2017西城区初三二模数学试卷及答案
北京市西城区 2017 年初三二模试卷
数学2017. 6
考
生
须
知
1 .本试卷共6 页,共五道大题,
25 道小题,满分120 分。考试时间120 分钟。2.在试
卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。4.在答题卡上,选择题、作图题用2B 铅笔作答,其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5.考试结束,将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
、选择题 (本题共32 分,每小题4分) 下面各题均有四个选项,
其中只有一个是符合题意的.
1.
3的倒数是
1
A.
3 B.C.
1
3
D.
2.列运算中正确的
是
B. a a2a2
3.若一个多边形的内角和是
C.(ab)2 a2b2
720°,则这个多边形的边数
是
D.
2 3 5 (a ) a
4.
A.5 B .
若x 3 y 2 0,则y x的值为
A .8 B.6
C.7
C.5
5.列图形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是
6.对于一组统计数据:3,3,6,3,5,
A.中位数是6 B .众数是3
列说法中错误.
7.
D.
的是
C.平均数是4
如图,边长为3 的正方形ABCD 绕点EF 交AD
于点H,则四边形DHFC 的面积为
C 按顺时针方向旋转30
D .方差是1.6
°后得到正方形EFCG ,
A .3
B
.
33
C
.
9
D
.
63
8.如图,点A,B,C 是正方体三条相邻的棱的中点,沿着A,B,C
三点所在的平面将该正方体的一个角切掉,然后将其展开,其展开
图可能是
A B C
A B C D
二、填空题 (本题共16 分,每小题4分)
3
9.函数y 3中,自变量x 的取值范围是
x2
10.若把代数式x2 8x 17化为(x h)2 k的形式,其中 h,11.如
k 为常数,则 h k =
图,在△ ABC 中,∠ ACB= 52°,点D,E 分别是AB,
AC 的中点.若点F 在线段DE 上,且∠ AFC= 90°,则∠FAE
的度数为°.
12.如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 在第一象限,点
B 在x 轴的正半轴上,∠ OAB=90°.⊙ P1 是△ OAB 的内
切圆,且P1 的坐标为(3,1).
(1)OA 的长为,OB 的长为;
(2)点C在OA 的延长线上,CD∥AB交x轴于点D.将⊙ P1沿水平方向向右平移2个
单位得到⊙ P2,将⊙ P2沿水平方向向右平移2 个单位得到⊙ P3,按照同样的方法
继
续操作,依次得到⊙ P4,??⊙P n.若⊙P1,⊙P2,??⊙P n均在△ OCD的内
部,且⊙ P n恰好与CD 相切,则此时OD 的长为.(用含n 的式子表示)
三、解答题 (本题共30 分,每小题5分)
1 1 0
13.计算:( ) 127 (5 )06tan 60 .
4
14.如图,点C是线段AB 的中点,点D,E在直线AB 的同侧,
∠ECA=∠DCB,∠D=∠E.
求证:AD=BE.
2
15.已知x 3x 1 0 ,求代数式(x 2)(x 3) (2x 1)(2x 1) 4x 的值.
16.已知关于x的一元二次方程x2 7x 11 m 0 有实数根.
(1)求m 的取值范围;
(2)当m 为负整数时,求方程的两个根.
A B C D 17.列方程(组)解应用题:
水上公园的游船有两种类型,一种有4 个座位,另一种有6 个座位.这两种游船的收费标准是:一条4 座游船每小时的租金为60 元,一条6 座游船每小时的租金为100 元.某公司组织38名员工到水上公园租船游览,若每条船正好坐满,并且1 小时共花费租金600 元,求该公司分别租用4 座游船和6 座游船的数量.
18.为了解“校本课程”开展情况,某校科研室随机选取了若干学生进行问卷调查( 要求每位学生只能填写一种自己喜欢的课程) ,并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计
图:
调查结果的条形统计图调查结果的扇形统计图
请根据以上信息回答下列问题:
(1) 参加问卷调查的学生共有人;
(2) 在扇形统计图中,表示“ C”的扇形的圆心角为度;
(3) 统计发现,填写“喜欢手工制作”的学生中,男生人数∶女生人数= 1∶6.如果从
所有参加问卷调查的学生中随机选取一名学生,那么这名学生是填写“喜欢手工制
作”的女生的概率为
四、解答题 (本题共20 分,每小题5分)
1 9.如图,在平面直角坐标系xOy 中,一次函数y kx b的图象与x 轴交于点A( 3,0),
4
与 y 轴交于点B ,且与正比例函数y 4x 的图象的交点为
3
(1) 求一次函数y kx b 的解析式;
(2) 若点D 在第二象限,△ DAB 是以AB 为直角边的等腰直
角三角形,直接写出点D 的坐标.
