高考数学数列题型之等差数列与等比数列综合题
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【命题意图】本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。
例设 为数列 的前 项和， ， ，其中 是常数．
（I） 求 及 ；
（II）若对于任意的 ， ， ， 成等比数列，求 的值．
解（Ⅰ）当 ，
（ ）
经验， （ ）式成立，
（Ⅱ） 成等比数列， ，
于是 为以 首项，－ 为公差的等差数列．
所以 ．
（Ⅱ） ，令 ，则 ．
而 ．
∴ ．
，
∴ ．
令Tn＝ ，①
则2Tn＝ ．②
①－②，得 Tn＝ ，Tn＝ ．
∴ ．
例7 已知数列 满足 ，且当 ， 时，有
(1)求证：数列 为等差数列；
(2)试问 是否为数列 中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由.
（2）解由（1）知
当 时，
当 时， 。
所以 。
例设数列 的前 项和为 ，已知
（Ⅰ）证明：当 时， 是等比数列；
（Ⅱ）求 的通项公式
解 由题意知 ，且
两式相减得
即 ①
（Ⅰ）当 时，由①知
于是
又 ，所以 是首项为1，公比为2的等比数列。
（Ⅱ）当 时，由（Ⅰ）知 ，即
当 时，由由①得
因此
得
例在数列 中， ,
⑴求常数 的值； ⑵求数列 的通项公式；
⑶记 ，求数列 的前 项和 。
解：（1）由 及 ，得：
（2）由 ①
得 ②
由②—①，得
即：
由于数列 各项均为正数， 即
数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
数列 的通项公式是
（3）由 ，得：
例在数列
（1）
（2）设
（3）求数列
解（1）
（2）对于任意
= ，
数列 是首项为 ，公差为1的等差数列.
∴2q2= q +1，解得q = 1或 .
（2）若q = 1， Sm+ Sm+1= ma1+ (m+1) a1=(2m+1) a1，Sm + 2= (m+2) a1
∵a1≠0，∴2Sm+2≠Sm+ Sm+1
若q = ，Sm + 1=
Sm+ Sm+1= =
∴2 Sm+2= Sm+ Sm+1
故当q = 1时，Sm, Sm+2, Sm+1不成等差数列；
等差数列及等比数列综合题
例已知等差数列 满足： ， ， 的前n项和为 ．
（Ⅰ）求 及 ；
（Ⅱ）令bn= (n N*)，求数列 的前n项和 ．
【解析】（Ⅰ）设等差数列 的公差为d，因为 ， ，所以有
，解得 ，
所以 ； = = 。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，所以bn= = = ，
所以 = = ，
即数列 的前n项和 = 。
解：（Ⅰ）依题意有
由于 ，故
又 ，从而
（Ⅱ）由已知可得 故
从而
例已知{ }是公比为q的等比数列，且 成等差数列.
（1）求q的值；
（2）设数列 的前 项和为 ，试判断 是否成等差数列？说明理由.
解：（1）依题意，得2am+2= am+1+ am
∴2a1qm+1= a1qm+ a1qm–1
在等比数列{an}中，a1≠0，q≠0，
当q = 时，Sm, Sm+2, Sm+1成等差数列.
例6已知数列 中， ，且对 时
有 ．
（Ⅰ）设数列 满足 ，证明数列 为等比数列，并求数列 的通项公式；
（Ⅱ）记 ，求数列 的前n项和
（Ⅰ） 证明：由条件，得 ，
则 ．
即 ，所以 ， ．
所以 是首项为 2，公比为2的等比数列．
，所以 ．
两边同除以 ，可得 ．
证明：（1）由 得
即
上式两边同时除以 得
又 ， 是首项为5，公差为4的等差数列
（2）又（1）知 ，即
，
令 ， 解得
所以 是数列 的第11项
例8设数列 满足 且
（Ⅰ）求 的值，使得数列 为等比数列；
（Ⅱ）求数列 和 的通项公式；
（Ⅲ）令数列 和 的前 项和分别为 和 ，求极限 的值．
（Ⅰ）令 ，其中 为常数，若 为等比数列，则存在 使得
(Ⅲ) 正数数列 中， .求数列 中的最大项.
（Ⅰ）解：由已知：对于 ，总有 ①成立
∴ （n ≥ 2）②
①--②得
∴
∵ 均为正数，∴ （n ≥ 2）
∴数列 是公差为1的等差数列
即 ，整理得： ，
对任意的 成立，
例等比数列{ }的前n 项和为 ，已知 , , 成等差数列
（1）求{ }的公比q；
（2）求 － ＝3，求
解：（Ⅰ）依题意有
由于 ，故
又 ，从而 5分
（Ⅱ）由已知可得
故
从而 10分
例已知数列 满足， .
