＝∠AEC ，根据垂直关系，以及三角形的外角性质可得∠DFC ＋∠BEC ＝∠FCA ＋∠F AC ＋∠ECA ＋∠EAC ＝∠DAB ＋∠ECF ．可得∠DAB ＋∠ECF ＝2∠DFC(1)解：连接AC ，如图，在∠ACE和∠ACF中AE AF CE CF AC AC=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ACE ∠∠ACF（SSS）．∠S△ACE＝S△ACF，∠F AC＝∠EAC．∠CB∠AB，CD∠AD，∠CD＝CB＝6．∠S△ACF＝S△ACE＝12AE·CB＝12×8×6＝24．∠S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝24＋24＝48．(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC证明：∠∠ACE ∠∠ACF，∠∠FCA＝∠ECA，∠F AC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC．∠∠DFC与∠AFC互补，∠BEC与∠AEC互补，∠∠DFC＝∠BEC．∠∠DFC＝∠FCA＋∠F AC，∠BEC＝∠ECA＋∠EAC，∠∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠F AC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．∠∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．2．（2022·福建·漳州实验中学七年级阶段练习）在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．(1)试说明：DE=DF：(2)在图中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明所归纳结论．(3)若题中条件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？【答案】(1)见解析；(2)CE+BG=EG，理由见解析；(3)当∠EDG =90°-12α时，（2）中结论仍然成立．【解析】【分析】（1）首先判断出C DBF ∠=∠，然后根据全等三角形判定的方法，判断出ΔΔCDE BDF ≅，即可判断出DE DF =．（2）猜想CE 、EG 、BG 之间的数量关系为：CE BG EG +=．首先根据全等三角形判定的方法，判断出ABD ACD ∆≅∆，即可判断出60BDA CDA ∠=∠=︒；然后根据60EDG ∠=︒，可得CDE ADG ∠=∠，ADE BDG ∠=∠，再根据CDE BDF ∠=∠，判断出EDG FDG ∠=∠，据此推得ΔΔDEG DFG ≅，所以EG FG =，最后根据CE BF =，判断出CE BG EG +=即可．（3）根据（2）的证明过程，要使CE BG EG +=仍然成立，则12EDG BDA CDA CDB ∠=∠=∠=∠，即11(180)9022EDG αα∠=︒-=︒-，据此解答即可． (1)证明：360CAB C CDB ABD ∠+∠+∠+∠=︒，60CAB ∠=︒，120CDB ∠=︒，36060120180C ABD ∴∠+∠=︒-︒-︒=︒，又180DBF ABD ∠+∠=︒，C DBF ∴∠=∠，在CDE ∆和BDF ∆中，CD BD C DBF CE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ΔΔ()CDE BDF SAS ∴≅，DE DF ∴=．(2)解：如图，连接AD ，猜想CE 、EG 、BG 之间的数量关系为：CE BG EG +=．证明：在ABD ∆和ACD ∆中，AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，ΔΔ()ABD ACD SSS ∴≅，111206022BDA CDA CDB ∴∠=∠=∠=⨯︒=︒， 又60EDG ∠=︒，CDE ADG ∴∠=∠，ADE BDG ∠=∠，由（1），可得ΔΔCDE BDF ≅，CDE BDF ∴∠=∠，60BDG BDF ∴∠+∠=︒，即60FDG ∠=︒，EDG FDG ∴∠=∠，在DEG ∆和DFG ∆中，DE DF EDG FDG DG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ΔΔ()DEG DFG SAS ∴≅，EG FG ∴=，又CE BF =，FG BF BG =+，CE BG EG ∴+=；(3)解：要使CE BG EG +=仍然成立， 则12EDG BDA CDA CDB ∠=∠=∠=∠， 即11(180)9022EDG αα∠=︒-=︒-， ∴当1902EDG α∠=︒-时，CE BG EG +=仍然成立． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，此题是一道综合性比较强的题目，有一定的难度，能根据题意推出规律是解此题的关键．模型构建二 一线三等角模型例题：（2022·全国·八年级专题练习）如图，在ABC 中，240AB AC B ==∠=︒，，点D 在线段BC 上运动（D 不与B 、C 重合），连接AD ，作40ADE ∠=︒，DE 交线段AC 于E ．(1)点D 从B 向C 运动时，BDA ∠逐渐变__________（填“大”或“小”），但BDA ∠与EDC ∠的度数和始终是__________度．(2)当DC 的长度是多少时，ABD DCE △△≌，并说明理由．【答案】(1)小；140(2)当DC =2时，∠ABD ∠∠DCE ，理由见解析【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和即可得出结论；（2）当DC =2时，利用∠DEC +∠EDC =140°，∠ADB +∠EDC =140°，求出∠ADB =∠DEC ，再利用AB =DC =2，即可得出∠ABD ∠∠DCE ．(1)在∠ABD 中，∠B +∠BAD +∠ADB =180°，设∠BAD =x °，∠BDA =y °，∠40°+x +y =180°，∠y =140-x （0＜x ＜100），当点D 从点B 向C 运动时，x 增大，∠y 减小，BDA ∠+EDC ∠=180°-140ADE ∠=︒故答案为：小，140；(2)当DC =2时，∠ABD ∠∠DCE ，理由：∠∠C =40°，∠∠DEC +∠EDC =140°，又∠∠ADE =40°，∠∠ADB +∠EDC =140°，∠∠ADB =∠DEC ，又∠AB =DC =2，在∠ABD 和∠DCE 中===ADB DEC B CAB DC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩， ∠∠ABD ∠∠DCE （AAS ）；【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，三角形的内角和公式，解本题的关键是分类讨论．【变式训练】1．（2022·全国·八年级）如图，在∠ABC 中，点D 是边BC 上一点，CD ＝AB ，点E 在边AC 上，且AD ＝DE ，∠BAD ＝∠CDE ．(1)如图1，求证：BD ＝CE ；(2)如图2，若DE 平分∠ADC ，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ADE 相等的角（∠ADE 除外）．【答案】(1)见解析(2)∠EDC ，∠BAD ，∠B ，∠C【解析】【分析】（1）由“SAS ”可证△ABD ∠∠DCE ，可得BD =CE ；（2）由全等三角形的性质可得∠B =∠C ，由三角形的外角性质和角平分线的性质可求解．(1)证明：在∠ABD 和∠DCE 中，AB CD BAD CDE AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABD ∠∠DCE （SAS ），∠BD ＝CE．(2)解：∠∠ABD ∠∠DCE ，∠∠B ＝∠C ，∠DE 平分∠ADC ，∠∠ADE ＝∠CDE ＝∠BAD ，∠∠ADC ＝∠B +∠BAD ＝∠ADE +∠CDE ，∠∠B ＝∠ADE ＝∠BAD ＝∠EDC ＝∠C ，∠与∠ADE 相等的角有∠EDC ，∠BAD ，∠B ，∠C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，角平分线的定义，掌握全等三角形的判定，明确角度的数量关系是解题的关键．2．（2021·全国·八年级专题练习）如图1，ABC 中，A ABC CB =∠∠．点D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 边上的点，BE CF =．（1）若DEF ABC ∠=∠，求证：DE EF =；（2）若2180A DEF ∠+∠=︒，9BC =，2EC BE =，求BD 的长：（3）把（1）中的条件和结论反过来，即：若DE EF =，则DEF ABC ∠=∠；这个命题是否成立?若成立，请证明：若不成立，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）6BD =；（3）成立，见解析【解析】【分析】(1)证明DBE ECF ≌即可；(2)求出6EC =，由已知2180A DEF ∠+∠=︒及三角形内角和定理2180A ABC ∠+∠=︒得到DEF ABC ACB ∠=∠=∠，进而证明DBE ECF ≌，即可得到6BD CE ==；(3)过点E 、F 分别作EM AB ⊥于点M ，FN BC ⊥于点N ，证明MBE NCF △≌△，得到ME FN =，再结合条件DE EF =可以证明Rt Rt DME ENF △≌△，进而得到MDE NEF ∠=∠即可求解．【详解】解：(1)如图1所示：由三角形的外角定理可知：DEC ABC BDE ∠=∠+∠，且DEC DEF CEF ∠=∠+∠，DEF ABC ∠=∠，BDE CEF ∴∠=∠，在DBE ∆和ECF ∆中，DBC ECF BDE CEF BE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DBE ECF AAS ≌∴∆∆，DE EF ∴=；(2)9BC =，2EC BE =，6EC ∴=，在ABC ∆中，由三角形内角和定理可知：180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒，且A ABC CB =∠∠．2180A ABC ∴∠+∠=︒又2180A DEF ∠+∠=︒，DEF ABC ACB ∴∠=∠=∠，同(1)可知：DBE ECF ≌，6BD CE ∴==；(3)成立，理由如下：过点E 、F 分别作EM AB ⊥于点M ，FN BC ⊥于点N ，如图2所示：EM AB ⊥，FN BC ⊥，90BME CNF ∴∠=∠=︒，又ABC ACB ∠=∠，在MBE △和NCF △中，MBE CNF BMB CNF BE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()MBE NCF AAS ∴△≌△．ME FN ∴=，又DE EF =，Rt Rt (HL)DME ENF ∴△≌△，MDE NEF ∴∠=∠，又DEC DEF CEF ∠=∠+∠，DEC MDE ABC ∠=∠+∠．DEF ABC ∴∠=∠．即若DE EF =，则DEF ABC ∠=∠此命题成立．【点睛】本题是三角形综合题，考查了角的和差，全等三角形的判定与性质，三角形的外角与不相邻两个内角的关系，重点掌握全等三角形的判定与性质，难点作辅助线构建全等三角形．3．（2022·全国·八年级）（1）如图①，点B 、C 在∠MAN 的边AM 、AN 上，点E ，F 在∠MAN 内部的射线AD 上，∠1、∠2分别是∠ABE 、∠CAF 的外角．已知AB ＝AC ，∠1＝∠2＝∠BAC ．求证：∠ABE ∠∠CAF ．（2）应用：如图②，在∠ABC 中，AB ＝AC ，AB ＞BC ，点D 在边BC 上，且CD ＝2BD ，点E ，F 在线段AD 上．∠1＝∠2＝∠BAC ，若∠ABC 的面积为15，求∠ABE 与∠CDF 的面积之和．【答案】（1）见解析；（2）10【解析】【分析】（1）利用外角的性质和已知角的关系证明∠BAE ＝∠FCA ，∠ABE ＝∠F AC ，利用ASA 即可证明∠ABE ∠∠CAF ； （2）同（1）证明∠ABE ∠∠CAF ，推出S △ABE ＝S △CAF ，S △ABE +S △CDF ＝S △CAF +S △CDF ＝S △ACD ，根据CD ＝2BD 可知23ACD ABC SS =，计算求解即可． 【详解】解：（1）证明如下：∠∠1＝∠2＝∠BAC ，且∠1＝∠BAE +∠ABE ，∠2＝∠F AC +∠FCA ，∠BAC ＝∠BAE +∠F AC ，∠∠BAE ＝∠FCA ，∠ABE ＝∠F AC ，又∠AB ＝AC ，∠∠ABE ∠∠CAF （ASA ）；（2）∠∠1＝∠2＝∠BAC ，且∠1＝∠BAE +∠ABE ，∠2＝∠F AC +∠FCA ，∠BAC ＝∠BAE +∠F AC ，∠∠BAE ＝∠FCA ，∠ABE ＝∠F AC ，又∠AB ＝AC ，∠∠ABE ∠∠CAF （ASA ）∠S △ABE ＝S △CAF ，∠S △ABE +S △CDF ＝S △CAF +S △CDF ＝S △ACD ，∠CD ＝2BD ，∠ABC 的面积为15，∠S △ACD ＝DC BD DC⋅+S △ACD ＝23S △ABC ＝215103⨯=， ∠S △ABE +S △CDF ＝10．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明∠ABE ∠∠CAF 并掌握“等高三角形面积比等于底边边长之比”是解题的关键．4．（2022·河南郑州·七年级期末）在直线m 上依次取互不重合的三个点,,D A E ，在直线m 上方有AB AC =，且满足BDA AEC BAC α∠=∠=∠=．(1)如图1，当90α=︒时，猜想线段,,DE BD CE 之间的数量关系是____________；(2)如图2，当0180α<<︒时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3)应用：如图3，在ABC 中，BAC ∠是钝角，AB AC =，,BAD CAE BDA AEC BAC ∠<∠∠=∠=∠，直线m 与CB 的延长线交于点F ，若3BC FB =，ABC 的面积是12，求FBD 与ACE 的面积之和．【答案】(1)DE ＝BD +CE(2)DE ＝BD +CE 仍然成立，理由见解析(3)△FBD 与△ACE 的面积之和为4【解析】【分析】（1）由∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝90°得到∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝90°，进而得到∠DBA ＝∠EAC ，然后结合AB ＝AC 得证△DBA ≌△EAC ，最后得到DE ＝BD +CE ；（2）由∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝α得到∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝180°﹣α，进而得到∠DBA ＝∠EAC ，然后结合AB ＝AC 得证△DBA ≌△EAC ，最后得到DE ＝BD +CE ；（3）由∠BAD ＞∠CAE ，∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，得出∠CAE ＝∠ABD ，由AAS 证得△ADB ≌△CAE ，得出S △ABD ＝S △CEA ，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S △ABF 即可得出结果．(1)解：DE ＝BD +CE ，理由如下，∵∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝90°，∴∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝90°，∴∠DBA ＝∠EAC ，∵AB ＝AC ，∴△DBA ≌△EAC （AAS ），∴AD ＝CE ，BD ＝AE ，∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE ，故答案为：DE ＝BD +CE ．(2)DE ＝BD +CE 仍然成立，理由如下，∵∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝α，∴∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝180°﹣α，∴∠DBA ＝∠EAC ，∵AB ＝AC ，∴△DBA ≌△EAC （AAS ），∴BD ＝AE ，AD ＝CE ，∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE ；(3)解：∵∠BAD ＜∠CAE ，∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，∴∠CAE ＝∠ABD ，在△ABD 和△CAE 中，ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△CAE （AAS ），∴S △ABD ＝S △CAE ，设△ABC的底边BC上的高为h，则△ABF的底边BF上的高为h，∴S△ABC＝12BC•h＝12，S△ABF＝12BF•h，∵BC＝3BF，∴S△ABF＝4，∵S△ABF＝S△BDF+S△ABD＝S△FBD+S△ACE＝4，∴△FBD与△ACE的面积之和为4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．模型构建三三垂直模型例题：（2021·福建·武夷山市第二中学八年级期中）如图，在∠ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，BE ∠CE于点E，AD ∠CE于点D．（1）求证：△BCE ∠∠CAD；（2）若AD =12，BE =5，求ED的长．【答案】（1）见解析；（2）ED的长为7．【解析】【分析】（1）根据AAS证明三角形全等即可；（2）根据全等三角形的性质得到AD=CE=12，CD=BE=5，从而求得ED的长．【详解】解：（1）证明：∠BE ∠CE于点E，AD ∠CE于点D，∠∠CEB=∠ADC=90°，∠∠ACD+∠CAD=90°，∠∠ACB = 90°，∠∠ACD+∠BCE=90°，∠∠CAD=∠BCE，又∠AC = BC，∠BCE∠CAD；（2）由（1）知，BCE∠CAD，∠BE=CD，CE=AD，∠AD =12，BE =5，∠CE=12，CD=5，∠ED=CE－CD=12－5=7．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定及性质定理是解题的关键．【变式训练】1．（2021·天津·八年级期中）在∠BAC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，BD∠AE于点D，CE∠AE于E．(1)如图（1）所示，若B，C在AE的异侧，易得BD与DE，CE的关系是DE＝；(2)若直线AE绕点A旋转到图（2）位置时，（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE，CE的关系如何？请予以证明；(3)若直线AE绕点A旋转，（BD＞CE），问BD与DE，CE的关系如何？请直接写出结果，不需证明．【答案】(1)BD﹣EC(2)BD＝DE﹣CE．见解析(3)当B，C在AE的同侧时，BD＝DE﹣CE；当B，C在AE的异侧时，BD＝DE+CE．【解析】【分析】（1）通过互余关系可得∠ABD ＝∠CAE ，进而证明∠ABD ∠∠ACE （AAS ），即可求得BD ＝AE ，AD ＝EC ，进而即可求得关系式；（2）方法同（1）证明∠ABD ∠∠CAE （AAS ），进而得出结论；（3）综合（1）（2）结论，分当B ，C 在AE 的同侧或异侧时，写出结论即可．(1)结论：DE ＝BD ﹣EC ．理由：如图1中，∠BD ∠AE ，CE ∠AE ，∠∠ADB ＝∠CEA ＝90°，∠∠ABD +∠BAD ＝90°，又∠∠BAC ＝90°，∠∠EAC +∠BAD ＝90°，∠∠ABD ＝∠CAE ，在∠ABD 与∠ACE 中，ADB CEA ABD CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠BAD ∠∠ACE （AAS ），∠BD ＝AE ，AD ＝EC ，∠BD ＝DE +CE ，即DE ＝BD ﹣EC ．