20.如图,四边形ABCD中,∠ BAD= 135°,∠BCD= 90°,AB=BC= 2,
tan∠ BDC= 6.3.
(1) 求BD 的长;
(2) 求AD 的长.
21.如图,以△ ABC 的一边 AB 为直径作⊙ O , ⊙O 与 BC 边
的交点 D 恰好为 BC 的中点, 过点 D 作⊙O 的切线交 AC 边于点 E .
(1) 求证: DE ⊥ AC ;
3 OF
(2) 连结 OC 交 DE 于点 F ,若 sin ABC 3 ,求 OF
的值. 4 FC
xOy 中,点 P(x,y) 经过变换 得到点 P (x,y) ,该变换记作
x ax by,
(x,y) (x,y),其中 (a,b 为常数).例如,当a 1,且 b 1时, y ax by
( 2,3) (1, 5) .
(1) 当 a 1,且 b 2时, (0,1) = ; (2) 若 (1,2) (0, 2),则 a= , b = ;
(3) 设点 P(x,y) 是直线 y 2x 上的任意一点, 点 P 经过变换 得到点 P (x , y ) .若点 P
与点 P 重合,求 a 和 b 的值. 五、解答题 (本题共 22分,第 23题7分,第 24题7分,第 25题 8分)
k
1 23.在平面直角坐标系 xOy 中, A , B 两点在函数 C 1: y 1
(x 0)的图象上,
x
其中 k 1 0.AC ⊥ y 轴于点 C ,BD ⊥ x 轴于点 D ,且 AC=1. (1) 若k 1=2,则 AO 的长为 ,△BOD 的面积为 ;
(2) 如图 1,若点 B 的横坐标为 k 1,且 k 1 1,当 AO=AB 时,求 k 1的值; k
2
(3) 如图 2,OC=4,BE ⊥ y 轴于点 E ,函数 C 2:y 2
(x 0)的图象分别与线段 BE ,
x
BD 交于点 M ,N ,其中 0 k 2 k 1.将△ OMN 的面积记为 S 1 ,△ BMN 的面积记为 S 2, 若 S S 1 S 2,求 S 与 k 2的函数关系式以及 S 的最大值.
24.在△ ABC 中,AB=AC ,AD ,CE 分别平分∠ BAC 和∠ ACB ,且 AD 与 CE 交于点 M .点
22 .在平面直角坐标系
N 在射线AD 上,且NA=NC.过点N 作NF⊥ CE 于点G,且与AC 交于点F ,再过点F 作FH ∥CE,且与AB 交于点H .
如图1,当∠ BAC=60°时,点M,N,G 重合.①请根据题目要求在图1 中补全图形;②连结EF,HM ,则EF 与HM 的数量关系是
(1)
(2) 如图2,当∠BAC =120 °时,求证:AF=EH ;
(3) 当∠ BAC=36 时,我们称△ABC 为“黄金三角形” ,此时BC
AC
5 1.若EH=4,
2 直接写出GM 的
图1 图2
25.如图1,在平面直角坐标系xOy中,直线 l和抛物线W交于A,B
两点,其中点A 是抛物线W 的顶点.当点A 在直线 l 上运动时,
抛物线W 随点A 作平移运动.在抛物线平移的过程中,线段AB
的长度保持不变.
应用上面的结论,解决下列问题:如图2,在平面直角坐标系
xOy 中,已知直线l1:y x 2.点A是直线l1上的一个动点,且点A 的
横坐标为
t .以A 为顶点的抛物2
线C1 : y x bx c 与直线l1 的另一个交点为点B.(1) 当 t 0 时,求抛物线C1的解析式和AB 的长;
(2) 当点B 到直线OA 的距离达到最大时,直接写出此时点A 的坐标;
1
(3)过点A 作垂直于 y 轴的直线交直线l2 : y x 于点C .以C 为顶点的抛物线
2
2
C2 : y x2 mx n与直线l2的另一个交点为点D.
