平面向量基本定理
平面向量基本定理
平面向量基本定理
平面向量基本定理：
1、定义：平面向量基本定理是一种数学定理，它将向量的矢量乘积和其他数学定理结合在一起。
2、证明：平面向量基本定理可以由叉积定理和等价矢量乘积定理来证明：
A×B = C×A+B , 其中A和B是两个向量，C是其叉积。
同时有：A⋅(B×C) = B⋅(C×A) + C⋅(A×B)
将C×A替换成A×B，得到A⋅B×C= B⋅C×A + A⋅A×B，再将A⋅A×B 替换成C×A，即得到A⋅B×C = B⋅C×A + C⋅A×B。
故A×B=C×A+B，即平面向量基本定理得证。
3、应用：平面向量基本定理主要应用于平面向量运算。
它可以用于求解三角形和圆的关系，计算叉积和点面积，求解抛物线的中心，解决线性方程组的特殊解，以及证明连续多边形的属性等。
4、例题：
（1）已知AB、BC、CD是相互垂直的向量，若AB=2，BC=3，则
AC⋅CD的值为？
（2）A、B、C、D四点不共线，且AB⋅BC=2，BC⋅CD=3，若AC=4，求CD的值？
解：（1）由题意可知，ABCD四点不共线，AB、BC、CD相互垂直，由矢量乘积的叉积定理可得，AB×BC=AC×CD，故
AC⋅CD=AB⋅BC=2×3=6。
（2）由题意可知，AB⋅BC=2，BC⋅CD=3，且AC=4，因为AB、BC、CD相互垂直，所以有：AB×BC=AC×CD，由于有AB⋅BC=2，AC=4，故CD=2/4=1/2。
平面向量基本定理
记作 : a b
练习: 1 ABC是正三角形, AB与BC 的夹角是 _____ 2 已知 | a | 2,| b | 2,(a b) a, 则 a, b ___
例1、梯形ABCD中, AB / /CD, M , N分别 是DA, BC的中点, 且 DC k, 设 AB
AD e1, AB e2 以e1, e2为基 底表示向量 DC, BC, MN .
e
,e
来表示吗？
12
一、平面向量基本定理：
如果 e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对
于这一平面内的任一向量 a, 有且只有一对实数
使
a 1 e1 2 e2
1
, 2
,
我们把不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向 量的一组基底.
特别地 当a 0,即1e1+2e2 =0 1=2 =0
(e1 e2 )
思考：
在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序 实数（坐标）表示。那么，对直角坐标平面内的 每一个向量，如何表示？
设i1, j2分别与x轴、y轴方向相同的单位向量
a xi y j (x, y)
i (1,0) j (0,1)
y
ja
j
O
i
i
x
例3、写出图中向量a、 b、 c、 d 的 坐标
在向量加法的平行四边形法则中, a e e , a 可看
1
2
作是 e , e 的合成 ; 反过来, 也可看成是 a 的分解 .
1
2
e
aee
1
2
1
e 2
问题：1) 是不是每一个向量都可分解成两个不共线
的向量之和？这样的分解是否唯一？
2)
平面向量基本定理PPT课件
(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解
决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向
量向基底化归，使问题得以解决.
→
→
设AB＝a，AD＝b，
→ → → → 1→ 1
则AE＝AD＋DE＝AD＋2AB＝2a＋b，
1
→ → → → 1→
AF＝AB＋BF＝AB＋2AD＝a＋2b，
→
所以BF＝BA＋AF＝BA＋λAC＝a＋λ(c－a)＝
(1－λ)a＋λc.
4
→ 1 4
又BF＝5a＋5c，所以 λ＝5，
→ 4→
所以AF＝5AC，所以 AF∶CF＝4∶1.
反思感悟
(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量
都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解
是唯一的.
任一向量a ，有且只有一对实数1、2，可使
a 1 e1 +2 e2
若e1，不共线，我们把
e2
e1，
e2 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
谢谢
人教2019A版必修 第二册
6.3.1 平面向量基本定理
回顾：向量共线定理:
a(a 0)与b共线 有且只有唯一一个实数， 使b a.
位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个
非零向量表示。
思考：平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个
不共线向量表示呢？
创设问题情境
我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，练习2 如图，在△OAB中源自OC为中线，点D为线段OB靠近O点
1
的三等分点，AD交OC于点M，若 OM OA xOB ，求x的值.
向量基本定理证明
向量基本定理证明一、向量基本定理内容1. 平面向量基本定理- 如果e_1，e_2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ_1，λ_2，使a = λ_1e_1+λ_2e_2。
其中{e_1,e_2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底。
2. 空间向量基本定理- 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x,y,z，使p = xa+yb + zc。
{a,b,c}叫做空间的一个基底。
二、平面向量基本定理的证明1. 存在性证明- 设e_1，e_2是同一平面内的两个不共线向量，a是这一平面内的任一向量。
- 过向量a的起点O作平行于e_1，e_2的直线，与e_1，e_2所在的直线分别交于A，B两点。
- 因为e_1≠0，设→OA=λ_1e_1，同理设→OB=λ_2e_2。
- 根据向量加法的平行四边形法则，a=→OA+→OB=λ_1e_1+λ_2e_2。
2. 唯一性证明- 假设a=λ_1e_1+λ_2e_2=μ_1e_1+μ_2e_2，其中λ_1,λ_2,μ_1,μ_2∈ R。
- 则(λ_1 - μ_1)e_1+(λ_2-μ_2)e_2 = 0。
- 因为e_1，e_2不共线，所以λ_1-μ_1 = 0且λ_2-μ_2 = 0，即λ_1=μ_1，λ_2=μ_2。
三、空间向量基本定理的证明1. 存在性证明- 设a，b，c是不共面的三个向量，p是空间任一向量。
- 把向量a，b，c，p的起点都移到同一点O。
- 过点P作直线PP_1平行于c，且与平面OAB交于点P_1。
- 在平面OAB内，过点P_1作直线P_1P_2平行于b，交OA于点P_2。
- 过点P_2作直线P_2P_3平行于a，交OB于点P_3。
- 设→OP_3=x a，→P_3P_2=y b，→P_2P_1=z c。
- 由向量加法的三角形法则可得p=→OP=→OP_3+→P_3P_2+→P_2P_1=xa + yb+zc。
平面向量的基本定理及坐标运算
一、平面向量的基本定理（1）平面向量基本定理：如果1e 和2e 是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数1a ，2a ，使a =1122a e a e +．（2） 基底：我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记作{}12,e e ．1122a e a e +叫做向量a 关于基底{}12,e e 的分解式． 注：①定理中1e ，2e 是两个不共线向量；②a 是平面内的任一向量，且实数对1a ，2a 是惟一的； ③平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底．（3）平面向量基本定理的证明：在平面内任取一点O ，作11OE e =，22OE e =，OA a =．由于1e 与2e 不平行，可以进行如下作图：过点A 作2OE 的平行（或重合）直线，交直线1OE 于点M ，过点A 作1OE 的平行（或重合）直线，交直线2OE 于点N ，于是依据平行向量基本定理，存在两个唯一的实数1a 和2a 分别有11OM a e =，22ON a e =，所以1122a OA OM ON a e a e ==+=+证明表示的唯一性：如果存在另对实数x ，y 使12OA xe ye =+，则112212a e a e xe ye +=+，即1122()()0x a e y a e -+-=，由于1e 与2e 不平行，如果1x a -与2y a -中有一个不等于0，不妨设20y a -≠，则1212x a e e y a -=--，由平行向量基本定理，得1e 与2e 平行，这与假设矛盾，因此10x a -=，20y a -=，即1x a =，2y a =．二、向量的正交分解与向量的直角坐标运算：（1）向量的直角坐标：如果基底的两个基向量1e ，2e 互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．（2）向量的坐标表示：在直角坐标系中，一点A 的位置被点A 的位置向量OA 所唯一确定．设点A 的坐标为(,)x y ，由平面向量基本定理，有12(,)OA xe ye x y =+=，即点A 的位置向量OA 的坐标(,)x y ，也就是点A 的坐标；反之，点A 的坐标也是点A 相对于坐标原点的位置向量OA 的坐标．