第4讲-排队系统仿真

4.0 排队系统仿真基础知识
排队系统的主要数量指标：
➢ 系统状态：指排队系统中的顾客数（排 队等待的顾客数与正在接受服务的顾客 数之和）。
➢ 排队长：系统中正在排队等待服务的顾 客数。
4.0 排队系统仿真基础知识
记 N(t)：时刻t(t0)的系统状态； pn(t)：时刻t系统处于状态n的概率； c：排队系统中并行的服务台数； n：当系统处于状态n 时，新来的顾客的平均到达
排队常常是件很令人恼火的事情……
尤其是在我们这样的人口大国

?
20
4.0 排队系统仿真基础知识 排队论：1918年，Erlang提出排队论，并将
它用于电话系统。
有形排队现象： 进餐馆就餐，到图书馆借书，车站等车，去医院看病 ，售票处售票，到工具房领物品等现象。 无形排队现象： 如几个旅客同时打电话订车票，如果有一人正在通话 ，其他人只得在各自的电话机前等待，他们分散在不同的 地方，形成一个无形的队列在等待通电话。
用样本统计量去估计总体的参数（θ）
用样本均值（ x ）估计总体均值（ μ ）
用样本方差（ s 2）估计总体方差（ 2） 用样本比例（ p ）估计总体比例（ ）
用估计总体参数的统计量，称为估计量 ˆ
概率与数理统计知识
(3)参数估计
•点估计：用样本估计量的值，直接作为总体参数的
估计值 •区间估计：在点估计的基础上，给出总体参数估计
n 2
2
n
均值的方差估计值：
n
Vˆar[ X (n)] S 2

[ X i X (n)]2
i 1
n
n(n 1)
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概率与数理统计知识
（2）抽样分布
1)样本均值抽样分布
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概率与数理统计知识
（2）抽样分布
•中心极限定理： 从总体均值μ，方差为σ2的总体中，抽取容量为n的随机样


Z1
/
2



P X (n) Z1 /2

S 2 (n) n



X (n) Z1 /2
S
2 (n) n


1

概率与数理统计知识
（2）抽样分布
2)样本方差抽样分布
总体为正态分布
概率与数理统计知识
（2）抽样分布
样本统计量
样本均值 x
样本比例 p
样本方差 s 2
顾客到达
服务台2
服务完成后离开
服务台s
S个服务台，一个队列的排队系统
4.0 排队系统仿真基础知识
排队系统类型：
服务台1 服务完成后离开
顾客到达
服务台2 服务完成后离开
服务台s 服务完成后离开
S个服务台， S个队列的排队系统
4.0 排队系统仿真基础知识 排队系统类型：
顾客到达
服务台1
服务台s 离开
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pn(t)称为系统在时刻t的瞬间分布，一般不容 易求得，同时，由于排队系统运行一段时间后， 其状态和分布都呈现出与初始状态或分布无关的 性质，称具有这种性质的状态或分布为平稳状态 或平稳分布，排队论一般更注意研究系统在平稳 状态下的性质。
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排队系统在平稳状态时一些基本指标有：
多服务台串联排队系统
4.0 排队系统仿真基础知识
排队系统的描述
实际中的排队系统各不相同，但概括起来都由三个基本部分 组成：。输入过程，排队及排队规则和服务机构
❖ 输入过程
➢ 顾客总体（顾客源）数：可能是有限，也可能是无限。 河流上游流入水库的水量可认为是无限的；车间内停机待修的 机器显然是有限的。
s12 s22 n1 n2
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概率与数理统计知识
(3)参数估计
4）估计总体均值的样本容量的确定
x z 2

