非线性回归模型的线性化讲解

Y 0 1 f1 ( X1 , X 2 ,, X k ) 2 f 2 ( X1, X 2 ,, X k )
p f p ( X1, X 2 ,, X k ) ＋u
令
则可以把原模型转化为一个标准的多元线性回归模型

Z1 f1 ( X1 , X 2 ,, X k ) Z2 f 2 ( X1 , X 2 ,, X k )
yt = a + b/xt + ut 令xt* = 1/xt，得 yt = a + b xt* + ut 上式已变换
成线性回归模型。
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（2） 双曲函数模型
yt = a + b/xt + ut
1/yt = a + b/xt + ut
（3） 对数函数模型
对数函数模型的一般形式为：Yi
令
ln X i ui
首先对上式做倒数变换得：
1 e X i ui Yi
令
1 Yi , X i* e X i Yi
*
பைடு நூலகம்
则可将原模型化为标准的线性回归模型
Yi* X i* ui
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2 可线性化的非线性回归模型的线性化方法
下面几种在研究经济问题时经常遇到的可线性化的非线性 回归模型 （1）指数函数模型
则可将原模型化为标准的线性回归模型：
Yi 0 1 X 2 X k X ui
* * 1i * 2i * ki
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例４.２ ：天津市GDP函数(教材第95页)
对于柯布-道格拉斯（C-D）生产函数模型
i 1, 2,, n 其中，Y表示产出量，K表示资金投入量，L表示劳
通过一些例子来讨论这个问题。
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线性模型的含义
线性模型的基本形式是:
Y 0 1 X 1 2 X 2 ...... k X k u
线性模型的线性包含两重含义： （1）变量的线性 变量以其原型出现在模型之中，而不是以 X 2 或 之类的函数形式出现在模型中。 X
动投入量，u是随机误差项，A、 和 为未知
Yi AKi Li e
ui
参数。试利用天津市1980年~1996年的有关统
计资料，估计天津市全社会的C-D生产函数模型
。
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例４.２
首先建立天津市的C-D生产函数模型
GDP i AKi L i e
两边取对数得到： 令