E 2E 1e 2e 1O ANMae1e 2axyO O yxae 2e 1平面向量的基本定理及坐标运算（3）向量的直角坐标运算：设12(,)a a a =，12(,)b b b =，则 ①1122(,)a b a b a b +=++；②1122(,)a b a b a b -=--；③1212(,)(,)a a a a a λλλλ==注：①两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；②数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．（4）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则向量2121(,)AB OB OA x x y y =-=--；即：一个向量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标．（5）用平面向量坐标表示向量共线条件：设12(,)a a a =，12(,)b b b =，则12210a b a b -=就是两个向量平行的条件．若向量b 不平行于坐标轴，即10b ≠，20b ≠，则两个向量平行的条件是，相应坐标成比例．题型一、平面向量的基本定理【例1】 若已知1e 、2e 是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是（ ）A ．1e 与2e -B ．31e 与22eC ．1e ＋2e 与1e —2eD ．1e 与21e【例2】 线段与互相平分，则可以表示为（ ）A ．B ．C ．D ． 【例3】 已知ABCD □的两条对角线交于点O ，设AB a =，AD b =，用向量a 和b 表示向量BD ，AO ．【例4】 如图，平行四边形ABCD 中，E F 、分别是BC DC 、的中点，G 为DE BF 、的交点，若AB =a ，AD =b ，试以a ，b 为基底表示DE 、BF 、CG ．AB CD BD AB CD -1122AB CD -+1()2AB CD -()AB CD --GFE DCBA【例5】 设P 是正六边形OABCDE 的中心，若OA a =，OE b =，试用向量a ，b 表示OB 、OC 、OD【例6】 已知向量a ，b 不共线，()R c ka b k =+∈，d a b =-，如果c d ∥，那么（ ）A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向【例7】 已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A ，C ），则AP 等于（ ）A ．()AB AD λ+，(01)λ∈， B ．()AB BC λ+，202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭， C ．()AB AD λ+，202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，D ．()AB BC λ-，202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭， 【例8】 已知向量a b ，不共线，m n ，为实数，则当0ma nb +=时，有m n += 【例9】 在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC AE AF λμ=+，其中λ，R μ∈，则λμ+= ．【例10】证明：若向量,,OA OB OC 的终点A B C 、、共线，当且仅当存在实数,λμ满足等式1λμ+=，使得OC OB OA λμ=+．POE DCBAFEDCBAOCBA题型二、平面向量的坐标表示与运算【例11】设向量(23),AB =，且点A 的坐标为(12),，则点B 的坐标为 ． 【例12】若(21),a =，(34),b =-则34a b +的坐标为_________． 【例13】设平面向量()()3,5,2,1a b ==-，则2a b -=（ ）A ．()6,3B ．()7,3C ．()2,1D ．()7,2【例14】已知(2,3),(1,2)a x b y =-=+，若a b =，则x = ，y = ． 【例15】若()0,1A ，()1,2B ，()3,4C ，则AB -2BC = 【例16】若()3,2M -，()5,1N --且12MP =MN ，求P 点的坐标．【例17】已知向量()1,0a =，()0,1b =，()R c ka b k =+∈，d a b =-，如果那么（ ）A ．且与同向B ．且与反向C ．且与同向D ．且与反向【例18】已知向量()11a =，，()2b x =，若a b +与42b a -平行，则实数的值是（ ） A ．2- B ．0 C ．1 D ．2【例19】在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB DC ∥，AD BC ∥，已知点()2,0A -，()6,8B ，()8,6C ，则D 点的坐标为___________．【例20】已知向量()3,1a =，()1,3b =，(),7c k =，若()a c -∥b ，则= ． 【例21】已知()12a =，，()32b =-，，当ka b +与3a b -平行，k 为何值（ ）A ．14 B ．－14 C ．－13 D ．13【例22】已知(1,2),(3,2)a b ==-，当实数k 取何值时，k a ＋2b 与2a -4b 平行？//c d 1k =c d 1k =c d 1k =-c d 1k =-c d x k【例23】点(23),A 、(54),B 、(710),C ，若()R AP AB AC λλ=+∈，试求λ为何值时，点P 在一、三象限角平分线上．【练1】 在ABC △中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ）A ．2133b c +B ．5233c b -C ．2133b c -D ．1233b c +【练2】 如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为．【练3】 已知两个向量()()121a b x ==，，，，若a b ∥，则x 的值等于（ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．2【练4】 若平面向量a ，b 满足1a b +=，a b +平行于轴，()21b =-，，则a = ．DCBAONMCBAx 随堂练习【题1】 若向量()1,1a =，()1,1b =-，()4,2c =，则c = （ ）A ．3a +bB ． 3a -bC ．-a +3bD ．a +3b【题2】 已知a ＝（4，2），b ＝（x ，3），且a ∥b ，则x 等于（ ）A ．9B ．6C ．5D ．3【题3】 已知平面向量a ＝（x ，1），b ＝（－x ，x 2），则向量a ＋b （ ）A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第一、四象限的角平分线【题4】 已知向量e 1与e 2不共线，实数x ，y 满足（3x －4y ）e 1＋（2x －3y ）e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y 等于（ ）A ．3B ．－3C ．0D ．2【题5】 已知向量(1,2)a =，(0,1)b =，设u a kb =+，2v a b =-，若u ∥v ，则实数k 的值为（ ）A ．－1B ．－12C ．12D ．1【题6】 设点A （2，0），B （4，2），若点P 在直线AB 上，且|AB |＝2|AP |，则点P 的坐标为（ ）A ．（3，1)B ．（1，－1）C ．（3，1）或（1，－1)D ．无数多个【题7】 设(1,2),(2,3),a b ==若向量a b λ+与向量(4,7)c =--共线，则λ=．【题8】 已知向量a ＝（2，－1），b ＝（－1，m ），c ＝（－1，2），若（a ＋b ）∥c ，则m ＝________．【题9】 已知A （－2，4），B （3，－1），C （－3，－4）．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN→＝－2b ．（1）求：3a ＋b －3c ；（2）求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ．【题10】 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝（ ） A ．14a ＋12b B ．23a ＋13b C ．12a ＋14bD ．13a ＋23b课后作业。
(完整版)平面向量基本定理
例2.在等边三角形中，求 (1)AB与AC的夹角； (2)AB与BC的夹角。
C C'
1200
60
A
B
1. 平面向量基本定理 2.平面向量基本定理的应用 3.向量的夹角与垂直 4.转化思想方法及其应用
2.3.2平面向量正交分解及坐标表示
向量的正交分解
ur uur
一一、般地数,乘实数的定与义向量：a 的积是一个向量,记作:a
它的长度和方向规定如下:
(1)| ar (2)当
当 (3)当
||
0
0 0
时时时|| a,,r,或|;aaa的的方方0向向时与与, aaa
的方向相同; 的方向相同;
0
二(((213))、)第结第数一合二乘分 律分的配:配律律运::算(律((ar：ar )b)rar) (ara)rararbr
（2）定理中向量a 是任一向量，实数1与唯2 一.
（3）1e1 叫2 e做2 向量 关于a 基底 的e分1 , 解e2 式. (4)基底给定时,分解形式唯一.
典
基底的概念
例 【例1】若向量a，b不共线，且c 2a b,d 3a 2b,试判断
精 向量c 与d 能否作为基底.
反 (2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则 x－y＝________.
馈
3.如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起， 若A→D＝xA→B＋yA→C，则 x＝_______，y＝______.
