相似性原理和量纲分析课件
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量纲分析和相似原理ppt课件
dim q L TM
几何学量纲：α≠0,
分类 动力学量纲：γ≠0
β=0,
γ=0，
运动学量纲：β≠0，γ=0
二、量纲一的量
基本量和导出量可以组合成量纲为1的量，称 为量纲一的量，即α=0,β=0,γ=0。 特点： （1）无单位，它的大小与所选单位无关； （2）量纲表示式中的指数均为零。 几个互相独立，不能结合成量纲一的量称为基 本量。如长度L、流速v和密度ρ就可以作为基本量。
量，独立，可作为基本量。
如长度L、速度V、密度ρ三个物理量满足：
1 2 3 D 1 2 3 0ຫໍສະໝຸດ 1 2 3，可作为基本量。
问题
1. 速度v，长度l，重力加速度g的量纲1的集合是： A. B. C. D. 2. 速度v,密度ρ,压强p的量纲1的集合是： A. B. C. D. 3. 速度v，长度l，时间t的量纲1的集合是： D. A. B. C. 4. 压强△p，密度ρ，长度l，流量Q的量纲的集合是： A. B. C. D.
§4-2 量纲分析法
量纲和谐原理最重要的用途在于能确定方程式中 物理量的指数，从而找到物理量间的函数关系，以建 立合理的方程式。这种利用量纲和谐原理探求物理量 之间的函数关系称为量纲分析法。 • 依据：量纲和谐原理 • 方法：瑞利法：适用于单项指数形式。 π定理：适用于普遍性的问题。
一 瑞利法
计算步骤： 1. 确定与所研究的物理现象有关的n个物理量； 2. 写出各物理量之间的指数乘积的形式，如： FD=kDx Uyρz μa 3. 根据量纲和谐原理，即等式两端的量纲应该相 同，确定物理量的指数x,y,z,a ，代入指数方程式即得 各物理量之间的关系式。 应用范围：一般情况下，要求相关变量未知数n小 于等于4~5个。
几何学量纲：α≠0,
分类 动力学量纲：γ≠0
β=0,
γ=0，
运动学量纲：β≠0，γ=0
二、量纲一的量
基本量和导出量可以组合成量纲为1的量，称 为量纲一的量，即α=0,β=0,γ=0。 特点： （1）无单位，它的大小与所选单位无关； （2）量纲表示式中的指数均为零。 几个互相独立，不能结合成量纲一的量称为基 本量。如长度L、流速v和密度ρ就可以作为基本量。
量，独立，可作为基本量。
如长度L、速度V、密度ρ三个物理量满足：
1 2 3 D 1 2 3 0ຫໍສະໝຸດ 1 2 3，可作为基本量。
问题
1. 速度v，长度l，重力加速度g的量纲1的集合是： A. B. C. D. 2. 速度v,密度ρ,压强p的量纲1的集合是： A. B. C. D. 3. 速度v，长度l，时间t的量纲1的集合是： D. A. B. C. 4. 压强△p，密度ρ，长度l，流量Q的量纲的集合是： A. B. C. D.
§4-2 量纲分析法
量纲和谐原理最重要的用途在于能确定方程式中 物理量的指数，从而找到物理量间的函数关系，以建 立合理的方程式。这种利用量纲和谐原理探求物理量 之间的函数关系称为量纲分析法。 • 依据：量纲和谐原理 • 方法：瑞利法：适用于单项指数形式。 π定理：适用于普遍性的问题。
一 瑞利法
计算步骤： 1. 确定与所研究的物理现象有关的n个物理量； 2. 写出各物理量之间的指数乘积的形式，如： FD=kDx Uyρz μa 3. 根据量纲和谐原理，即等式两端的量纲应该相 同，确定物理量的指数x,y,z,a ，代入指数方程式即得 各物理量之间的关系式。 应用范围：一般情况下，要求相关变量未知数n小 于等于4~5个。
量纲分析与相似原理ppt课件
三个独立的无量纲量：Eu、Re、Fr
Eu可由Re、Fr导出。 故，保证Re、Fr相等就可达到动力相似。 事实上，即使只有这两个，也很难做到相等的要求。
20
分析Re和Fr
首先，Fr
v2
gl
由Frm = Frp 得
vm2 vp2 gmlm gplp