n
点估计值 区间半长度或边际误差E

E z 2
n
( z )2 2
n
2
E2
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概率与数理统计知识
(4)假设检验
先对总体参数提出 一个假设值，然后 利用样本信息判断 这一假设是否成立
率（单位时间内到达的平均顾客数）； n：当系统处于状态n 时，整个系统的平均服务率
（单位时间内可以服务完的平均顾客数）；
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当n为常数时记为； 当每个服务台的平均服务率为常数时，记每个服务 台的服务率为， 则当n c时，有n=c。 因此，顾客相继到达的平均时间间隔为1/ ， 平均服务时间为1/ ， 令= /c，则为系统的服务强度。
正态总体或非 正态总体（大
样本）
非正态总体（ 小样本）
大样本
正态分布
非正态分布
正态分布
样本统计量的抽样分布
2 分布
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（2）抽样分布
3)两个样本均值差的抽样分布
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（2）抽样分布
4)两个样本方差比的抽样分布
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(3)参数估计
参数估计：（根据样本统计量来推断总体的参数）

i2
2 j
i 1,2, , n j 1,2, n
概率与数理统计知识
（1）基本概念
均值的方差期望值：
Var[X (n)] Var 1 n
n i1
X i
1 n2
Var
n i1
X i
1 n2
n
Var( X i )
i1
1 n2
n i 1
( xi

x)2
S
Байду номын сангаас
1
n
(x x)2
n 1 i1
S/x
总体数字特征
E( x) 数学期望
2 E ( x )2
E(x )2
/
概率与数理统计知识
（1）基本概念
方 差：

Var( x) 2 E ( x )2
2 1 / 2
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概率与数理统计知识
(3)参数估计
3）两个总体参数（均值差）的区间估计（独立样本）
大样本:
z＝（x1 x2 ) (1 2 )

2 1


2 2
n1
n2
若总体方差已知： （x1 x2） z / 2

2 1


2 2
n1
n2
若总体方差未知：（x1 x2） z / 2
E x2

2



( xi )2 pi
i 1



(x


)2
p( x)dx
标准差： Var( x) E[(x )2 ]
协方差： Cov( x, y) E[( x x )( y y )] E( xy) x y
相关系数：
Cor( xi , x j ) Cov( xi , x j ) /
计算机仿真
Computer Simulation
第4讲 排队系统建模与仿真
范文慧 清华大学自动化系 2009-2010学年度秋学期
目录
4.0 排队系统仿真基础知识 4.1 排队系统仿真实例 4.2 离散事件系统仿真原理 4.3 随机数发生器 4.4 随机变量产生 4.5 排队系统仿真实例 4.6 仿真结果输出分析 4.7小结
4.0 排队系统仿真基础知识
❖ 服务机制 • 服务员的数量及其连接方式 （串联还是并联） • 顾客是单个还是成批接受服务 • 服务时间的分布
4.0 排队系统仿真基础知识 排队系统的符号表示： “Kendall”记号：X / Y/ Z / W
X表示顾客到达的时间间隔分布 Y表示服务时间的分布 Z表示服务台个数 W表示系统的容量，即可容纳的最多顾客数
本，当n（≧30)充分大时，样本均值 x
的抽样分布服从均值为μ，方差为σ2/n的正态分布
•实际应用：
当 n 时 tn [ X (n) ] / S 2 (n) / n 接近标准， 正态分布随机变量的分布函数，即：
P Z1 / 2

X (n)
S2(n) / n
z x 0 ~ N (0,1) n
t x 0 ~ t(n 1)
sn
(σ2已知)
(σ2未知)
z pˆ p0 ~ N (0,1) p0 (1 p0 ) n
P0为假设的
Page 1总9 体比例
2

(n 1)s2

2 0
~
2 (n 1)
总体的方差
4.0 排队系统仿真基础知识
4.0 排队系统仿真基础知识
❖ 排队及排队规则
➢ 排队 o 有限排队——排队系统中顾客数是有限的。 o 无限排队——顾客数是无限，队列可以排到
无限长（等待制排队系统）。
4.0 排队系统仿真基础知识
有限排队还可以分成：
▪ 损失制排队系统：排队空间为零的系统，即 不允许排队。（顾客到达时，服务台占满， 顾客自动离开，不再回来）（电话系统）
4.0 排队系统仿真基础知识
随机性： 顾客到达情况与顾客接受服务的时间是
随机的。 排队论所研究的排队系统中，顾 客相继到达时间间隔和服务时间这两个量 中至少有一个是随机的。
排队论又称随机服务理论。
4.0 排队系统仿真基础知识
排队的不一定是人，也可以是物。
如生产线上的原材料，半成品等待加工；因故障而 停止运行的机器设备在等待修理；码头上的船只等待装 货或卸货；要下降的飞机因跑道不空而在空中盘旋等。
(3)参数估计
2)总体方差区间估计
正态总体，样本方差服从 （2 n 1)
总体方差在1－α的置信水平下的置信区间
2 1 / 2