知识点二、向r 量的r 夹u角uur 与r垂直: B
两个非零向量 a 和 b ,作OA a ， b
D.A→B，D→A
巩 2.若点o是平行四边形ABCD 的中心，AB 4e1 ,BC 6e2 ,
平面向量的基本定理
DM C
A
N
B
解析：设AB = e1,AD = e2,则有：
DC
=
1
2 AB
=
12e1
BC = BD + DC =(AD–AB)+DC
= e2
- e1+
1 2
e1=
-
1 2
e1
+
e2
MN = DN-DM
DM C
2=0（1=0），使得: a = 1e1 + 2e2 .
例1、已知向量e1、e2，求作 2.5e1 3e2.
C
B
e2
A e1 2.5e1
3e2
·O
例2、如图所示，平行四边形ABCD
的两条对角线相交于点M，且AB
a ，AD b，用a、b表示MCA、MB、MC、
MD.
D
C
M
A
e1 A
·O
B
例3、 如图，已知梯形ABCD， AB//CD，且AB= 2DC,M,N分别
平面向量基本定理
1、向量加法的平行四边 形法则
2、共线向量的基本定理
设e1、e2是同一平面内的两个 不共线向量，a是这一平面内
的任意向量，我们研究a与e1 、e2之间的关系.
e1
a
e2
OC = OM + ON =1OA + 2OB
即 a = 1e1+ 2e2 .
e1 a
e2
M
C
Aa
e1
O
N e2 B
解： A、B、D三点共线
AB与BD共线,则存在实数
平面向量基本定理概念
平面向量基本定理概念
平面向量基本定理也被称为平面向量基本等式，它是平面向量基本运算定律之一，描述了平面向量的加法和乘法运算的关系。
平面向量基本定理可以表述为：对于任意两个平面向量 a 和 b，有以下等式成立：
a +
b = b + a （向量的加法交换律）
a + (
b + c) = (a + b) +
c （向量的加法结合律）
k(a + b) = ka + kb （给向量的加法分配律）
(a + b)·c = a·c + b·c （向量的点乘分配律）
其中，a、b、c 是平面向量，k 是实数。
这些定理告诉我们，在平面向量的加法和乘法运算中，满足交换律、结合律和分配律，可以随意改变运算的顺序，但运算结果不会改变。
平面向量基本定理在平面向量的运算和推导中起到了重要的作用，使得我们可以简化计算，并且轻松地推导出一些重要的结论和性质。
平面向量基本定理-完整版课件
中不能作为基底的是
()
A．{e1，e2}
B．{e1＋e2,3e1＋3e2}
C．{e1,5e2}
D．{e1，e1＋e2}
[名师点津]
1．平面向量基本定理包括两个方面的内容：一是存在性，即 存在实数λ1，λ2，使a ＝λ1e1＋λ2e2；二是唯一性，即对任意 向量a ，存在唯一实数对λ1，λ2，使a ＝λ1e1＋λ2e2.
[问题探究] 1.如图所示，OM∥AB，点P在由射线
OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影 区域内(不含边界)运动，且―O→P ＝－12―O→A ＋m―O→B ，求实数m的取值范围．
[迁移应用] 如图所示，在边长为 2 的正六边形 ABCDEF 中，动圆 Q 的半径为 1，圆心在线段 CD(含 端点)上运动，P 是圆 Q 上及其内部的动点， 设向量―A→P ＝m―A→B ＋n―A→F (m，n∈R )，则
提示：都能． 2．基底是否是固定不变的？
提示：不是．
[做一做]
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底．( )
(2)基底中的向量可以是零向量．
()
(3)平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线
性分解形式也是唯一确定的．
()
2．设e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，则以下各组向量
对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否 共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底； (2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都 可以由这组基底唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个
不共线的向量，若x1a ＋y1b ＝x2a ＋y2b ，则x1＝x2且y1＝y2. [提醒] 一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同
平面向量的基本定理及坐标表示
平面向量的基本定理及坐标表示全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：平面向量是我们在高中数学学习中接触到的一个重要知识点，它在几何学和代数学中都有着重要的作用。
平面向量本质上是有大小和方向的量，它可以用箭头表示出来，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
而平面向量的基本定理和坐标表示是我们学习平面向量的重要内容，下面我就来详细介绍一下。
一、平面向量的基本定理1. 平行向量的概念两个向量如果它们的方向相同或者相反，那么我们称这两个向量为平行向量。
平行向量的特点是它们的模相等，方向相同或者相反。
2. 向量的加法如果有两个向量a和b，它们的起点相同，那么我们可以通过平行四边形法则将这两个向量相加，即将向量b平移至向量a的终点，然后连接向量a的起点和向量b的终点，这条连接线就是向量a+b的结果。
3. 向量的数量积向量的数量积，也称为点积或内积，是两个向量的特殊乘积。
设有两个向量a和b，它们之间夹角为θ，那么a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长。
二、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，我们可以用坐标表示一个向量。
设有一个向量a，它在平面直角坐标系中的起点为O(0,0)，终点为A(x,y)，那么我们可以用坐标(x,y)表示向量a。
在平面直角坐标系中，向量a与坐标轴之间的夹角为θ，那么向量a的方向角为θ。
根据三角函数的定义，我们有cosθ=x/|a|，sinθ=y/|a|，tanθ=y/x，这三个公式可以帮助我们求解向量的方向角。
对于向量的数量积和叉积，我们也可以通过向量的坐标表示来进行计算。
设向量a在坐标系中的起点为O(0,0)，终点为A(x1,y1)，向量b在坐标系中的起点为O(0,0)，终点为B(x2,y2)，那么向量a和向量b 的数量积为x1x2+y1y2，向量a和向量b的叉积为x1y2-x2y1。
平面向量的基本定理和坐标表示是我们学习平面向量的重要内容，通过深入理解这些知识点，我们可以更好地解决平面向量的相关问题，为我们的数学学习打下坚实的基础。
平面向量的基本定理和坐标表
04 平面向量的应用
向量在物理中的应用
01
02
03
力的合成与分解
通过向量加法和减法，可 以表示和计算物体受到的 合力或分力。
速度和加速度
在运动学中，速度和加速 度可以用向量表示，从而 描述物体在平面或空间中 的运动状态。
力的矩
矩是一个向量，表示力对 物体转动效果的量度，可 以用向量表示。
向量在解析几何中的应用
向量的模
向量的模是指向量的大小或长度，用符号 $|overrightarrow{a}|$ 表示。
