离散数学( 第10讲习题课2)
离散数学：第10讲 基数
设|A|=n, |B|=m, 问AB中有多少单射,满射, 双射?
n<m时, AB中无满射和双射, 单射个数为
m(m-1)…(m-n+1)
n=m时, AB中双射个数为 n!
n>m时, AB中无单射和双射, 满射个数为
m
!
n m
2020/12/29
基数
1
有穷集计数定理
设X、Y是有穷集，则：
若存在单射f:X→Y，则|X|≤|Y| ； 若存在满射f:X→Y，则|X|≥|Y| ； 若存在双射f:X→Y，则|X|=|Y| 。
无穷集是否具有同样的性质?
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基数
2
有穷集, 无穷集
有穷集(finite set): 不能与自身真子集建 立双射的集合
无穷集(infinite set) : 可以与自身真子集 建立双射的集合
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基数
7
自然数集合N是无穷集
定理：自然数集合N是无穷集.
证：nN，任取f是从{0,1,...,n-1}到N 的函数。设k=1+max{f(0),f(1),...,f(n-1)}， 那么k∈N，但对每一个x∈{0,1,...,n-1}， 有f(x)≠k。因此f不能是满射函数，即f也 不是双射函数。因为n和f都是任意的，故 N是无穷集。
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基数
8
无穷集间的映射
函数f: N→N，f(n)=2n
单射但非满射
函数f: N→N，f(2n)=n， f(2n+1)=n
满射但非单射
有穷与无穷的区别！
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基数
9
无穷之迷
离散数学课后习题答案
1.3.1习题1.1解答1设S = {2，a，{3}，4}，R ={{a}，3，4，1}，指出下面的写法哪些是对的，哪些是错的？{a}∈S,{a}∈R,{a,4,{3}}⊆S,{{a},1,3,4}⊂R,R=S,{a}⊆S,{a}⊆R,φ⊆R,φ⊆{{a}}⊆R⊆E,{φ}⊆S,φ∈R,φ⊆{{3},4}。
解：{a}∈S ，{a}∈R ，{a，4，{3}} ⊆ S ，{{a}，1，3，4 } ⊂ R ，R = S ，{a}⊆S ，{a}⊆ R ，φ⊆ R ，φ⊆ {{a}} ⊆ R ⊆ E ，{φ} ⊆ S ，φ∈R ，φ⊆ {{3}，4 } 2写出下面集合的幂集合{a，{b}}，{1，φ}，{X，Y，Z}解：设A={a，{b}}，则ρ(A)={ φ，{a}，{{b}}，{a，{b}}}；设B={1，φ}，则ρ(B)= { φ，{1}，{φ}，{1，φ}}；设C={X，Y，Z}，则ρ(C)= { φ，{X}，{Y}，{Z}，{X，Y }，{X，Z }，{ Y，Z }，{X，Y，Z}}；3对任意集合A，B，证明：(1)A⊆B当且仅当ρ(A)⊆ρ(B)；(2)ρ(A)⋃ρ(B)⊆ρ(A⋃B)；(3)ρ(A)⋂ρ(B)=ρ(A⋂B)；(4)ρ(A-B) ⊆(ρ(A)-ρ(B)) ⋃{φ}。
举例说明：ρ(A)∪ρ(B)≠ρ( A∪B)证明：(1)证明：必要性，任取x∈ρ(A)，则x⊆A。
由于A⊆B，故x⊆B，从而x∈ρ(B)，于是ρ(A)⊆ρ(B)。
充分性，任取x∈A，知{x}⊆A，于是有{x}∈ρ(A)。
由于ρ(A)⊆ρ(B)，故{x}∈ρ(B)，由此知x∈B，也就是A⊆B。
（2）证明：任取X∈ρ(A)∪ρ(B)，则X∈ρ(A)或X∈ρ(B)∴X⊆A或X⊆B∴X⊆(A∪B)∴X∈ρ(A∪B)所以ρ(A)∪ρ(B) ⊆ρ( A∪B)（3）证明：先证ρ(A)∩ρ(B) ⊆ρ( A∩B)任取X∈ρ(A)∩ρ(B)，则X∈ρ(A)且X∈ρ(B)∴X⊆A且X⊆B∴X⊆ A∩B∴X∈ρ( A∩B)所以ρ(A)∩ρ(B) ⊆ρ( A∩B)再证ρ( A∩B) ⊆ρ(A)∩ρ(B)任取Y∈ρ(A∩B)，则Y⊆ A∩B∴Y⊆A且Y⊆B∴Y∈ρ(A)且Y∈ρ(B)∴Y∈ρ(A)∩ρ(B)所以ρ( A∩B) ⊆ρ(A)∩ρ(B)故ρ(A)∩ρ(B) = ρ( A∩B)得证。
离散数学第四版课后答案(第2章)
离散数学课后答案第2章习题解答2.1 本题没有给出个体域,因而使用全总个体域. (1) 令x(是鸟F:)x(会飞翔.G:)xx命题符号化为xFx→∀.))G((x)((2)令x(为人.xF:)(爱吃糖G:)xx命题符号化为GxFx→⌝∀(x))()(或者xFx⌝∧∃(xG))(()(3)令xF:)(为人.xG:)(爱看小说.xx命题符号化为xF∃.Gx∧(x()))((4) x(为人.xF:)G:)(爱看电视.xx命题符号化为Fx⌝⌝∃.x∧(x))()G(分析 1°如果没指出要求什么样的个体域，就使用全总个休域，使用全总个体域时，往往要使用特性谓词。
（1）-（4）中的)(x F 都是特性谓词。
2° 初学者经常犯的错误是，将类似于（1）中的命题符号化为))()((x G x F x ∧∀即用合取联结词取代蕴含联结词，这是万万不可的。
将（1）中命题叙述得更透彻些，是说“对于宇宙间的一切事物百言，如果它是鸟，则它会飞翔。
”因而符号化应该使用联结词→而不能使用∧。
若使用∧，使（1）中命题变成了“宇宙间的一切事物都是鸟并且都会飞翔。
”这显然改变了原命题的意义。
3° （2）与（4）中两种符号化公式是等值的，请读者正确的使用量词否定等值式，证明（2），（4）中两公式各为等值的。
2.2 (1)d (a),(b),(c)中均符号化为)(x xF ∀其中,12)1(:)(22++=+x x x x F 此命题在)(),(),(c b a 中均为真命题。
（2） 在)(),(),(c b a 中均符号化为)(x xG ∃其中02:)(=+x x G ，此命题在（a ）中为假命题，在(b)(c)中均为真命题。
（3）在)(),(),(c b a 中均符号化为)xH∃(x其中.1(ba中均为假命题，在(c)中为真H此命题在)(),xx5:)(=命题。
分析 1°命题的真值与个体域有关。
离散数学练习题2 答案
1-1．都是命题：1-2设P：明天天气晴朗Q：我们就去郊游则P →Q：如果明天天气晴朗，我们就去郊游1-3根据真值表求公式P → (P∧(Q →R ))的主析取范式。
