河北省普通高中学业水平考试2

河北省普通高中学业水平考试数 学注意事项：1．本试卷共4页，30道小题，总分100分，考试时间120分钟．2．所有答案在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效．答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 3．做选择题时，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮将原选涂答案擦干净，再选涂其它答案． 4．考试结束后，请将本试卷与答题卡一并收回．一、选择题（本题共22道小题，1－10题，每题2分，11－22题，每题3分，共56分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．直线2x －y ＋1＝0的斜率为 A ．12B ．2C ．－12D ．－22．半径为3的球的体积等于 A ．9π B ．12π C ．36π D ．54π3．已知集合M ＝{x |x ＞－1}，下列关系式正确的是A ．{0}⊆MB ．0⊆MC ．{0}∈MD ．∅∈M 4．在等差数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝10，则a 8＝ A ．16 B ．18 C ．20D ．505．不等式1x ≥2的解集是A ．{x |0＜x ≤2}B ．{x |x ≥12}C ．{x |x ≤12} D ．{x |0＜x ≤12}6．函数y ＝2x－1的值域是A ．(0，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(12，＋∞)7．已知sin x ＝35，且π2＜x ＜π，则tan x ＝A ．45B ．－45C ．34D ．－348．函数f (x )＝2x ＋x －2的零点所在的区间是A ．(－1，0)B ．(0，1)C ．(1，2)D ．(2，3)9．一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为 A ．1， 3 B ．2，1 C ．2，1D ．1，210．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 是坐标原点，则|OP |的最小值是 A ．7 B ． 6C ．2 2D ． 511．从装有3个红球、2个白球的口袋里随机取出一个球，得到红球的概率是A ．15B ．25C ．35D ．112．等边三角形ABC 的边长为2，则AB →·BC →＝A ．－2B ．2C ．－2 3D ．2 3 13．若a ＞b ，则下列不等式一定成立的是A ．ac ＞bcB ．a 2＞b 2C ．a ＋c ＞b ＋cD ．1a ＜1b14．函数y ＝3sin (2x ＋π6)（x ∈R ）图象的一条对称轴方程是A ．x ＝0B ．x ＝－π12C ．x ＝π6D ．x ＝π315．按右图表示的算法，若输入一个小于10的整数n ，则输出n的值是 A ．9 B ．10 C ．11 D ．110 16．函数y ＝sin (x －π3)（x ∈R ）的一个单调递增区间为A ．[－2π3，π3]B ．[－π6，5π6]C ．[π3，4π3]D ．[5π6，11π6]17．已知数列{a n }，a n ＝2n ＋1，那么数列{a n }的前10项和为A ．211＋8B ．211－1C ．210＋9D ．210－218．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝bc ，则正视图1侧视图俯视图3开始 S ＞100? 是 否结束输出n S ＝n (n ＋1) n ＝n ＋1 输入nA ＝A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒19．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋4y ≥4，则目标函数z ＝x ＋y 的最小值是A ．0B ．5C ．4D ．120．某单位共有职工120人，其中男职工90人，现采用分层抽样（按男、女分层）的方法抽取一个样本，该样本中有9名女职工，则样本容量为 A ．27 B ．36 C ．40 D ．44 21．如图,在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AB 和AA 1的中点，则直线EF 与平面ACC 1A 1所成的角等于 A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．90︒ 22．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )＋1，则f (5)＝A ．0B ．1C ．12D ．52二、填空题（本大题共4道小题，每小题3分，满分12分）（注意：在试题卷上作答无．．．．．．．．．．．效．） 23．sin 165︒·cos 15︒＝_________．24．已知向量a ＝(－2，3)，b ＝(x ，－6)，若a ⊥b ，则x ＝___________． 25．函数f (x )＝lg (x 2－1)的定义域是___________．26．