线性代数-考研笔记

第一章 行列式

性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号。

推论 如果行列式的两行（列）完全相同，则此行列式等于零。

性质3 行列式的某一行（列）中所以的元素都乘以同一个数k ，等于用数k 乘以此行列式。第i 行（或者列）乘以k ，记作r i ×k (或c i ×k )。

推论 行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。第i 行（或者列）提出公因子k ，记作r i ÷k (或c i ÷k )。

性质4 行列式中如果两行（列）元素成比例，此行列式等于零。

性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如第i 列的元素都是两数之和，则D 等于下列两个行列式之和：

D =

||a 11a 12⋯a 21a 22⋯(a 1i +a 1i

′)

⋯a 1n

(a 2i +a 2i ′)⋯a 2n ⋮⋮

a n1

a n2⋯

⋮⋮(a ni +a ni ′ )⋯a nn

|

|=|a 11a 12

⋯a 21a 22

⋯a 1i ⋯a 1n a 2i ⋯a 2n

⋮⋮a n1a n2

⋯

⋮⋮a ni

⋯a nn

|+

||a 11a 12⋯a 21

a 22⋯a 1i

′⋯a 1n a 2i ′

⋯a 2n ⋮

⋮

a n1

a n2⋯

⋮⋮a ni

′

⋯

a nn

||

性质 6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。

|a 11⋯a 1i a 21⋯a 2i ⋯a 1j ⋯a 1n

⋯a 2j ⋯a 2n ⋮⋮a n1⋯a ni ⋮⋮⋯a nj ⋯a nn |c i +kc j

=|a 11⋯a 1i +ka 1j a 21⋯a 2i +ka 2j ⋯a 1j ⋯a 1n ⋯a 2j ⋯a 2n

⋮⋮a n1⋯a ni +ka nj ⋮⋮⋯a nj ⋯a nn |(i ≠j )(c i +kc j ⇔rc i +kr j )

定义 在n 阶行列式，把（i,j ）元a ij 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的n −1阶行列式叫做（i,j ）元a ij 的余子式，记作M ij ；记A ij =(−1)i+j M ij ，A ij 叫做（i,j ）元a ij 的代数余子式。

引理 一个n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除（i,j ）元a ij 外都为零，那么这行列式等于a ij 与它的代数余子式的乘积，即D =a ij A ij

定理3 (行列式按行按列展开法则) 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即D =a i1A i1+a i2A i2+⋯+a in A in (i =1,2，⋯，n)，或D =a 1j A 1j +a 2j A 2j +⋯+a nj A nj (j =1,2，⋯，n) 推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。

a i1A j1+a i2A j2+⋯+a in A jn =0(i ≠j )和a 1i A 1j +a 2i A 2j +⋯+a ni A nj =0(i ≠j )

德蒙德行列式

D n =|11x 1x 1

2

x 2x 22⋮⋮⋯

1⋯x n x n

2

⋯⋮x 1

n−1x 2

n−1⋯x n n−1

|=∏(x i −x j )n≥i>j≥1

克拉默法则

{a 11x 1+a 12x 2+⋯+a 1n x n =b 1a 21x 1+a 22x 2+⋯+a 2n x n =b 2⋯⋯⋯⋯

a n1x 1+a n2x 2+⋯+a nn x n =

b n

①

如果线性方程组①的系数行列式不等于零，即

D =[a 11⋯⋮

a 1n

⋮a n1⋯a nn ]≠0， 那么，方程组①有唯一解x 1=

D 1D

，x 2=

D 2D

，，x n =

D n D

其中D j (j =1，2，⋯，n)是把系数行列式矩阵D 中第j 列的元

素用方程组右端的常数项代替后所得到的n 阶行列式，即D j =|a 11

⋯

a 1，j−1

⋮

⋮

b 1a 1，j+1⋯a 1n ⋮

⋮

⋮a n1

⋯a n ，j−1

b n

a n ，j+1

⋯a nn

|

定理4 如果非齐次线性方程组的系数行列式D ≠0，则非齐次线性方程组一定有解，且解是唯一的。 定理4’ 如果非齐次线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。

定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式D ≠0，则齐次线性方程组没有非零解 定理5’ 如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为零

第二章 矩阵级其运算 定义1 由m ×n 个数 a ij (i =1，2，⋯，n)排成的m 行n 列的数表，称为m 行n 列矩阵；

A =[a 11a 12a 21

a 22

⋯

a 1n a 2n ⋮

⋱⋮a m1a m2

⋯a mn ]

以数a ij 为(i ，j)元的矩阵可简记作（a ij ）或（a ij ）m×n m ×n 矩阵A 也记作A m×n 。

行数和列数都等于n 的矩阵称为n 阶矩阵或n 阶方阵。n 阶矩阵A 也记作A n 。 特殊定义：

两个矩阵的行数相等，列数也相等时，就称它们是 同型矩阵 同型矩阵A 和B 的每一个元素都相等，就称两个矩阵相等，A =B ；元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O ；注意不同型的零矩阵是不同的。

特殊矩阵

n 阶单位矩阵，简称单位阵。特征：主对角线上的元素为1，其他元素为0；

E =[1001

⋯

0⋮⋱⋮00⋯1

] 对角矩阵，特征：不在对角线上的元素都是0，记作 Λ=diag(λ1,λ2，⋯，λn )

Λ=[

λ100λ2

⋯

00⋮

⋱⋮00

⋯λn ]

定义2 矩阵的加法

设有两个m ×n 矩阵A =（a ij ）和B =（b ij ），那么矩阵A 与B 的和记作A +B ，规定为

A +

B =[

a 11+

b 11a 12+b 12a 21+b 21

a 22+

b 22⋯

a 1n +

b 1n a 2n +b 2n

⋮

⋱⋮

a m1+

b m1

a m2+

b mn2

⋯a mn +b mn ]

注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算；

矩阵加法满足运算律（设A ，B ，C 都是m ×n 矩阵）