令 ，证明： 是等比数列；
(Ⅱ)求 的通项公式。
（1）证
当 时，
所以 是以1为首项， 为公比的等比数列。
（3）由（2）得，
，
即
设
则
两式相减得，
整理得，
从而
例已知数列 的首项 ，前n项和 .
（Ⅰ）求证： ;
（Ⅱ）记 ， 为 的前n项和，求 的值.
解：（1）由 ①，得 ②，
②-①得： .
（2）由 求得 .
∴ ，
∴ .
例等比数列{ }的前n 项和为 ，已知 , , 成等差数列
（1Fra Baidu bibliotek求{ }的公比q；
（2）求 － ＝3，求
令数列 的通项公式为 ，它是公比为 的等比数列，令其前 项和为 ．
由第（Ⅱ）问得 ， ．
．
由于数列 的公比 ，则 ．
，由于 ，则 ，
于是 ，所以
例9 数列 的各项均为正数， 为其前 项和，对于任意 ，总有 成等差数列.
(Ⅰ)求数列 的通项公式；
(Ⅱ)设数列 的前 项和为 ，且 ，求证:对任意实数 （ 是常数， ＝2.71828 ）和任意正整数 ，总有 2；
（I）设 ，求数列 的通项公式;
（II）求数列 的前 项和
解：（I）由已知有
利用累差迭加即可求出数列 的通项公式: ( )
（II）由（I）知 ,
=
而 ,又 是一个典型的错位相减法模型，
易得 =
例已知数列 的前 项和为 ， ，且 （ 为正整数）
（Ⅰ）求出数列 的通项公式；
（Ⅱ）若对任意正整数 ， 恒成立，求实数 的最大值.
解：（Ⅰ） ， ① 当 时， . ②
由 ① - ②，得 . .
又 ， ，解得 .
数列 是首项为1，公比为 的等比数列.
（ 为正整数）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
由题意可知，对于任意的正整数 ，恒有 ，.
数列 单调递增， 当 时，数列中的最小项为 ，
必有 ，即实数 的最大值为1
例各项均为正数的数列 中， 是数列 的前 项和，对任意 ，有 ；
．
又 ．
所以 ．
由此得
由 及已知递推式可求得 ，把它们代入上式后得方程组
消去 解得 ．
下面验证当 时，数列 为等比数列．
，
，从而 是公比为 的等比数列．
同理可知 是公比为 的等比数列，于是 为所求．
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果得 ， ，解得
， ．
（Ⅲ）令数列 的通项公式为 ，它是公比为 的等比数列，令其前 项和为 ；
例设 为数列 的前 项和， ， ，其中 是常数．
（I） 求 及 ；
（II）若对于任意的 ， ， ， 成等比数列，求 的值．
解（Ⅰ）当 ，
（ ）
经验， （ ）式成立，
（Ⅱ） 成等比数列， ，
于是 为以 首项，－ 为公差的等差数列．
所以 ．
（Ⅱ） ，令 ，则 ．
而 ．
∴ ．
，
∴ ．
令Tn＝ ，①
则2Tn＝ ．②
①－②，得 Tn＝ ，Tn＝ ．
∴ ．
例7 已知数列 满足 ，且当 ， 时，有
(1)求证：数列 为等差数列；
(2)试问 是否为数列 中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由.
（2）解由（1）知
当 时，
当 时， 。
所以 。
例设数列 的前 项和为 ，已知
（Ⅰ）证明：当 时， 是等比数列；
（Ⅱ）求 的通项公式
解 由题意知 ，且
两式相减得
即 ①
（Ⅰ）当 时，由①知
于是
又 ，所以 是首项为1，公比为2的等比数列。
（Ⅱ）当 时，由（Ⅰ）知 ，即
当 时，由由①得
因此
得
例在数列 中， ,
⑴求常数 的值； ⑵求数列 的通项公式；
⑶记 ，求数列 的前 项和 。
解：（1）由 及 ，得：
（2）由 ①
得 ②
由②—①，得
即：
由于数列 各项均为正数， 即
数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
数列 的通项公式是
（3）由 ，得：
例在数列
（1）
（2）设
（3）求数列
解（1）
（2）对于任意
= ，
数列 是首项为 ，公差为1的等差数列.
∴2q2= q +1，解得q = 1或 .
（2）若q = 1， Sm+ Sm+1= ma1+ (m+1) a1=(2m+1) a1，Sm + 2= (m+2) a1
∵a1≠0，∴2Sm+2≠Sm+ Sm+1
若q = ，Sm + 1=
Sm+ Sm+1= =
∴2 Sm+2= Sm+ Sm+1
故当q = 1时，Sm, Sm+2, Sm+1不成等差数列；
等差数列及等比数列综合题
例已知等差数列 满足： ， ， 的前n项和为 ．
（Ⅰ）求 及 ；
（Ⅱ）令bn= (n N*)，求数列 的前n项和 ．
【解析】（Ⅰ）设等差数列 的公差为d，因为 ， ，所以有
，解得 ，
所以 ； = = 。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，所以bn= = = ，
所以 = = ，
即数列 的前n项和 = 。
解：（Ⅰ）依题意有
由于 ，故
又 ，从而
（Ⅱ）由已知可得 故
从而
例已知{ }是公比为q的等比数列，且 成等差数列.