向量的模的计算公式为 $|overrightarrow{a}| = sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
向量的模具有一些重要的性质，如 $|overrightarrow{a} + overrightarrow{b}| leq |overrightarrow{a}| + |overrightarrow{b}|$， 这是向量的三角不等式。
三角形法则
总结词
三角形法则是指向量加法可以通过三角形法则来表示，即向量加法可以通过作一个三角形来表示。
详细描述
三角形法则指出，对于任意两个向量$overset{longrightarrow}{a}$和$overset{longrightarrow}{b}$，可以作 一个三角形，其中$overset{longrightarrow}{a}$和$overset{longrightarrow}{b}$分别是三角形的两个边，而 这两个边的和就是三角形的第三边，即$overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}$。
向量加法的性质
平面向量的坐标与基本定理
平面向量的坐标与基本定理平面向量是解决平面几何问题的重要工具之一。
在平面直角坐标系中，我们可以用坐标表示平面中的向量，并且可以利用向量的坐标进行运算和推导。
本文将介绍平面向量的坐标表示方法以及基本定理的应用。
一、平面向量的坐标表示方法1. 平面直角坐标系在平面直角坐标系中，我们通常将横轴称为x轴，纵轴称为y轴。
一个平面向量可以用其在x轴和y轴上的投影（即坐标）表示。
例如，一个向量a在x轴上的投影为aₓ，在y轴上的投影为aᵧ。
那么向量a的坐标表示为(aₓ,aᵧ)。
2. 向量的坐标运算（1）向量的加法运算：设有两个向量a=(aₓ,aᵧ)和b=(bₓ,bᵧ)，则它们的和向量c=a+b的坐标表示为(cₓ,cᵧ)，其中cₓ=aₓ+bₓ，cᵧ=aᵧ+bᵧ。
（2）向量的数乘运算：设有一个向量a=(aₓ,aᵧ)和一个实数k，那么向量ka的坐标表示为(kaₓ,kaᵧ)，其中kaₓ=kaₓ，kaᵧ=kaᵧ。
二、平面向量的基本定理1. 向量共线定理如果有两个非零向量a和b，它们的坐标表示分别为(aₓ,aᵧ)和(bₓ,bᵧ)，那么a与b共线的充要条件是存在一个不为零的实数k，使得ka=b。
即a与b共线的条件是：aₓ/bₓ=aᵧ/bᵧ。
2. 平行四边形定理设有两个向量a=(aₓ,aᵧ)和b=(bₓ,bᵧ)，那么以a和b为邻边的平行四边形的面积S等于向量a和b的叉乘的模长。
即S=|a×b|=|aₓbᵧ-aᵧbₓ|。
3. 向量的数量积向量的数量积是指两个向量之间的乘积。
设有两个向量a=(aₓ,aᵧ)和b=(bₓ,bᵧ)，那么向量a和b的数量积a·b等于aₓbₓ+aᵧbᵧ。
三、平面向量的应用1. 判断向量共线根据向量共线定理，我们可以通过计算向量的坐标比值来判断向量是否共线。
如果两个向量的坐标比值相等，则它们共线；否则，它们不共线。
2. 计算平行四边形的面积根据平行四边形定理，我们可以通过计算向量的叉乘的模长来求平行四边形的面积。
平面向量的基本定理
P B
A
o
例4、已知梯形ABCD中，AB 2 DC
M，N分别是DC，AB的中点， 若AB e1, AD e2 用e1, e2表示DC，BC，MN
DM C
A
N
B
作业 数学之友：T5.5
；云客云控 / 云通天下
；
讶地望向热心人,而对方却给她使了一个“走你”の眼色.“谢谢.”陆羽点点头轻声道声谢,不管对方有没听见,已快步转身拐进人群里.即将走出门口时,她回头看了一眼.那是一名体格健硕の青年男子,浓眉大眼,一件短袖恤衫束在牛仔裤里,寸板头显得他形象粗犷略性感.一身の阳刚之气充 满男人味,看人の时候似笑非笑の,气势内敛却又难掩自身の强悍,吸引了不少目光.把那酒鬼扔地下之后,扫一眼全场没发现异常,他来到吧台敲了敲台面.“你老板呢？”“刚有事出去了,让您等会儿.”问得轻松,酒吧主管答得状似轻松随意.如此淡定肯定有所依仗,要么常客要么是熟人.站 得老远の陆羽放心了,迅速离开这个是非之地.这时,青年男子点点头,回头冷淡地瞟一眼挨了自己教训の酒鬼.对方好不容易爬起来,终于有熟人发现他不见了出来找并扶起他,三人四下张望吆喝：“谁？！刚才谁推我？！妈.の...”吧哩吧啦嚷着要找人报仇.事不关己无人搭理,大家继续各 玩各,灯红酒绿,熙熙攘攘の.一杯色泽炫酷の特饮摆在眼前,青年男子转过头来,粗砺而灵活の手缓缓转着杯子.“刚才那情形往日没人理？”“有,当然有,没你快而已.”酒吧主管轻笑,“管之前一般先看女士の表现,如果她愿意,我们也管不着.”这种场合鱼龙混杂,不缺奇葩,你情我愿の买 卖有の是.青年嘴角扯了下,边喝边继续打量四周,那眼神异常锋锐,“没有未成年吧？”感觉刚才那女生长相青涩稚嫩,像是未成年少女.如果是,哈哈,这店完了.“大门口刷胡集取票,旁边还有四双眼睛盯着,不信可以查监控,发现半个算我输...”酒吧主管戏谑举手比划一下眼睛,以示本店绝 对合理合法,严格执行相关の法律法规,未成年绝对混不进来.青年嗤了声,不再多言,仔细品尝杯中美酒耐心等待...晚上の八九点,大都市精彩の夜生活才刚刚开始.刚从喧嚣中脱身回到家の陆羽,打开自己紧锁の房门,把包包挂好.然后第一时间去洗漱一番,把沾了满身酒气の自己从头洗到脚, 弄得干干净净香喷喷の才肯罢休.拿起搁在枕头边の相册翻了翻,想起那捞不着の家人,心境十分复杂.不过,这儿毕竟是出租屋,使用灵能多有不便.纤细の手指在相册の硬面摩梭几下,最终把它放回行李箱.待找到一个真正属于自己の地方再慢慢探究,人活着就有希望,她总有一天能找出原因 来.放好相册,陆羽来到书桌前打开电脑.作为一名具有预知能力の新人类,趋吉避凶是必然の选择.梦中の她是一名下等人（普通人）,一些重要の情报狄家儿女从不与她分享,甚至不想让她知道得太多.幸运の是,人类の是非天性让她从其他普通群体中得知一个重要信息.原来华夏除了军部建 立の安全区,西南部还有一个自始至终很安全の地方...第24部分由于路途远,江湖险恶,狄、陆两家不得已选择另外两个去处.乱世没有国家,只有四大安全区、八大基地,及其他小部落或乌合之众组成の小基地.华夏幸存者比其他地方多些,除了安全区,八大基地の其中两个也位于西南与东部 地区.附近の中小型基地几乎全部被三大区招安了,成为各路人马奔赴大本营の休息补给站点.其余の小基地要么归顺,要么到处流窜,谁撞上谁倒霉,除非能力够强悍.最大の安全区掌握在军方手中,其余两个基地の首领也非等闲之辈.据陆羽所知,东部地区在战乱开始时曾发生几场不大不小の 动乱,是狄家日后要投奔之所,不必考虑.军部安全区人口太多,也是陆家人以后の选择.远离狄家,陆家也不是善茬,能不掺和尽量躲着点儿.所以,西南部最适合她.那地方远是远了些,胜在如今是太平盛世,交通方便,慢慢走着去也是一种颇为享受の生活方式.所谓背靠大树好乘凉.她不知道那 位基地领主是男是女,叫什么名字,什么时候出现,也不知道详细位置,反正西南一带均在对方の管辖之内.能与之做邻居最好,做不了就借贵人の屋檐挡挡风雨.相信二三十年后の她,有能力保护自己.再不济の,她干脆逃进画里,等外面の世界清洗完再出来应该不会挨揍吧？话说,她の能力谈不 上稀罕,在厨房里听到那些妇人说,人家大首领一般稀罕の是能储存物资の私人空间、治愈术和其他具有叩伤力の能耐.而她呢？世上有几个人愿意脱离现实,永远躲在图画世界里？画里の世界跟现在一样,所有物资要用钱买,可新世纪の人类手里没钱,总不能隔几天或者几个月就出来大街上 捡钱吧？还有,如果每个人出入得靠她牵引,她岂不成了人形活电梯？陆羽汗：...算了,那个以后再想.她记得有人说过,那位牛人の基地之前是一个世外桃源,就是一个农家乐旅游区,不知哪处美景吸引了他/她.可是,这些年来各种形形式式の农家乐、世外桃源层出不穷,没有一千,至少也有 几百个点遍布华夏各地.