2017西城区初三二模数学试卷及答案

北京市西城区 2017 年初三二模试卷数学2017. 6考生须知1 ．本试卷共6 页，共五道大题，25 道小题，满分120 分。

考试时间120 分钟。

2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。

3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

、选择题 (本题共32 分，每小题4分) 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．3的倒数是1A．3 B．C．13D．2．列运算中正确的是B． a a2a23．若一个多边形的内角和是C．(ab)2 a2b2720°，则这个多边形的边数是D．2 3 5 (a ) a4．A．5 B ．若x 3 y 2 0，则y x的值为A ．8 B．6C．7C．55．列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是6．对于一组统计数据：3，3，6，3，5，A．中位数是6 B ．众数是3列说法中错误．7．D．的是C．平均数是4如图，边长为3 的正方形ABCD 绕点EF 交AD于点H，则四边形DHFC 的面积为C 按顺时针方向旋转30D ．方差是1.6°后得到正方形EFCG ，A ．3B．33C．9D．638．如图，点A，B，C 是正方体三条相邻的棱的中点，沿着A，B，C三点所在的平面将该正方体的一个角切掉，然后将其展开，其展开图可能是A B CA B C D二、填空题 (本题共16 分，每小题4分)39．函数y 3中，自变量x 的取值范围是x210．若把代数式x2 8x 17化为(x h)2 k的形式，其中 h，11．如k 为常数，则 h k =图，在△ ABC 中，∠ ACB= 52°，点D，E 分别是AB，AC 的中点．若点F 在线段DE 上，且∠ AFC= 90°，则∠FAE的度数为°．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在第一象限，点B 在x 轴的正半轴上，∠ OAB=90°．⊙ P1 是△ OAB 的内切圆，且P1 的坐标为(3,1)．(1)OA 的长为，OB 的长为；(2)点C在OA 的延长线上，CD∥AB交x轴于点D．将⊙ P1沿水平方向向右平移2个单位得到⊙ P2，将⊙ P2沿水平方向向右平移2 个单位得到⊙ P3，按照同样的方法继续操作，依次得到⊙ P4，⋯⋯⊙P n．若⊙P1，⊙P2，⋯⋯⊙P n均在△ OCD的内部，且⊙ P n恰好与CD 相切，则此时OD 的长为．(用含n 的式子表示)三、解答题 (本题共30 分，每小题5分)1 1 013．计算：( ) 127 (5 )06tan 60 ．414．如图，点C是线段AB 的中点，点D，E在直线AB 的同侧，∠ECA=∠DCB，∠D=∠E．求证：AD=BE．215．已知x 3x 1 0 ，求代数式(x 2)(x 3) (2x 1)(2x 1) 4x 的值．16．已知关于x的一元二次方程x2 7x 11 m 0 有实数根．(1)求m 的取值范围；(2)当m 为负整数时，求方程的两个根．A B C D 17．列方程(组)解应用题：水上公园的游船有两种类型，一种有4 个座位，另一种有6 个座位．这两种游船的收费标准是：一条4 座游船每小时的租金为60 元，一条6 座游船每小时的租金为100 元．某公司组织38名员工到水上公园租船游览，若每条船正好坐满，并且1 小时共花费租金600 元，求该公司分别租用4 座游船和6 座游船的数量．18．为了解“校本课程”开展情况，某校科研室随机选取了若干学生进行问卷调查( 要求每位学生只能填写一种自己喜欢的课程) ，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图：调查结果的条形统计图调查结果的扇形统计图请根据以上信息回答下列问题：(1) 参加问卷调查的学生共有人；(2) 在扇形统计图中，表示“ C”的扇形的圆心角为度；(3) 统计发现，填写“喜欢手工制作”的学生中，男生人数∶女生人数= 1∶6．如果从所有参加问卷调查的学生中随机选取一名学生，那么这名学生是填写“喜欢手工制作”的女生的概率为四、解答题 (本题共20 分，每小题5分)1 9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b的图象与x 轴交于点A( 3,0)，4与 y 轴交于点B ，且与正比例函数y 4x 的图象的交点为3(1) 求一次函数y kx b 的解析式；(2) 若点D 在第二象限，△ DAB 是以AB 为直角边的等腰直角三角形，直接写出点D 的坐标．20．如图，四边形ABCD中，∠ BAD= 135°，∠BCD= 90°，AB=BC= 2，tan∠ BDC= 6．3．(1) 求BD 的长；(2) 求AD 的长．21．如图，以△ ABC 的一边 AB 为直径作⊙ O ， ⊙O 与 BC 边的交点 D 恰好为 BC 的中点， 过点 D 作⊙O 的切线交 AC 边于点 E ．(1) 求证： DE ⊥ AC ；3 OF(2) 连结 OC 交 DE 于点 F ，若 sin ABC 3 ，求 OF的值． 