解表1.15 例1.42真值表则P → (P∧(Q →R )) ⇔ (﹁P∧Q∧R )∨(﹁P∧Q∧﹁R )∨(﹁P∧﹁Q∧R )∨⌝(﹁P∧Q∧﹁R )∨(P∧﹁Q∧R )∨(P∧﹁Q∧﹁R )∨(P∧Q∧R ) ■由于任意一组命题变元P1, P2, …, P n的真值指派和它的极小项之间是一一对应的，故可以对极小项进行编码。
首先需要规定变元在极小项中的排列次序，假设为P1, P2, …, P n，用m表示极小项，若P i出现在极小项中，则编码的第i个位置上的值为1，否则为0。
比如变元P, Q, R（规定次序为P, Q, R）的极小项P∧﹁Q∧﹁R的编码为100，将此极小项记为m100。
若将编码看作是一个二进制数，又可将例中的极小项记为m4。
用此方法，可以简写所求得的给定公式的主析取范式。
P → (P∧(Q →R )) ⇔m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m7（规定P, Q, R的次序为P, Q, R）公式P → (P∧(Q →R ))的主析取范式。
解P → (P∧(Q →R ))⇔﹁P∨(P∧(﹁Q∨R ))⇔ (﹁P∨P)∧(﹁P∨﹁Q∨R)⇔ (﹁P∨﹁Q∨R )⇔ (﹁P∨﹁Q∨R )1-4试证明(﹁P →Q )∧(P →R )∧(﹁Q∨S ) ⇒S∨R。
证明（1）﹁P →Q P（2）﹁Q∨S P（3）Q →S T, (2), E16（4）﹁P →S T, (1), (3), I13（5）﹁S →P T, (4), E18（6）P →R P（7）﹁S →R T, (5),(6), I13（8）﹁﹁S∨R T, (7),E16（9）S∨R T, (8), E11-5如果迈克有电冰箱，则或者他卖了洗衣机，或者他向别人借了钱。
离散数学习题课带答案
(P(Q∧R))∧(P(Q∧R)) (P∨(Q∧R))∧ (P∨(Q∧R)) (P∨Q)∧(P∨R))∧(P∨Q)∧(P∨R) (P∨Q∨(R∧R))∧(P∨(Q∧Q)∨R)) ∧(P∨Q∨(R∧R))∧(P∨(Q∧Q)∨R) (P∨Q∨R)∧ (P∨Q∨R))∧(P∨Q∨R) ∧ (P∨Q∨R)∧ (P∨Q∨R)∧ (P∨Q∨R)∧ (P∨Q∨R) ∧(P∨Q∨R) (P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R))∧ (P∨Q∨R) ∧(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)
（4）某些汽车比所有的火车都慢，但至少有一列火车比每辆 汽车快 C(x)：x是汽车；H(x)：x是火车；S(x,y): x比y慢 x(C(x)∧y(H(y)→S(x,y)))∧z(H(z)∧y(C(y) →S(y,z)))
（5）对任何整数x和y，x≤y且y≤x是x=y的充要条件 I(x)：x是整数；E(x,y)：x=y；G(x,y)：x>y xy(I(x)∧I(y)→(G(x,y)∧G(y,x)↔ E(x,y))) （6）若m是奇数，则 2m 不是奇数 O(x)：x是奇数； f(x,y)= x×y O(m) → O(f(2,m) （7）那位戴眼镜的用功的大学生在看这本大而厚的巨著 A(x):x是戴眼镜的,B(x):x是用功的,C(x):x是大学生,D(x):x是大 的,E(x):x是厚的，F(x):x是巨著, G(x,y):x在看y,a:那位，b:这本 A(a)∧B(a)∧C(a)∧D(b)∧E(b)∧F(b)∧G(a,b) （8）每个自然数都有唯一的后继数 N(x)：x是自然数； L(x,y)：x是y的后继数 x(N(x)→(y (N(y)∧L(y,x) ∧z (N(z)∧L(z,x)→ E(y,z)))))
《离散数学》刘任任版第十章
习题十1．证明：若G 是简单图，则()()q p p G 2/22-≥χ.分析：()G χ指G 的点色数，显然如果()G χ=k ，则G 的顶点集可以划分为k 个独立集。
设每个独立集的顶点数为p i ，则∑=ki i p 1=p ，由柯西－施瓦丝不等式有： 且由于每个独立集中的任意两个点不邻接，所以第i 个独立集中任何一点的度不会大于p-p i ，本题的关键是利用这两个结论。
2．()k G =χ的临界图G 称为k 临界图. 证明：唯一的1临界图是1K ，唯一的2临界图是2K ，仅有的3临界图是长度为奇数3≥k 的回路.分析：若G 的每个点都是临界点，则G 称为临界图。
由于1-色图是零图，因此1-临界图仅能是1K ，2-色图是2部图，因此2-临界图仅能是2K ，3-色图恒含奇圈，且奇圈至少是3-色才能正常着色，因此3-临界图仅能是长度为奇数3≥k 的回路.证明：（1）()11=K χ，且()01=-v K χ<1，故K1是1临界图；反之，G 是1-临界图，若|V(G)|>1，则G 是零图，()1=-v G χ，所以|V(G)|=1，从而G 是平凡图K1。
（2）()22=K χ，且()1),(22=-∈∀v K K V v χ，故K2是2临界图；反之，G 是2-临界图，即()2=G χ，于是G 的顶点可划分为两个极大独立集V1和V2，若|V1|>1，则())(2),(1G v G G V V v χχ==-⊆∈∀，与G 是临界图矛盾，因此|V1|=1，同理|V2|=1。
因此G=K2。
（3）因为不含奇回路的图是二分图)2)((=G χ。
故3-色图必含奇回路。
显然，奇回路必是3-临界图。
设G 是含奇回路的3-临界图。
若G 不是奇回路，则可分两种情况讨论：)2/()( 2 2 )()(2 ,,1,| | ,, ,)( 2222221222211112221121q p p G x q p p k k p q p k p p p p p p p p p p v d q p p V k p k p p k i p V V V k G k G x ki i p i k i k i k i i i i i i i i k i i k i i i i k -≥-≥≥--≤-=-=-≤=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≥===∑∑∑∑∑∑∑=======故，即从而而个顶点相邻，每个顶点最多与其它且），（柯西－施瓦丝不等式因为。
离散数学第10章习题答案
第10章习题答案1.解 (1)设G 有m 条边，由握手定理得2m ＝∑∈Vv v d )(＝2＋2＋3＋3＋4＝14，所以G 的边数7条。
(2)由于这两个序列中有奇数个是奇数，由握手定理的推论知，它们都不能成为图的度数列。
(3) 由握手定理得∑∈Vv v d )(＝2m ＝24，度数为3的结点有6个占去18度，还有6度由其它结点占有，其余结点的度数可为0、1、2，当均为2时所用结点数最少，所以应由3个结点占有这6度，即图G 中至多有9个结点。