故答案为：BD ﹣EC ；(2)结论：BD ＝DE ﹣CE ．理由：如图2中，∠BD ∠AE ，CE ∠AE ，∠∠ADB ＝∠CEA ＝90°，∠∠ABD +∠BAD ＝90°，又∠∠BAC ＝90°，∠∠EAC +∠BAD ＝90°，∠∠ABD ＝∠CAE ，在∠ABD 与∠CAE 中，ADB CEA ABD CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABD∠∠CAE（AAS），∠BD＝AE，AD＝EC，∠BD＝DE﹣CE；(3)归纳：由（1）（2）可知：当B，C在AE的同侧时，BD＝DE﹣CE；当B，C在AE的异侧时，BD＝DE+CE．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．2．（2022·广东佛山·七年级阶段练习）在△ABC中，△BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD∠MN于D，BE∠MN于E．∠+∠=度；(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时，EAB DAC(2)求证：DE=CD+BE；(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【答案】(1)90°(2)见解析(3)CD= BE + DE，证明见解析【解析】【分析】∠+∠=90°；（1）由△BAC=90°可直接得到EAB DAC（2）由CD∠MN，BE∠MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根据等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根据AAS 可证△DCA∠∠EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE = EA+AD = DC+BE．（3）同（2）易证△DCA∠∠EAB，得到AD=CE，DC=BE，由图可知AE = AD +DE，所以CD= BE + DE．(1)∠△BAC=90°∠ ∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90°故答案为：90°．(2)证明：∠ CD∠MN于D，BE∠MN于E∠ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°∠∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∠ ∠DCA=∠EAB∠在△DCA和△EAB中90 ADC BEA DCA EABAC AB ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠△DCA∠∠EAB (AAS)∠ AD=BE且EA=DC由图可知：DE = EA+AD = DC+BE．(3)∠ CD∠MN于D，BE∠MN于E∠ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°∠ ∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∠ ∠DCA=∠EAB∠在△DCA和△EAB中90 ADC BEA DCA EABAC AB ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠△DCA∠∠EAB (AAS)∠ AD=BE且AE=CD由图可知：AE = AD +DE∠ CD= BE + DE．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角，也考查了三角形全等的判定与性质．3．（2021·北京·东北师范大学附属中学朝阳学校八年级期中）如图，在∠ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．（1）当直线l不与底边AB相交时，①求证：∠EAC＝∠BCF．②猜想EF、AE、BF的数量关系并证明．（2）将直线l 绕点C 顺时针旋转，使l 与底边AB 交于点D （D 不与AB 点重合），请你探究直线l ，EF 、AE 、BF 之间的关系．（直接写出）【答案】（1）①证明见解析，②EF ＝AE +BF ；证明见解析；（2）AE ＝BF +EF 或BF ＝AE +EF ．【解析】【分析】（1）①根据∠AEC ＝∠BFC ＝90°，利用同角的余角相等证明∠EAC ＝∠FCB 即可；②根据AAS 证△EAC ≌△FCB ，推出CE ＝BF ，AE ＝CF 即可；（2）类比（1）证得对应的两个三角形全等，求出线段之间的关系即可．【详解】（1）证明：①∵AE ⊥EF ，BF ⊥EF ，∠ACB ＝90°，∴∠AEC ＝∠BFC ＝∠ACB ＝90°，∴∠EAC +∠ECA ＝90°，∠ECA +∠FCB ＝90°，∴∠EAC ＝∠FCB ，②EF ＝AE +BF ；证明：在△EAC 和△FCB 中，AEC CFB EAC FCB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EAC ≌△FCB （AAS ），∴CE ＝BF ，AE ＝CF ，∴EF ＝CE +CF ＝AE +BF ，即EF ＝AE +BF ；（2）①当AD ＞BD 时，如图①，∵∠ACB ＝90°，AE ⊥l 直线，同理可证∠BCF ＝∠CAE （同为∠ACD 的余角），又∵AC ＝BC ，BF ⊥l 直线即∠BFC ＝∠AEC ＝90°，∴△ACE ≌△CBF （AAS ），∴CF＝AE，CE＝BF，∵CF＝CE+EF＝BF+EF，∴AE＝BF+EF；②当AD＜BD时，如图②，∵∠ACB＝90°，BF⊥l直线，同理可证∠CBF＝∠ACE（同为∠BCD的余角），又∵AC＝BC，BE⊥l直线，即∠AEC＝∠BFC＝90°．∴△ACE≌△CBF（AAS），∴CF＝AE，BF＝CE，∵CE＝CF+EF＝AE+EF，∴BF＝AE+EF．【点睛】本题考查了三角形综合题，主要涉及到了全等三角形的判定与性质，解题关键是证明△ACE≌△CBF（AAS），利用全等三角形的性质得出线段之间的关系．模型构建四倍长中线模型例题：（2022·全国·八年级课时练习）在△ABC中，AB=5，BC边上的中线AD=4，则AC的长m的取值范围是_______．【答案】3＜m＜13【解析】【分析】延长AD至E，使DE=AD=4，连接CE，利用SAS证明∠ABD∠∠ECD，可得CE=AB，再根据三角形的三边的关系即可解决问题．【详解】解：如图，延长AD至E，使DE=AD=4，连接CE，∠AD 是BC 边上的中线，∠BD =CD ，在∠ADB 和∠CDE 中，AD ED ADB EDC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABD ∠∠ECD （SAS ），∠CE =AB ，在∠ACE 中，AE -CE ＜AC ＜AE +CE ，∠CE =AB =5，AE =8，∠8-5＜AC ＜8+5，∠3＜AC ＜13，∠3＜m ＜13．故答案为：3＜m ＜13．【点睛】此题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的三边的关系，解题的关键是利用已知条件构造全等三角形，然后利用三角形的三边的关系解决问题．【变式训练】1．（2021·江苏·徐州市第二十六中学八年级阶段练习）如图，AD 是∠ABC 中BC 边上的中线，若AB ＝6，AC ＝8，则AD 的取值范围是________________．【答案】1＜AD ＜7【解析】【分析】延长AD 到E ，使DE =AD ，然后利用“边角边”证明∠ABD 和∠ECD 全等，根据全等三角形对应边相等可得CE =AB ，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE 的取值范围，然后即可得解．【详解】解：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，∠AD 是BC 边上的中线，∠BD =CD ，在∠ABD 和∠ECD 中,BD CD ADB EDC AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABD ∠∠ECD (SAS )，∠CE =AB ，∠AB =6，AC =8，∠8-6<AE <8+6，即2<2AD <14，∠1<AD <7，故答案为：1<AD <7．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，遇中点加倍延，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．2．（2022·全国·八年级课时练习）已知：多项式x 2+4x +5可以写成（x ﹣1）2+a （x ﹣1）+b 的形式．(1)求a ，b 的值；(2)△ABC 的两边BC ，AC 的长分别是a ，b ，求第三边AB 上的中线CD 的取值范围．【答案】(1)6a =，10b =(2)2<CD <8【解析】【分析】（1）把()()211x a x b -+-+展开，然后根据多项式x 2+4x +5可以写成（x ﹣1）2+a （x ﹣1）+b 的形式，可得2415a a b -=⎧⎨-+=⎩，即可求解； （2）延长CD 至点H ，使CD =DH ，连接AH ，可得∠CDB ∠∠HAD ，从而得到BC =AH =a =6，再根据三角形的三边关系，即可求解．(1)解：∠()()211x a x b -+-+ 221x x ax a b =-++-+()221x a x a b =+-+-+，根据题意得：x 2+4x +5=（x ﹣1）2+a （x ﹣1）+b∠2415a ab -=⎧⎨-+=⎩，解得：610a b =⎧⎨=⎩； (2)解：如图，延长CD 至点H ，使CD =DH ，连接AH ，∠CD 是AB 边上的中线，∠BD =AD ，在∠CDB 和∠HDA 中，∠CD =DH ，∠CDB =∠ADH ，BD =DA ，∠∠CDB ∠∠HDA （SAS ），∠BC =AH =a =6，在∠ACH 中，AC -AH <CH <AC +AH ，∠10-6<2CD <10+6，∠2<CD <8．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，整式乘法和二元一次方程组的应用，三角形的三边关系，熟练掌握全等三角形的判定和性质，整式乘法法则，三角形的三边关系是解题的关键．3．（2022·全国·八年级课时练习）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，D 是BC 的中点，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到E ，使DE ＝AD ，请补充完整证明“∠ABD ∠∠ECD ”的推理过程．(1)求证：∠ABD ∠∠ECD证明：延长AD 到点E ，使DE ＝AD在∠ABD 和∠ECD 中∠AD ＝ED （已作）∠ADB ＝∠EDC （ ）CD ＝ （中点定义）∠∠ABD ∠∠ECD （ ）(2)由（1）的结论，根据AD 与AE 之间的关系，探究得出AD 的取值范围是 ；(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】如下图，ABC 中，90B ∠=︒，2AB =，AD 是ABC 的中线，CE BC ⊥，4CE =，且90ADE ∠=︒，求AE 的长．【答案】(1)对顶角相等；BD ；SAS(2)17AD <<(3)6【解析】【分析】（1）延长AD 到点E ，使DE =AD ，根据SAS 定理证明∠ABD ∠∠ECD ；（2）根据全等三角形的性质、三角形的三边关系计算；（3）延长AD 交EC 的延长线于F ，证明△ABD ∠∠FCD ，∠ADE ∠∠FDE ，根据全等三角形的性质解答．(1)延长AD 到点E ，使DE ＝AD在∠ABD 和∠ECD 中∠AD ＝ED （已作）∠ADB ＝∠EDC （对顶角相等）CD ＝BD （中点定义）∠∠ABD ∠∠ECD （SAS ）故答案为：对顶角相等；BD ；SAS(2)∠∠ABD ∠∠ECD ，AB ＝6，AC ＝8，6CE AB ∴==，8686AE -<<+，1AD 7∴<<，故答案为1AD 7<<；(3)延长AD 交EC 的延长线于F ，AB BC ⊥，EF BC ⊥，ABD FCD ∴∠=∠，在ABD △和FCD 中，ABD FCD BD CDADB FDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ABD ∴∠FCD ，2CF AB ∴==，AD DF =，又∠∠FDE ＝∠ADE ＝90°ED ＝ED∠∠ADE ∠∠FDEAE EF ∴=，426EF CE CF CE AB =+=+=+=，6AE ∴=．【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理和全等三角形的性质和判定，解题关键是熟记全等三角形的判定条件． 4．（2022·辽宁沈阳·七年级期中）【问题情境】如图1，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A 点和B 点的点C ，连接AC 并延长到D ，使CD CA =；连接BC 并延长到E ，使CE CB =，连接DE 并测量出它的长度，如果100DE =米，那么AB 间的距离为___________米．【探索应用】如图2，在ABC 中，若5,3AB AC ==，求BC 边上的中线AD 的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E 使DE AD =，再连接BE （或将ACD △绕着点D 逆时针旋转180︒得到EBD △），把,2AB AC AD 、集中在ABE △中，利用三角形三边的关系即可判断，中线AD 的取值范围是___________；【拓展提升】如图3，在ABC 中，90,,,90,∠=︒===︒∠=∠ACB AB AD AC AE BAD CAE CA 的延长线交DE 于点F ，求证：DF EF =．【答案】（1）100米；（2）1＜AD ＜4；（3）见详解【解析】【分析】（1）证明∠ABC ∠∠DEC ，由全等三角形的性质即可得AB ＝DE ；（2）延长AD 到点E 使DE AD =，再连接BE ，由“SAS ”可证∠ADC ∠∠EDB ，可得AC ＝BE ＝3，由三角形三边关系可得1＜AD ＜4；（3）在BC 上截取BG ＝AF ，易证△ABG ≌△ADF ，可得DF ＝AG 和∠DF A ＝∠BGA ，即可求证△ACG ≌△EAF ，可得GE ＝AF ，即可解题．【详解】（1）解：在∠ABC 和∠DEC 中，ACB DCE BC EC ⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABC ∠∠DEC （SAS ），∠DE ＝AB=100米；故答案为：100米（2）延长AD 到点E 使DE AD =，再连接BE如图所示∠AD ＝DE ，CD ＝BD ，∠ADC ＝∠BDE ，∠∠ADC ∠∠EDB （SAS ）∠AC ＝BE ＝3，∠在∠ABE 中，AB ﹣BE ＜AE ＜AB +BE∠2＜2AD ＜8，∠1＜AD ＜4，故答案为：1＜AD ＜4；（3）证明：在BC 上截取BG ＝AF ，∵∠BAD ＝∠CAE ＝∠ACB ＝90°∴∠BAC +∠ABC ＝∠BAC +∠DAF ＝90°∴∠CBA ＝∠DAF ，在△ABG 和△ADF 中，CBA DAF AF BG ⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABG ≌△ADF ，（SAS ）∴DF ＝AG ，∠DF A ＝∠BGA ，∴∠EF A ＝∠CGA ，∵在△ACG 和△EAF 中，EFA CGA BCA EAF AC AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACG ≌△EAF （AAS ）∴EE ＝AG ＝FD ．∠DF EF =【点睛】考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．。
八年级数学综合基础补差专题6：矩形的性质与判定 (学生用)
八年级数学综合基础：矩形的性质与判定性质：(1)具有平行四边形的一切性质． (2)矩形的四个角都是直角． (3)矩形的对角线相等． (4)矩形是轴对称图形． 判定：(1)定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． (2)定理1：有三个角是直角的四边形是矩形． (3)定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．课堂练习：1.如图，周长为68的矩形ABCD 被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD 的面积为（ ）．A.98B.196C.280D.2842.如图，矩形ABCD ，R 是CD 的中点，点M 在BC 边上运动，E ，F 分别是AM ，MR 的中点，则EF 的长随着M 点的运动（ ）A.变短B.变长C.不变D.无法确定3.如图，已知矩形ABCD 的对角线AC 的长为10cm ，连接各边中点E ，F ，G ，H 得四边形EFGH ，则四边形EFGH 的周长为4.如图，长方形ABCD 中，E 点在BC 上，且AE 平分∠BAC ．若BE=4，AC=15，则△AEC 面积为（ ） A.15B.30C.45D.605.如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，点P 在AD 上，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ，则PE+PF 等于（ ）A.75 B.125 C.135 D.1456.如图，双曲线经过矩形QABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D 。
若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为 A. B. C. D.)0(＞k xky =x y 1=x y 2=x y 3=xy 6=7.如图（1）将矩形纸片ABCD 沿AE 折叠，使点B 落在直角梯形AECD 的中位线FG 上，若AE 的长为（ ）A.8.如图，将边长为8㎝的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（ ） A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm9.如图，矩形中，过对角线交点作交于则的长是（ ）A ．1.6B ．2.5C ．3D ．3.410.将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB＝，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC1边上的B 1处．则BC 的长为（ ）． A. B.2 C.3 D.11.如图1，在矩形中，动点从点出发，沿→→→方向运动至点处停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则当时，点应运动到（ ）A ．处B ．处C ．处D ．处12.在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若对角线AC=10cm ，•边BC=•8cm ，•则△ABO 的周长为________．13.如图2，根据实际需要，要在矩形实验田里修一条公路（•小路任何地方水平宽度都相等），则剩余实验田的面积为________．ABCD 35AB BC ==，．O OE AC ⊥AD E ，AE 3332MNPQ R N N P Q M M R x MNR △y y x 9x =R N P Q M14.如图,在矩形ABCD中，M是BC的中点，且MA⊥MD．•若矩形ABCD•的周长为48cm，•则矩形ABCD的面积为_______cm2．15.如图，在矩形ABCD中，E为DC上一点，且BE=BA，∠EAD=150，则矩形两边AD:AB的值为16.如图，在矩形ABCD中，BC=6cm，AE=2AD，∠a=300，且点A与点F关于BE对称，则BE= ，AB= 。
八年级数学上第4章一元一次不等式(组)专题技能训练(六)训练一元一次不等式组的整数解湘教
14．若一个两位数加上它的一半，所得的和小于 20，则所有符 合条件题意得x＋x2＜20， x≥10，
解得 10≤x＜430，∴x 可取 13，12，11，10. 所有符合条件的两位数的和是 13＋12＋11＋10＝46.