vm2 lm vp2 lp
v2 l
数得 Ma2
l 2v 2
FE
l 2v 2
EVl 2
v2
EV
v Ma
EV /
Ma表示惯性力与弹性力的比值
16
（5）韦伯数（We）
表面张力起主导作用，则F = Fσ，作为分母代入牛
顿数得 We2
l 2v 2
l 2v 2
v2
We v
F
l /(l)
/(l)
9
Fν —— 粘性力； Fp —— 压力； FG —— 重力；
FI —— 惯性力； FE —— 弹性力； Fσ —— 表面张力力
F
Fp,m Fp,p
F ,m F ,p
FG , FG ,p
FI ,m FI ,p
FE ,m FE ,p
F ,m F ,p
四 定界条件相似 初始条件与边界条件相似。 对于稳定流动，不需要初始条件。 可把边界条件相似归于几何相似。
对于动力粘度： dimμ = ML1T1
即α＝－1，β＝－1，γ＝1
二 量纲和谐原理 凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都
必须是一致的。因为只有相同类型的物理量才能相加减。 否则无意义。
Eu可由Re、Fr导出。 故，保证Re、Fr相等就可达到动力相似。 事实上，即使只有这两个，也很难做到相等的要求。
20
分析Re和Fr
首先，Fr
v2
gl
由Frm = Frp 得
vm2 vp2 gmlm gplp
vm2 lm vp2 lp
v2 l
数得 Ma2
l 2v 2
FE
l 2v 2
EVl 2
v2
EV
v Ma
EV /
Ma表示惯性力与弹性力的比值
16
（5）韦伯数（We）
表面张力起主导作用，则F = Fσ，作为分母代入牛
顿数得 We2
l 2v 2
l 2v 2
v2
We v
F
l /(l)
/(l)
9
Fν —— 粘性力； Fp —— 压力； FG —— 重力；
FI —— 惯性力； FE —— 弹性力； Fσ —— 表面张力力
F
Fp,m Fp,p
F ,m F ,p
FG , FG ,p
FI ,m FI ,p
FE ,m FE ,p
F ,m F ,p
四 定界条件相似 初始条件与边界条件相似。 对于稳定流动，不需要初始条件。 可把边界条件相似归于几何相似。
对于动力粘度： dimμ = ML1T1
即α＝－1，β＝－1，γ＝1
二 量纲和谐原理 凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都
必须是一致的。因为只有相同类型的物理量才能相加减。 否则无意义。
四章相似原理与量纲分析ppt课件
但Fr准则要求 Cu CL
二者不能同时满足
而Re准则要求 Cu 1 / CL
解决的办法是采用不同的流体进行实验，同时满足Fr和Re准则
则有： 则：
Cu2 1 和
CgCL
Cu2 CgCL
CL2Cu2 C2
CLCu 1 C
(Cg 1)
C
C
3/ L
2
§4-3相似原理的应用
p m
CL3/ 2
m
L：1 1 3 1 1 0
1 2
T： 1 2 0
1 1
M： 1 0
1 0
1
V
2bg
bg V2
§4-7 量纲分析法之二 ----π定律
2 L1T 1M 0 2 L1T 0M 0 2 L3T 0M 1 2 L1T 1M 1
L：2 2 3 2 1 0
2 1
C
p
m
雷诺数：Re
uL
Re p Re m
雷诺数反映了惯性力与粘性力之比。
§4-2相似准则
三、佛汝德相似准则（重力相似准则）
CG
Gp Gm
M pgp Mmgm
pVp g p mVm gm
CCL3Cg
CG CF 重力与惯性力之比值为同一常数
则： CCL3Cg CCL2Cu2
得：
Cu2 1 也可写成
由量纲和谐原则得：
M 0 1 2
L
1 31 2 3
1 1
2 1
T 1 2
3 1
：
代入原函数：
Vc
K 1d 1
K
d
K Vcd Vcd
即：
Re
Vc d
§4-7 量纲分析法之二 ----π定律
相似性原理和量纲分析.ppt
谢谢!