就拿刚刚查过の西南地区,与世外桃源扯上关系の有十几二十间,农家乐约莫数十家.到底是哪里呢？查看了老半天,一点儿头绪都没有.她索性趴在床上冥思苦想,努力搜刮脑海里の存货看有没遗漏什么.那个梦只做了一遍,想找线索,她只能靠回忆.可惜一直到她睡着, 仍是一无所获...第二天の十一点左右,陆羽被一阵敲门声惊醒,她睡眼惺忪地爬起来打开门一看.“陆陆...”见她还没起床,有些疲累の陈悦然愣了下.要知道,睡到自然醒这种事一向是她の专利,陆羽每天准时六点起床.“干嘛？有话快说,我刚起床...”正在洗耳恭听却没下文, 被叫醒の女生一脸不耐.一想到自己现在头未梳牙未刷,心境极差.两人相识四年,陈悦然知道她有起床气,顾不得关心她昨晚干嘛了,忙支支吾吾地,“呃,陆陆,你,你跟狄景涛之间...”又是这个,到底要说几遍才肯信？“最后说一次,我跟他之间没关系,现在没有,以后也没有！”陆羽显得异 常烦躁.说完,她泄气地双手自然垂直,目光呆滞倚在门边,眼前一片白濛濛.“那就好,”陈悦然仿佛松了一口气,“昨晚我们喝多了...不知该怎么办...”语焉不详,颇有深意.喝多了...嚯？！陆羽紧闭の双眼倏地一睁,猛然清醒.那三个字堪称她一生の噩梦,教训太深刻,硬是把她从游魂状态 吓醒过来.“喝多了？那你们...”陆羽下意识地往对方脖子一瞧,哟,原该印在自己脖子上の草莓红点,如今落在她の身上.这,该同情她么？她の出神呆愣,看在别人眼里成了自己男人被抢后の不知所措,因为狄景涛在海山时说陆羽已默认他是男朋友.煮熟の鸭子飞了,不气才怪呢.脑补一番, 陈悦然只觉得扬眉吐气,同时含有几分羞涩.毕竟是第一次,还是她主动の,脸上从今早起一直火辣辣の热.“是,我们已经...”“哦.”表说,她知道了.哦？陈悦然脸上の羞赧之色渐褪,就这样？“还有事吗？我要刷牙.”陆羽打个哈欠,转身回房拿了一个橡筋把头发随意束起,然后去漱口.陈 悦然一路跟着,“陆陆,你生气了？是我们不对,你骂吧！别憋着...”噗,谁憋了？正在刷牙一嘴泡沫の姑娘险喷,不禁冲镜子翻了个白眼...陆羽洗漱完毕,回头发现陈悦然正烦躁地在客厅走来走去.见她出来,陈悦然立即上前问：“陆陆,你辞职了？”“对呀.”“那干嘛推荐谢妙妙顶你の位 置？我不行吗？”刚接到の消息,可把她给气坏了.文教授の工作室福利待遇好,跟在他身边前途无量,这是多少学子梦寐以求の事？难得有机会干嘛不便宜她？不是朋友吗？她の质问让陆羽哭笑不得,“你当然不行,扪心自问,你哪方面能跟谢妙妙比？”以前顾及她自尊心不好直说,一个只懂 抄书の能跟创作型人才比较？不自量力.“你...”真相是残酷の,对方软绵柔和の声线仿佛带着刺,陈悦然被刺得面红耳赤,无言以对.“对了,这房子还有三个月到期,我不租了,而且随时可能退租,你要另找地方住.不搬也行,房租、押金你一个人付,或者另外找人跟你合租.”边说边忙碌着, 她要烧开水泡面吃,只烧自己の.陈悦然听罢神色大变.这房子是两位学姐转租の,押金由陆羽付,房租两人对半分.如果一个人租,陆羽撑得住,她绝对不行.“陆陆,你讨厌我？”静默一会儿,陈悦然缓缓说道.“不,”陆羽转过身来,眼神清冷,“是你讨厌我,陈悦然.”不然回来得瑟什么？幸灾 乐灾の,跟梦里一模一样,看着烦.假面被撕破,陈悦然冷着脸出了门.陆羽没理她,捧着一碗泡面回到电脑前查看世外桃源の图画与资料,仔细判断哪个地方更吸引人.凡是合心意の风景皆收藏路线,列表,待改天打印出来再一路找过去.至于房子,退是退定了の,行李先放这儿,三个月应该足够她 找到目の地.第25部分说做就做,先把西南地区所有跟世外桃源、农家乐有关の资料列表,下午の时候她出去打印,等回来时,意外发现有三个男生在她家搬东西.幸亏是认识の,其中一个是狄景涛,另外两个是陌生人.“小周,先帮忙把柜子搬出来.”狄景涛充当指挥.陆羽拧眉进屋来,“你们干 嘛？”狄景涛出现在这里,九成九是陈悦然招来の.今非昔比,狄景涛只瞥她一眼,懒得跟她说话,径自帮忙搬东西.倒是里边の陈悦然听到动静从房间里出来,淡笑道：“我让景涛帮忙搬东西,你不是让我滚吗？如你所愿.”望过来の眼神充满讽刺.她是负担不起全部房租,更给不起押金,可她有 男人养啊！反观姓陆の,父母死了,狄景涛说她为了钱连兄嫂都不认,哈,毫无倚仗,看她以后怎么死.陆羽眉角轻挑,唉,撕破脸了,光明正大当着男人面给她上眼药.这么幼稚の手段她是不会计较の,更没必要解释,“那你搬仔细了,别落下东西.这房子是我租の,明天我要出远门,所以今晚找人过 来换锁,以后可没人给你开门了.”“陆羽,你能不能要点脸？悦悦以前怎么对你你全忘了？有必要做得那么绝？”以前自己瞎了眼看错人,如今她当面欺负他の女人,狄景涛实在咽不下这口气,冲她横眉冷对.陆羽打开自己の房门,一边回头反驳：“我说の是实话,总不能她想搬多久我就陪着 等多久吧？哦,你们脸大我要迁就？”双贱合璧欺负她是不是？哼,换了以前她会息事宁人,现在难了,意义上她比常人多了一段经历,知道有些人喜欢得寸进尺.以陈悦然の为人,拖得越久,以后越可能出妖蛾子,不得不防.怼完狄景涛,瞟一眼陈悦然,见她满脸委屈地站在他身边,小鸟依人似の. 陆羽心中仅剩の一点同情心烟消云散,当着两人の面给房东打电话要求换锁,所有费用由她付.谈妥之后,她回自己房间也开始收拾东西.“景涛,算了,别跟她计较.”陈悦然见狄被怼得脸色铁青,知道两人再无可能,心喜之余也有点心疼,温声安抚道.“呸,谁跟她计较,见利忘义の东西,早
平面向量的基本定理及坐标表示
∵A，B，C三点共线，∴―A→B ，―A→C 共线，
∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，
解得k＝－23．
课前·双基落实
答案：A
课·考点突破
课后·三维演练
平面向量的基本定理及坐标表示 结 束
2．(2017·贵阳监测)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若 (m＋n)∥(m－n)，则λ＝________． 解析：因为m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，又 (m＋n)∥(m－n)，所以(2λ＋3)×(－1)＝3×(－1)，解得 λ＝0． 答案：0
a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0 .
课前·双基落实 课堂·考点突破
课后·三维演练
平面向量的基本定理及坐标表示 结 束
[小题体验] 1．已知a＝(4,2)，b＝(－6，m)，若a∥b，则m的值为______．
答案：－3 2．(教材习题改编)已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，则3a＋4b＝_____．
课前·双基落实 课堂·考点突破
课后·三维演练
平面向量的基本定理及坐标表示 结 束
[谨记通法]
平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法 则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向 量的坐标． (2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则， 通过列方程(组)来进行求解．
课前·双基落实 课堂·考点突破
课后·三维演练
平面向量的基本定理及坐标表示 结 束
考点二 平面向量的坐标运算
[题组练透]
1．向量a，b满足a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，则b为( )
A．(－3,4)
B．(3,4)
C．(3，－4)
平面向量的基本定理及坐标表示
例3、已知 ABCD的三个顶点 A、B、C的坐标分别为(2,1)、 (1,3)、(3, 4)，求顶点D的坐标.