①当AC⊥ BD 时,求t 的值;
②若以A,B,C,D 为顶点构成的图形是凸四边形,直接写出满足条件的t 的取值
范围.
图2 备用图
北京市西城区 2017 年初三二模
、选择题 (本题共 32 分,每小题 4分) 题号
1 2 3 4 5 6 7 8 答案
C
C
B
A
B
A
B
D
16 49
10
11
12
x2 5 64 4
5 2n+3
阅卷说明:第 12 题第一、第二个空各 1 分,第三个空 2分. 三、解答题 (本题共 30 分,每小题
5分)
13.解:原式 =4 3 3 1 6 3
=5 3 3 .
16.解: (1) ∵关于 x 的一元二次方程 x 2
7x 11 m 0 有实数根,
2
∴
72
4(11 m) 0.
数学试卷参考答案及评分标准
2017.6
4分 5分
14.证明:∵点 C 是线段 AB 的中点,
∴ AC=BC. ??? 1分
∵∠ ECA= ∠DCB ,
∴∠ ECA+∠ ECD =∠ DCB +∠ECD , 即∠ ACD=∠ BCE. ????
在△ ACD 和△ BCE 中,
D E, ACD BCE, AC BC,
2分
∴△ ACD ≌ △BCE. ∴AD=BE .
15.解: (x 2)(x 3) (2x 1)(2x 1) 4x
4 分 5分
22
x 2 5x 6 (4x 2
1) 4x 2分 2
3x 2
9x 7.
3分 22
∵ x 2 3x 1 0 , 即 x 2 3x 1 , 4分 ∴原式
3(x 2
3x) 7 3 1 7 4.
5分
1?分?
B
依题意得
4x 6y 38,
60x 100y 600. x 5, 解得
y 3.
(2) 54;
3 (3) 20
.
17
. 解
:
5
∴ m
.
4
(2) ∵ m 为负整数,
∴ m 1.
此时方程为 x 2 7x 12 0. 解得 x 1= 3,x 2= 4.
设租用 4 座游船 x 条,租用 6 座游船 y 条.
2?
分? ? 3 ?分 ? 4 分 5分 ? 1 分 18. 答
: 解:
该公司租用
(1) 80; 4 座游船 5 条, 6 座游船 3 条 .
5分 1分 四、 19
. 20 分,每小题 5 分)
4 解: (1)∵点 C( m ,4)在直线 y x 上, 3
解答题 (本题共 4
∴ 4 4m ,解得 m 3.
3 ∵点 A( 3,0)与 C(3,4)在直线 y kx b(k 0) 上,
1分
4 y= 3x
C y=kx+b
B
20. ∴
0 3k b,
4 3k b.
2 k
2
, 解得 3 b 2.
∴一次函数的解析式为 y 2x 2.
3
(2) 点 D 的坐标为 ( 2,5)或( 5,3).
阅卷说明:两个点的坐标各 1 分 .
解: (1)在 Rt △ BCD 中,∠ BCD= 90°, BC= 2,
2分
A
-3
3分 5分
∴
2 6
∴
CD 3 .
∴ CD= 6. ???????????? ∴由勾股定理得 BD= BC 2
+CD 2
= 10 . ??? 2 分 (2)如图,过点 D 作 DE ⊥AB
交 BA 延长线于点 E .
1分
tan ∠ BDC= 36
,
3分
4分 3分 5分
∵∠ BAD= 135 °,
∴∠ EAD= ∠ ADE= 45°.
∴AE=ED . ????????????????????????? 3 分
设AE=ED= x ,则AD= 2x.
2 2 2
∵DE2+BE2=BD 2,
∴ x2+(x+2)2=( 10)2. ??????????????????? 4 分解得x1= _3(舍),x2=1 .
∴AD= 2x= 2. ?????????????????????? 5 分21.(1)证明:连接OD .
∵DE 是⊙ O 的切线,
∴DE⊥OD,即∠ ODE= 90° . ?????????????????1分
∵AB是⊙O 的直径,
∴O是AB的中点.
又∵D 是BC 的中点,.