2

2 /2
由于
2＝（n 1)s 2 2
则
2 1 / 2
（n


1)s
2
2


2

/2
即
（n 1)s2
2 /2
2

(n 1)s2
2
概率与数理统计知识
（1）基本概念
总体
☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺
随机抽取
平均数 参 数 标准差
比 例
样本
☺
☺☺ ☺
x s 统计量 p
概率与数理统计知识
（1）基本概念
名称
样本特征值
均值
方差
标准差
变异 系数
x

1 n
n i 1
xi
S 2

1 n 1
▪ 混合制排队系统：是等待制与损失制结合， 即允许排队，但不允许队列无限长。
4.0 排队系统仿真基础知识
➢ 排队规则 当顾客到达时，若所有服务台都被占有且 又允许排队，则该顾客将进入队列等待。服 务台对顾客进行服务所遵循的规则通常有： o 先来先服务（FCFS） o 后来先服务（LCFS） o 具有优先权的服务（PS）
4.0 排队系统仿真基础知识
M /M/ S / K
M：表示顾客到达的时间间隔服从负指数分布 M：服务时间为负指数分布 S： S个服务台 K：系统容量为K的排队模型 。
当 K= S 时为损失制排队模型； 当 K= 时为等待制排队模型。
M /M/ 1 /
• M：表示顾客相继到达的时间间隔服从负指数分布 • M：表示服务时间为负指数分布 • 1：单个服务台 • ：系统容量为无限（等待制）的排队模型
正态总体、方差已知，或非正态总体、大样本
总体均值μ在1－α的置信水平下的置信区间

正态总体、方差已知
置信区间 x z 2
n
非正态总体、大样本
置信区间 x z 2
s n
正态总体、方差未知、小样本
总体均值μ在1－α的置信水平下的置信区间
s
x t Page 125
n
概率与数理统计知识
➢ 到达方式：是单个到达还是成批到达。 库存问题中，若把进来的货看成顾客，则为成批到达的例子。
4.0 排队系统仿真基础知识
➢ 顾客（单个或成批）相继到达的时间间隔分布：这 是刻划输入过程的最重要内容。
o 定常分布（D）：顾客相继到达的时间间隔为确定的。 如产品通过传送带进入包装箱就是定常分布。
o 最简流（或称Poisson)（M）：顾客相继到达的时间间 隔为独立的，同为负指数分布
Pn :系统中恰有n个顾客的概率； Ls：系统中顾客数的平均值，又称为平均队长； Lq：系统中正在排队的顾客数的平均值，又称为平
均排队长； T：顾客在系统中的逗留时间； Ws ：顾客在系统中的平均逗留时间； Wq：顾客在系统中的排队等待时间；
4.0 排队系统仿真基础知识
的一个范围，衡量点估计值的可靠性的度量 •置信区间：由样本统计量所构造的总体参数的估计
区间 •置信水平：重复构造置信区间多次，包含总体参
数真值的次数所占的比率（1－α） •无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被
估计的总体参数 E(ˆ)
概率与数理统计知识
(3)参数估计
1)总体均值的区间估计
服务的也不一定是人，
可以是跑道，自动售货机，公共汽车等。
•顾 客——要求服务的对象。
•服务员——提供服务的服务者（也称服务机构）。
•顾客、服务员的含义是广义的。
4.0 排队系统仿真基础知识 排队系统类型：
顾客到达
服务台 服务完成后离开
单服务台排队系统
4.0 排队系统仿真基础知识
排队系统类型：
服务台1