优秀的近世代数期末考试总复习

近世代数模拟试题一

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1、设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射ϕ：x→x＋2，∀x∈R，则ϕ是从A到B的（）

A、满射而非单射

B、单射而非满射

C、一一映射

D、既非单射也非满射

2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（）个元素。

A、2

B、5

C、7

D、10

3、在群G中方程ax=b，ya=b，a,b∈G都有解，这个解是（）乘法来说

A、不是唯一

B、唯一的

C、不一定唯一的

D、相同的(两方程解一样)

4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（）

A、不相等

B、0

C、相等

D、不一定相等。

5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（）

A、倍数

B、次数

C、约数

D、指数

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1、设集合{}1,0,1-=A；{}2,1=B，则有=

B---------。

⨯A

2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的--------。

3、环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换，则称R是一个------。

4、偶数环是---------的子环。

5、一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个--------。

6、每一个有限群都有与一个置换群--------。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元

是---，元a 的逆元是-------。

8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆，如果I 是R 的最大理想，那么---------。

9、一个除环的中心是一个-------。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、设置换σ和τ分别为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6417352812345678σ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2318765412345678τ，判断σ和τ的奇偶性，并

把σ和τ写成对换的乘积。2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

3、设集合)1}(,1,,2,1,0{ m m m M m -⋯⋯=，定义m M 中运算“m +”为a m +b=(a+b)(modm),则（m M ，m +）是不是群，为什么？

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

1、设G 是群。证明：如果对任意的G x ∈，有e x

=2，则G 是交换群。 2、假定R 是一个有两个以上的元的环，F 是一个包含R 的域，那么F 包含R 的一个商域。

近世代数模拟试题二

一、单项选择题

二、1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。

A 、{}a

B 、{}e a ,

C 、{}3,a e

D 、

{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群

A 、G 为整数集合，*为加法

B 、G 为偶数集合，*为加法

C 、G 为有理数集合，*为加法

D 、G 为有理数集合，*为乘法

3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）

A 、a*b=a-b

B 、a*b=max{a,b}

C 、 a*b=a+2b

D 、a*b=|a-b|

4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），

3σ=（1324），则3σ=（ ）

A 、12σ

B 、1σ

2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。

A 、不可能是群

B 、不一定是群

C 、一定是群

D 、 是交换群

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。

2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。

3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4

a 的阶等于------。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。

5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。

6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为-----------------。

7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在

F 的-----n a a a ,,,10 使得

10=+++n n a a a αα 。 8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为---------。

9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G 对于乘法封闭；结合律成立、---------。

10、一个环R 对于加法来作成一个循环群，则P 是----------。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、设集合A={1,2,3}G 是A 上的置换群，H 是G 的子群，H={I,(1 2)}，写出H 的所有陪集。

2、设E 是所有偶数做成的集合，“•”是数的乘法，则“•”是E 中的运算，（E ，•）是一个代数系统，问（E ，•）是不是群，为什么？

3、a=493, b=391, 求(a,b), [a,b] 和p, q 。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

1、若是群，则对于任意的a 、b ∈G ，必有惟一的x ∈G 使得a*x ＝b 。

2、设m 是一个正整数，利用m 定义整数集Z 上的二元关系：a 〜b 当且仅当m ︱a –b 。