长方体-正四棱柱-正方体

P K D A o M B
N
L C
（四）空间的角
1、两条异面直线所成的角： 关键是找平行线，通常利用三角形的中位线 与边的平行关系或补成平行四边形。 2、直线和平面所成的角： 求斜线与平面所成的角的关键是找斜线在平面内的射 影，即找斜线上的点在平面内的射影，为此通常利用 平面与平面的垂直的性质。 3、二面角： 关键是找二面角的平面角，通常利用（1）定义 （2）三垂线定理及其逆定理（3）作棱的垂面（4） 特殊图形的性质
例1 ：如图所示，四边形 ABCD是边长为 6的正方形， SA 平面ABCD，SA 8，M是SA的中点， 过M和BC的平面交SD于N。
（ 1 ）求二面角M BC D大小的正切值； （2）求CN与平面ABCD所成角的正切值；
（ 3 ）求CN与BD所成角的余弦值；
（4）求平面SBC与SDC所成角大小的正弦值。
例4：已知l , m , 下列命题正确的是 （ 1 ） // l m ( 2) l // (3)l // m ( 4)l m //
（二）平行关系的证明
证明线线平行的方法： （1）公理4（2）线面平行的性质（3）垂直同一平面 （4）面面平行的性质。 证明线面平行的方法： （1）线面平行的判定定理（2）面面平行的定义。 证明面面平行的方法： （1）面面平行的判定定理（2）垂直同一条直线。
S
M A B
Q
N E
D
F
C
例2：在三棱锥A BCD中，平面ACD 平面CDB，AC CD， BD CD，AB与平面ACD成45角，AB与平面BCD成30角， 求二面角C AB D的大小。
A F
45
30
E
B
D
C
例3：二面角 a 的平面角 120 ，在面内，AB a于B，AB 2 在面内，CD a于D，CD 3，BD 1 （ 1 ）求AC，BD所成的角 （2）求AC与平面所成的角 （3）M是棱a上的一个动点，求 AM CM的最小值。
答：P BC
例2、如图，点D在平面ABC 外，试确定在直线AB、BC、 AC、EF、AD、BD中有多少 对异面直线。 答：AD和BC，BD和AC， BD和EF，AB和EF，AC和 EF五对异面直线
P B C D
E
D
E
A F
C
B
例3：判断下列命题是否正 确： 1 、a // b, b , 则a // ; 2、 l , a , a // l , 则a // ; 3、a // , a // b, 则b // ; 4、a // , b , 则a // b; 5、a , b , 则a // b; 6、a // , a b, 则b ;
如图，边长为a的菱形ABCD中，ABC 60 ， PC 平面ABCD，E是PA的中点，PC a, 求(1) E到平面PBC的距离;
(2)直线PA与BD间的距离；
例1、已知平面 // ，A，C ，B，D 点E，F分别在 AE CF 线段AB，CD上且 , EB FD 求证 : EF //
A

C E
G
H
F D

B
（三）垂直关系的证明
证明线线垂直的方法：
（1）定义（2）平行线中一条垂直一直线则另一条也垂 直该直线（3）线面垂直的定义（4）三垂线定理及逆定 理 证明线面垂直的方法：
C
C’ F M B a
D
A
E
例4：已知D，E分别是正三棱柱 ABC A1 B1C1的侧棱AA1 和BB1上的点，且A1 D 2 B1 E B1C1 求：过D，E，C1的平面与棱柱的下底面 所成 二面角的大小
A
C B
D
A1
E
B1
C1
F
（五）空间图形的距离
1、点与直线的距离：自该点向直线引垂线（通常利 用三垂线定理或逆定理），该点与垂足间的距离即是。 2、点与面的距离：自该点向平面引垂线（通常利用平 面与平面垂直的性质定理）该点与垂足间的距离即是 3、异面直线间的距离：异面直线的公垂线段的长度。 4、直线与平面的距离：直线与平面平行时，直线上 任意一点到平面的距离。 5、平行平面间的距离：平面上任意一点到另一个 平面的距离
（1）线面垂直的判定定理（2）平行线中一条垂直一个 平面另一条也垂直这平面（3）面面垂直的性质定理(4) 直线垂直平行平面中的一个，也垂直另一个 证明面面垂直的方法： （1）定义（2）面面垂直的判定定理
例1：如图所示，PA 矩形ABCD所在平面，M , N分别是AB, PC的中点 （ 1 ）求证：MN // 平面PAD; （2）求证 : MN CD; (3)若PDA 45 求证：MN 平面PCD
三、学习指导
1、直线和平面是最基本的几何元素， 空间直线和平面的位置关系是立体几何 的基础知识，非常重要。 2、平面的基本性质、空间直线的位置 关系、直线与平面之间及两平面之间的 平行和垂直关系是学习的重点
3、加强图形的运用对培养空间想象力 十分重要。
四、典型例题讲评
（一）位置关系的判断
例1、如图，AD 平面 B，AE 平面 C， A DE 平面 P指出点P与直线BC的位置关系。
平行与垂直关系图
定义
公理4 线线平行
请按箭头
定义 定义
面面平行
线面平行
三垂线
线线垂直 定义
线面垂直 定义
Baidu Nhomakorabea
面面垂直 定义
一、学习内容
1、平面
2、空间直线
3、直线和平面平行
4、直线和平面垂直
5、两个平面平行
6、两个平面垂直
二、学习要求
1、了解空间两条直线、空间直线和平面、两个 平面的位置关系，三垂线定理及其逆定理。 2、掌握平面的基本性质，两条直线所成角和距 离的概念，直线和平面平行、垂直的判定定理和 性质定理，斜线在平面上的射影、直线和平面所 成的角、直线和平面的距离的概念，两个平面平 行、垂直的判定定理和性质定理，二面角、二面 角的平面角、两个平行平面间的距离的概念。 3、能够画出空间两条直线、直线和平面、两个 平面的各种位置关系的图形。