（1）求q的值；
（2）设数列 的前 项和为 ，试判断 是否成等差数列？说明理由.
解：（1）依题意，得2am+2= am+1+ am
∴2a1qm+1= a1qm+ a1qm–1
在等比数列{an}中，a1≠0，q≠0，
当q = 时，Sm, Sm+2, Sm+1成等差数列.
例6已知数列 中， ，且对 时
有 ．
（Ⅰ）设数列 满足 ，证明数列 为等比数列，并求数列 的通项公式；
（Ⅱ）记 ，求数列 的前n项和
（Ⅰ） 证明：由条件，得 ，
则 ．
即 ，所以 ， ．
所以 是首项为 2，公比为2的等比数列．
，所以 ．
两边同除以 ，可得 ．
证明：（1）由 得
即
上式两边同时除以 得
又 ， 是首项为5，公差为4的等差数列
（2）又（1）知 ，即
，
令 ， 解得
所以 是数列 的第11项
例8设数列 满足 且
（Ⅰ）求 的值，使得数列 为等比数列；
（Ⅱ）求数列 和 的通项公式；
（Ⅲ）令数列 和 的前 项和分别为 和 ，求极限 的值．
（Ⅰ）令 ，其中 为常数，若 为等比数列，则存在 使得
(Ⅲ) 正数数列 中， .求数列 中的最大项.
（Ⅰ）解：由已知：对于 ，总有 ①成立
∴ （n ≥ 2）②
①--②得
∴
∵ 均为正数，∴ （n ≥ 2）
∴数列 是公差为1的等差数列
即 ，整理得： ，
对任意的 成立，
例等比数列{ }的前n 项和为 ，已知 , , 成等差数列
（1）求{ }的公比q；
（2）求 － ＝3，求
解：（Ⅰ）依题意有
由于 ，故
又 ，从而 5分
（Ⅱ）由已知可得
故
从而 10分
例已知数列 满足， .
令 ，证明： 是等比数列；
(Ⅱ)求 的通项公式。
（1）证
当 时，
所以 是以1为首项， 为公比的等比数列。
（3）由（2）得，
，
即
设
则
两式相减得，
整理得，
从而
例已知数列 的首项 ，前n项和 .
（Ⅰ）求证： ;
（Ⅱ）记 ， 为 的前n项和，求 的值.
解：（1）由 ①，得 ②，
②-①得： .
（2）由 求得 .
∴ ，
∴ .
例等比数列{ }的前n 项和为 ，已知 , , 成等差数列
（1Fra Baidu bibliotek求{ }的公比q；
（2）求 － ＝3，求
令数列 的通项公式为 ，它是公比为 的等比数列，令其前 项和为 ．
由第（Ⅱ）问得 ， ．
．
由于数列 的公比 ，则 ．
，由于 ，则 ，
于是 ，所以
例9 数列 的各项均为正数， 为其前 项和，对于任意 ，总有 成等差数列.
(Ⅰ)求数列 的通项公式；
(Ⅱ)设数列 的前 项和为 ，且 ，求证:对任意实数 （ 是常数， ＝2.71828 ）和任意正整数 ，总有 2；
（I）设 ，求数列 的通项公式;
（II）求数列 的前 项和
解：（I）由已知有
利用累差迭加即可求出数列 的通项公式: ( )
（II）由（I）知 ,
=
而 ,又 是一个典型的错位相减法模型，
易得 =
例已知数列 的前 项和为 ， ，且 （ 为正整数）
（Ⅰ）求出数列 的通项公式；
（Ⅱ）若对任意正整数 ， 恒成立，求实数 的最大值.
解：（Ⅰ） ， ① 当 时， . ②
由 ① - ②，得 . .
又 ， ，解得 .
数列 是首项为1，公比为 的等比数列.
（ 为正整数）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
由题意可知，对于任意的正整数 ，恒有 ，.
数列 单调递增， 当 时，数列中的最小项为 ，
必有 ，即实数 的最大值为1
例各项均为正数的数列 中， 是数列 的前 项和，对任意 ，有 ；
．
又 ．
所以 ．
由此得
由 及已知递推式可求得 ，把它们代入上式后得方程组
消去 解得 ．
下面验证当 时，数列 为等比数列．
，
，从而 是公比为 的等比数列．
同理可知 是公比为 的等比数列，于是 为所求．
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果得 ， ，解得
， ．
（Ⅲ）令数列 的通项公式为 ，它是公比为 的等比数列，令其前 项和为 ；