专题技能训练 1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月20日星期日2022/3/202022/3/202022/3/20
2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/202022/3/202022/3/203/20/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/202022/3/20March 20, 2022
12x≤2－32x 都成立？
5x＋2＞3（x－1），①
解：根据题意得不等式组12x≤2－32x，②
解不等式①，得 x＞－52，
解不等式②，得 x≤1.
∴－52＜x≤1. 故满足条件的整数有－2，－1，0，1.
7．【中考·凉山州】先化简，再求值：－3x2－[x(2x＋1)＋(4x3－ x－2＜0，
5x)÷2x]，其中 x 是不等式组2x3＋1≥1 的整数解．
4．【中考·德州】不等式组512xx＋ －21＞ ≤37（ －32xx－1），的所有非负整数 解的和是( ) A．10 B．7 C．6 D．0
【点拨】512xx＋－21＞≤37（－x32－ x，1） ②，①解不等式①，得 x＞－2.5， 解不等式②，得 x≤4，∴不等式组的解集为－2.5＜x≤4， ∴不等式组的所有非负整数解是 0，1，2，3，4， ∴不等式组的所有非负整数解的和是 0＋1＋2＋3＋4＝10.
专题06 一元二次方程章末测试卷(基础)-2020-2021学年八年级数学下册学霸-解析版
专题06章末测试卷一、单选题1．（2021ꞏ全国八年级）若一元二次方程（x+6）2＝64可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6＝8，则另一个一元一次方程是（）A．x﹣6＝﹣8B．x﹣6＝8C．x+6＝8D．x+6＝﹣8【答案】D【分析】根据直接开平方法即可求解．【详解】解：∵（x+6）2＝64，∴x+6＝8或x+6＝﹣8，故选：D．【点睛】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知直接开平方法的运用．2．（2021ꞏ全国八年级）一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0根的情况是（）A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有两个不相等的实数根【答案】D【分析】求出方程的判别式即可判断．【详解】解：∵△＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）＝8＞0，∴方程有两个不相等的实数根．【点睛】此题主要考查一元二次方程根的情况，解题的关键是熟知根的判别式特点．3．（2020ꞏ湖北省黄梅县第二中学九年级月考）已知方程22430x x +-=的两根分别为1x 和2x ，则12x x 的值等于（）A ．2B ．－1.5C ．－2D ．4【答案】B【分析】根据一元二次方程的根与系数关系12c x x a=求解即可．【详解】解：∵方程22430x x +-=的两根分别为1x 和2x ，且a=2，b=4，c=﹣3，∴12c x x a ==32-=﹣1.5，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，熟记根与系数关系12c x x a=是解答的关键．4．（2020ꞏ安阳市第十中学九年级月考）若a 是方程210x x --=的一个根，则2222020a a -++的值为（）A ．2018B ．2018-C ．2019D ．2019-【答案】A【分析】把x=a 代入210x x --=，得21a a =+，代入2222020a a -++，即可求解．∵a 是方程210x x --=的一个根，∴210a a --=，即：21a a =+，∴22220202(1)220202018a a a a -++=-+++=，故选A【点睛】本题主要考查一元二次方程的解以及代数式求值，用较低次幂代数式替换较高次幂代数式，进行降幂，是解题的关键．5．（2020ꞏ陕西宝鸡市ꞏ九年级期中）下列方程是关于x 的一元二次方程的是（）A ．20ax bx c ++=B ．210x y -+=C ．2120x x+-=D ．(1)(2)1x x x-+=-【答案】D【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．【详解】A 、当a ＝0时，不是一元二次方程，故此选项不合题意；B 、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意；C 、不是整式方程，故此选项不合题意；D 、是一元二次方程，故此选项符合题意；故选：D ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．6．（2021ꞏ全国八年级）已知α，β是方程2202010x x ++=的两个根，则（1＋2022α＋α2）（1＋2022β＋β2）的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【分析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解可得出：1αβ=，2202010αα++=，2 202010ββ++=，将其代入原式中即可求出结论．【详解】∵α，β是方程2202010x x ++=的两个根，∴1αβ=，220201αα+=-，2 20201ββ+=-，∴()()221202212022ααββ++++=()()22120202120202αααβββ++++++4αβ==4．故选：D ．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据根与系数的关系及一元二次方程的解得出1αβ=，2202010αα++=，2 202010ββ++=是解题的关键．7．（2021ꞏ全国八年级）若α、β是方程x 2+2x ﹣2015＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（）A ．2015B ．2013C ．﹣2015D ．4030【答案】B【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到α2+2α﹣2015＝0，则α2+2α＝2015，于是α2+3α+β可化为2015+α+β，再利用根与系数的关系得到α+β＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵α是方程x 2+2x ﹣2015＝0的根，∴α2+2α﹣2015＝0，∴α2+2α＝2015，∴α2+3α+β＝2015+α+β，∵α、β是方程x 2+2x ﹣2015＝0的两个实数根，∴α+β＝﹣2，∴α2+3α+β＝2015﹣2＝2013．故选：B ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若12,x x 一元二次方程的两个根时，12b x x a +=-，12c x x a=，也考查了一元二次方程的解．8．（2020ꞏ河南洛阳市ꞏ九年级月考）某口罩厂六月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到81万只，则该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为（）A ．10%B ．29%C ．81%D ．14.5%【答案】A【分析】设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为x ，根据该厂六月份及八月份的口罩产量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设该厂七八月份的口罩产量月平均减少率为x ，根据题意得，()2100181x -=，解得10.110%x ==，2 1.9x =（不合题意，舍去）．故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．（2021ꞏ全国八年级）如图，在长为32m ，宽为20m 的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m 2，则道路的宽（）m ．A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5【答案】C【分析】根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程求解．【详解】解：原图经过平移转化为图1．设道路宽为xm，根据题意，得（20﹣x）（32﹣x）＝540．整理得x2﹣52x+100＝0．解得x1＝50（不合题意，舍去），x2＝2．则道路宽为2m，故选：C．【点睛】考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．本题中按原图进行计算比较复杂时，可根据图形的性质适当的进行转换化简，然后根据题意列出方程求解．10．（2021ꞏ全国八年级）某小区2018年屋顶绿化面积为2000m2，计划2020年屋顶绿化面积要达到2880m2．设该小区2018年至2020年屋顶绿化面积的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．2000（1+2x）＝2880B．2000×（1+x）＝2880C．2000+2000（1+x）+2000（1+x）2＝2880D．2000（1+x）2＝2880【答案】D【分析】根据该小区2018年及2020年屋顶绿化的面积，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：依题意得：2000（1+x）2＝2880．故选：D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握增长率问题公式正确列出一元二次方程是解题的关键．二、填空题11．（2021ꞏ全国八年级）已知实数m ，n 满足条件2720m m -+=，2720n n -+=，则n m m n+的值是______．【答案】2或452【分析】根据题意先将两个未知数理解为一元二次方程的两个根，再利用韦达定理求出两根关系，进而求得原式的答案即可．【详解】由题意，实数m n ，是一元二次方程2720x x -+=的两个实数根，此时题目并未告知m n ，是否相等，故作以下讨论：①若m n =，则112n m m n+=+=；②若m n ≠，则根据韦达定理，有72m n mn +==，，()222227224522m n mn n m m n m n mn mn +-+-⨯+====，故答案为：2或452．【点睛】本题考查一元二次方程根的理解及根与系数的关系，灵活解读题意是解题关键．12．（2021ꞏ全国九年级）已知关于x 的一元二次方程：220x x a --=，有下列结论：①当1a >-时，方程有两个不相等的实根；②当0a >时，方程不可能有两个异号的实根；③当1a >-时，方程的两个实根不可能都小于1；④当3a >时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．其中错误结论的序号为___．【答案】②【分析】根据根的判别式，根与系数的关系一一判断即可．【详解】∵x 2-2x-a=0，∴△44a =+，∴①当1a >-时，△0>，方程有两个不相等的实根，故①正确，②当0a >时，两根之积0<，方程的两根异号，故②错误，③方程的根为212x ==1a >- ，∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确，④当3a >时，由（3）可知，两个实根一个大于3，另一个小于3，故④正确，故答案为：②．【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．13．（2021ꞏ全国八年级）比此方程2520x x --=的两根均大3的为根的方程是____．【答案】211220x x -+=．【分析】设方程x 2-5x-2=0的两根分别为t 1，t 2，表示出以t 1+3，t 2+3为根的方程，化简即可．【详解】设方程2520x x --=的两根分别为1t ，2t ，则13t +，23t +为根的方程是2(3)5(3)20x x ----=，整理得：211220x x -+=．故答案为：211220x x -+=．【点睛】本题考查了解一元二次方程-公式法，弄清题意是解本题的关键．14．（2020ꞏ富顺县北湖实验学校九年级月考）若方程223160x x b ++-=和233120x x b +-+=的解相同，则b 的值为______．【答案】4【分析】根据方程解相同，得到常数项相等即可求出b 的值．【详解】解：根据题意得：b 2-16=-3b+12，即b 2+3b-28=0，分解因式得：（b-4）（b+7）=0，解得：b=4或-7，当b=-7时，两方程为x 2+3x+33=0无解，舍去，则b=4．故答案为：4．【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．三、解答题15．（2020ꞏ陕西宝鸡市ꞏ九年级期中）用适当的方法解下列方程：（1）22580x x --=；（2）23(5)2(5)x x -=-．【答案】（1）1255,44x x +-==；（2）12175,3x x ==【分析】（1）用公式法求解即可；（2）用因式分解法求解即可．【详解】解：（1）2,5,8a b c ==-=- ，2(5)42(8)890∴∆=--⨯⨯-=>，524b x a -±∴==，1255,44x x ∴==（2）23(5)2(5)0x x ---=，移项得，23(5)2(5)0x x ---=，因式分解得，(5)(317)0x x --=，50x ∴-=或3170x -=，12175,3x x ∴==【点睛】本题主要考查解一元二次方程的解法，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．16．（2021ꞏ全国八年级）已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根．（1）若方程的一个根为1，求m的值；（2）设α、β是方程的两个实数根，是否存在实数m使得α2+β2﹣αβ＝6成立？如果存在，请求出来，若不存在，请说明理由．【答案】（1）0或-2；（2）存在，m的值为-1．【分析】（1）先根据∆=(2m-1)2-4m2≥0求出m的取值范围，把x=1代入原方程可得到关于m的一元二次方程，然后解此一元二次方程即可；（2）根据根与系数的关系得到α+β=-(2m-1)，αβ=m2，利用α2+β2-αβ=6得到(α+β)2-3αβ=6，则(2m-1)2-3m2=6，然后解方程后利用（1）中m的范围确定m的值．【详解】解：（1）由题意得∆=(2m-1)2-4m2≥0，解得m≤14．把x＝1代入方程得1+2m﹣1+m2＝0，解得m1＝0，m2＝﹣2，即m的值为0或﹣2；（3）存在．∵α、β是方程的两个实数根，∴α+β＝﹣(2m﹣1)，αβ＝m2，∵α2+β2﹣αβ＝6，∴(α+β)2﹣3αβ＝6，即(2m ﹣1)2﹣3m 2＝6，整理得m 2﹣4m ﹣5＝0，解得m 1＝5，m 2＝﹣1，∵m ≤14；∴m 的值为﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）根与系数的关系，若x 1，x 2为方程的两个根，则x 1，x 2与系数的关系式：12b x x a +=-，12c x x a⋅=．也考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式与根的关系．17．（2021ꞏ全国八年级）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，我市一家“大学生自主创业”的快递公司，今年7月份与9月份完成投递的快递总件数分别是10万件和12.1万件，现假设该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）如果每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的22名快递业务员能否完成今年10月份的快递投递任务？请说明理由．【答案】（1）该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；（2）不能，理由见解析【分析】（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x ，根据“今年7月份与9月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可；（2）首先求出今年10月份的快递投递任务，再求出22名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司不能完成今年10月份的快递投递任务．【详解】解：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x ，根据题意得：210(1)12.1x +=，解得：10.1x =，2 2.1x =-（不合题意舍去）．答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；（2）今年10月份的快递投递任务是12.1(110%)13.31⨯+=（万件）． 平均每人每月最多可投递0.6万件，22∴名快递投递员能完成的快递投递任务是：0.62213.213.31⨯=<，∴该公司现有的22名快递投递业务员不能完成今年10月份的快递投递任务．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据增长率一般公式列出方程即可解决问题．18．（2021ꞏ全国八年级）已知关于x 的方程x 2﹣8x ﹣k 2+4k +12＝0．