（2）改用水
6 2 1 . 007 10 m / s 水
6 2 15 . 7 10 m / s 空气
v pl p
p
vm lm m
6 l 20 1 . 007 10 p m v v 300 385 km / h m p 6 l 1 15 . 7 10 m p
同理 2 vd
e.整理方程式
l 3 d
p l k f , , , f , , , 0 1 2 3 4 2 v vd dd
p l k f , , 2 v vd d d
p k l f Re, 2 v d d
压强为1at的静止空气中飞行，用λl=20的模型在风洞中 作试验：（1）如果风洞中空气的温度和压强不变，风 洞中空气速度应为多少？ 解：风洞实验中粘性力是主要的——雷诺准则 υ相同
vplp vmlm
20 v v 300 6000 km / h m p l 1 m
l p
难以实现，要改变实验条件
v l
取 l 10
υp——水
m
p
10
3 2
p
31 .62
υm——很困难 自模区——阻力平方区 （与Re无关）
如果υp——空气（15.7×10-6m2/s）
υm——水（1.007×10-6m2/s）
.24 l 6
结论：根据影响流动的主要作用力，正确选择 相似准则，是模型实验的关键
1 a b c 1 1 1
ML ML T LT L
1 2 a 1 1 b 1 c 1 3
第五章 量纲分析与相似原理ppt课件
4 1 2 n m
或显解一个 参数，如：
f , , . . . ,
或求得一个因变量的表达式。
例1：液体在水平等直径的管内流动，设两点压强差 p 与下 , ,v ,l, 列变量有关：管径 d ，管壁粗糙度 ，试求 p 的 表达式。
解 ： fdv ,,, l ,,, p 0
z 3 a 1 1
为满足量纲的和谐，相应的量纲指数必须相同。因此
M : 1 z a L : 0 x y 3z a T : 2 y a
故 Fk D U D
1 a2 a1 aa
得 x 1 a , y 2 a , z 1 a
l 设 f4 R e ,
l v2 则 h d 2g
例2：已知文丘里流量计是用以测量有压管路的流量，已知压 强降落 p 随流量Q，流体密度 ，液体粘性系数 ，管 壁粗糙高度 ，流量计长度L以及大小直径 D 1 , D 2 变化。 试用 定律求出的压强降落 p 表示的流量公式。 解：函数式为：
f D ,, v , ,, 0 0
（动力量）为基 从各独立影响因素中选取D（几何量），v（运动量）， 本量建立 项：
, , D v D v D v
1 0 a bc 1 1 1 2 a bc 2 2 2 3 a bc 3 3 3
f , Q , DD , ,2 , p 0 1
选取 , Q, D1 为基本变量， 则存在6-3=3个 数
1 Q D p 2 Q D 3 Q D D2
3 3 3 1 2 2 2 1
1
1
1 1
或显解一个 参数，如：
f , , . . . ,
或求得一个因变量的表达式。
例1：液体在水平等直径的管内流动，设两点压强差 p 与下 , ,v ,l, 列变量有关：管径 d ，管壁粗糙度 ，试求 p 的 表达式。
解 ： fdv ,,, l ,,, p 0
z 3 a 1 1
为满足量纲的和谐，相应的量纲指数必须相同。因此
M : 1 z a L : 0 x y 3z a T : 2 y a
故 Fk D U D
1 a2 a1 aa
得 x 1 a , y 2 a , z 1 a
l 设 f4 R e ,
l v2 则 h d 2g
例2：已知文丘里流量计是用以测量有压管路的流量，已知压 强降落 p 随流量Q，流体密度 ，液体粘性系数 ，管 壁粗糙高度 ，流量计长度L以及大小直径 D 1 , D 2 变化。 试用 定律求出的压强降落 p 表示的流量公式。 解：函数式为：
f D ,, v , ,, 0 0
（动力量）为基 从各独立影响因素中选取D（几何量），v（运动量）， 本量建立 项：
, , D v D v D v
1 0 a bc 1 1 1 2 a bc 2 2 2 3 a bc 3 3 3
f , Q , DD , ,2 , p 0 1
选取 , Q, D1 为基本变量， 则存在6-3=3个 数
1 Q D p 2 Q D 3 Q D D2
3 3 3 1 2 2 2 1
1
1
1 1
相似原理和量纲分析 PPT
dpA dpA
KAd V V KAd V V
kK kl2
式中K为体积模量， 为k体K 积模量比例尺。
k
k
2 v
1
kK
v2 v2
K KBiblioteka v2 CaKCa称为柯西（B.A.L.Cauchy）数,它是惯性力与弹性力的比值。 二流动的弹性力作用相似，它们的柯西数必相等。反之亦然。 这便是弹性力相似准则，又称柯西准则。
对于气体，宜将柯西准则转换为马赫准则。由于
