第四章 多自由度系统的振动分析

2
2
2 x ( 2 x
T qi
0
U qi
m kx 0 x
Qi 0
对于系统中质量较多时，运用牛顿力方程较为复杂，而拉格朗日方程 或能量法较为简便。拉格朗日方程提供了解决有限自由度完整系统运动的 一个普遍的简单而又统一的方法。
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4.2 多自由度系统的运动微分方程
优点：分别考虑了人与车、车与 车轮、车轮与地面之间的 相互耦合，模型较为精确
k2
c2
k2
Байду номын сангаас
c2
m轮 m
k3 c3 k3
m轮
c3
问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？
5
4.1 多自由度系统
多自由度振动系统振动分析需要求解多 个联立的运动微分方程组，各变量之间存在 着相互耦合的现象，即力学模型的各质量， 弹簧，阻尼元件之间存在力的相互作用，数 学方程之间存在变量上的联系。那么，如何 实现解耦，也即是怎么得到如同单自由度系 统的完全独立的运动微分方程。然后将多个 单自由度系统方程的求解结果进行叠加得到 多自由度系统的解，这就是振型叠加法，也 称为模态分析法。
4.2 多自由度系统的运动微分方程
现分析求出图所示的三自由度系统的刚度矩阵。
首先令
x1 1 x2 x3 0
k 1变形量 1 1， k 2 变形量 2 1， k 3 变形量 3 0
在此条件下系统保持平衡，按定义需加于三物块的力
k 11 、 k 21 、 k 31
画出各物块的受力图根据平衡条件，有
当微幅振动时，对高阶项可取cos ≈1， sin ≈ 0，对低阶项 sin ≈ ，略去高阶项，方程组可简化为：
m m l kx 0 x m m l m g 0 x
两式相减得到 mg kx x
mg k
x
2
1
简化后： T
1
2 2 ml ml x cos 图1 摆振系统 2
势能：
U
1 2
kx mgl (1 cos )
2
3）广义外力为零，即
Qi 0
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4.2 多自由度系统的运动微分方程
4）运动方程（分别对x和 求偏导数，得出系统的运动微分方程为：）
d dt
(
T qi
)
T qi

U qi
Q i 0 , i 1, 2 , 3 ... n
（1）对变量x求偏导，得到系统的一个运动微分方程，其中： 1 1 由于： ( l cos ) ] 2 m [( l sin ) ] 2 T m[ x
2 2
d dt
13
T
1
4.2 多自由度系统的运动微分方程
U
1 2
kx mgl (1 cos )
2
U
m gl s in
由拉格朗日方程：
T T U ( ) 0 dt d
方程2为：
2 ml cos ml ml x sin mgl sin 0 x
例2 图示系统，摆的支点在水平方向受到弹性约束，其总刚 度为k，摆的质量为m，摆长为l。试用拉格朗日方程求出系统 的运动方程。 解：1）以系统的平衡位置为中心，建立如图所示的x及
为广义坐标的坐标系；
2）系统的动能及势能（注意摆的速度方向为切线方向）
动能：T
] 2 1 m [( l sin ) ] 2 m [ x ( l cos ) 2 2 1 2 mx
Theory of Vibration with Applications
第4章 多自由度系统的振动分析
振动理论与应用
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第4章 振动系统的运动微分方程
目录
4.1 多自由度系统
4.2 多自由度系统的运动微分方程
4.1 多自由度系统
例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动
m
k 要求：对轿车的上下振动进行动力学建模 分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合 建模方法1： 将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼 优点：模型简单 缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面之 3 间的相互影响 c
mg k
带入方程2中，得到系统的运动微分方程为：
mg l g 0 k
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4.2 多自由度系统的运动微分方程
三、刚度影响系数和作用力方程
一般情况下，n个自由度无阻尼系统的自由振动的运动微分方程具有以下形式：
m 1 1 x 1 m 1 2 x 2 m 1 n x n k 1 1 x 1 k 1 2 x 2 k 1 n x n 0 m 21 x 1 m 22 x 2 m 2 n x n k 21 x 1 k 22 x 2 k 2 n x n 0 m n1 x 1 m n 2 x 2 m nn x n k n1 x 1 k n 2 x 2 k nn x n 0
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4.2 多自由度系统的运动微分方程
（2）对变量求偏导，得到系统的另一个运动微分方程，其中：
T 1 1 2 2 m [ x ( l cos ) ] m [( l sin ) ] 2 2
T d 1 1 2 ) { m 2 [ x ( l cos ) ]l cos m 2 ( l sin ) } dt dt 2 2 2 2 2 2 2 2 ml cos ml cos ml 2 cos sin ml sin ml 2 sin cos x d (
2 2 2 2 ml cos ml cos ml sin x 2 ml cos ml x
1 m 2[ x ( l cos ) ]( l sin ) m 2 ( l sin )( l cos ) 2 2 2 2 ml sin [ x ( l cos ) ] ml sin cos ml x sin
m 12 m 22 mn 2