2.证明 设1v 、2v 、…、n v 表示任给的n 个人，以1v 、2v 、…、n v 为结点，当且仅当两人为朋友时其对应的结点之间连一条边，这样得到一个简单图G 。
由握手定理知∑=nk kv d 1)(＝3n 必为偶数，从而n 必为偶数。
3. 解 由于非负整数列d ＝(d 1，d 2，…，d n )是可图化的当且仅当∑=ni i d 1≡0(mod 2)，所以(1)、(2)、(3)、(5)能构成无向图的度数列。
(1)、(2)、(3)是可简单图化的。
其对应的无向简单图如图所示。
(5)是不可简单图化的。
若不然，存在无向图G 以为1，3，3，3度数列，不妨设G 中结点为1v 、2v 、3v 、4v ，且d(1v )＝1，d(2v )＝d(3v )＝d(4v )＝3。
而1v 只能与2v 、3v 、4v 之一相邻，设1v 与2v 相邻，于是d(3v )＝d(4v )＝3不成立，矛盾。
4.证明 因为两图中都有4个3度结点，左图中每个3度结点均与2个2度结点邻接，而右图中每个3度结点均只与1个2度结点邻接，所以这两个无向图是不同构的。
5. 解 具有三个结点的所有非同构的简单有向图共16个，如图所示，其中(8)~(16)为其生成子图。
6. 解 (1)G 的所有子图如图所示。
(1)(3)(5)(6)(9)(10)(13)(14)(2)图(8)~(18)是G 的所有生成子图。
离散数学练习题(含答案2)
离散数学试题第一部分选择题一、单项选择题1．下列是两个命题变元p，q的小项是（C ）A．p∧┐p∧q B．┐p∨qC．┐p∧q D．┐p∨p∨q2．令p：今天下雪了，q：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（ D ）A．p→┐q B．p∨┐qC．p∧q D．p∧┐q3．下列语句中是命题的只有（ A ）A．1+1=10 B．x+y=10C．sinx+siny<0 D．x mod 3=24．下列等值式不正确的是（ D ）A．┐(∀x)A⇔(∃x)┐AB．(∀x)(B→A(x))⇔B→(∀x)A(x)C．(∃x)(A(x)∧B(x))⇔(∃x)A(x)∧(∃x)B(x)D．(∀x)(∀y)(A(x)→B(y))⇔(∀x)A(x)→(∀y)B(y)5．谓词公式(∃x)P(x,y)∧(∀x)(Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z)中量词∀x的辖域是（C ）A．(∀x)Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z))B．Q(x,z)→(∀y)R(x,y,z)C．Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z)D．Q(x,z)6．设A={a,b,c,d}，A上的等价关系R={<a,b>,<b,a>,<c,d>,<d,c>}∪I A，则对应于R的A的划分是（ D ）A．{{a},{b,c},{d}} B．{{a,b},{c},{d}}C．{{a},{b},{c},{d}} D．{{a,b},{c,d}}7．设A={Ø}，B=P(P(A))，以下正确的式子是（A ）A．{Ø,{Ø}}∈B B．{{Ø,Ø}}∈BC．{{Ø},{{Ø}}}∈B D．{Ø,{{Ø}}}∈B8．设X，Y，Z是集合，一是集合相对补运算，下列等式不正确的是（A ）A．(X-Y)-Z=X-(Y∩Z)B．(X-Y)-Z=(X-Z)-YC．(X-Y)-Z=(X-Z)-(Y-Z)D．(X-Y)-Z=X-(Y∪Z)9．在自然数集N上，下列定义的运算中不可结合的只有（ D ）A．a*b=min(a,b)B．a*b=a+bC．a*b=GCD(a,b)(a,b的最大公约数)1 / 72 / 7D ．a*b=a(mod b)10.设R 和S 是集合A 上的关系,R ∩S 必为反对称关系的是( ) A ．当R 是偏序关系,S 是等价关系; B ．当R 和S 都是自反关系; C ．当R 和S 都是等价关系; D ．当R 和S 都是传递关系11.设R 是A 上的二元关系,且R ·R ⊆R,可以肯定R 应是( D ) A ．对称关系; B ．全序关系; C ．自反关系; D ．传递关系 12．设R 为实数集，函数f ：R →R ，f(x)=2x ，则f 是（ ） A ．满射函数 B ．单射函数 C ．双射函数 D ．非单射非满射CDACCDAADADB第二部分 非选择题二、填空题1．设论域是{a,b,c}，则(∀x)S(x)等价于命题公式 S(a)∧S(b)∧S(c) ；(x ∃)S(x)等价于命题公式 S(a)∨S(b) ∨S(c) 。
离散数学课后习题答案二
习题3.71. 列出关系}6|{=×××Î><+d c b a d c b a d c b a 且，，，，，，Z 中所有有序4元组。
组。
解}6|{=×××Î><+d c b a d c b a d c b a 且，，，，，，Z ,2,1,3,1,3,1,2,1,2,3,1,1,3,2,1,1,1,1,1,6,1,1,6,1,1,6,1,1,6,1,1,1{><><><><><><><><=><><><><><><><><2,1,1,3,3,1,1,2,1,2,1,3,1,3,1,2,1,1,2,3,1,1,3,2,1,2,3,1,1,3,2,12. 列出二维表3.18所表示的多元关系中所表示的多元关系中所有所有5元组。
假设不增加新的5元组，找出二维表3.18所有的主键码。
所有的主键码。
表3.18 航班信息航空公司航空公司 航班航班 登机口登机口 目的地目的地 起飞时间起飞时间 Nadir 112 34 底特律底特律 08:10 Acme 221 22 丹佛丹佛 08:17 Acme 122 33 安克雷奇安克雷奇 08:22 Acme 323 34 檀香山檀香山 08:30 Nadir 199 13 底特律底特律 08:47 Acme 222 22 丹佛丹佛 09:10 Nadir 32234底特律底特律09:44解 略3. 当施用投影运算5,3,2p 到有序5元组><d c b a ，，，时你能得到什么？时你能得到什么？ 解 略4. 哪个投影运算用于除去一个6元组的第一、第二和第四个分量？元组的第一、第二和第四个分量？ 解 略5. 给出分别施用投影运算4,2,1p 和选择运算Nadir 航空公司＝s 到二维表3.18以后得到的表。
离散数学(第二版)最全课后习题答案详解
27.设 A、B 都是含命题变量项 p1,p2,…,pn的公式,证明: 重言式.