K （c2c为声速），故弹性力的比例尺又可表示
为 kF kc2，k代kl2入式（4-16），
kv 1 kc
v v c c
v Ma c
值M。a称二为流马动赫的M（弹a L性.MM力aa作ch）用数相,似它，仍它是们惯的性马力赫与数弹必性定力的比
相等，即
；反之亦然。这仍是弹性力相似准则，
又称马赫准则。
表面张力相似准则
在表面张力作用下相似的流动，其表面张力分布必须相 似。作用在二流场流体微团上的张力之比可以表示为
式中 为表面张力k，F 为FF表 面张ll力 k比 k例l 尺。将上式代入式
（4-16）， 得
k
也可写成 令
时， k k ，1 故有
kv
1 kl
压力相似准则
kF
Fp Fp
pA pA
k pkl2
kp k kv2
1
p p
v2 v2
p
v 2
Eu
Eu称为欧拉（L.Euler）数,它是总压力与惯性力的比值。
二流动的压力作用相似，它们的欧拉数必定相等，
量纲分析与相似原理PPT课件
1 u 2
Eu
2
（欧拉数，1/2是人为加上去的）
② П2 =ρa b b c cμ
M 0 L 0 T 0 = (M L – 3 ) a (L T –1 ) b L c (M L – 1 T – 1 )
解得：a = b = c = -1
2
ud
1 Re
第11页/共27页
(雷诺数)
③ П3 =ρa u bd cε
第五章 量纲分析与相似原理
5.1 量纲
1. 物理量的量纲
量纲（因次）：表征各种物理量性质和类别的标志。
大小
单位制
物理量
类别
量纲
基本量纲
SI制中的基本量纲：
导出量纲
dim m = M , dim l = L , dim t = T 或：[m]=[M], [l]=[L], [t]=[T]
第1页/共27页
第19页/共27页
第五节 量纲分析与相原理
5.6.2 相似原理 原型现象的Π数方程： 模型现象的Π数方程： 相似条件： 相似结果：
Π1 = f (Π2, Π3, ……Πn ) Π1m = f (Π2 m, Π3 m, ……Πn m ) Π2 m=Π2，Π3 m= Π3，……，Πn m= Πn
Π1= Π1 m
CP
2P
V 3l 2
P
D5n3
（D 为动力机械旋转部件的直径，n 为转速。）
第18页/共27页
第五节 量纲分析与相似原理
5.6 模型实验与相似原理 5.6.1 模型实验
1. 什么是模型实验？
模型实验通常指用简化的可控制的方法再现实际发生的物理现象的实验。实际发 生的现象被称为原型现象，模型实验的侧重点是再现流动现象的物理本质；只有保 证模型实验和原型中流动现象的物理本质相同，模型实验才是有价值的。
Eu
2
（欧拉数，1/2是人为加上去的）
② П2 =ρa b b c cμ
M 0 L 0 T 0 = (M L – 3 ) a (L T –1 ) b L c (M L – 1 T – 1 )
解得：a = b = c = -1
2
ud
1 Re
第11页/共27页
(雷诺数)
③ П3 =ρa u bd cε
第五章 量纲分析与相似原理
5.1 量纲
1. 物理量的量纲
量纲（因次）：表征各种物理量性质和类别的标志。
大小
单位制
物理量
类别
量纲
基本量纲
SI制中的基本量纲：
导出量纲
dim m = M , dim l = L , dim t = T 或：[m]=[M], [l]=[L], [t]=[T]
第1页/共27页
第19页/共27页
第五节 量纲分析与相原理
5.6.2 相似原理 原型现象的Π数方程： 模型现象的Π数方程： 相似条件： 相似结果：
Π1 = f (Π2, Π3, ……Πn ) Π1m = f (Π2 m, Π3 m, ……Πn m ) Π2 m=Π2，Π3 m= Π3，……，Πn m= Πn
Π1= Π1 m
CP
2P
V 3l 2
P
D5n3
（D 为动力机械旋转部件的直径，n 为转速。）
第18页/共27页
第五节 量纲分析与相似原理
5.6 模型实验与相似原理 5.6.1 模型实验
1. 什么是模型实验？
模型实验通常指用简化的可控制的方法再现实际发生的物理现象的实验。实际发 生的现象被称为原型现象，模型实验的侧重点是再现流动现象的物理本质；只有保 证模型实验和原型中流动现象的物理本质相同，模型实验才是有价值的。
流体力学相似原理量纲分析.ppt
船模试验
模型－相似理论－原型
4-1相似原理SIMILITUDE
一、力学相似
1.几何相似
几何相似是指原型和模型两个流场的几何形状相似， 两个流动的对应的线段长度成比例，对应角相等。
线性比例尺 面积比例
l
lp lm
p m
A
Ap Am
l
2 p
lm2
2 l
体积比例
V
Vp Vm
②确定方程式中物理量的指数，找到物
理量V之12 间p1的1函 (数V22关 系p2 。1) z2
2gz1 z1
2gz2 z2 z1
无量纲