（1）求证：无论k 取何值，这个方程总有两个实数根；（2）若△ABC 的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）k 的值为2或1或3．【分析】（1）先计算出△＝4（k ﹣2）2，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）先利用因式分解法求出方程的解为x 1＝﹣k +6，x 2＝k +2，然后分类讨论：当AB ＝AC 或AB ＝BC 或AC ＝BC 时△ABC 为等腰三角形，然后求出k 的值．【详解】解：（1）证明：∵△＝（﹣8）2﹣4（﹣k 2+4k +12）＝4（k ﹣2）2≥0，∴无论k 取何值，这个方程总有两个实数根；（2）解：x 2﹣8x ﹣k 2+4k +12＝0，（x +k ﹣6）（x ﹣k ﹣2）＝0，解得：x 1＝﹣k +6，x 2＝k +2，当AB＝AC时，﹣k+6＝k+2，则k＝2；当AB＝BC时，﹣k+6＝5，则k＝1；当AC＝BC时，则k+2＝5，解得k＝3，综合上述，k的值为2或1或3．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．19．（2020ꞏ广西南宁市ꞏ九年级期中）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为30000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，厂决定从2月份起扩大产量，3月份平均日产量达到36300个．（1）求口罩日产量的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？【答案】（1）口罩日产量的月平均增长率为10%；（2）预计4月份平均日产量为39930个．【分析】（1）根据题意设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意列出方程即可求解；（2）结合（1）按照这个增长率，根据3月份平均日产量为36300个，即可预计4月份平均日产量．【详解】（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意，得30000（1＋x）2＝36300，解得x1＝−2.1（舍去），x2＝0.1＝10%，答：口罩日产量的月平均增长率为10%；（2）36300（1＋10%）＝39930（个）．答：预计4月份平均日产量为39930个．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题应用题的等量关系．20．（2019ꞏ瑞安市新纪元实验学校九年级期末）某企业接到一批钢笔生产任务，按合同每支钢笔出厂价为8元在开始生产后，前三天进行设备调试，期间每支钢笔的成本为2.1元，调试结束后，每增加1天，每支钢笔的成本增加0.2元，设开始生产后第x 天（3x >）的钢笔成本为每支y 元．（1）y 关于x 的关系式为______；（2）若开始生产后第x 天（3x >）的钢笔产量为m （支），m 满足关系式：2050m x =+．①该企业开始生产后第几天获得的利润为1125元？（利润=出厂价一成本）②为保证获利，当每支钢笔成本超过7.5元时，即要停止生产，则在生产的过程中，该企业每日能获得的利润至少为多少元？【答案】（1） 1.50.2y x =+（3x >）；（2）①10或20，②325．【分析】（1）前三天成本2.1元，每增加1天，每支钢笔的成本增加0.2元，后第x 天多出成本0.2（x-3），开始生产后第x 天（3x >）的钢笔成本为每支y 元列式为：()2.10.23y x =+-整理即可，（2）①（出厂价-钢笔成本为每支y 元）×钢笔产量为m （支）=利润列出方程求出x 即可②利用钢笔成本y≤7.5求出最多生产日期，钢笔产量203050m =⨯+乘以每支钢笔的利润计算即可．【详解】（1）()2.10.23y x =+-化简得 1.50.2y x =+其中3x >，故答案为： 1.50.2y x =+（3x >）；（2）①依题意得：()8-y 1125m =即()()8-1.5+0.220501125x x +=⎡⎤⎣⎦，化简得：2302000x x -+=，解得：1210,20x x ==，所以该企业开始生产后第10天或20天获得的利润为1125元；②当y 7.5≤时，即1.5+0.27.5x ≤，解得：30x ≤，最多生产日期为30天，此时利润为：()()2030+508-7.5=325⨯⨯元，答该企业每日能获得的利润至少为325元．【点睛】本题考查一次函数解析式，一元二次方程，不等式，掌握一次函数解析式的求法，一元二次方程的解法，不等式解法是解题关键．21．（2020ꞏ江西宜春市ꞏ宜春九中九年级期中）若a 为方程2(16x =的一个正根，b 为方程22113y y -+=的一个负根，求+a b 的值．【答案】a+b=5【分析】先求出2(16x -=的根4x ，由a 为方程2(16x -=的一个正根，得4a =+，再求22113y y -+=的根=1y ±b 为方程22113y y -+=的一个负根，得1b =，最后求+a b 即可．【详解】2(16x =，4x =±，4x ±，a 为方程2(16x -=的一个正根，4a =+，22113y y -+=，()2113y -=，1y -==1y ±b 为方程22113y y -+=的一个负根，1b =，415a b +=+=．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，会比较方程根的正负与大小，掌握一元二次方程的解法是解题关键．22．（2021ꞏ全国九年级专题练习）规定一种新的运算△：a △b ＝a （a+b ）+a ﹣b ．例如，1△2＝1×（1+2）+1﹣2＝2．（1）10△12＝．（2）若x △3＝﹣7，求x 的值．（3）求代数式﹣2x △4的最小值．【答案】（1）218；（2）2-；（3）10.25-．【分析】（1）根据a △b=a （a+b ）+a-b 列出运算式子，根据有理数的运算法则进行计算即可；（2）若x △3=-7，则x （x+3）+x-3=-7，解一元二次方程即可得；（3）根据a △b=a （a+b ）+a-b ，可得-2x △4=-2x （-2x+4）-2x-4，据此求出-2x △4的最小值是多少即可．【详解】解：（1）∵a △b ＝a （a+b ）+a ﹣b ，∴10△12＝10×（10+12）+10﹣12＝218，故答案为：218；（2）∵x △3＝﹣7，∴x （x+3）+x ﹣3＝﹣7，∴x 2+4x+4＝0，解得122x x ==-，故x 的值为2-；（3）∵a △b ＝a （a+b ）+a ﹣b ，∴﹣2x △4＝﹣2x （﹣2x+4）﹣2x ﹣4＝4x 2﹣10x ﹣4＝（2x ﹣2.5）2﹣10.25由偶次方的非负性得：当2x ﹣2.5＝0，即x ＝1.25时，﹣2x △4取最小值，最小值是10.25-．【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，同时还考查了解一元二次方程的应用．23．（2020ꞏ广东深圳市ꞏ九年级月考）某商场一种商品的进价为每件55元，售价每件100元，每天可以销售50件，为尽快减少库存，商场决定降价促销.（1）若该商品连续两次下调相同百分率后售价降至每件81元，求每次下降的百分率；（2）经调查发现，每件商品每降价0.5元，每天可多销售2件，若每天想获得2800元的利润，则每件应降价多少元？【答案】（1）10%;（2）27.5元.【分析】（1）根据增长率公式列方程计算即可；（2）先明确等量关系“每件利润×销量=利润”，即“（售价一成本一降价）×(原销量+增加销量)=2800”，设每件应降价m 元，可列方程求解；【详解】解：（1）一元二次方程典型应用题“增长率问题”：公式式：2a(1x)b ±=，设每次下降的百分率为x ，由公式可列方程为：2100(1x)81-=，解得12x 0.1,x 1.9==（舍去），∴每次下降的百分率为10%;（2）设每件应降价m 元，可列方程为：（100-55-m ）（50+4m ）=2800，解得12x 5,x 27.5==，∵尽快减少库存，∴x=5舍去，故每件应降价27.5元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确列方程计算是解题的关键．试卷第21页，总21页。
八年级数学上册第13章知识专题6_与三角形有关的证明(人教版)
《小专题与三角形有关的证明》题组（一）证明角相等类型1 利用内、外角和进行简单证明1.如图，在△ACB中，∠ACB=90°，CD AB于D.（1）求证：∠ACD=∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD，BC于点E，F，求证：∠CEF=∠CFE.2.如图，AD平分△ABC的外角∠CAE.（1）若∠2=100°，∠3=30°，求∠1的度数；（2）求证：∠3=（∠2-∠1）.类型2 运用全等进行证明3.已知：如图，AD平分∠BAC，DB AB于B，DH AC于H，G是AB上一点，GD=DC. 求证：∠C=∠BGD.4.已知：如图，A，E，B三点在一条直线上，B，D，C三点在一条直线上，且AB=BC，BD=BE，AD交CE于F点，连接BF.求证：（1）∠A=∠C；（2）BF平分∠ABC.5.如图，△ACB和△ECD都是等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE.（1）求证：AD=BE；（2）求∠AEB的度数.6.如图，点D在CB的延长线上，DB=CB，点E在AB上，连接DE，DE=AC，求证：∠A=∠DEB.类型3 运用等腰三角形（或线段垂直平分线）的性质进行证明7.如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC的中点，DE AB.（1）求证：∠BAC=2∠BDE；（2）若AC=4，DE=3，求△ABC的面积.8.如图，在四边形ABCD中，M，N分别是CD，BC的中点，且AM CD，AN BC.（1）求证：∠BAD=2∠MAN；（2）连接BD，若∠MAN=70°，∠DBC=40°，求∠ABC的度数.题组（二）证明线段之间的位置关系类型1 证明线段平行思路：先证明角相等，然后利用平行线的判定证明两直线平行9.如图，点B，F，C，E在同一条直线上，且FB=CE，∠A=∠D，∠ACB=∠DFE，求证：（1）△ACB△DFE；（2）AB∥DE.类型2 证明线段垂直思路一：证明角为90°10.如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且有BF=AC，FD=CD.求证：BE AC.思路二：等腰三角形三线合一11.如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD BC于D，DE AB于E，DF AC于F，求证：AD EF.12.如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，△ABD和△BCE是等边三角形，连接CD，ED.求证：BD CE.题组（三）证明线段之间的数量关系类型1 证明线段相等思路一：利用全等三角形的性质证明线段相等13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.E为AC边的中点，AD AB交BE延长线于点D.CF平分∠ACB交BD于点F，连接CD.求证：（1）AD=CF；（2）点F为BD的中点.14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上的一点，过D作DE AB交AC于点E，BC=BD，连接CD交BE于点F.（1）求证：CE=DE；（2）若点D为AB的中点，求∠AED的度数.思路二：利用等腰（边）三角形的性质与判定证明线段相等15.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，求证：CE=AB.16.如图，已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM BC，垂足为M，求证：M是BE的中点.思路三：利用线段的垂直平分线的性质与判定证明线段相等17.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，求证：BM=MN=NC.思路四：利用角平分线的性质与判定证明线段相等18.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD BC于点D，∠ACB的平分线交AD于点E，交AB于点F，FG BC于点G，求证：AE=FG.类型2 证明线段的和差关系19.如图，已知AD∥BC，点E为CD上一点，AE，BE分别平分∠DAB，∠CBA，BE交AD的延长线于点F.求证：（1）△ABE△AFE；（2）AD+BC=AB.20.如图，在△ABC中，∠A=60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD，CE 交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并加以证明.类型3 证明线段的倍分关系21.如图，△ABC为等边三角形，D，E分别是边AC，BC上的点，且AD=CE，AE 与BD相交于点P.（1）求∠BPE的度数；（2）若BF AE于点F，试判断BP与PF的数量关系，并说明理由.综合训练22.如图，一个直角三角形的顶点A在∠MON的边OM上（不与O重合），且ABON于点B，AC上OM于点A，点C在ON上，∠MON的平分线OP分别交AB，AC 于D，E两点.（1）线段AD和AE有怎样的数量关系？并说明理由；（2）射线ON上的点F与点A关于OP所在的直线对称，那么线段DF和AE有怎样的数量关系？并说明理由：（3）若∠MON=45°，猜想线段AC，AD.OC之间有怎样的数量关系？并证明你的猜想。
北师大版八年级数学下册第六章四边形动点问题专题训练(无答案)
四边形动点问题专题训练基础练习:1.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值. ... ）A.....B.2.5或3....C. 3.5或4....D.2或3.5或4.52、如图, 在正方形ABCD中, E是AB上一点, BE=2, AE=3BE, P是AC上一动点, 则PB+PE 的最小值是______________3.已知四边形ABCD是直角梯形, AD∥BC, ∠B=90°, AB=8,AD=18,BC=20,点P以每秒钟1个单位长度的速度从点A出发向点D运动.（1）当运动时间为t秒, 则AP=______,PD=______;当t=_____时, △PCD的面积等于40.（2）设运动时间为t秒, △PCD的面积为S, 则S与t之间的函数关系式为：______________.能力提升:1、如图, 在四边形ABCD中, AD∥BC, 且AD=9cm, BC=6cm.点P、Q分别从点A、C同时出发, 点P以1cm/s的速度由A向D运动, 点Q以2cm/s的速度由C向B运动, 其中一个动点到达终点时, 另一个动点也停止运动, 几秒后直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形.（1）2.如图, 在梯形ABCD 中, AD ∥BC, E 是BC 的中点, AD ＝5, BC ＝12, CD ＝4 , ∠C ＝45°, 点P 是BC 边上的一动点, 设PB 的长为x 。
当x 的值为____________时, 以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形为直角梯形。
当x 的值为____________时, 以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形为平行四边形。
3.△ABC 是等边三角形, 点D 是射线BC 上的一个动点（点D 不与点B.C 重合）, △ADE 是以AD 为边的等边三角形, 过点E 作BC 的平行线, 分别交射线AB.AC 于点F 、G, 连接BE.（1）如图（a ）所示, 当点D 在线段BC 上时. 探究四边形BCGE 是怎样特殊的四边形？ 并说明理由；（2）如图（b ）所示, 当点D 在BC 的延长线上运动到什么位置时, 四边形BCGE 是菱形？ 并说明理由. （四条边都相等的四边形是菱形）A B C DP Q1cm/2cm/4.如图, 在Rt△ABC中, ∠B=90°, AC=60cm, ∠A=60°, 点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动, 同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动, 当其中一个点到达终点时, 另一个点也随之停止运动. 设点D.E运动的时间是t秒（0＜t≤15）. 过点D作DF⊥BC于点F, 连接DE, EF.（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能, 求出相应的t值, 如果不能, 说明理由；（3）当t为何值时, △DEF为直角三角形？请说明理由．16.如图1, 在直角梯形ABCD中, AD∥BC, 顶点D, C分别在AM, BN上运动(点D不与A重合, 点C 不与B重合), E是AB上的动点(点E不与A, B重合), 在运动过程中始终保持DE⊥CE, 且AD+DE=AB=a。
八年级数学下册第16章 微专题6 教材母题回归专练
微专题6 教材母题回归专练
4．(RJ8 下 P20)判断下列各式是否成立：
2＋23＝2 23； 3＋38＝3 38； 4＋145＝4 145.类比上述式子，再写 出几个同类型的式子，你能看出其中的规律吗？用字母表示这一规律，并 给出证明．
解： 5＋254＝5 254， 6＋365＝6 365， 规律： n＋n2－n 1＝n n2－n 1(n＞1)． 证明：n n2－n 1＝ n2n－3 1＝ n3n－2－n＋1 n＝
7．(几何直观、运算能力、应用意识、创新意识)(SJ8下P163)如图，两个圆
的圆心相同，半径分别为R，r，面积分别是18 cm2，8 cm2.求圆环的宽度(两
圆半径之差)．
解：πR2＝18，πr2＝8，
∴R2＝1π8，r2＝π8.
