数理方法练习题

数理方法练习题

一、填空题

1．考虑长为l 的均匀杆的导热问题，若杆0=x 的一端保持为恒温零度，l x =的一端绝热，用u 表示温度，则对应的边界条件为 .

2.二维泊松方程xy y x u =∆),(2的一个特解=),(y x u .

3. 点00=x 是常微分方程0)4

1(22=-+'+''y x y x y x 的 .(选填“常点”或“正则奇点”)

4. 常微分方程22(4)0x y xy x y '''++-=为 阶Bessel 方程.

5. 以勒让德多项式)(x P l 为基本函数族, 把定义在[1-,1]上的函数2()1f x x =+展开成广义傅里叶级数为 . [ 提示:查表得0)1P x =（，

221)(31)2

P x x =-（] 6. 设)(x P l 为l 阶勒让德多项式，则积分=⎰-dx x xP l 1

1)( .

7.当k l ≠或n m ≠时,则关于球函数的积分=⎰⎰ϕθθϕθϕθd d Y Y n k S

m l sin ),(),( .

8.勒让德多项式的正交性的关系可以表示为 .

9. 设)(x P l 为l 阶勒让德多项式，则积分1

12()l P x dx -⎰= .

10．数学物理方程中需要求解的定解问题是由 和 组成.

11. 导热杆的绝热端,为第 类边界条件.

12.设S 为球面2221x y z ++=,则矢量场333=++x y z A i j k 穿过闭合曲面S 的通量=Φ .

13.数量场23

u x yz =在点(2,1,1)M -处的梯度为 .

14. 设矢量场A 为 调和场,则div A = 且rot A = .

15.设矢量场A 为管形场,则div A = . 二、计算题

1．把下面的定解问题化为齐次边界条件的定解问题（不求解）

202000,0(0,0)|3,||,|tt xx x x x x l t t t u a u x l x l t u u t

u x u x

====⎧-=<<<<>⎪==⎨⎪==⎩ 2. 用行波法求解下列初值问题：22000,|sin ,|==⎧-=-∞<<∞⎨==⎩tt xx t t t u a u x u x u x

3.求解下列定解问题：

200sin (0,0)|0,|0|0π===⎧-=<<>⎪⎪==⎨⎪=⎪⎩

t xx x x l t x u a u x l t l u u u

4．在00=x 的邻域，用级数法求解常微分方程.

0=-''xy y

5．在半径为a 的球的外部求解定解问题: 2(,,)014sin cos sin 2r a r u r u u θϕθϕϕ=→∞∆=⎧⎪⎪=+⎨⎪→⎪⎩

（）有限 [提示: 查表得2200202cos )3sin 2(cos )2(cos )P P P θθθθ==-（]

三、应用题

1. 设有一长为l 两端固定的均匀弦，弦的线密度为ρ，现用细棒敲击弦上00(0)x l x x <<= 处，即在0x x = 处施加瞬时冲力，设其冲量为I ，即在弦的横向所给的初始位移为00t u ==,初始速度为00()t t I

u x x δρ==- ，求解此弦的自由横振动. [要求：用a 表示振动在弦上

传播的速度，列出定解问题并求解].

2. 半径为a 的球形区域外部没有电荷，球面上的电势为20cos u θ，其中0u 为常数，求球形

区域外部的电势分布. (要求：在球坐标系中列出定解问题并求解)

3．有均匀圆柱，半径为0ρ,高为h ，柱侧面为零度，上下底面温度分别保持为12()()f f ρρ和.

求解柱内的稳定温度分布.(要求: 在柱坐标系中列出定解问题并求解)

四、证明题 1. 证明矢量场k yz x j y z x i xyz A 22222cos (2+++=为有势场.

2.设矢量场r r

q D 34π=,其中k z j y i x r ++=,r r =,∇表示哈密顿算符. 证明: 当0≠r 时,有0=⋅∇D .