ui
i=1，2……，17
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例4.2：天津市GDP函数
ˆ Y t
ˆ = -10.46 + 1.02 X1t + 1.47 X2t Y t
(-8.1) (34.7) (6.2)
R2 = 0.9986, DW = 1.7, N = 17 因为1.02 + 1.47= 2.49，所以此生产函数属于规模报酬递增函数。
3、不可线性化的非线性回归模型估计方法（不要 求掌握）
非标准线性回归模型的一般形式为：
Y 0 1 f1 ( X1 , X 2 ,, X k ) 2 f 2 ( X1, X 2 ,, X k )
p f p ( X1, X 2 ,, X k )
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4.2线性化方法
1、非标准线性回归模型的线性化方法 非标准线性回归模型的线性化方法是变量替换法。 非标准线性回归模型的一般形式为：
R2 = 0.9998, N = 15
另一种多项式方程的表达形式是
yt = b0 + b1 xt + b2 xt2 + ut 令x 1t = xt，x 2t = xt 2，上式线性化为， yt = b0 + b1 x1t + b2 x2t + ut 如经济学中的边际成本曲线、平均成本曲线与左图相似。
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2 虽然被解释变量Y与解释变量 X1 , X 2 ,, X k 和未 知参数 0 , 1 ,, p 之间不存在线性关系，但是可 以通过适当的变换将其化为标准的线性回归模型 ，这种类型的非线性回归模型称为可线性化的非 线性回归模型． 如柯布－道格拉斯生产函数模型：Yi AKi Li e
（2）参数的线性 因变量Y是各参数βi的线性函数。
这种模型称为标准的线性回归模型．
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非线性回归模型的分类： 1 虽然被解释变量Y与解释变量 X1 , X 2 ,, X k之间 不存在线性关系，但与未知参数 0 , 1 ,, p 之间 存在着线性关系，这种类型的非线性回归模型被 称为非标准线性回归模型。 其一般形式为：
ln GDP i ln A ln Ki ln Li ui
Yi ln GDP i , X 1i ln Ki , X 2i ln Li
0 ln A, 1 , 2 则可将C-D生产函数模型转换成标准的二元线性回归模型
Yi 0 1 X1i 2 X 2i ui
60 50
0.8 1.2 1.0
40
0.6
30 20 10 0 -10 50 100 150 200 250 300 350 400
0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 50 100 150 200 250 300 350 400
yt aebxt ut ,
(b 0)
yt aebxt ut ,
第四章 非线性回归模型的线性化
4.1变量间的非线性关系 迄今为止，我们已解决了线性模型的估计问题。
但在实际问题中，变量间的关系并非总是线性关
系，经济变量间的非线性关系比比皆是。如大家所
熟悉的柯布-道格拉斯生产函数:
Q AK L
就是一例。
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在这样一些非线性关系中，有些可以通过代数 变换变为线性关系处理，另一些则不能。下面我们
X i* ln X i
则可将原模型化为标准的线性回归模型
Yi X ui
* i
7 6 5 4
2 5 4
(β < 0)
3
1
(β > 0)
3 2
0 50 100 150 200 250 300 350 400
1 50 100 150 200 250 300 350 400
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（4） 、S-型曲线模型 S-性曲线模型的一般形式为： 1 Yi e X i ui
(b 0)
（1）指数函数模型
指数函数模型的一般形式为
Yi AebXi ui
对上式两边取对数得到
ln Yi ln A bX i ui
令
Yi* ln Yi , ln A
则可将原模型化为标准的线性回归模型；
Yi* bX i ui
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（2）幂函数模型（全对数模型）
( b1>0, b2>0)
(b1<0, b2 <0
（2） 双曲函数模型
1 1 ui 双曲函数模型的一般形式为： Yi Xi 1 1 令 * * Yi , Xi Yi Xi
则可将原模型化为标准的线性回归模型
Yi X ui
* * i
双曲线函数还有另一种表达方式，
令
Z1i X i , Z2i X i2 ,, Zki X ik
Y 0 1Z1i 2 Z2i k Zki ui
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则可将原模型化为标准的线性回归模型
例： 令
yt = b0 +b1 xt + b2 xt2 + b3 xt3 + ut x 1t = xt，x 2t = xt2，x 3t = xt3，上式变为
ui
3 如果被解释变量Y与解释变量 X1 , X 2 ,, X k 和未 知参数 0 , 1 ,, p 之间都不存在线性关系，而且 也不能通过适当的变换将其化为标准的线性回归 模型，这种类型的非线性回归模型称为不可线性 化的非线性回归模型．
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4.2线性化方法
1、非标准线性回归模型的线性化方法 非标准线性回归模型的线性化方法是变量替换法。
yt = b0 +b1 x 1t + b2 x 2t + b3 x 3t + ut 这是一个三元线性回归模型。如经济学中的总成本与产 品产量曲线与左图相似。
( b1>0, b2>0, b3>0)
(b1<0, b2>0, b3<0)
例4.1：总成本与产品产量的关系（课本91页）
Ｃ＾t= 2434.7+ 85.7 xt - 0.028 xt2 + 0.00004 xt3 (1.8) (12.0) (-2.8) (9.6)

Z p f p ( X1, X 2 ,, X k )
Y 0 1Z1 2 Z2 p Z p u
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下面介绍在经济问题时经常遇到的几种非标准线性 回归模型 （1）多项式函数模型
多项式函数模型的一般形式为：
Yi 0 1 X i 2 X i2 k X ik ui
Y 0 1 f1 ( X1 , X 2 ,, X k ) 2 f 2 ( X1, X 2 ,, X k )
p f p ( X1, X 2 ,, X k )
其中 f1 ,, f p 是关于 X1 , X 2 ,, X k 的p个已知的非 线性函数， 0 , 1 ,, p 是（p+1）个未知参数．
幂函数模型的一般形式为：
k ui 2 1 Yi AX1 X X i 2i ki e
对上式两边取对数得到：
ln Yi ln A 1 ln X1i 2 ln X 2i k ln X ki ui
令
* * Yi* ln Y , 0 ln A, X1*i ln X1i , X 2 ln X , , X i 2i ki ln X ki