C有限差分法.ppt

2
2
n
1 2
(i)
n1
(i)
n
(i)
2
可得
x
n1
2
(
1 2
)
n1
2
(1)
s
n1 2
(0)
= n1(1) n (1) n1(0) n (0) （4—61）
2s
t
n1
2
(
1 2
)
n1( 1 ) 2 t
n(1) 2
= n1(1) n (1) n1(0) n (0) （4—62）
而边界对外行数字波而言相当于计算网格空间无 限扩展。即边界处场量满足单向波方程。所需的
吸收边界条件不仅要求在 0 时不存在截断边 界的反射，而且应在尽量大的 取值范围内满足
单向波条件。
可 以 证 明 ， 当 把 L2 作 用 到 边 界
x 0的(x, y,t) 时， 可以是从任意角度从
内部入射到 x 0 边界的平面波，都会被边
以二维空间场为例，G.Mur于1981年给出
了适合 FDTD应用的吸收边界条件的二阶近
似形式，即将精确吸收边界条件中的根号部分 以Taylor级数展开并取其前两项，如下：
1 s2 1 s2 2 （4-57）
将上式代入式（4-53）可得x源自1 vtv 2
( )2 y
/
t
0
（4-58）
以 t 乘上式两边
2 n (1, j, k) n(1, j, k 1) （4-66）
当采用稳定条件 s 2vt 时上式中系数还可再简化，（4-66）式已在诸多实际
问题中采用。
§4.7 FDTD 法在电磁散射中的应用
1. 网格空间与散射体模拟
散射体模拟是 FDTD法计算电磁散射问题
的关键，只有足够精确地对散射体几何形状，结
为研究散射体对电磁脉冲的响应，希望入
射脉冲有较宽的频谱。尤其是频谱变化平缓且
又具有陡峭的截止特性。Gauss 脉冲具有这样 的特性，其随时间的变化规律为：
f
(t)
e
(
t
ta T2
)2
（4-67）
其 Fourier 变换为；
T 2 2
F() Te 4 （4-68）
可见 Gauss 脉冲的频谱仍然为 Gauss 型。
吸收边界
散射体 散射体
场区 2
场区 1 图 4.6 网格空间场区划分
连接边界
场区 1 位于计算网格空间内部，散射体设 置在其中，场区 1 中有入射波及散射波。该区 称作总场区。
场区 2 中只允许散射场存在，无入射场， 此区称散射场区。该区域外边界为计算网格空 间的截断边界—吸收边界。
场区 1 和场区 2 由连接条件衔接。总场区 称为主空间，连接边界以外称作辅助空间，辅 助空间要占据构成网格总数的一个较大部分。
（4-47）
若 x vt ，则
n1(0) n (1) （4-48）
（4-48）式意味着，在满足稳定性 条件下，满足（4-45）的波具有如下特
性，处于 i 0 处时间步为 n+1 时的 波，正好是 i 1处时间步 n 时的波。
说明该波的运动在一个时间步长内移 动一个网格步长，好像不存在反射，不 存在边界一样，故条件（4-45）称为吸 收边界条件。
界所吸收。也就是说
L2 0 (x 0) （4-53）
就是保证从 内部以任意角度入射到 x 0 边
界的平面波 的精确的解析吸收边界条件。
同样，将 L2 作用到边界 x h的(x, y,t) ，
即
L2 0 (x h) （4-54）
就是 x h 处的吸收边界条件。 对图 4.5 中 y 0 和 y h 的两个边界，只要将以
与一维波动问题相仿，设二维问题中任
一场分量为(x, y, t) ，则对无源区有波动
方程
(
2 2x
2 2 y
1 v2
2 2t
)
0 （4-49）
定义算子
L2
2 x 2
2 y 2
1 v2
2 t 2
（4-50）
对 L2 进行因子分解，使（4-49）可写
为 L2 L2 L2 0 （4-51）
L
2
另一种可选择的脉冲形式为：
f
(t
)
1 0
cos(2
Fbt
)
t 1 Fb （4-69）
t 1
Fb
对无解析形式的入射脉冲波，可采用分区解 析表示的方法，即在不同时间步范围执行不同的 解析式。对复杂的波形还可采取以数据文件形式 按步读入。由于入射脉冲是依时间顺序分步起作 用，其表现形式灵活，从而对脉冲波的模拟可达 很高精度。
构组成及其物质特性（ ,, ）进行模拟的基础
上，才有可能求其散射特性。在散射体模型建模 过程中应注意选取网格单元的空间步长，要使构 成模型外层网格尽量与散射体边界重合。