又∵R＞0，r＞0，
∴R＝π3 2π，r＝π2 2π.
∴R－r＝π3 2π－π2 2π＝π(c2mπ).
第十六章 二次根式 微专题6 教材母题回归专练
微专题6 教材母题回归专练
1．(RJ8下P11、BS8上P46)已知 2 ＝1.414，则 _0_._7_0_7__，__2_.8_2_8__.
1 2
与
8 的近似值分别是
2．(RJ8下P11、BS8上P50)求代数式的值．
(1)a＝1，b＝10，c＝－15；
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微专题6 教材母题回归专练
6．(运算能力、推理能力、创新意识)(SJ8 下 P169)已知 a－3＋ 2－b＝0，
求 1a＋ 6b的值．
解：∵ a－3＋ 2－b＝0，∴a－3＝0，2－b＝0，
解得 a＝3，b＝2.
∴1＋ a
6＝ 1 ＋ b3
6＝ 2
33＋
部编数学八年级上册专题06等边三角形的性质(解析版)含答案
2022-2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题06 等边三角形的性质考试时间：120分钟 试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021八上·嵩县期末）如图， ABC V 是等边三角形， BD 是中线，延长 BC 至E ，使 CE CD = ，则下列结论错误的是（ ）A ．30CED ∠=︒B ．120BDE ∠=︒C ．DE BD =D ．DE AB=【答案】D 【完整解答】解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB ＝60°，∵BD 是AC 上的中线，∴∠ADB ＝∠CDB ＝90°，∠ABD ＝∠CBD ＝30°，∵∠ACB ＝∠CDE ＋∠DEC ＝60°，又CD ＝CE ，∴∠CDE ＝∠CED ＝30°，∴∠CBD ＝∠DEC ，∴DE=BD ，∠BDE ＝∠CDB ＋∠CDE ＝120°，故A 、B 、C 均正确．故答案为：D ．【思路引导】利用等边三角形性质得∠ABC=∠ACB ＝60°，∠ADB ＝∠CDB ＝90°；∠ABD ＝∠CBD ＝30°，再利用三角形的外角的性质及等腰三角形的性质可得到∠CDE ＝∠CED ＝30°，可对A 作出判断；由此可推出∠CBD=∠DEC ，同时可求出∠BDE 的度数，可对B 作出判断；利用等角对等边可证得DE=DB ，可对C 作出判断；不能证明DE=AB ，可对D 作出判断.2．（2分）（2021八上·凉山期末）三角形中，最大角 α 的取值范围是（ ）A ．090α︒<<︒B ．60180α︒<<︒C ．6090α︒≤<︒D ．60180α︒≤<︒【答案】D【完整解答】解：根据题意得：最大角180α<︒ ， 当三角形为等边三角形时，三角形的三个内角相等，且60α=︒ ，∴最大角a 的取值范围是 60180α︒≤<︒ .故答案为：D. 【思路引导】根据三角形的内角和定理可得α<180°，当三角形为等边三角形时，α=60°，据此可得α的范围.3．（2分）（2021八上·遵义期末）点D 、E 分别是等边三角形 ABC 的边 BC 、 AB 的中点， 6AD = ，F 是AD 上一动点，则 BF EF + 的最小值是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】A 【完整解答】解：连接CE ，交AD 于F ，连接BF ，则BF+EF 最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），∵E 是AB 的中点，△ABC 是等边三角形，CE AB∴⊥由于C 和B 关于AD 对称，则BF+EF=CF ，∵等边△ABC 中，BD=CD ，∴AD ⊥BC ，∴AD 是BC 的垂直平分线（三线合一），∴C 和B 关于直线AD 对称，∴CF=BF ，即BF+EF=CF+EF=CE ，∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，∴∠ADB=∠CEB=90°，在△ADB 和△CEB 中，ADB CEB ABD CBE AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADB ≌△CEB （AAS ），∴CE=AD=6，即BF+EF=6.故答案为：A.【思路引导】连接CE ，交AD 于F ，连接BF ，则BF+EF 最小，根据等边三角形的性质可得CE ⊥AB ，根据轴对称的性质可得BF+EF=CF ，推出AD 是BC 的垂直平分线，得到CF=BF ，则BF+EF=CF+EF=CE ，证明△ADB ≌△CEB ，得到CE=AD=6，据此解答.4．（2分）（2021八上·松桃期末）如图，△ABC 是等边三角形，点E 是AC 的中点，过点E 作EF ⊥AB 于点F ，延长BC 交EF 的反向延长线于点D ，若EF=1，则DF 的长为（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．3.5【答案】C 【完整解答】解：连接BE，∵△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，∴∠ABC=60°，∠ABE=∠CBE=30°，∵EF⊥AB，∴∠D=90°-∠ABC=30°，即∠D=∠CBE=30°，∴BE=DE，在Rt△BEF中，EF=1，∴BE=2EF=2，∴BE=DE=2，∴DF=EF+DE=3，故答案为：C.【思路引导】连接BE，根据等边三角形的性质得∠ABC=60°，∠ABE=∠CBE=30°，易求∠D=30°，即得∠D=∠CBE，由等角对等边可得BE=DE，根据含30°角的直角三角形的性质可得BE=2EF=2，即得DE=2，从而得出DF=EF+DE=35．（2分）（2021八上·灌阳期末）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内.若BC＝5，则五边形DECHF的周长为（ ）A．8B．10C．11D．12【答案】B【完整解答】解：∵△GFH为等边三角形，∴FH=GH，∠FHG=60°，∴∠AHF+∠GHC=120°，∵△ABC 为等边三角形，∴AB=BC=AC=5，∠ACB=∠A=60°，∵∠AHF=180°-∠FHG-∠GHC =120°-∠GHC ，∠HGC=180°-∠C-∠GHC =120°-∠GHC ，∴∠AHF=∠HGC ，在△AFH 和△CHG 中A C AHF HGC FH GH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFH ≌△CHG （AAS ），∴AF=CH.∵△BDE 和△FGH 是两个全等的等边三角形，∴BE=FH ，∴五边形DECHF 的周长=DE+CE+CH+FH+DF=BD+CE+AF+BE+DF ，=(BD+DF+AF)+(CE+BE)，=AB+BC=10.故答案为：B.【思路引导】利用AAS 证明△AFH ≌△CHG ，可得AF=CH ，由于△BDE 和△FGH 是两个全等的等边三角形，可得BE=FH ，由于五边形DECHF 的周长=DE+CE+CH+FH+DF=BD+CE+AF+BE+DF=(BD+DF+AF)+(CE+BE)=AB+BC ，据此计算即可.6．（2分）（2021八上·河东期末）如图，过边长为4的等边ABC V 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA=CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（ ）A ．95B ．2C ．115D ．125【答案】B【完整解答】解：过P 作PM BC P ，交AC 于M，∵ABC V 是等边三角形，∴60APM B ∠=∠=︒，60A ∠=︒，∴APM V 是等边三角形，又∵PE AM ⊥，∴12AE EM AM ==，∵PM CQ P ，∴PMD QCD ∠=∠，MPD Q ∠=∠，∵PA PM =，PA CQ =，∴PA PM CQ ==，在PMD V 和QCD V 中，PDM CDQ PMD DCQ PM CQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴PMD QCD V V ≌，∴12CD DM CM ==，∴11()222DM ME AM MC AC +=+==，故答案为：B ．【思路引导】过P 作PM BC P ，交AC 于M ，得出APM V 是等边三角形，推出PA PM CQ ==，根据等腰三角形的性质证出PMD QCD V V ≌，推出12CD DM CM ==，即可得出结论。
江苏省数学八年级上学期期末培优专题6 平面直角坐标系
江苏省数学八年级上学期期末培优专题6 平面直角坐标系姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共15题；共30分)1. （2分）在正方形网格中，若点A的坐标为(-1，-2)，点B的坐标是(1，-1)，则点C的坐标是（）A . (3，1)B . (4，1)C . (2，5)D . (3，3)2. （2分）下列说法正确的是（）A . 圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等B . 在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示同一点C . 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）一定有实数根D . 将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC与△ADE不全等3. （2分）下列说法正确的是（）A . （2，3）和（3，2）表示的位置相同B . （2，3）和（3，2）是表示不同位置的两个有序数对C . （2，2）和（2，2）表示两个不同的位置D . （m，n）和（n，m）表示的位置不同4. （2分）在教室里确定某同学的座位需要的数据个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 45. （2分）课间操时，小华、小军、小刚的位置如图1，小华对小刚说，如果我的位置用（0，0）表示，小军的位置用（2，1）表示，那么你的位置可以表示成（）A . （5，4）B . （4，5）C . （3，4）D . （4，3）6. （2分）张强在某旅游景点的动物园的大门口看到这个动物园的平面示意图(如图所示)，若以大门为坐标原点，其他四个景点大致用坐标表示肯定错误的是（）A . 熊猫馆(1，4)B . 猴山(6，0)C . 百鸟园(5，-3)D . 驼峰(3，-2)7. （2分）以方程组的解为坐标的点(x，y)位于平面直角坐标系中的（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限8. （2分） (2019八上·固镇月考) 函数的图象与的图象的交点在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限9. （2分）甲、乙、丙3人从图书馆各借了一本书，他们相约在每个星期天相互交换读完的书.经过数次交换后，他们都读完了这3本书。
2019-2020学年上海八年级数学下册同步精练 专题06 多边形与平行四边形(考点串讲)
专题06多边形与平行四边形【考点剖析】1.多边形_____(1)._(2)(3);(4)________n ⎧⎪⎨⎪⎩定义：由平面内的一些线段而成的：对于多边形的任意一边所在的，如果其余各边都在分类： 这条直线的；凹多边形：多边形的内角和定理：边___________________________________________________形的内角和等于定义：多边形的一________个内角的；多边形的外角定理：多边形的外________________.(5___)_.⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎪⎩角和等于多边形的对角线条数：2.平行四边形：两组对边分别平行的四边形.12(1)3412(2)⎧⎪⇒⎪⎨⎪⎪⎩定理：平行四边形的；定理：平行四边形的；夹在两平行线间的相等；性质定理：平行四边形的两条对角线；定理：平行四边形是_______________________________________________________________图形，对称中心是.定理：的四边形是平行四边形；定____________________________理：判定___的34⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩_________________四边形是平行四边形；定理：的四边形是平行四边形；定理：的四边形是平______________行四边形.3.特殊的平行四边形（1）矩形{{⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩_________________________________定义：有一个内角是的；性质矩形的四个角都是；矩形的两对角线；判定有的__________________四边形；对角线的；_①②①②（2）菱形{⎧⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎩定义：有的；菱形的四条边；性质菱形的对角线，且每一________________________________________________________________条对角线平分；判定相等的四边形________；对角线的；①②①②（3）正方形{⎧⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎩_________________________________________________________定义：有且有的；正方形的四个角都是，四条边都；性质正方形的两对角线，且互相，每条对角线平分；判定有的；有一个内角是__________________的___.___①②①②【典例分析】例题1.（浦东四署2019期中6）如图，1,2,3∠∠∠是五边形ABCDE 的3个外角，若123210∠+∠+∠=︒，则A B ∠+∠=（）A.150︒； B.180︒；C.210︒；D.310︒.例题2.（普陀2018期中3）已知四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它成为菱形，还需要添加一个条件，这个条件是（）A.B.C.D.例题3.（嘉定2019期末6）已知四边形ABCD 中，90A B C ∠=∠=∠=︒，如果添加一个条件，使得该四边形成为正方形，那么所添加的这个条件可以是（）A.90D ∠=︒； B.AB=CD ； C.AB=BC ； D.AC=BD.例题4.（浦东四署2019期中4）已知平行四边形的两条对角线长分别是8和20，那么这个平行四边形的一条边的长度可能是（）A.8； B.6； C.4； D.2.例题5．（长宁2019期末16）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．等边三角形B ．菱形C ．等腰直角三角形D ．平行四边形例题6．（浦东四署2018期中15）已知一个十边形每个内角都相等，则它的每个外角均为度．Better offer ，Better future例题7.（浦东四署2019期中14）若一个多边形的边数为5，则这个多边形的外角和为.例题8.(奉贤2018期末15)在四边形ABCD 中，AB =AD ，对角线AC 平分∠BAD ，AC =8，S 四边形ABCD =16，那么对角线BD =______．例题9．（浦东四署2018期中16）在四边形ABCD 中，已知∠A +∠B =180°，要使四边形ABCD 是平行四边形，还需添加一个条件，这个条件可以是．(只需填写一种情况)例题10.（嘉定2019期末18）已知四边形ABCD 是矩形，点E 是边AD 的中点，以直线BE 为对称轴将ABE ∆翻折至FBE ∆，联结DF ，那么图1中与AEB ∠相等的角的个数为.例题11.（浦东四署2019期末18）如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC=a ，CE=b ，H 是AF 的中点，那么CH 的长是.（用含a 、b 的代数式表示）例题12.（浦东四署2019期中24）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，延长BA 到F ，使得AF=BA ，连接CF 交AD 于点E.求证：AD 与CF 互相平分.【真题训练】一、选择题1.（松江2018期中18）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（）A.四边形； B.五边形； C.六边形； D.八边形.2.（杨浦2019期中18）一个多边形，边数每增加1，内角和是（）A ．