是重言式当且仅当 A 和 B 都是
解：
A
B
0
0
0
1
1
0
1
1
由真值表可得，当且仅当 A 和 B 都是重言式时，
0 0 0 1 是重言式。
28. 设 A、B 都是含命题变量项 p1,p2,…,pn的公式,已知
，该式为重言式，所以论述为真。
18.在什么情况下,下面一段论述是真的:“说小王不会唱歌或小李不会跳舞是正确的,而说如 果小王会唱歌,小李就会跳舞是不正确的.” 解：p:小王会唱歌。q:小李会跳舞。
真值为 1.
真值为 0.可得，p 真值为 1，q 真值为 0.
所以，小王会唱歌，小李不会跳舞。
19.用真值表判断下列公式的类型:
（2）p: 是无理数.
（7）p:刘红与魏新是同学. （10）p:圆的面积等于半径的平方乘以 π. （13）p:2008 年元旦下大雪.
3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.
（1）5 是有理数.
答：否定式：5 是无理数. p：5 是有理数.q：5 是无理数.其否定式 q 的真值
5.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2 或 3 是偶数. （2）2 或 4 是偶数. （3）3 或 5 是偶数. （4）3 不是偶数或 4 不是偶数. （5）3 不是素数或 4 不是偶数.
答: p：2 是偶数，q：3 是偶数，r:3 是素数，s:4 是偶数, t:5 是偶数 (1)符号化: p q∨ ，其真值为 1. (2)符号化：p r∨ ，其真值为 1. (3)符号化：r t∨ ，其真值为 0. (4)符号化：¬ ∨¬q s，其真值为 1. (5)符号化：¬ ∨¬r s，其真值为 0.
离散数学 第10讲习题课.ppt
规则
2020/1/29
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5
掌握与量词相关的基本等价式和基本蕴涵式 能熟练地运用US、ES、UG、EG规则进行推理
2020/1/29
计算机学院
6
语句的符号化
1、将下列命题翻译成谓词公式 ① 每个有理数都是实数，但是并非每个实数都是有理数，
T,10),11)I
13) ～(y)(Q(y)∧R(c,y))
T,4),E
14) (y)～(Q(y)∧R(c,y))
T,13),E
15) ～(Q(b)∧R(c,b))
US,14)
16) (Q(b)∧R(c,b))∧～(Q(b)∧R(c,b)) US,14)
17) □
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计算机学院
22
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计算机学院
P US(1) P US(3) P US(5) T(6)E
25
(8) Q(x)～C(x)
T(2)(7)I
(9) N(x)～C(x)
T(4)(7)I
(10)(Q(x)～C(x))(N(x)～C(x))
T(8)(9)E
(11) C(x)(～Q(x)～N(x))
7) R(x,f(x))
T,2)
8) Q(f(x))∧R(x,f(x))
T,6),7),I
9) (y)(Q(y)∧R(x,y))
EG,8)
10)(y)(P(y)∧R(x,y))(y)(Q(y)∧R(x,y)) CP,1),9)
11)(x)((y)(P(y)∧R(x,y))(y)(Q(y)∧R(x,y)))
离散数学课后习题答案 (2)
离散数学课后习题答案1. 第一章习题答案1.1 习题一答案1.1.1 习题一.1 答案根据题意，设集合A和B如下：Set A and BSet A and B在此情况下，我们可以得出以下结论：•A的幂集为{ {}, {a}, {b}, {a, b} }；•B的幂集为{ {}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }；•A和B的笛卡尔积为{ (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) }。
因此，习题一.1的答案为：•A的幂集为{ {}, {a}, {b}, {a, b} }；•B的幂集为{ {}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }；•A和B的笛卡尔积为{ (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b,2), (b, 3) }。
1.1.2 习题一.2 答案根据题意，集合A和B如下所示：Set A and BSet A and B根据集合的定义，习题一.2要求我们判断以下命题的真假性：a)$A \\cap B = \\{ 2, 3 \\}$b)$\\emptyset \\in B$c)$A \\times B = \\{ (a, 2), (b, 1), (b, 3) \\}$d)$B \\subseteq A$接下来，我们来逐个判断这些命题的真假性。
a)首先计算集合A和B的交集：$A \\cap B = \\{ x\\,|\\, x \\in A \\, \\text{且} \\, x \\in B \\} = \\{ 2, 3 \\}$。
因此，命题a)为真。
b)大家都知道，空集合是任意集合的子集，因此空集合一定属于任意集合的幂集。
根据题意，$\\emptyset \\in B$，因此命题b)为真。
c)计算集合A和B的笛卡尔积：$A \\times B = \\{ (x, y) \\,|\\, x \\in A \\, \\text{且} \\, y \\in B \\} = \\{ (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) \\}$。
离散数学答案解析屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案解析
第一章部Байду номын сангаас课后习题参考答案
16 设 p、q 的真值为 0；r、s 的真值为 1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r) 0∨(0∧1) 0 （2）（p↔r）∧(﹁q∨s) （0↔1）∧(1∨1) 0∧1 0. （3）（ p∧ q∧r）↔(p∧q∧﹁r) （1∧1∧1） ↔ (0∧0∧0) 0 (4)（ r∧s）→(p∧ q) （0∧1）→(1∧0) 0→0 1
13. 给定下列各公式一个成真的解释，一个成假的解释。
(1) (F(x)
(2) x(F(x) G(x) H(x))
可编辑范本
解:(1)个体域:本班同学 F(x)：x 会吃饭, G(x)：x 会睡觉.成真解释 F(x)：x 是泰安人,G(x)：x 是济南人.（2）成假解释
(2)个体域:泰山学院的学生 F(x)：x 出生在山东,G(x):x 出生在北京,H(x):x 出生在江苏,成假解释. F(x)：x 会吃饭,G(x)：x 会睡觉,H(x)：x 会呼吸. 成真解释.