∴ OD∥ AC .
∴∠ DEC= ∠ODE= 90 ° .
∴DE⊥AC . ???????????????????????? 2 分
(2)连接AD .
∵OD∥AC,
OF OD FC EC .
∵AB 为⊙O 的直径,
∴∠ ADB= ∠ADC =90° . 又∵D为BC的中点,
∴AB=AC.
∵ sin∠ ABC= AD=3,
AB 4
故设AD= 3x , 则AB=AC= 4x , OD= 2x . ∵DE⊥AC,∴∠ ADC= ∠AED= 90 °.
∵∠ DAC= ∠ EAD,∴△ ADC ∽△ AED. ∴AD AC .
AE AD .
∴ AD2 AE AC.
9
∴AE x.
4
∴ EC 7x.
43分4分
22.
五、23
.
OF OD 8 FC EC
7.
解:(1) (0,1) = ( 2,2) ;
1
(2)a= 1, b= ;
2
(3) ∵点P(x,y)经过变换得到的对应点∴
(x,y) (x, y).
∵点P(x,y) 在直线y 2x 上,
∴ (x,2x) (x,2x) .
x ax 2bx,
2x ax 2bx.
即(1 a 2b)x 0,
(2 a 2b)x 0.
∵ x 为任意的实
数,
1 a 2b 0,
2 a 2b 0.
a
解得
b
3,
2
1
5分
1分
3分
P(x,y ) 与点 P重合,
4分
31
∴ a ,b .
24
解答题 (本题共22 分,第23 题7 分,
解:(1) AO 的长为5,△BOD 的面积为k1
24 题7 分,第25题8 分)
1
;
(2) ∵ A,B两点在函数C1:y k1 (x 0) 的图象上,
∴点A,B的坐标分别为(1,k1) ,(k1,1) .
∵AO=AB,
由勾股定理得AO2 1 k12,AB222
(1 k1)2 (k1 1)2,
5分
2分
3分
222 ∴ 1 k12 (1 k1)2 (k1 1)2.
解得 k1 2 3或 k1 2 3.
∴k1 2 3
(3) ∵ OC=4,
∴点A 的坐标为(1,4) .
∴ k1 4.
设点 B 的坐标为 (m, 4) ,
m
∵BE ⊥ y 轴于点 E ,BD ⊥ x 轴于点 D , ∴四边形 ODBE 为矩形,且 S 四边形 ODBE =4
,
点 M 的纵坐标为 4 ,点 N 的横坐标为 m .
m
∵点 M ,N 在函数 C 2: y k2(x 0)的图象上,
2
x
∴点 M 的坐标为 (mk2 , 4) ,点 N 的坐标为 (m,k2) .
4 m m
其中 0 k 2 4.
∴当 k 2 2 时, S 的最大值为 1.
(2)连接 MF (如图 2).
∵AD , CE 分别平分∠ BAC 和∠ ACB , 且∠ BAC =120°, ∴∠ 1=∠2=60°,∠ 3=∠4.
AB=AC , AD ⊥BC. NG ⊥EC ,
∠ MDC =∠ NGM =90 °. ∠ 4+∠6=90°,∠ 5+∠6=90°.
∠ 4= ∠ 5. ∠ 3=∠ 5.
NA=NC ,∠ 2=60 °,
△ ANC 是等边三角形 . AN=AC.
∵ S
1
k 22
k 2
4
2
(k 2 2)2
1
∴ S2= 1BM BN 1(m mk2)( 4 k2)
2 2 4 m m
2
(4 k 2)
8
∴
S=S 1 S 2 =(4 k 2 S 2 ) S 2 =4 k 2 2S 2.
2
∴ S 4
k 2 2
(4 k 2
)2
1
4
k 22
4
k
2
, 6分
24. 解: (1)补全图形见图 1,
EF 与 HM 的数量关系是 EF=HM 7分
1分
图2
在△ AFN 和△ AMC 中,
5 3,
AN AC,
2 2,
∴△ AFN≌△ AMC. ????????????????? 3 分
∴AF=AM.
∴△ AMF 是等边三角形.
∴AF=FM,∠ 7=60°.
∴∠ 7=∠ 1.
∴FM∥ AE.
∵FH∥CE,∴四边形FHEM 是平行四边形. ??????????????? 4 分
∴EH=FM.