不变 B.增加1º C.增加180º D.增加360º3.（松江2019期中4）一个多边形的内角和等于外角和的两倍，那么这个多边形是（）A.三边形B.四边形C.五边形D.六边形4.（浦东2018期末4）在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AB=CD，添加下列条件后能判定这个四边形是平行四边形的是（）A. B. C. D.5．（浦东四署2018期中5）点A、B、C、D在同一个平面内，若从①AB∥CD②AB=CD③BC∥AD④BC=AD这四个条件中选两个，但不能推导出四边形ABCD是平行四边形的选项是（）（A）①②；（B）①④；（C）②④；（D）①③．∠=∠，BO=DO，6.（静安2019期末6）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，OAB OAD那么下列条件中不能．．判定四边形ABCD是菱形的为（）A.OA=OC；B.BC=DC；C.AD=BC；D.AD=DC.7.（普陀2018期中4）已知下列四个命题：①如果四边形的一组对边平行一组对角相等，那么这个四边形是平行四边形；②菱形是轴对称图形也是中心对称图形；③正方形具有矩形的一切性质，又具有菱形的一切性质；④等腰梯形的对角线互相平分．其中正确的命题有几个（）A.1个B.2个C.3个D.4个．8.(奉贤2018期末5)下列命题中，真命题是（）A.平行四边形的对角线相等B.矩形的对角线平分对角C.菱形的对角线互相平分D.梯形的对角线互相垂直9.(长宁2018期末6)下列命题中，假命题是（）A.两组对角分别相等的四边形是平行四边形B.有一条对角线与一组邻边构成等腰三角形的平行四边形是菱形C.有一组邻边相等且互相垂直的平行四边形是正方形D.一组邻边互相垂直，两组对边分别平行的四边形是矩形10.（浦东一署2018期中6）平行四边形ABCD 的周长为16，5AB =3BC ，则对角线AC 的取值范围为（）A.28AC <<；B.38AC <<；C.58AC <<；D.35AC <<．11．（普陀2018期末6）已知平行四边形ABCD ，AC 、BD 是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（）A ．∠BAC ＝∠DCA B ．∠BAC ＝∠DACC ．∠BAC ＝∠ABD D ．∠BAC ＝∠ADB 12．（闵行2018期末5）用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形（不包含菱形，矩形，正方形）；②矩形；③正方形；④等腰三角形，一定可以拼成的图形是（）A ．①②④B ．②③④C ．①③④D ．①②③二、填空题13.（崇明2018期中18）如果一个八边形的每一个内角都相等，那么它的一个内角的度数等于______度.14.（金山2018期中15）如果一个多边形的内角和是2160︒，那么这个多边形的边数是.15.（普陀2018期中12）n 边形的内角和等于1080°，则n =______．16．（静安2018期末14）已知：一个多边形的每一个内角都是160°，那么这个多边形的边数为．17.（浦东2018期末13）若一个多边形的内角和等于外角和，那么这个多边形的边数是______．18.（杨浦2019期中14）从某多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，则这多边形的内角和是_____度.19.（浦东四署2019期末14）在五边形ABCDE 中，若410A B C D ∠+∠+∠+∠=︒，则E ∠=.20.(奉贤2018期末14)既是轴对称图形，又是中心对称图形的四边形是______．21.（浦东一署2018期中16）平行四边形两邻角的比是3：2，则这两个角的度数分别是______．22.（杨浦2019期中13）平行四边形ABCD 中，∠A ：∠B=2:7，则∠C=º23.（金山2018期中17）如图，已知ABCD 中，DB=DC ，70C ∠=︒，AE BD ⊥于点E ，那么EAD ∠的度数是.24.（浦东四署2019期中16）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 边上的一点，且AB=AE ，若AE 平分DAB ∠，32DAC ∠=︒，则ACD ∠=.25.（浦东四署2019期中15）如图，ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，AC AB ⊥，AB=5，且AC ：BD=2：3，那么AC 的长为.26．（普陀2018期末14）已知平行四边形的周长是24，相邻两边的长度相差4，那么相邻两边的长分别是．27.（静安2019期末15）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 分别是AB 、AD 边上的中点，如果EF=6，AC=8，那么菱形ABCD 的边长为.28.(长宁2018期末16)如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠COB =2∠AOB ，AB =8，则BC 的长是______．29.（普陀2018期中13）已知在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，如果AD =6，AC =10，BD =6，那么△AOD 的周长是______．30.（杨浦2019期中15）如果一个平行四边形的一个内角的平分线分它的一边为1:2两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”，当协调边为6时，它的周长为.31.（浦东四署2019期中17）如图，在平行四边形ABCD 中，AE BC ⊥于点E ，AF CD ⊥于点F ，若AE=3，AF=4，AD+CD=14，则平行四边形ABCD 的面积为.32.（浦东2018期末14）已知菱形一组对角的和为240°，较短的一条对角线的长度为4厘米，那么这个菱形的面积为______平方厘米．33.（普陀2018期中18）如图，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD=6，则AF等于______．34．（浦东四署2018期中18）如图，在□ABCD中，点E在边A D上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在边CD上的点F处，若△DEF的周长为5，△CBF的周长为17，则FC的长为____________．35.（浦东2018期末17）如图，已知在矩形ABCD中，AB=，BC=2，将这个矩形沿直线BE折叠，使点C落在边AD上的点F处，折痕BE交边CD于点E，那么∠DCF等于______度．36.(长宁2018期末18)如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M、N分别是边AD、BC的中点，Q是边CD上的一点．联结MN、BQ，将△BCQ沿着直线BQ翻折，若点C恰好与线段MN上的点P重合，则PQ的长等于______．37.(奉贤2018期末16)在矩形ABCD 中，∠BAD 的角平分线交于BC 点E ，且将BC 分成1：3的两部分，若AB =2，那么BC =______三、解答题38.（浦东四署2019期中23）平行四边形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点B 的坐标为（6，0），点D 的坐标为（1，5），且AB=8.（1）请直接写出点A 、点C 的坐标；（2）求直线AC 的表达式.39.（金山2018期中25）已知：如图，在等边ABC ∆中，D 是BC 边上一点，F 为AB 边上一点，且CD=BF ，以AD 为边作等边ADE ∆，联结EF 、FC.求证：（1）ADC CFB ∆∆≌；（2）四边形EFCD 是平行四边形.40.（浦东一署2018期中24）如图，▱ABCD 中，E 、F 是直线AC 上两点，且AE =CF ．求证：（1）BE =DF ；（2）BE ∥DF41.（杨浦2019期中24）在平行四边形ABCD 中，∠A=45º，BD ⊥AD ，BD=2（1）求平行四边形ABCD 的周长和面积（2）求A 、C 两点间的距离42.（浦东一署2018期中25）在平行四边形ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形．43.（浦东2018期末24）已知：如图，在等边三角形ABC中，过边AB上一点D作DE⊥BC，垂足为点E，过边AC上一点G作GF⊥BC，垂足为点F，BE=CF，联结DG．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）连接AF，当∠BAF=3∠FAC时，求证：四边形DEFG是正方形．44．（青浦2018期末23）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE∥BD，AE与CB的延长线交于点E，DE 交AB于F．（1）求证：BC＝BE；（2）连结CF，若∠ADF＝∠BCF且AD＝2AF，求证：四边形ABCD是正方形．45．（闵行2018期末25）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为边BC上一点，E为边AB的中点，过点A 作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连结BF．（1）求证：四边形ADBF是平行四边形；（2）当D为边BC的中点，且BC＝2AC时，求证：四边形ACDF为正方形．46.（浦东四署2019期末25）已知：如图，在ABC ∆中，AB=BC ，90ABC ∠=︒，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，点F 、G 是边AC 的三等分点，DF 、EG 的延长线相交于点H ，连接HA 、HC.求证：（1）四边形FBGH 是菱形；（2）四边形ABCH 是正方形.专题06多边形与平行四边形【考点剖析】1.多边形(1).(2)(3);(42)180360().(5)3)(2n n n n n -⎧⎪⎨⎪⎩⋅︒︒-⎨⎩>⎧定义：由平面内的一些线段而成的：对于多边形的任意一边所在的，如果其余各边都在分类： 这条直线的；凹多边形：多边形的内角和定理：边形的内角和等于定义：多边形的一个内角的；多边形的外角定不在同一直线上首尾顺次联结封闭理：多边形的外角和等于多边形的对角线条数：图形凸多边形直线一侧(邻补角3)⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩2.平行四边形：两组对边分别平行的四边形.12(1)3412(2)34⎧⎪⇒⎪⎨⎪⎪⎩定理：平行四边形的；定理：平行四边形的；夹在两平行线间的相等；性质定理：平行四边形的两条对角线；定理：平行四边形是图形，对称中心是.对边相等对角相等平行线段互相平分中心对称两对角线的交点两组对边分别相等一组对边平行且相等对角线互相定理：的四边形是平行四边形；定理：的四边形是平行四边形；判定定理：的四边形是平平分两组对角分别相行四边形；定理：的等四边形是平⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩行四边形.3.特殊的平行四边形（1）矩形{{⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩定义：有一个内角是的；性质矩形的四个角都是；矩形的两对角线；判定有的四边形；对角直角平行四边形直角相等三个内角是直角相线的等平行；四边形①②①②（2）菱形{⎧⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎩定义：有的；菱形的四条边；性质菱形的对角线，且每一条对角线平分；判定相等的四边形；一组邻边相等平行四边形都相等互相垂直一组对角四条边互相垂直对角线的；平行四边形①②①②（3）正方形{⎧⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎩一组邻边相等一个内角是直角平行四边形直角相等相等垂直一组对角定义：有且有的；正方形的四个角都是，四条边都；性质正方形的两对角线，且互相，每条对角线平分；判定有的；有一个内角一组邻边相等矩形直角菱.形是的①②①②【典例分析】例题1.（浦东四署2019期中6）如图，1,2,3∠∠∠是五边形ABCDE 的3个外角，若123210∠+∠+∠=︒，则A B ∠+∠=（）A.150︒；B.180︒；C.210︒；D.310︒.【答案】C ；【解析】(52)180A B AED EDC BCD ∠+∠+∠+∠+∠=-⨯︒ ，540A B ∠+∠+︒- (123)540∠+∠+∠=︒，123210A B ∴∠+∠=∠+∠+∠=︒，因此答案选C.例题2.（普陀2018期中3）已知四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它成为菱形，还需要添加一个条件，这个条件是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】解：∵在四边形ABCD 中，对角线AC，BD 互相平分，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴当AB=BC 时，四边形ABCD 是菱形．故选：B．例题3.（嘉定2019期末6）已知四边形ABCD 中，90A B C ∠=∠=∠=︒，如果添加一个条件，使得该四边形成为正方形，那么所添加的这个条件可以是（）A.90D ∠=︒；B.AB=CD ；C.AB=BC ；D.AC=BD.【答案】C ；【解析】根据题意，四边形ABCD 是一个矩形，只要两邻边相等即可，故选C.例题4.（浦东四署2019期中4）已知平行四边形的两条对角线长分别是8和20，那么这个平行四边形的一条边的长度可能是（）A.8；B.6；C.4；D.2.【答案】A ；【解析】如图所示：设AC=8，BD=20，BC=x ，过点D 作DE//AC 交BC 延长线于点E ，在BDE ∆中，2082208x -<<+，解得614x <<，故答案选A.例题5．（长宁2019期末16）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．等边三角形B ．菱形C ．等腰直角三角形D ．平行四边形【答案】B ；【解析】解：A 、等边三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B 、菱形，是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；C 、等腰直角三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D 、平行四边形，不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．故选：B ．例题6．（浦东四署2018期中15）已知一个十边形每个内角都相等，则它的每个外角均为度．【答案】36；【解析】依题十边形的每个外角都相等，且等于360=3610︒︒.例题7.（浦东四署2019期中14）若一个多边形的边数为5，则这个多边形的外角和为.【答案】360︒；【解析】根据多边形外角和定理，得多边形的外角和为360︒.例题8.(奉贤2018期末15)在四边形ABCD 中，AB =AD ，对角线AC 平分∠BAD ，AC =8，S 四边形ABCD =16，那么对角线BD =______．【答案】4【解析】解：∵对角线AC 平分∠BAD ，∴∠BAO=∠DAO ，在△BAO 与△DAO 中，AB AD BAO DAO AO AO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAO ≌△DAO （SAS ），∴∠BOA=∠DOA ，∴AC ⊥BD ，∵AC=8，S 四边形ABCD =16，∴BD=16×2÷8=4．故答案为：4．例题9．（浦东四署2018期中16）在四边形ABCD 中，已知∠A +∠B =180°，要使四边形ABCD 是平行四边形，还需添加一个条件，这个条件可以是．(只需填写一种情况)【答案】AB//CD ；（答案不唯一：或AD =BC ，或∠A =∠C 等）；【解析】因为在四边形ABCD 中，已知∠A +∠B =180°，可知AD//BC ，故依据定义可添加：∠A =∠C 或者AB//CD 或者B D ∠=∠等；依据判定定理2可添加条件：AD=BC 等；故可以添加的条件可以是：∠A =∠C 或者AB//CD 或者B D ∠=∠或者AD=BC 等等.例题10.（嘉定2019期末18）已知四边形ABCD 是矩形，点E 是边AD 的中点，以直线BE 为对称轴将ABE ∆翻折至FBE ∆，联结DF ，那么图1中与AEB ∠相等的角的个数为.【答案】4；【解析】根据题意，与AEB ∠相等的角有：BEF EDF EFD EBC ∠∠∠∠、、、四个.例题11.