(1)在两个个体域中都解释为 xF(x) ，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。 (2)在两个个体域中都解释为 xG(x) ，在（a）(b)中均为真命题。 4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化:
可编辑范本
(1) 没有不能表示成分数的有理数. (2) 在北京卖菜的人不全是外地人. 解: (1)F(x): x 能表示成分数
17．判断下面一段论述是否为真：“ 是无理数。并且，如果 3 是无理数，则 2 也是无 理数。另外 6 能被 2 整除，6 才能被 4 整除。”
答：p: 是无理数 1 q: 3 是无理数 0
r: 2 是无理数 1
离散数学习题集2
1. 在一阶逻辑中将下列命题符号化。
（1）对于任意的实数x，均有x2-2=(x-)(x+)（2）存在实数x，使得x+5=7其中，个体域为：(a)实数集合R(b)全总个体域（1）（a）中：xG(x)，其中G(x)：x2-2=(x-)(x+) （b）中：x(F(x)→G(x))，其中F(x):x是实数，G(x)同（a）中。
（2）（a）中：H(x)，其中H(x)：x+5=7（b）中：x(F(x)∧H(x))，其中F(x):x为实数，G(x)同（a）中。
2. 在一阶逻辑中将下列命题符号化。
（1）爱美之心人皆有之。
（2）有人爱发脾气。
（3）说所有人都爱吃面包是不对的。
（4）没有不吃饭的人。
（5）一切人都不一样高。
（6）并不是所有的汽车比所有的火车快。
答案（1）x(F(x)→G(x))。
其中，F(x):x为人，G(x):x爱美。
（2）x(F(x)∧G(x))。
其中，F(x):x为人，G(x):x爱发脾气。
（3）┐x(F(x)→G(x)) 或x(F(x)∧┐G(x))其中，F(x)：x为人，G(x):x爱吃面包。
（4）┐x(F(x)∧┐G(x)) 或x(F(x)→G(x))其中，F(x):x为人，G(x):x吃饭。
（5）x(F(x)→y(F(y)∧H(x,y)→┐L(x,y))) 或x y(F(x)∧F(y)∧H(x,y)→┐L(x,y))其中，F(x):x 为人，H(x,y):x 与y 不同，L(x,y):x 与y 一样高。
（6）┐xy(F(x)∧G(y)→H(x,y)) 或xy(F(x)∧G(y)∧┐H(x,y))其中,F(x):x 为汽车，G(y):y 为火车，H(x,y):x 比y 快3. 讨论下列各式的真值：（1）取个体域为整数集Z ，x y （x·y=1）A.0B.1C.不定 （2）取个体域为整数集Z ，xyz （x-y=z ）A.0B.1C.不定（3）取个体域为整数集Z ，x-y=-y+xA.0B.1C.不定（4）取个体域为整数集Z ，xy(x·y)=yA.0B.1C.不定（5）取个体域为整数集Z ，x(x·y=x)A.0B.1C.不定（6）取个体域为整数集Z ，xy(x+y=2y)A.0B.1C.不定答案（1）A ；（2）B ；（3）B ；（4）A ；（5）C ；（6）A 。
离散数学课后练习2
第二章习题 1． 填空（1）)(x A ，)(y B （2）))()((x A x C x →∀ （3）))()((y B x A x →∀（4）)),()()((y x H y F x F y x ⌝→∧∀∀ （5）))()((x G x F x ⌝∧∃ （6）T（7）)),(),((z y Q y x P y ∧∀，),(),(z y Q y x P ∧，),(y x P （8）))()((!x P x Q x ∧∃ ))()((!!x P x Q x ∧∃ （9）x y ,和z（10）))()((y R x Q x →∀，))(Z )(Q (x x x ∧∃，))()(R )(Q (x Z x x x ⌝∧∧∃ 2．选择题（1）B （2）B （3）A （4）B （5）C （6）C （7）B （8）B （9）B （10）D （11）C （12）A 3．下列哪些是谓词公式解：公式（1）—（8）均为谓词公式。
4．在谓词逻辑中将下列命题符号化 （1）有些汽车比所有火车都跑得慢；解：令)(x A ：x 是汽车，)(x B ：x 是火车，),(y x C ：x 比y 跑得慢。
符号化为)))),()((()((y x C y B y x A x →∀∧∃ （2）会叫的狗未必会咬人；解：令)(x A ：x 会叫，)(x B ：x 是狗，)(x C ：x 会咬人符号化为))()()((x C x B x A x ⌝∧∧∃ （3）存在最小自然数解：令A （x ）:x 是自然数，B （x,y ）：x 小于y 符号化为),()(()((x y B y A y x A x ⌝→∀⋂∃（4）对于每个实数都存在比它大的有理数解：令A （x ）:x 是实数，B （x ）:x 是有理数，R （x,y ）：x 比y 大 符号化为),()(()((x y R y B y x A x ⋂∃→∀（5）每个自然数都有唯一的后继 解：令A （x ）:x 是自然数，B （x,y ）：x 是y 的后继 符号化为),()((!)((x y B y A y x A x ⋂∃→∀） （6）没有以0为后继的自然树解：令A （x ）:x 是自然数，B （x,y ）：x 是y 的后继 符号化为),0()((x B x A x ⋂⌝∃（7）存在唯一的偶实数解：令A （x ）:x 是偶数，令B （x ）:x 是素数 符号化为)()((!x B x A x ⋂∃(8)没有即是奇数也是偶数的数解：令A （x ）:x 是奇数，令B （x ）:x 是偶数 符号化为)()((x B x A x ⋂⌝∃（9）天下乌鸦一般黑解：令A （x ）:x 是乌鸦，令B （x ）:x 是黑的 符号化为)()((x B x A x →∀（10）一个数是素数当且仅当它只能被1和它自身整除解：;:)(;:),(;.:),(B ;.:)(是实数相等与整除被是素数x x D y x y x C y x y x x x A 符号化为：)))),()1,(()),()((()((x y C y C y x B y D y x A x ∨→∧∃↔∀ 5、利用所给定命题和谓词，将下列诸命题符号化。
离散数学屈婉玲第十章.ppt
一棵正则2叉树产生惟一的前缀码（按左枝标0，右枝标1）
18
最佳前缀码
设符号Ai在传输中出现的频率为pi, 二元前缀码的长为li, 1? i? t,
? ? 传输m个符号需要m
t
i ? 1 pi li
个二进制位.
t
i ? 1 pi li
最小的二
元前缀码称作最佳前缀码.最佳前缀码可用Huffman算法计算
以频率为权的最优二叉树产生.