π定理 (Buckingham π-Theorem)
①π定理的基本内容是： 若某一物理过程包含有n个物理量，可表示
为如下函数关系
n1 f (n2,n3, n4 nn )
思考题 1、几何相似、运动相似、动力相似的涵义是 什么？ 2、为什么说动力相似是运动相似的保证？几 何相似是力学相似的前提？
二、相似准则
两个流动要实现动力相似，作用在相应质点上 的各种作用力的比尺要满足一定的约束关系， 这种约束关系称为相似准则。
作用在流体质点上的力可以分为两类: ①是企图维持原有运动状态的力； ②是企图改变其运动状态的力。
密度比例尺 质量比例尺
力的比例尺
p m
m
mp mm
pvp mvm
3 l
F
Fp Fm
mpap mmam
ma
l2
2 v
一、力学相似
第五章相似理论与量纲分析课件
压力P、重力G等。设作用在模型与原型流动对应流
体质点上的外力分别为Tm、Pm、Gm和Tp、Pp、Gp，
则
Tm Tp
Pm Pp
Gm Gp
Fm Fp
kF
式中F为合外力，kF称为力的比尺。将F＝ma＝ρVa 代入上式，得
kF
Fm Fp
mm am mpap
mVm am pVp a p
kkVka
Km
Kp
令 Ma v 为无量纲数，称为马赫数。上式可用马
c
赫数表示为
Mam Map
上式称为马赫相似准则。当可压缩气流流速接近 或超过声速时，实现流动相似要求相应的马赫数 相等。
5.1.3 模型实验 模型实验是根据相似原理，制成与原型几何相似的 模型进行实验研究，并以实验结果预测原型将要发 生的流动现象。 1. 模型律的选择
基本量纲是指具有独立性的，不能由其它基本量 纲的组合来表示的量纲。对不可压缩流体，基本量纲 共有三个：长度量纲L、时间量纲T和质量量纲M。
导出量纲是指由基本量纲组合来表示的量纲。 除长度、时间、质量和温度，其它物理量的量纲均为 导出量纲。
任意一个物理量x的量纲都可以用L、T、M这三 个基本量纲的指数乘积来表示，即
二、弗劳德相似准则 当流动受重力G作用时，由动力相似条件有
Gm ρmlm2vm2
Gp ρplp2vp2
Fm
Fp
ρmlm2vm2 ρplp2vp2
重力 G gV gl3
代入上式整理，约简后得
vm2 vp2 gmlm gplp
令 Fr v2 为无量纲数，称为弗劳德数。 gl
上式可用弗劳德数表示为
K
西数表示为
Cam Cap
上式称为柯西相似准则，该式表明两流动弹性力 相似时，模型与原型流动的柯西数相等。柯西数的 物理意义在于它反映了流动中惯性力和弹性力之比。 对于液体，柯西相似准则只应用在压缩性显著起作 用的流动中，例如水击现象。
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υp——水
m
p
10
3 2
p
31.62
υm——很困难 自模区——阻力平方区 （与Re无关）
如果υp——空气（15.7×10-6m2/s）
υm——水（1.007×10-6m2/s）
l 6.24
结论：根据影响流动的主要作用力，正确选择 相似准则，是模型实验的关键
4.例1：某车间长30m，宽15m，高10m，用直径为0.6m 的风口送风，要求风口风速8m/s，如取λl=5，确定模型 尺寸及模型的出口风速 解：λl=5，则模型长为30/5=6m，宽为15/5=3m，
20 vm v p 300 6000km / h lm 1 lp
难以实现，要改变实验条件
（2）改用水
水 1.007106 m2 / s
空气 15.7 106 m2 / s
v pl p vmlm
p
m
201.007106 vm v p 300 385km / h 6 lm p 115.7 10
Q vA vl 2
Q vl2
佛劳德准则： v l
2 Q 5 l
2 52 3 Qp Qm5 300 20 537000 L / s 537 m /s l
F ma v 2l 2
2 F 2 v l
温度不变的水： 1 由佛劳德准则
斯特洛哈尔数——脉动角频率的相似准数
gd 0 T0 Ar 2 v0 Te
浮力与重力之差（有效 重力） 惯性力
阿基米德准数——温差、浓差射流的轴线弯曲的相似准数
3.准则的选择 很难实现同时满足两个以上准数相等 例：若同时满足Re数相等和Fr数相等 （1）同种介质（υp=υm） Re： v pl p vmlm
3. 量纲分析法
（1）π定理（布金汉法）
f q1 , q2 ,, qn 0
取m个基本量，组成(n－m)个无量纲的π项
f 1, 2 ,, nm 0
例：求有压管流压强损失的表达式 解：步骤
a.找出物理过程中有关的物理量，组成未知的函数关系
f p, ,, l, d , k , v 0
λυλl-1 λυ2λl-3 λυλl
λl
λl1/2 λl0 λl5/2
比尺 名称 雷诺准则 弗劳德准则 λl1/2 λl3λρ λlλρ λl4λρ λl7/2λρ