设有穷数列{a n }的前n 项和为S n ，定义数列{a n }的期望和为T n ＝S 1＋S 2＋…＋S n n，若数列a 1，a 2，…，a 9的期望和T 9＝100，则数列2，a 1，a 2，…，a 9的期望和T 10＝________． 三、解答题（本大题共4道小题，满分32分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 27．（本小题满分8分）已知函数f (x )＝(sin x －cos x )2＋m ，x ∈R ． （Ⅰ）求f (x )的最小正周期；（Ⅱ）若f (x )的最大值为3，求m 的值．D 1A 1 ADC 1B 1BCF E28．（本小题满分8分）数列{a n }的前n 项和S n 满足3S n ＝a n ＋4（n ∈N *）． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若等差数列{b n }的公差为3，且b 2a 5＝－1，求数列{b n }的前n 项和T n 的最小值． 29．（本小题满分8分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，PM2.5日均值在35微克/立方米及其以下空气质量为一级，在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级，在75微克/立方米及其以上空气质量为超标．某试点城市环保局从该市市区2011年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取6天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶），若从这6天的数据中随机抽出2天．（Ⅰ）求恰有一天空气质量超标的概率； （Ⅱ）求至多有一天空气质量超标的概率．30．（本小题满分8分）已知动点P 与两个定点E (1，0)，F (4，0)的距离之比是12．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）直线l ：y ＝kx ＋3与曲线C 交于A ，B 两点，在曲线C 上是否存在点M ，使得四边形OAMB （O 为坐标原点）为菱形，若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由．8 3 4 7 931 9 3 7PM2.5日均值(微克/m 3)答 案一、选择题BCABDADBDCCACCBBACDBAD二、填空题23．1424．－925．(－∞，－1)∪(1，＋∞)26．92三、解答题27．解：（Ⅰ）f (x )＝(sin x －cos x )2＋m ＝m ＋1－sin2x ，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π． ………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当sin2x ＝－1时，f (x )取最大值， 故有m ＋2＝3，得m ＝1．………………8分28．解：（Ⅰ）由3S n ＝a n ＋4，得3S n －1＝a n －1＋4，两式相减，得3(S n －S n －1)＝(a n ＋4)－(a n －1＋4)＝a n －a n －1，整理，得a n a n －1＝－12（n ≥2）．又3a 1＝a 1＋4，得a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项，以－12为公比的等比数列，故有a n ＝2×(－12)n －1．………………4分（Ⅱ）由已知，得b 2＝－1a 5＝－8，又等差数列{b n }的公差d ＝3，故b n ＝b 2＋(n －2)d ＝3n －14，因此当n ≤4时，b n ＜0，当n ≥5时，b n ＞0， 所以n ＝4时，{b n }的前n 项和T n 最小， 最小值为T 4＝4(b 1＋b 4)2＝－26．………………8分29．解：由茎叶图知：6天有4天空气质量未超标，有2天空气质量超标．记未超标的4天为a ，b ，c ，d ，超标的两天为e ，f ．则从6天中抽取2天的所有情况为：ab ，ac ，ad ，ae ，af ，bc ，bd ，be ，bf ，cd ，ce ，cf ，de ，df ，ef ，基本事件数为15。

…2分（Ⅰ）记“6天中抽取2天，恰有1天空气质量超标”为事件A ，可能结果为：ae ，af ，be ，bf ，ce ，cf ，de ，df ，基本事件数为8．∴P (A )＝815．…5分（Ⅱ）记“至多有一天空气质量超标”为事件B ，“2天都超标”为事件C ，其可能结果为ef ，故P (C )＝115，∴P (B )＝1－P (C )＝1415．…………………8分30．解：（Ⅰ）设点P (x ，y )，由(x －1)2＋y 2(x －4)2＋y 2＝12，化简，得轨迹C 的方程是：x 2＋y 2＝4．…………………4分（Ⅱ）因为直线l ：y ＝kx ＋3与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点， 所以|3|1＋k 2＜2，解得k ＞52或k ＜－52．假设存在点M ，使得四边形OAMB 为菱形，则OM 与AB 互相垂直且平分，所以原点O 到直线l ：y ＝kx ＋3的距离为d ＝12|OM |＝1．所以|3|1＋k 2＝1，解得k 2＝8，即k ＝±22，经验证满足条件．所以存在两点M ，使得四边形OAMB 为菱形．…………………8分。