例6 设在通信中, 八进制数字出现的频率如下：
0：25% 1：20% 2：15% 3：10%
4：10% 5：10% 6：5%
7：5%
求传输它们的最佳前缀码, 并求传输10n (n? 2)个按上述比例
出现的八进制数字需要多少个二进制数字？若用等长的(长
为3)的码字传输需要多少个二进制数字？
这个产生生成树的方法称为破圈法．
推论 G为n阶m条边的无向连通图，则m?n? 1.
9
最小生成树
定义10.3 设无向连通带权图G=<V,E,W>，T是G的一棵生成 树，T的各边权之和称为T的权，记作W(T)．G的所有生成树 中权最小的生成树称为G的最小生成树.
避圈法（Kruskal） 输入: 连通图G=<V,E,W> 输出: G的最小生成树T 1. 将G中非环边按权从小到大排列: W(e1)? W(e2)? …? W(em). 2. 令T? {e1}, i? 2. 3. 若ei与T中的边不构成回路, 则令T? T? {ei}. 4. 若|T|<n-1, 则令i? i+1, 转3.
主要内容 ? 无向树及其性质 ? 生成树 ? 根树及其应用
第十章 树
1
f
离散数学集合习题课
A．1024 B．10
C．100
D．1
20
练习11 计算题
1．设集合A＝{a, b, c}，B={b, d, e}，求 （1）BA； （2）AB； （3）A－B； （4）BA． 2．设A={{a, b}, 1, 2}，B={ a, b, {1}, 1}，试计算 （1）（AB） （2）（A∪B） （3）（A∪B）（A∩B）． 3．设集合A={{1},{2},1,2}，B={1,2,{1,2}}，试计算 （1）（AB）； （2）（A∩B）； （3）A×B．
解 (1) A={0, 1, 2}； (2) A={1, 2, 3, 4, 5}； (3) A={-1}
17
练习8
设A，B为任意集合，试证明 A-B=B-A A=B
当 A＝B 时，必有 A－B＝B－A；
反之，由 A－B＝B－A，得到： (A B) B (B A) B 化简后得到 B A ，即 B A； 同理，由 A－B＝B－A，得到： (A B) A (B A) A 化简后得到 A B ，即 A B .
13
练习5
设A，B，C为三集合，证明：A C且B C 的充分必要条
件是 A∪BC
证明：必要性．因为 A C且B C ，所以
( A B) C ( A B) C C
＝ (A C) (B C)
所以， A B C
＝C C C
充分性．因为 ( A B) C ，所以
A A ( A B) A C ，故 A C
A．B A，且BA
B．B A，但BA
C．B A，但BA
D．B A，且BA
5．设集合A = {1, a }，则P(A) = ( )．
A．{{1}, {a}}
B．{ ,{1}, {a}}
离散数学课后习题及答案(左孝凌版)
离散数学课后习题答案(左孝凌版左孝凌版))1-1，1-2（1）解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
（2）解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：a)(┓P∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（4）解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q↔(R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c)设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5)解：a)设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)设P：a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe)设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q：四边形ABCD的对边平行。
P↔Qf)设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨Q）→R(6)解：a)P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc)R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg)P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh)P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。
（2）解：a）A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B))是合式公式。
离散数学课后习题答案
第一章命题逻辑基本概念课后练习题答案1.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1；（2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e是无理数,真值为1；（3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1；（4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0；（5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0.2.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1；（2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1；（3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；（4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1；（5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；3.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨；（2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语；.4.因为p与q不能同时为真.5.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三：（1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）；（2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）；（3）p q，真值为1；（4）p→r，若p为真，则p→r真值为0，否则，p→r真值为1.返回第二章命题逻辑等值演算本章自测答案5.(1)：∨∨,成真赋值为00、10、11；(2)：0，矛盾式，无成真赋值；(3)：∨∨∨∨∨∨∨,重言式，000、001、010、011、100、101、110、111全部为成真赋值；7.