λυ=1
时间比尺λt 力的比尺λF 压强比尺λp 功能比尺λW 功率比尺λN λl2 λρ λl-2λρ λlλρ λl-1λρ
λυ≠1
b.选取基本量
n7
常取：几何学量l（d），运动学量v，动力学量ρ
基本量独立条件：指数行列式不等于零
m=3
dim v LT 1
dim d L
a1 0，b1 1 ，c1 1
a2 0，b2 1 ，c2 0
dim ML3
a3 1 ，b3 3，c3 0
dv FT A lv lv dy
FI ma l 2v 2
v pl p
p
vmlm
m
无量纲数
Re
vl
雷诺数——粘性力的相似准数
（2）佛劳德准则——重力是主要的力
FGP FIP FGm FIm
改成
FIm FIP FGP FGm
FG mg gl 3
λυ-1λl2 λυ2λρ λυ2λl-2λρ λυ2λlλρ λυ3λl-1λρ
量纲分析
1.量纲 量纲的和谐性 基本量纲——相互独立的 不可压缩流体的基本量纲——M、L、T
a b c dim A M LT 物理量A的量纲
如 dim F MLT 2
a0 a0 a0
b0
c0 c0
动力相似→对应点 上的力的封闭多边 形相似
动力相似是运动相似的保证
2.相似准则
常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比，
组成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数） 在相似流动中应该是相等的 （1）雷诺准则——粘性力是主要的力
FTP FIP FTm FIm
改成
FIP FIm FTP FTm
谢谢!
1： dim p dimv a d b c
1 1
1
3 c1
ML T
1
2
LT
1 a1
L ML
b1
比较两边系数 M L T
1 c1 1 a1 b1 3c1 2 a1
得a1=2，b1=0，c1=1 同理 2
p 1 2 v
E
柯西数——弹性力的相似准数
气体：将 a
E
v P vm a P am
无量纲数
代入（*）式，得
v M a
马赫数——弹性力的相似准数
（5）其它准数
W
v 2 l
惯性力 表面张力
韦伯数——表面张力的相似准数
Sr
l
v
vt l
时变惯性力 位变惯性力
v l
F 3 l
3 Fp Fm3 300 20 2400000 N 2400 kN l
5.按雷诺准则和佛劳德准则导出的物理量比尺表 比尺
名称
λυ=1
雷诺准则 λυ≠1
弗劳德准则
长度比尺λl
流速比尺λv 加速度比尺λa 流量比尺λQ
λl
λl-1 λl-3 λl
λl
l pm
（3）改变压强（30at），温度不变
等温过程p∝ρ ，且μ 相同
vl Re pvl
p p v pl p pmvmlm
20 1 vm v p 300 200km / h lm Pm 1 30 lp pp
例3：溢水堰模型，λl=20，测得模型流量为300L/s，水 的推力为300N，求实际流量和推力 解：溢水堰受到的主要作用力是重力，用佛劳德准则
——几何学量 ——运动学量 ——动力学量
2.无量纲的物理量
abc0
如 dim Re dim
vd
LT L M
1
0 0
L2T 1
L T 0 1
无量纲物理量的意义： （1）客观性；
（2）不受运动规模的影响；
（3）清楚反映问题实质（如一个系列一条曲线）；
（4）可进行超越函数的运算
k 4 d
vd
l 3 d
e.整理方程式
p l k f 1 , 2 , 3 , 4 f v 2 , vd , d , d 0
p l k f , , 2 v vd d d
p kl f Re, 2 v dd
相似性原理
1.力学相似
（1）几何相似
lp lm
dp dm
l
p m
λl——长度比尺
Ap Am vp vm
2 lp 2 lm
l2
l3 p
3 lm
3 l
几何相似只有一个长度比尺，几何相似是力学 相似的前提
（2）运动相似
vp vm
up um
v
2 v Fr（gp=gm）： m l p lm
v
1
l
vHale Waihona Puke p v l1
l
l
l 1 失去模型实验的价值
（2）不同介质（υp≠υm）
v pl p vmlm Re：
p
m
v l
v l
Fr：
3 2 l
取 l 10
高为10/5=2m，风口直径为0.6/5=0.12m
原型是空气υp=15.7×10-6m2/s
Re vd
3 107
属阻力平方区（自模区）
因此采用粗糙度较大的管子，提前进入自模区 （Re=50000）
vm 0.12 Re 50000 vm 6.5m / s 6 15.7 10
此时 v 8 1.23 6.5
例2：弦长为3m的机翼以300km/h的速度在温度为20℃、