∴ AF=EH. ????????????????? 5 分
(3) GM 的长为5 1. ?????????????????7 分
25.解:(1) ∵点A 在直线l1: y x 2上,且点A 的横坐标为0,
∴点A 的坐标为(0, 2) .
∴抛物线C1的解析式为y x2 2. ??????????? 1 分
∵点B 在直线l1 : y x 2 上,
∴设点B 的坐标为(x,x 2).
∵点B 在抛物线C1: y x2 2 上,
2 ∴ x 2 x 2 2.
解得 x 0 或 x 1.
∵点A 与点B 不重合,
∴点B 的坐标为( 1, 3). ??????????? 2 分∴由勾股定理得AB= (0 1)2 ( 2 3)2 2 . ???????? 3 分
(2) 点A 的坐标为(1, 1).
(3) ①方法一:设AC,BD 交于点E,直线l1: y x 2分别与x轴、 y轴交于点P
和Q(如图1).则点P 和点Q 的坐标分别为(2,0) ,(0, 2)
∴OP=OQ=2.
∴∠ OPQ =45°.
∵AC⊥ y 轴,
∴AC∥ x 轴.
∴∠EAB =∠OPQ =45°.
∵∠DEA =∠AEB=90°,AB = 2 ,4分
y
图1
∴EA=EB =1.
∵点A 在直线l1 : y x 2 上,且点A 的横坐标为t ,∴点A 的坐标为(t,t 2).
∴点B 的坐标为(t 1,t 3) . ∵AC∥ x 轴,
∴点C 的纵坐标为 t 2.
1
∵点C 在直线l2 : y x 上,
22
∴点C 的坐标为(2t 4,t 2) .
∴抛物线C2的解析式为y [x (2t 4)]2 (t 2) .
∵BD⊥AC,
∴点D 的横坐标为 t 1.
1
∵点D
在直线l2 : y x 上,
2 t1
∴点D 的坐标为(t 1, ) . ????????????????? 5 分2
∵点D 在抛物线C2:y [x (2t 4)]2 (t 2) 上,
t 1 2
∴ [(t 1) (2t 4)]2 (t 2) .
2
5
解得t 或 t 3.
2
∵当 t 3时,点C 与点D 重合,
5
∴t . ????????????????? 6 分2
方法二:设直线l1:y x 2与x轴交于点P,过点A作 y轴的平行线,过点B 作x 轴的平行线,交于点N.(如图2) y
则∠ ANB=90°,∠ ABN=∠ OPB.
在△ABN 中,BN=ABcos∠ABN,AN=ABsin∠ABN. ∵在抛物
线C1随顶点A 平移的过程中,
AB 的长度不变,∠ ABN 的大小不变,
∴ BN 和AN 的长度也不变,即点A 与点B 的横坐标的差
以及纵坐标的差都保持不变.
同理,点C 与点D 的横坐标的差以及纵坐标的差也保持不变
由(1)知当点A 的坐标为(0, 2) 时,点B 的坐标为( 1, 3) ,∴当点A的坐标为(t,t 2)时,点B的坐标为(t 1,t 3) . ∵AC∥ x 轴,
∴点C 的纵坐标为 t 2.
1
∵点C 在直线l2 : y x 上,
2
∴点C 的坐标为(2t 4,t 2) .
令 t 2 ,则点C 的坐标为(0,0) . ∴抛物线C2的解析式为y x2 .
1
∵点D
在直线l2 : y x 上,
22
x
∴设点D 的坐标为(x, ).
2
∵点D 在抛物线C2:y x2上,
x2
∴x .
2
1
解得x 或 x 0.
2
∵点C 与点D 不重合,
11
∴点D 的坐标为( , ).
24
11 ∴当点C 的坐标为(0,0) 时,点D 的坐标为( , ) .
24
∴当点C 的坐标为(2t 4,t 2) 时,点D 的坐标为(2t 7,t 7) . ??5分
24 ∵BD⊥AC,
7 ∴ t 1 2t .
2
5
∴t . ????????????????? 6 分2
15
② t 的取值范围是t 或 t 5. ?????????????8 分
4
说明:设直线l1与l2交于点M.随着点A从左向右运动,从点D与点M 重合,