(1)：∨∨∨∨⇔∧∧；(2)：∨∨∨⇔∧∧∧；8.(1)：1⇔∨∨∨,重言式；(2)：∨⇔∨∨∨∨∨∨；(3)：∧∧∧∧∧∧∧⇔0，矛盾式.11.(1)：∨∨⇔∧∧∧∧；(2)：∨∨∨∨∨∨∨⇔1；(3)：0⇔∧∧∧.12.A⇔∧∧∧∧⇔∨∨.第三章命题逻辑的推理理论本章自测答案6.在解本题时，应首先将简单陈述语句符号化，然后写出推理的形式结构*，其次就是判断*是否为重言式，若*是重言式，推理就正确，否则推理就不正确，这里不考虑简单语句之间的内在联系(1)、(3)、(6)推理正确，其余的均不正确，下面以(1)、(2)为例，证明(1)推理正确，(2)推理不正确(1)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(p→q)∧p→q(记作*1)在本推理中，从p与q的内在联系可以知道，p与q的内在联系可以知道，p与q不可能同时为真，但在证明时，不考虑这一点，而只考虑*1是否为重言式.可以用多种方法（如真值法、等值演算法、主析取式）证明*1为重言式，特别是，不难看出，当取A为p,B为q时，*1为假言推理定律，即(p→q)∧p→q ⇒ q(2)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(p→q)∧p→q(记作*2)可以用多种方法证明*2不是重言式，比如，等值演算法、主析取范式（主和取范式法也可以）等(p→q)∧q→p⇔(┐p∨q) ∧q →p⇔q →p⇔┐p∨┐q⇔⇔∨∨从而可知，*2不是重言式，故推理不正确，注意，虽然这里的p与q同时为真或同时为假，但不考虑内在联系时，*2不是重言式，就认为推理不正确.9.设p:a是奇数，q:a能被2整除，r:a：是偶数推理的形式结构为(p→q┐)∧(r→q)→(r→┐p) (记为*)可以用多种方法证明*为重言式，下面用等值演算法证明：(p→┐q)∧(r→q)→(r→┐p)⇔(┐p∨┐q) ∨(q∨┐r)→(┐q∨┐r) (使用了交换律)⇔(p∨q)∨(┐p∧r)∨┐q∨┐r⇔(┐p∨q)∨(┐q∧┐r)⇔┐p∨(q∨┐q)∧┐r⇔110.设p:a,b两数之积为负数，q:a,b两数种恰有一个负数，r：a，b都是负数.推理的形式结构为(p→q)∧┐p→(┐q∧┐r)⇔(┐p∨q) ∧┐p→(┐q∧┐r)⇔┐p→(┐q∧┐r) (使用了吸收律)⇔p∨(┐q∧┐r)⇔∨∨∨由于主析取范式中只含有5个W极小项，故推理不正确.11.略14.证明的命题序列可不惟一，下面对每一小题各给出一个证明① p→(q→r)前提引入② P前提引入③ q→r①②假言推理④ q前提引入⑤ r③④假言推理⑥ r∨s前提引入（2）证明：① ┐(p∧r)前提引入② ┐q∨┐r①置换③ r前提引入④ ┐q ②③析取三段论⑤ p→q前提引入⑥ ┐p④⑤拒取式（3）证明：① p→q前提引入② ┐q∨q①置换③ (┐p∨q)∧(┐p∨p) ②置换④ ┐p∨(q∧p③置换⑤ p→(p∨q) ④置换15.(1)证明：① S结论否定引入② S→P前提引入③ P①②假言推理④ P→(q→r)前提引入⑤ q→r③④假言推论⑥ q前提引入⑦ r⑤⑥假言推理（2）证明：① p附加前提引入② p∨q①附加③ (p∨q)→(r∧s)前提引入④ r∧s②③假言推理⑤ s④化简⑥ s∨t⑤附加⑦ (s∨t)→u前提引入⑧ u⑥⑦拒取式16.(1)证明：① p结论否定引入② p→ ┐q前提引入③ ┐q ①②假言推理④ ┐r∨q前提引入⑤ ┐r③④析取三段论⑥ r∧┐s前提引入⑦ r⑥化简⑧ ┐r∧r⑤⑦合取（2）证明：① ┐(r∨s)结论否定引入② ┐r∨┐s①置换③ ┐r②化简④ ┐s②化简⑤ p→r前提引入⑥ ┐p③⑤拒取式⑦ q→s前提引入⑧ ┐q④⑦拒取式⑨ ┐p∧┐q⑥⑧合取⑩ ┐(p∨q)⑨置换口p∨q前提引入⑾①口┐(p∨q) ∧(p∨q) ⑩口合取17．设p：A到过受害者房间，q: A在11点以前离开，r：A犯谋杀罪，s：看门人看见过A。
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ES,(2)
T,(3),I US,(5) T,(4),(6),I US，（8） T,(4),(9),I
17
(5) (x)(P(x)→(Q(x)R(x)) P
(8)(x)(P(x)→(R(x)S(x))) P
例2(续3)
(11)(R(c)→S(c))∧(S(c)→R(c)) (12) R(c)→S(c) T,(10),E T,(12),I
(13) ～S(c)
(14) ～R(c) (15) Q(c) (16) P(c)∧Q(c) (17) (x)(P(x)∧Q(x))
T,(3),I
T,(12),(13),I T,(7),(14),I T,(4),(15),I ES,(16)
2013-9-13
计算机学院
18
例3
证明下列论断的正确性： 有些学生相信所有的教师；任何一个学生都不相信 骗子；所以，教师都不是骗子。 解：设谓词如下： S(x)：x是学生 T(x)：x是教师 P(x)：x是骗子 L(x,y)：x相信y 则可符号化为： 前提：(x)(S(x)∧(y)(T(y)L(x,y)))， (x)(y)((S(x)∧P(y))～L(x,y))。 结论：(x)(T(x)～P(x)) 即证明：(x)(S(x)∧(y)(T(y)L(x,y)))， (x)(y)((S(x)∧P(y))～L(x,y)) (x)(T(x)～P(x))
A(x):ｘ＝０，ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘｙ xｙ［A(ｆ（x，ｙ)）→（A(x)∨A(ｙ)）］∧ ～A(x－１）→ ～A(ｆ（x－１，ｘ＋１)）
可满足式(Why?)
2013-9-13 计算机学院 10
② 诚实的人都讲实话。小林不是诚实的，因而 小林不讲实话。 A(x):ｘ是诚实的人 B(x):x讲实话 ａ:小林
2013-9-13
计算机学院
4
二、基本要求
能准确地将给定命题符号化 深刻理解全称量词、存在量词及量词的辖域、 全总个体域的概念 能准确理解约束变元(量)和自由变元的概念 掌握约束变元的改名规则和自由变元的代入 规则
2013-9-13
计算机学院
5
掌握与量词相关的基本等价式和基本蕴涵式 能熟练地运用US、ES、UG、EG规则进行推理
2013-9-13 计算机学院 23
例5
所有的有理数都是实数；所有的无理数也是
实数；虚数不是实数。因此，虚数既不是有理
数也不是无理数。
解：设Q(x)：x是有理数；R(x)：x是实数； N(x)：
x是无理数； C(x)：x是虚数；
(x)(Q(x)R(x), (x)(N(x)R(x))
(x)(C(x) ～R(x))
冯伟森
Email：fws365@
2013年9月13日星期五
2013-9-13
计算机学院
2
第二章
一、基本概念 全总个体域（全论域）、全称量词、存 在量词、特性谓词、指导（作用）变元、辖
域（作用域）、约束变元、自由变元、约束
变元的改名规则、自由变元的代入规则、常
量符号、变量符号、函数符号、谓词符号、
2013-9-13 计算机学院 7
③ 除非所有会员都参加，这个活动才有意义。 A(x):ｘ是会员 B(x):x有意义 ａ：这个活动 F(x，y):ｘ参加ｙ B（ａ）→(x)（A(x)→F(x，ａ)） 或 (x)（A(x)→F(x，ａ)）→B（ａ）
④ 任何正整数不是合数就是素数。 A(x):ｘ是正整数 Ｂ(x)：ｘ是合数 Ｃ(x)：ｘ是质数 (x)（A(x)→Ｂ(x)Ｃ(x)）