4 FCxOy 中，点 P(x,y) 经过变换 得到点 P (x,y) ，该变换记作x ax by,(x,y) (x,y)，其中 (a,b 为常数)．例如，当a 1，且 b 1时， y ax by( 2,3) (1, 5) ．(1) 当 a 1，且 b 2时， (0,1) = ； (2) 若 (1,2) (0, 2)，则 a= ， b = ；(3) 设点 P(x,y) 是直线 y 2x 上的任意一点， 点 P 经过变换 得到点 P (x , y ) ．若点 P与点 P 重合，求 a 和 b 的值． 五、解答题 (本题共 22分，第 23题7分，第 24题7分，第 25题 8分)k1 23．在平面直角坐标系 xOy 中， A ， B 两点在函数 C 1: y 1(x 0)的图象上，x其中 k 1 0．AC ⊥ y 轴于点 C ，BD ⊥ x 轴于点 D ，且 AC=1． (1) 若k 1=2，则 AO 的长为 ，△BOD 的面积为 ；(2) 如图 1，若点 B 的横坐标为 k 1，且 k 1 1，当 AO=AB 时，求 k 1的值； k2(3) 如图 2，OC=4，BE ⊥ y 轴于点 E ，函数 C 2:y 2(x 0)的图象分别与线段 BE ，xBD 交于点 M ，N ，其中 0 k 2 k 1．将△ OMN 的面积记为 S 1 ，△ BMN 的面积记为 S 2， 若 S S 1 S 2，求 S 与 k 2的函数关系式以及 S 的最大值．24．在△ ABC 中，AB=AC ，AD ，CE 分别平分∠ BAC 和∠ ACB ，且 AD 与 CE 交于点 M ．点22 ．在平面直角坐标系N 在射线AD 上，且NA=NC．过点N 作NF⊥ CE 于点G，且与AC 交于点F ，再过点F 作FH ∥CE，且与AB 交于点H ．如图1，当∠ BAC=60°时，点M，N，G 重合．①请根据题目要求在图1 中补全图形；②连结EF，HM ，则EF 与HM 的数量关系是(1)(2) 如图2，当∠BAC =120 °时，求证：AF=EH ；(3) 当∠ BAC=36 时，我们称△ABC 为“黄金三角形” ，此时BCAC5 1．若EH=4，2 直接写出GM 的图1 图225．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线 l和抛物线W交于A，B两点，其中点A 是抛物线W 的顶点．当点A 在直线 l 上运动时，抛物线W 随点A 作平移运动．在抛物线平移的过程中，线段AB的长度保持不变．应用上面的结论，解决下列问题：如图2，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l1:y x 2．点A是直线l1上的一个动点，且点A 的横坐标为t ．以A 为顶点的抛物2线C1 : y x bx c 与直线l1 的另一个交点为点B．(1) 当 t 0 时，求抛物线C1的解析式和AB 的长；(2) 当点B 到直线OA 的距离达到最大时，直接写出此时点A 的坐标；1(3)过点A 作垂直于 y 轴的直线交直线l2 : y x 于点C ．以C 为顶点的抛物线22C2 : y x2 mx n与直线l2的另一个交点为点D．①当AC⊥ BD 时，求t 的值；②若以A，B，C，D 为顶点构成的图形是凸四边形，直接写出满足条件的t 的取值范围．图2 备用图北京市西城区 2017 年初三二模、选择题 （本题共 32 分，每小题 4分） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案CCBABABD16 49101112x2 5 64 45 2n+3阅卷说明：第 12 题第一、第二个空各 1 分，第三个空 2分. 三、解答题 （本题共 30 分，每小题5分）13．解：原式 =4 3 3 1 6 3=5 3 3 ．16．解： （1） ∵关于 x 的一元二次方程 x 27x 11 m 0 有实数根，2∴724(11 m) 0.数学试卷参考答案及评分标准2017.64分 5分14．证明：∵点 C 是线段 AB 的中点，∴ AC=BC. ⋯⋯⋯ 1分∵∠ ECA= ∠DCB ，∴∠ ECA+∠ ECD =∠ DCB +∠ECD ， 即∠ ACD=∠ BCE. ⋯⋯⋯⋯在△ ACD 和△ BCE 中，D E, ACD BCE, AC BC,2分∴△ ACD ≌ △BCE. ∴AD=BE .15．解： (x 2)(x 3) (2x 1)(2x 1) 4x4 分 5分22x 2 5x 6 (4x 21) 4x 2分 23x 29x 7.3分 22∵ x 2 3x 1 0 ， 即 x 2 3x 1 ， 4分 ∴原式3(x 23x) 7 3 1 7 4.5分1⋯分⋯B依题意得4x 6y 38,60x 100y 600. x 5, 解得y 3.(2) 54；3 (3) 20．17． 解：5∴ m.4(2) ∵ m 为负整数，∴ m 1.此时方程为 x 2 7x 12 0. 解得 x 1= 3，x 2= 4.设租用 4 座游船 x 条，租用 6 座游船 y 条.2⋯分⋯ ⋯ 3 ⋯分 ⋯ 4 分 5分 ⋯ 1 分 18． 答： 解：该公司租用(1) 80； 4 座游船 5 条， 6 座游船 3 条 .5分 1分 四、 19． 