（浦东四署2019期末18）如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC=a ，CE=b ，H 是AF 的中点，那么CH 的长是.（用含a 、b 的代数式表示）【答案】2；【解析】联结AC 、CF ，因为正方形ABCD 与正方形CEFG ，故45ACD GCF ∠=∠=︒，所以90ACF ∠=︒，又H 为AF 中点，故12CH AF =，延长AD 交EF 于P ，则易知90APF ∠=︒，AP=AD+DP=a+b ，PF=b-a ，故AF ==，故CH =例题12.（浦东四署2019期中24）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，延长BA 到F ，使得AF=BA ，连接CF 交AD 于点E.求证：AD 与CF 互相平分.【答案与解析】证明：连接AC 、DF ，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB//CD ，AB=CD ，因为AF=AB ，所以AF=CD ，所以ACDF 是平行四边形，所以AD 与CF 互相平分.【真题训练】一、选择题1.（松江2018期中18）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（）A.四边形；B.五边形；C.六边形；D.八边形.【答案】C ；【解析】设多边形的边数为n ，依题得：(2)1803602n -⨯︒=︒⨯，解得6n =，答案选C.2.（杨浦2019期中18）一个多边形，边数每增加1，内角和是（）A ．不变 B.增加1ºC.增加180ºD.增加360º【答案】C ；【解析】因为n 边多边形内角和：(2)180n -⨯︒，故边数每增加1，内角和增加180︒.3.（松江2019期中4）一个多边形的内角和等于外角和的两倍，那么这个多边形是（）A.三边形B.四边形C.五边形D.六边形【答案】D【解析】解：设多边形的边数为x ，∵多边形的内角和等于外角和的两倍，∴多边形的内角和为360°×2=720°，∴180°（n ﹣2）=720°，解得n=6.故选D.4.（浦东2018期末4）在四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，AB =CD ，添加下列条件后能判定这个四边形是平行四边形的是（）A. B. C. D.【答案】D ；【解析】解：A、不能判断四边形是平行四边形，四边形可能是等腰梯形，故本选项不符合题意；B、无法判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；C、无法判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；D、由∠BAC=∠DCA 推出AB∥CD，结合AB=CD，可以推出四边形是平行四边形；故选：D．5．（浦东四署2018期中5）点A 、B 、C 、D 在同一个平面内，若从①AB ∥CD②AB =CD③BC ∥AD ④BC =AD 这四个条件中选两个，但不能推导出四边形ABCD 是平行四边形的选项是（）（A ）①②；（B ）①④；（C ）②④；（D ）①③．【答案】B ；【解析】A 、①②可以推出平行四边形ABCD，依据是平行四边形的判定定理2；B、①④不能推出平行四边形ABCD，因为它有可能是梯形；C、②④可以推出平行四边形ABCD，依据是平行四边形的判定定理1；D、①③可以推出平行四边形ABCD，依据是平行四边形的定义；因为答案选B.6.（静安2019期末6）如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，OAB OAD ∠=∠，BO=DO ，那么下列条件中不能．．判定四边形ABCD 是菱形的为（）A.OA=OC ；B.BC =DC ；C.AD =BC ；D.AD=DC.【答案】B ；【解析】A 、OA=OC ，又BO=DO ，故四边形ABCD 是平行四边形，又OAB OAD ∠=∠，ACB OAD ∠=∠，所以ACB OAB ∠=∠，则AB=BC ，即得菱形ABCD ；B 、因为BC=DC ，BO=DO ，根据等腰三角形三线合一可得CO BD ⊥，再可证明AB=AD ，但是不能推出AB=BC ，故得不出菱形ABCD ；C 、由BO=DO ，可知A B O A D O S S ∆∆=，又OAB OAD ∠=∠，故点O 到AB 、AD 的距离相等，故根据等面积法可知AB=AD ，所以AC 垂直平分BD ，所以BC=DC ，又AD=BC ，所以AB=BC=CD ＝AD 即菱形ABCD ；D 、由C 选项得知AB ＝AD ，可推出AC 垂直平分BD ，所以BC ＝CD 又AD ＝DC ，故BC ＝CD ＝AD ＝AB ，即菱形ABCD ；因此答案选B ．7.（普陀2018期中4）已知下列四个命题：①如果四边形的一组对边平行一组对角相等，那么这个四边形是平行四边形；②菱形是轴对称图形也是中心对称图形；③正方形具有矩形的一切性质，又具有菱形的一切性质；④等腰梯形的对角线互相平分．其中正确的命题有几个（）A.1个B.2个C.3个D.4个．【答案】C【解析】解：∵AD ∥BC ，∴∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°，∵∠B=∠D ，∴∠A=∠C ，∴四边形ABCD 是平行四边形，故①正确；菱形是轴对称图形也是中心对称图形，故②正确；正方形具有矩形的一切性质，又具有菱形的一切性质，故③正确；等腰梯形的对角线相等，但不平分，故④错误；即正确的有3个，故选：C ．8.(奉贤2018期末5)下列命题中，真命题是（）A.平行四边形的对角线相等B.矩形的对角线平分对角C.菱形的对角线互相平分D.梯形的对角线互相垂直【答案】C【解析】解：A ．平行四边形的对角线平分，错误；B ．菱形的对角线平分对角，错误；C ．菱形的对角线互相平分，正确；D ．等腰梯形的对角线互相垂直，错误；故选：C ．9.(长宁2018期末6)下列命题中，假命题是（）A.两组对角分别相等的四边形是平行四边形B.有一条对角线与一组邻边构成等腰三角形的平行四边形是菱形C.有一组邻边相等且互相垂直的平行四边形是正方形D.一组邻边互相垂直，两组对边分别平行的四边形是矩形【答案】B ；【解析】解：A、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，是真命题；B、有一条对角线与一组邻边构成等腰三角形的平行四边形不一定是菱形，是假命题；C、有一组邻边相等且互相垂直的平行四边形是正方形，是真命题；D、一组邻边互相垂直，两组对边分别平行的四边形是矩形是真命题；故选：B．10.（浦东一署2018期中6）平行四边形ABCD 的周长为16，5AB =3BC ，则对角线AC 的取值范围为（）A.28AC <<；B.38AC <<；C.58AC <<；D.35AC <<．【答案】ABetter offer ，Better future【解析】解：∵平行四边形ABCD 的周长16，5AB=3BC ，∴2（AB+BC ）=2（35BC+BC ）=16，∴BC=5，∴AB=3，∴BC-AB ＜AC ＜BC+AB ，即2＜AC ＜8．故选：A ．11．（普陀2018期末6）已知平行四边形ABCD ，AC 、BD 是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（）A ．∠BAC ＝∠DCAB ．∠BAC ＝∠DACC ．∠BAC ＝∠ABDD ．∠BAC ＝∠ADB【答案】C ；【解析】解：A 、∠BAC ＝∠DCA ，不能判断四边形ABCD 是矩形；B 、∠BAC ＝∠DAC ，能判定四边形ABCD 是菱形；不能判断四边形ABCD 是矩形；C 、∠BAC ＝∠ABD ，能得出对角线相等，能判断四边形ABCD 是矩形；D 、∠BAC ＝∠ADB ，不能判断四边形ABCD 是矩形；故选：C ．12．（闵行2018期末5）用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形（不包含菱形，矩形，正方形）；②矩形；③正方形；④等腰三角形，一定可以拼成的图形是（）A ．①②④B ．②③④C ．①③④D ．①②③【答案】A ；【解析】解：用两个“90°、60°、30°的三角板可拼得如下列图形：①平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；②矩形；④等腰三角形．而正方形需特殊的直角三角形：等腰直角三角形．故选：A ．二、填空题13.（崇明2018期中18）如果一个八边形的每一个内角都相等，那么它的一个内角的度数等于______度.【答案】135︒；【解析】因为一个八边形的每一个内角都相等，所以此八边形的每个外角均相等为360︒÷8=45︒，因此它的一个内角为18045135︒-︒=︒.14.（金山2018期中15）如果一个多边形的内角和是2160︒，那么这个多边形的边数是.【答案】14；【解析】根据题意得：(2)1802160n -⨯︒=︒，解得14n =.15.（普陀2018期中12）n 边形的内角和等于1080°，则n =______．【答案】8Better offer ，Better future【解析】解：∵n 边形的内角和等于1080°，∴180°（n-2）=1080°，解得：n=8．故答案为：8．16．（静安2018期末14）已知：一个多边形的每一个内角都是160°，那么这个多边形的边数为．【答案】18；【解答】解：∵多边形的每一个内角都等于160°，∴多边形的每一个外角都等于180°﹣160°＝20°，∴边数n ＝360°÷20°＝18．故答案为：18．17.（浦东2018期末13）若一个多边形的内角和等于外角和，那么这个多边形的边数是______．【答案】4【解析】解：设多边形的边数为n，则（n-2）×180°=360°,解得：n=4，故答案为：4.18.（杨浦2019期中14）从某多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，则这多边形的内角和是_____度.【答案】540；【解析】依题，这个多边形的边数是五边形，故这个多边形的内角和为(52)180540-⨯︒=︒．19.（浦东四署2019期末14）在五边形ABCDE 中，若410A B C D ∠+∠+∠+∠=︒，则E ∠=.【答案】130︒；【解析】因为五边形的内角和为(52)180540-⨯︒=︒，故540()E A B C D ∠=︒-∠+∠+∠+∠540410130=︒-︒=︒.20.(奉贤2018期末14)既是轴对称图形，又是中心对称图形的四边形是______．【答案】矩形（答案不唯一）【解析】解：既是轴对称图形，又是中心对称图形的四边形有如：矩形、正方形、菱形等（答案不唯一）．21.（浦东一署2018期中16）平行四边形两邻角的比是3：2，则这两个角的度数分别是______．【答案】108°，72°【解析】解：可设平行四边形的两邻角为3x ，2x ，则可得3x+2x=180°，解得这两个角的度数分别为108°，72°，故答案为：108°，72°．22.（杨浦2019期中13）平行四边形ABCD 中，∠A ：∠B=2:7，则∠C=º【答案】40；【解析】在平行四边形ABCD 中，AD//BC ，所以180A B ∠+∠=︒，因为:2:7A B ∠∠=，设2,7A x B x ∠=∠=，所以27180x x +=︒，解得20x =︒，所以40A ∠=︒，所以40C A ∠=∠=︒．23.（金山2018期中17）如图，已知ABCD 中，DB=DC ，70C ∠=︒，AE BD ⊥于点E ，那么EAD ∠的度数是.【答案】20︒；【解析】因为DB=DC ，70C ∠=︒，所以70DBC C ∠=∠=︒，因为AD//BC ，所以70ADB DBC ∠=∠=︒，因为AE BD ⊥，所以90ADE 20DAE ∠=︒-∠=︒.24.（浦东四署2019期中16）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 边上的一点，且AB=AE ，若AE 平分DAB ∠，32DAC ∠=︒，则ACD ∠=.【答案】88︒；【解析】因为AE 平分DAB ∠，所以设BAE EAD α∠=∠=，因为AB=AE ，所以1802B AEB α︒-∠=∠=，又AD//BC ，故180B BAD ∠+∠=︒，即18021802αα︒-+=︒，解得60α=︒，又32DAC ∠=︒，所以603228EAC EAD DAC ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故88ACD BAE EAC ∠=∠+∠=︒.25.（浦东四署2019期中15）如图，ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，AC AB ⊥，AB=5，且AC ：BD=2：3，那么AC 的长为.【答案】【解析】因为AC ：BD=2：3，所以设AC=4x ，BD=6x ，因为平行四边形对角线互相平分，故AO=OC=2x ，BO=DB=3x ，在Rt ABO ∆中，2225(2)(3)x x +=，解得x =AC=26．（普陀2018期末14）已知平行四边形的周长是24，相邻两边的长度相差4，那么相邻两边的长分别是．【答案】4和8；Better offer ，Better future【解析】∵平行四边形周长为24，∴相邻两边的和为12，∵相邻两边的差是4，∴两边的长分别为：4，8．27.（静安2019期末15）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 分别是AB 、AD 边上的中点，如果EF=6，AC=8，那么菱形ABCD 的边长为.【答案】【解析】因为E 、F 分别是AB 、AD 边上的中点，如果EF=6，所以BD=12，因为菱形ABCD ，所以AC BD ⊥，BO=DO=6，又AC=8，所以CO=4，在Rt BOC ∆中，BC ==28.(长宁2018期末16)如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠COB =2∠AOB ，AB =8，则BC 的长是______．【答案】8【解析】解：设AC 与BD 交于O 点，∵四边形ABCD 是矩形，∴AO=OC ，BO=OD ，AC=BD ，∴OA=OB ，∵∠BOC=2∠AOB ，∠BOC+，∴△等边三角形，∴OA=OB=AB=8，∴AC=BD=2AO=16，则=29.（普陀2018期中13）已知在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，如果AD =6，AC =10，BD =6，那么△AOD 的周长是______．【答案】14【解析】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC=12AC=5，OD=OB=12BD=3，∴△AOD 的周长=AD+OD+OA=6+5+3=14，故答案为14．30.（杨浦2019期中15）如果一个平行四边形的一个内角的平分线分它的一边为1:2两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”，当协调边为6时，它的周长为.【答案】16或20【解析】解：如图，AE 平分BAD ∠交BC 于点E ，则EF=EG ，如图1：BE=2EC ，又BC=6，所以EC=2，BE=4，在ABE ∆中，AB GE BE EF = ，所以AB=BE=4，故平行四边形的周长为2(64)20⨯+=；如图2，BC=2EC ，同理可得AB=BE=2，故平行四边形的周长为2(62)16⨯+=；综上所述，它的周长为20或16.31.（浦东四署2019期中17）如图，在平行四边形ABCD 中，AE BC ⊥于点E ，AF CD ⊥于点F ，若AE=3，AF=4，AD+CD=14，则平行四边形ABCD 的面积为.【答案】24；【解析】联结AC ，则易知ABC ACD S S ∆∆=，即1122BC AE CD AF = ，34BC CD =，因为AD=BC ，故34AD CD =，又AD+CD=14，解得AD=BC=8，CD=6，故2ABCD ABCS S ∆= 12242BC AE =⨯= .32.（浦东2018期末14）已知菱形一组对角的和为240°，较短的一条对角线的长度为4厘米，那么这个菱形的面积为______平方厘米．【答案】8【解析】解：如图，∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD+∠BCD=240°，∴∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC=60°∵AB=BC=AD=DC ，∴△ABC ，△ADC 是等边三角形，∴AB=BC=AC=4，∴S 菱形ABCD =2•S △ABC =2×34×42=。
2022-2023学年江苏八年级数学上学期压轴题精练专题06 等边三角形的判定和性质(含详解)