(x)（ A(x) → B(x) ）∧ ～A(ａ)→ ～B(ａ)
F ③ 好货不便宜。小王买的衣服很贵，所以小王 买的是优质衣服。 A(x):ｘ不便宜 B(x):x是好货 ａ：小王买的衣服 (x)（ B(x)→ A(x)）∧Ａ（ａ）→Ｂ（ａ） F
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④
每个懂得人性本质的作家都很高明。不能刻划人们内心世界的 诗人都不是真正的诗人。莎士比亚创作了哈姆雷特。没有一个 不懂得人性本质的作家能够刻划人们的内心世界。只有真正的 诗人才能创作哈姆雷特。因此，莎士比亚是一个高明的作家。 A(x):ｘ是懂得人性本质的作家
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证明：
1) (x)(S(x)∧(y)(T(y)L(x,y))) P 2) S(c)∧(y)(T(y)L(c,y)) ES,1) 说明：该结论明显T,2),I 3) S(c) 是一个错误的结论， 4) (y)(T(y)L(c,y)) T,2),I 5) T(x)L(c,x) 原因在于有一个错US,4) 6) (x)(y)((S(x)∧P(y))～L(x,y)) P 误的假设，但推理 7) (y)((S(c)∧P(y))～L(c,y)) 是正确的。 US,6) 8) (S(c)∧P(x))～L(c,x) US,7) 9) S(c)(P(x)～L(c,x)) T,8),E 10)P(x)～L(c,x) T,3),8),E 11)L(c,x)～P(x) T,10),E 12)T(x)～P(x) T,5),11),E 13)(x)(T(x)～P(x)) US,12)
B(x):x是真正的诗人 C(x):x能刻划人们内心世界 D(x)：ｘ很高明 Ｐ(x,y)：ｘ创作了ｙ ａ：莎士比亚 ｂ：哈姆雷特
T
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例1
将下列三条自然公理翻译成谓词公式： ① 每个自然数有且仅有一个直接后继； ② 没有任何自然数以0为其直接后继； ③ 对0以外的任何自然数，有且仅有一个直接先行。 解：设个体域D为自然数 令p(x):x的直接先行; s(x):x的直接后继; 有 EQUAL(x,y):x=y ① (x)(y)[EQUAL(y,s(x))∧ (z)[EQUAL(z,s(x))→EQUAL(y,z)]]
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⑤ 凡是存钱的人都想有利息，如果没有利息， 人们就不会存钱。 A(x):ｘ是存钱的人 F(x，y):ｘ想有ｙ P：存钱没有利息 Q: 人们不存钱 a: 利息 (x)（A(x)→F(x，a)）∧（P→Q）
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2、把下列语句符号化，并确定相应谓词公式 是永真式、可满足式，还是矛盾式。 ① 如果两个数的积等于0，那么至少其中一个数 为0，数x-1不等于0，所以数x-1和数x+1的积 也不等于0。
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例2(续1)
解：设P(x)：x是报考研究生的大学毕业生； Q(x)：x参加研究生入学考试； R(x)：x被推荐为免试生； S(x)：x学习成绩优秀。 则原论断可符号化为： (x)(P(x)→(Q(x)R(x))， (x)(P(x)→(R(x)S(x)))， (x)(P(x)∧S(x)), ～(x)(P(x)→S(x)) (x)(P(x)∧Q(x))
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例2(续2)
证明：(1) ～(x)(P(x)→S(x))
(2) (x)(P(x)∧～S(x)) P T,(1),E
(3) P(c)∧～S(c)
(4) P(c) (6) P(c)→（Q(c)R(c)） (7) Q(c)R(c) (9) P(c)→(R(c)S(c)) (10) R(c)S(c)
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例4(续1)
6) P(b)∧R(c,b) ES,5) 7) P(b) T,6),I 8) (x)(P(x)Q(x)) P 9) P(b)Q(b) US,8) 10) Q(b) T,7),9),I 11) R(c,b) T,6),I 12) (Q(b)∧R(c,b) T,10),11)I 13) ～(y)(Q(y)∧R(c,y)) T,4),E 14) (y)～(Q(y)∧R(c,y)) T,13),E 15) ～(Q(b)∧R(c,b)) US,14) 16) (Q(b)∧R(c,b))∧～(Q(b)∧R(c,b)) US,14) 17) □
P
US(5)
(7) R(x)～C(x)
T(6)E
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(8) Q(x)～C(x) (9) N(x)～C(x) (10)(Q(x)～C(x))(N(x)～C(x))
T(2)(7)I T(4)(7)I
T(8)(9)E (11) C(x)(～Q(x)～N(x)) (12) (x)(C(x)(～Q(x)～N(x)) T(10)EI UG(11)
谓词公式、公式的解释、永真公式(重言式) 、
永假公式(矛盾式，不可满足公式）、
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可满足公式、前束范式、母式、前束合取(或 析取)范式、Skolem范式、US(全称指定规则)、 ES( 存 在 指 定 规 则 ) 、 UG( 全 称 推 广 规 则 ) 、
EG(存在推广规则)
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例4(续2)
x是自由变元
2.采用CP规则的直接证明法：
1) (y)(P(y)∧R(x,y)) P(附加前题) 2) P(f(x))∧R(x,f(x)) ES，1) 3) P(f(x)) T,2) 4) (x)(P(x)Q(x)) P 5) P(f(x))Q(f(x)) US,4) 6) Q(f(x)) T,3),5),I 7) R(x,f(x)) T,2) 8) Q(f(x))∧R(x,f(x)) T,6),7),I 9) (y)(Q(y)∧R(x,y)) EG,8) 10)(y)(P(y)∧R(x,y))(y)(Q(y)∧R(x,y)) CP,1),9) 11)(x)((y)(P(y)∧R(x,y))(y)(Q(y)∧R(x,y))) EG,10)
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语句的符号化
1、将下列命题翻译成谓词公式 ① 每个有理数都是实数，但是并非每个实数都是有理数， 有些实数是有理数。 A(x):x是实数 B(x):x是有理数 (x)(B(x)→A(x))∧(x)(A(x)→B(x)) ∧(x)(A(x)∧B(x)) ② 直线a和b平行当且仅当a和b不相交。 A(x):x是直线 F(x，y):x与y平行 G（x,y):ｘ与ｙ相交 (ａ)(ｂ)（A(ａ)∧A(ｂ)→ (F(ａ，ｂ)G（ａ,ｂ)）)