压强为1at的静止空气中飞行，用λl=20的模型在风洞中 作试验：（1）如果风洞中空气的温度和压强不变，风 洞中空气速度应为多少？ 解：风洞实验中粘性力是主要的——雷诺准则 υ相同
v pl p vmlm
λv——速度比尺
时间比尺
l t tm lm vm v
tp lp vp
加速度比尺
v 2 a v t l
运动相似只有一个速度比尺，运动相似是实验
的目的
（3）动力相似
Fp Fm
F
λF——力的比尺
达朗伯定理：
FT FG FP FE FI 0
p 无量纲数 Eu 2 v p v 2
欧拉数——压力的相似准数
（4）柯西准则——弹性力是主要的力
FEP FIP FEm FIm
FE El 2
FI l 2v 2
改成
FIm FIP FEP FEm
E——弹性模量
Pv2 p
Ep
2 m vm
Em
Ca
（*）
无量纲数
v 2
0
1
1 0 1 0 0
0 1 1 3
c.基本量依次与其余物理量组成π项，共n－m=7－3=4个
p 1 a1 b1 c1 v d
2
v a2 d b2 c2
3
m
p
10
3 2
p
31.62
υm——很困难 自模区——阻力平方区 （与Re无关）
如果υp——空气（15.7×10-6m2/s）
υm——水（1.007×10-6m2/s）
l 6.24
结论：根据影响流动的主要作用力，正确选择 相似准则，是模型实验的关键
4.例1：某车间长30m，宽15m，高10m，用直径为0.6m 的风口送风，要求风口风速8m/s，如取λl=5，确定模型 尺寸及模型的出口风速 解：λl=5，则模型长为30/5=6m，宽为15/5=3m，
20 vm v p 300 6000km / h lm 1 lp
难以实现，要改变实验条件
（2）改用水
水 1.007106 m2 / s
空气 15.7 106 m2 / s
v pl p vmlm
p
m
201.007106 vm v p 300 385km / h 6 lm p 115.7 10
Q vA vl 2
Q vl2
佛劳德准则： v l
2 Q 5 l
2 52 3 Qp Qm5 300 20 537000 L / s 537 m /s l
F ma v 2l 2
2 F 2 v l
温度不变的水： 1 由佛劳德准则
斯特洛哈尔数——脉动角频率的相似准数
gd 0 T0 Ar 2 v0 Te
浮力与重力之差（有效 重力） 惯性力
阿基米德准数——温差、浓差射流的轴线弯曲的相似准数
3.准则的选择 很难实现同时满足两个以上准数相等 例：若同时满足Re数相等和Fr数相等 （1）同种介质（υp=υm） Re： v pl p vmlm
3. 量纲分析法
（1）π定理（布金汉法）
f q1 , q2 ,, qn 0
取m个基本量，组成(n－m)个无量纲的π项
f 1, 2 ,, nm 0
例：求有压管流压强损失的表达式 解：步骤
a.找出物理过程中有关的物理量，组成未知的函数关系
f p, ,, l, d , k , v 0
λυλl-1 λυ2λl-3 λυλl
λl
λl1/2 λl0 λl5/2
比尺 名称 雷诺准则 弗劳德准则 λl1/2 λl3λρ λlλρ λl4λρ λl7/2λρ
λυ=1
时间比尺λt 力的比尺λF 压强比尺λp 功能比尺λW 功率比尺λN λl2 λρ λl-2λρ λlλρ λl-1λρ
λυ≠1
b.选取基本量
n7
常取：几何学量l（d），运动学量v，动力学量ρ
基本量独立条件：指数行列式不等于零
m=3
dim v LT 1
dim d L
a1 0，b1 1 ，c1 1
a2 0，b2 1 ，c2 0
dim ML3
a3 1 ，b3 3，c3 0
dv FT A lv lv dy
FI ma l 2v 2
v pl p
p
vmlm
m
无量纲数
Re
vl
雷诺数——粘性力的相似准数
（2）佛劳德准则——重力是主要的力
FGP FIP FGm FIm
改成
FIm FIP FGP FGm
FG mg gl 3
λυ-1λl2 λυ2λρ λυ2λl-2λρ λυ2λlλρ λυ3λl-1λρ
量纲分析
1.量纲 量纲的和谐性 基本量纲——相互独立的 不可压缩流体的基本量纲——M、L、T
a b c dim A M LT 物理量A的量纲
如 dim F MLT 2
a0 a0 a0
b0
c0 c0
动力相似→对应点 上的力的封闭多边 形相似
动力相似是运动相似的保证
2.相似准则
常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比，
组成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数） 在相似流动中应该是相等的 （1）雷诺准则——粘性力是主要的力
FTP FIP FTm FIm
改成
FIP FIm FTP FTm
谢谢!