20 分，每小题 5 分)4 解： (1)∵点 C( m ,4)在直线 y x 上， 3解答题 (本题共 4∴ 4 4m ，解得 m 3.3 ∵点 A( 3,0)与 C(3,4)在直线 y kx b(k 0) 上，1分4 y= 3xC y=kx+bB20． ∴0 3k b,4 3k b.2 k2, 解得 3 b 2.∴一次函数的解析式为 y 2x 2.3(2) 点 D 的坐标为 ( 2,5)或( 5,3).阅卷说明：两个点的坐标各 1 分 .解： (1)在 Rt △ BCD 中，∠ BCD= 90°， BC= 2，2分A-33分 5分∴2 6∴CD 3 .∴ CD= 6. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ∴由勾股定理得 BD= BC 2+CD 2= 10 . ⋯⋯⋯ 2 分 (2)如图，过点 D 作 DE ⊥AB交 BA 延长线于点 E .1分tan ∠ BDC= 36，3分4分 3分 5分∵∠ BAD= 135 °，∴∠ EAD= ∠ ADE= 45°.∴AE=ED . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分设AE=ED= x ，则AD= 2x.2 2 2∵DE2+BE2=BD 2，∴ x2+(x+2)2=( 10)2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分解得x1= _3(舍)，x2=1 .∴AD= 2x= 2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分21．(1)证明：连接OD .∵DE 是⊙ O 的切线，∴DE⊥OD，即∠ ODE= 90° . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∵AB是⊙O 的直径，∴O是AB的中点.又∵D 是BC 的中点，.∴ OD∥ AC .∴∠ DEC= ∠ODE= 90 ° .∴DE⊥AC . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分(2)连接AD .∵OD∥AC，OF OD FC EC .∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ ADB= ∠ADC =90° . 又∵D为BC的中点，∴AB=AC.∵ sin∠ ABC= AD=3，AB 4故设AD= 3x , 则AB=AC= 4x , OD= 2x . ∵DE⊥AC，∴∠ ADC= ∠AED= 90 °.∵∠ DAC= ∠ EAD，∴△ ADC ∽△ AED. ∴AD AC .AE AD .∴ AD2 AE AC.9∴AE x.4∴ EC 7x.43分4分22．五、23．OF OD 8 FC EC7.解：(1) (0,1) = ( 2,2) ；1(2)a= 1， b= ；2(3) ∵点P(x,y)经过变换得到的对应点∴(x,y) (x, y).∵点P(x,y) 在直线y 2x 上，∴ (x,2x) (x,2x) .x ax 2bx,2x ax 2bx.即(1 a 2b)x 0,(2 a 2b)x 0.∵ x 为任意的实数，1 a 2b 0,2 a 2b 0.a解得b3,215分1分3分P(x,y ) 与点 P重合，4分31∴ a ，b .24解答题 (本题共22 分，第23 题7 分，解：(1) AO 的长为5，△BOD 的面积为k124 题7 分，第25题8 分)1；(2) ∵ A，B两点在函数C1:y k1 (x 0) 的图象上，∴点A，B的坐标分别为(1,k1) ，(k1,1) .∵AO=AB，由勾股定理得AO2 1 k12，AB222(1 k1)2 (k1 1)2，5分2分3分222 ∴ 1 k12 (1 k1)2 (k1 1)2.解得 k1 2 3或 k1 2 3.∴k1 2 3(3) ∵ OC=4，∴点A 的坐标为(1,4) .∴ k1 4.设点 B 的坐标为 (m, 4) ，m∵BE ⊥ y 轴于点 E ，BD ⊥ x 轴于点 D ， ∴四边形 ODBE 为矩形，且 S 四边形 ODBE =4，点 M 的纵坐标为 4 ，点 N 的横坐标为 m .m∵点 M ，N 在函数 C 2: y k2(x 0)的图象上，2x∴点 M 的坐标为 (mk2 , 4) ，点 N 的坐标为 (m,k2) .4 m m其中 0 k 2 4.∴当 k 2 2 时， S 的最大值为 1.(2)连接 MF (如图 2).∵AD ， CE 分别平分∠ BAC 和∠ ACB ， 且∠ BAC =120°， ∴∠ 1=∠2=60°，∠ 3=∠4.AB=AC ， AD ⊥BC. NG ⊥EC ，∠ MDC =∠ NGM =90 °. ∠ 4+∠6=90°，∠ 5+∠6=90°.∠ 4= ∠ 5. ∠ 3=∠ 5.NA=NC ，∠ 2=60 °，△ ANC 是等边三角形 . AN=AC.∵ S1k 22k 242(k 2 2)21∴ S2= 1BM BN 1(m mk2)( 4 k2)2 2 4 m m2(4 k 2)8∴S=S 1 S 2 =(4 k 2 S 2 ) S 2 =4 k 2 2S 2.2∴ S 4k 2 2(4 k 2)214k 224k2， 6分24． 