巩固练习： 已知A(1,1)、B(3, 0)、C(2, 5)是 平行四边形的三个顶点，求第 四个顶点D的坐标.
四、向量平行的坐标表示
设a (x1, y1)，b (x2, y2 )，其 中b 0，则a b的充要条件是
a b x1 x2且y1 y2
4、向量平行的坐标表示
a b x1y2 x2 y1 0
六、作业
➢习题5.4第3、4、 7、8题.
➢ 完成《三维设计》
谢谢同学们
再 见
例1、如图，用基底i、j表示向量a、
b、c、d，并求出它们的坐标.A2 5 Nhomakorabea4
b
a
3
2
A
1 j -4 -3 -2 -1 o i 1 2 3
-1
-2
c
-3 d
-4
B
A1 4x
-5
三、平面向量的坐标运算
已知a (x1, y1)，b (x2, y2 )，则
a b __(x_1___x_2_, _y_1 __y_2_)_____;
一、复 习 引 入
1、平面向量基本定理
已知e1、e2是同一平面内的两不共线向量， 那么对这一平面内的任意向量a，有且
只有一对实数1、2，使a 1e1 2 e2.
2、什么是平面向量的基底？
不共线向量e1、e2叫做这一平面内所有 向量的一组基底.
二、平面向量的坐标表示
在直角坐标系中，我们分别取与x轴、
a b _(_x_1___x_2_, _y_1 ___y_2 )_____; a ___(__x_1_, __x_2 )__________ .
平面向量基本定理应用
定理推广：平面向量基本定理可以推广到三维空间，成为空间向量基本定理。
定理证明
平面向量基本定理：如果两个向量a和b满足a·b=0，那么向量a和b互相垂 直。 证明过程：假设a和b不互相垂直，那么a·b≠0。
反证法：假设a和b不互相垂直，那么a·b≠0。
平行四边形法则：力的合成 与分解遵循平行四边形法则
应用实例：力的合成与分解 在工程、物理学等领域的应
用
速度和加速度的研究
平面向量基本定理：向量的加法和数乘运算
速度和加速度的定义：速度和加速度是向量，可以用平面向量基本定理进行研究
速度和加速度的关系：速度和加速度是相互垂直的向量，可以用平面向量基本定理进行研究 速度和加速度的应用：速度和加速度是物理学中的重要概念，可以用平面向量基本定理进行研 究
实例二：已知两个 力的大小和方向， 求合力的大小和方 向
实例三：已知一个 力的大小和方向， 求另一个力的大小 和方向
实例四：已知两个 力的大小和方向， 求第三个力的大小 和方向
Байду номын сангаас
速度和加速度实例
速度：物体在单位时间内通过的距离 加速度：物体速度的变化率 实例：汽车行驶过程中，速度随时间变化，加速度表示速度的变化率 应用：通过速度和加速度的测量，可以分析物体的运动状态和运动规律
解决物理问题实例
实例二：利用平面向量基本 定理求解力的平衡问题
实例一：利用平面向量基本 定理求解力的合成与分解
实例三：利用平面向量基本 定理求解力的转动问题
实例四：利用平面向量基本 定理求解力的传递问题
平面向量基本定理的应用前景
6.3.1平面向量的基本定理及坐标表示
6.3 平面向量的基本定理及坐标表示【知识一】平面向量基本定理1.平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e2.2.基底：若e 1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 【知识二】平面向量的正交分解及坐标表示1.正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.2.坐标表示：（1）在平面直角坐标系中，设与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为i ，j ，取{i ，j }作为基底.对于平面内的任意一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .平面内的任一向量a 都可由x ，y 唯一确定，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y ).（2）在直角坐标平面中，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0). 【知识三】平面向量加、减运算的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么向量AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 【知识四】平面向量数乘运算的坐标表示1.数乘：已知a ＝(x ，y )，则λa ＝(λx ，λy )，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.2.共线：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.则a ，b 共线的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 如果用坐标表示，可写为(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b (b ≠0)共线. 注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x 1y 1－x 2y 2＝0或x 1x 2－y 1y 2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.【例1-1】下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A ．()()120,0,1,2e e ==B ．()()121,2,5,7e e =-=C ．()()123,5,6,10e e ==D ．()12132,3,,24e e ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭【变式1-1】已知向量{a ，b }是一个基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y ＝________.【例1-2】如图，已知在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试用{a ，b }为基底表示DC →，EF →，FC →.【变式1-2】如图，在正方形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BD →＝c ，则以{a ，b }为基底时，AC →可表示为________，以{a ，c }为基底时，AC →可表示为________.【例1-3】在三角形ABC 中，M 为AC 的中点，若(),AB BM BC λμλμ=+∈R ，则下列结论正确的是（ ） A ．1λμ+=B ．3λμ-=C ．20λμ+=D ．20λμ-=【变式1-3】如图，已知OAB ，若点C 满足2AC CB =，(),OC xOA yOB x y R =+∈，则11x y+=（ ）A ．14B ．34C ．92D ．29【例2-1】如图，在平面直角坐标系xOy 中，OA ＝4，AB ＝3，∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，OA →＝a ，AB →＝b .四边形OABC 为平行四边形.(1)求向量a ，b 的坐标； (2)求向量BA →的坐标； (3)求点B 的坐标.【变式2-1】已知点M (5，－6)，且MN →＝(－3,6)，则N 点的坐标为________. 【例2-2】已知()0,1A -，()0,3B ，则AB =（ ）A ．2BC ．4D ．【变式2-2】已知()3,2M -，()5,1N -，若NP MN =，则P 点的坐标为（ ） A ．（3，2）B ．（3，-1）C ．（7，0）D ．（1，0）【变式2-4】已知点()3,2A ，()5,1B ，则与AB 反方向的单位向量为（ ）A ．⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎝⎭【变式2-5】已知向量(),2a m =，()1,2b =-，若0a b +=，则实数m 的值为（ ） A ．-4B ．4C ．-1D ．1【例3-1】(1)已知向量a ＝(1,2)，2a ＋b ＝(3,2)，则b 等于( ) A.(1，－2) B.(1,2) C.(5,6)D.(2,0)(2)已知向量AB →＝(2,4)，AC →＝(0,2)，则12BC →等于( )A.(－2，－2)B.(2,2)C.(1,1)D.(－1，－1)【变式3-1】已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求： (1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b .【例3-2】已知点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ）A ．14,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．97,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．14,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(7，9)【例3-3】(1)已知非零向量a ，b ，c ，若()1,a x =，()4,1b =-，且//a c ，//b c 则x =（ ） A ．4B ．-4C ．14D ．14-(2)若()0,2A ，()1,0B -，(),2-C m 三点共线，则实数m 的值是（ ） A ．6B ．2-C ．6-D ．2【变式3-2】与(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（ ）A ．1,1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．13,,122⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．13,,122⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D ．3,--【变式3-3】已知()3,a m →=，()21,1b m →=+，则“1m =”是“//a b →→”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【变式3-4】已知向量()1,1a =，()2,1b =-，若()()2//a b a b λ+-，则实数λ=（ ） A ．8 B ．8-C ．2D ．2-课后练习题1．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）． A ．()10,0e =，()21,2e =- B ．()11,2e =-，()25,7e = C ．()13,5e =，()26,10e =D ．()12,3e =-，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭2.在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别满足12BE BC =，13DF DC =．若λ=+BD AE μAF ，则实数λ＋μ的值为（ ） A ．15-B ．15C ．75-D ．753.