为精确地模拟散射体的形状和结构，网格单 元取得越小越好。但这必然使网格空格总数增加， 相应的计算机存储和 CPU 时间也会随之增加。解 决这一问题的一般原则是，在基本满足计算精度 要求的情况下，尽量节省存储空间和计算时间。 与此同时，网格的空间步长对差分格式本身计算 误差也有影响。从色散角度考虑，一般要求满足
2．瞬态电磁散射问题
电磁散射问题中瞬态与稳态问题是两个重要 方面。如在瞬态问题中，研究散射体对电磁脉冲 的响应，可使人们了解核爆炸产生的电磁脉冲对 各种军事设备影响，对国防建设有较大作用。另 一方面，可以通过散射体对脉冲波的响应了解散 射体宽频带的散射特性。由于脉冲信号包含较宽 的频谱，通过 Fourier 变换，可将散射体对脉冲波 的时域响应中获得其宽带散射特性。这种宽带特 性的获得只需计算程序的一次运行，体现了 FDTD 法的优点。
通常在一维情况下，会存在 xˆ 和 xˆ 方
向的两个单向波。此时它们满足
( 1 ) 0 ， ( 1 ) 0
x v t
x v t
令算子
L1
x
1 v
t
，
L1
x
1 v
t
则算子
L
L1 L1
2 2x
1 v2
2 2t
显然， L 0 是一维情况下的波动方程。
2．二维和三维单向波方程
2
xt
1 v
2 t 2
v 2
2 y 2
0
（4-59）
（4-59）是G.Mur二阶近似吸收边界条件，适用 于二维问题的求解，此外，Trefethen和Holpern 于1985年提出了一般性的七种近似方法，它们 是：
Pade法 亚区间上的Chebyshev法 Chebyshev点插值法 最小二乘法 Chebushev--- Pade法 Newman点插值法 Chebyshev法
垂直的另外四个边界面处的吸收边
界条件。由于 x, y,和z 坐标的等价
性，很容易求得与（4-56）类似的 精确吸收边界条件。
3．近似吸收边界条件
理论推出的精确吸收边界条件的算子 中，包含一个根号部分。他不适合直接进
行数值计算。在 FDTD中是将此根号部分
以近似形式给出。故称为近似吸收边界条 件。这种近似会在边界上出现某种数量的 反射，问题是取怎样的近似能使反射在尽 管宽的入射角范围内减到最小。
上分析中的
x,
y
，
x
,
y
互换，就可获得 y 坐
标的两个边界面的精确的吸收边界条件。
对三维空间域而言，波动方程为
(
2 x 2
2 y 2
2 z 2
1 v2
2 )
t 2
L3
0
（4-55）
令 L3
L3 L3 ，则 L3
x
1 v
t
1 D2
1
D
v
y
/
t
2
z
/
t
2
2
（4-56）
同理，不难求得对于 y和z 轴
4．吸收边界条件的差分格式
精确一维吸收边界条件的差分格式
设一维网格点用 i 0,1,2,...........表示， i 0 是左边界，网格步长为 s ，时间步长为 t ，
边界点(0) 的中心插商可写为
x
n
(0)
n
(
1 2
)
s
n
(
1 2
)
O(2s)
(4-60)
利用近似式
n (1 ) n (1) n (0)
（4-46）
如果采用前向差商近似，x 方向的空间
步长为 x ，时间步长为 t ，并且令 x=0
时， i 0 ,则（4-46）的差分形式为：
n (1) n (0) x n1(0) n (0) vt
上式可改写为：
n1(0) n (0)(1 vt ) vt n (1)
x x
1. 一维单向波与吸收边界条件
令场量 沿 xˆ 方向传播，则 必满足如下方程
x
1 v
t
(
x,
t
)
0
（4-45）
（4-45）称为单向波方程，方程的解为
(x, t) f (x vt)
假设截断边界面为 x=0 处，由(x, t) 满
足（4-45），有
x
(x,
t)
|x0
1 v
t
(x,
t)
|x0
s min /10 。 s 为均匀的步长， min 是网格
空间内所考虑的电磁波的最短波长。当采用非均
匀网格空间时， s 应为最大的空间步长。
电磁波散射问题是一个开放空间中的 电磁波问题，一般散射场将充满整个研究空 间。而计算机不可能以无限大的网格空间来 模拟开放空间，而总是在某处截断网格空 间，以吸收边界条件来保证以有限的网格空 间近似地模拟无限空间。由于吸收边界条件 在一定入射角范围内有较好的吸波效果，这 就要求吸收边界离开散射体要有足够的距 离。图 4.6 示出网格空间的场区划分。