解： (1)补全图形见图 1，EF 与 HM 的数量关系是 EF=HM 7分1分图2在△ AFN 和△ AMC 中，5 3,AN AC,2 2,∴△ AFN≌△ AMC. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分∴AF=AM.∴△ AMF 是等边三角形.∴AF=FM，∠ 7=60°.∴∠ 7=∠ 1.∴FM∥ AE.∵FH∥CE，∴四边形FHEM 是平行四边形. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分∴EH=FM.∴ AF=EH. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分(3) GM 的长为5 1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分25．解：(1) ∵点A 在直线l1: y x 2上，且点A 的横坐标为0，∴点A 的坐标为(0, 2) .∴抛物线C1的解析式为y x2 2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分∵点B 在直线l1 : y x 2 上，∴设点B 的坐标为(x,x 2).∵点B 在抛物线C1: y x2 2 上，2 ∴ x 2 x 2 2.解得 x 0 或 x 1.∵点A 与点B 不重合，∴点B 的坐标为( 1, 3). ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分∴由勾股定理得AB= (0 1)2 ( 2 3)2 2 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分(2) 点A 的坐标为(1, 1).(3) ①方法一：设AC，BD 交于点E，直线l1: y x 2分别与x轴、 y轴交于点P和Q(如图1).则点P 和点Q 的坐标分别为(2,0) ，(0, 2)∴OP=OQ=2.∴∠ OPQ =45°.∵AC⊥ y 轴，∴AC∥ x 轴.∴∠EAB =∠OPQ =45°.∵∠DEA =∠AEB=90°，AB = 2 ，4分y图1∴EA=EB =1.∵点A 在直线l1 : y x 2 上，且点A 的横坐标为t ，∴点A 的坐标为(t,t 2).∴点B 的坐标为(t 1,t 3) . ∵AC∥ x 轴，∴点C 的纵坐标为 t 2.1∵点C 在直线l2 : y x 上，22∴点C 的坐标为(2t 4,t 2) .∴抛物线C2的解析式为y [x (2t 4)]2 (t 2) .∵BD⊥AC，∴点D 的横坐标为 t 1.1∵点D在直线l2 : y x 上，2 t1∴点D 的坐标为(t 1, ) . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分2∵点D 在抛物线C2：y [x (2t 4)]2 (t 2) 上，t 1 2∴ [(t 1) (2t 4)]2 (t 2) .25解得t 或 t 3.2∵当 t 3时，点C 与点D 重合，5∴t . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分2方法二：设直线l1:y x 2与x轴交于点P，过点A作 y轴的平行线，过点B 作x 轴的平行线，交于点N.(如图2) y则∠ ANB=90°，∠ ABN=∠ OPB.在△ABN 中，BN=ABcos∠ABN，AN=ABsin∠ABN. ∵在抛物线C1随顶点A 平移的过程中，AB 的长度不变，∠ ABN 的大小不变，∴ BN 和AN 的长度也不变，即点A 与点B 的横坐标的差以及纵坐标的差都保持不变.同理，点C 与点D 的横坐标的差以及纵坐标的差也保持不变由(1)知当点A 的坐标为(0, 2) 时，点B 的坐标为( 1, 3) ，∴当点A的坐标为(t,t 2)时，点B的坐标为(t 1,t 3) . ∵AC∥ x 轴，∴点C 的纵坐标为 t 2.1∵点C 在直线l2 : y x 上，2∴点C 的坐标为(2t 4,t 2) .令 t 2 ，则点C 的坐标为(0,0) . ∴抛物线C2的解析式为y x2 .1∵点D在直线l2 : y x 上，22x∴设点D 的坐标为(x, ).2∵点D 在抛物线C2：y x2上，x2∴x .21解得x 或 x 0.2∵点C 与点D 不重合，11∴点D 的坐标为( , ).2411 ∴当点C 的坐标为(0,0) 时，点D 的坐标为( , ) .24∴当点C 的坐标为(2t 4,t 2) 时，点D 的坐标为(2t 7,t 7) . ⋯⋯5分24 ∵BD⊥AC，7 ∴ t 1 2t .25∴t . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分215② t 的取值范围是t 或 t 5. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分4说明：设直线l1与l2交于点M.随着点A从左向右运动，从点D与点M 重合，。