2022-2023学年苏科版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题06 等边三角形的判定和性质考试时间：120分钟试卷满分：100分姓名：__________ 班级：__________考号：__________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共11小题，满分22分，每小题2分）1．（2分）（2021八上·河东期末）如图，过边长为4的等边ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q 为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）A．95B．2C．115D．1252．（2分）（2021八上·牡丹江期末）如图所示，已知在等边三角形ABC中，点D，E分别是BC，AC上的点，且AE＝CD，连接AD，BE交于点P，过点B作BQ⊥AD，Q为垂足，PQ＝2，则BP的长为（）A．3B．4C．5D．63．（2分）（2021八上·海淀期末）如图，ABC是等边三角形，D是BC边上一点，DE AC⊥于点E．若3EC=，则DC的长为（）A ．4B ．5C ．6D ．74．（2分）（2021八上·铁岭期末）如图，E 是等边ΔABC 中AC 边上的点，12∠=∠，BE CD =，则ADE ∆是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．不等边三角形D ．无法确定5．（2分）（2021八上·哈尔滨月考）下列说法中：①与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形；④有一个角是60°的三角形是等边三角形．正确的说法有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．（2分）（2021八上·德阳月考）如图所示，正方形ABCD 的面积为16，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD+PE 的和最小，则最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．67．（2分）（2021八上·长沙期末）如图，等边 ABC 中，D 为AC 中点，点P 、Q 分别为AB 、AD 上的点， 4BP AQ == ， 3QD = ，在BD 上有一动点E ，则 PE QE + 的最小值为（ ）A ．7B ．8C ．10D ．128．（2分）（2021八上·句容期末）如图，边长为5的等边三角形ABC 中，M 是高 CH 所在直线上的一个动点，连接 MB ，将线段 BM 绕点B 逆时针旋转 60︒ 得到 BN ，连接 HN .则在点M 运动过程中，线段 HN 长度的最小值是（ ）A ．54B ．1C ．2D ．529．（2分）（2021八上·牡丹江期末）如图所示，在等边三角形ABC 中，D 为AC 边的中点，E 为边BC 延长线上一点，BD ＝DE ，DF ⊥BE 垂足为点F ．下列结论：①AD ＝CE ；②CE+CD ＝AB ；③∠BDE ＝120°；④CF ：BF ＝1：3；⑤S △CDE ＝16S △ABE ．其中正确的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个10．（2分）（2021八上·台州期中）如图， ABC 和 BDE 均为等边三角形，且点E 在 ABC 内， AEC 110∠=︒ ，若 CDE 是不等边三角形，那么 AEB ∠ 的度数可能是（ ）A ．110ºB ．125ºC ．140ºD ．150º11．（2分）（2020八上·昌平期末）如图， ABC 是等边三角形，D 是线段 BC 上一点（不与点 B C ， 重合），连接 AD ，点 E F ， 分别在线段 AB AC ， 的延长线上，且 DE DF AD == ，点D 从B 运动到C 的过程中， BED 周长的变化规律是（ ）A ．不变B ．一直变小C ．先变大后变小D ．先变小后变大评卷人得 分 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）12．（2分）（2021八上·本溪期末）如图，ABC 和DEC 都是等边三角形，连接AD ，BD ，BE ，30EBD ∠=︒．下列四个结论中：①ACD ≌BCE ；②180ADC BDE ∠+∠=︒；③222BE BD BC +=；④90BED ∠=︒，正确的是 （填写所有正确结论的序号）． 13．（2分）（2021八上·东城期末）如图，BD ，CE 是等边三角形ABC 的中线，BD ，CE 交于点F ，则BFC ∠= °．14．（2分）（2021八上·胶州期末）如图，AB=4，点M 为线段AB 上的一个动点，在AB 同侧分别以AM 和BM 为边作等边△AMC 和等边△BMD ，则线段CD 的最小值为 ．15．（2分）（2021八上·道里期末）如图，ABC 是等边三角形，点E 在AC 的延长线上，点D 在线段AB 上，连接ED 交线段BC 于点F ，过点F 作FN AC ⊥于点N ，75DB CN =，EF FD =，若17FB =，则AN 的长为 ．16．（2分）（2021八上·铁西期末）如图，ABC 是等边三角形，AD是BC 边上的高，E 是AC 的中点，P 是AD 上的一个动点，当PC 与PE 的和最小时，ACP ∠= 度．17．（2分）（2021八上·中山期末）如图，5AB AC ==，110BAC ∠=︒，AD 是∠BAC 内的一条射线，且25BAD ∠=︒，P 为AD 上一动点，则PB PC -的最大值是 ．18．（2分）（2021八上·灌云期中）如图，等边△ABC 中，AD 为BC边上的高，点M 、N 分别在AD 、AC 上，且AM ＝CN ，连BM 、BN ，当BM+BN 最小时，∠MBN ＝ 度.19．（2分）（2020八上·昭平期末）已知：如图，点E 、F 分别在等边三角形ABC的边CB、AC的延长线上，BE＝CF，FB的延长线交AE于点G则∠AGB＝．20．（2分）（2021八上·平阳月考）如图，△ABC中，∠B=30°，∠C=90°，等边三角形DEF的三个顶点分别落在AC，AB，BC上，若CD=4，BE=6，则AB的长为.21．（2分）（2020八上·江岸月考）如图，等边三角形ABC中，BD⊥AC 于D，BC＝8，E在BD上一动点，以CE为边作等边三角形ECP，连DP，则DP的最小值为.评卷人得分三．解答题（共7小题，满分58分）22．（5分）（2021八上·盐池期末）如图，ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE CD=．求证：DB DE=．∆，，分别在23．（4分）（2021八上·莒南期中）如图，已知等边ABC D E、交F点．求证：60=，连接BE AD、上，且BD CEBC AC∠=AFE︒24．（6分）（2021八上·嵩县期末）如图，点D是等边△ABC内一点，E是△ABC 外的一点，∠CDB＝130°，∠BDA＝α，△BDA≌△CEA．（1）（3分）求证：△AED是等边三角形；（2）（3分）若△CDE是直角三角形，求α的度数．25．（9分）（2019八上·长沙期中）已知，如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ＝3，PE＝1．（1）（3分）求证：△ABE≌△CAD；（2）（3分）求∠BPQ的度数；（3）（3分）求AD的长．26．（10分）（2021八上·望花期末）已知，点P、点Q分别是等边△ABC的边AB、BC所在直线上的动点（端点除外）．点P 、点Q 以相同的速度，同时从点A 、点B 出发，连接AQ 、CP ，直线AQ 、CP 相交于点M ．（1）（5分）如图1，当点P 、Q 分别在AB 、BC边上时，①求证：△ABQ ≌△CAP ；②当点P 、点Q 分别在AB 、BC 边上运动时，∠QMC 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；（2）（5分）如图2，当点P 、Q 分别在AB 、BC 的延长线上运动时，请直接写出∠QMC 的度数． 27．（11分）（2021八上·庄河期末）如图，ABC 为等边三角形，点D 、E 分别为AC 、BC 边上一点，且AD CE =，BD 与AE 交于点K ．（1）（5分）①求证：60BKE ∠=︒；②如图1，连接CK ，若2BK AK =，求证：BD CK ⊥．（2）（6分）如图2，已知点F 为等边ABC 外一点，连接BF 、EF ，且BF EK BK +=，BK EF =．求BFE ∠的度数．28．（14分）（2021八上·吉林期末）如图，ABC 是边长为6cm 的等边三角形，点P ，Q 分别从顶点A ，B 同时出发，点P 沿射线AB 运动，点Q 沿折线BC CA -运动，且它们的速度都为1cm/s ．当点Q 到达点A 时，点P 随之停止运动连接PQ ，PC ，设点P 的运动时间为(s)t ．（1）（2分）当点Q在线段BC上运动时，BQ的长为（cm），BP的长为（cm）（用含t的式子表示）；（2）（5分）当PQ与ABC的一条边垂直时，求t的值；CPQ是等腰三角形时，直接写出t的值．（3）（5分）在运动过程中，当2022-2023学年苏科版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题06 等边三角形的判定和性质考试时间：120分钟 试卷满分：100分一．选择题（共11小题，满分22分，每小题2分）1．（2分）（2021八上·河东期末）如图，过边长为4的等边ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA=CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（ ）A ．95B ．2C ．115D ．125【答案】B【完整解答】解：过P 作PM BC ，交AC 于M ，∵ABC 是等边三角形，∴60APM B ∠=∠=︒，60A ∠=︒，∴APM 是等边三角形，又∵PE AM ⊥，∴12AE EM AM ==， ∵PM CQ ，∴PMD QCD ∠=∠，MPD Q ∠=∠，∵PA PM =，PA CQ =，∴PA PM CQ ==， 在PMD 和QCD 中，PDM CDQ PMD DCQ PM CQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴PMD QCD ≌，∴12CD DM CM ==， ∴11()222DM ME AM MC AC +=+==， 故答案为：B ．【思路引导】过P 作PM BC ，交AC 于M ，得出APM 是等边三角形，推出PA PM CQ ==，根据等腰三角形的性质证出PMD QCD ≌，推出12CD DM CM ==，即可得出结论。
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八（下）数学培训⑹
训练重点: 勾股定理(1)
一、基础训练
1、一直角三角形的斜边比一直角边长大2，另一直角边长为6，那么斜边长为( ).
(A)4 (B)8 (C)10 (D)12 2、如果一个直角三角形有一个锐角为30°，斜边长为1cm ，那么两条直角边的和为( )． (A)
3
2
cm
cm
cm
3、下列命题,真命题是( )
(A)如果一个直角三角形两边的长为3，4，那么第三边的长为5； (B)如果等腰直角三角形斜边长为10，那么一条直角边为5； (C)如果直角三角形两直角边的长为a ，b ，那么斜边长为a 2
+b 2
； (D)如果直角三角形两直角边长为a ，b ，斜边长为c ，那么斜边上的高为
ab
c
. 4、如图：直线l 上有三个正方形，若左右两正方形的面积分别为5、11， 则中间正方形面积为( ).
(A) 12 (B) 15 (C) 16 (D) 25
5、(1)直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为________________；
(2)直角三角形的周长为12cm ，斜边的长为5 cm ，则其面积为_________________；
6、等腰三角形的顶角为120°，腰长为6cm ， 则此等腰三角形的面积为________________平方厘米.
7、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m ，当它把绳子的下端拉开5 m 后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高
8、直角三角形有一条直角边长为11，另外两边长是正整数，求它的周长.
11
5
l
二、典型例题
例1、已知：直角三角形的两条直角边长为a ，b ，斜边上的高为h ，则下列各式中总能成立的是( ). (A)2
ab h = (B)2
2
2
2a b h += (C)
111a b h += (D)222111a b h
+= 例2、如图，已知∠XOY =60º，M 是∠XOY 内一点，它到OX 的 距离MA =2，到边OY 的距离MB =11，求OM 的长.
例3、如图：Rt △ABC 中，∠C =90°，CD ⊥AB ，BE 平分∠ABC ， EH ⊥CD 于H ，则下列结论:①AC 2
+BD 2
=BC 2
+AD 2
；②CD 2
=AD BD ；
③BD EH BC
+为定值； ④若F 为BE 中点，则AD =3BD 中正确的
结论有( )个.
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 例4、如图，△ABC 的三边长分别是BC =17，CA =18，AB =19，过△ABC 内一点P 向△ABC 的三边分别作垂线PD 、PE 、PF (D 、E 、F 为垂足)， 且BD+CE+AF =27，求BD+BF 的长.
例5、等腰直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，E 、F ，为AB 上两点(E 左F 右)，且∠ECF =45°， (1)如图(1)，若AE =BF ，则AE 、EF 、BF 之间有何等量关系？
(2) 如图(2)，若把∠ECF 绕C 旋转，则AE 、EF 、BF 之间的关系是否发生变化？ (3)若把∠ECF 绕C 旋转到如图(3)，则AE 、EF 、BF 之间的关系是否发生变化？
图(1) 图(2) 图(3)
H
F
E
D
C
B
A
F
E
C
B
A F
E C
B
A
E
F
C
B
A
M
O
Y
X
B
A
P
F
E
D C
B
A
巩固训练：
1、如图：分别以直角三角形两边为直径作两个半圆，若BC =10， AB ⋅AC =40，则S 阴影=( ). (A)
25
2
π-20 (B)20π-40 (C) 20π -30 (D)81π-49
2、正方形ABCD 内有四个全等的直角三角形，较短的直角边 为a ，较长的直角边为b ，中间的小正方形MNOP 的面积为9， 且7a b +=，则正方形ABCD 面积为( ). (A) 63 (B)49 (C) 81 (D)29
3、如图：Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，O 为BC 中点，∠EOF =
90° 交AB 、AC 于E 、F ， 下列结论中：①OE =OF ；②∠AOF =∠AEF ； ③
AE AF EF +为定值；④CE BF
OA
+为定值；正确的有( )个
.
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
4、如图，在ABC ∆中，AB =BC =17，CA =13， 求B ∠的度数.
5、如图，四边形ABCD 中， AB ∥CD ，∠ABC =90°，AB=9，BC=8，CN=7 ， M 是AD 的中点，从M 作AD 的垂线交BC 于N ，求BN 的长.
O
F
E
C
B
A
M
O
N
D
C
B A
P
C
B
A
N M
D
C
B
A
6、如图所示：以长为2的定线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF=PD ，
以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上， (1)求AM 、DM 的长 (2)求证：AM 2
=AD ·DM .
7、平面直角坐标系中、P (-3,a )，Q (4,b )( a ＞b )，如图：PO ⊥
(1)求证：ab =12
(2)是否存在实数a 、b 使得POQ S ∆=20，若存在求出a 、b ， 不存在，说明理由.
8、将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的点M 重合，折痕交AD 于E ，交BC 于F ，边AB 折叠后与BC 边交于点G (如图).
(1)若M 为CD 边的中点，求DE ∶EM ∶CF 的值；
(2)若12DM MC =，求DE
CF
的值；
(3)如果M 为CD 边上的任意一点，设AB ＝2a ，问△CMG 的周长 是否与点M 的位置有关系？若有关，请把△CMG 的周长用含a 的 代数式表示，若无关，说明理由.
P
M
E
F D
C
B A
G E
F
N
M
D
C
G
E F
N M
D
C
B
A。