m 1n m2n mn n
刚度矩阵
k 11 k 21 K k n1
k 12 k 22 kn2

k 1n k 2n kn n
4.2 多自由度系统的运动微分方程
方程中各项均为力的量纲，因此，称之为作用力方程。
若用矩阵表示，则可写成
x x1 x2
M Kx x
T
0
2 x n x
T
x n ， 1 x x
式中分别是系统的坐标矢量和加速度矢量
4.2 多自由度系统的运动微分方程
质量矩阵
m 11 m 21 M m n 1
m cos ml m x sin mg sin 0 x
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4.2 多自由度系统的运动微分方程
因此，摆的运动微分方程组为：
m ml cos ml sin kx 0 x
2 ml cos ml ml x sin mgl sin 0 x
基本形式：
d dt ( (T U ) qi ) (T U ) qi Q i , i 1, 2 , 3 ... n
（1）
其中：T-U为拉格朗日函数，是系统动能T与势能U之差。 n为系统的自由度； qi为系统的第i个广义坐标， Qi为系统的阻尼力和外加激振力的合力；
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4.2 多自由度系统的运动微分方程
k 11 k 21 K k n1 k 12 k 22 kn2 k 1n k 2n kn n
刚度矩阵

刚度矩阵中的元素称刚度影响系数(在单自由度系统中，简 称弹性常数)。它表示系统单位变形所需的作用力。具体地说， 如果使第j个质量沿其坐标方向产生单位位移，沿其它质量的坐 标方向施加作用力而使它们保持不动，则沿第i个质量坐标方向 施加的力，定义为刚度影响系数kij；在第j个质量坐标方向上施 加的力称刚度影响系数kjj 。由刚度影响系数的物理意义，可直 接写出刚度矩阵，从而建立作用力方程，这种方法称为影响系 数法。
(
T x
)
d dt
{
1
m 2 [ x ( l cos ) ]}
2 m ml cos ml sin x
T x
方程1为：
0
U x
kx
m ml cos ml sin kx 0 x
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4.2 多自由度系统的运动微分方程
一、牛顿第二定律
第一步：建立系统的广义坐标
第二步：质体的受力分析，沿各广义坐标方向的合外力 平衡 第三步：建立系统的运动微分方程组，该方程组为二阶 常系数线性微分方程组。
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4.2 多自由度系统的运动微分方程
二、拉格郎日方程
拉格朗日方程是建立系统振动微分方程的普遍方法。
k ij k
ji
刚度矩阵一般是对称的。
实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即
K K
T
4.2 多自由度系统的运动微分方程
对于图所示的系统，可用刚度影响系数来建立其运动微分方程。
应用叠加原理可得到
m 1 1 k 11 x 1 k 12 x 2 k 13 x 3 0 x m 2 2 k 21 x 1 k 22 x 2 k 23 x 3 0 x m 3 3 k 31 x 1 k 32 x 2 k 33 x 3 0 x
x1 x 2 0， x 3 1
画出受力图，有
k 13 0 ， k 23 k 3 ， k 33 k 3
4.2 多自由度系统的运动微分方程
因此刚度矩阵为
k1 k 2 K k2 0
k2 k1 k 3 k3
0 k3 k3
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4.1 多自由度系统
多自由度系统的几点思考： • 选取不同的广义坐标，将获得不同的描述系 统的动力学方程。 • 能否选取某种广义坐标，使得所列系统的动 力学方程既不存在惯性耦合（动力耦合）， 又不存在弹性耦合（静态耦合）。 • 具有上述特点的广义坐标称之为主坐标。但 通常情况下，主坐标难以直接确定出来。 • 如何建立多自由度系统的运动微分方程
方程（1）可变形为： d
(
T qi
)
T qi
1 2

U qi
2
dt
Q i 0 , i 1, 2 , 3 ... n
U 1 2 kx
2
例：无阻尼单自由度自由振动系统：
T
mx
d dt
(
T qi
)
d dt
( (
1
mx ) ) m x 1 kx ) kx
k 11 k 1 1 k 2 2 k 1 k 2， k 21 k 2 2 k 2， k 31 0
4.2 多自由度系统的运动微分方程
同理，令
x 1 0 ， x 2 1， x 3 0
画出受力图，则有
最后令
k 12 k 2 ， k 22 k 2 k 3 ， k 32 k 3
4.1 多自由度系统
m人
k1
c1
m车
建模方法2： 车、人的质量分别考虑，并考虑各自的 弹性和阻尼 k2 c2
优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合 缺点：没有考虑车与车轮、车轮与地面之间的相互影响
4
4.1 多自由度系统
m人
k1 c1
m车
建模方法3：
车、人、车轮的质量分别考虑， 并考虑各自的弹性和阻尼