1： dim p dimv a d b c
1 1
1
3 c1
ML T
1
2
LT
1 a1
L ML
b1
比较两边系数 M L T
1 c1 1 a1 b1 3c1 2 a1
得a1=2，b1=0，c1=1 同理 2
p 1 2 v
E
柯西数——弹性力的相似准数
气体：将 a
E
v P vm a P am
无量纲数
代入（*）式，得
v M a
马赫数——弹性力的相似准数
（5）其它准数
W
v 2 l
惯性力 表面张力
韦伯数——表面张力的相似准数
Sr
l
v
vt l
时变惯性力 位变惯性力
v l
F 3 l
3 Fp Fm3 300 20 2400000 N 2400 kN l
5.按雷诺准则和佛劳德准则导出的物理量比尺表 比尺
名称
λυ=1
雷诺准则 λυ≠1
弗劳德准则
长度比尺λl
流速比尺λv 加速度比尺λa 流量比尺λQ
λl
λl-1 λl-3 λl
λl
l pm
（3）改变压强（30at），温度不变
等温过程p∝ρ ，且μ 相同
vl Re pvl
p p v pl p pmvmlm
20 1 vm v p 300 200km / h lm Pm 1 30 lp pp
例3：溢水堰模型，λl=20，测得模型流量为300L/s，水 的推力为300N，求实际流量和推力 解：溢水堰受到的主要作用力是重力，用佛劳德准则
——几何学量 ——运动学量 ——动力学量
2.无量纲的物理量
abc0
如 dim Re dim
vd
LT L M
1
0 0
L2T 1
L T 0 1
无量纲物理量的意义： （1）客观性；
（2）不受运动规模的影响；
（3）清楚反映问题实质（如一个系列一条曲线）；
（4）可进行超越函数的运算
k 4 d
vd
l 3 d
e.整理方程式
p l k f 1 , 2 , 3 , 4 f v 2 , vd , d , d 0
p l k f , , 2 v vd d d
p kl f Re, 2 v dd
相似性原理
1.力学相似
（1）几何相似
lp lm
dp dm
l
p m
λl——长度比尺
Ap Am vp vm
2 lp 2 lm
l2
l3 p
3 lm
3 l
几何相似只有一个长度比尺，几何相似是力学 相似的前提
（2）运动相似
vp vm
up um
v
2 v Fr（gp=gm）： m l p lm
v
1
l
vHale Waihona Puke p v l1
l
l
l 1 失去模型实验的价值
（2）不同介质（υp≠υm）
v pl p vmlm Re：
p
m
v l
v l
Fr：
3 2 l
取 l 10
高为10/5=2m，风口直径为0.6/5=0.12m
原型是空气υp=15.7×10-6m2/s
Re vd
3 107
属阻力平方区（自模区）
因此采用粗糙度较大的管子，提前进入自模区 （Re=50000）
vm 0.12 Re 50000 vm 6.5m / s 6 15.7 10
此时 v 8 1.23 6.5
例2：弦长为3m的机翼以300km/h的速度在温度为20℃、
压强为1at的静止空气中飞行，用λl=20的模型在风洞中 作试验：（1）如果风洞中空气的温度和压强不变，风 洞中空气速度应为多少？ 解：风洞实验中粘性力是主要的——雷诺准则 υ相同
v pl p vmlm
λv——速度比尺
时间比尺
l t tm lm vm v
tp lp vp
加速度比尺
v 2 a v t l
运动相似只有一个速度比尺，运动相似是实验
的目的
（3）动力相似
Fp Fm
F
λF——力的比尺
达朗伯定理：
FT FG FP FE FI 0
p 无量纲数 Eu 2 v p v 2
欧拉数——压力的相似准数
（4）柯西准则——弹性力是主要的力
FEP FIP FEm FIm
FE El 2
FI l 2v 2
改成
FIm FIP FEP FEm
E——弹性模量
Pv2 p
Ep
2 m vm
Em
Ca
（*）
无量纲数
v 2
0
1
1 0 1 0 0
0 1 1 3
c.基本量依次与其余物理量组成π项，共n－m=7－3=4个
p 1 a1 b1 c1 v d
2
v a2 d b2 c2
3