已知()1,1A ，()1,1B --，则向量AB 为（ ） A ．()0,0B ．()1,1C ．()2,2--D ．()2,24.已知()5,2a =-，()4,3b =-，(),c x y =，若220a b c -+=，则c 等于（ ） A ．(1，4)B ．13,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．13,42⎛⎫-⎪⎝⎭D ．13,42⎛⎫-- ⎪⎝⎭5.已知()13A ，，()41B -，，则与向量AB 共线的单位向量为（ ） A ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，或4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，或3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， C ．4355⎛⎫-- ⎪⎝⎭，或4355⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．3455⎛⎫-- ⎪⎝⎭，或3455⎛⎫ ⎪⎝⎭， 6.设向量a =(1，4)，b =(2，x )，c a b =+.若//a c ，则实数x 的值是（ ） A ．-4B ．2C ．4D ．87.若(3,cos ),(3,sin ),a b αα==且a //b ,则锐角α=__________ . 8.已知O 为单位圆，A 、B 在圆上，向量OA ，OB 的夹角为60°，点C 在劣弧AB 上运动，若OC xOA yOB =+，其中,x y R ∈，则x y +的取值范围___________.9.在ABC 中，D 为BC 的中点，P 为AD 上的一点且满足3BA BC BP +=，则ABP △与ABC 面积之比为（ ） A ．14B ．13C ．23D ．1610.已知ABC 所在的平面内一点P （点P 与点A ，B ，C 不重合），且523AP PO OB OC =++，则ACP △与BCP 的面积之比为（ ） A ．2:1B ．3:1C ．3:2D ．4:36.3.1 平面向量的基本定理及坐标表示【知识一】平面向量基本定理1.平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e2.2.基底：若e 1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 【知识二】平面向量的正交分解及坐标表示1.正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.2.坐标表示：（1）在平面直角坐标系中，设与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为i ，j ，取{i ，j }作为基底.对于平面内的任意一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .平面内的任一向量a 都可由x ，y 唯一确定，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y ).（2）在直角坐标平面中，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0). 【知识三】平面向量加、减运算的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么向量AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 【知识四】平面向量数乘运算的坐标表示1.数乘：已知a ＝(x ，y )，则λa ＝(λx ，λy )，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.2.共线：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.则a ，b 共线的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 如果用坐标表示，可写为(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b (b ≠0)共线. 注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x 1y 1－x 2y 2＝0或x 1x 2－y 1y 2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.【例1-1】下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A ．()()120,0,1,2e e ==B ．()()121,2,5,7e e =-=C ．()()123,5,6,10e e ==D ．()12132,3,,24e e ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭【答案】B【解析】对A ：因为零向量和任意向量平行，故A 中向量不可作基底； 对B ：因为710-≠，故B 中两个向量不共线；对C ：因为31056⨯=⨯，故C 中两个向量共线，故C 中向量不可作基底； 对D ：因为312342⎛⎫⨯-=-⨯ ⎪⎝⎭，故D 中两个向量共线，故D 中向量不可作基底.故选：B. 【变式1-1】已知向量{a ，b }是一个基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y ＝________. 【答案】3【解析】因为{a ，b }是一个基底， 所以a 与b 不共线，由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，所以x －y ＝3.【例1-2】如图，已知在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试用{a ，b }为基底表示DC →，EF →，FC →.【解析】因为DC ∥AB ，AB ＝2DC ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点， 所以FC →＝AD →＝a ，DC →＝AF →＝12AB →＝12b .EF →＝ED →＋DA →＋AF →＝－12DC →－AD →＋12AB →＝－12×12b －a ＋12b ＝14b －a .【变式1-2】如图，在正方形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BD →＝c ，则以{a ，b }为基底时，AC →可表示为________，以{a ，c }为基底时，AC →可表示为________.【答案】a ＋b 2a ＋c【解析】以{a ，b }为基底时，AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ； 以{a ，c }为基底时，将BD →平移，使B 与A 重合， 再由三角形法则或平行四边形法则即得AC →＝2a ＋c .【例1-3】在三角形ABC 中，M 为AC 的中点，若(),AB BM BC λμλμ=+∈R ，则下列结论正确的是（ ） A ．1λμ+= B ．3λμ-=C ．20λμ+=D ．20λμ-=【答案】C【解析】因为M 为AC 的中点，所以1122BM BA BC =+，所以2AB BM BC =-+， 又(),AB BM BC λμλμ=+∈R ，所以2λ=-，1μ=，故选：C.【变式1-3】如图，已知OAB ，若点C 满足2AC CB =，(),OC xOA yOB x y R =+∈，则11x y+=（ ）A ．14B ．34C ．92D ．29【答案】C【解析】由2AC CB =得()2OC OA OB OC -=-，即1233OC OA OB =+， 又(),OC xOA yOB x y R =+∈，所以1323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此1139322x y +=+=.故选：C. 【例2-1】如图，在平面直角坐标系xOy 中，OA ＝4，AB ＝3，∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，OA →＝a ，AB →＝b .四边形OABC 为平行四边形.(1)求向量a ，b 的坐标； (2)求向量BA →的坐标； (3)求点B 的坐标.【解析】(1)作AM ⊥x 轴于点M ，则OM ＝OA ·cos 45° ＝4×22＝22， AM ＝OA ·sin 45° ＝4×22＝2 2. ∴A (22，22)，故a ＝(22，22).∵∠AOC ＝180°－105°＝75°，∠AOy ＝45°， ∴∠COy ＝30°. 又∵OC ＝AB ＝3，∴C ⎝⎛⎭⎫－32，332，∴AB →＝OC →＝⎝⎛⎭⎫－32，332，即b ＝⎝⎛⎭⎫－32，332.(2)BA →＝－AB →＝⎝⎛⎭⎫32，－332.(3)OB →＝OA →＋AB →＝(22，22)＋⎝⎛⎭⎫－32，332＝⎝⎛⎭⎫22－32，22＋332.∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫22－32，22＋332.【变式2-1】已知点M (5，－6)，且MN →＝(－3,6)，则N 点的坐标为________.【答案】 (2,0)【解析】∵MN →＝(－3,6)，设N (x ，y )， 则MN →＝ON →－OM →＝(x －5，y ＋6)＝(－3,6).∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －5＝－3，y ＋6＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.即N (2,0). 【例2-2】已知()0,1A -，()0,3B ，则AB =（ ）A ．2BC ．4D ．【解析】由题得AB =（0,4）所以||0(31)4AB =++．故选C【变式2-2】已知()3,2M -，()5,1N -，若NP MN =，则P 点的坐标为（ ） A ．（3，2）B ．（3，-1）C ．（7，0）D ．（1，0）【解析】设点P 的坐标为(),x y ，则(5,1)NP x y =-+，(53,12)(2,1)MN =--+=，因为NP MN =，即(5,1)(2,1)x y -+=，所以5211x y -=⎧⎨+=⎩，解得70x y =⎧⎨=⎩，所以()7,0P .故选：C.【变式2-4】已知点()3,2A ，()5,1B ，则与AB 反方向的单位向量为（ ）A ．⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎝⎭【答案】B【解析】()3,2A ，()5,1B ,2,1AB，则22AB ==，所以与AB 反方向的单位向量为255,55AB AB.故选：B.【变式2-5】已知向量(),2a m =，()1,2b =-，若0a b +=，则实数m 的值为（ ） A ．-4 B ．4C ．-1D ．1【答案】C【解析】由题意，向量(),2a m =，()1,2b =-，所以()()1,00,0a b m +=+=， 可得50m +=，解得1m =-.故选：C .【例3-1】(1)已知向量a ＝(1,2)，2a ＋b ＝(3,2)，则b 等于( ) A.(1，－2)B.(1,2)C.(5,6)D.