第六讲 简单的三角恒等变换-高考状元之路
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第六节 简单的三角恒等变换
预习设计 基础备考
知识梳理 1.半角公式
(1)用cos 表示⋅2
tan ,2
cos ,2
sin
2
2
2
α
α
α
=
2
sin 2
α
=2
cos ;2
α
=2
tan ;2
α
(2)用αcos 表示⋅2
tan
,2
cos ,2
sin
α
α
α
=
2
sin
α
=2
cos
;α
=2
tan
;α
(3)用ααcos ,sin 表示⋅2
tan
α
=
+=
α
α
α
cos 1sin 2tan
2.形如x b x a cos sin +的化简
=+x b x a cos sin ,其中⋅=
a
b ϕtan
典题热身
=+α
ααα2cos cos .2cos 12sin 2.12 ( ) αtan .A α2tan .B 1.C 2
1
.D
答案:B
2.若,2cos 3)(sin x x f -=则=)(cos x f ( )
x A 2cos 3.- x B 2sin 3.- x C 2cos 3.+ x D 2sin 3.+
答案:C 3.化简:
=-++++++-+θθθ
θθθθθcos sin 1cos sin 1cos sin 1cos sin 1 ( )
θsin 2.A θcos .B θ
cos 1.c θ2sin .D 答案:A
4.函数23
cos 32sin 2
12-+=
x x y 的最小正周期等于( )
π.A π2.B 4
π⋅
c 2π⋅D
答案:A
5.已知),0,4
(,25242sin π
αα-∈-
=则ααcos sin +等于( ) 51.±A 51.B 57.±c 5
7.D
答案:B
课堂设计 方法备考
题型一 三角函数式的化简
【例1】(1)已知,2
cos
2
sin
1
2
sin 2tan 2)(2
α
α
α
αα--
=f 求);12
(
π
f
(2)已知,2,222tan πωπθ<<-=求
)
4
sin(21
sin 2
cos 22
π
θθθ
+
--的值。
题型二 三角函数式的求值
【例2】已知,7
1
tan ,1010sin ==
αβ求满足下列条件的βα2+的值. );2,0(),2,0()1(π
βπα∈∈
⋅∈-∈)2
,0(),0,()2(π
βπα
题型三 )(cos sin 22ϕ++--+x b a x b x a 的应用
【例3】设函数.18
cos 2)6
4
sin(
)(2
+--
=x x f π
π
π
(1)求)(x f 的最小正周期;
(2)若函数)()(x f hy x g y =-=的图像关于直线1=x 对称,求当]4
3
,0[∈x 时,)(x g y =的最大值,
技法巧点
1.三角函数式的化简
(1)三角函数式的化简原则一是统一角,二是统一函数名.能求值的求值,必要时切化弦,更易通分、约分.
(2)三角函数式化简的要求. ①能求出值的应求出值;②尽量使三角函数种数最少;③尽量使项数最少;④尽量使分母不含三角函数;⑤尽量使被开方数不合三角函数.
(3)三角函数化简的方法主要是弦切互化,异名化同名,异角经同角,降幂或升幂.
2.三角函数式的求值
已知三角函数式的值,求其他三角函数式的值,一般思路为:(1)先化简所求式子; (2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角人手); (3)将已知条件代人所求式子,化简求值.
失误防范
1.实施简单的三角恒等变换首先要准确记忆相关的三角公式,由于本章三角公式多,记错、记混三角公式是屡见不鲜的.
2.凡是涉及“开平方”的问题,必须注意符号的选取,而符号的选取最终取决于角的范围,如果不能确定,则要进行分类讨论,防止丢解.
随堂反馈
1.已知,2παπ<<则2
cos
α
等于 ( )
2cos 1.α--
A 2cos 1.α-
B 2cos 1.α+-c 2
cos 1.α
+D 答案:C
2.已知,31)6sin(
=-απ
则)232cos(απ+的值是 ( ) 97.-A 31.-B 31.c 9
7.D
答案:A
3.(2011.海淀模拟)定义运算,22b ab a b a --=⊕则6sin
π=⊕6
cos π
( ) 4321.--
A 4
3
21.+-B 21.-c 43.D 答案:A
4.已知角α在第一象限且,5
3
cos =α则
)
2
sin()
42cos(21π
απ
α+
-
+等于( )
52.A 57.B 5
14.c 52.-D 答案:C
=--
15cos 260sin 3.52 答案:2
高效作业 技能备考
一、选择题
1.(2011.淮南模拟)若),4
,2(,25242sin π
πα--∈-
=a 则+αsin αcos 等于( ) 51.-A 51.B 57.-c 5
7.D
答案:A
2.(2011.浙江杭州模拟)8sin 128cos 22-+的化简结果是 ( )
4sin 24cos 4.-A 4sin 2.B 4cos 44sin 2.-C 4sin 2.-D
答案:D
3.函数x x x x x f 44cos cos sin 2sin )(++=的最小值是( )
23.A 21.B 21.-c 2
3.-D 答案:C
4.(2011.烟台模拟)已知,5
3
)4sin(
=-x π
则sin2x 的值为( ) 257.A 2516.B 2514.c 25
19.D 答案:A
5.若=-=+<<-
<
<)24cos(31)4cos(
,02
,2
0βπβπ
π
αa n ,33则=+)2
cos(β
α ( ) 33.
A 33.-
B 39
5
.c 96.-D
答案;C
6.(2011.东营模拟)若x 是三角形的最小内角,则函数=y x x x x cos sin cos sin ++的值域是 ( )
),1.[+∞-A ]2,1.[-B 2,0.(c )2
1
2,1.(+D
答案:D
二、填空题
7.(2011.镇江模拟)已知函数3sin )(2+=x x f ω,cos sin x x ωω=∈)(,αf R x 又,2
1
)(,21=-
βf 若 ||βα-的最小值为
,4
3π
则正数ω的值为 答案:3
1
8.已知),3
4
cos(
3)3
4
sin()(π
π
π
π
+
-+
=x x x f 则+++ )2()1(f f =+)2009()2008(f f
答案:2
9.(2011.济宁模拟)设++-+=
x x x x f sin )
2
sin(22cos 1)()4
sin(2π
+
x a 的最大值为,32+则常数=a
答案:3±
三、解答题
10.(2011.长沙模拟)已知函数--
=)6
cos(cos 2)(π
x x x f .cos sin sin 32x x x +
(1)求)(x f 的最小正周期;
(2)当|],0[πα∈时,若,1)(=αf 求a 的值.
11.(2011.泉州模拟)已知函数-+=)4(
sin 2)(2
x x f π
⋅∈]2
,4[,2cos 3π
πx x
(1)求)(x f 的最大值和最小值; (2)若不等式2|)(|<-m x f 在]2
,4[π
π∈x 上恒成立,求实数m 的取值范围.
12.(2011.宁波模拟)设函数--
=)6
4
sin(
)(π
π
x x f .1)8
(
822+x
co π
(1)求)(x f 的最小正周期;
(2)若函数)()(x f y x g y ==与的图像关于直线1=x 对称,求当]3
4,0[∈x 时,)(x g y =的最大值.。