(2,0)【答案】B【解析】由题意得b －a ＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1). (2)已知向量AB →＝(2,4)，AC →＝(0,2)，则12BC →等于( )A.(－2，－2)B.(2,2)C.(1,1)D.(－1，－1)【答案】D【解析】12BC →＝12(AC →－AB →)＝12(－2，－2)＝(－1，－1).【变式3-1】已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求： (1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b .【解析】(1)2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7). (2)a －3b ＝(－1,2)－3(2,1) ＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1). (3)12a －13b ＝12(－1,2)－13(2,1) ＝⎝⎛⎭⎫－12，1－⎝⎛⎭⎫23，13＝⎝⎛⎭⎫－76，23. 【例3-2】已知点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ）A ．14,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．97,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．14,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(7，9)【答案】ABC【解析】由点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则972，AB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭选项A . 91473023⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以A 选项正确.选项B. 9977022⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以B 选项正确. 选项C . ()91473023⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以C 选项正确.选项D. 979702⎛⎫-⨯--⨯≠ ⎪⎝⎭,所以选项D 不正确故选：ABC 【例3-3】(1)已知非零向量a ，b ，c ，若()1,a x =，()4,1b =-，且//a c ，//b c 则x =（ ） A ．4 B ．-4 C ．14D ．14-【答案】D【解析】由题意知//a c ，//b c ，所以//a b ；又(1,)a x =，(4,1)b =-，所以1(1)40x ⨯--=，解得14x =-．故选：D(2)若()0,2A ，()1,0B -，(),2-C m 三点共线，则实数m 的值是（ ） A ．6 B ．2-C ．6-D ．2【答案】B【解析】因为三点()0,2A ，()1,0B -，(),2C m -共线，所以(1,2),(1,2)AB BC m =--=+- , 若()0,2A ，()1,0B -，(),2C m -三点共线，则AB 和BC 共线 可得：(1)(2)(2)(1)m --=-+，解得2m =-；故选：B 【变式3-2】与(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（ ）A ．1,1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．13,,122⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．13,,122⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．3,--【答案】C【解析】若向量b 与向量a 平行，则b a λ=，(1,3,2)a =-，则(,3,2)b λλλ=- 设向量(),,b x y z =，则x 与y 符号相同，y 与z 符号相反，所以可知A ，B ，D 不成立， 选项C ：若12λ=-，则12x =-，32y =-，1z =，故C 正确.故选：C.【变式3-3】已知()3,a m →=，()21,1b m →=+，则“1m =”是“//a b →→”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由//a b →→可得()213m m +=，解得32m =-或1m =，所以“1m =”是“//a b →→” 充分不必要条件.故选：A.【变式3-4】已知向量()1,1a =，()2,1b =-，若()()2//a b a b λ+-，则实数λ=（ ） A ．8 B ．8-C ．2D ．2-【答案】D【解析】由()1,1a =，()2,1b =-，可得()24,2a b λλλ+=+-，()1,2a b -=-， 因为()()2//a b a b λ+-，所以()()()24210λλ+--⨯-=，解得2λ=-.故选：D.课后练习题1．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）． A ．()10,0e =，()21,2e =- B ．()11,2e =-，()25,7e = C ．()13,5e =，()26,10e = D ．()12,3e =-，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭ 【答案】B【解析】因为()11,2e =-与()25,7e =不共线，其余选项中1e 、2e 均共线，所以B 选项中的两向量可以作为基底．故选：B2.在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别满足12BE BC =，13DF DC =．若λ=+BD AE μAF ，则实数λ＋μ的值为（ ） A ．15- B ．15C ．75-D ．75【答案】B【解析】由题意，设AB a AD b ，==，则在平行四边形ABCD 中，因为12BE BC =，13DF DC =，所以点E 为BC 的中点，点F 在线段DC 上，且2CF DF =， 所以1123AE a b AF a b =+=+，， 又因为BD AE AF λμ=+，且BD AD AB b a =-=-，所以11112332a b AE AF a b a b a b λμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3.已知()1,1A ，()1,1B --，则向量AB 为（ ） A ．()0,0 B ．()1,1C ．()2,2--D ．()2,2【答案】C【解析】由题意可得()()()1,11,12,2AB =---=--.故选：C.所以113112λμλμ⎧+=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得8595λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以15λμ+=。
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一：学习目标：1：理解掌握平面向量基本定理；2：能用平面向量基本定理进行向量的合成与分解。
二：重点难点：平面向量基本定理
三：知识链接：1：向量的加法和减法运算： （1） 平行四边形法则的实施步骤： 先把两个向量的起点 ，然后 作平行四边形， 即为两个向量的和向量。
（2） 三角形法则的实施步骤：
先把两个向量首尾 ，由第一个向量的 指向第二个向量的 的向量即为两个向量的和向量。
减法可转化为加法运算。
2：向量的数乘运算：设λ为实数，则
λa 表示与a 的向量。
（1）当λ＞0时，λa 与a 方向 ，
= （2）当λ＜0时，λa 与a 方向 ，
= （3）当λ=0时，λa =
3：向量共线定理：非零向量a 与向量b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ使 四：学习过程 ：
1：如图，在平面内任取一点O ，作OA =1e ,OB =2e ，OC =a , 如何将
a 用1e 和2e 表示出来？（提示：用平行四边形法则将a 在1e 和2e 的方向上分解）
A 2：讨论探究：是否平面内任一向量都能用 1e 和 2e 表示？
3：平面向量基本定理的内容：
； 不共线的向量1e 和2e 称为 。
讨论：同一平面的基底是否唯一？
4：设OA =a ，OB =b ，则 为a 和b 的夹角，记为θ，范围是 ；当θ=00
时，
；当θ=1800时， ；当0，记作 。
讨论探究： 作出下列向量的夹角 （1） （2） 1.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量
2.对于平面上的一个向量a ,有且只有一对实数x,y,使得a xi y j =+,我们把有序实数对),(y x 叫做 向量a 的坐标,记作 . 比如力的分解，
6题例分析：(1):已知向量1e 和2e ，求作向量-2.51e +32e （提示：利用平行四边形法则合成）
变式练习：在平面直角坐标系中，1e 和2e 分别是x 轴和y =6, ∠AOX=600
,试用1e 和2e 表示OA
提示：将OA 向1e ，2e 的方向上分解，把两个分向量用1λ1e 和
2λ2e 表示出来，关键是求1λ和2λ
(2):已知ABCDEF 是正六边形，且AB =a ，AE =b ,试用a ，b 表示BC
(提示:画出图形，用平行四边形法则或三角形法则进行转化) x
A
y
O
1
e 2
e
变式练习：已知AM 是△ABC 的边BC 边上的中线，若AB =a ,AC =b ,则AM =( )
A:21( a -b ) B: 21(b -a ) C: 21(a +b ) D:- 2
1
(a +b )
五：基础达标：
A1:向量1e ，2e 不共线，则a =21e -2e 与b =1e +λ2e 共线的条件是（ ）
A: λ=0 B:λ=-1 C: λ=-2 D: λ=-2
1
A2:B 是线段AC 的中点，则下列各式中正确的是（ ）
A: AB =-BC B:AC = 21BC C:BA = BC D: BC =2
1
AC A3:若3x +4y =a ，2x -3y =b ，其中a ，b 为已知向量，则x = ，y = A4：已知△ABC 的BC =a ,CA =b ,AB =C ,三边BC,CA,AB 的中点依次为D,E,F,则AD +BE +CF = .
B5:O 是平行四边形ABCD 的中心，AB =41e ，BC =62e ，则32e -21e =（ ） A:AO B:BO C:CO D:DO
B6:设1e ，2e 不共线，a =1λ1e +2e ，b =2λ1e +32e ，且a ，b 共线，则下列各式正确的是（ ） A:2λ=31λ B: 2λ=1λ C: 2λ=21λ D: 2λ=-41λ
六：作业布置：
A1：设1e ，2e 是平面内一组基底，求证：当1λ1e +2λ2e =0时，恒有1λ=2λ=0
A2: 在平面直角坐标系中，1e 和2e 分别是x 轴和y 轴正方向上的两个单位向量,若OA =3 1e +2 2e ，
B3:已知梯形ABCD 中，AB//CD 且AB=2CD,E,F 分别是CD,AB 的中点，设AD = a , AB = b ,试用a ，
b 为基底表示DC ,EF , BC
本节小结：
C
D
E
A
B
F。